最新小波变换基础
chapter09_2_小波变换基础
叶级数有何区别
（1）傅里叶级数的基函数e jk0t , k Z是一组正交基：
e jk10t , e jk20t (k1 k2 )
而小波级数所用的一族函数 ˆ j,k (t) 不一定是正
交基，甚至不一定是一组“基”；
（2）傅里叶级数的基函数是固定的，且分析和重建的
基函数都是 e jk0t（差一负号）；小波级数：分析
b 2j
)db
内积形式
xˆ(t)
23 j / 2 WTx (
j
j,b),ˆ (t b)
2j
Parseபைடு நூலகம்al关系
23 j / 2
j
1
2
[WTx
(
j,
b)],
[ˆ
(
t
b 2j
)]
FT
xˆ(t) 23 j /2 1 [ X ()2 j /2 (2 j )][2 j ˆ (2 j )e jt ]d
a0倍 a0 j
b 这样，对 轴抽样的间隔也可相应地扩大 a0 倍
a : a00 , a01 , a02 , a03 ,
b : a00b0 , a01b0 , a02b0 , a03b0 ,
, 尺度和位移
, 的离散化
a,b (t)
1 a
t
a
b
b ka0jb0
j,k (t)
1 a0j
scales a
Absolute Values of Ca,b Coefficients for a = 10 30 60 90 120 ... 150 120
90 60
小波系数的 灰度图，颜 色越深，说 明小波系数 越大
30
10
100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 time (or space) b
小波变换的数学基础及原理解析
小波变换的数学基础及原理解析小波变换是一种信号分析方法，可以将信号分解成不同频率的小波成分，从而揭示信号的局部特征。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将从数学基础和原理解析两个方面来介绍小波变换。
一、数学基础小波变换的数学基础主要包括信号的时频分析和小波函数的定义。
在时频分析中，我们希望能够同时观察到信号的时域特征和频域特征。
然而，传统的傅里叶变换只能提供信号的频域信息，无法提供时域信息。
小波变换通过引入尺度参数，可以在时频域上同时进行分析。
小波函数是小波变换的基础，它是一种特殊的函数形式。
与傅里叶变换中的正弦函数和余弦函数不同，小波函数具有局部化的特点，即在时域上具有有限长度。
这种局部化的特性使得小波函数能够更好地描述信号的局部特征。
二、原理解析小波变换的原理可以通过连续小波变换和离散小波变换来解析。
连续小波变换是将信号与小波函数进行内积运算，得到信号在不同尺度和位置上的小波系数。
离散小波变换是连续小波变换的离散形式，通过对信号进行采样和离散化，得到离散的小波系数。
在连续小波变换中，小波函数是一个连续的函数，可以用于对连续信号的分析。
而在离散小波变换中，小波函数是一个离散的序列，可以用于对离散信号的分析。
离散小波变换通过多级滤波和下采样的方式来实现信号的分解和重构。
小波变换的核心思想是多尺度分析，即对信号进行多次分解，每次分解都将信号分解成低频部分和高频部分。
低频部分包含信号的整体特征，高频部分包含信号的细节特征。
通过不断分解和重构，可以得到信号在不同尺度上的小波系数，从而揭示信号的局部特征。
小波变换还具有一些重要的性质，如平移不变性、尺度不变性和能量守恒性。
平移不变性表示信号的平移对小波系数没有影响；尺度不变性表示信号的尺度变化对小波系数的影响是可逆的；能量守恒性表示信号的能量在小波分解和重构过程中是守恒的。
三、应用领域小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
小波变换的基本概念和原理
小波变换的基本概念和原理小波变换是一种数学工具，用于分析信号的频谱特性和时域特征。
它在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
本文将介绍小波变换的基本概念和原理。
一、什么是小波变换？小波变换是一种将信号分解为不同频率的成分的数学工具。
它类似于傅里叶变换，但不同之处在于小波变换不仅能提供频域信息，还能提供时域信息。
小波变换使用一组称为小波基函数的函数族，通过对信号进行连续或离散的变换，将信号分解为不同尺度和频率的成分。
二、小波基函数小波基函数是小波变换的基础。
它是一个用于描述信号特征的函数，具有局部性和可调节的频率特性。
常用的小波基函数有Morlet小波、Haar小波、Daubechies 小波等。
这些小波基函数具有不同的性质和应用场景，选择适当的小波基函数可以更好地适应信号的特征。
三、小波分解小波分解是将信号分解为不同尺度和频率的过程。
通过对信号进行连续或离散的小波变换，可以得到小波系数和小波尺度。
小波系数表示信号在不同尺度和频率下的能量分布，而小波尺度表示不同尺度下的信号特征。
小波分解可以将信号的局部特征和全局特征分离开来，为信号分析提供更多的信息。
四、小波重构小波重构是将信号从小波域恢复到时域的过程。
通过对小波系数进行逆变换，可以得到原始信号的近似重构。
小波重构可以根据需要选择保留部分小波系数，从而实现信号的压缩和去噪。
五、小波变换的应用小波变换在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有着广泛的应用。
在信号处理中，小波变换可以用于信号去噪、特征提取、模式识别等任务。
在图像处理中，小波变换可以用于图像压缩、边缘检测、纹理分析等任务。
在数据压缩中，小波变换可以将信号的冗余信息去除，实现高效的数据压缩和存储。
六、小波变换的优势和局限性小波变换相比于傅里叶变换具有一些优势。
首先，小波变换可以提供更多的时域信息，对于非平稳信号和瞬态信号具有更好的分析能力。
其次，小波变换可以实现信号的局部分析，对于局部特征的提取和分析更为有效。
小波变换基础以及haar小波 46页PPT文档
小波分析是时间和频率的 局域变换，采用多分辨率 分析的思想，非均匀地划 分时频空间.通过伸缩和平 移对信号进行多尺度细化， 可以在不同尺度上来观察 信号.
对低频部分采取较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频 部分采取较高的时间分辨率和较低的频率分辨率. 逐渐精细的时域步长，可以聚焦到被分析信号的任意细节，因而 它比傅立叶分析更适合处理非平稳信号，被誉为“数学显微镜”.
三角函数sin(nωt)构成一组完备正交基，所以信号f(t) 可以用三角函数表示—傅里叶变换. Fourier_series_and_transform (1).gif
小波函数能够构成一组完备正交基，所以信号f(t) 也可以用小波函数表示—小波变换.
小波变换
如果e1(t), e2(t), e3(t), ……, en(t)构成一组完 备正交基, 则任何信号f(t)可以表示成：
小波分析是对傅立叶分析（Fourier Analysis） 理论最辉煌的继承、总结和重大突破.
小波与傅里叶的区别
傅立叶分析中，以单个变量（时间或频率）的 函数表示信号，因此，不能同时作时域频域分 析.
小波分析中，利用联合时间—尺度函数分析信 号，通过平移和伸缩构造小波基，由于小波同 时具有时间平移和多尺度分辨率的特点，可以 同时进行时频域分析.
连续小波反变换：
f(t)1
C
R RWf(a,b)a,b(t)daa 2 db
其中，a称“尺度因子”，b称“平移因子”.
C
|ˆ()|2 d R ||
连续小波变换的性质
⑴线性 f ( t ) A 1 ( t ) B f 2 ( t ) f W f ( a , b ) A f 1 ( a , b W ) B f 2 ( a , b W ) ⑵平移 g ( t ) f ( t t 0 ) W g ( a ,b ) W f( a ,b t 0 )
小波变换基础以及haar小波
V0 V1 V j
函数集： 2 j/ 2 (2 j t k ), k Z
是Vj的一个标准正交基。
图中的尖峰就表示噪声部分，也 是我们想要去除的部分，随着j的 增大，分辨率越高， (2 j t ) 就越接近噪声成分，由haar小波 可知，它所表示的宽度为 1j
即： L ( R) Wj
2
L2(R)的塔式分解如下：
V j Wj V j 1
V1 W1 , V0 W0 , W1 V0 W1 W0
V j span{2 j 2 (2 j t k )
j, k Z} 称“尺度空间”.
W j span{2 j 2 (2 j t k )
将母函数φ(t)作伸缩(伸缩因子为a)和平移(平移因子为b)变换，a， b∈R，且a≠0，得到一个函数簇φa,b(t).
t b a ,b (t ) | a | ( ) a
1 2
称φa,b(t)为连续小波. 式中的变量a反映函数的尺度(或宽度)，变量b检测沿t轴的平移位置.
t b a ,b (t ) | a | ( ) a
为什么叫小波？？？ 小波分析所用的波称为小波，小波的能量有限，有限长且会衰减，集 中在某一点附近. 即小波是一种能量在时域非常集中的波.
从公式可以看出，不同于傅里叶变换，变量只有频率 ω，小波变换有两个变量：尺度a和平移量 τ。尺度a 控制小波函数的伸缩，平移量 τ控制小波函数的平移。 尺度就对应于频率（反比），平移量 τ就对应于时间。 某一个尺度下乘出来的结果，就可以理解成信号所包 含的当前尺度对应频率成分有多少。其实这样相乘积 分也就是计算信号与基函数的相似程度。
小波变换提取基频
小波变换提取基频一、背景介绍小波变换是一种数学工具，可以将信号分解成不同频率的小波，从而更好地理解和处理信号。
其中，基频是指信号中最低的频率成分，对于许多应用来说具有重要意义。
因此，提取基频是小波变换中的一个重要问题。
二、小波变换基础知识1. 小波函数小波函数是一类特殊的函数，具有局部性和可伸缩性等特点。
常用的小波函数包括Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
2. 小波分解将信号分解成不同频率的小波可以使用离散小波变换（DWT），其基本步骤如下：（1）将原始信号进行低通滤波和高通滤波；（2）将低通滤波后的结果继续进行低通滤波和高通滤波；（3）重复上述步骤直到达到所需的分解层数。
3. 小波重构通过反向操作可以将分解后得到的各个尺度系数和细节系数合并还原为原始信号。
三、提取基频方法1. 自相关法自相关法是比较常用的一种提取基频的方法。
其基本思想是将信号与自身进行相关运算，得到的结果中最大的峰对应的位置即为基频所在位置。
2. 周期图法周期图法是通过计算信号在不同频率下的功率谱密度，并找到其中最大峰对应的频率作为基频。
这种方法需要对信号进行预处理，如去除直流分量、归一化等。
3. 小波包变换小波包变换可以看作是小波变换的扩展形式，可以得到更多尺度和频率上的信息。
通过对小波包系数进行分析，可以找到其中能量最大的子带，并将其作为基频所在子带。
四、实验流程1. 读取原始信号；2. 对原始信号进行小波分解，得到各个尺度系数和细节系数；3. 对每个尺度系数和细节系数进行自相关运算，得到各自的自相关函数；4. 在每个自相关函数中找到最大峰所在位置，即为该尺度或细节下的基频位置；5. 将所有尺度和细节下的基频位置取平均值作为最终提取出来的基频位置；6. 根据采样率和基频位置计算出实际基频值。
五、实验结果本实验使用MATLAB软件进行实现，采用Daubechies小波进行分解，并对每个尺度和细节下的系数进行自相关运算，得到各自的自相关函数。
小波变换入门
短时傅里叶变换
傅立叶变换无法作局部分析，为此，人们提出了短 时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗口傅里叶变换。 基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用 傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间 间隔存在的频率。 STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑 动窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：
j
2 这时， f ( t ) ∈ L ( R ) 的二进小波变换定义为
WT f ( 2 j , b ) = 2 − j 2 ∫ f ( t ) * 2 − j ( t − b ) dt ψ
−∞
+∞
24/103
Mallat算法与塔式分解 算法与塔式分解
系数分解的快速算法： 系数分解的快速算法：
ˆ ψ (0) = ∫ ψ (t )dt = 0
−∞ ∞
此式表明ψ (t ) 中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故称 ψ (t 为“波”，为了使 ) 具有局部性，即在有限的区间之外很快 衰减为零，还必须加上一个衰减条件：
ψ (t ) ≤
(1 + t )
c
1+ε
, ε > 0, c > 0
14/103
STFTx (ω ,τ ) = ∫ x (t )ω (t − τ )e
时限
− jω t
dt
频限 6/103
短时傅里叶变换
7/103
短时傅里叶变换
图1 短时傅里叶变换的分析特点 (a)频率变化的影响 (b) 基本分析单元的特点
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连续小波变换的定义
用镜头观察目标 f (t ) (待分析信号 。 待分析信号)。 待分析信号 ψ (t ) 代表镜头所起的作 如滤波或卷积)。 用(如滤波或卷积 。 如滤波或卷积 b 相当于使镜头相对于 目标平行移动。 目标平行移动。 a 的作用相当于镜头向 目标推进或远离。 目标推进或远离。
小波变换去噪基础知识整理
小波变换去噪基础知识整理小波变换是一种数学分析工具，可以将时间序列或信号转换为不同频率的小波子波。
在这个过程中，我们可以去掉一些噪音或非重要部分，从而得到更加准确的数据。
这种方法在信号处理、数据分析以及图像处理中都有广泛的应用。
下文将就小波变换去噪的基础知识进行整理。
一、小波变换基础小波变换是一种通过将原始信号与一些特定的小波函数进行卷积和缩放来分解信号的工具。
这些小波函数与高斯函数类似，也可以根据不同频率来进行垂直和水平的拉伸缩小，进而满足各种类型的信号分解和去噪需求。
1.1 小波函数的特点小波函数的一些基本特点包括：•局部性质：小波函数在时间和频率上都拥有局部性质，能够在一段时间内精确的描述信号的局部特征。
•正交性：小波基函数是正交的，因此不同频率上的基函数可以进行组合。
•存在尺度变换：基函数可以在尺度上（横坐标上）进行缩放。
1.2 小波变换的基本步骤小波变换的基本步骤如下：1.将原始信号进行低通滤波和高通滤波，得到低频部分和高频部分。
2.将低频信号继续进行滤波和下采样，得到更低频的信号。
3.将高频信号进行上采样和插值/filling，得到与低频信号时间长度相同的高频系数。
4.重复2~3步，直到所需要的分解尺度。
二、小波去噪基本原理小波去噪和小波分解密不可分，其基本原理是通过将原始信号分解为数个特定频率的小波子波，进而得到各种频率上对应的子波系数。
对于一个含有噪声的信号，其高频系数往往被噪声所主导，而低频系数往往对应着信号的基本信息。
因此，小波去噪的方法就是在保留低频信号不变的情况下，将高频信号的噪声剔除，并据此通过逆小波变换重建出一个干净的信号。
2.1 小波能量和阈值确定小波去噪中，我们需要确定一个能量阈值，保留大于该能量阈值的小波系数，而剔除小于该阈值的部分。
一个常用的方法是利用软阈值进行阈值处理，公式如下：soft\_threshold(x) = {x-threshold (if x>threshold) x+threshold (if x<-threshold)0 (otherwise)}其中x是小波系数，threshold是能量阈值。
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小波变换基础第9章小波变换基础9.1 小波变换的定义给定一个基本函数«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»（9.1.1）式中«Skip Record If...»均为常数，且«Skip Record If...»。
显然，«Skip Record If...»是基本函数«Skip Record If...»先作移位再作伸缩以后得到的。
若«Skip Record If...»不断地变化，我们可得到一族函数«Skip Record If...»。
给定平方可积的信号«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的小波变换（Wavelet Transform，WT）定义为«Skip Record If...»«Skip Record If...»（9.1.2）式中«Skip Record If...»和«Skip Record If...»均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT）。
如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从«Skip Record If...»到«Skip Record If...»。
信号«Skip Record If...»的小波变换«Skip Record If...»是«Skip Record If...»和«Skip Record If...»的函数，«Skip Record If...»是时移，«Skip Record If...»是尺度因子。
«Skip Record If...»又称为基本小波，或母小波。
«Skip Record If...»是母小波经移位和伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。
这样，（9.1.2）式的«Skip Record If...»又可解释为信号«Skip Record If...»和一族小波基的内积。
母小波可以是实函数，也可以是复函数。
若«Skip Record If...»是实信号，«Skip Record If...»也是实的，则«Skip Record If...»也是实的，反之，«Skip Record If...»为复函数。
在（9.1.1）式中，«Skip Record If...»的作用是确定对«Skip Record If...»分析的时间位置，也即时间中心。
尺度因子«Skip Record If...»的作用是把基本小波«Skip Record If...»作伸缩。
我们在1.1节中已指出，由«Skip Record If...»变成«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，若«Skip Record If...»越大，则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢283仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢283«Skip Record If...»的时域支撑范围（即时域宽度）较之«Skip Record If...»变得越大，反之，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»越小，则«Skip Record If...»的宽度越窄。
这样，«Skip Record If...»和«Skip Record If...»联合越来确定了对«Skip Record If...»分析的中心位置及分析的时间宽度，如图9.1.1所示。
图9.1.1 基本小波的伸缩及参数«Skip Record If...»和«SkipRecord If...»对分析范围的控制(a)基本小波，（b ）«Skip Record If...»，«Skip Record If...» ,(c)«Skip Record If...»不变，«Skip Record If...», (d)分析范围这样，（9.1.2）式的WT 可理解为用一族分析宽度不断变化的基函数对«Skip Record If...»作分析，由下一节的讨论可知，这一变化正好适应了我们对信号分析时在不同频率范围所需要不同的分辨率这一基本要求。
（9.1.1）式中的因子«Skip Record If...»是为了保证在不同的尺度«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»始终能和母函数«Skip Record If...»有着相同的能量，即«Skip Record If...»)(t 2=ttta令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，这样，上式的积分即等于«Skip Record If...»。
令«Skip Record If...»的傅里叶变换为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的傅里叶变换为«Skip Record If...»，由傅里叶变换的性质，«Skip Record If...»的傅里叶变换为：«Skip Record If...» «Skip Record If...» «Skip Record If...»（9.1.3）由Parsevals定理，（9.1.2）式可重新表为：«Skip Record If...»«Skip Record If...»（9.1.4）此式即为小波变换的频域表达式。
9.2 小波变换的特点下面，我们从小波变换的恒Q性质、时域及频率分辨率以及和其它变换方法的对比来讨论小波变换的特点，以帮助我们对小波变换有更深入的理解。
比较（9.1.2）和（9.1.4）式对小波变换的两个定义可以看出，如果«Skip Record If...»在时域是有限支撑的，那么它和«Skip Record If...»作内积后将保证«Skip Record If...»在时域也是有限支撑的，从而实现我们所希望的时域定位功能，也即使«Skip Record If...»反映的是«Skip Record If...»在«Skip Record If...»附近的性质。
同样，若«Skip Record If...»具有带通性质，即«Skip Record If...»围绕着中心频率是有限支撑的，那么«Skip Record If...»和«Skip Record If...»作内积后也将反映«Skip Record If...»在中心频率处的局部性质，从而实现好的频率定位性质。
显然，这些性能正是我们所希望的。
问题是如何找到这样的母小波«Skip Record If...»，使其在时域和频域都是有限支撑的。
有关小波的种类及小波设计的问题，我们将在后续章节中详细讨论。
由1.3节可知，若«Skip Record If...»的时间中心是«Skip Record If...»，时宽是«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的频率中心是«Skip Record If...»，带宽是«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»的时间中心仍是«Skip Record If...»，但时宽变成«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的频谱«Skip Record If...»的频率中心变为«Skip Record If...»，带宽变成«Skip Record If...»。
这样，«Skip Record If...»的时宽－带宽积仍是«Skip Record If...»，与«Skip Record If...»仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢283无关。
这一方面说明小波变换的时－频关系也受到不定原理的制约，但另一方面，也即更主要的是揭示了小波变换的一个性质，也即恒Q 性质。
定义«Skip Record If...»=带宽/中心频率 (9.1.5) 为母小波«Skip Record If...»的品质因数，对«Skip Record If...»，其 带宽/中心频率=«Skip Record If...»因此，不论«Skip Record If...»为何值«Skip Record If...»，«Skip Record If...»始终保持了和«Skip Record If...»具有性同的品质因数。