贝叶斯定理以及有条件期望共18页文档
概率论贝叶斯公式
概率论贝叶斯公式概率论是研究随机事件的数学分支，它是一种量化不确定性的工具。
在概率论中，贝叶斯公式是一种重要的工具，它可以帮助人们在已知一些信息的情况下，对未知的情况进行推断和预测。
本文将介绍贝叶斯公式的概念、原理和应用。
一、概念贝叶斯公式是一种基于贝叶斯定理的公式，它是一种用于计算条件概率的方法。
条件概率是指在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率。
例如，如果我们知道某个人是男性，那么他是左撇子的概率是多少？这就是一个条件概率问题。
二、原理贝叶斯公式的核心是贝叶斯定理。
贝叶斯定理是指，在已知一个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率可以通过已知的信息来计算。
贝叶斯定理的公式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在已知B发生的情况下，A发生的概率；P(B|A)表示在已知A发生的情况下，B发生的概率；P(A)表示A发生的概率；P(B)表示B发生的概率。
三、应用贝叶斯公式在许多领域都有广泛的应用，包括统计学、机器学习、人工智能和自然语言处理等。
下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 垃圾邮件过滤垃圾邮件过滤是贝叶斯公式的一个经典应用。
在垃圾邮件过滤中，我们需要判断一封邮件是垃圾邮件还是正常邮件。
我们可以通过邮件的主题、发件人、内容等信息来判断。
假设我们已经有一些正常邮件和垃圾邮件的样本，我们可以利用这些样本来训练一个分类器，然后用这个分类器来对新邮件进行分类。
分类器的核心是贝叶斯公式，它可以根据已知的信息来计算一个邮件是垃圾邮件的概率。
2. 医学诊断贝叶斯公式也可以用于医学诊断。
在医学诊断中，医生需要根据病人的症状和检查结果来判断病人是否患有某种疾病。
假设我们已经有一些病人的症状和检查结果的样本，我们可以利用这些样本来训练一个分类器，然后用这个分类器来对新病人进行诊断。
分类器的核心仍然是贝叶斯公式，它可以根据已知的信息来计算一个病人患有某种疾病的概率。
第9讲 贝叶斯公式
例3如图，从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球取自1号箱的概率.解设A i =“球取自i 号箱”，i = 1,2,3. B =“取到红球”，123求P (A 1|B )例3如图，解设Ai=“球取自i 号箱”，i = 1,2,3. B =“取到红球”，则所求概率为12311()(|)=()P A B P A B P B 1123()=()()()++P A B P A B P A B P A B 运用全概率公式计算P (B )1131()(|)=()()k k k P A P B A P A P BA =∑｜例3如图，解设Ai=“球取自i 号箱”，i B =“取到红球”，则所求概率为12311131()(|)(|)=()()k kk P A P B A P A B P A P B A =∑｜1/31/210=.1/3(1/23/51/4)27⋅=++1A 2A 3A B定理设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件,且P (A i )>0,(i =1,2,…,n )若对任一事件B , 有(A 1＋A 2＋… ＋A n )B ，且P (B ) > 0, 则⊃=1,,i n （）1()(|)(|)=,()()i i i n j j j P A P B A P A B P A P B A =∑｜4A 5A 6A A 2A 3A 1BS 1()()(|)=()()i i i n j j P A B P A B P A B P B P A B ==∑定理设A 1,A 2,…,A n 是两两互斥的事件,且P (A i )>0,(i =1,2,…,n )若对任一事件B , 有(A 1＋A 2＋… ＋A n )B ，且P (B ) > 0, 则⊃=1,,i n （）贝叶斯公式是英国数学家Bayes 于1763首先提出的. 由此思想形成了后来的“Bayes 方法”.1()(|)(|)=,()()i i i nj jj P A P B A P A B P A P B A =∑｜例4 对以往试验数据表明,当机器调整良好时，产品的合格率为90%；而当机器发生故障时，其合格率为30%. 每天早晨开工时，机器调整良好的概率为75%，求某日早晨第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率.解设A=“机器调整良好”, B=“产品是合格品”,所求概率为P(A|B).例4 对以往试验数据表明,当机器调整良好时，产品的合格率为90%；而当机器发生故障时，其合格率为30%. 每天早晨开工时，机器调整良好的概率为75%，求某日早晨第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率.解设A=“机器调整良好”, B =“产品是合格品”,()(|)()P AB P A B P B =()=()()P AB P AB P AB +()(|)=()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A +例4 对以往试验数据表明,当机器调整良好时，产品的合格率为90%；而当机器发生故障时，其合格率为30%. 每天早晨开工时，机器调整良好的概率为75%，求某日早晨第一件产品是合格品时,机器调整良好的概率.解设A=“机器调整良好”, B =“产品是合格品”,()0.75,P A =(|)0.3,P B A =(|)0.9,P B A =()(|)(|)=()(|)()(|)P A P B A P A B P A P B A P A P B A +0.750.90.9.0.750.90.250.3⨯==⨯+⨯.)()()()()|(1∑==n j j j i i i A B P A P A B P A P B A P ｜｜P (A i )和P (A i |B )分别称为原因的验前概率和验后概率.谢谢！。
数学中的贝叶斯定理及其应用
数学中的贝叶斯定理及其应用在数学领域，有一条重要的定理被称为贝叶斯定理。
贝叶斯定理是由18世纪英国数学家托马斯·贝叶斯提出的，它在概率论和统计学中有广泛的应用。
贝叶斯定理是一种基于条件概率的理论，它描述了当我们已经拥有一些先验信息时，如何根据新的证据更新我们对某一事件发生概率的估计。
首先，让我们了解一下条件概率。
条件概率指的是两个事件相关性的概率。
用P(A|B)表示，在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
贝叶斯定理的基本形式如下：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
现在我们来看一个简单的实例来说明贝叶斯定理如何应用于实际问题。
假设有一个罐子里面有30个红球和20个蓝球。
现在我们想知道在摸出一个球之前，红球的概率与摸出一个红球之后，再次摸到红球的概率之间的关系。
首先，我们可以根据先验信息得知，在还没有摸球之前，红球的概率是30/50=0.6，蓝球的概率是20/50=0.4。
这就是我们的初始估计。
现在，假设我们第一次摸出了一个红球，我们想知道在第二次摸球之前，摸到红球的概率。
根据贝叶斯定理，我们可以计算如下：P(第二次摸到红球|第一次摸到红球) = P(第一次摸到红球|第二次摸到红球) * P(第一次摸到红球) / P(第二次摸到红球)根据先验信息，P(第一次摸到红球) = 0.6，P(第二次摸到红球) =29/49（第一次摸到红球后，总共剩下红球29个，总共剩下球49个）。
因此，我们可以得到：P(第二次摸到红球|第一次摸到红球) = P(第一次摸到红球|第二次摸到红球) * 0.6 / (29/49)现在，P(第一次摸到红球|第二次摸到红球)可以通过简单的条件概率计算得出。
在已经摸出红球的条件下，第一次摸到红球的概率是1，因此P(第一次摸到红球|第二次摸到红球) = 1。
贝叶斯公式
贝式定理
对于变量有二个以上的情况，贝式定理亦成立。例如： 这个式子可以由套用多次二个变量的贝氏定理及条件机率的定义导出。
意义
意义
贝叶斯定理公式(3张)例如：一座别墅在过去的 20年里一共发生过 2次被盗，别墅的主人有一条狗，狗平 均每周晚上叫 3次，在盗贼入侵时狗叫的概率被估计为 0.9，问题是：在狗叫的时候发生入侵的概率是多少？
假设已经抽出红球为事件 B，选中容器 A为事件 A，则有：P(B) = 8/20，P(A) = 1/2，P(B|A) = 7/10， 按照公式，则有：P(A|B) = (7/10)(1/2) / (8/20) = 0.875
贝叶斯公式为利用搜集到的信息对原有判断进行修正提供了有效手段。在采样之前，经济主体对各种假设有 一个判断（先验概率），关于先验概率的分布，通常可根据经济主体的经验判断确定（当无任何信息时，一般假 设各先验概率相同），较复杂精确的可利用包括最大熵技术或边际分布密度以及相互信息原理等方法来确定先验 概率分布。
博弈开始时，B认为A属于高阻挠成本企业的概率为70%，因此，B估计自己在进入市场时，受到A阻挠的概率 为：
0.7×0.2+0.3×1=0.44
0.44是在B给定A所属类型的先验概率下，A可能采取阻挠行为的概率。
当B进入市场时，A确实进行阻挠。使用贝叶斯法则，根据阻挠这一可以观察到的行为，B认为A属于高阻挠成 本企业的概率变成A属于高成本企业的概率=0.7（A属于高成本企业的先验概率）×0.2（高成本企业对新进入市 场的企业进行阻挠的概率）÷0.44=0.
贝叶斯法则是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的。 其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。为完备事件组，即 在贝叶斯法则中，每个名词都有约定俗成的名称： Pr(A)是A的先验概率或边缘概率。之所以称为"先验"是因为它不考虑任何B方面的因素。 Pr(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A的后验概率。 Pr(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B的后验概率。 Pr(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量（normalized constant）。
贝叶斯公式PPT学习教案
k1
故
(1-p)4=0.41
1-p=0.8
p=0.2
A至多出现一次的概率为：
P4(0)+P4(1) (1 p)4 C14p(1 p)3
0.84 C14 0.20.83 =0.82
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例10 (分赌注问题)甲、乙各下注a元，以猜硬币方式 赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第 一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？
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例4 甲、乙、丙三人独立射击一个目标，命中率分别为 0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是 0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人 都击中，目标一定被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人 摧毁的概率。
解：用Ai表示有i个人击中目标，i=0,1,2,3
=1-0.1×0.2 =0.98
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例2 一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求： (1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。 (2)多少名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达 到99％？
解：用Ai表示第i名士兵击中飞机，P(Ai)＝0.004
(1)P(A1 ... A250) 1 P(A1)...P(A250) 1 0.996250 0.63
P(B)
P(B)
=P(A)
即A与B独立。
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(2)若事件A与B独立，则A与B，A与B，A与B中的 每一对事件都相互独立。 证：P(AB) P(A AB)
P(A) P(AB) =P(A)-P(A)P(B) =P(A)(1-P(B)) P(A)P(B) 由(1)可知，A与B独立。 类似可证其它两对事件独立。
111115 35 32 38
贝叶斯定理
贝叶斯定理所谓贝叶斯定理，是指当分析样本大到接近总体数时，样本中事件发生的概率将接近于总体中事件发生的概率。
也就是说，当你不能准确知悉一个事物的本质时，你可以依靠与事物特定本质相关的事件出现的多少去判断其本质属性的概率。
但行为经济学家发现，人们在决策过程中往往并不遵循贝叶斯规律，而是给予最近发生的事件和最新的经验以更多的权值，在决策和做出判断时过分看重近期的事件。
面对复杂而笼统的问题，人们往往走捷径，依据可能性而非根据概率来决策。
真正的高手，都懂“概率权”，每一个决策点都是独立的，并且都会冷静地寻找“当下”的最大获胜概率。
创业上的快速试错，也是希望通过贝叶斯更新，不断优化商业模式上的概率，直至发现正期望值的机会。
如何当一个成功的创业公司 CEO？霍洛维茨分享过一条重要的经验：创业公司的 CEO 不应该计算成功的概率。
创建公司时，你必须坚信，任何问题都有一个解决办法。
而你的任务就是找出解决办法，无论这一概率是十分之九，还是千分之一，你的任务始终不变。
不过，在我们的一生中，面对不确定性，我们大多时候扔骰子的次数都是有限的，并且是消耗资源的。
永不放弃，指的是你的斗志，而非押完你钱包里的最后一块钱。
以下，Enjoy：什么是概率权？概率权是我创造的一个词。
概率权，是基于概率计算的未来选择权。
塔勒布和交易员劳伦共进晚餐，两人掷硬币决定由谁付账，塔勒布输了，只好乖乖掏出腰包。
劳伦本来想道声谢，却突然改口说：“看了你的书，我想你一定会说，在概率上，这顿饭我付了一半的钱。
”理解这一点并不容易，有些人宁可追求比被雷劈概率还小的中奖机会，也不愿意去做有50%把握成功的事情。
概率权与未来有关。
2020年3月份爆赚30倍的基金经理斯皮茨纳格尔在《资本的秩序》里写道：资本具有跨期特征：它的定位和在未来不同时点的优势是核心。
时间是资本的生存环境--定义它、塑造它、帮助它、阻碍它。
我先给概率权搭个简单的框架：1、基于期望值计算的（与空间有关的）概率权。
贝叶斯 条件概率
贝叶斯条件概率（原创版）目录1.贝叶斯公式与条件概率的定义2.条件概率的性质及应用3.全概率公式4.贝叶斯公式的应用5.贝叶斯网络正文贝叶斯公式与条件概率的定义：贝叶斯公式是概率论中的一个重要公式，它可以用于计算条件概率。
条件概率指的是在某个事件已经发生的情况下，另一个事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中 P(A|B) 表示在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率。
条件概率的性质及应用：条件概率具有两个性质，即：P(A|B) = 1 - P(A"|B) 和 P(A|B) = P(B|A) * P(A) / (P(B) - P(B|A) * P(A))。
这些性质可以帮助我们计算和理解条件概率。
条件概率在实际应用中非常重要，例如在医学诊断、统计推断和机器学习等领域都有广泛的应用。
全概率公式：全概率公式是概率论中另一个重要的公式，它可以用于计算多个事件的概率。
全概率公式可以表示为：P(A) = ΣP(A|B) * P(B)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，P(A|B) 表示在事件 B 发生的情况下，事件 A 发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
贝叶斯公式的应用：贝叶斯公式在实际应用中非常重要，它可以用于计算各种条件概率。
例如，在医学诊断中，我们可以使用贝叶斯公式来计算在某些症状出现的情况下，患者患有某种疾病的概率。
在统计推断中，贝叶斯公式可以用于计算在某些数据已经观测到的情况下，某个参数的概率。
贝叶斯网络：贝叶斯网络是一种用于表示概率关系的图形模型，它可以用于表示多个变量之间的条件概率。
贝叶斯网络中，节点表示变量，边表示条件概率。
通过贝叶斯网络，我们可以方便地表示和计算各种条件概率。
条件概率和贝叶斯公式-图解概率03
条件概率和贝叶斯公式-图解概率03
条件概率与贝叶斯公式
给定条件 B 发生时, A 的条件概率:
现在用文氏图直观来看什么是条件概率, 下面图形中有事件 A 和 B :
当事件 B 已经发生时候的文氏图表示如下:
A,B 同时发生的概率, 即下图P(A∩B) 为红色相交部分面积:
在 B 发生时候, 任何事件 A 发生也就是A∩B 的概率为下面文氏图:
还可以从上面图形观察得到, 由于条件概率所关心的事件都是事件B 的子事件, 所以可以把事件 B 看作新的全空间Ω .Ω
贝叶斯公式
类似, 我们从事件 A 出发可推导出下面条件概率等式:
经过推导可以得到下面著名的贝叶斯公式:
关于贝叶斯公式可以查看(点击跳转»)《核电灾难的概率与辛普森案》一文中有趣示例.
利用序贯树形图来分析条件概率
这里来看(点击跳转»)《数学女孩的恋爱事件簿》中的一个例子, 剧中最开始男主角伴田一度有轻生的想法, 他告诉女主角胡桃: "他得了10000 个人才会有一个的不治之症, 医生告诉他检查的准确度是 99.9%. " . 用序贯树形图来解释就是如下图所示:
根据贝叶斯公式可得:
也可以看下电视剧中女主角胡桃如何用非常浅显的说法解释给数学小白伴田: (向左滑动图片查看胡桃给出的解释)。
贝叶斯定理
贝叶斯定理（重定向自后验概率）贝叶斯定理（Bayes theorem ），是概率论中的一个结果，它跟随机变量的条件概率以及边缘概率分布有关。
在有些关于概率的解说中，贝叶斯定理（贝叶斯更新）能够告知我们如何利用新证据修改已有的看法。
通常，事件A在事件B（发生）的条件下的概率，与事件B在事件A的条件下的概率是不一样的；然而，这两者是有确定的关系，贝叶斯定理就是这种关系的陈述。
作为一个规范的原理，贝叶斯定理对于所有概率的解释是有效的；然而，频率主义者和贝叶斯主义者对于在应用中，概率如何被赋值，有着不同的看法：频率主义者根据随机事件发生的频率，或者总体样本里面的个数来赋值概率；贝叶斯主义者要根据未知的命题来赋值概率。
一个结果就是，贝叶斯主义者有更多的机会使用贝叶斯定理。
本文深度讨论了这些争论。
贝叶斯定理的陈述贝叶斯定理是关于随机事件A和B的条件概率和边缘概率的一则定理。
其中P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。
在贝叶斯定理中，每个名词都有约定俗成的名称：.P(A)是A的先验概率或边缘概率。
之所以称为恍验"是因为它不考虑任何B方面的因素。
•P(A|B)是已知B发生后A的条件概率，也由于得自B的取值而被称作A 的后验概率。
•P(B|A)是已知A发生后B的条件概率，也由于得自A的取值而被称作B 的后验概率。
•P(B)是B的先验概率或边缘概率，也作标准化常量(normalized constant).按这些术语，Bayes定理可表述为：后验概率二(相似度*先验概率”标准化常量也就是说，后验概率与先验概率和相似度的乘积成正比。
另外，比例P(B| A)/P( B)也有时被称作标准相似度(standardisedlikelihood ) ，Bayes定理可表述为：后验概率二标准相似度*先验概率从条件概率推导贝叶斯定理根据条件概率的定义.在事件B发生的条件下事件A发生的概率是P(A n B)同样地，在事件A发生的条件下事件B发生的概率I ”阳)=雹胆.|整理与合并这两个方程式，我们可以找到P(A\B) P(B) = P(A D B) = P(B\A)P(A).这个引理有时称作概率乘法规则•上式两边同除以P(B),若P(B)是非零的，我们可以得到贝叶斯定理：网时嗥纠I 二中择一的形式贝叶斯定理通常可以再写成下面的形式：P(B) = P(A'B)+P(A C, B) = P(B\A)P(A) | P(B\A C)P(A C) I其中A是A的补集(即非A)。
贝叶斯定理以及有条件的期望
首先记事件A为“小孩说谎”，记事件B为“小孩可信”。 不妨假设村民过去对这个小孩的印象为 PB 0.8 PB 0.2 PA B 0.1 P A B 0.5
第一次村民山上打狼，发现狼没来，即小孩说了谎(A)， 村民根据这个信息，对这个小孩的可信程度改变为 PB PA B PB A PB PA B PB P A B
i 1
,i 1,2 ,.....,n
贝叶斯定理的证明
P ABi 由条件概率的定义 PBi A P A
对上式的分子用乘法公式、分母用全概率公式
P A PB j P A B j
n j 1
P ABi PBi PA Bi
即得
PBi A
Selten’s Game的扩展
2 0.5,0.5 假设 1 1 3 , 2 3 ， 对于player1的expected payoff
如果是从player2的information set开始，player1的 payoff
同理，我们可得player2的payoff
那么player2如何利用这个beliefs来达到最佳选择呢？ 只要player1选择了D，那么player2必然会选择L。但 player2更希望player1选择U，这时候player1的决策会影响 到player2的决策，那么在什么情况下player1会选择U或者D 呢？
PB PA B
n j 1 j j
PBi PA Bi
,i 1,2 ,.....,n
贝叶斯定理的实例
伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山 上放 羊，山里有狼出没。第一天，他在山上喊 “狼来了，狼来了”，山下的村名闻声便去打狼， 可到山上，发现狼没来；第二天仍是如此；第三天， 狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没有人来救 他，因为前两次他说了谎，人们不再相信他。