后验概率公式
贝氏定律的计算公式
贝氏定律的计算公式贝氏定律是一种概率统计定律，描述了在给定先验条件下，事件的概率如何根据新的证据进行更新。
它由英国数学家托马斯·贝叶斯在18世纪提出，并且在统计学和机器学习等领域中有着广泛的应用。
贝叶斯定理的数学表达式如下：P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)。
其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
这个公式的核心思想是，通过已知的条件概率来计算事件的后验概率。
在实际应用中，贝叶斯定理可以用来更新对事件发生的概率的估计，特别是在面对新的证据时。
贝叶斯定理的应用。
贝叶斯定理在实际应用中有着广泛的应用。
其中一个典型的应用是在医学诊断中。
医生在面对患者的症状时，可以利用贝叶斯定理来更新对患者患病的概率的估计。
医生首先根据患者的症状和病史估计患病的先验概率，然后通过进行一系列的检查和测试来获取新的证据，利用贝叶斯定理来更新对患病概率的估计，从而更准确地进行诊断。
另一个典型的应用是在机器学习中。
在监督学习中，我们通常需要根据已知的数据来训练模型，然后利用模型来预测新的数据。
贝叶斯定理可以用来更新对模型参数的估计，从而提高模型的预测能力。
此外，贝叶斯定理还在信息检索、自然语言处理、金融风险管理等领域有着广泛的应用。
贝叶斯定理的优势和局限。
贝叶斯定理的优势在于它能够将先验知识和新的证据进行有效地结合，从而得到更准确的估计。
尤其是在面对不确定性和复杂性的情况下，贝叶斯定理能够提供一种有效的推断方法。
然而，贝叶斯定理也有一些局限性。
首先，它需要对先验概率进行合理的估计，而先验概率往往是主观的，因此可能会引入一定的偏差。
其次，贝叶斯定理在计算上可能会面临复杂性和计算量大的问题，特别是在高维空间和大规模数据的情况下。
贝叶斯定理的变体。
为了克服贝叶斯定理的局限性，研究者们提出了许多贝叶斯定理的变体和改进方法。
先验概率、似然函数与后验概率
先验概率、似然函数与后验概率先验概率Prior probability在贝叶斯统计中，先验概率分布，即关于某个变量 p 的概率分布，是在获得某些信息或者依据前，对 p 的不确定性进⾏猜测。
例如， p 可以是抢⽕车票开始时，抢到某⼀车次的概率。
这是对不确定性（⽽不是随机性）赋予⼀个量化的数值的表征，这个量化数值可以是⼀个参数，或者是⼀个潜在的变量。
先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计，也就是事先根据已有的知识的推断，在应⽤贝叶斯理论时，通常将先验概率乘以似然函数（likelihoodfunction）再归⼀化后，得到后验概率分布，后验概率分布即在已知给定的数据后，对不确定性的条件分布。
似然函数似然函数（likelihood function），也称作似然，是⼀个关于统计模型参数的函数。
也就是这个函数中⾃变量是统计模型的参数。
对于结果 x ，在参数集合θ上的似然，就是在给定这些参数值的基础上，观察到的结果的概率 L(θ|x)=P(x|θ) 。
也就是说，似然是关于参数的函数，在参数给定的条件下，对于观察到的 x 的值的条件分布。
似然函数在统计推测中发挥重要的作⽤，因为它是关于统计参数的函数，所以可以⽤来评估⼀组统计的参数，也就是说在⼀组统计⽅案的参数中，可以⽤似然函数做筛选。
在⾮正式的语境下，“似然”会和“概率”混着⽤；但是严格区分的话，在统计上，⼆者是有不同。
不同就在于，观察值 x 与参数θ的不同的⾓⾊。
概率是⽤于描述⼀个函数，这个函数是在给定参数值的情况下的关于观察值的函数。
例如，已知⼀个硬币是均匀的（在抛落中，正反⾯的概率相等），那连续10次正⾯朝上的概率是多少？这是个概率。
⽽似然是⽤于在给定⼀个观察值时，关于⽤于描述参数的情况。
例如，如果⼀个硬币在10次抛落中正⾯均朝上，那硬币是均匀的（在抛落中，正反⾯的概率相等）概率是多少？这⾥⽤了概率这个词，但是实质上是“可能性”，也就是似然了。
后验概率Posterior probability后验概率是关于随机事件或者不确定性断⾔的条件概率，是在相关证据或者背景给定并纳⼊考虑之后的条件概率。
全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中最基础、最重要的两个公式之一。
它们是概率论领域的基础理论，广泛应用于科学、经济、社会等诸多领域。
在本文中，我们将从定义、思想、应用等多个角度系统地介绍这两个公式，并通过实例加深读者对其理解和应用的能力。
一. 全概率公式（Law of Total Probability）全概率公式，指在已知某一事件的所有可能情况下，推断出该事件发生的概率公式。
其定义如下：对于任何一组事件A1,A2,A3...,An，满足：1. 这些事件构成一个完备事件组，即其中任意两个事件不可能同时发生；2. 对于任意一个事件B，都可以写成B与A1,A2,A3...,An的交集的和；则可得到全概率公式：P(B) = ∑P(Ai) · P(B|Ai)其中，P(B)为事件B的概率，P(Ai)为组合事件A1,A2,A3...,An的概率，P(B|Ai) 表示在事件Ai发生的条件下，事件B发生的概率。
全概率公式的思想是通过列出完备事件组，并结合贝叶斯公式，计算出该事件每个可能事件的概率。
这个公式几乎在所有诸如风险评估、决策分析等领域都有广泛应用。
1.1 示例——决策分析用全概率公式来说明决策分析。
现在，有一个人可以选择投资A或B。
如果选择A，有60%的机会获得10000元的回报和40%的机会获得20000元的回报；如果选择B，则有100%的机会获得15000元的回报。
这个人现在需要决定选择哪种投资。
我们可以将选到A和选到B的两个事件分别设为Ai和Aj。
则全概率公式的应用如下：P(A) = P(Ai) · P(A) + P(Aj) · P(A)其中，P(Ai)=0.5，P(Aj)=0.5，P(A|Ai)=0.6，P(A|Aj)=1所以：P(A) = 0.5 × 0.6 + 0.5 × 1 = 0.8P(B) = 1 - P(A) = 0.2因此，我们可以看到，通过全概率公式，我们可以得出选择A的概率为0.8，选择B的概率为0.2。
朴素贝叶斯分类
朴素贝叶斯分类贝叶斯分类是一类分类算法的总称，这类算法均以贝叶斯定理为基础，故统称为贝叶斯分类。
而朴素贝叶斯分类是贝叶斯分类中最简单，也是常见的一种分类方法。
一：贝叶斯原理朴素贝叶斯分类算法是一个典型的统计学习方法，主要的理论基础就是贝叶斯公式。
贝叶斯公式定义如下所示：先验概率：通过经验来判断事情发生的概率。
后验概率：后验概率就是发生结果之后，推测原因的概率。
条件概率：事件 A 在另外一个事件 B 已经发生条件下的发生概率，表示为 P(A|B)，读作“在 B 发生的条件下 A 发生的概率”。
P（A|B）表示事件B已经发生的前提下，事件A发生的概率，叫做事件B发生下事件A的条件概率。
其基本求解公式为：P（AB）/P(B)。
但是在有些情况下，我们可以很容易直接得出P(A|B)，P(B|A)则很难直接得出，但是我们更想要知道P(B|A)。
例如（通信接收机检测判决）将A，B，C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是(1－α)/2。
今将字母串AAAA，BBBB，CCCC 之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC 的概率分别为p1, p2, p3 (p1 +p2+p3=1)，已知输出为ABCA，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。
）在这个例子中，我们知道了结果，但是我们想要知道输入的概率，直接计算是非常困难的，但是通过贝叶斯公式就显得十分简单了。
换句话说，就是我们知道原因，推导结果是比较容易的，但是当我们知道结果，要反过来推导原因是十分困难的。
而贝叶斯公式就为我们知道结果后推导原因提供了一个捷径。
二：朴素贝叶斯分类在说完了贝叶斯原理之后，现在就来说朴素贝叶斯分类。
朴素贝叶斯分类之所以朴素，就是因为我们做了一个简单的假设，即类中特定特征的存在与任何其他特征的存在无关，这意味着每个特征彼此独立。
因此对实际情况有所约束，如果属性之间存在关联，分类准确率会降低。
最大似然估计(MLE)和最大后验概率(MAP)
最大似然估计：最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”。
简单而言，假设我们要统计全国人口的身高，首先假设这个身高服从服从正态分布，但是该分布的均值与方差未知。
我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高，但是可以通过采样，获取部分人的身高，然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。
最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的。
下面我们具体描述一下最大似然估计：首先，假设为独立同分布的采样，θ为模型参数,f为我们所使用的模型，遵循我们上述的独立同分布假设。
参数为θ的模型f产生上述采样可表示为回到上面的“模型已定，参数未知”的说法，此时，我们已知的为，未知为θ，故似然定义为:在实际应用中常用的是两边取对数，得到公式如下：其中称为对数似然，而称为平均对数似然。
而我们平时所称的最大似然为最大的对数平均似然，即：举个别人博客中的例子，假如有一个罐子，里面有黑白两种颜色的球，数目多少不知，两种颜色的比例也不知。
我们想知道罐中白球和黑球的比例，但我们不能把罐中的球全部拿出来数。
现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来，记录球的颜色，然后把拿出来的球再放回罐中。
这个过程可以重复，我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。
假如在前面的一百次重复记录中，有七十次是白球，请问罐中白球所占的比例最有可能是多少？很多人马上就有答案了：70%。
而其后的理论支撑是什么呢？我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。
因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。
这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。
题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，这里Data是所有的数据，M是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为p。
如果第一抽样的结果记为x1，第二抽样的结果记为x2... 那么Data = (x1,x2,…,x100)。
最大似然估计和最大后验概率
最⼤似然估计和最⼤后验概率1⼀、介绍 极⼤似然估计和贝叶斯估计分别代表了频率派和贝叶斯派的观点。
频率派认为，参数是客观存在的，只是未知⽽矣。
因此，频率派最关⼼极⼤似然函数，只要参数求出来了，给定⾃变量X，Y也就固定了，极⼤似然估计如下所⽰: D表⽰训练数据集，是模型参数 相反的，贝叶斯派认为参数也是随机的，和⼀般随机变量没有本质区别，正是因为参数不能固定，当给定⼀个输⼊x后，我们不能⽤⼀个确定的y表⽰输出结果，必须⽤⼀个概率的⽅式表达出来，所以贝叶斯学派的预测值是⼀个期望值，如下所⽰： 其中x表⽰输⼊，y表⽰输出，D表⽰训练数据集，是模型参数 该公式称为全贝叶斯预测。
现在的问题是如何求（后验概率），根据贝叶斯公式我们有： 可惜的是，上⾯的后验概率通常是很难计算的，因为要对所有的参数进⾏积分，不能找到⼀个典型的闭合解（解析解）。
在这种情况下，我们采⽤了⼀种近似的⽅法求后验概率，这就是最⼤后验概率。
最⼤后验概率和极⼤似然估计很像，只是多了⼀项先验分布，它体现了贝叶斯认为参数也是随机变量的观点，在实际运算中通常通过超参数给出先验分布。
从以上可以看出，⼀⽅⾯，极⼤似然估计和最⼤后验概率都是参数的点估计。
在频率学派中，参数固定了，预测值也就固定了。
最⼤后验概率是贝叶斯学派的⼀种近似⼿段，因为完全贝叶斯估计不⼀定可⾏。
另⼀⽅⾯，最⼤后验概率可以看作是对先验和MLE的⼀种折衷，如果数据量⾜够⼤，最⼤后验概率和最⼤似然估计趋向于⼀致，如果数据为0,最⼤后验仅由先验决定。
⼆、例⼦ 最⼤似然估计 最⼤似然估计（maximum likelihood estimation，简称MLE）很容易理解，在⽣活⽣活中其实也经常⽤到，看下⾯⼀个例⼦： ⼀个箱⼦中有⽩球和⿊球共1000个，但是我们并不知道⽩球和⿊球各多少个（当然这⾥不允许把箱⼦⾥的球倒出来逐个数），此时我们就可以⽤抽样的⽅法去估计箱⼦⾥⿊⽩两种球的分布。
假设我们抽了100次，得到的结果是70次⿊球和30次⽩球，那么我们很⾃然的可以估计箱⼦⾥⾯有700个⿊球，300个⽩球。
先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数
先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数⼀、先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数在机器学习中，这些概念总会涉及到，但从来没有真正理解透彻他们之间的联系。
下⾯打算好好从头捋⼀下这些概念，备忘。
1、先验概率先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计，也就是事先根据已有的知识的推断，先验概率就是没有经过实验验证的概率，根据已知进⾏的主观臆测。
如抛⼀枚硬币，在抛之前，主观推断P（正⾯朝上） = 0.5。
2、后验概率后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式中的。
是“执果寻因”问题中的”果”。
先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础。
解释下来就是，在已知果（B）的前提下，得到重新修正的因（A）的概率P（A|B)，称为A的后验概率，也即条件概率。
后验概率可以通过贝叶斯公式求解。
3、贝叶斯公式贝叶斯公式，⽤来描述两个条件概率（后验概率）之间的关系，⽐如 P(A|B) 和 P(B|A)。
按照乘法法则：P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)如上公式也可变形为：P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B) P(B)为标准化常量贝叶斯法则表述如下：⼀般公式其中A1,,,,,,An为完备事件组，即举⼀个简单的例⼦：⼀⼝袋⾥有3只红球、2只⽩球，采⽤不放回⽅式摸取，求：⑴第⼀次摸到红球（记作A）的概率；⑵第⼆次摸到红球（记作B）的概率；⑶已知第⼆次摸到了红球，求第⼀次摸到的是红球的概率。
解：⑴ P(A)=3/5，这就是A的先验概率；⑵ P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A逆)P(A逆)=3/5 此称为准化常量，A与A逆称为完备事件组⑶ P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=1/2，这就是A的后验概率。
4、似然函数1）概念在数理统计学中，似然函数是⼀种关于统计模型中的参数的函数，表⽰模型参数中的似然性。
似然函数在统计推断中有重⼤作⽤，如在最⼤似然估计和费雪信息之中的应⽤等等。
后验概率公式
后验概率公式贝叶斯公式：P(Y|X) = P(X|Y)*P(Y)/P(X)先验概率(prior probability)：这个概率是通过统计得到的，或者依据自身依据经验给出的一个概率值，这里P(Y)就是先验概率；后验概率：根据观察到的样本修正之后的概率值，这里P(Y|X)就是后验概率例子：假设玩英雄联盟这个事件是X，性别这个事件为Y，然后假设中国的男女比例为1：1，也就是P(Y = 男性) = 0.5，P(Y = 女性) = 0.5 继续假设：男性玩lol的概率为0.8，女性玩lol的概率为0.2，即P(X = 玩lol | Y = 男性) = 0.8；P(X=玩lol | Y = 女性) = 0.2 那么问题来啦：在已知一个中国人是玩lol的情况下，是男性的概率根据贝叶斯定律可得：P(Y = 男性|X = 玩lol) = P(X = 玩lol|Y = 男性) * P(Y = 男性)/[P(X = 玩lol|Y = 男性) * P(Y = 男性)+P(X = 玩lol|Y = 女性) * P(Y = 女性)] = 0.8*0.5/[0.8*0.5+0.2*0.5] = 0.8因为男女比例刚好是1：1，所以算出来还是0.8，假如男女比是0.6:0.4，那结果就是0.8*0.6/[0.8*0.6 + 0.2*0.4) =0.48/(0.48+0.08) = 0.857可以看到后验概率P(Y = 男性|X = 玩lol) 是根据先验概率P(Y = 男性)做了一个系数修正之后的，所以叫后验概率后验概率的应用：在机器学习的特征的处理过程中，可以将一些分类特征根据后验概率做替换实现特征的连续化，例如知道正负样本，知道用户的每天的访问网址的domain，然后可以将数据在时间维度上将正负样本的比例映射到domain上面去，（以时间维度为划分是为了防止发生数据穿越，这个很重要），相当于对domain这个先验根据正负样本做了一个后验的修正；。
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第一章 随机事件与概率
第28页
1.2.4 确定概率的古典方法
古典概型 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有 限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是 相等的，即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型。 则事件A的概率为: P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
第一章 随机事件与概率
第34页
几何概型的例子
例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线， 向平面任意投掷一枚长为l 的针， 求针与平行线相交的概率.
第一章 随机事件与概率
第1页
第一章 随机事件与概率
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 随机事件及其运算 概率的定义及其确定方法 概率的性质 条件概率 独立性
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第2页
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 确定性现象
• 随机现象的统计规律性：随机现象的各种结果
会表现出一定的规律性，这种规律性称之为 统计规律性.
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第4页
1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 它具有两个特点：随机性、重复性. 2. 样本点 —— 随机试验的每一个可能结果. 3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合. 4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
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第一章 随机事件与概率
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课堂练习
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = ( B )， AB = ( A )
2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ③ ) ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件.
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第一章 随机事件与概率
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1.1.5 事件间的关系
包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生. 相等关系: A = B A B 而且 B A. 互不相容： A 和 B不可能同时发生.
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第一章 随机事件与概率
第10页
1.1.6 事件的运算
• • • • 并： A B 交： A B = AB 差： A B 对立： A A 与 B 至少有一发生 A 与 B 同时发生 A发生但 B不发生 A 不发生
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第一章 随机事件与概率
第11页
事件运算的图示
第一章 随机事件与概率
第33页
1.2.5 确定概率的几何方法
几何概型
若 ① 可度量性。样本空间充满某个区域，
其度量(长度、面 积、体积)为S； ② 等可能性。落在中的任一子区域A的概 率，只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的 位置无关
则事件A的概率为: P(A)= SA /S
28 December 2018
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
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第一章 随机事件与概率
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1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象. • 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
• 非负性公理： P(A)0; • 正则性公理： P(Ω)=1; • 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则 P Ai P( Ai ) i 1 i 1
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第23页
1.2.2 排列与组合公式
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第一章 随机事件与概率
第19页
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AB AC BC
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第一章 随机事件与概率
第30页
例1.2.1
六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第14页
注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
A A
A A Ω
A
A A
A A
A
A B A B
AB
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第15页
注意点(2)
A B A B B, AB A
28 December 2018பைடு நூலகம்
第一章 随机事件与概率
第29页
注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第6页
1.1.4 随机变量
表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示.
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第一章 随机事件与概率
第7页
事件的表示
在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A. 维恩图 ( Venn ). 事件的三种表示 用语言、用集合、用随机变量.
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第5页
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示. 2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集. 5. 随机变量 表示随机现象结果的变量. 常用大写字母 X、Y、Z …表示.
An F .
第一章 随机事件与概率
第21页
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. • 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. • 古典定义；几何定义.
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第22页
1.2.1 概率的公理化定义
A B A AB
A B A ( B A) A ( B AB)
A AB AB
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第一章 随机事件与概率
第16页
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有
1. Ai互不相容；
2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
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第一章 随机事件与概率
第18页
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则 A 的对立事件为（ ④ ） ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； ② 甲、乙两种产品均畅销； ③ 甲种产品滞销； ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. 4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， 试说明下列各对事件间的关系 A B ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} ② A ={x＞20}， B ={x≤22} 相容 ③ A ={x＞22}， B ={x＜19} 不相容
• 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. • • • • • 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：Pn= n! 0! = 1. 重复排列：nr n! r 选排列： Pn n(n 1)......(n r 1)
(n r )!
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第一章 随机事件与概率
28 December 2018
第一章 随机事件与概率
第26页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法， 则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
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第一章 随机事件与概率
第20页
1.1.7 事件域
设Ω为样本空间，F 是由Ω的子集组成的集合 类，若F 满足以下三点,则称 F 为事件域 1. ΩF ; 2. 若 AF ，则 A F ;
n 1
3. 若 AnF ，n=1, 2, …, 则