“abc猜想”讲义(14)
“abc 猜想”讲义（14）
第十四讲
证明“abc 猜想”
主讲王若仲
第九讲中，（iv ）对于等式m +g ＝n ，m 和g 以及n 均不为恒定的值。我们现在就分析第（iv ）的情形。
（iv ）对于m +g ＝n ，当m ，g ，n 均不为恒定的值时，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，随着m 和g 以及n 的变化，rad（m ）和rad （g ）以及rad（n ）必为下列情形之一：
①rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（n ）不可能为恒定的值。②rad（n ）和rad（g ）均为恒定的值，rad（m ）不可能为恒定的值。③rad（n ）和rad（m ）均为恒定的值，rad（g ）不可能为恒定的值。④rad（n ）为恒定的值，rad（m ）和rad（g ）均不为恒定的值。⑤rad（m ）为恒定的值，rad（n ）和rad（g ）均不为恒定的值。⑥rad（g ）为恒定的值，rad（m ）和rad（n ）均不为恒定的值。⑦rad（n ）和rad（m ）以rad（g ）均不为恒定的值。
我们注意观察第（iv ）中①，②，③，④，⑤，⑥，⑦的情形，可得出这样的结论；①和⑤以及⑥和⑦中，rad（n ）均不为恒定的值，那么①和⑤以及⑥和⑦这几种情形与第（ii ）中（三）的情形同理可得出同样的结论。②和③的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。⑤和⑥的情形可互换，只分析其中的一种情形即可。
（一）对于第（iv ）中①的情形，rad（m ）和rad（g ）均为恒定的值，由前面第七讲中的不定方程定理4.1和推论4.1可知，rad （n ）不可能为恒定的值。因n ÷n=1，那么+∞→n lim （n ）÷+∞
→n lim （n ）=1。又因n=[rad（n ）]·H；当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大；而n÷{[rad（n ）]·H }=1恒成立。下面我们从四种情形进行分析：
（1）令k q +h d =n ，q 和d 均为大于1的恒定正整数且互质，k q ＞h d ，k 和h
均为不小于1的整数。
（2）令111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1+111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1=n ，其中
111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1＞111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1，11p ，12p ，13p ，
…，r p 1，11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r ；w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。1k ，2k ，3k ，…，r k ，1h ，2h ，3h ，…，s h 均为不小于1的整数。
（3）令111k p ·212
k p ·313k p ·…·r k r p 1+h d =n ，其中h d ＞111k p ·212k p ·313k p ·…·r k r p 1；d，11p ，12p ，13p ，…，r p 1均为恒定的素数，i p 1≠j p 1（i ≠j ）；i ，j=1，2，3，…，r ；h，1k ，2k ，3k ，…，r k 均为不小于1的整数。
（4）令k q +111h q ·212
h q ·313h q ·…·s h s q 1=n ，其中k q ＞111h q ·212h q ·313h q ·…·s h s q 1；
q，11q ，12q ，13q ，…，s q 1均为恒定的素数，w q 1≠u q 1（w ≠u ）；w ，u=1，2，3，…，s 。k，1h ，2h ，3h ，…，s h 均为不小于1的整数。
本讲只分析第（1）的情形。
（1）令k q +h d =n ，q 和d 均为大于1的恒定正整数且互质，k q ＞h d ，k 和h 均为不小于1的整数。由第六讲中引理3.3可知，n=rad（n ）·H，H∈N 。当正整数n 不断增大时，那么根数rad（n ）总趋势也是随着正整数n 的不断增大而不断增大，那么这种情形下，当正整数n 趋向于正无穷大时，根数rad（n ）也趋向于正无穷大。
对于n 和rad（n ），因为n=k q +h d 。在k q ＞h d 的情形下，由前面第七讲中的定理4.1和推论4.1可知，这种情形下，不可能存在这样的情形：即p =1k q +1h d ，e=2k q +2h d ，k 1≠k 2或h 1≠h 2，使得rad（p）=rad（e ），这是因为k q ＞h d 且k q 和
h d 互质。不管怎样，我们要想办法把这样的情形转换到连续函数上来考虑，根据函数在某一实数点（去心邻域内）存在极限的定义，利用三段论判定连续函数
在某闭区间有界。我们设函数ψ（x，y）=x q +y d ，x 和y 均为不小于1的实数。那么定义域中任一组（x，y）的值有唯一函数ψ（x，y）=x q +y d 的值与之对应，由第六讲中定义3.2可知，任一x q +y d 的值有唯一rad （x q +y d ）的值与之对应。由第七讲中的定理4.1和推论4.1可知，函数ψ（x，y）不可能恒为v p 或者111v g ·211v g ·311v g ·…·e v
e g 1的形式，其中p 或11g ，12g ，13g ，…，e g 1恒定不变。那么这种情形下，总可以令x q +y d =az+r（r＜a），其中a 和r 均为恒定的正实数。因为对于任一一组正实数（x 1，y 1），总有一个正实数z 1，使得1x q +1y d =az 1+r 成立。那么对于任意两组不小于1的正实数（x 11，y 11）和（x 12，y 12），x 11≠x 12或者y 11≠y 12；必然存在两个正实数z 11和z 12（z 11≠z 12），使得（11x q +11y d -r）÷z 11=（12x q +12y d -r）÷z 12。那么任一（x q +y d ）均可表为az+r（r＜a）的形式，
其中a 和r 均为恒定的正实数。这种情形下，总可以令rad（x q +y d ）=bz′+s （s＜b），其中b 和s 均为恒定的正实数。因为对于任一一组正实数（x 2，y 2），总有一个正实数z 2，使得rad（2x q +2y d ）=bz 2′+s 成立。那么对于前面同样的
任意两组不小于1的正实数（x 11，y 11）和（x 12，y 12），x 11≠x 12或者y 11≠y 12；必然存在两个正实数z 21和z 22（z 21≠z 22），使得[rad（11x q +11y d ）-s]÷z 21=[rad （12x q +12y d ）-s]÷z 22。那么任一rad（x q +y d ）均可表为bz′+s（s＜b）的形
式，其中b 和s 均为恒定的正实数。而az+r 形式中的z 与bz′+s 形式中的z′又是一种函数对应关系，即az+r 形式中的任一z 值，bz′+s 形式中有唯一z′值与之对应。
所以不妨设函数μ（z）=（az+r）÷（bz+s），那么-lim +∞→z μ（z）=-lim +∞
→z （az+r）′÷（bz+s）′=a÷b，又+→1
lim z μ（z）=（a+r）÷（b+s），则函数μ（z）在z 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中有界。即存在恒定的正实数F （1＜F ＜+∞），使得1＜μ（z）≤F 或者1＜μ（z）＜F 恒成立。那么n÷rad（n ）与函数μ（z）在z 属于闭区间[1+ε，+∞-ε]中有相同的界。即1＜n÷rad（n ）≤F 或者1＜n÷rad
（n）＜F恒成立。
因为rad（g）≥1，rad（m）≥1，那么F·rad（n）·rad（m）·rad（g）≥n或者F·rad（n）·rad（m）·rad（g）＞n恒成立。
2020年9月15日