江西省九江市高二下学期期中数学试卷(理科)
江西省九江一中高二数学下学期期中考试
高二数学（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.一．选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．方程382828x x C C -=的解集为（ ）A ．{}4B ．{}9C ．φD ．{}4,9 2．若iz i1+2=，则复数z =（ ） A ． i -2- B ． i -2+ C ． i 2- D ． i 2+3．五种不同商品在货架上排成一排，其中,A B 两种必须连排，而,C D 两种不能连排，则不同的排法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种4．已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为128，则n 等于（ ）A ．５B ．６C ．７D ．８5．设离散型随机变量ξ的概率分布列如下，则下列各式中成立的是 ( )A ．( 1.5)0.4P ξ<=B ．1)1(=->ξPC ．1)3(=<ξPD ． 0)0(=<ξP 6．九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设A 为下雨，B 为刮风，则(|)P A B =（ ） A ．12 B ．34 C ．25 D ．387．曲线2y x =与直线y x =所围成的平面图形绕x 轴转一周得到旋转体的体积为（ ）A ．130π B ．115π C ．215π D ．16π 8．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '+'＞0且()30f -=，则不等式()0()f xg x <解集是（ ）A ． ),3()0,3(+∞⋃-B ．)3,0()0,3(⋃-C ．),3()3,(+∞⋃--∞D ．)3,0()3,(⋃--∞9．已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足：当2x ≤时，'()0f x ≤；当2x ≥时，'()0f x ≥．则下列结论：①'(2)0;f =②(4)(3)0;f f -≥③21()()0;33f f -≤④(1)(3)2(2).f f f +≥其中成立的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．若存在过点(1,1)的直线与曲线2y x x =+和21y ax x =--都相切，则a 等于（ ）A ．-1或-3B ． -2或3C ．-1或3D ． 1或-3第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上）11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2) (σ>0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(2，＋∞)上取值的概率为__ ___． 12．观察下列式子：1+23212<,1+223121+＜35,1+47413121222<++,… 则可归纳出： ．13．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13，设ξ为这名学生在途中遇到的红灯次数，D ξ的值是__ _ ．14．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．不放回抽样时，取得至少1个黑球的概率是 ．15．数字1，2，3，4，５任意排成一列，如果数字k 恰好在第k 个位置上，则称有一个巧合，则巧合数ξ 的分布列为 ．三．解答题（本大题共6个小题，共75分，解答时写出文字说明，证明过程或解题步骤）． 16．现有6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法： （I ）分为三份，每份2本；（II ）分给甲、乙、丙三人每人2本； （III ）分给甲、乙、丙三人；（I V ）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本. （最后结果请用数字表示）.17．已知在(2nx 的展开式中，第3项的二项式系数与第２项的二项式系数的比为5:2. （I ）求n 的值；（II ）求含2x 的项的系数；（III ）求展开式中系数最大的项．18．高考数学考试中共有10道选择题,每道选择题都有4个选项，其中有且仅有一个是正确的.评分标准规定：“在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答对得5分，不答或答错得0分”.某考生每道选择题都选出了一个答案，能确定其中有6道题的答案是正确的，而其余题中，有两道题都可判断出有两个选项是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜. 试求出该考生的选择题：（I ）得30分的概率；（II ）得多少分的概率最大；（III ）所得分数ξ的数学期望．19．数列{}n a 满足10,(),2n n n nm a S a a >=+其中602cos m xdx π=⎰.（I ）求123,,S S S ，猜想n S ；（II ）请用数学归纳法证明之．20．已知函数21()ln 2.2f x x ax x =-- （I ）若3a =，求()f x 的增区间；（II ）若0a <，且函数()f x 存在单调递减区间，求a 的取值范围； （III ）若12a =-且关于x 的方程1()2f x x b =-+在[]1,4上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围．21．设Ω是由满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：“①函数)(x f 的导数)(x f '满足1)(0<'<x f ；②方程()f x x =有实数根”． （I ）判断函数4sin 2)(xx x f +=是否是集合Ω中的元素，并说明理由； （II ）集合Ω中的元素)(x f 具有下面的性质：若)(x f 的定义域为D ，则对于任意[,]a b ⊆D ，都存在0x ∈[,]a b ，使得等式0()()()()f b f a b a f x '-=-成立”，试用这一性质证明：方程0)(=-x x f 只有一个实数根；（III ）设1x 是方程0)(=-x x f 的实数根，求证：对于)(x f 定义域中任意的2|)()(|,1||,1||,,23131232<-<-<-x f x f x x x x x x 时且当．2011-2012学年度江西省九江第一中学下学期期中考试试卷高二数学（理科）答案命 题 郭庆志 审 题 江旺生1-10.DDCC ABCD DC11． 0.1 12． 222111211,(2)23n n N n n n+-++++<∈≥且 134314．815． 15．16．解：（I ）2226423315C C C A =；（II ）22264290C C C =；（III ）63729= （I V ）可以分为三类情况：①“2、2、2型” 的分配情况，有22264290C C C =种方法；②“1、2、3型”的分配情况，有12336533360C C C A=种方法；③“1、1、4型”，有134390C A=种方法，所以，一共有90+360+90＝540种方法17．解：（I）n=6（II）4320；（III）展开式中系数最大的项.2354860T x=.．18．解：（I）得30分，就是除能确定做对的6道题之外，其余4题全部做错．.依题意，易知在其余的四道题中，有两道题答错的概率各为12，有一道题答错的概率为23，还有一道题答对的概率为34，所以他做选择题得30分的概率为：11231.22348P=⨯⨯⨯=（II）依题意，该考生选择题得分的可能取值有：30,35,40,45,50共五种. 得分为30，表示只做对有把握的那8道题，其余各题都做错，于是其概率为：111236; 223448P=⨯⨯⨯=类似的，可知得分为35的概率：12211231113112117; 22342234223448P C=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=得分为40的概率：317; 48P=得分为45的概率：47; 48P=得分为50的概率：51. 48P=∴该生选择题得分为35分或40分的可能性最大.（III）由（II）可知ξ的分布列为：∴3035404550.484848484812 Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=19．解（I ） 易得： 1.m =∵a n >0，∴S n >0，由S 1＝12(a 1＋1a 1)，变形整理得S 21＝1，取正根得S 1＝1.由S 2＝12(a 2＋1a 2)及a 2＝S 2－S 1＝S 2－1得S 2＝12(S 2－1＋1S 2－1)，变形整理得S 22＝2，取正根得S 2＝ 2.同理可求得S 3＝ 3.由此猜想S n ＝n . （II ）用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，上面已求出S 1＝1，结论成立． (2)假设当n ＝k 时，结论成立，即S k ＝k . 那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝12(a k ＋1＋1a k ＋1)＝12(S k ＋1－S k ＋1S k ＋1－S k )＝12(S k ＋1－k ＋1S k ＋1－k )． 整理得S 2k ＋1＝k ＋1，取正根得S k ＋1＝k ＋1. 故当n ＝k ＋1时，结论成立．(11分)由(1)、(2)可知，对一切n ∈N *，S n ＝n 都成立．20．解：（I ）221()(0).ax x f x x x +-'=->3a =时()f x 的增区间为1(0,)3（II ）221()(0).ax x f x x x+-'=->依题意()0f x '<在0x >时有解:即2210ax x +->在0x >有解.则440a ∆=+>且方程2210ax x +-=至少有一个正根.此时，10a -<<（III ）21113,()ln 0.2242a f x xb x x x b =-=-+⇔-+-= 设213()ln (0).g x x x x b x =-+->则(2)(1)().x x g x --'=列表：()(2)ln 22,()(1).(4)22ln 24g x g b g x g b g b ∴==--==--=--+极小值极大值方程()0g x =在[1，4]上恰有两个不相等的实数根.则(1)0(2)0(4)0g g g ≥⎧⎪<⎨⎪≥⎩解得：5ln 224b -<≤-21．解：（I ）因为x x f cos 4121)(+='， 所以]43,41[)(∈'x f 满足条件,1)(0<'<x f 又因为当0=x 时，0)0(=f ，所以方程0)(=-x x f 有实数根0.所以函数4sin 2)(xx x f +=是集合Ω中的元素. （II ）假设方程0)(=-x x f 存在两个实数根βαβα≠(,），则0)(,0)(=-=-ββααf f ， 不妨设 ，根据题意存在数),,(βα∈c 使得等式)()()()(c f f f f '-=-αβαβ成立，因为βαββαα≠==且,)(,)(f f ，所以1)(='c f ，与已知1)(0<'<x f 矛盾，所以方程0)(=-x x f 只有一个实数根；（III ）不妨设32x x <，因为,0)(>'x f 所以)(x f 为增函数，所以)()(32x f x f <，又因为01)(<-'x f ，所以函数x x f -)(为减函数， 所以3322)()(x x f x x f ->-，所以2323)()(0x x x f x f -<-<，即|,||)()(|2323x x x f x f -<-所以.2||||)(||||)()(|121312132323<-+-≤---=-<-x x x x x x x x x x x f x f。
江西省高二(下)期中数学试卷(理科)(解析版)21
高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）下列图形中不一定是平面图形的是（）A．三角形B．四边相等的四边形C．梯形D．平行四边形2．（5分）已知，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．B．C．D．3．（5分）已知点M的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M的坐标是（）A．B．C．D．4．（5分）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是A．α和β都垂直于同一平面B．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β5．（5分）的值是（）A．B．C．D．π6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆7．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.48．（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．（5分）某国要从6名短跑运动员中选4人参加奥运会的4×100m接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法有（）A．24种B．72种C．144种D．360种11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值12．（5分）已知函数，g（x）=xlnx﹣x+1，正实数m，n满足|mf（x1）﹣ng（x2）|≤1对任意的x1，x2∈[1，e]恒成立，则m+n的最大值是（）A．B．e+1 C．2e+1 D．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）当n为正奇数时，求证x n+y n被x+y整除，当第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需验证n=，命题为真．14．（5分）动圆M过点F（0，2）且与直线y=﹣2相切，则圆心M的轨迹方程是．15．（5分）4个平面最多可将空间分割成个部分．16．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．四、17．（12分）4个男生，3个女生站成一排．（必须写出解析式再算出结果才能给分）（1）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）甲，乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？（4）甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？18．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．19．（12分）如图，ABC﹣A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．（1）证明：PQ∥A1B1（2）当λ=时，在图中作出点C在平面ABQP内的正投影F（说明作法及理由），并求四棱锥CABPQ表面积．20．（12分）《九章算术》中，有鳖臑（biēnào）和刍甍（chúméng）两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段．在如图所示的刍甍ABCDFE中，已知平面ADFE⊥平面ABCD，EF∥AD，且四边形ADFE为等腰梯形，，EF=3，AD=5．（Ⅰ）试判断四面体A﹣BDE是否为鳖臑，并说明理由；（Ⅱ）若AB=2，求平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值．21．（12分）达∙芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆AP 构成，AP上的栓子A可沿滑槽上下往复滑动，栓子B可沿滑槽左右往复滑动，P处的笔尖随A、B的滑动画出的图形即为椭圆C．已知AP=2，AB=1，以十字形滑槽的交点为原点O，建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过椭圆C的右焦点的直线l1交椭圆C于M、N两点，过原点的直线l2交椭圆C于P、Q两点，且l1⊥l2，试问是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（5分）下列图形中不一定是平面图形的是（）A．三角形B．四边相等的四边形C．梯形D．平行四边形【分析】根据确定平面的公理以及推论知A、C、D选项中的图形是平面图形，根据空间四边形知四边相等的四边形不一定是平面图形．【解答】解：A、由不共线的三点确定一个平面和图形知，三角形是平面图形，故A不对；B、当空间四边形的四边相等时，是空间几何体而不是平面图形，故B对；C、因梯形的一组对边相互平行，则由两条平行线确定一个平面知，梯形是平面图形，故C不对；D、因平行四边形的对边相互平行，则由两条平行线确定一个平面知，平行四边形是平面图形，故D不对；故选B．【点评】本题考查了确定平面的公理以及推论的应用，注意在立体几何中的四边形不一定是平面图形，也可构成几何体即三棱锥．2．（5分）已知，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．B．C． D．【分析】由f（n）=1+++…+++，知f（n+1）=1+++…++++，由此能求出f（n+1）﹣f（n）．【解答】解：∵f（n）=1+++…+++，∴f （n +1）=1+++…++++，∴f （n +1）﹣f （n ）=．故选D ．【点评】本题考查数列的函数性质，解题时要认真审题，注意总结规律，合理地进行等价转化．3．（5分）已知点M 的极坐标为，下列所给四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】由于 和是终边相同的角，故点M 的极坐标也可表示为．【解答】解：点M 的极坐标为，由于 和是终边相同的角，故点M 的坐标也可表示为，故选D ．【点评】本题考查点的极坐标、终边相同的角的表示方法，是一道基础题．4．（5分）α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是（ ）A ．α和β都垂直于同一平面B ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．l ，m 是平面α内的直线且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线且l ∥α，m ∥α，m ∥β，l ∥β【分析】通过举例子，和特殊图形来进行判断，或使用排除法． 【解答】解：利用排除法：对于A ：如图所示对于B ：α内不共线的三点到β的距离相等，必须是α内不共线的三点在β的同侧．对于C ：l ，m 是α内的两条直线且l ∥β，m ∥β，l 和m 不是平行直线．故选：D【点评】本题考查的知识要点：立体几何中的定义和判定定理的应用．特殊图形和特殊值是解决此问题的关键．5．（5分）的值是（）A．B．C．D．π【分析】根据积分所表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积，只需求出圆的面积乘以四分之一即可．【解答】解：表示的几何意义是以（0，0）为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积的=π×1=故选B．【点评】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题．6．（5分）方程（t为参数）表示的曲线是（）A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支D．圆【分析】方程（t为参数），消去参数，即可得出表示的曲线．【解答】解：（t为参数），可得x+y=2•2t，y﹣x=2•2﹣t，∴（x+y）（y﹣x）=4（y＞x＞0），即y2﹣x2=4（y＞x＞0），∴方程（t为参数）表示的曲线是双曲线的上支，故选B．【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．【点评】本题考查三视图，考查体积的计算，确定直观图是关键．8．（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对【分析】直接解答，看下底面上的一条边的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数；即可．【解答】解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线，这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对．上下两个底边三角形就有6对；侧面之间的一条侧棱有6对，侧面面对角线之间有6对．加在一起就是36对．（其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线）．故选D．【点评】本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，排列组合的实际应用，是难题．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，则双曲线的方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，求出几何量a，b，c，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2，∴c=，∵双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直，∴=，∴a=2b，∵c2=a2+b2，∴a=2，b=1，∴双曲线的方程为=1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查待定系数法的运用，确定双曲线的几何量是关键．10．（5分）某国要从6名短跑运动员中选4人参加奥运会的4×100m接力比赛，其中甲、乙两名运动员必须入选，而且甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，则不同的安排方法有（）A．24种B．72种C．144种D．360种【分析】由题意知甲、乙两名运动员必须入选只要选四名运动员只要从其余的四名运动员中选两个，甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，需要从甲和乙两个人中选一个跑第四棒，最后只要把其余三个运动员在三个位置全排列．【解答】解：∵甲、乙两名运动员必须入选∴要选四名运动员只要从其余的四名运动员中选两个，共有C42种结果∵甲、乙两人中必须有一个人跑最后一棒，∴从甲和乙两个人中选一个跑第四棒，共有C21种结果，最后只要把其余三个运动员在三个位置全排列，共有A33种结果，根据分步计数原理知不同的安排方法有C42C21A33=72，故选B．【点评】本题是一个分步计数问题，这是经常出现的一个问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，看清思路，把几个步骤中数字相乘得到结果．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成的角为定值【分析】利用证线面垂直，可证AC⊥BE；判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小，根据大小不同判断D错误．【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO 为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F 与B1重合时tanα=，∴异面直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；故选D．【点评】本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．12．（5分）已知函数，g（x）=xlnx﹣x+1，正实数m，n满足|mf（x1）﹣ng（x2）|≤1对任意的x1，x2∈[1，e]恒成立，则m+n的最大值是（）A．B．e+1 C．2e+1 D．【分析】求出函数的导数，问题转化为ng（x2）﹣1≤mf（x1）≤ng（x2）+1，求出m+n的最大值即可．【解答】解：，g′（x）=lnx，当x∈[1，e]时，f′（x）≥0，g′（x）≥0，∴f（x），g（x）在[1，e]上单调递增，∴，g（x）∈[0，1]，|mf（x1）﹣ng（x2）|≤1⇔ng（x2）﹣1≤mf（x1）≤ng（x2）+1，依题意得，即，∴，∴，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）当n为正奇数时，求证x n+y n被x+y整除，当第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需验证n=2k+1，命题为真．【分析】首先分析题目求在用数学归纳法验证当n为正奇数时，x n+y n被x+y整除．当第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需验证那一项成立？理论上是验证下一项成立，而题目中n为正奇数，故下一项为2k+1．即可得到答案．【解答】解：当n为正奇数时，求证x n+y n被x+y整除用数学归纳法证明时候，第二步假设n=2k﹣1时命题为真，进而需要验证n=2k+1．故答案为2k+1．【点评】此题主要考查数学归纳法的步骤问题，属于概念性问题，考查学生对数学归纳法的理解，而不是死记定义，这是在证明中易错的地方，同学们需要注意．14．（5分）动圆M过点F（0，2）且与直线y=﹣2相切，则圆心M的轨迹方程是x2=8y．【分析】根据题意，分析可得M的轨迹为以F（0，2）为焦点，直线y=﹣2为准线的抛物线，由抛物线的定义分析可得答案．【解答】解：根据题意，动圆的圆心M到点F（0，2）与到直线y=﹣2的距离相等，则M的轨迹为以F（0，2）为焦点，直线y=﹣2为准线的抛物线，其抛物线中p=4，则其轨迹方程为：x2=8y；故答案为：x2=8y【点评】本题考查轨迹的求法，涉及抛物线的定义，关键是掌握抛物线的定义．15．（5分）4个平面最多可将空间分割成15个部分．【分析】个平面将空间分成2部分，2个平面将空间分成4个部分，x个平面可将空间分割成（这里不再证明），代入求解即可．【解答】解：1个平面将空间分成2部分，2个平面将空间分成4个部分，3个平面最多将空间分成8个部分，再增加一个平面分割空间，最多将空间分成15个部分．故答案为：15．【点评】本题主要考查了数字变化的一般规律问题，找出其中的内在规律，进而即可求解．16．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了对祖暅原理的理解，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（12分）4个男生，3个女生站成一排．（必须写出解析式再算出结果才能给分）（1）3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）甲，乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？（4）甲，乙两生相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？【分析】（1）用捆绑法：先排3个女生作为一个整体，与其余的4个元素做全排列．（2）用插空法：4个男生排好后，在5个空再插入3个女生．（3）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素作为一个整体，与其余的2个元素作全排列，按分步计数原理求出结果．（4）先把甲、乙捆绑成一个整体，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，按分步计数原理求的结果．【解答】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的4个元素做全排列有A33A55=720（种）．（2）4个男生排好后，在5个空再插入3个女生有，A44A53=1440（种）．（3）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与其余的2个元素全排列，按分步计数原理不同的排法有，A22A53A33=720（种）；（4）先甲、乙相邻，再把甲乙这个整体与丙分别插入其余4个元素全排列构成的5个空位中，按分步计数原理不同的排法有，A22A44A52=960（种）．【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．18．（10分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，∴x2+y2+12x+11=0，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，圆心到直线的距离d=．∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，解得tan2α=，∴tanα=±=±．∴l的斜率k=±．【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．19．（12分）如图，ABC﹣A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．（1）证明：PQ∥A1B1（2）当λ=时，在图中作出点C在平面ABQP内的正投影F（说明作法及理由），并求四棱锥CABPQ表面积．【分析】（1）利用面面平行的性质进行证明；（2）点C在平面ABQP内的正投影F点是PQ中点；根据线面垂直的判定定理，只要说明CF⊥平面ABQP即可．【解答】证明：（1）∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A1B1C1=QP，∴AB∥PQ，又∵AB∥A1B1，∴PQ∥A1B1．（5分）解：（2）点C在平面ABQP内的正投影F点是PQ中点，理由如下：当时，P，Q分别是A1C1，A1B1的中点，连接CQ和CP，因为ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，所以CQ=CP，∴CF⊥QP，（6分）取AB中点H，连接FH，CH，CH=在等腰梯形ABQP中，FH=，连接CF中，CF=，∴CF2+FH2=CH2，∴CF⊥FH，∵QP∩FH=H，∴CF⊥平面ABF，即CF⊥平面ABQP，（9分）所以F点是C在平面ABQP内的正投影．S=S△CPQ+S△CPA+S△CQE+S PQEA+S△ABC=2+（12分）【点评】本题考查了面面平行的性质定理的运用以及线面垂直的判断方法；关键是将面面关系以及线面关系转化为线线关系．20．（12分）《九章算术》中，有鳖臑（biēnào）和刍甍（chúméng）两种几何体，鳖臑是一种三棱锥，四面都是直角三角形，刍甍是一种五面体，其底面为矩形，顶部为一条平行于底面矩形的一边且小于此边的线段．在如图所示的刍甍ABCDFE中，已知平面ADFE⊥平面ABCD，EF∥AD，且四边形ADFE为等腰梯形，，EF=3，AD=5．（Ⅰ）试判断四面体A﹣BDE是否为鳖臑，并说明理由；（Ⅱ）若AB=2，求平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）过E作EH⊥AD，垂足为H，由已知可得得DE⊥AE．结合四边形ABCD为矩形，得AB⊥AD，再由面面垂直的性质可得AB⊥平面ADFE，然后依次证明△BDE，△ADE，△BAE和△BAD都为直角三角形，可得四面体A﹣BDE 为鳖臑；（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得B（2，0，0），D（0，5，0），E（0，1，2），F（0，4，2），C（2，5，0）．分别求出平面BDE 与平面CDF的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BDE与平面CDF 所成的锐二面角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）该四面体A﹣BDE为鳖臑．证明过程如下：过E作EH⊥AD，垂足为H，∵四边形ADFE为等腰梯形，，EF=3，AD=5，∴，，∴AD2=AE2+DE2，得DE⊥AE．∵四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD，又平面ADFE⊥平面ABCD，平面ADFE∩平面ABCD=AD，∵AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面ADFE，∵AE⊂平面ADFE，∴AB⊥AE．∵DE⊂平面ADFE，∴AB⊥DE，∵AB∩AE=A，AB、AE⊂平面ABE，∴DE⊥平面ABE，又BE⊂平面ABE，∴DE⊥BE，∴△BDE，△ADE，△BAE和△BAD都为直角三角形，∴四面体A﹣BDE为鳖臑；（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知可得B（2，0，0），D（0，5，0），E（0，1，2），F（0，4，2），C（2，5，0）．设平面BDE的一个法向量，则，又，，∴，令x 1=5，解得y1=2，z1=4，∴，设平面CDF的一个法向量为，则，又，，∴，令z2=1，得，∴=．∴平面BDE与平面CDF所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面、面面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．21．（12分）达∙芬奇椭圆仪是一种画椭圆的工具，它是由十字形滑槽和长杆AP 构成，AP上的栓子A可沿滑槽上下往复滑动，栓子B可沿滑槽左右往复滑动，P处的笔尖随A、B的滑动画出的图形即为椭圆C．已知AP=2，AB=1，以十字形滑槽的交点为原点O，建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过椭圆C的右焦点的直线l1交椭圆C于M、N两点，过原点的直线l2交椭圆C于P、Q两点，且l1⊥l2，试问是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，说明理由．【分析】（Ⅰ）设A（0，y0），B（x0，0），P（x，y），则由已知可得即，可得椭圆C的方程．（Ⅱ）①当直线l1的斜率为0时，|MN|=4，|OP|•|OQ|=1，②当直线l1的斜率不为0时，设直线l1的方程为，则直线l2的方程为y=﹣tx，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）联立方程，利用韦达定理、弦长公式，即可求得为定值．【解答】解：（Ⅰ）设A（0，y0），B（x0，0），P（x，y），则由已知可得：B为AP的中点，∴，即…2分又∵AB=1，∴，∴，即椭圆C的方程为…5分（Ⅱ）①当直线l1的斜率为0时，|MN|=4，|OP|•|OQ|=1，∴…6分②当直线l1的斜率不为0时，设直线l1的方程为，则直线l2的方程为y=﹣tx，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4）联立方程，消去x得，则，，∴…8分联立，消去y得（1+4t2）x2=4，，由椭圆的对称性可得…10分．∴综上所述为定值…12分．【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查了计算能力，弦长公式，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）=xlnx﹣x，g（x）=x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若f（x）和g（x）在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax（a∈R），若h（x）在定义域内有两个不同的极值点．（i）求a的取值范围；（ii）设两个极值点分别为x1，x2，证明：x1•x2＞e2．【分析】（Ⅰ）求导，求得f（x）的单调区间，由二次函数的性质即可求得a的取值范围；（Ⅱ）（i）求导h′（x）=lnx﹣ax，由方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根，方法一：根据函数图象直线y=ax与y=lnx有两个交点，求得y=lnx的切点，即可求得a的取值范围；方法二：构造函数g（x）=lnx﹣ax，求导，根据函数的单调性，即可求得a的取值范围；（ii）由题意可知：x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，则只需证明lnt＞，t＞1，构造辅助函数，根据函数的单调性，求得g（t）＞g（1）=0，即可证明lnt＞，成立，则x1•x2＞e2．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=xlnx﹣x，x＞0，求导f′（x）=lnx，令f′（x）=0，解得：x=1，则当f′（x）＞0，解得：x＞1，当f′（x）＜0时，解得：0＜x＜1，∴f（x）单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1），由g（x）=x2﹣ax（a∈R）在（1，+∞）单调递增，在（0，1）单调递减，则g（x）开口向上，对称轴x=1，则a＞0，∴a的取值范围（0，+∞）；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，函数h（x）=f（x）﹣g（x）﹣ax=xlnx﹣x﹣x2的定义域为（0，+∞），求导h′（x）=lnx﹣ax，则方程h′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根，即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根．（解法一）转化为，函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．…6分令切点A（x 0，lnx0），则k=y′=，又k=，=，解得，x0=1，于是k=，∴0＜a＜；…8分解法二：令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，求导g′（x）=﹣ax=（x＞0）若a≤0，可见g′（x）在（0，+∞）上恒成立，g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．…5分若a＞0，在0＜x＜时，g′（x）＞0，在x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，）上单调增，在（，+∞）上单调减，从而g（x）的极大值，g（x）=g（）=ln﹣1，…6分极大值又在x→0时，g（x）→﹣∞，在x→+∞时，g（x）→﹣∞，于是只须：g（x）极大值＞0，即ln﹣1＞0，∴0＜a＜，…7分综上所述，0＜a＜；…8分（ⅱ）证明：由（i）可知x1，x2，分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2，不妨设x1＞x2，作差得，ln=a（x1﹣x2），即a=，原不等式x1•x2＞e2等价于lnx1+lnx2＞2，则a（x1+x2）＞2，ln＞，令=t，则t＞1，ln＞，则lnt＞，…10分设g（t）=lnt﹣，t＞1，g′（t）=＞0，∴函数g（t）在（0，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（1）=0，即不等式lnt＞，成立，故所证不等式x1•x2＞e2成立．【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的最值，考查转化思想，分析法证明不等式成立，属于中档题．。
江西省九江一中09-10学年高二数学下学期期中考试(理)北师大版 新课标
江西省九江一中09-10学年高二下学期期中考试数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1 函数sin y x =在点x π=处的导数是（ ） Ａ．1- Ｂ． 1 Ｃ． 0 Ｄ．π2 函数2cos y x x =+在[0,]2π上取得最大值时，x 的值为（ ）A ．1B ．0C ．2π D ．6π 3 已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程是122y x =+，则(1)'(1)f f +的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1．4某班级要从4名男生和2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求 至少有1名女生，那么不同的选派方法有（ ） Ａ．14 Ｂ．24 Ｃ．28 Ｄ．48 5 函数323922yx x x x 有（ ）A ．极大值5，极小值27-B ．极大值5，极小值11-C ．极大值5，无极小值D ．极小值27-，无极大值 6 若 (x +12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为( ) A 6 B 7C 8D 97 函数214y x x=-单调递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．1(,)2-+∞ D ．),1(+∞ 8 定积分22|1|x dx -+⎰的值为（ ）A 3B 4C 5D 69 曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积为 （ ） A ．4 B ．2 C ．25D ．310 设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是( )11 过点(0,1)且与曲线()2ln x f x x =+在点(1,0)处切线垂直的直线方程是（ ）A 7440x y -+=B 7470x y --=C 4770x y --=D 4770x y +-=12 设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围是（ ）A 1[1,]2--B [1,0]-C [0,1]D 1[,1]2二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13若2010220100122010...(12)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则010********...()()()()a a a a a a a a ++++++++= 。
江西省学年高二数学下学期期中试题理(含解析)
因为 在 上，所以
【点睛】此题考查双曲线渐近线以及离心率，考查根本分析求解能力，属中档题.
15.一个棱长为8的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体，且能使该正四面体在铁盒内任意转动，那么该正四面体的棱长的最大值是____．
【答案】
【解析】
分析】
根据题意得正方体内切球为正四面体外接球时，正四面体的棱长的最大，据此可解得结果.
【答案】
【解析】
【分析】
先由极坐标与直角坐标的互化，得到两焦点的直角坐标，得到椭圆半焦距 ，再由椭圆的长半轴长为2，求出 ，进而可求出结果.
【详解】因为椭圆两焦点的极坐标分别为 ，
所以焦点的直角坐标为 ，即 ，
因此椭圆半焦距 ，设椭圆方程为 ，
又椭圆的长半轴长为2，即 ，所以 ，
因此，所求椭圆方程为 .
综上，可知方程 不能表示抛物线.
应选B
【点睛】此题主要考查曲线与方程，用分类讨论的思想即可求解，属于根底题型.
4. ，那么 的值是〔 〕
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求定积分，再解方程得结果.
【详解】因为 ，
所以 ，选C.
【点睛】此题考查定积分，考查根本分析求解能力，属根底题..
【点睛】此题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查根本分析求解能力，属中档题.
19.五面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形， ,CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4，AC= ， ．
〔1〕求证：AB 平面ADE；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
〔2〕求平面EBC与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
【答案】〔1〕见解析； 〔2〕 .
【详解】〔1〕小华同学“立定投篮〞合格的概率为 ，
江西省部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
江西省部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．已知函数()221f x x x =-+，则()f x 从1到1Δx +的平均变化率为（ ）A ．2B ．2Δ3x +C ．22(Δ)3Δx x +D ．22(Δ)Δ1x x -+ 2．曲线()()1e x f x x =+在0x =处的切线方程为（ ）A ．1y x =+B ．2y x =+C ．22y x =+D ．21y x =+ 3．一个质点做直线运动，其位移s （单位：米）与时间t （单位：秒）满足关系式522(3)2s t t =+--，则当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ）A ．10米/秒B ．8米/秒C ．6米/秒D ．12米/秒 4．下列导数运算正确的是（ ）A ．'=B ．()1x x a xa -'= C ．1ln x x '⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ．(sin )cos x x '=-5．已知函数()()32213f x x f x '=++，则()2f =（ ）A ．3B ．2C ．1-D ．1 6．若sin 2()x f x x =，则(π)f '=（ ） A ．2π B ．1π C ．2 D ．2π7．函数()e 2x f x x =-+在[]22-,上的值域为（ ） A ．23,e ⎡⎤⎣⎦ B ．23,e 4-⎡⎤+⎣⎦ C ．22e 4,e -⎡⎤+⎣⎦ D ．2e 1,e ⎡⎤+⎣⎦8．某工厂需要建一个面积为2512m 的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（ ）A ．16 m ，16mB ．32m ，16mC ．32 m ，8mD ．16m ，8m二、多选题9．若函数()f x 的导函数为()f x '，且()1ln e e f x x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，则（ ）A ．e e 1f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭B ．20e f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝C ．()2ln2f =D ．()1e f =10．下列求导运算正确的是（ ）．A ．322113x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．2ln 1ln x x x x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()22e 2e '=x xD ．()2cos 2sin x x x x '=-11．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为f ′ x ，且函数()()1y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 在()2,∞+上为增函数B ．函数()f x 在()2,1-上为增函数C ．函数()f x 有极大值()2f 和极小值f 1D ．函数()f x 有极大值()2f -和极小值()2f三、填空题12．已知函数()y f x =在1x =处的切线方程为43y x =-，求()(1)1f f '+=．13．已知函数()y f x =的导函数为()y f x ''=，定义方程()()f x f x '=的实数根0x 叫做函数()y f x =的“新驻点”.设()cos f x x =，则()y f x =在区间()0π，上的“新驻点”为． 14．某个体户计划同时销售A ，B 两种商品，当投资额为x ()0x >千元时，在销售A ，B 商品中所获收益分别为()f x 千元与()g x 千元，其中()2f x x =，()()4ln 21g x x =+，如果该个体户准备共投入5千元销售A ，B 两种商品，为使总收益最大，则B 商品需投千元．四、解答题15．求下列函数的导数.（每小题4分，需有答题过程）(1)cos ()e xx f x =； (2)()()22131y x x =-+；(3)()f x = (4)1cos sin x y x+=. 16．已知函数()2ln f x x ax x =++（a ∈R ），且()14f '=．(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()f x 的图象在点()()22f ,处的切线方程．17．已知函数2()f x x x =+与函数()ln 2g x x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程；(2)求曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的公切线方程．18．已知函数()()21e x f x x x =++．(1)求函数()f x 在0x =处的切线方程；(2)求函数()f x 的单调区间．19．高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20cm ，高为40cm 的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.(1)求该圆柱的侧面积的最大值；(2)求该圆柱的体积的最大值.。
江西省九江市2017-2018学年高二下学期期中考试数学理试题Word版含答案
江西省九江市2017-2018学年高二下学期期中考试数学理试题一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1、在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．=0()cos =2R θρρθ∈和B ．=()cos =22R πθρρθ∈和C ．=()cos =12R πθρρθ∈和 D ．=0()cos =1R θρρθ∈和2、若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:8D ．1:163、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则无论选择哪个方向为正视方 向，该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（ ）A ．1B C ．2D 4、已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ ）A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l5、如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB ∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=（ ）A ．8B ．9C ．10D ．116、设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m nC ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为（ ）A ．B ．C ．D ．8、设l 为直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ）A ．若//l α,//l β,则//αβB ．若l α⊥,l β⊥,则//αβC ．若l α⊥,//l β,则//αβD ．若αβ⊥,//l α,则l β⊥9、正方体ABCD —1A 1B 1C 1D 的棱上到异面直线AB ，C 1C 的距离相等的点的个数为（ ）A ．2B ．3 C. 4 D. 510、如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，错误．．的为 A ．O ABC -是正三棱锥 B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45D ．二面角D OB A --为45二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11、已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________ 12、在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中,异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为_______13、已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP | = ______.yxzOAB CDD 1 C 1B 1A 1D CAB14、设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）。
江西省九江市高二下学期期中考试理科数学试题 有答案
九江市同文中学下学期期中考试高二年级数学(理科)试卷一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．131i i +=-( )A 12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --2．已知命题:,25x p x R ∀∈=，则p ⌝为( )A 、,25x x R ∀∉=B 、,25x x R ∀∈≠C 、00,25x x R ∃∈=D 、00,25x x R ∃∈≠3．“46k <<”是“方程22164x y k k +=--表示椭圆”的 A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．抛物线y ＝2x 2的准线方程是( )A.x ＝－12B.x ＝12C.y ＝－18D.y ＝185．已知向量(1,1,0)a =，(1,0,2)b =-，且ka b +与2a b -互相垂直，则k 的值是( )A ．1B ．15C ．35D ．756．已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则0(1)(1)3lim x f x f x x →--+= A ．3 B ．23- C ．13 D ．32- 7．若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最小值为A．2-．12C．2+．18．已知命题p:[]022,:,0,2,122=-++∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x 命题.若命题p 且q 是真命题，则实数a 的取值范围为 ( )A. 12=-≤a a 或B.a ≤-2或1≤a ≤2C.a ≥1D.-2≤a ≤19．已知)2,4(是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程是( ) A ．02=-y x B ．042=-+y x C ．0432=++y x D ．082=-+y x10．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x '+>，若()1a f =，()22b f =--，11ln ln 22c f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是( )A ．a c b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c a b <<11．过双曲线()0,012222>>=-b a b y a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ，O 为原点，若()+=21，则双曲线的离心率为( ) A.251+ B.231+ C.7224- D.7224+12．已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1),x ∈2x ∈()1,+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(]1,3B ． ()3,+∞C ．()1,3D ．[)3,+∞二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分) 13．椭圆22259x y +＝1的两焦点为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于P 、Q ，则△PQF 2的周长为________．14．已知(2,1,2)a =-，(1,3,3)b =--，(13,6,)c λ=，若向量,,a b c 共面，则λ= ．15．函数()2, 0,2,x x f x x -≤⎧⎪=<≤，则()22f x dx -⎰的值为16．函数()y f x =图像上不同的两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是,A B k k ，规定(),A B k k A B AB ϕ-=叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数321y x x =-+图像上两点A 与B 的横坐标分别为1,2，则(),A B ϕ> ②存在这样的函数，图像上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A 、B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；④设曲线x y e =上不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且121x x -=，若t ⋅(),1A B ϕ<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞．以上正确命题的序号为 ．三、解答题(本题共6小题，17题10分，其余每题12分)17．设命题312:≤-x p ；命题0)1()12(:2≤+++-a a x a x q ，若q ⌝是p ⌝的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。
江西省高二下学期期中数学试卷(理科)
江西省高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高二下·宁波期中) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）函数的图像如图所示，如果，且，则=（）A . 1B .C .D .3. （2分）“-3<m<-1”是方程表示双曲线的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）已知{an}是等比数列，则（）A . 16（）B . 16（）C . （）D . （）5. （2分）(2017·枣庄模拟) 不等式组表示的点集M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则P∈N的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）已知a=， b=20.3 ， c=0.30.2 ，则a，b，c三者的大小关系是（）A . b＞c＞aB . b＞a＞cC . a＞b＞cD . c＞b＞a7. （2分）把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起形成三棱锥C－ABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二上·夏津月考) 已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则（）A . 1B . -1C .D .9. （2分）执行如图所示的程序框图，如果输入x，t的值均为2，最后输出S的值为n，在区间[0，10]上随机选取一个数D，则D≤n的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）设m＞1，在约束条件下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为（）A . (1，1＋)B . (1+，＋∞)C . (1，3)D . (3，＋∞)11. （2分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数．当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0（a，b∈R），有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是（）A . （﹣，﹣）B . （﹣，﹣1）C . （﹣，﹣）∪（﹣，﹣1）D . （﹣，﹣1）12. （2分）设是两条直线，是两个平面，下列能推出的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·秦淮模拟) 已知复数（是虚数单位），则的共轭复数为________．14. （1分）（2x﹣1）10=a0+a1x+a2x2+…+a9x9+a10x10 ，则a2+a3+…+a9+a10=________．15. （1分） (2019高一上·砀山月考) 对于函数，给出下列四个命题：①该函数是以为最小正周期的周期函数；②当且仅当时，该函数取得最小值是-1；③该函数的图象关于直线对称；④当且仅时， .其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上)16. （1分） (2017高二上·红桥期末) 已知双曲线﹣ =1的左右焦点分别为F1 ， F2 ，过F1的直线与左支相交于A，B两点，如果|AF2|+|BF2|=2|AB|，则|AB|=________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分） (2016高二上·商丘期中) 已知数列{an}满足（an+1﹣1）（an﹣1）=3（an﹣an+1），a1=2，令．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等差数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式．18. （15分）为了了解培训讲座对某工厂工人生产时间（生产一个零件所用的时间，单位：分钟）的影响．从工厂随机选取了200名工人，再将这200名工人随机的分成A，B两组，每组100人．A组参加培训讲座，B组不参加．培训讲座结束后A，B两组中各工人的生产时间的调查结果分别为表1和表2．表1：生产时间[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）人数30402010表2生产时间[60，65）[65，70）[70，75）[75，80）[80，85）人数1025203015（1）甲、乙两名工人是随机抽取到的200名工人中的两人，求甲、乙分在不同组的概率；（2）完成图3的频率分布直方图，比较两组的生产时间的中位数的大小和两组工人中个体间的差异程度的大小；（不用计算，可通过直方图直接回答结论）（3）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“工人的生产时间”与参加培训讲座有关？生产时间小于70分钟生产时间不小于70分钟合计A组工人a=b=B组工人c=d=合计n=下面临界值表仅供参考：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.010.0050.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828．19. （10分） (2019高三上·抚州月考) 如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为线段，上的点，且，， .（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角．20. （5分）(2017·沈阳模拟) 如图，椭圆C1： =1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1 ， C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1 ， S2 ．问：是否存在直线l，使得 = ？请说明理由．21. （15分） (2019高三上·日照期中) 已知函数，（为常数）．（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值；（2）若，且，证明：；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．22. （10分）(2020·大连模拟) 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为；直线l的参数方程为（t为参数）.直线l 与曲线C分别交于M，N两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若点P的极坐标为，，求的值.23. （10分）(2018·汉中模拟) 已知函数， .（1）若，解不等式；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共70分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。
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江西省九江市高二下学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2017高二下·湖北期中) 已知函数f（x）=x2+ ，则“a＜2”是“函数f（x）在（1，+∞）上为增函数”的（）
A . 充分而不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
2. （2分）在极坐标系中，直线θ= （ρ∈R）与曲线ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0相交M，N两点，则|MN|=（）
A .
B .
C . 2
D .
3. （2分） (2017高二下·湖北期中) 某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3000人，计算发现K2的观测者k=6.023，根据这一数据查阅如表：
P（K2≥k0）0.500.400.250.150.100.50.0250.0100.0050.001
K00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
得到的正确结论是（）
A . 有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望无关”
B . 有97.5%以上的把握认为“市民收入增减与旅游愿望有关”
C . 在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望无关”
D . 在犯错误的概率不超过0.25%的前提下，认为“市民收入增减与旅游愿望有关”
4. （2分） (2020高二下·开鲁期末) 某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（）（已知若，则，，
）
A . 1140
B . 1075
C . 2280
D . 2150
5. （2分）从[0，10]中任取一个数x，从[0，6]中任取一个数y，则使|x﹣5|+|y﹣3|≤4的概率为（）
A .
B .
C .
D .
6. （2分）某地一农业科技实验站，对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，种子发芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地抽取一粒，则这粒水稻种子能成长为幼苗的概率为（）
A . 0.02
B . 0.08
C . 0.18
D . 0.72
7. （2分）设的三边分别为a，b，c，面积为S ,内切圆半径为r,则，类比这个结论可知：四面体S-ABC的四个面面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球半径为，四面体S-ABC的体积为V,则r＝（）
A .
B .
C .
D .
8. （2分）(2017·宝清模拟) 在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在a、b、c三家酒店选择一家，且这三家至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（）
A . 96种
B . 124种
C . 130种
D . 150种
9. （2分）极坐标方程和参数方程(t为参数）所表示的图形分别是（）
A . 直线，直线
B . 直线，圆
C . 圆，圆
D . 圆，直线
10. （2分） y=x2+2在x=1处的导数为（）
A . 2x
B . 2
C . 2+△x
D . 1
11. （2分） (2019高二下·顺德期末) 已知，则（）
A . 36
B . 40
C . 45
D . 52
12. （2分）函数的图像大致是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2018高二下·长春期末) 若，则 ________．
14. （1分）在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是________．
15. （1分） (2017高二下·资阳期末) 如图，圆O：x2+y2=16内的正弦曲线y=sinx，x∈[﹣π，π]与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机向圆O内投一个点P，记A表示事件“点P落在一象限”，B表示事件“点P落在区域M内”，则概率P（B|A）=________．
16. （1分） (2016高二上·徐州期中) 设α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥n，n是平面α内任意的直线，则m⊥α；
②若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m则n⊥β；
③若α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．
其中正确命题的序号为________．
三、解答题 (共6题；共65分)
17. （10分）(2018·中山模拟) 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为： ( 为参数， )，曲线的极坐标方程为： .
（1）写出曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于两点，若，求直线的斜率.
18. （15分） (2016高二上·宜昌期中) 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？
19. （10分）四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱长相等，底面ABCD为正方形，M为PB的中点．
（1）求证：PD∥平面ACM；
（2）若PA=AB，求异面直线PD与DM所成角的正弦值．
20. （5分）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
21. （15分）(2016·新课标Ⅱ卷理) 某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求P（X≤n）≥0.5，确定n的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
22. （10分） (2015高三上·锦州期中) 已知函数．
（1）当a＜0时，若∃x＞0，使f（x）≤0成立，求a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）﹣（a+1）x，a∈（1，e]，证明：对∀x1 ，x2∈[1，a]，恒有|g（x1）﹣g（x2）|＜1．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共65分)
17-1、
17-2、
18-1、
18-2、
18-3、
19-1、19-2、
20-1、
21-1、21-2、21-3、
22-1、22-2、。