千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第52炼证明等差等比数列
第52炼 等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。
一、基础知识：1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列 （1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差），1n na q a +=（等比） （2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =⋅≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），nn S k q k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列： （1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N *∀∈，均有：122n n n a a a ++=+ （等差） 212n n n a a a ++=⋅ （等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521nn n a a a n N a *+==∈+． 求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列 思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在1na 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121213n n n n n na a a a a a +++=⇒=+即112133n n a a +=+，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +⎛⎫-=+-=- ⎪⎝⎭即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列思路二：代入法：将所证数列视为一个整体，用n b 表示：11n nb a =-，则只需证明{}n b 是等比数列即可，那么需要关于n b 的条件（首项，递推公式），所以用n b 将n a 表示出来，并代换到n a 的递推公式中，进而可从n b 的递推公式出发，进行证明 解：令11n n b a =-，则11n n a b =+ ∴ 递推公式变为：11311311113211n n n n n b b b b b +++=⇒=+++⋅++1113333n n n n b b b b ++⇒+=+⇒={}n b ∴是公比为13的等比数列。
即数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列小炼有话说：（1）构造法：在构造的过程中，要寻找所证数列形式的亮点，并以此为突破对递推公式进行变形，如例1中就是抓住所证数列有一个“倒数”的特点，进而对递推公式作取倒数的变换。
所以构造法的关键之处在于能够观察到所证数列显著的特点并加以利用（2）代换法：此方法显得模式化，只需经历“换元→表示→代入→化简”即可，说两点：一是代换11n nb a =-体现了两个数列{}{},n n a b 的一种对应关系，且这种对应是同序数项的对应（第n 项对应第n 项）；二是经过代换，得到{}n b 的递推公式，而所证n b 是等比数列，那么意味着其递推公式经过化简应当形式非常简单，所以尽管代入之后等式复杂，但坚定地化简下去，通常能够得到一个简单的答案。
个人认为，代入法是一个比较“无脑”的方法，只需循规蹈矩按步骤去做即可。
例2：数列{n a }的前n 项和为n S ，2131(*)22n n S a n n n N +=--+∈（*）．设n n b a n =+，证明：数列{}n b 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式思路：本题所给等式,n n S a 混合在一起，可考虑将其转变为只含n a 或只含n S 的等式，题目中n n b a n =+倾向于项的关系，故考虑消掉n S ，再进行求解解：213122n n S a n n +=--+ ① ()()()211131112,22n n S a n n n n N --+=----+≥∈ ②∴ ①- ②可得：112121n n n n a a n a a n ---=--⇒=--()()()1112112n n n n a n a n a n a n --∴+=+-⇒+=+-⎡⎤⎣⎦ 即112n n b b -= {}n b ∴是公比为12的等比数列 111b a =+ 令1n = 代入（*）可得：11131122S a +=--+=- 112a ∴=- 112b ∴=111122n n n b b -⎛⎫⎛⎫∴=⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 12nn n a b n n ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭小炼有话说：（1）遇到,n n S a 混合在一起的等式，通常转化为纯n a （项的递推公式）或者纯n S （前n 项和的递推公式），变形的方法如下：① 消去n S ：向下再写一个关于1n S -的式子（如例2），然后两式相减（注意n 取值范围变化） ② 消去n a ：只需1n n n a S S -=-代换即可（2,n n N ≥∈）（2）,n n S a 混合在一起的等式可求出1a ，令1n =即可（因为11S a =）（3）这里体现出n n b a n =+的价值：等差等比数列的通项公式是最好求的：只需一项和公差（公比），构造出等差等比数列也就意味这其通项可求，而通过n n b a n =+也可将n a 的通项公式求出。
这里要体会两点：一是回顾依递推求通项时，为什么要构造等差等比数列，在这里给予了一个解释；二是体会解答题中这一问的价值：一个复杂的递推公式，直接求其通项公式是一件困难的事，而在第一问中，恰好是搭了一座桥梁，告诉你如何去进行构造辅助数列，进而求解原数列的通项公式。
所以遇到此类问题不要只停留在证明，而可以顺藤摸瓜将通项一并求出来例3：已知数列{}n a 满足：1116,690,n n n a a a a n N *--=-+=∈且2n ≥，求证：13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列 解：设13n n b a =-，则13n na b =+代入11690n n n a a a ---+=可得：11111336390n n n b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-⋅++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111133691890n n n n n b b b b b ---⇒+++--+= 111330n n n n b b b b --⇒-+=113n n b b -⇒-= {}n b ∴为等差数列，即13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列例4：已知曲线:1C xy =，过C 上一点(),n n n A x y 作一斜率为12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点()111,n n n A x y +++（1n n x x +≠且0n x ≠，点列{}n A 的横坐标构成数列{}n x ，其中1117x =. （1）求n x 与1n x +的关系式； （2）令1123n n b x =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； 解：（1）曲线1:C y x=()1:2n n n l y y x x x -=--+()11111121n n n n n n n nn y xy y x x x y x ++++⎧=⎪⎪⎪∴-=--⎨+⎪⎪=⎪⎩12n n n x x x +∴=+（2）11121233n n n n b x x b =+⇒=+--，代入到递推公式中可得：11112222111333n n n b b b +⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭11111112211111133422=411133333333n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b +++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⇒++-+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭---()()11111211444439339n n n n n n n n n b b b b b b b b b +++++⇒+++=-+-++()()1112433n n n n n b b b b b +++⇒+=-+ 12n n b b +⇒=- {}n b ∴是公比为2-的等比数列小炼有话说：本题（2）用构造法比较复杂，不易构造出n b 的形式，所以考虑用代入法直接求解例5：已知数列{}n a 满足()()1146410,21n n n a n a a a n N n *++++==∈+，判断数列221na n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出n a 解：设()221221n n n n a b a n b n +=⇒=+-+ 代入到()14641021n n n a n a n ++++=+可得：()()()14621241023221n n n n b n n b n +++-++⎡⎤⎣⎦+-=+()()()()123214222321812410n n n n b n n n b n n +⇔++--=++--++ ()()()()1232122321n n n n b n n b +⇔++=++12n n b b +⇔=而112233a ab ++==∴① 2a =-时，10b =，{}n b 不是等比数列② 2a ≠-时，{}n b 是等比数列，即221n a n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为等比数列 11222213n n a a n -++∴=⋅+ ()()1221223n n a n a -++∴=⋅-例6：（2015山东日照3月考）已知数列{}n a 中，111,1,33,n n n a n n a a a n n +⎧+⎪==⎨⎪-⎩为奇数为偶数，求证：数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列 思路：所证数列为232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，可发现要寻找的是{}n a 偶数项的联系，所以将已知分段递推关系转变为2n a 与()21n a -之间的关系，再进行构造证明即可证明：由11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数可得：()2211213n n a a n -=+- ()2122322n n a a n --=-⋅-()2221322213n n a a n n -∴=--+-⎡⎤⎣⎦ 22222112221133n n n a a n n a --∴=-++-=+222223111323232n n n a a a --⎛⎫∴-=-=- ⎪⎝⎭∴数列232n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列例7：（2015湖北襄阳四中阶段性测试）已知数列{}n a 满足11a =，且对任意非负整数(),m n m n >均有： ()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+ （1）求02,a a（2）求证：数列{}1m m a a +-是等差数列，并求出n a 的通项公式 解：（1）令m n =可得：202011m m a a a a +-=⇒=再令0n =可得：()201212m m a m a a +-=+ 2423m m a a m ∴=+- 21413a a ∴=-= 021,3a a ∴==（2）思路：考虑证明数列{}1m m a a +-是等差数列，则要寻找1m m a a +-，1m m a a --的关系，即所涉及项为11,,m m m a a a +-，结合已知等式令1n =，利用（1）中的2423m m a a m =+-，将2m a 代换为m a 即可证明，进而求出通项公式 证明：在()22112m n m n m n a a m n a a +-++--=+中令1n =得： ()1122122m m m a a m a a +-++-=+ 11222224m m m a a m a a +-∴++-=+由（1）得22423,3m m a a m a =+-=代入可得：11222442m m m a a m a m +-∴++-=+()()1111222m m m m m m m a a a a a a a +-+-∴+-=⇒---=∴ 数列{}1m m a a +-是公差为2的等差数列()()121212m m a a a a m m +∴-=-+-= ()121m m a a m -∴-=-()-1222m m a a m --=-212a a -=()()121211m a a m m m ∴-=+++-=-⎡⎤⎣⎦()11m a m m ∴=-+例8：（2010 安徽，20）设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0，求证：{}n a 是等差数列的充分必要条件是：对n N *∀∈都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=思路：证明充要条件要将两个条件分别作为条件与结论进行证明，首先证明必要性，即已知等差数列证明恒等式。
等差数列和等比数列的证明问题 -高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品
高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第二篇数列与不等式专题05等差数列和等比数列的证明问题【典例1】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+.（1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由.【思路引导】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列.（2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.【典例2】已知数列{}n a 有0n a ≠，n S 是它的前n 项和，13a =且22213,2n n n S n a S n -=+≥．（1）求证：数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）求{}n a 的前n 项和n S .【思路引导】（1）先化简已知得21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，再求出1=6n 3n n a a +++，再证明数列{}1n n a a ++为等差数列；（2）对n 分奇数和偶数两种情况讨论得解.【典例3】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列；（2）求{a n }和{b n }的通项公式.【思路引导】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果．【典例4】已知数列{}n a 满足11a =，且1131n n n n a a a a ++-=+.（1）证明数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若21nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S .【思路引导】(1)由1131n n n n a a a a ++-=+，利用定义能证明11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，从而求出21na n =-；(2)由1221nn n n b n a -==⋅+，利用错位相减法即可求得数列{}n b 的前n 项和.【典例5】在正项数列{}n a 中，已知11121n n n n a a a a a ++=-=+,且22nn a b =-.（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）设{}n b 的前n 项和为n S ，证明：123111134n S S S S +++⋯+<.【思路引导】(1)由题设条件证明数列{}2n a 是等差数列，并得出数列{}2n a 的通项公式，进而得出21n b n =+，再由等差数列的定义证明即可；(2)由等差数列的前n 项和公式得出n S ，再由裂项求和法证明不等式.【典例6】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n =．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【思路引导】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =；（2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n na n-=，从而求得12n n a n -=⋅.【典例7】一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P-和1n P -表示n P ；(2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列；(3)求玩该游戏获胜的概率．【思路引导】(1)在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点,可求出1P ，棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，②前两次掷骰子出现奇数点，可求出2P .棋子跳到第站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点,②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点,进行求解.(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--可证.(3)该游戏获胜的概率,即求99P ，由（2）用累加法可求解.1.在数列{}n a 中，有()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N .（1）证明：数列{}n a 为等差数列，并求其通项公式；（2）记11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .2.已知数列{}n a 中，11a =且()*12621n n a a n n N +=+-∈（1）求证：数列2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．3.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n n S a n =-，*n ∈N .（1）求证：数列{}1n a +为等比数列；（2）若()2log 1n nb a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .4.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =，1122n n n a a b +=+，1122n n nb a b +=+.（1）证明：数列{}n n a b +，{}n n a b -为等比数列；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：103n S <.5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a n =+.（1）证明：数列{}23n a n --是等比数列；（2）设2n n b n a =-，证明：1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<.6.设*n N ∈，向量(31,3)AB n =+ ，(0,32)BC n =-，na AB AC =⋅ .（1）试问数列{}1n n a a +-是否为等差数列？为什么？（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .7.已知数列{}n a 满足13a =，()1211n n a a n n n n +=+++.（1）证明：数列{}n na 为等差数列；（2）设()()122n n n b a a +=--，求数列{}n b 的前n 项和n S .8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，132n n S S +=+，n *∈N .（1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）已知曲线()22:191n n C x a y +-=若n C 为椭圆，求n 的值；（3）若33log 22n n n a a b ⎛⎫⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．9.已知数列｛n a ｝的前n 项和为Sn ，1232a a a +=，且对任意的n ∈N*，n≥2都有1112(25)n n n nS n S S ra +--++=．（1）若1a ≠0，213a a =，求r 的值；（2）数列｛n a ｝能否是等比数列？说明理由；（3）当r ＝1时，求证：数列｛n a ｝是等差数列．10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比22340,22,2q S a S a >=-=-.数列{}n b 满足()2*2114,(1)n n a b nb n b n n n N +=-+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（3）设数列{}n c 的通项公式为：24n nn n n a b n c a b n ⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，其前n 项和为n T ，求2n T .11.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i = 为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．参考答案【典例1】解：（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =，由题意得10n a +≠，1122211n n n n a a a a +++==++，∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）12nn a +=，∴21nn a =-.∴11222212n n n S n n ++-=-=---，∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，∴2nn n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.【典例2】解：（1）当2n ≥时，22221113()()3,0n n n n n n n n n S n a S S S S S n a a ---=+-+=≠，所以21()3n n S S n -+=，21()3(1)n n S S n ++=+，两式对应相减得13(21)n n a a n ++=+，所以11)63(63)6n n n n a a a a n n +-=+-++-=）-(（又n=2时，2222(3+)129,6a a a =+∴=所以39a =，所以2231)69(6+3)6a a a a ++=+-=（）-(，所以数列{}1n n a a ++为等差数列.（2）当n 为偶数时，12341()()()3(37(21))n n n S a a a a a a n -=++++++=+++- 2(321)323()22nn n n +-=⋅=+当n 为奇数时，1231()()n n n S a a a a a -=+++++21(521)3233(59(21))33(2)322n n n n n -+-=++++-=+=+-+ ()23n n 2=+综上：()23S n n 2n =+【典例3】解：(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b +=，111a b -=，所以1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-，即()1112n n nn a b ab ++++=，所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，(112n n n a b -+=，因为()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-，所以112n n n n a b a b ++=-+-，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n a b n -=-．(2)由(1)可知，(112n n n a b -+=，21n n a b n -=-，所以()111222nn nn n n a ab a b n =++-=+-，()111222nn n n n n b a b a b n 轾=+--=-+臌．【典例4】解：（1）因为1131n n n n a a a a ++-=+，所以113n n n a a a +-=+，两边都加上1，得()12113n n n a a a +++=+，所以111211112121n n n a a a +⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭，即1111112n na a +-=++，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以12为公差的等差数列，且首项是11112a =+，所以112n n a =+，即21n a n=-.（2）因为1221nn n n b n a -==⋅+，所以数列{}n b 的前n 项和1211122322n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，①则12321222322nn S n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅，②由①－②，得()121111212122121n n n n S n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅=--，所以()121nn S n =-⋅+.【典例5】解：（1）∵112n n n na a a a ++-=+∴2212n n a a +-=，∴数列{}2n a 是公差为2的等差数列.∵11a =∴()2211121n a a n ==+-，，∴221n a n =-，∴22n n a b =-，∴22n n b a =+，∴21n b n =+，∴()123211n n b b n n +-=+-+=，∴数列{}n b 是等差数列.（2）由（1）可得∴()()32122n n n S n n ++==+，∴111122n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∴1231111n S S S S ++++…，11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ (1111311131221242124)n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.【典例6】解：（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅．【典例7】解：(1)棋子开始在第0站是必然事件，所以01P =．棋子跳到第1站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，其概率为12，所以112P =．棋子跳到第2站，包括两种情形，①第一次掷骰子岀现偶数点，其概率为12；②前两次掷骰子出现奇数点，其概率为14，所以2113244P =+=．棋子跳到第(299)n n 站，包括两种情形，①棋子先跳到第2n -站，又掷骰子出现偶数点，其概率为212n P -；②棋子先跳到第1n -站，又掷骰子出现奇数点，其概率为112n P -．故211122n n n P P P --=+．(2)由(1)知，211122n n n P P P --=+，所以112(1)2n n n n P P P P ----=--．又因为1012P P -=-，所以1{}(1,2,,100)n n P P n --= 是首项为12-，公比为12-的等比数列．(3)由(2)知，11111222n nn n P P --⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以9999989897100()()()P P P P P P P P =-+-++-+ 99981111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭99111221112⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=+⎛⎫-- ⎪⎝⎭10021132⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以玩该游戏获胜的概率为10021132⎛⎫- ⎪⎝⎭．1.【思路引导】（1）由前n 项和与通项关系，求出{}n a 的通项公式，再利用等差数列的定义，即可证明；（2）求出数列{}n b 的通项公式，用裂项相消法，即可求解.解：（1）因为()2*1232n a a a a n n n +++⋯+=+∈N，所以当2n ≥时，212312((11))n a a a a n n -+++⋯+=--+，上述两式相减并整理，得21(2)n a n n =+≥.又因为1n =时，211213a =+⨯=，适合上式，所以()*21n a n n =+∈N .从而得到121n an -=-，所以12n n a a --=，所以数列{}n a 为等差数列，且其通项公式为()*12n N a n n +∈=.（2）由（1）可知，111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅+⋅+++⎝⎭.所以12311111111123557792123n n T b b b b n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11123233(23)n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭.2.【思路引导】（1）根据递推公式可得111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n n a a a +++++-++===+++,即可证明；（2）由（1）1322n n na =⨯-,进而利用分组法求得数列的和即可解：（1）证明：∵()12621N*n n a a n n +=+-∈,∴1132n n a a n +=+-,∴111133322223222n n n n n n n n a a n a n n n a a a +++++-++===+++,11131222a +=+= ,∴2n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列,首项为32,公比为3（2）解：由（1）得,13133222n n n n a -+=⨯=⨯,∴1322n n na =⨯-,123n n S a a a a =++++……()()12311333312322n n =++++-++++…………()()()23133311112132244n n n n n n --++=-=--12334n n n +---=3.【思路引导】（1）利用1n n n a S S -=-可得121n n a a -=+，再证明111n n a a -++是定值即可；（2）将1n a +代入()2log 1n n b a =+，然后利用裂项相消法求和.解：（1）由题可知2n n S a n =-，①当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n ≥时，()1121n n S a n --=--，②①－②并整理，得121n n a a -=+，所以()1121n n a a -+=+，所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列；（2）由（1）知()22log 1log 2nn n b a n =+==，则()1111111n n b b n n n n +==-++，所以12233411111n n n T b b b b b b b b +=+++⋅⋅⋅+111111111223341n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+1n n =+.4.【思路引导】（1）将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证．（2）根据（1）结论可求出1344n nn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则前n 项和n S 为两个等比数列的前n 项和之和，代入公式，即可求解．解：（1）依题：11122122n n n n n n a a b b a b++⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，两式相加得：()1134n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +为等比数列，两式相减得：()1114n n n n a b a b ++-=-，∴{}n n a b -为等比数列.（2）由上可得：13324n n n a b -⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，11124n n n a b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭②，两式相加得：1344nnn a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1133114444131144n n n S ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--1310441331144<+=--.5.【思路引导】（1）由已知当2n ≥时，可得11221n n n n S n S a a --=--+=，整理为[]12322(1)3n n a n a n ---=---，根据等比数列的定义，即可证明结论；（2）由（1）求出n a ，进而求出323nn b =⨯-，根据()111232321nn n b =≤⨯-(1n =取等号），要证1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立，转化为证等比数列12{}32n ⨯前n 项和小于或等于23，即可证明结论.解：（1）当2n ≥时，由221122(1)n n n n S a n S a n --⎧=+⎨=+-⎩1221n n a a n -⇒=-+[]12322(1)3n n a n a n -⇒--=---，令1n =1121S a ⇒=+11a ⇒=-，则12360,230n a a n --=-≠∴--≠，12322(1)3n n a n a n ---=---故{}23n a n --为等比数列；（2）由（1）得1236232n n n a n ---=-⋅=-⨯，2332n n a n =+-⨯，323n n b =⨯-，()111232321n n n b =≤⨯-111(132n n -=⨯=时，取等号），所以原式01111322n -⎡⎤≤⨯+⋅⋅⋅+⎢⎥⎣⎦111211312n ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⨯-2121323n ⎡⎤⎛⎫=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1211123n b b b ++⋅⋅⋅+<成立.6.【思路引导】(1)先求解出AC的坐标表示，然后根据数量积的坐标表示求解出{}n a 的通项公式，再根据定义判断{}1n n a a +-是否为等差数列；(2)根据(1)中结果求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后根据裂项相消法求解出n S 的表达式.解：（1）(31,31)AC AB BC n n =+=++，2(31)3(31)(31)(34)n a n n n n ∴=+++=++.1(34)(37)(31)(34)6(34)n n a a n n n n n +-=++-++=+ ，()()21118n n n n a a a a +++∴---=为常数，{}1n n a a +∴-是等差数列.（2）111133134n a n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，1111111111347710313434341216n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ .7.【思路引导】（1）在等式()1211n n a a n n n n +=+++两边同时乘以()1n n +，结合等差数列的定义可证明出数列{}n na 为等差数列；（2）结合（1）中的结论求出数列{}n a 的通项公式，进而求出数列{}n b 的通项公式，然后利用裂项求和法求出数列{}n b 的前n 项和n S .解：（1）由()1211n n a a n n n n +=+++得()112n n n a na ++-=，又13a =，所以数列{}n na 首项为3，公差为2的等差数列；（2）由（1）得，()32121n na n n =+-=+，所以2112n n a n n+==+.所以11222n a n n ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以1121n a n +-=-+，所以()()()11112211n n n b a a n n n n +=--==-++，所以1111111111112233445111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.8.【思路引导】（1）利用{}n S 的递推公式证明出111n n S S +++为非零常数，即可得出结论；（2）利用（1）中的结论求出n S ，由n a 与n S 之间的关系求出n a ，结合题意得出190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，可求出n 的值；（3）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用错位相减法求出n T .解：（1）对任意的n *∈N ，132n n S S +=+，则1133311n n n n S S S S +++==++且113S +=，所以，数列{}1n S +是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得11333n n n S -+=⨯=，31n n S ∴=-.当2n ≥时，()()111313123nn n n n n S a S ---=-=---=⨯，12a =也适合上式，所以，123n n a -=⨯.由于曲线()22:191n n C x a y +-=是椭圆，则190191n n a a ->⎧⎨-≠⎩，即1123192318n n --⎧⨯<⎨⨯≠⎩，n N *∈ ，解得1n =或2；（3）11333log 3log 3322n n n nn n a a b n --⎛⎫⎛⎫=⨯==⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，01211323333n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++⋅ ，①()12131323133n n n T n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅ ，②①-②得()()012111312312333333132n n n nnnn T n n -⨯--⋅--=++++-⋅=-⋅=- ，因此，()21314n nn T -⋅+=.9.【思路引导】（1）令2n =，得到321149S S S ra -+=，再将和用项来表示，再结合条件，求得结果；（2）假设其为等比数列，利用21112a a q a q +=，结合10a ≠，得到关于q 的方程，求解得出2q =或1q =-，将其回代检验得出答案；（3）将r ＝1代入上式，类比着写出()()1114213n n n S n a a ra n --=---≥，两式相减得到()()112233n n n na a n a n +-+=+≥，进一步凑成()1124n n n n a a a a n ----=-≥，结合322112a a a a a -=-=，从而证得数列{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列.解：（1）令n ＝2，得：321149S S S ra -+=，即：()()321211149a a a a a a ra ++-++=，化简，得：3211454a a a ra --=，因为，1232a a a +=，213a a =，所以，111145534a a a ra ⨯-⨯-=，解得：r ＝1.（2）假设{}n a 是等比数列，公比为q ，则21112a a q a q +=，且10a ≠，解得2q =或1q =-，由()111225n n n nS n S S ra +--++=，可得()11422n n n S na a ra n +=--≥，所以()()1114213n n n S n a a ra n --=---≥，两式相减，整理得()11223n n n na a n a +-+=+，两边同除以1n a -，可得()2231n q q q -=-，因为1q ≠，所以20q q -≠，所以上式不可能对任意3n ≥恒成立，故{}n a 不可能是等比数列.（3）1r =时，令2n =，整理得1231454a a a ra --+=，又由1232a a a +=可知21313,5a a a a ==，令3n =，可得4321611S S S a -+=，解得417a a =，由（2）可知()11422n n n S na a a n -=--≥，所以()()1114213n n n S n a a a n --=---≥，两式相减，整理得()()112233n n n na a n a n +-+=+≥，所以()()()2121214n n n n a a n a n ---+=+≥，两式相减，可得()()()()()()1111224n n n n n n n n n a a a a a a a a n +-------=---≥，因为()()43320a a a a ---=，所以()()()11204n n n n a a a a n ------=≥，即()1124n n n n a a a a n ----=-≥，又因为322112a a a a a -=-=，所以数列{}n a 是以1a 为首项，21a 为公差的等差数列.10.【思路引导】(1)由题意分别求得数列的首项和公比即可确定数列的通项公式；(2)由题意结合递推关系证明1n 1n b b n n +-+为定值即可证明数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(3)首项求得212n n n p c c -=+的表达式，然后结合通项公式的特点错位相减即可确定数列{}n c 的前n 项和n T .解：（1）∵等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比22340,22,2q S a S a >=-=-.∴3422a a a =-，可得()2222a q a q =-，∴220q q --=，解得2q =.∴12222a a a +=-，即121222a a a =-=-，解得12a =.∴2n n a =.（2）证明：∵214a b =，∴11b =∵21(1)n n nb n b n n +-+=+，∴*1n 1,1n b b n N n n +-=∈+，综上，n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111b =，公差是1的等差数列.∵n b n n =，∴2n b n =.（3）令22122221212(21)2(2)2(41)2(41)424n nn n n n n n n p c c n n -----⋅⋅=+=-+=-⋅=-⋅012123474114(41)4n n T n -=⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⋅123243474114(41)4nn T n =⨯+⨯+⨯+⋯⋯+-⋅01231233444444444(41)4n n n T n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯⋯+⋅--⋅,()12161433(41)414n nn T n -⨯--=+--⋅-2164334(41)433n nn T n -=-+⨯--⋅277123433n n n T --=-+⋅27127499n n n T -=+⋅.11.【思路引导】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .解：（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：X1-01P ()1αβ-()()11αβαβ+--()1αβ-（2）0.5α= ，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7ii i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅{}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i ii i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===-18341p ∴=-()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.。
2022届高三数学高考二轮专题复习：等差、等比数列
2022 年高三数学第二轮专题复习——等差、等比数列考大纲求：1.理解等等比数列的观点 .2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式 .3.能在详细的问题情境中辨别数列的等差、等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.4.认识等差数列与一次函数的关系，认识等比数列与指数函数的关系.考点回首：等差、等比数列是最重要的、最基本的数列模型，因此也是高考要点观察的对象，从近几年的高考看，观察既有选择题、填空题，也有解答题，，既有简单题和中档题，也有难题.客观题一般“小而巧” ，观察平等差、等比数列观点的理解、性质的灵巧运用，主观题则一般“大而全”，除了观察数列的观点、性质、公式的应用外，还常常与其余知识交融在一同，同时也考查分类议论、等价转变、函数与方程等数学思想方法的灵巧应用.考试说明平等差、等比数列都提出了较高的要求，所以，等差、等比数列的综合问题应用问题将是2022 年高考对数列考查的要点 .基础知识过关：等差数列1.等差数列的定义：假如一个数列从第项起，每一项与他的前一项的差都等于，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的.2.等差数列：在一个等差数列中，从第二项起每一项（有穷数列最有一项除外）都是它前一项与后一项的等差中项，即2a n（ n N *且 n 2 ）.3.等差数列的单一性当 d>0 时，是数列；当 d=0 时，是数列；当 d<0 时，是数列 .4.等差数列的前n 项和是用法求得的，要注意这类思想方法在数列乞降中的应用.5.等差数列的通项公式=，前 n 项和公式 ==，两个公式一共波及到五个量 a1, a n , d, n, s n，知其三就能求另二.等比数列：1.等比数列的定义：一般的，假如一个数列从起，每一项与他的的比等于常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比往常用字母()表示 .2.设等比数列的首项为，公比为q,则它的通项 =.3.等比中项：假如三个数a、 G、 b构成，则 G 叫做 a 和 b 的等比中项，那么G b 即G2.a G4.等比数列的前n 项和公式.答案：等差数列1.同一个常数公差2.a n 1 a n 13.递加常数列递减4.倒序相加5. a 1 (n1)dn(a 1 a n )na 1n( n 1) d22等比数列1.第2项 前一项同一个公比q2. a 1q n 13.等比数列abq 1 s na (1 q n )a 1 a n q4.q=1 时，1时，q 1 q1 高考题型概括：题型 1.等差等比数列的判断与证明：证明一个数列为等差或等比一般用定义或许等差（比）中项来证明，而对于等差数列来说，证明一个数列的通项公式是对于 n 的一次函数或许证明它的前 n 项和事对于 n 的不含常数项的二次函数也能说明它是等差数列 .例 1. 已知数列中，是其前项和，而且S n 1 4a n 2(n 1,2, ), a 1 1 ，⑴设数列b nan 12a n (n 1,2,)，求证：数列是等比数列；c na nn, (n1,2,)⑵设数列 2，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和。
2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点(解析版)
数列考查的九个热点热点题型速览热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题热点一等差数列的基本计算1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516B.440C.258D.2202(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65mB.85mC.100mD.120m3(2020·全国高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块2024年高考数学专项复习数列考查的九个热点（解析版）4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的条件；若求a m项，可由a m=12(a m-n+a m+n)转化为求a m-n，a m+n或a m-n+a m+n的值．3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二等比数列的基本计算5(2020·全国·统考高考真题)设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8= ()A.12B.24C.30D.326(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.427(2023·全国高考真题)已知a n为等比数列，a2a4a5=a3a6，a9a10=-8，则a7=.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,a n,q,n,S n,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三等差数列与等比数列的综合计算8(2019·北京·高考真题)设{an}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．9(2022·全国·统考高考真题)记S n为数列a n的前n项和．已知2S nn+n=2a n+1．(1)证明：a n是等差数列；(2)若a4,a7,a9成等比数列，求S n的最小值．10(2023·天津·统考高考真题)已知a n是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．(1)求a n的通项公式和2n-1i=2n-1a i ．(2)已知b n为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；(Ⅱ)求b n 的通项公式及其前n 项和．热点四数列与函数的交汇11(2018·浙江·高考真题)已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列，且a 1+a 2+a 3+a 4=ln (a 1+a 2+a 3)．若a 1>1，则A.a 1<a 3,a 2<a 4B.a 1>a 3,a 2<a 4C.a 1<a 3,a 2>a 4D.a 1>a 3,a 2>a 412(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x 轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y =1.1x ，第n 根弦(n ∈N ，从左数首根弦在y 轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l ：y =x +1交于点A n x n ,y n 和B n x n,y n，则20n =0y n y n=.(参考数据：取1.122=8.14.)13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <12.14(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x ,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点，点M 在直线x =12上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n，设a n =2Sn，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <12成立，求c 和m 的值；热点五数列与不等式交汇15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13a 2n n ∈N ∗，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.72<100a 100<416(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥20232024，则n 的最小值是()A.9B.10C.11D.1217(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *(1)求a n 的通项公式，(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <12.18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．19(2021·全国·统考高考真题)设a n 是首项为1的等比数列，数列b n 满足b n =na n3．已知a 1，3a 2，9a 3成等差数列．(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)记S n 和T n 分别为a n 和b n 的前n 项和．证明：T n <S n2．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n 与b n 的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n +1-a n =32b n +1-b n 恒成立.(1)若A n =3n 2+3n2，b 1=2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13恒成立，求正整数b 1的最小值.21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1a n a n +2,n 为奇数b n,n 为偶数.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2ni =1c i ≥133.热点六数列与解析几何交汇22(2022·全国·统考高考真题)图1是中国古代建筑中的举架结构，AA ,BB ,CC ,DD 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中DD 1,CC 1,BB 1,AA 1是举，OD 1,DC 1,CB 1,BA 1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD 1OD 1=0.5,CC 1DC 1=k 1,BB 1CB 1=k 2,AA 1BA 1=k 3．已知k 1,k 2,k 3成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则k 3=()A.0.75B.0.8C.0.85D.0.923(重庆·高考真题)设A x 1,y 1 ,B 4,95 ,C x 2,y 2 是右焦点为F 的椭圆x 225+y 29=1上三个不同的点，则“|AF |,|BF |,|CF |成等差数列”是“x 1+x 2=8”的()A.充要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件24(2021·浙江·统考高考真题)已知a ,b ∈R ,ab >0，函数f x =ax 2+b (x ∈R ).若f (s -t ),f (s ),f (s +t )成等比数列，则平面上点s ,t 的轨迹是()A.直线和圆B.直线和椭圆C.直线和双曲线D.直线和抛物线热点七数列与概率统计交汇25(2023秋·江西·高三校联考阶段练习)甲同学现参加一项答题活动，其每轮答题答对的概率均为13，且每轮答题结果相互独立.若每轮答题答对得5分，答错得0分，记第i 轮答题后甲同学的总得分为X i ，其中i =1,2,⋅⋅⋅,n .(1)求E X 99 ；(2)若乙同学也参加该答题活动，其每轮答题答对的概率均为23，并选择另一种答题方式答题：从第1轮答题开始，若本轮答对，则得20分，并继续答题；若本轮答错，则得0分，并终止答题，记乙同学的总得分为Y .证明：当i >24时，E X i >E Y .26(2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点A 处有一只小蚂蚁，每次随机等可能地沿各条棱或侧面对角线向另一顶点移动，设小蚂蚁移动n 次后仍在底面ABC 的顶点处的概率为P n .(1)求P1，P2的值.(2)求P n.27(2019·全国·高考真题(理))为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i=0,1,⋯,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0=0，p8=1，p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,⋯,7)，其中a=P(X=-1)，b=P(X=0)，c=P(X=1)．假设α=0.5，β=0.8．(i)证明：{p i+1-p i}(i=0,1,2,⋯,7)为等比数列；(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．热点八等差数列、等比数列的判断与证明28【多选题】(2022·广东茂名·模拟预测)已知数列a n的前n项和为S，a1=1，S n+1=S n+2a n+1，数列2na n⋅a n+1的前n项和为Tn，n∈N*，则下列选项正确的为()A.数列a n+1是等比数列 B.数列a n+1是等差数列C.数列a n的通项公式为a n=2n-1 D.T n>129(2021·全国·统考高考真题)记S n为数列a n的前n项和，b n为数列S n的前n项积，已知2S n+1b n=2．(1)证明：数列b n是等差数列;(2)求a n的通项公式．热点九数列中的“新定义”问题30(2020·全国·统考高考真题)0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列a1a2⋯a n⋯满足a i∈{0,1}(i=1,2,⋯)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,⋯)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,⋯)的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列a1a2⋯a n⋯，C(k)=1 mmi=1a i a i+k(k=1,2,⋯,m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A.11010⋯B.11011⋯C.10001⋯D.11001⋯31【多选题】(2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考阶段练习)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，⋯称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，⋯称为正方形数，记三角形数构成数列a n，正方形数构成数列b n，则下列说法正确的是()A.1b 1+1b 2+1b 3+⋯+1b n<2；B.1225既是三角形数，又是正方形数；C.10i =11b i +1-a i +1=95；D.∀m ∈N *，m ≥2总存在p ，q ∈N *，使得b m =a p +a q 成立；32(2022秋·山东·高三校联考阶段练习)若项数为n 的数列a n 满足：a i =a n +1-i i =1，2，3，⋯，n 我们称其为n 项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列c n 为2k +1项的“对称数列”，其中c 1，c 2⋯c k +1是公差为2的等差数列，数列c n 的最大项等于8，记数列c n 的前2k +1项和为S 2k +1，若S 2k +1=32，则k =．数列考查的九个热点热点题型速览热点一等差数列的基本计算热点二等比数列的基本计算热点三等差数列与等比数列的综合计算热点四数列与函数的交汇热点五数列与不等式交汇热点六数列与解析几何交汇热点七数列与概率统计交汇热点八等差数列、等比数列的判断与证明热点九数列中的“新定义”问题热点一等差数列的基本计算1(2023春·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知等差数列a n 为递增数列，S n 为其前n 项和，a 3+a 7=34,a 4⋅a 6=280，则S 11=()A.516 B.440C.258D.220【答案】D【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出a 4,a 6，再利用前n 项和公式求解作答.【详解】等差数列a n 为递增数列，则a 4<a 6，由a 3+a 7=34，得a 4+a 6=34，而a 4⋅a 6=280，解得a 4=14,a 6=20，所以S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6=220.故选：D2(2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中)某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为60mm ，满盘时直径为120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约( )(π≈3.14，精确到1m )A.65m B.85mC.100mD.120m【答案】B【分析】依题意，可以把绕在盘上的卫生纸长度，近似看成300个半径成等差数列的圆周长，然后分别计算各圆的周长，再借助等差数列前n 项和公式求总和即可.【详解】因为空盘时盘芯直径为60mm ，则半径为30mm ，周长为2π×30=60πmm ，又满盘时直径为120mm ，则半径为60mm ，周长为2π×60=120πmm ，又因为卫生纸的厚度为0.1mm ，则60-300.1=300，即每一圈周长成等差数列，项数为300，于是根据等差数列的求和公式，得：S300=300×60π+120π2=27000πmm ，又27000πmm≈84780mm≈85m，即满盘时卫生纸的总长度大约为85m，故选：B.3(2020·全国高考真题(理))北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则a n是以9为首项，9为公差的等差数列，a n=9+n-1×9=9n，设S n为a n的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n，S2n-S n，S3n-S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n-S2n=S2n-S n+729，即3n9+27n2-2n9+18n2=2n9+18n2-n9+9n2+729即9n2=729，解得n=9，所以S3n=S27=279+9×272=3402.故选：C4(2022·全国·统考高考真题)记S n为等差数列a n的前n项和．若2S3=3S2+6，则公差d=．【答案】2【分析】转化条件为2a1+2d=2a1+d+6，即可得解.【详解】由2S3=3S2+6可得2a1+a2+a3=3a1+a2+6，化简得2a3=a1+a2+6，即2a1+2d=2a1+d+6，解得d=2.故答案为：2.【规律方法】1.等差数列中的基本量a1,a n,d,n,S n，“知三可求二”，在求解过程中主要运用方程思想.要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷．2. 在等差数列{a n}中，若出现a m-n，a m，a m+n等项时，可以利用等差数列的性质将其转化为与a m有关的条件；若求a m 项，可由a m =12(a m -n +a m +n)转化为求a m -n ，a m +n 或a m -n +a m +n 的值．3.数列的基本计算，往往以数学文化问题为背景.热点二等比数列的基本计算5(2020·全国·统考高考真题)设{a n }是等比数列，且a 1+a 2+a 3=1，a 2+a 3+a 4=2，则a 6+a 7+a 8=()A.12B.24C.30D.32【答案】D【分析】根据已知条件求得q 的值，再由a 6+a 7+a 8=q 5a 1+a 2+a 3 可求得结果.【详解】设等比数列a n 的公比为q ，则a 1+a 2+a 3=a 11+q +q 2 =1，a 2+a 3+a 4=a 1q +a 1q 2+a 1q 3=a 1q 1+q +q 2 =q =2，因此，a 6+a 7+a 8=a 1q 5+a 1q 6+a 1q 7=a 1q 51+q +q 2 =q 5=32.故选：D .6(2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则此人后3天共走的里程数为()A.6B.12C.18D.42【答案】D【分析】设第n n ∈N ∗ 天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列a n 是公比为12的等比数列，利用等比数列的求和公式求出a 1的值，然后利用等比数列的求和公式可求得此人后3天共走的里程数.【详解】设第n n ∈N ∗ 天走a n 里，其中1≤n ≤6，由题意可知，数列a n 是公比为12的等比数列，所以，a 11-12 6 1-12=6332a 1=378，解得a 1=378×3263=192，所以，此人后三天所走的里程数为a 4+a 5+a 6=192×181-1231-12=42.故选：D .7(2023·全国高考真题)已知a n 为等比数列，a 2a 4a 5=a 3a 6，a 9a 10=-8，则a 7=.【答案】-2【分析】根据等比数列公式对a 2a 4a 5=a 3a 6化简得a 1q =1，联立a 9a 10=-8求出q 3=-2，最后得a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2.【解析】设a n 的公比为q q ≠0 ，则a 2a 4a 5=a 3a 6=a 2q ⋅a 5q ，显然a n ≠0，则a 4=q 2，即a 1q 3=q 2，则a 1q =1，因为a 9a 10=-8，则a 1q 8⋅a 1q 9=-8，则q 15=q 5 3=-8=-2 3，则q 3=-2，则a 7=a 1q ⋅q 5=q 5=-2，故答案为：-2.【规律方法】1.等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.2.等比数列的通项公式及前n 项和公式,共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.3.根据题目特点，可选用等比数列的性质.热点三等差数列与等比数列的综合计算8(2019·北京·高考真题)设{an }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．(Ⅰ)求{an }的通项公式；(Ⅱ)记{an }的前n 项和为Sn ，求Sn 的最小值．【答案】(Ⅰ)a n =2n -12；(Ⅱ)-30.【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得a n 的通项公式；(Ⅱ)首先求得S n 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】(Ⅰ)设等差数列a n 的公差为d ，因为a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列，所以(a 3+8)2=(a 2+10)(a 4+6)，即(2d -2)2=d (3d -4)，解得d =2，所以a n =-10+2(n -1)=2n -12.(Ⅱ)由(Ⅰ)知a n =2n -12,所以S n =-10+2n -122×n =n 2-11n =n -112 2-1214；当n =5或者n =6时，S n 取到最小值-30.9(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和．已知2S nn+n =2a n +1．(1)证明：a n 是等差数列；(2)若a 4,a 7,a 9成等比数列，求S n 的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)-78．【分析】(1)依题意可得2S n +n 2=2na n +n ，根据a n =S 1,n =1S n-Sn -1,n ≥2，作差即可得到a n -a n -1=1，从而得证；(2)法一：由(1)及等比中项的性质求出a 1，即可得到a n 的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】(1)因为2S nn+n =2a n +1，即2S n +n 2=2na n +n ①，当n ≥2时，2S n -1+n -1 2=2n -1 a n -1+n -1 ②，①-②得，2S n +n 2-2S n -1-n -1 2=2na n +n -2n -1 a n -1-n -1 ，即2a n +2n -1=2na n -2n -1 a n -1+1，即2n -1 a n -2n -1 a n -1=2n -1 ，所以a n -a n -1=1，n ≥2且n ∈N *，所以a n 是以1为公差的等差数列．(2)[方法一]：二次函数的性质由(1)可得a 4=a 1+3，a 7=a 1+6，a 9=a 1+8，又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 72=a 4⋅a 9，即a 1+6 2=a 1+3 ⋅a 1+8 ，解得a 1=-12，所以a n=n-13，所以S n=-12n+n n-12=12n2-252n=12n-2522-6258，所以，当n=12或n=13时，S nmin=-78．[方法二]：【最优解】邻项变号法由(1)可得a4=a1+3，a7=a1+6，a9=a1+8，又a4，a7，a9成等比数列，所以a72=a4⋅a9，即a1+62=a1+3⋅a1+8，解得a1=-12，所以a n=n-13，即有a1<a2<⋯<a12<0,a13=0.则当n=12或n=13时，S nmin=-78．【整体点评】(2)法一：根据二次函数的性质求出S n的最小值，适用于可以求出S n的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．10(2023·天津·统考高考真题)已知a n是等差数列，a2+a5=16,a5-a3=4．(1)求a n的通项公式和2n-1i=2n-1a i ．(2)已知b n为等比数列，对于任意k∈N*，若2k-1≤n≤2k-1，则b k<a n<b k+1，(Ⅰ)当k≥2时，求证：2k-1<b k<2k+1；(Ⅱ)求b n的通项公式及其前n项和．【答案】(1)a n=2n+1，2n-1i=2n-1a i=3⋅4n-1；(2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)b n=2n，前n项和为2n+1-2.【分析】(1)由题意得到关于首项、公差的方程，解方程可得a1=3,d=2，据此可求得数列的通项公式，然后确定所给的求和公式里面的首项和项数，结合等差数列前n项和公式计算可得2n-1i=2n-1a i=3⋅4n-1.(2)(Ⅰ)利用题中的结论分别考查不等式两侧的情况，当2k-1≤n≤2k-1时，b k<a n，取n=2k-1，当2k-2≤n≤2k-1-1时，a n<b k，取n=2k-1-1，即可证得题中的不等式；(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论，利用极限思想确定数列的公比，进而可得数列的通项公式，最后由等比数列前n 项和公式即可计算其前n项和.【详解】(1)由题意可得a2+a5=2a1+5d=16a5-a3=2d=4，解得a1=3d=2，则数列a n的通项公式为a n=a1+n-1d=2n+1，求和得2n-1i=2n-1a i=2n-1i=2n-12i+1=22n-1i=2n-1i+2n-1-2n-1+1=22n-1+2n-1+1+2n-1+2+⋯+2n-1+2n-1=22n-1+2n-1⋅2n-12+2n-1=3⋅4n-1.(2)(Ⅰ)由题意可知，当2k-1≤n≤2k-1时，b k<a n，取n=2k-1，则b k<a2k-1=2×2k-1+1=2k+1，即b k<2k+1，当2k-2≤n≤2k-1-1时，a n<b k，取n=2k-1-1，此时a n=a2k-1-1=22k-1-1+1=2k-1，据此可得2k-1<b k，综上可得：2k-1<b k<2k+1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k-1<bk<2k+1，2k+1-1<b k+1<2k+1+1则数列b n的公比q满足2k+1-12k+1=2-32k+1<q=b k+1b k<2k+1+12k-1=2+32k-1，当k∈N*,k→+∞时，2-3 2k+1→2,2+32k-1→2，所以q=2，所以2k-1<b12k-1<2k+1，即2k-12k-1=2-12k-1<b1<2k+12k-1=2+12k-1，当k∈N*,k→+∞时，2-1 2k-1→2,2+12k-1→2，所以b1=2，所以数列的通项公式为b n=2n，其前n项和为：S n=2×1-2n1-2=2n+1-2.热点四数列与函数的交汇11(2018·浙江·高考真题)已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3)．若a1>1，则A.a1<a3,a2<a4B.a1>a3,a2<a4C.a1<a3,a2>a4D.a1>a3,a2>a4【答案】B【分析】先证不等式x≥ln x+1，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令f(x)=x-ln x-1,则f (x)=1-1x，令f(x)=0,得x=1，所以当x>1时，f (x)>0，当0<x<1时，f (x)<0，因此f(x)≥f(1)=0,∴x≥ln x+1，若公比q>0，则a1+a2+a3+a4>a1+a2+a3>ln(a1+a2+a3)，不合题意；若公比q≤-1，则a1+a2+a3+a4=a1(1+q)(1+q2)≤0,但ln(a1+a2+a3)=ln[a1(1+q+q2)]>ln a1>0，即a1+a2+a3+a4≤0<ln(a1+a2+a3)，不合题意；因此-1<q<0,q2∈(0,1)，∴a1>a1q2=a3,a2<a2q2=a4<0，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如x≥ln x+1,e x≥x+1,e x≥x2+1(x≥0).12(2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习)如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为y=1.1x，第n根弦(n∈N，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦)分别与雁柱曲线和直线l：y=x+1交于点A n x n,y n和B n x n ,y n，则20n=0y n y n=.(参考数据：取1.122=8.14.)【答案】914【分析】根据题意可得y n =n +1,y n=1.1n ，进而利用错位相减法运算求解.【详解】由题意可知：y n =n +1,y n =1.1n ，则20n =0y n y n=20n =0n +1 1.1n =1×1.10+2×1.11+⋯+20×1.119+21×1.120，可得1.1×20n =0y n y n =1×1.11+2×1.12+⋯+20×1.120+21×1.121，两式相减可得：-0.1×20n =0y n y n=1.10+1.11+⋯+1.120-21×1.121=1-1.1211-1.1-21×1.121=1-1.121+0.1×21×1.121-0.1=1+1.122-0.1=1+8.14-0.1=-91.4，所以20n =0y n y n=914.故答案为：914.13(2023秋·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习)已知数列a n 满足a 1>0，a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗.(1)判断数列a 2n -1 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；(2)若数列a n 的前10项和为361，记b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2，数列b n 的前n 项和为T n ，求证：T n <12.【答案】(1)数列a 2n -1 成等比数列，证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)推导出a 2n +1=2a 2n +2=2log 2a 2n -1+2=4a 2n -1，得到结论；(2)先得到a 2n -1=a 1⋅4n -1，a 2n =2(n -1)+log 2a 1，从而得到S 10=341a 1+5log 2a 1+20，令f (x )=341x +5log 2x +20，得到函数单调递增，且由特殊点函数值得到a 1=1，b n =14n2，求出T 1=14<74，当n ≥2时，利用裂项相消法求和，得到T n <12.【详解】(1)数列a 2n -1 成等比数列，证明如下：根据a n +1=log 2a n ,n =2k -1,k ∈N ∗2a n+2,n =2k ,k ∈N ∗得，a 2n +1=2a 2n +2=2log 2a 2n -1+2=22a 2n -1=4a 2n -1；∵a 1>0，∴a 2n -1>0，a2n +1a 2n -1=4，即数列a 2n -1 成等比数列.(2)由(1)得，a 2n -1=a 1⋅4n -1，a 2n =log 2a 2n -1=2(n -1)+log 2a 1，故S 10=a 140+41+42+43+44 +5log 2a 1+2×(0+1+2+3+4)=341a 1+5log 2a 1+20，由S 10=361，得341a 1+5log 2a 1+20=361.令f (x )=341x +5log 2x +20，当x >0时，f (x )=341x +5log 2x +20单调递增，且f (1)=361=f a 1 ，故a 1=1，a 2n +1=4n =22n ，a 2n +2=log 2a 1+2n =2n ，∴b n =1log 2a 2n +1 ⋅a 2n +2=14n 2，T 1=b 1=14<12，当n ≥2时，b n =14n2<14(n -1)n =141n -1-1n∴T n =b 1+b 2+⋯+b n <141+1-12+12-13+⋯+1n -1-1n=142-1n <14×2=12，综上，知T n <1214(2023·全国·高三专题练习)已知A x 1,y 2 、B x 2,y 2 是函数f x =2x 1-2x,x ≠12-1,x =12的图象上的任意两点，点M 在直线x =12上，且AM =MB ．(1)求x 1+x 2的值及y 1+y 2的值；(2)已知S 1=0，当n ≥2时，S n =f 12 +f 2n +f 3n +⋅⋅⋅+f n -1n，设a n =2Sn，T n 数列a n 的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m -c T m +1-c <12成立，求c 和m 的值；【答案】(1)x 1+x 2=1,y 1+y 2=-2(2)存在，c =1,m =1【分析】(1)根据点M 在直线x =12上，设M 12,y M ，利用AM =MB ，可得x 1+x 2=1，分类讨论：①x 1=12，x 2=12；②x 1≠12时，x 2≠12，利用函数解析式，可求y 1+y 2的值；(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=-2，∴f k n +f n -kn=-2，代入k =0，1，2，⋯，n -1，利用倒序相加法可得S n =1-n ，从而可得数列a n 的通项与前n 项和，利用T m -c T m +1-c <12化简即可求得结论.【详解】(1)根据点M 在直线x =12上，设M 12,y M ，则AM =12-x 1,y M -y 1 ，MB =x 2-12,y 2-y M ，∵AM =MB ，∴x 1+x 2=1．①当x 1=12时，x 2=12，y 1+y 2=f x 1 +f x 2 =-1-1=-2；②当x 1≠12时，x 2≠12，y 1+y 2=2x 11-2x 1+2x 21-2x 2=2x 11-2x 2 +2x 21-2x 1 1-2x 1 1-2x 2 =2(x 1+x 2)-8x 1x 21-2(x 1+x 2)+4x 1x 2=2(1-4x 1x 2)4x 1x 2-1=-2；综合①②得，y 1+y 2=-2．(2)由(1)知，当x 1+x 2=1时，y 1+y 2=-2．∴f k n +f n -k n=-2，k =0,1,2,⋯,n -1，∴n ≥2时，S n =f 1n +f 2n +f 3n +⋯+f n -1n①S n =f n -1n +f n -2n +f n -3n +⋯+f 1n ②①+②得，2S n =-2(n -1)，则S n =1-n ．又n =1时，S 1=0满足上式，∴S n =1-n ．∴a n =2S n=21-n ，∴T n =1+12+⋯+12n -1=1×1-12 n1-12=2-22n．∵T m -c T m +1-c <12，∴2T m -c -T m +1-c 2T m +1-c<0，∴c -2T m -T m +1c -T m +1<0，∵Tm +1=2-12m ，2T m -T m +1=4-42m -2+12m =2-32m ，∴12≤2-32m <c <2-12m <2，c ,m 为正整数，∴c =1，当c =1时，2-32m<12-12m >1，∴1<2m <3，∴m =1．【点评】作为高考热点，数列与函数的交汇问题，等差数列易于同二次函数结合，研究和的最值问题，而等比数列易于同指数函数结合，利用指数函数的单调性解决问题，递推、通项问题往往与函数的单调性、周期性相结合.热点五数列与不等式交汇15(2022·浙江·统考高考真题)已知数列a n 满足a 1=1,a n +1=a n -13a 2n n ∈N ∗，则()A.2<100a 100<52 B.52<100a 100<3 C.3<100a 100<72 D.72<100a 100<4【答案】B【分析】先通过递推关系式确定a n 除去a 1，其他项都在0,1 范围内，再利用递推公式变形得到1a n +1-1a n =13-a n >13，累加可求出1a n >13(n +2)，得出100a 100<3，再利用1a n +1-1a n =13-a n<13-3n +2=131+1n +1 ，累加可求出1a n -1<13n -1 +1312+13+⋯+1n ，再次放缩可得出100a 100>52．【详解】∵a 1=1，易得a 2=23∈0,1 ，依次类推可得a n ∈0,1由题意，a n +1=a n 1-13a n ，即1a n +1=3a n 3-a n=1a n +13-a n ，∴1a n +1-1a n =13-a n >13，即1a 2-1a 1>13，1a 3-1a 2>13，1a 4-1a 3>13，⋯，1a n -1a n -1>13,(n ≥2)，累加可得1a n -1>13n -1 ，即1a n >13(n +2),(n ≥2)，∴a n <3n +2,n ≥2 ，即a 100<134，100a 100<10034<3,又1a n +1-1a n =13-a n <13-3n +2=131+1n +1 ,(n ≥2)，∴1a 2-1a 1=131+12 ，1a 3-1a 2<131+13 ，1a 4-1a 3<131+14 ，⋯，1a n -1a n -1<131+1n,(n≥3)，累加可得1a n -1<13n -1 +1312+13+⋯+1n ,(n ≥3)，∴1a 100-1<33+1312+13+⋯+1100 <33+1312×4+16×96 <39，即1a 100<40，∴a 100>140，即100a 100>52；综上：52<100a 100<3．故选：B ．16(2023·浙江嘉兴·统考模拟预测)如图，在一个单位正方形中，首先将它等分成4个边长为12的小正方形，保留一组不相邻的2个小正方形，记这2个小正方形的面积之和为S 1；然后将剩余的2个小正方形分别继续四等分，各自保留一组不相邻的2个小正方形，记这4个小正方形的面积之和为S 2．以此类推，操作n 次，若S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n ≥20232024，则n 的最小值是()A.9B.10C.11D.12【答案】C【分析】由题意可知操作n 次时有2n 个边长为12n 的小正方形，即S n =2n ×12n2=12n，结合等比数列前n 项和解不等式即可.【详解】由题意可知操作1次时有21=2个边长为121=12的小正方形，即S 1=21×1212=121=12，操作2次时有22=4个边长为122=14的小正方形，即S 2=22×122 2=122=14，操作3次时有23=8个边长为123=18的小正方形，即S 3=23×1232=123=18，以此类推可知操作n 次时有2n 个边长为12n 的小正方形，即S n =2n ×12n2=12n ，由等比数列前n 项和公式有S 1+S 2+⋅⋅⋅+S n =12+12 2+⋅⋅⋅+12 n =12×1-12 n1-12=1-12 n，从而问题转换成了求1-12 n ≥20232024不等式的最小正整数解，将不等式变形为12 n ≤12024，注意到12 10=11024>12024，1211=12048<12024，且函数y =12x在R 上单调递减，所以n 的最小值是11.故选：C .17(2023秋·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习)已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，且S 4=4S 2,a 3n =3a n +2n ∈N *(1)求a n 的通项公式，(2)设b n =1a n a n +1，且b n 的前n 项和为T n ，证明，13≤T n <12.【答案】(1)a n =2n -1(2)证明见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式，列方程求解首项和公差，即得答案；(2)由(1)结论可得b n =1a n a n +1的表达式，利用裂项求和可得T n 表达式，即可证明结论.【详解】(1)设a n 的公差为d ，由S 4=4S 2得，4a 1+6d =42a 1+d ，解得d =2a 1，∵a 3n =3a n +2，即a 1+3n -1 d =3a 1+n -1 d +2，∴2d =2a 1+2，结合d =2a 1，∴d =2,a 1=1,∴a n =1+2n -1 =2n -1；(2)证明：由b n =12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 .∴T n =b 1+b 2+⋯+b n =121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1，即∴T n =121-12n +1 ，又T n 随着n 的增大增大，当n =1时，T n 取最小值为T 1=13，又n →+∞时，12n +1>0，且无限趋近于0，故T n =121-12n +1 <12，故13≤T n <12.18(2022·全国·统考高考真题)记S n 为数列a n 的前n 项和，已知a 1=1,S n a n 是公差为13的等差数列．(1)求a n 的通项公式；(2)证明：1a 1+1a 2+⋯+1a n<2．【答案】(1)a n =n n +12(2)见解析【分析】(1)利用等差数列的通项公式求得S n a n =1+13n -1 =n +23，得到S n =n +2 a n 3，利用和与项的关系得到当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,进而得：a n a n -1=n +1n -1，利用累乘法求得a n =n n +1 2，检验对于n =1也成立，得到a n 的通项公式a n =n n +1 2；(2)由(1)的结论，利用裂项求和法得到1a 1+1a 2+⋯+1a n =21-1n +1 ，进而证得.【详解】(1)∵a 1=1，∴S 1=a 1=1,∴S1a 1=1,又∵S n a n 是公差为13的等差数列，∴S n a n =1+13n -1 =n +23,∴S n =n +2 a n 3,∴当n ≥2时，S n -1=n +1 a n -13，∴a n =S n -S n -1=n +2 a n 3-n +1 a n -13,整理得：n -1 a n =n +1 a n -1,即a na n-1=n+1n-1,∴a n=a1×a2a1×a3a2×⋯×a n-1a n-2×a na n-1=1×31×42×⋯×nn-2×n+1n-1=n n+12，显然对于n=1也成立，∴a n的通项公式a n=n n+12；(2)1a n =2n n+1=21n-1n+1,∴1 a1+1a2+⋯+1a n=21-12+12-13+⋯1n-1n+1=21-1n+1<219(2021·全国·统考高考真题)设a n是首项为1的等比数列，数列b n满足b n=na n3．已知a1，3a2，9a3成等差数列．(1)求a n和b n的通项公式；(2)记S n和T n分别为a n和b n的前n项和．证明：T n<S n 2．【答案】(1)a n=13n-1，b n=n3n；(2)证明见解析.【分析】(1)利用等差数列的性质及a1得到9q2-6q+1=0，解方程即可；(2)利用公式法、错位相减法分别求出S n,T n，再作差比较即可.【详解】(1)因为a n是首项为1的等比数列且a1，3a2，9a3成等差数列，所以6a2=a1+9a3，所以6a1q=a1+9a1q2，即9q2-6q+1=0，解得q=13，所以a n=13n-1，所以b n=na n3=n3n.(2)[方法一]：作差后利用错位相减法求和T n=13+232+⋯+n-13n-1+n3n，S n 2=12130+131+132+⋯+13n-1 ，T n-S n2=13+232+333+⋯+n3n-12130+131+132+⋯+13n-1 =0-1230+1-1231+2-1232+⋯+n-1-123n-1+n3n．设Γn=0-1230+1-1231+2-1232+⋯+n-1-123n-1， ⑧则13Γn=0-1231+1-1232+2-1233+⋯+n-1-123n． ⑨由⑧-⑨得23Γn=-12+131+132+⋯+13n-1-n-323n=-12+131-13n-11-13-n-323n．所以Γn=-14×3n-2-n-322×3n-1=-n2×3n-1．因此T n-S n2=n3n-n2×3n-1=-n2×3n<0．故T n<S n 2．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由(1)可得S n=1×1-13n1-13=321-13n，T n=13+232+⋯+n-13n-1+n3n，①1 3T n=132+233+⋯+n-13n+n3n+1，②①-②得23T n=13+132+133+⋯+13n-n3n+1=131-13n1-13-n3n+1=121-13n-n3n+1，所以T n=341-13n-n2⋅3n，所以T n-S n2=341-13n-n2⋅3n-341-13n=-n2⋅3n<0，所以T n<S n 2 .[方法三]：构造裂项法由(Ⅰ)知b n=n13n，令c n=(αn+β)13 n，且b n=c n-c n+1，即n13 n=(αn+β)13 n-[α(n+1)+β]13n+1，通过等式左右两边系数比对易得α=32,β=34，所以c n=32n+34 ⋅13 n．则T n=b1+b2+⋯+b n=c1-c n+1=34-34+n2 13 n，下同方法二．[方法四]：导函数法设f(x)=x+x2+x3+⋯+x n=x1-x n1-x，由于x1-x n1-x'=x1-x n'1-x-x1-x n×1-x'1-x2=1+nx n+1-(n+1)x n(1-x)2，则f (x)=1+2x+3x2+⋯+nx n-1=1+nx n+1-(n+1)x n(1-x)2．又b n=n13n=13n13 n-1，所以T n=b1+b2+b3+⋯+b n=131+2×13+3×132+⋯+n⋅13n-1 =13⋅f 13 =13×1+n13n+1-(n+1)13 n1-132=341+n13n+1-(n+1)13n =34-34+n213 n，下同方法二．20(2023·河南郑州·统考模拟预测)已知数列a n与b n的前n项和分别为A n和B n，且对任意n∈N*，a n +1-a n =32b n +1-b n 恒成立.(1)若A n =3n 2+3n2，b 1=2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n =B n 及b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13恒成立，求正整数b 1的最小值.【答案】(1)n (n +1)；(2)3【分析】(1)利用a n ,S n 求通项公式，再求证{b n }是首项、公差均为2的等差数列，进而求B n ；(2)由题设易得b n +1=3b n ，等比数列前n 项和公式求B n ，进而可得b n +1a n a n +1=1B n -1B n +1，裂项相消法化简已知不等式左侧，得b 1>31-23n +1-1恒成立，进而求最小值.【详解】(1)由题设，a n =A n -A n -1=32[n 2+n -(n -1)2-n +1]=3n 且n ≥2，而a 1=A 1=3，显然也满足上式，故a n =3n ，由a n +1-a n =32b n +1-b n ⇒b n +1-b n =2，又b 1=2，所以{b n }是首项、公差均为2的等差数列.综上，B n =2×(1+...+n )=n (n +1).(2)由a n =B n ，a n +1-a n =32b n +1-b n ，则B n +1-B n =b n +1=32(b n +1-b n )，所以b n +1=3b n ，而b 1≥1，故bn +1b n=3，即{b n }是公比为3的等比数列.所以B n =b 1(1-3n )1-3=b 12(3n -1)，则B n +1=b12(3n +1-1)，b n +1a n a n +1=B n +1-B n B n +1B n =1B n -1B n +1，而b 2a 1a 2+b 3a 2a 3+b 4a 3a 4+⋯+b n +1a n a n +1<13，所以1B 1-1B 2+1B 2-1B 3+...+1B n -1B n +1=1B 1-1B n +1=1b 1-2b 1(3n +1-1)<13，所以1b 11-23n +1-1 <13⇒b 1>31-23n +1-1对n ∈N *都成立，所以1-23n +1-1<1，故b 1≥3，则正整数b 1的最小值为3.21(2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知a n 为等差数列，b n 为等比数列，b 1=2a 1=2，a 5=5a 4-a 3 ，b 5=4b 4-b 3 ，数列c n 满足c n =1a n a n +2,n 为奇数b n,n 为偶数.(1)求a n 和b n 的通项公式；(2)证明：2ni =1c i ≥133.【答案】(1)a n =n ；b n =2n (2)证明见解析【分析】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，根据题意列式求d ,q ，进而可得结果；(2)利用分组求和以及裂项相消法求得T n =-14n +2+4n +13-56，进而根据数列单调性分析证明.【详解】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，由a 1=1，a 5=5a 4-a 3 ，可得1+4d =5d ，解得d =1。
2020年高考数学备考艺体生百日突围系列专题09等差数列与等比数列(基础篇)解析版版含解析
v<2021艺体生文化课 -百日突围系列>专题9 等差数列与等比数列等差数列的概念与运算【背一背根底知识】 1．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数 ,那么这个数列就叫做等差数列 ,这个常数叫做等差数列的公差 ,通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首||项为a 1 ,公差为d ,那么它的通项公式是1(1)n a a n d =+-. 3．等差中项 如果2a bA +=,那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的前n 项和(1)公式的推导：等差数列的前n 项和公式是用倒序相加法求得的． (2)等差数列{a n }的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+= 【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)等差数列的判定通常有两种方法：第|一种是利用定义 ,a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2) ,第二种是利用等差中项 ,即2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)．(2)解选择、填空题时 ,亦可用通项或前n 项和直接判断．①通项法：假设数列{a n }的通项公式为n 的一次函数 ,即a n ＝An ＋B (A 、B 是常数) ,那么{a n }是等差数列．②前n 项和法：假设数列{a n }的前n 项和S n 是S n ＝An 2＋Bn 的形式(A ,B 是常数) ,那么{a n }为等差数列．(3)等差数列可以由首||项a 1和公差d 确定 ,所有关于等差数列的计算和证明 ,都可围绕a 1和d 进行．(4)对于等差数列问题一般要给出两个条件 ,可以通过列方程求出a 1 ,d .如果再给出第三个条件就可以完成a n ,a 1 ,d ,n ,S n 的 "知三求二〞问题．这表达了用方程的思想解决问题． 2.典型例题例1数列}{n a 为等差数列 ,且12a = ,1332=+a a ,那么=++654a a a ( ) (A )45 (B )43 (C )42 (D )40 【答案】42 【解析】2311113,213,23a a a d a d a d +=∴+++==∴= ,45613123212342a a a a d ++=+=⨯+⨯= .例2{}n a 是公差为1的等差数列 ,n S 为{}n a 的前n 项和 ,假设844S S = ,那么10a = ( ) (A )172 (B )192(C )10 (D )12 【答案】B 【解析】【考点定位】等差数列通项公式及前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式 ,利用方程思想和公式列出关于首||项与公差的方程 ,解出首||项与公差 ,利用等差数列性质可以简化计算. 【练一练趁热打铁】1.假设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和,且8320S S -= ,那么11S 的值为 ． 【答案】44【解析】由83456786520S S a a a a a a -=++++==,解得64a =,又由611111611211()114422a a a S a ⨯+====2. 数列}{n a 中 ,11=a ,211+=-n n a a (2≥n ) ,那么数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27【解析】∵2≥n 时 ,21,21121+=+=-a a a a n n 且 ∴{}1a a n 是以为首||项 ,21为公差的等差数列 ∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 【考点定位】此题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n 项和公式的应用.【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决此题的关键 ,这需要考生平时多加积累 ,同时此题还考查了等差数列的根本公式的应用 ,考查了考生的根本运算能力.等差数列的性质【背一背根底知识】 1.等差数列{a n }的常用性质(1)通项推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (d 为数列{a n }的公差)．(2)假设m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N *) ,那么a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n－2＝….(3)项数成等差数列 ,那么相应的项也成等差数列 ,即假设m ＋n ＝2p ,那么a m ＋a n ＝2a p . (4)S k ,S 2k －S k ,S 3k －S 2k ,…构成等差数列 ,公差为k 2d . (5)S n ＝a 1＋a n2n ＝a 2＋a n －12n ＝a 3＋a n －22n ＝…. 2．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 (1)等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋nn －12d 可化为：S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n . 数列{a n }是等差数列的充要条件是其前n 项和公式S n ＝f (n )是n 的常数项为零的二次函数 ,即2n S An Bn =+.(2)在等差数列{a n }中 ,a 1>0 ,d <0 ,那么S n 存在最||大值；假设a 1<0 ,d >0 ,那么S n 存在最||小值． 【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ,d ≠0时 ,a n 是n 的一次函数．当d >0时 ,{a n }为递增数列 ,当d <0时 ,{a n }为递减数列 ,当d ＝0时 ,{a n }为常数列．(2)等差数列{a n }的前n 项和公式S n ＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n .d ≠0时 ,S n 是n 的二次函数 ,且常数项为零．据此特点可判断{a n }是否为等差数列．同时 ,可用配方法或图象法求S n 的最||值问题．d ＝0时 ,S n 为n 的一次函数． (3)等差数列的单调性等差数列公差为d ,假设d >0 ,那么数列递增． 假设d <0 ,那么数列递减． 假设d ＝0 ,那么数列为常数列． (4)等差数列的简单性质数列{a n }是等差数列 ,S n 是其前n 项和．①假设m ＋n ＝p ＋q ,那么a m ＋a n ＝a p ＋a q ,特别：假设m ＋n ＝2p ,那么a m ＋a n ＝2a p . ②a m ,a m ＋k ,a m ＋2k ,a m ＋3k ,…仍是等差数列 ,公差为kd . ③数列S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m ,…也是等差数列 ,公差为m 2d . ④S 2n －1＝(2n －1)a n .⑤假设n 为偶数 ,那么S 偶－S 奇＝n2d .假设n 为奇数 ,那么S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．⑥数列{c ·a n } ,{c ＋a n } ,{pa n ＋qb n }也是等差数列 ,其中c 、p 、q 均为常数 ,{b n }是等差数列． 公差不为0的等差数列 ,求其前n 项和的最||值 ,一是把S n 转化成n 的二次函数求最||值；二是由a n ≥0或a n ≤0找到使等差数列的前n 项和取得最||小值或最||大值的项数n ,代入前n 项和公式求最||值． 2.典型例题例1在等差数列{}n a 中 ,假设2576543=++++a a a a a ,那么82a a + = . 【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列 ,所以37462852a a a a a a a +=+=+= ,345675525a a a a a a ++++==即55a = ,所以285210a a a +== ,故应填入10．【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】此题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力 ,属于容易题 ,解答此题关键在于熟记()*,,,m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+且 ,()*2,,2m n p a a a m n p N m n p +=∈+=且及其熟练运用．例2等差数列}{n a 中 ,假设15741=++a a a ,3963=++a a a ,那么852a a a ++ =______. 【答案】9. 【解析】【练一练趁热打铁】1. 在等差数列{}n a 中,假设4681012120a a a a a ++++=,那么10122a a -的值为( ) A ．20 B ．22C ．24D ．28【答案】C【解析】由等差数列性质知468101285120a a a a a a ++++== ,故824a = ,而10121122(9)7a a a d a d -=+=+1(11)a d -+824a ==.2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且15890,0S a a >+<,那么使得0nn S a n+<的最||小的n 为 ( )A ．10B ． 11C ． 12D ． 13 【答案】B 【解析】等比数列的概念与运算【背一背根底知识】 1．等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 ,那么这个数列叫做等比数列 ,这个常数叫做等比数列的公比 ,通常用字母q 表示． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首||项为a 1 ,公比为q ,那么它的通项11n n a a q -=. 3．等比中项假设20G ab =≠ ,那么G 叫做a 与b 的等比中项． 4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0) ,其前n 项和为S n , 当q ＝1时 ,S n ＝na 1；当q ≠1时 ,S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1q n －1q －1＝a 1q n q －1－a 1q －1.【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)对于等比数列的有关计算问题 ,可类比等差数列问题进行 ,在解方程组的过程中要注意 "相除〞消元的方法 ,同时要注意整体代入(换元)思想方法的应用．(2)在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论． (3)等比数列的判定方法：①定义法：假设a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2) ,那么{a n }是等比数列．②中项公式法：假设数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *) ,那么数列{a n }是等比数列．③通项公式法：假设数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ,q 均为不为0的常数 ,n ∈N *) ,那么{a n }是等比数列．④前n 项和公式法：假设数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0 ,q ≠0,1) ,那么{a n }是等比数列．需要说明的是：对于第|一、二种方法适用于任何题型 ,强调推理过程 ,而第三、四种方法适合于选择、填空题 ,强调结论的应用 ,假设要判定一个数列不是等比数列 ,那么只需判定存在连续三项不成等比即可． 2.典型例题例1．等差数列{}n a 中 ,24a = ,4715a a +=． (Ⅰ )求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ )设22n a n b n -=+ ,求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】 (Ⅰ )2n a n =+； (Ⅱ )2101． 【解析】(I )设等差数列{}n a 的公差为d ．由得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ ,解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+． (II )由 (I )可得2n n b n =+．所以()()()()231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++()()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+()()1021211010122-+⨯=+-()112255=-+112532101=+=．【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．【名师点睛】确定等差数列的根本量是1,a d ．所以确定等差数列需要两个独立条件 ,求数列前n 项和常用的方法有四种： (1 )裂项相消法 (通过将通项公式裂成两项的差或和 ,在前n 项相加的过程中相互抵消 )；(2 )错位相减法 (适合于等差数列乘以等比数列型 )； (3 )分组求和法(根据数列通项公式的特点 ,将其分解为等差数列求和以及等比数列求和)； (4 )奇偶项分析法 (适合于整个数列特征不明显 ,但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征 )．例2. 数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和 ,假设126n S = ,那么n = .【答案】6 【解析】考点：等比数列定义与前n 项和公式【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式 ,利用方程思想和公式列出关于首||项与公比的方程 ,解出首||项与公比 ,利用等比数列性质可以简化计算. 【练一练趁热打铁】1. 假设三个正数a ,b ,c 成等比数列 ,其中526a =+ ,526c =- ,那么b = ．【答案】1【解析】因为三个正数a ,b ,c 成等比数列 ,所以()()25265261b ac ==+-= ,因为0b > ,所以1b = ,所以答案应填：1． 【考点定位】等比中项．【名师点晴】此题主要考查的是等比中项 ,属于容易题．解题时要抓住关键字眼 "正数〞 ,否那么很容易出现错误．解此题需要掌握的知识点是等比中项的概念 ,即假设a ,G ,b 成等比数列 ,那么G 称为a 与b 的等比中项 ,即2G ab =．2等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,3S = 2110a a + ,5a = 9 ,那么1a = ( )(A )(B ) -(C )(D ) -【答案】C 【解析】3.等比数列{}n a 是递增数列 ,n S 是{}n a 的前n 项和 ,假设13,a a 是方程26540x x S -+==的两个根，则 .【答案】【解析】由方程2540x x -+= ,又{}n a 是递增数列 ,可得131,4a a == , 6126(1)122,2,63112n a q a q S q --=====--.等比数列的性质【背一背根底知识】 1. 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：m n n m a a q -= ,(n ,m ∈N *)．(2)假设{a n }为等比数列 ,且k ＋l ＝m ＋n ,(k ,l ,m ,n ∈N *) ,那么k l m n a a a a +=+.(3)假设{a n } ,{b n }(项数相同)是等比数列 ,那么{λa n }(λ≠0) ,{1a n } ,{a 2n } ,{a n ·b n } ,{a nb n }仍是等比数列．(4)在等比数列{a n }中 ,等距离取出假设干项也构成一个等比数列 ,即a n ,a n ＋k ,a n ＋2k ,a n ＋3k ,…为等比数列 ,公比为q k .即项数成等差数列那么对应项成等比． 2．等比数列前n 项和的性质公比q 不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,那么S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 仍成等比数列 ,其公比为nq . 【讲一讲根本技能】 1.必备技能：(1)等比数列的单调性．①⎩⎨⎧ a 1>0q >1或⎩⎨⎧ a 1<00<q <1⇔{a n }为递增数列；②⎩⎨⎧ a 1>00<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1⇔{a n }为递减数列； ③q ＝1⇔{a n }为非零常数列； ④q <0⇔{a n }为摆动数列． (2)等比数列其他性质．①假设数列{a n }是等比数列 ,那么{ca n }(c ≠0) ,{|a n |} ,{a 2n } ,{1a n }也是等比数列 ,假设{b n}是等比数列 ,那么{a n ·b n }也是等比数列．②数列a m ,a m ＋k ,a m ＋2k ,a m ＋3k ,…仍成等比数列．③假设等比数列{a n }的项数为2n ,那么S 偶S 奇＝q ,其中S 偶 ,S 奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和．④a n a m ＝q n －m (m ,n ∈N *) 2.典型例题例1在正项等比数列}{n a 中 ,369lg lg lg 6a a a ++= ,那么111a a 的值是 ( ) A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10 【答案】A【解析】分析：这题要用到等比数列的性质：2111639a a a a a ==．假设{}n a 为等比数列 ,且m n p q +=+ ,那么m n p q a a a a ⋅=⋅.所以336936966lg lg lg lg()lg 3lg 6a a a a a a a a ++=⋅⋅=== ,所以2610a = ,而2161141010000a a a ===.应选A.例2设{}n a 是公差不为0的等差数列, 12a = ,且136,,a a a 成等比数列,那么5a 的值为 .【答案】4 【解析】【练一练趁热打铁】1.在各项都为正数的等比数列{}n a 中 ,13a = ,前三项的和为21 ,那么345a a a ++=( )A.33B.72C.84D.189【答案】C【解析】2.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .232S a = ,且124,,S S S 成等比数列 ,那么{}n a 的通项公式为n a = .【答案】3n a =或21n a n =-【解析】设{}n a 的公差为d.由232S a =得2223a a = ,故20a =或23a =.由124,,S S S 成等比数列得2214=S S S .又12S a d =- ,222S a d =- ,4242S a d =+ ,故2222(2)()(42)a d a d a d -=-+.假设20a = ,那么222d d =- ,所以0d = ,此时0n S = ,不合题意；假设23a = ,那么2(6)(3)(122)d d d -=-+ ,解得0d =或2d =.因此{}n a 的通项公式为3n a =或21n a n =-.(一 )选择题 (12*5 =60分 ){}n a 中 ,假设2a =4 ,4a =2 ,那么6a = ( )A 、 -1B 、0C 、1D 、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-= ,选B.【考点定位】此题属于数列的问题 ,考查等差数列的通项公式与等差数列的性质. 【名师点晴】此题可以直接利用等差数列的通项公式求解 ,也可应用等差数列的性质求解 ,主要考查学生灵活应用根底知识的能力.是根底题.2．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和 ,1532,3a a a == ,那么9S = ( )A.72-B.54-C.54D.72【答案】B【解析】3. 正项等比数列{}n a 的公比为2 ,假设21016a a = ,那么9a 的值是【答案】C【解析】法一：由{}n a 是等比数列 ,且21016a a = ,所以91116a q a q ⋅= ,又2q = ,那么118a = ,所以889112328a a q ==⨯=. 所以64a =,又公比为2 ,所以33964232a a q =⋅=⨯= ,应选C法二：因为{}n a 是等比数列 ,且21016a a = ,所以62104a a a == ,那么33964232a a q ==⨯=.4．三个实数成等差数列 ,首||项是9 ,假设将第二项加2、第三项加20可使得这三个数依次构成等比数列{}n a ,那么3a 的所有取值中的最||小值是 ( )A. 1B. 4C. 36D. 49【答案】A【解析】5． ,1,1x y >> ,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列 ,那么xy 有 ( ) A 、最||小值e B 、最||小值e C 、最||大值 e D 、最||大值e【答案】A【解析】1,1x y >> ,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列 ,211ln ln 44x y ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭ ,即21ln ln ln ln 42x y x y +⎛⎫=⋅≤ ⎪⎝⎭,ln ln 1,ln 1x y xy +≥≥ ,故xy e ≥． 6．等差数列{}n a 的公差0d > ,假设12320132013t a a a a a ++++= (*N t ∈ ) ,那么t =( ) A ．2014 B ．2013 C ．1007 D ．1006 【答案】C【解析】由等差数列前n 项公式1201312320132013()20132t a a a a a a a +++++== ,由等差数列性质得12013100722t a a a a +== ,所以1007t = ,应选C.7．数列{}n a 是等差数列 ,且1472a a a π++= ,那么35tan()a a +的值为 ( )A. 3B. 3-C. 3D. 33-【答案】A【解析】1472a a a π++= ,所以443543524432,,2,tan()tan 3333a a a a a a a ππππ==+==+==8．数列{}n a 满足130n n a a ++= ,243a =- ,那么{}n a 的前10项和等于 ( )A ．106(13)---B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+【答案】C【解析】9．数列}{n a 为等比数列,假设,1064=+a a 那么9373712a a a a a a ++的值为( ) A ．10 B ．20 C ．60 D ．100【答案】D【解析】{}n a 是等比数列 ,题中又出现了数列中的两项的积 ,故可应用其性质 ,22174396,a a a a a a == ,这样就有22217373944664622()100a a a a a a a a a a a a ++=++=+=．10．{}n a 是等差数列 ,公差d 不为零 ,前n 项和是n S ,假设3a ,4a ,8a 成等比数列 ,那么 ( )A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>【答案】B.【解析】∵等差数列}{n a ,3a ,4a ,8a 成等比数列 ,∴d a d a d a d a 35)7)(2()3(11121-=⇒++=+ ,∴d d a a a a S 32)3(2)(211414-=++=+= ,∴03521<-=d d a ,03224<-=d dS ,应选B.n【名师点睛】此题主要考查了等差数列的通项公式 ,等比数列的概念等知识点 ,同时考查了学生的运算求解能力 ,属于容易题 ,将1a d ,4dS 表示为只与公差d 有关的表达式 ,即可求解 ,在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.11．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,假设111,3()n n a a S n N *+==∈ ,那么6S =A. 44B. 54C.61(41)3⋅-D.51(41)3⋅- 【答案】B【解析】由13n n a S += ,得13(2)n n a S n -=≥ ,两式相减得113()3n n n n n a a S S a +--=-= ,∴14n n a a +=．又211333a S a === ,所以数列{}n a 从第二项起是公比这4的等比数列 , 5563(14)1414S -=+=-． 12数列{}n a 前n 项和为n S ,113a = ,且对任意正整数m 、n ,都有m n m n a a a +=⋅ ,假设n S a <恒成立那么实数a 的最||小值为 ( )A.12 B.23 C.32D.2【答案】A【解析】 (二)填空题 (3*5 =15分 )13. 在等差数列{}n a 中,3810a a +=,那么573a a +=_____.【答案】20【解析】依题意12910a d +=,所以()57111334641820a a a d a d a d +=+++=+=. 或:()57383221020a a a a +=+=⨯=.14.等差数列{}n a 中 ,假设124a a +=, 91036a a += ,那么10S = .【答案】100【解析】根据等差数列的性质 ,把两条件式相加得12910110402()a a a a a a =+++=+ ,1101010()5201002a a S +==⨯=. 15. {}n a 是等差数列 ,公差d 不为零．假设2a ,3a ,7a 成等比数列 ,且1221a a += ,那么1a = ,d = ．【答案】2,13- 【解析】由题可得 ,2111(2)()(6)a d a d a d +=++ ,故有1320a d += ,又因为1221a a += ,即131a d += ,所以121,3d a =-=. 【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.【名师点睛】此题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质 ,建立方程组求解数列的首||项与公差.此题属于容易题 ,主要考查学生正确运算的能力.16. 数列{}n a 是递增的等比数列 ,14239,8a a a a +== ,那么数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n -【解析】【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题 ,要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质 ,尤其是m n p q +=+ ,那么m n p q a a a a +=+ (等差数列 ) ,m n p q a a a a ⋅=⋅q ；③要熟练掌握(等比数列 )；②注意题目给定的限制条件 ,如此题中 "递增〞 ,说明1数列中相关的通项公式 ,前n项和公式等.。
新高考数学数列经典题型专题提升-第2讲 等差、等比数列的证明(解析版)
（3）求数列{an} 的通项公式．
【解答】（1）解： a1
1
，
a2
3 2
，
a3
5 4
，且
4an 2
4an1
an
．
4a4
4a3
a2
7 2
，解得
a4
7 8
．
（2）证明：由
4an 2
4an1
an
，变形为：
an 2
1 2
an1
1 2
(an1
1 2
an )
，
{an1
1 2
an }
为等比数列，首项为
1，公比为
为等差数列，并求数列
{an
}
的通项公式；
（Ⅱ）若数列
1 Tn
的前
n
项和为
Sn
，求证：
Sn
lnTn
1．
【解答】解：（Ⅰ）证明：对一切 n N * 均有 an1 an Tn Tn1 ，即有 an1 Tn1 an Tn ，
又 T1
a1
1 2
，
所以 a1 T1 1 ，即 an Tn 1，
7．（2021
春•沈阳期中）已知数列 {an }
的前
n
项和为
Sn
,
a1
1 4
,
an1
3 4
Sn
(n
N
)
，数列 {bn }
是首项为
1、
公差为 3 的等差数列，设 cn bnSn ．
（1）求证：数列{Sn} 为等比数列；
（2）求数列{cn} 的前 n 项和 Tn ；
（3）若 cn„
1 m2 m 1对一切正整数 n 恒成立，求实数 m 的取值范围． 4
千题百炼- 数列放缩证明不等式必刷100题(原卷版)
专题16 数列放缩证明不等式必刷100题任务一:邪恶模式(困难)1-100题提示:几种常见的数列放缩方法： （1）()()21111211n n n n n n <=-≥--； （2）()2111111n n n n n >=-++； （3）2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭； （4）()1111111312231nn n n⎛⎫+<+++++< ⎪⨯⨯-⎝⎭；（5(()22n =<=≥； （6(2=>=； （7==； （8）()()()()()()()1211222211212121212122212121nn n n n nnn n n n n n---=<==----------()2n ≥；（9=<=2⎡⎤==()22n <≥；（10=<=()22n -≥； （11）()()01211122221111111n n n nn C C C n n n n =<==--++-+++-； （12）()()()111121122121212121n n n nn n n ---<=-≥-----.一、单选题1．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n =+++++，那么下列结论正确的是 A ．413S << B ．5443S << C ．322S <<D ．2S >2．已知数列{}n a 满足0n a >，12a =，且()2211n n n n a na a ++=+，*n ∈N ，则下列说法中错误的是（ ）A ．222n n a n+≤B ．222232423222234na a a a n++++< C ．11n n a a +<< D ．12n n a a +≤<3．已知数列{}n a 满足113a =，()2*12N nn n a a a n n+=+∈，则下列选项正确的是（ ）A ．20212020a a <B ．2021202114043a << C ．2021202104043a << D ．20211a >4．已知数列{}n a 满足112a =，211n n na a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（ ）． A ．83B ．269C ．2627D ．35．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()111n p p a n n +=+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1p =-时，则2019S π<B ．当0p =时，则2019S π>C ．当12p =时，则20191S >D ．当1p =时，则20191S >第II 卷（非选择题）二、解答题6．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）设2n n nab =，证明：222121112nb b b ++⋅⋅⋅+<.7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意正整数n ，点(),n n P n S 都在函数()22f x x x =+的图象上，且()f x 在点(),n n P n S 处的切线的斜率为n K . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2nk n b =-，求证：12311111nb b b b +++⋯+<.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且39S =，又12a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2若数列{}n b 满足n b 2na-=，求证：数列{}n b 的前n 项和12n T <． 【答案】（1）1n a n =+（2）证明见解析9．已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）求n a 及n S ； （2）记12111n n T S S S =+++，求证：1334n T ≤<．10．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，1S ，2S ，4S 成等比． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb S =，证明对任意的*n N ∈，1232n b b b b +++⋯+<恒成立．11．已知数列{a n }的前n 项和为 S n 12n n a +=（n ∈N*），且a 1＝2．数列{b n }满足b 1＝0，b 2＝2，121n n b n b n +=-，n ＝2，3，…．（Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）求数列 {b n } 的通项公式； （Ⅲ）证明：对于 n ∈N *，1121222221n nnb b b a a a -+++≥-．12．已知函数2()(0)f x ax bx a =+≠的导函数()22f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n P n S 均在函数()y f x =的图象上．若()132n n b a =+ （1）当2n ≥时，试比较1n b +与2n b 的大小；（2）记)*n c n N =∈试证1240039c c c ++⋯+<.13．已知数列{}n a 满足*111,21()n n a a a n N +==+∈．⑴求3a ;⑵求数列{}n a 的通项公式；⑶证明：*122311...().232n n a a a n nn N a a a +-<+++<∈14．数列{}n a 满足：()12323121n n a a a na n ++++=-+；数列{}n b 满足：1222n n n b b n ++=+，且11b a =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1nn i i T b ==∑，证明：13n T ≤<；（3）设1n n n c a b +=，证明：3333123111114n c c c c ++++<.15．在下列条件：①数列{}n a 的任意相邻两项均不相等，且数列{}2n n a a -为常数列，②()()112n n S a n n N *=++∈，③()3112,12,n n a S S n n N *+-==+≥∈中，任选一个，补充在横线上，并回答下面问题.已知数列{}n a 的前n 项和为12,n S a =，___________. （1）求数列{}n a 的通项公式n a 和前n 项和n S ； （2）设()2211k k k b k N S S *+=∈⋅，数列{}k b 的前n 项和记为n T ，证明：()34n T n N *<∈.16．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()612n n n S a a =++，*n N ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()211n bn a -=，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求证：()21log 3n n T a +<+，*n N ∈.17．已知数列{}n a 中，121112,34n n n a a a a a +-===-，， （1）求{}n a 的通项公式； （2）设12b 1,2b n ==>， 117722n n n b n a a +=⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，求证：1 2.i i bi ∞=<∑18．数列{}n a 满足()*2n n nS a n =∈N ，n S 是{}n a 的前n 项的和，21a =． （1）求n S ；（2）证明：1311222nn a +⎛⎫<+< ⎪⎝⎭．19．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n a a S +=，（1）求证：2214n n n a a S ++<；（2<20．已知数列{}n a 的首项135a =，1321nn n a a a +=+，1n =、2、．（1）证明：对任意的0x >，()2112131n n a x x x ⎛⎫≥-- ⎪+⎝⎭+，1n =、2、；（2）证明：2121n n a a a n +++≥+.21．已知数列{}n a 满足12a =，121n n na a a +-=.（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）令121n nb a a a =，证明：222211n b b b +++<.22．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n =+∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记21n an b =-，证明：当*n ∈N 时，312122122n nb b b n n b b b +++++<+≤.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n n a S +=. （1）求{}n a 通项公式； （2）若1111n n nc a a =++-，n T 为数列{}n c 的前n 项和，求证：21n T n <+.24．已知数列{}n a 满足112a =，1223241n n n a a n ++-=-，n *∈N .（1）设121n n b a n =+-，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：3n S <，n *∈N .25．已知数列{}()0n n a a ≠满足()2*12N n a a n n ⎛=∈ ⎝． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：231111n a a a +++⋅⋅⋅+<．26．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，14nn n a a a +=+． （1）求证113n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）求证：32n S <． 27．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，数列{}n S n是公差为12的等差数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21(1)n n b n a =+，求证：对于任意的*n N ∈，12341n b b b +++<.28．已知数列{}n a 满足123a =，12122n na a a a -=-，2n ≥，n *∈N .（1）（i ）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（ii ）求数列{}n a 的通项公式； （2）记1212n n T a a a =，n *∈N ，22212n n S T T T =+++，证明：当n *∈N 时，12235n n n a S a +-<<.29．已知数列{}n a 满足11a =，()*111,n n a a n n N -=+>∈，数列{}n b 是公比为正数的等比数列，12b =，且22b ，3b ，8成等差数列.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足2(2)nn n nb ac n ⋅=⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n S .（3）若数列n d 满足1(1)n nn d b =+-，求证：12253n d d d +++<.30．已知数列{}n a 的首项14a =，其前n 项和为n S ，且满足134n n a S +=+，，其中n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：()11232n n a n nn N a *+--<+<∈-．31．已知数列{}n a 满足11a =，{}n a 的前n 项和n S 满足121n n S S n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：53n T <.32．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，*1)n a n N +=∈ （1）若24n n a b =，求证数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式： （2）若3n n b a =，（i ）求证：102n a <≤； （ii ）12*182()()41353n n a n N n -⋅≤≤∈+33．已知数列{}n a 满足11a =，*11(2,)n n n a a n n n--≥∈=N ， （1）求n a ;（2）若数列{}n b 满足113b =，*121()n n n b b n a ++∈=N ，求证：2512n b <．34．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3556,3,a S a n N *==∈.（1）求n a 与n S ；（2）设n b 12311222n b b b b n n ++++<+-+.35．已知数列{}n a 满足：12a =，1122n n n a a ++=+，*n N ∈.（1）求证2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（3）求证：2132431111112n n a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅+<----.36．已知数列{}n a 满足12a =，12(1)(*)n n a S n n N +=++∈（1）求证：{}1n a +是等比数列；并写出{}n a 的通项公式（2）求证：对任意()*n n N ∈，有12311111724n a a a a ++++<37．已知n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，且344S a +=，34a +是2a ，4a 的等差中项．n （2）求证：1231111117333335n n a a a a a -+++++<-----．38．已知数列{}n a 满足11a =，前n 项和n S 满足{}22,n n S n n b =+是正项等比数列，且121,b b =是1a 和4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求证：112233111154n n a b a b a b a b ++++<++++.39．已知各项均为正数的数列{}n a 满足：11a =，()*118N n n n n a a n n a a +++=∈-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足211=-n n b a ，12S n n b b b =+++，求n S ；（3）若数列{}n c 满足11n nc a =+，123...n n T c c c c =⋅⋅⋅⋅，求证：n T40．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n n S na a =+-．n （2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：32n T <．41．已知各项为正数的数列{}n a 满足：11,2,3,4,,2n n a n a -==-且1n a ≠．（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列． （2）若110,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，证明：对一切正整数n，都有13215n a a a a -<⋅⋅42．已知数列{}n a 满足：112a =，()132n n n a a n N a *+=∈+. （I ）求证：数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； （II ）设{}n a 的前n 项和为n S ，求证1116n S <.43．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若35a = ，713a = .（1）求n a 和n S ；（2）当2n ≥ 时，证明：12111714n S S S n +++≤- .44．已知正项数列{}n a 满足11a =，()221142n n n n a a a a n *+++=-∈N . （1）证明：数列{}1n a +是等比数列；（2）证明：()2341111123n n a a a a *+++++<∈N .45．已知数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足n 、n a 、n S 成等差数列．(Ⅰ)求1a ，2a 的值，并证明：数列{}1n a +是等比数列； (Ⅱ)证明：3124123222n na a a a n n a a a a +<+++⋯+<+．46．给定数列{}n a ，若满足1a a =(0a >且1)a ≠，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a +=⋅，则称数列{}n a 为“指数型数列”．(1)已知数列{}n a 的通项公式4n n a =，证明：{}n a 为“指数型数列”； (2)若数列{}n a 满足：112a =，()1123*n n n n a a a a n N ++=+∈；①判断数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； ②若数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：34n S <.47．已知数列{}n a 中，11a =，其前n 项的和为n S ，且当2n ≥时，满足21n n n S a S =-． （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）证明：2221274n S S S +++<．48．已知函数()32x f x x=-，数列{}n a 中，若1()n n a f a +=，且114a =. （1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：12n S <.49．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()2n n S a n n N *=-∈．（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）求证：121111122n n a a a -<+++<．50．已知数列{}n a 中，12a =，其前n 项和n S 满足：23n n S a n =+-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令(1)1n n n b a a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：对于任意的*n N ∈，都有56n T <．51．已知数列{}n a 的各项均不为零．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列2{}n a 的前n 项和为n T ，且2430n n n S S T -=+，*n N ∈．（Ⅰ）求1a ，2a 的值； （Ⅱ）证明数列{}n a 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：121112111n a a a +++<---.52．数列{}n a 前n 项和为n S ，已知2112,32 2.n n n a S a ++==-+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明121111118n a a a +++<．53．已知数列{}n a 满足1a a =，2221()n n n n n S n S a a n N *+=++∈，. (1)若{}n a 为不恒カ0的等差数列，求a ；(2)若13a =，证明：1n a ＜.54．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()11.n n a S n N ++=+∈ (Ⅰ)求通项公式n a ；(Ⅱ)记12111n n T S S S =++⋯+，求证：31222n n T -≤<．55．已知正项数列{}n a 满足2*1()n n n a a a n N +=-∈.（1）求证:101a <<，且当2n ≥时，12n a n ≤+； （2）求证:2ln(1)n i i a n =<+∑.56．已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，S 2＝212b .(1)若b 2是a 1，a 3的等差中项，求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)若a n ∈N ＋，数列{n a b }是公比为9的等比数列，求证：11S ＋21S ＋31S ＋…＋1n S ＜74.57．已知数列{}n a ，11a =，二次函数()()21122n n n f x a x a x -+=+-的对称轴为12x =. (1) 证明：数列{}2n n a 是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设21n n n b a =-，求证：122311232n n b b b n n b b b +-<++<.58．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21n n S a =-.（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证： 13n T <.59．已知数列{}n a 满足112a =，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈．（1）求证：数列1{}1n a -是等差数列； （2）求证：231223411n n a a a a n n n a a a a +<+++<+．60．数列{}n a 满足1212242n n n a a na -++++=-，*n N ∈. （1）求3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）设121log n n b a =+，求证：2221211174n b b b +++<.61．设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n N ∈. (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.62．已知函数()221x f x x =+，数列{}n a 满足112a =，()1n n a f a +=，*n N ∈.（1）求证：1112n n a a +≤<<； （2）求证：()()()2222132112231n n n n a a a a a a a a a a a a ++---++⋯+<63．已知数列{a n }满足()212331n n n n a a a a ++=+.(Ⅰ)若方程f (x )=x 的解称为函数y =f (x )的不动点,求a n +1=f (a n )的不动点的值； (Ⅱ)若112,1n n n a a b a -==+,求证：数列{ln b n }是等比数列，并求数列{b n }的通项． (Ⅲ)当任意*n N ∈时，求证：12312n b b b b +++⋯+<.64．数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +2n ．（1）求证数列{a n +2n }是等比数列；（2）证明：对一切正整数n ，有1a 1+1a 2+⋯+1a n <32．65．已知数列{}n a 满足条件：1a t =,121n n a a +=+（1）判断数列{}1n a +是否为等比数列；（2）若1t =，令12nn n n c a a +=⋅,1,k n k nT c ==∑ 证明1n T <66．已知数列{}n a 中，14a =，132(2)nn a a n（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）证明：1112n i i a ．67．已知数列{}n a 满足：n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1的等差数列，且12 1.n n n a a n ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式n a；（2）设*)nb n N =∈，求证：12 1.n b b b +++<68．已知正项数列{}n a1，（n∈N +，n≥2），且a 1＝4．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证12111+...na a a +＜1（n∈N +）69．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，1a ＝3，前n 项和为S n ，{}n b 是等比数列，1b ＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求证：1211134n S S S +++<对一切*n N ∈都成立．70．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（2）记1231111n n T S S SS =++++，证明：12n T <<71．已知数列{}n a 满足11a =，且点()1,2n n n a a +-在函数()3f x x =的图象上．（1）求证：12n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式： （2）若1n n n a b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：233n S n >+．72．已知数列{}n a 满足123a =，且当2n ≥时，12122n na a a a -=-． （1）求证：数列1{}1na -是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）记1212n n T a a a =，22212n n S T T T =+++，证明：当n *∈N 时，123n n a S +-<．73．已知数列{}n a 满足113a =，11113n n n a a +++=． （1）证明：数列1134n n a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：1235n a a a ++⋅⋅⋅+<．74．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2324n n n S a a =+-，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记n b ={}n b 的前n 项和为n T ，*n∈N ，求证：2n T <．75．数列{}n a 满足122a a ==，21212n n a a +-=，22221n n n a a a ++=+，*n ∈N . （1）求3a ，4a 及n a (用n 表示)； （2）设22111n n n b a a +=-，求证：14n n b ≤； （3）求证：1232211111156n n a a a a a ++-+⋅⋅⋅+-<.76．已知{}n a 是公比1q >的等比数列，且满足2312a a +=，1432a a =，数列{}n b 满足：11121...3246n n n n a b a b a b n +-+++=⋅--. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n n n b c b b a ++-=⋅⋅，求证：1211...1n n nc c c b a ++++<-⋅. 77．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =，()123n n n a S n *+=+∈N .（1）求n S （用n 表示）；（2）求证：当2n ≥时，不等式12123527n n S S S n a S a +++<-成立.78．已知函数(),y f x x N +=∈，满足：①对任意,a b N +∈，都有()()()()af a bf b af b bf a +>+； ②对任意*n N ∈都有[()]3f f n n =． （1）试证明：()f x 为+N 上的单调增函数； （2）求(1)(6)(28)f f f ++； （3）令(3),n n a f n N +=∈，试证明：121111.424n n n a a a <+++<+79．已知正项数列{}n a 满足11a =，112382n n n n a a a a +++=-. （1）试比较n a 与2的大小，并说明理由； （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：当*n N ∈时，25n S n >-.80．已知数列{}n a 满足()2*12342326n n n n N a a n a a +++⋅⋅⋅⋅⋅+⋅=∈． （1）求数列{}n a 的通项；（2）设n n a b n=，若2222123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，求证：1163662n n n a S a ++<<--．81．已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，且对任意的*n N ∈，2n n b a =+，12n n n a b b +=-.（1）求2a ，3a 及数列{}n b 的通项公式；（2）记()11213n n n n a c b +++=-，*n N ∈， 求证：2123148n c c c n n ≤+++<++，*n N ∈.82．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，()()*163212,n n S na n n n n N +=-++∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1211156n a a a +++<．83．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足对每个n N +∈，112n n n S a ++，，成等差数列，且1236a a a +，，成等比数列.（1）求1a 的值；（2）求{}n a 的通项公式；（3）求证：21211111(13)103n n a a a -+++≤-84．数列{}n a ，11a =，()12*23n n a a n n N n +-=+∈（1）是否存在常数λ，μ，使得数列{}2n a n n λμ++是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，说明理由.（2）设112n n n b a n -=+-，123n n S b b b b =++++，证明：当2n ≥时，513n n S n <<+.85．已知数列{}n a 满足()2*1121,N 1n n n a a a n n +==∈+. （Ⅰ）证明：1n n a a +<；（Ⅱ）证明1223112n n a a a n a a a n+++⋯+≤+-； （Ⅲ）证明：14n a >.86．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，12(1)n n S n a +=-，n *∈N ． （1）求2a 、3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有1211174n S S S ++⋅⋅⋅+<．87．已知数列{}n a 满足10,2n a a >=，且()22*1(1)n n n n a na a n ++=+∈N . （1）证明：1n a >；（2）证明：2223229(2)495n a a a n n ++⋯+<.88．已知数列{}n a 、{}n b 满足14a =，252a =，12n n n a b a ++=，()*12n n n n n a b b n N a b +=∈+． （Ⅰ）求证：12n n a a +<<； （Ⅰ）设数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求证：1839n S n <+； （Ⅰ）设数列{}n a 的前n 项和为n T ，求证：当1n >时，823n T n <+．89．已知数列{}n a 满足101a <<，()1ln 1n n n a a a +=-+，*n N ∈． （Ⅰ）证明：01n a <<；（Ⅰ）证明：212n n a a +<； （Ⅰ）若112a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：916n S <．90．在数列{}n a 中，已知211212,31n n n a a a a +==+，其中*n N ∈. （1）求2a 的值，并证明：1n n a a +>；（2）证明：121na n +； （3）设12111111n n T a a a =++++++，求证：34n T n >-.91．已知数列{}n a 满足：1120n n n n a a a a --+-=，()2,n n N ≥∈，11a =前n 项和为n S 的数列{}n b 满足：11b =，()1122,12n n n n n n a a a b n n N a a ---=≥∈-，又()12,n n n S c n n N b -=≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：()23111821112,3n n n N c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++<≥∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.92．已知数列{}n a ，111,3(1)+==+-n n n a a a .(1)记(1)4nn n b a -=+，证明:{}n b 是等比数列； (2)当k 是奇数时，证明:1111163k k k a a +++<； (3)证明:12111...2n a a a +++<.93．已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N .(1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:1211134n a a a +++<.94．已知数列{}n a 的首项1a a =，其前n 和为n S ，且满足213(1)n n S S n ++=+()*n ∈N . （1）用a 表示2a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）当32a =时，证明：对任意*n N ∈，都有2222232121111112n na a a a -++++<.95．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且()111ln ln ln ln n n n n a a a b b ++=-=-，212T a =，432T a =．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：121112nT T T +++<．96．已知数列{}n a ，11a =，{}n a 的前n 项和为n S ． （1）若12n n a a +-=，()*n ∈N ，求证：22111111n n n n a a a a -+-++>+，其中3n ≥，*n ∈N ； （2）若对任意*n ∈N 均有131n n a a +=-，求{}n S 的通项公式； （3）若对任意*n ∈N 均有11n n n a a a +=+，求证：234n n S S -<．97．已知数列{}n a ，112a =，()2*11124n n n a a a n N +=+∈，设()1n f n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数．设()()1f n n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ．求证：（1）判断n a 与12的大小，并说明理由；（2）证明：()*112n n a n N a +≤∈； （3）证明：当3n >时，327432n T <<．98．已知数列{}n a 中，111,2(1)n n n a a a +==+-.（1）证明：(1){}3nn a -+是等比数列； （2）当k 是奇数时，证明：111192k k k a a +++<；（3）证明：121113na a a +++<.99．已知数列{}n a 满足：2*112,1,n n n a a a a n N +==-+∈． （1）证明：当*2n n N >∈且时，11211n n n a a a a a +-=+； （2）证明：20171220171111112a a a -<+++<．100．已知数列{}n a 满足11a =，121n n n a a a +=+，*n N ∈，记n S ，n T 分别是数列{}n a ，{}2n a 的前n 项和，证明：当*n N ∈时，（1）1n n a a +<；（2）21121n n T na +=--；（31n S <<.。
千题百炼- 数列求和综合必刷100题(原卷版)
专题14 数列求和综合必刷100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ）A ．14n +B ．14n -C ．12n +D ．12n-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，121()n n a a n n N +++=+∈，则数列1{}nS 的前2020项的和为（ ） A ．20202021B ．40402021C ．40392020D ．404120223．数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前99项和为（ ） A ．2100－101 B ．299－101C ．2100－99D ．299－994．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n N ∈.则使得20T 的值为（ ） A ．1939B ．2041C ．3839D ．40415．已知数列{a n }满足：a n +1=a n -a n -1（n ≥2，n ∈N *），a 1=1，a 2=2，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2021=（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．06．正项数列{}n a 满足11a =，211(2)30(1,)nn n n a a a a n n N ---+--=>∈，则133520192021111a a a a a a +++=（ ）A ．12003534B ．10106061C ．12202021D ．202054617．化简221(1)2(2)2222n n n S n n n --=+-⨯+-⨯++⨯+的结果是（ ）A ．122n n ++-B ．122n n +-+C ．22n n --D ．122n n +--8．已知数列{}n a 中，*111,34(,2)n n a a a n N n -==+∈≥，求数列{}n a 的前n 项和n S 为（ ）A ．13232n n n S +--=B ．13232n n n S ++-=C ．13432n n n S +--=D ．1332n n S +-=9．等比数列{}n a 中，12a =，2q ，数列()()111nn n n a b a a +=--，{}n b的前n 项和为n T ，则10T 的值为（ ） A ．40944095B ．20462047C ．10221023D ．51051110．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ．则使得2041n T <成立的n 的最大值为（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20第II 卷（非选择题）二、填空题11．数列{}n a 是首项和公差都为1的等差数列，其前n 项和为n S ，若n T 是数列12n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则99T =______12．已知数列{}n a 的通项公式*21log ()2n n a n N n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使3n S ≤-成立的最小的自然n 为__________.13．已知数列{}n a 满足()*2n n a a n n N ++=∈，则{}n a 的前20项和20S =________．14．已知正项数列{}n a 满足11a =，2+11(2)30,(2,)n n n n a a a a n n N ---+--=≥∈，则122320002021111a a a a a a +++=___________.15．设数列{}n a 满足12(1)n n a a n +=++，*n ∈N ，12a =，则数列{}(1)nn a -的前50项和是________．16．设4()42xx f x =+，则12320192020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭__________.17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且341,1S S ==-，且()*32n n a a n N +=∈，则2017S =___________.18．在数列{}n a 中，12a =，且1n 1n 2(2)n n n a a n a a --+=+≥-，则数列21242n n a a ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前2021项和为__________.19．已知数列1111,,,121231234++++++，……，则该数列的前10项和为__________．20．已知数列{}n a 满足11a =且()1231111123n n a a a a a n N n*+++++=-∈，数列{}2n n a 的前n 项为n S ，则不等式30n n S a ≥最小整数解为________.三、解答题21．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点()1,n n S S +在直线()11n y x n n N n*+=++∈上. （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若数列{}n b 满足122n a n b n -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .22．已知数列{}n a 为等差数列，公差10,5d a ≠=，且1a ，6a ，21a 依次成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若335n S =，求n 的值.23．在等差数列{}n a 中，2414a a +=，135736a a a a +++=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令21n n b a =-，求数列{}2n n b b +的前n 项和n T ．24．已知数列{}n a 满足316a =，121nn n a a a +=+. （1）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 在（①1n n n b a a +=；②()1nnnb a =-；③113nan n b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分）25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且141n n n S a a +=+，11a =.数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：1231111++++≥nb b b b26．已知{}n a 是等比数列，0n a >，且223a =，6542a a a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b a n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．27．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足35a =，且125,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明12n T <．28．已知数列{}n a 满足11a =，132n n a a +=+，*n N ∈．数列{}n b 满足11b =，11n n n S n S b n +-=+++，其中n S 为数列{}n b 是前n 项和．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）令()()21n n n b n c n a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：1524n T ≤<．29．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111,1(*)n n a a S n N +==+∈，数列{}n b 满足11b =，12n n n b a b +=+． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足1nn n n a c b b +=，求证：1212n c c c +++<．30．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，1122,,,n n n a a a a ++=-成等差数列．等差数列{n b }满足121b a =+，523233b b a -=-．（1）求数列{n a }，{n b }的通项公式;（2）设数列1(21)n n b ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为Tn ，证明： 16n T <任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．已知数列{}n a 满足12a =，23a =且*21(1),n n n a a n N +-=+-∈，则该数列的前9项之和为（ ）A ．32B ．43C ．34D ．352．数列{}n a 满足143a =，()2*11n n n a a a n N +-=-∈，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则（ ） A ．202112S << B ．202123S << C ．202134S << D ．202145S <<3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．124．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()112n n n na S S +-=，则2021S =（ ） A ．1009132+ B ．1009132- C ．1010132+D ．1010132-5．数列{}n a 是正项等比数列，满足14+=nn n a a ，则数列2211log log n n a a +⋅⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =（ ）A ．421nn + B ．421nn - C ．21nn + D ．21nn -6．数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017111a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．20171009B ．40322017C ．40282015D ．201510087．设数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（ ） A ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭B ．42369n n ++C ．1169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭D ．2169n n ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭8．已知函数4()42xx f x =+，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前2019项和为（ ）A ．20192B ．1010C ．20212D ．10119．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且112a =，1112122n n n n S S +++-=-．若2log n nb T =-，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n A 为（ ） A ．21nn + B ．2n n + C ．12nn + D ．132n +10．数列{}n b 满足11122n n n b b ++=+﹐若112b =，则{}n b 的前n 项和为（ ） A ．1212n n ++- B ．1112n n ++- C ．222nn +-D ．13322n n ++-11．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令21n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对于*n N ∀∈，不等式n T λ<恒成立，则实数λ的取值范围是（ ） A ．13λ≥ B ．15λ>C ．15λ≥D ．0λ>12．已知数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n N +=-+∈，设12111n n S a a a =+++，且10910231a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为（ ） A ．23B ．1C ．32D ．213．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),N 2n n n n S a n =--∈，则12100S S S +++=（ ）A ．10011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ B ．9811132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C ．5011132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4911132⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦14．正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*2n n n S a a n N =+∈，设()2112nn n na c s +=-，则数列{}n c 的前2020项的和为（ ） A ．20192020- B ．20202019-C ．20202021-D ．20212020-第II 卷（非选择题）二、填空题15．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n n S a a =+.若21(1)2n n nn b S +=-，则数列{}n b 的前2021项和为___________.16．已知数列{}n a 的各项均为正数，13a =，()2*116n n n na a a n a ++=+∈N ，()()1211n n n n ab a a +=++，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若n S λμ<<对任意正整数n 都成立，则λμ-的取值范围是___________.17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足11S =，12n n nS S n +=+，其中*n N ∈，数列{}n S 的前n 项和为n T ，则20T =___________.18．已知正项数列{}n a 满足12a =且221120n n n n a a a a ++--=，令()2527n n b n a =+-，则数列{}n b 的前7项的和等于___________.19．已知21n a n =+，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的*n N ∈，11n n a T t +≤，则实数t 的最大值是________.20．数列{}n a 且21,212sin ,24n n k n na n n k π⎧=-⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩()k N *∈，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2021S =__________.21．用()T n 表示正整数n 所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1，3，9，则()99T =，10的因数有1，2，5，10，则()105T =．计算()2021(1)(2)(3)21T T T T ++++-=________．22．已知数列{}n a 满足()232113521n a a a a n n +++⋅⋅⋅+=+-，则n a =___________；若1n n b a =，则数列{}n b 的前n 项和n S =___________.23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1n n a S +=，则812128S S S a a a +++=______________．24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点,31n S n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭在直线12y x =上．若()1nn n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足20n T ≤的n 的最大值为________．25．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且()212n n nS S a n -+=≥，设()()121nn nna b S -+=，则数列{}n b 前n 项和的取值范围为_________．26．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+(2n ≥且n ∈+N )，等比数列{}n b 公比2q，令1,,n n nn a c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，则数列{}n c 的前n 项和2n S =___________.27．已知数列{}n a 与{}n b 前n 项和分别为n S ，n T ，且20,2,n n n n a S a a n *>=+∈N ，()()112122n n n n n n b a a +++=++，则6T =________．三、解答题28．数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，24a =，()()21n n S n a n N *=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()11611n n n n n c a a ++-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .29．已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()()()*1112n n n n nS n S n ++=++∈N .（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足112b =，()*12n n n n b b b n a +=+∈N .设数列{}n c 满足2n n n b c S +=，证明：1212n c c c ++⋅⋅⋅+<.30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，28b =，1334b b -=. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）在①420S =，②332S a =，③3423a a b -=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.问题：已知14a b =，___________，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前k 项和1516k T >？若存在，求k的最小值；若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）31．在①39S =，520S =；②公差为2，且1S ，2S ，4S 成等比数列；③238n S n n =+；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．问题：已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前项和为n S ，______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令[]2log n n c a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求1220c c c ++⋅⋅⋅+的值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．32．在∈21,323;n n n a n b T =-=+∈222,n n n n n S n a b a S =+=这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列的{}n a 前n 项和是,n S 数列{}n b 的前n 项和是n T ，__________． （1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）设,nn na cb =证明：123 1.nc c c c ++++<33．在①22n n S a =-；②314S =；③3S ，22S +，1S 成等差数列这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，前n 项和为n S ，12a =且______． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．34．已知数列{}n a 中，11a =，131n n a a +=+.（1）求证：12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()1312n n n n n b a +=-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式(1)2nn n n T λ-<+对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围.35．已知{}n a 为等比数列，124a a +=，记数列{}n b 满足31log n n b a +=，且11n n b b +-=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）对任意的正整数n ，设(1)()n bn n n c a b =-+，求{}n c 的前n 项的和n S .36．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()2144n n a S +=+.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令124n n n n b a a a ++=，若数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：4110515n T ≤<.37．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，且*1)n a n N +∈ （1）求n S ； （2）设()*24n n n nb n N S S +=∈⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：32n T <.38．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3117,143a S ==． （1）求{}n a 的通项公式以及n S ； （2）求使不等式121112542n S S S +++≥成立的最小值n ．39．设数列{}n a 前n 项和为n S ，11a =，11n n a S +-=（n *∈N ）. （1）求出{}n a 通项公式；（2）若()11,?2,? n n n n n b n n a +⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .40．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知111,1n n a S a +=-=-. （1）求{}n a 通项公式；（2）对任意的正整数n ，设 212321221,log log log 2,n n n n n n k k N a a c a n k k N a +++++⎧=-∈⎪⋅⎪=⎨⎪=∈⎪⎩，，，求数列{}n c 的前2n 项和.任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．已知数列{}n a 满足11a =，()2211nn n a a -=+-，2123nn n a a +=+（*N n ∈），则数列{}n a 的前2017项的和为（ ） A ．100332005- B ．201632017- C ．100832017- D ．100932018-2．已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和2234n n n a a S +-=，数列{}n b 满足()1111n n n n n b a a +++=-，其前n 项和为n T ，若2n T nλ>对任意n *∈N 恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．1,21⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,15⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．4,33⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．4,21⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．已知等比数列{}n a 满足516a =，434a a -=，若n n b na =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意*n ∈N ，不等式1n n S mb -≤恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[)4,+∞ B ．[)3,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞4．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)()x x x 0,n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列n 1a 2n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭前n 项的和，则下列结论正确个数的有( ) （1）3a 4=（2）190是数列{}n a 中的项 （3）105S 6=（4）当n 7=时，n a 21n+取最小值 A ．1个B ．2个C ．3个D ．45．设数列{}n a 的前n 项积()1n n T a n *=-∈N ，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+，求1n n S a +-的取值范围是（ ）．A ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．17,218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．57,1218⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．51,123⎡⎫--⎪⎢⎣⎭6．已知n S 数列{}n a 的前n 项和，1a λ=，且21(1)n n n a a n ++=-，若201920192101020192019S a μ-=-，（其中,0λμ>），则20191λμ+的最小值是（ ）A．B ．4C．D ．20187．数列{}n a 满足11a =，21n n a a n --=（*n N ∈且2n ≥），数列{}21n a -为递增数列，数列{}2n a 为递减数列，且12a a >，则99a =（）． A ．4950- B ．4851- C ．4851 D ．49508．已知数列{}n a 中，12a =，若21n n n a a a +=+，设1212222111m m m a a a S a a a =++⋅⋅⋅++++，若2020m S <，则正整数m 的最大值为（ ）A ．1009B ．1010C ．2019D ．20209．已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n nT n N n λ<∈+恒成立，则λ的取值范围是 A ．1(,) 4+∞B ．1[,) 4+∞C ．3[,) 8+∞D ．3(,)8+∞10．艾萨克·牛顿（1643年1月4日——1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数()f x 零点时给出一个数列{}n x ：满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数2()f x ax bx c =++（0a >）有两个零点1，2，数列{}n x 为牛顿数列，设2ln1n n n x a x -=-，已知11a =，2n x >，{}n a 的前n 项和为n S ，则20181S +等于A ．2018B ．2019C ．20182D ．2019211．已知1x =是函数3212()1n n n f x a x a x a x ++=--+()*n ∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，记21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b b b b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012．设[]x 表示不超过x 的最大整数，已知数列{}n a 中，12a =，且1(1)n n n a a a +=+，若1212[]100111nn a a aa a a +++=+++，则整数n = A ．99 B ．100 C ．101 D ．102第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知数列{}n a 满足：11a =，213a =，1121216n n n n b b b b a a a a +-+++=+(2n ≥且n ∈+N )，等比数列{}n b 公比2q ，则数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S =___________.14．各项均为正数的等比数列{}n a ，满足234lg lg lg a a a +=，且2a ，31a +，4a 成等差数列，数列{}n b 满足11b =，数列(){}1n n n b b a +-的前n 项和2n S n =，则n b =______.15．已知公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a ，2a ，5a 成等比数列，253S a =，数列{}n b 满足()()11211n n n n n a b a a +++=-，前n 项和为n T ，则510T T +=_________.16．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若201820202019S S S <<，设12n n n n b a a a ++=，则数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 取最大值时n 的值为______________17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，满足11a =，3()()n n S n m a m R =+∈，且15n n a b =．若对*n N ∀∈，n T λ>恒成立，则实数λ的最小值为____________．18．已知函数()02,2,2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩若对于正数()*n k n N ∈，直线n y k x =与函数()y f x =的图象恰有21n 个不同的交点，则数列{}2n k 的前n 项和为________.19．数列{}n a 满足132a =，211n n n a a a +=-+()N n +∈，则122019111m a a a =++⋯+的整数部分是___________.20．设()P n 表示正整数n 的个位数字,记()()()32n P n P n ψ=-,M 是(){}n ψ的前4038项的和,函数()1ln 1f x x x=++,若函数()g x 满足()2282Mx Mx f g x Mx Mx ⎡⎤---=⎢⎥+⎣⎦,则数列(){}g n 的前2020项的和为________.21．已知正项数列{}n a 满足()()22112120n n n n n a n a a na +++++⋅-=，14a =，则数列()()12n a n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⋅+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为___________．22．已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，则数列(1)(2)na n n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭的前n 项和为___________.23．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1(1)2n n n nS a =-+，则1211S S S ++⋯+=_____.24．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，318a a -=，当4a 取最小值时，则数列2{}n na 的前n 项和为__________．三、解答题25．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，5462,,4a a a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n b 的前n 项和*1,N 2n n n S b n +=∈，且11b =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设,21(N ),2(N )n n nb n k kc a n k k **⎧=-∈=⎨=∈⎩，求数列{}n c 的前n 项和n P .26．已知数列{}n a 是正项．．等差数列，11a =，且12a a ≠.数列{}n b满足)n b n +∈N ，数列{}n b 前n 项和记为n S ，且()111124n n n S S n b +++⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭N .（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若数列{}n c 满足11n n nc a a +=⋅，其前n 项和记为n T ，试比较n S 与n T 的大小.27．已知正项数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，且12n n n a a S +=.数列{}n b 满足：1n a +(b 1+ b 2)n n b a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*n c n N =∈122n c c c <+++<.28．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，52a ，4a ，64a 成等差数列，且满足2434a a =，数列{}n S 的前n 项之积为n b ，且121n nS b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （3）设21n n n n n b a d b b ++⋅=⋅，若数列{}n d 的前n 项和n M ，证明：71303n M ≤<．29．已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）证明：2222ln 2ln 3ln 21(,2)234(1)n n n n N n n n --++⋅⋅⋅+<∈≥+.30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*2(21)2n n S n a n n N =+-∈，数列{}n b 满足11b a =，1n n n nb a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足：14c =，()*1n n n n a c c n N b +=-∈，若不等式()*392n n n c n N λ++≥∈恒成立，求实数λ的取值范围.。
千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第50炼 等比数列性质(含等差等比数列综合题)
第50炼 等比数列性质一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0, 只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q -=⋅，也可以为：n m n m a a q -=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q-=-可变形为：()1111111n n n a q a a S q qq q -==----，设11ak q =-，可得：n n S k q k =⋅- 5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列② 数列{}n a λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=-时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列 ④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关：设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++ ，则有：()()212212km n mm m m k m kn n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q -++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=-2122332,k k k k k a a a S S +++++=- ，则232,,,k k k k k S S S S S -- 成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：n n a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：n n S kq k =-注：若()nn S kq m m k =-≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系（4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系 ()111n n a q S q-=-，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq-⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-⎣⎦===---⋅()()1112111111n n n n n n a q a q q S a q T q q ----=⋅=-- 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q = 所以810216a a q ==例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =-=-，则5a =（ ） A. 64 B. 64- C. 8 D. 8- 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==-⋅=- 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =- 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。
高中数学重难题型各个击破之等差数列、等比数列的性质运用
高中数学重难题型各个击破之等差数列、等比数列的性质运用一．例题分析等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前n 项和公式的引申.应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________.［例1］已知函数f (x )=412-x (x <－2).(1)求f (x )的反函数f -－1(x ); (2)设a 1=1,11+n a =－f－-1(a n )(n ∈N *),求a n ;(3)设S n =a 12+a 22+…+a n 2,b n =S n +1－S n 是否存在最小正整数m ,使得对任意n ∈N *,有b n <25m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力解：(1)设y =412-x ,∵x <－2,∴x =－214y+, 即y =f－-1(x )=－214y +(x >0) (2)∵411,14122121=-∴+=++nn nn a a a a ，∴{21na }是公差为4的等差数列，∵a 1=1,21na =211a +4(n －1)=4n －3,∵a n >0,∴a n =341-n .(3)b n =S n +1－S n =a n +12=141+n ,由b n <25m ,得m >1425+n , 设g (n )= 1425+n ,∵g (n )= 1425+n 在n ∈N *上是减函数，∴g (n )的最大值是g (1)=5,∴m >5,存在最小正整数m =6,使对任意n ∈N *有b n <25m成立. ［例2］设等比数列{a n }的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n }的前多少项和最大？(lg2=0.3,lg3=0.4)命题意图：本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力.解法一：设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m 化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 ),1(9114121a q q q a q q 解得.设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则S n =lg a 1+lg a 1q 2+…+lg a 1q n －1=lg a 1n ·q 1+2+…+(n －1)=n lg a 1+21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+27lg3)·n可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大. 而4.024.073.043lg 3lg 272lg 2⨯⨯+⨯=+=5,故{lg a n }的前5项和最大. 解法二：接前，⎪⎩⎪⎨⎧==311081q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31,∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 31为公差的等差数列，令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0,∴n ≤4.04.043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=5.5.由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大. 二．练习题 一、选择题1.等比数列{a n }的首项a 1=－1,前n 项和为S n ,若3231510=S S ，则lim ∞→n S n 等于( ) 32B. 32A.-C.2D.－2 二、填空题2.已知a ,b ,a +b 成等差数列，a ,b ,ab 成等比数列，且0<log m (ab )<1,则m 的取值范围是_________.3.等差数列{a n }共有2n +1项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为_________.4.已知a 、b 、c 成等比数列，如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列，则ycx a +=_________. 三、解答题5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由.6.已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0,由{a n }中的部分项组成的数列 a 1b ,a 2b ,…,a n b ,…为等比数列，其中b 1=1,b 2=5,b 3=17.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)记T n =C 1n b 1+C 2n b 2+C 3n b 3+…+C nn b n ,求nn nn bT +∞→4lim. 7.设{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1=b 1=1,a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,分别求出{a n }及{b n }的前n 项和S 10及T 10.8.{a n }为等差数列，公差d ≠0,a n ≠0,(n ∈N *),且a k x 2+2a k +1x +a k +2=0(k ∈N *) (1)求证：当k 取不同自然数时，此方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为x 1,x 2,…,x n ,…,求证：数列11,,11,1121+++n x x x Λ为等差数列. 参考答案解法一：将S m =30,S 2m =100代入S n =na 1+2)1(-n n d ,得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+1002)12(22302)1(11d m m ma d m m ma 2102)13(33,2010,4013212=-+=∴+==d m m ma S m m a md m 解得解法二：由]2)13([32)13(33113dm a m d m m ma S m -+=-+=知，要求S 3m 只需求m［a 1+2)13(dm -］,将②－①得ma 1+ 2)13(-m m d =70,∴S 3m =210.解法三：由等差数列{a n }的前n 项和公式知，S n 是关于n 的二次函数，即S n =An 2+Bn (A 、B 是常数）.将S m =30,S 2m =100代入，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+m B m A m B m A Bm Am 1020 1002)2(30222,∴S 3m =A ·(3m )2+B ·3m =210 解法四：S 3m =S 2m +a 2m +1+a 2m +2+…+a 3m =S 2m +(a 1+2md )+…+(a m +2md )=S 2m +(a 1+…+a m )+m ·2md =S 2m +S m +2m 2d .由解法一知d =240m,代入得S 3m =210.解法五：根据等差数列性质知：S m ,S 2m －S m ,S 3m －S 2m 也成等差数列，从而有：2(S 2m －S m )=S m +(S 3m －S 2m )① ②∴S 3m =3(S 2m －S m )=210 解法六：∵S n =na 1+2)1(-n n d , ∴nS n =a 1+2)1(-n n d∴点(n , nS n )是直线y =2)1(dx -+a 1上的一串点，由三点(m ,m S m ),(2m , m S m 22),(3m , m S m 33)共线，易得S 3m =3(S 2m －S m )=210.解法七：令m =1得S 1=30，S 2=100，得a 1=30,a 1+a 2=100,∴a 1=30,a 2=70 ∴a 3=70+(70－30)=110 ∴S 3=a 1+a 2+a 3=210 答案：210一、1.解析：利用等比数列和的性质.依题意，3231510=S S ，而a 1=－1,故q ≠1, ∴3213232315510-=-=-S S S ,根据等比数列性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10,…,也成等比数列，且它的公比为q 5,∴q 5=－321,即q =－21.∴.321lim 1-=-=∞→q a S n n 答案：B二、2.解析：解出a 、b ,解对数不等式即可. 答案：(－∞,8)3.解析：利用S 奇/S 偶=nn 1+得解. 答案：第11项a 11=29 4.解法一：赋值法. 解法二：b =aq ,c =aq 2,x =21(a +b )=21a (1+q ),y =21(b +c )=21aq (1+q ),y c x a + =)1(41)1(21)1(2122222q q a q q a q q a xy cx ay ++++=+=2.答案：2三、5.(1)解：依题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3. (2)解法一：由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大值的条件为：a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3=12,∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd ，∵d ＜0,∴2－d 12＜k ≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d 12＜4,得5.5＜k ＜7.因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大.解法二：由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，因此，若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0,则S k 是S 1，S 2，…，S 12中的最大值.由等差数列性质得，当m 、n 、p 、q ∈N *,且m +n =p +q 时，a m +a n =a p +a q .所以有：2a 7=a 1+a 13=132S 13＜0,∴a 7＜0,a 7+a 6=a 1+a 12=61S 12>0,∴a 6≥－a 7>0,故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大.解法三：依题意得：)(2)212()1(221n n dd n d n n na S n -+-=-+=222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2d n d d d d n d --∴<----=Θ最小时，S n 最大； ∵－724＜d ＜－3,∴6＜21(5－d 24)＜6.5.从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d24)］2最小，所以S 6最大. 点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易.第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k ,1≤k ≤12,思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0，思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解.它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点.而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解.6.解：(1)由题意知a 52=a 1·a 17，即(a 1+4d )2=a 1(a 1+16d )⇒a 1d =2d 2,∵d ≠0,∴a 1=2d ,数列{n b a }的公比q =11154a da a a +==3, ∴n b a =a 1·3n －1① 又n b a =a 1+(b n －1)d =121a b n +②由①②得a 1·3n －1=21+n b ·a 1.∵a 1=2d ≠0,∴b n =2·3n －1－1.(2)T n =C 1n b 1+C 2n b 2+…+C n n b n =C 1n (2·30－1)+C 2n ·(2·31－1)+…+C n n (2·3n －1－1)=32(C 1n +C 2n ·32+…+C n n ·3n )－(C 1n +C 2n +…+C n n )=32［(1+3)n －1］－(2n －1)= 32·4n －2n +31,.32)41()43(211)41(31)21(32lim 1324312432lim 4lim 11=-⋅++-=-⋅++-⋅=+∴-∞→-∞→∞→nn n n n n n n n n n n n n b T 7.解：∵{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，∴a 2+a 4=2a 3,b 2·b 4=b 32,已知a 2+a 4=b 3,b 2·b 4=a 3,∴b 3=2a 3,a 3=b 32, 得b 3=2b 32,∵b 3≠0,∴b 3=21,a 3=41. 由a 1=1,a 3=41，知{a n }的公差d =－83, ∴S 10=10a 1+2910⨯d =－855.由b 1=1,b 3=21,知{b n }的公比q =22或q =－22,).22(32311)1(,22);22(32311)1(,221011010110-=--=-=+=--==q q b T q q q b T q 时当时当8.证明：(1）∵{a n }是等差数列，∴2a k +1=a k +a k +2,故方程a k x 2+2a k +1x +a k +2=0可变为(a k x +a k +2)(x +1)=0,∴当k 取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.(2）原方程不同的根为x k =kk k k k a da d a a a 2122--=+-=-+ .21}11{)(2122)2(21111,211111为公差的等差数列是以常数-+∴-=-=-=---=+-+-=+∴+++k k k k k k k k k x d d d a a d a d a x x d a x Θ。
千题百炼- 数列的性质必刷小题100题(原卷版)
专题13 数列的性质必刷小题100题任务一:善良模式(基础)1-30题一、单选题1．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且满足24422a S ==，，则8S =（ ） A ．70 B ．82 C ．92 D ．1052．已知{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和．若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ） A ．29 B ．31 C ．33 D ．353．已知数列{}n a 的通项公式是()()132nn a n =--，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．3028-B ．3027-C ．3027D ．30284．在等比数列{}n a 中，已知1234566332a a a a a a +++++=，34132a a ⋅=，则123456111111a a a a a a +++++=（ ） A ．63 B ．3116C ．2D ．6310245．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若314S =，12a =，则2514a a a a ++的值为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．136．等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为（ ） A ．－24 B ．－3 C ．3 D ．87．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若22S =，则9a =（ ） A ．9B ．172C ．10D ．1928．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且22n n S a =-，则n a 等于（ ） A ．2n B ．2n C ．12n - D ．12n +9．在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列(){}11n n a --的前21项和为（ ） A ．12 B ．21 C ．11 D ．3110．在等差数列{}n a 中，5321a a =-，8262a a =-，则1210a a a ++⋯+=（ ） A ．165 B ．160 C ．155 D ．14511．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若482,8,S S ==则12S =（ ） A ．14 B ．18 C ．26 D ．3212．已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，410S =，1270S =，则8S =（ ）． A ．30 B ．20- C ．30- D ．30或20-13．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，3965a a a +=+，则11S =（ ） A ．110 B ．55 C ．50 D ．4514．数列{}n a 中的前n 项和22nn S =+，数列{}2log n a 的前n 项和为n T ，则20T =（ ）.A ．190B ．192C ．180D ．18215．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足()111nn n a a n a *++=∈-N ，若114a =，则18T 为（ ）. A ．4- B ．35 C ．53-D ．51216．在等比数列{}n a 中，公比为12，前6项的和为1894，则6a =（ ） A ．738 B ．34C ．38D ．24二、多选题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，下列说法正确的是（ ）A ．若点(),n n a 在函数(,y kx b k b =+为常数)的图象上，则{}n a 为等差数列B ．若{}n a 为等差数列，则{}3n a为等比数列C ．若{}n a 为等差数列，10a >，110S =，则当10n =时，n S 最大D ．若23nn S =+，则{}n a 为等比数列18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >且20210S =，则下列说法正确的有（ ） A ．10100a = B ．10110.a = C ．120200a a +> D ．220210.a a +>19．数列{a n }的前n 项和为S n ，()*111,2N n n a a S n +==∈，则有（ ）A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩20．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知53a =，39S =-，则有（ ） A ．15a =- B ．40a <C ．60S =D ．34S S <21．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 3＋S 5＝－18，a 6＝－a 3，则（ ） A ．a n ＝2n －9 B ．a n ＝2n －7 C ．S n ＝n 2－8n D ．S n ＝n 2－6n22．设等比数列{}n a 的各项都为正数，其前n 项和为n S ，已知7652a a a =+，且存在两项,m n a a ，使得14a ，则下列结论正确的是（ ）A ．12n n a a +=B ．11n n S a a +=-C ．6m n +=D ．8mn =23．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =，110n n n a S S +++=，则下列说法正确的有（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1n S n=B ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列C ．数列{}n a 的通项公式为()11n a n n =--D ．数列{}n a 的最大项为1a第II 卷（非选择题）三、填空题24．已知等比数列{}n a 满足1135121a a a a =++=，，则357a a a ++=_________．25．已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a a S =⋅-，则满足110n a ≥的最大的正整数n 等于_________．26．已知数列{}n a 的首项11a =，满足11()()2n n n a a n N ++-=-∈，则2018a =__________.27．九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪()19061967-也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有n 个圆环，用n a 表示按照某种规则解下n 个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列{}n a 满足11a =，22a =，()1223,n n n n a a n *--≥=+∈N ，则10a =_______．28．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，若212a a =，12468S =，则1a =___________.29．正项等差数列{}n a 的前n 和为n S ，已知2375150a a a +-+=，则9S =__________.30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且151316,260a a S +==，则2020201720202017S S -=________________．任务二:中立模式(中档)1-40题一、单选题1．设数列{}n a 满足11232424n n na a a a -+++⋅⋅⋅+=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为（ ） A ．111122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1112n --C ．11122n ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．112n-2．已知等差数列{}n a 且()()26610143224a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ） A ．26 B ．39 C ．104 D ．523．已知公比不等于1的等比数列{}n a 的前n 项乘积为n T ，若22286a a a =，则（ ）A ．57T T =B ．36T T =C ．47T T =D ．39T T =4．设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，已知数列{}n b 的等差数列，且2n n n a n b a +=，33a =，4511b b +=，则n n S T +=（ ）A ．22n n -B ．22n n -C ．22n n +D ．22n n +5．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122a a +=，11n n a S +=+，则（ ） A ．数列{}n a 是公比为2的等比数列 B ．648S = C ．nna S 既无最大值也无最小值 D ．12111103n a a a ++⋅⋅⋅+<6．已知数列{}n a 满足：11a =，12nn n a a a +=+()n N +∈，则6a =( ) A ．131B ．132C ．163D ．1647．已知数列{}n a 满足24a =，()()1111n n n n n a n a na +--=--（1n >且n *∈N ），数列{}n a 的前n 项和为S n ，则（ ） A ．21202080S a =+ B ．21202040S a =+ C ．21202080S a =+ D ．21202040S a =+8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且611S =，917S =，则15S =（ ） A ．15 B ．23 C ．28 D ．309．已知数列{}n a 满足11a =，且121nn n a a a +=+，*n N ∈，则（ ） A ．5011 ,1211a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．5011,1110a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．5011,109a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．5011,98a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭10．已知数列{}n a 满足()()()11113n n n n a a a a ++--=-，152a =，设224n nn a c n λ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，若数列{}n c 是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．1,6⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,+∞11．在数列{}n a 中，25n a n n=+，则12232425a a a a a a -+-++-=（ ）A ．25B ．32C ．62D ．7212．已知数列{}n a 满足111n n a a +=-，若112a =，则100a =（ ） A ．-1B ．12C ．1D ．213．记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n ≥时，()2212n n n a S S -=，则10S 的值为（ ）A ．110B ．113C ．116D ．11914．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记nT为数列1n n a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．1215．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S .若1q >，2152m m m a a a +++=，且29m m S S =，*m ∈N ，则m的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．516．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22a =，12(1)1n n n a a -++-=，则60S =（ ）A ．510B ．511C ．512D ．51417．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 和为n T ，已知5101111,120,n n n a S b a a +===⋅，若17k T =，则正整数k 的值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．618．已知数列{}n a 满足()1221n n a a n n +-=+≥，15a =，若{}n a 前n 项之和为n S ，则满足不等式2021n S >的最小整数n 是（ ） A ．60 B ．62 C ．63 D ．6519．已知函数()f x x α=的图像过点()4,2，且()()11n a f n f n =++，*n N ∈．记数列{}n a 的前2021项和为（ ） A1 B1 C1 D120．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*112,2242),(n n a a n a n n N -=+=+≥∈，数列{}n b 的通项nn S b n=，则使得22212111nk b b b +++<恒成立的最小的k 值最接近（ ） A ．12 B ．710 C ．34D ．1二、多选题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，11110S =，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是( ) A ．123920a a a =+= B ．2d =-C ．n S 有最大值D ．当0n S >时，n 的最大值为2122．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，()()74840S S S S --<，则下列结论正确的是（ ） A ．若0d <，则120S < B ．若0d >，则5S 最小 C ．67a a >D ．2658a a a >23．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n +1﹣（n +1）a n ＝1，n ∈N *，其前n 项和为S n ，则下列选项中正确的是（ ）A ．数列{a n }是公差为2的等差数列B ．满足S n ＜100的n 的最大值是9C ．S n 除以4的余数只能为0或1D ．2S n ＝na n24．等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，且2835n n S nT n =+，则（ ） A ．3832a a b += B ．当22n S n =时，62n b n =+ C ．41142a a b +< D ．*x N ∀∈，0n T >25．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且214S a =，2a 是11a +与312a 的等差中项，数列{}nb 满足1nn n n a b S S +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列命题正确的是（ ）A ．数列{}n a 的通项公式为13-=n n aB ．31nn S =-C ．数列{}n b 的通项公式为()()1233131nn nn b +⨯=--D ．n T 的取值范围是11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20220a >，202120220a a +<，则（ ） A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n S 是递增数列C ．n S 的最小值是2021SD ．使得n S 取得最小正数的4042n =27．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和n S ，若10a >，1020S S =，则（ ） A ．公差0d < B ．160a <C ．n 15S S ≤D ．当且仅当n 0S <时32n ≥28．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)2nn n n a a a n ++=+，对于任意*n N ∈，[2a ∈-，2]，不等式23212n nnt at a <+-⋅恒成立，则t 的取值可以是（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．429．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ．已知312a =，100S >，60a <，则（ ）A ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项为第6项B ．2445d -<<- C ．50a > D ．0n S >时，n 的最大值为530．已知11a =，且11429n n n n a a a a +++-=，则下列结论正确的是（ ） A ．4259a = B ．6521n n a n -=- C ．1n n a a +< D ．3n a <第II 卷（非选择题）三、填空题31．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3123n n S n T n -=+，则911a b =______．32．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，11321n n n a a a +--+=，11a =，24a =，求数列{}n a 的通项公式___________.33．已知数列{}n a 满足：11a =，1122n n n a a --=+（2n ≥，n N ∈），则n a =___________.34．数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，n *∈N .设()1nn n n b a a =+-，则数列{}n b 的前2n 项和2n T =___________.35．数列{}n a 满足15211211,1,9n n n a a a a a ++=-==，则100a =_______.36．已知数列{}n a ，{}n b 均为等比数列，前n 项和分别为n S ，n T ，若431=-n n n S n T ，则55a b =___________.37．已知数列{}n a 为等差数列，公差()0d d ≠，且满足344651222024a a a a a a d ++=，则6511a a -=___________.38．设数列{}n a 满足12a =，26a =，312a =，数列前n 项和为n S ，且211131n n n n S S S S +-+-+=-+（*n N ∈且2n ≥），若[]x 表示不超过x 的最大整数，()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2020T =_____________．39．已知数列{}n a 满足123232n n a a a na ++++=，设1(1)2nn n a b n -=+，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S t <对任意N n *∈恒成立，则实数t 的最小值为________40．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1)()2n n n n S a n N +=-∈，则数列{}n S 的前7项和为________.任务三:邪恶模式(困难)1-30题一、单选题1．数列{}n a 满足121n n a a +=+，11a =，24n n b a n n λ=-+，若数列{}n b 为单调递增数列，则λ的取值范围为（ ） A ．18λ>B ．14λ>C ．38λ>D ．12λ>2．已知正项数列{}n a 中，11a =，2a，2n a +=*n ∈N，则使不等式21n nn a a +<成立的最小整数n 为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．63．已知数列{}n a 满足()()11*1211,,222121,2,2n n n n a a a a a a n n ++=-=-=--≥∈N ，记数列{}n a 前n 项和为n S ，则（ ） A ．202178S << B ．202189S << C ．2021910S << D ．20211011S <<4．已知数列{}n a 满足121a a ==，*21()n n n a a a n ++=+∈N ．记n S 为数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则（ ）A ．2021532S << B ．2021732S <<C ．2021742S << D ．2021942S <<5．英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列{}n x 满足()()n 1n n n f x x x f x +'=-，则称数列{}n x 为牛顿数列.如果函数2()2f x x x =--，数列{}n x 为牛顿数列，设n n 2ln 1n x a x -=+且11a =-，2n x >，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =（ ） A ．202121- B ．202112-C ．20211122⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2021122⎛⎫- ⎪⎝⎭6．在数列{a n }中．a 1＝4，a 2＝6，且当2n ≥时，149n n a a +=-，若T n 是数列{b n }的前n 项和，b n ＝19(3)+-n n n a a a ，则当175(3)()8n n a T λ+=-⋅-为整数时，λn ＝（ ）A ．6B ．12C ．20D ．247．已知等比数列{}n a 的公比为3，前n 项和为n S ，若关于(*)m m N ∈的不等式1||1m S a m -<+有且仅有两个不同的整数解，则1a 的取值范围为（ ）A ．111,,133⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．111,,12 2--⋃⎛⎤⎡⎫⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．11,00,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,00,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10n n a a +<，0n n a S c =>，n *∈N ，则（ ） A ．234a a a << B ．324a a a << C ．342a a a << D ．432a a a <<9．已知无穷递减实数列{}n a 满足11a =，则下列可作为{}n a 递推公式*()n N ∈的是（ ） A ．1sin n n a a += B ．1cos n n a a += C ．12na n a +=D ．12log n n a a +=10．已知n N +∈，若数列{}n a 的前n 项和是122nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设()2log n n b a =--，设12231111n n n T b b b b b b +=+++，当且仅当5n ≥时，不等式n T t ≥成立，则实数t 的范围为（ ） A ．45,56⎛⎤⎥⎝⎦B ．491,log 23⎛⎤-∞+⎥⎝⎦C ．5,6D ．449931log 2,log 2103⎛⎤++ ⎥⎝⎦11．已知数列{}n a 的各项均不为零，1a a =，它的前n 项和为n S ．且n a 1n a +（*N n ∈）成等比数列，记1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+，则（ ） A ．当1a =时，202240442023T < B ．当1a =时，202240442023T > C ．当3a =时，202210111012T > D ．当3a =时，202210111012T <12．已知数列{a n }满足3a 1＝1，n 2a n +1﹣a n 2＝n 2a n （n ∈N *），则下列选项正确的是（ ） A ．{a n }是递减数列B ．{a n }是递增数列，且存在n ∈N *使得a n ＞1C ．1132n a +> D ．202120214043a <13．已知数列{}n a 满足0n a >，12a =，且()2211n n n n a na a ++=+，*n ∈N ，则下列说法中错误的是（ ）A ．222n n a n+≤B ．222232423222234na a a a n++++< C ．11n n a a +<< D ．12n n a a +≤<14．已知数列{}n a 满足113a =，()2*12N nn n a a a n n+=+∈，则下列选项正确的是（ ）A ．20212020a a <B ．2021202114043a <<C ．2021202104043a << D ．20211a >15．已知数列{}n a满足)111,N n a a n *+==∈.记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．100332S << B ．10034S <<C ．100942S <<D ．100952S <<16．已知数列{}n a 与{}n b 满足11(3)1nn n n n b a b a +++=-+，2,1,n n b n ⎧=⎨⎩为偶数为奇数，*n ∈N ，且12a =，下列正确的是（ ） A ．318a a -=B ．2418-=a aC ．{}222n n a a +-是等差数列D ．{}2121n n a a +--是等比数列二、多选题17．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意N n *∈，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数.则下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22021n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<18．我国明代音乐理论家和数学家朱载堉在所著的《律学新说》一书中提出了“十二平均率”的音乐理论，该理论后被意大利传教士利玛窦带到西方，对西方的音乐产生了深远的影响.以钢琴为首的众多键盘乐器就是基于“十二平均率”的理论指导设计的.图中钢琴上的每12个琴键（7个白键5个黑键）构成一个“八度”，每个“八度”各音阶的音高都是前一个“八度”对应音阶的两倍，如图中所示的琴键的音高524C C =⋅（4C 称为“中央C ”）.将每个“八度”（ 如4C 与5C 之间的音高变化）按等比数列十二等份，得到钢琴上88个琴键的音阶.当钢琴的4A 键调为标准音440Hz 时，下列选项中的哪些频率（单位：Hz ）的音可以是此时的钢琴发出的音（ ）（参考数据：122 1.414=，132 1.260=，142 1.189=，152 1.148=，162 1.122=，1122 1.059=）A ．110B ．233C ．505D ．124419．在数列{}n a 中，其前n 的和是n S ，下面正确的是（ ）A ．若12n n a a +-=，11a =，则2n S n =B ．若2n n a n =⨯ ，则1(1)22n n S n +=-⨯+C ．若23112222n n a -=++++⋯+ ，则122n n S n +=--D ．若112a = ，且2n n S n a =，则231n n S n =+20．数学中有各式各样富含诗意的曲线，螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣，连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案，其具体作法是：在边长为1的正方形ABCD 中，作它的内接正方形EFGH ，且使得15BEF ∠=︒；再作正方形EFGH 的内接正方形MNPQ ，且使得15FMN ∠=︒；类似地，依次进行下去，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n 个正方形的边长为n a (其中第1个正方形ABCD 的边长为1a AB =，第2个正方形EFGH 的边长为2a EF =，…)，第n 个直角三角形(阴影部分)的面积为n S (其中第1个直角三角形AEH 的面积为1S ，第2个直角三角形EQM 的面积为2S ，…)，则（ ）A ．数列{}n a 是公比为23的等比数列B ．1112S =C ．数列{}n S 是公比为49的等比数列D ．数列{}n S 的前n 项和14n T <21．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{}n a ，121a a ==，()123n n n a a a n --=+≥，边长为斐波那契数n a 的正方形所对应扇形面积记为()*n b n ∈N ，则（ ）A ．()2233n n n a a a n -+=+≥B ．123201920211a a a a a +++⋅⋅⋅+=+C ．()2020201920182021π4b b a a -=⋅ D ．123202*********π4b b b b a a +++⋅⋅⋅+=⋅22．已知数列{}n a 满足：1n a n =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，()ln 1n n na b a +=，下列命题正确的是（ ） A ．11ln n n n a a n ++⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．数列{}n b 是递增数列C ．202120201ln 2021S S ->>D ．ln 2ln 3n b ≤<23．已知数列{}n a 满足：11a ≥，111()2n n na a a +=+.下列说法正确的是（ ）A ．存在1a ，使得{}n a 为常数数列B ．1n n a a +≤C ．212n n n a a a +++≤D ．1i 11(1)1nii aa a=+-≤-∑第II 卷（非选择题）三、填空题24．已知数列{}n a 满足：152a =，()2*1122n n n a a a n N +=-+∈，若取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数(例如：[]1.22=，[]33=)，设1n n na b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则[]2021T =___________.25．已知数列{}n a 中，11a =，()11n n n n a a a +-=+，*N n ∈，若对任意的正整数n ，存在[]1,3t ∈，使不等式1211n a at n +≥-+成立，则整数a 的最大值为______.26．若数列{}n a 满足21321111222n n a a a a a a --<-<<-<，则称数列{}n a 为“差半递增”数列.若数列{}n a 为“差半递增”数列，且其通项n a 与前n 项和n S 满足()*221n n S a t n N =+-∈，则实数t 的取值范围是______.27．设数列{}()1,n a n n N *≥∈满足122,6a a ==，且()()2112n n n n a a a a +++---=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122019201920192019[]a a a +++=____________．28．已知数列{}n a 满足：121,()a a x x N *==∈，21n n n a a a ++=-，若前2010项中恰好含有666项为0，则x的值为___________.29．已知数列{}n a 和{}n b 满足12a =，11b =，1n n n a b b ++=，114n n n a b a +++=.则20211008b a ＝_______.30．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足333321232n n n a a a a S S ++++=+，设2nn na b =数列{}n b 的前n 项和为nT，则使得n T m <成立的最小的m 的值为________.。