截长补短法
.
。C
M
T
.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法3： 延长MC到T，使CT=BM， 则∠ACT=∠ABM， A 。 连结AT. ∵AC=AB=BC， ∴△MAB≌△TAC， ∠ABC=60°， 。C B ∴MA=TA. M ∵∠AMC=∠ABC=60°，
圆里的 截长补短
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
把已知条件及可得结论 标在图上：
60° °
。
.
Hale Waihona Puke B.60° ° 。C 60°60° ° °
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
.
.
∴MA=MS=AS， ∴MA=MB+MC.
延长 分析3：补短法 MC到T， A 使CT=BM， 。 连结AT. MA=MT， ∠AMC=60°， MA=MT=AT， MA=AT， △MA？≌△TA？ B △MAB≌△TAC， AB=AC， BM=CT， ∠ABM=∠ACT，
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠ACT=∠ABM，
。 使MN=CM， 连结CN.△CMN是等边三角形， MA=NB，
.
△MA？≌△NB？ △MAC≌△NBC， 。C B AC=BC， ∠MAC=∠NBC， M N ∠AMC=∠BNC， ∠AMC=60°， ∠CMN=∠BAC=60°， ∠BNC=60°， △CMN是等边三角形，
.
证法1： 延长BM到N，使MN=CM， CN. 连结 ∵AB=BC=CA， A ∴∠BAC=∠ABC=60°. 。 ∵∠CMN=∠BAC=60°， ∴△CMN是等边三角形， ∴∠BNC=60°. ∵∠AMC=∠ABC=60°， 。C B ∴∠AMC=∠BNC. ∵∠MAC=∠NBC， AC=BC， M N ∴△MAC≌△NBC， ∴MA=NB， ∴MA=MB+MC.
证法9： 由托勒密定理得 BCMA =ACMB+ABMC. ∵BC=AC=AB， ∴MA=MB+MC.
B
A
C M
证法10：记MA交BC于点P.
∴AC =AB， ∵AC=AB， P ∴∠AMC=∠AMB . 。C B ∵∠BCM=∠BAM ， M ∴△MCP ∽△MAB ， MC CP MB BP ∴MA = AB ； 同理，MA = AC . MB MC BP CP ∵BC=AC=AB， MA + MA = AC + AB =1， ∴ ∴MA=MB+MC.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
.
.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠ABS=∠ACM， °A 延长 分析2：补短法 MB到S， ∠BAC=60°，
使BS=MC， 连结AS. MA=MS， ∠AMB=60°， S MA=AS， MA=MS=AS， △MAC≌△SAB， △MA？≌△SA？ AC=AB， MC=SB， ∠ACM=∠ABS，
.
T
.
∴MA=MT=AT， ∴MA=MB+MC.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ° A 延长 分析4：补短法 CM到F， ∠BAC=60°，
。 使MF=BM， 连结BF. △BFM是等边三角形， MA=FC，
.
△MA？≌△FC？ △MAB≌△FCB， B AB=CB， ∠ABM=∠CBF， BM=BF，
.
.
在MA 分析8：截长法 上截取MH=MB， AH=MC， 连结BH. A △HBM是等边三角形. 。 △AH？≌△CM？ △AHB≌△CMB， H AB=CB， ∠BAH=∠BCM， ∠ABH=∠CBM， ∠ABC=60°， B ∠HBM=60°， △HBM是等边三角形.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
。
.
B
.
60° °
。C
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
。
.
B
.
M
。C
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. °A 延长 分析1：补短法 BM到N， ∠BAC=60°，
A
.
.
在AM 分析5：截长法 上截取AE=MC， ME=MB， A ∠AMB=60°， 。 连结BE. E MB=EB， ME=MB=BE， △MB？≌△EB？ △MBC≌△EBA， B BC=BA， ∠BCM=∠BAM， CM=AE，
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
60° °
。
.
B
.
60° ° 。C 60°60° ° °
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
.
.
△KCM是等边三角形.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法6： MA上截取MK=MC， 连结KC. 在 ∵AC=BC=AB， A ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠AMC=∠ABC=60°， AMC= ABC=60 ∠AMB=∠ACB=60°， ∴∠BMC=120°， K △KCM是等边三角形， B C ∴∠AKC=120°=∠BMC， M ∵∠KAC=∠MBC， ∴△AKC≌△BMC， ∴AK=MB，∴MA=AK+MK=MB+MC.
F
.
M
。C
△BFM是等边三角形， ∠BMF=∠BAC=60°，
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法4： ∵AB=AC=CB， 。 ∴∠BAC=∠ABC=60°. 延长CM到F，使MF=BM， 则∠BMF=∠BAC=60°， 。C 连结BF， B 则△BFM是等边三角形， M BM=BF， ∴∠FMB=∠FBM=60°， ∴∠ABM=∠CBF， F ∴△MAB≌△FCB， ∴MA=FC， ∴MA=MB+MC.
.
.
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. 在AM 分析7：截长法 上截取AD=MB， A
MD=MC， 连结DC. ∠DMC=60°， MD=MC=DC， MC=DC， △MCB≌△DCA， △MC？≌△DC？ B CB=CA， ∠MBC=∠DAC， BM=AD，
。
.
B
.
M
。C
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法2： 延长MB到S，使BS=MC， A 则∠ABS=∠ACM. 。 连结AS. ∵AC=AB=BC， ∴△MAC≌△SAB， S 。C B ∠ACB=60°， ∴MA=SA. M ∵∠AMB=∠ACB=60°，
。C
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
证法5： AM上截取AE=MC， 在 连结BE.
A ∵BC=BA=AC， 。 ∴∠ACB=60°. E ∵∠BCM=∠BAE， CM=AE， ∴△MBC≌△EBA， 。C B ∴ME=MB； M ∵∠AMB=∠ACB=60°， ∴ME=MB=BE，∴MA=ME+AE=MB+MC.
在MA 分析6：截长法 上截取MK=MC， A AK=MB， 连结KC. △KCM是等边三角形， △AK？≌△BM？ △AKC≌△BMC， AC=BC， ∠KAC=∠MBC， K ∠AKC=∠BMC， C B ∠BMC=120°， M ∠AKC=120°，
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
“截长补短”是初中平面几何中化难为易 的一种常用解题思想。 本题是一道典型例题。 这里表现 8 种证法，是要说明实际解题 时怎么补、怎么截。在作好辅助线后要及时 看到所产生的辅助条件，结合已知条件打通 思路。 本题的其它证法附于后面。
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
。
.
B
.
60° ° 。C 60°60° ° °
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
把已知条件及可得结论 标在图上： 把能表示的60°角 用圆弧表示：
。
.
B
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60°60° ° °
。C
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC. ∠BAC=60°， °A 分析：
。C
M
题目： 如图，M是等边△ABC的外接圆BC上的一点， 求证：MA = MB+MC.
八年级上册数学截长补短法
八年级上册数学截长补短法一、截长补短法的概念。
1. 定义。
- 截长补短法是几何证明题中一种常用的辅助线添加方法。
“截长”就是将一条较长的线段截成两段或几段，使得其中的一段或几段与已知线段相等；“补短”就是将一条较短的线段延长，使得延长后的线段与已知的较长线段相等。
- 例如，在三角形ABC中，要证明AB = AC+CD（假设AB>AC），“截长”的做法可以是在AB上截取AE = AC，然后去证明BE=CD；“补短”的做法可以是延长AC到F，使CF = CD，然后去证明AB = AF。
2. 适用情况。
- 当题目中出现证明两条线段之和等于第三条线段或者两条线段之差等于第三条线段等类型的问题时，常常考虑使用截长补短法。
- 比如在四边形或者三角形的边的关系证明中经常用到。
如在等腰三角形的相关证明中，如果要证明等腰三角形腰长与底边一部分线段的关系时，可能就需要用到这种方法。
二、截长补短法的解题步骤。
1. 截长法解题步骤。
- 第一步：观察图形和已知条件，确定要截的线段。
一般选择较长的那条线段进行截取。
- 第二步：根据已知条件截取合适的长度，使得截取后的线段与其他已知线段有一定的联系。
例如，在三角形中，如果有角平分线的条件，可能会截取与角平分线到角两边距离相等的线段。
- 第三步：连接截取点与其他点，构造全等三角形或者其他特殊的几何关系。
- 第四步：利用全等三角形的性质或者其他几何定理进行推理，得出要证明的结论。
- 例如：在三角形ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠C = 2∠B，求证：AB = AC+CD。
- 证明（截长法）：在AB上截取AE = AC，连接DE。
- 因为AD是角平分线，所以∠EAD = ∠CAD。
- 在△AED和△ACD中，AE = AC，∠EAD = ∠CAD，AD = AD，根据SAS（边角边）定理，△AED≌△ACD。
- 所以∠AED = ∠C，CD = ED。
- 又因为∠C = 2∠B，∠AED = ∠B + ∠EDB，所以∠B = ∠EDB。
特殊平行四边形截长补短法的运用
截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
往常来证明几条线段的数目关系。
截长补短法有多种方法。
截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边同样的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法（1）延伸短边。
（2）经过旋转等方式使两短边拼合到一同。
例1：在正方形 ABCD中， DE=DF， DG CE，交 CA于 G， GH AF，交 AD于 P，交 CE延伸线于 H，请问三条粗线 DG， GH，CH的数目关系。
C FDEHPGB A 方法一（好想不好证）方法二（好证不好想）（1）正方形ABCD中，点 E 在 CD上，点 F 在 BC上，EAF=45o。
求证： EF=DE+BF。
A BFD CE（1）变形 a正方形 ABCD中，点 E 在 CD延伸线上，点F 在 BC延伸线上，EAF=45o。
请问此刻 EF、 DE、BF 又有什么数目关系？A BE D CF（1）变形 b正方形 ABCD中，点 E 在 DC延伸线上，点F 在 CB延伸线上，EAF=45o。
请问此刻 EF、 DE、BF 又有什么数目关系？FA BD C E（1）变形 c正三角形 ABC中， E在 AB上， F 在AC上EDF=45o。
DB=DC，BDC=120o。
请问此刻EF、 BE、 CF又有什么数目关系？AFEBj CD（1）变形 d正方形ABCD中，点E 在CD上，点F 在 BC上，EAD=15o，FAB=30o ,AD= 3求AEF的面积.A BFD CE(1)变形 e如图，在正方形ABCD中， M是 AB的中点， DM⊥MN， BN均分∠ CBE。
求证： DM=MN.(1) 变形 f如图，在正方形ABCD中， E是 BC的中点，AE⊥EF，一种正确的解题思路：取AB的中点 M，连结 ME，则CF 均分∠ DCG,经过思虑，小明展现了AM=EC，易证△≌△AME ECF ，所以 AE EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图 2，假如把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C 外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；（2）小华提出：如图 3，点E是BC的延伸线上（除C点外）的随意一点，其余条件不变，结论“ AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．A D A DF A DF FB ECG B ECG BC E G图 1 图 2 图 3（2）正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于 O，点 E 在 BD上， AE均分DAC。
经典截长补短法巧解资料讲解
截长补短法截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。
通常来证明几条线段的数量关系。
截长补短法有多种方法。
截长法：（1）过某一点作长边的垂线（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
……补短法（1）延长短边。
（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
……例：HPGFB AC DE在正方形ABCD中，DE=DF，DG⊥CE，交CA于G，GH⊥AF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系方法一（好想不好证）HPGFB AC DE方法二（好证不好想）HMPGFB AC DE例题不详解。
（第2页题目答案见第3、4页）FEDCAB（1）正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF=45o 。
求证：EF=DE+BF（1）变形aEFD CAB正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF=45o 。
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？（1）变形bEFD C AB正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF=45o 。
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？（1）变形cj FEABCD正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF=45o 。
DB=DC ，∠BDC=120o 。
请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？（1）变形 dFEDCAB正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD=15o ，∠FAB=30o 。
AD=3求∆AEF 的面积（1）解：（简单思路）GFEDCA B延长CD 到点G ，使得DG=BF ，连接AG 。
由四边形ABCD 是正方形得∠ADG=∠ABF=90o AD=AB 又DG=BF所以∆ADG ≅∆ABF （SAS ） ∠GAD=∠FAB AG=AF由四边形ABCD 是正方形得∠DAB=90o =∠DAF+∠FAB =∠DAF+∠GAD=∠GAF所以∠GAE=∠GAF-∠EAF =90o -45o =45o∠GAE=∠FAE=45o 又AG=AF AE=AE所以∆EAG ≅∆EAF （SAS ） EF=GE=GD+DE=BF+DE变形a 解：（简单思路）GEFD CABEF= BF-DE在BC 上截取BG ，使得BG=DF ，连接AG 。
线段和差处理技巧截长补短法
线段和差处理技巧截长补短法线段的和差处理技巧是数学中非常重要的一个概念。
在数学中，线段和差处理可以通过截长补短法来实现。
所谓截长补短，就是在两个线段之间找到一个公共的部分，然后通过截取和补足的方式实现线段的和差处理。
以下是线段和差处理技巧截长补短法的详细介绍。
在讨论线段和差处理之前，我们先来了解一下什么是线段。
线段是数学中的一个基本概念，是一个有两个端点的连续部分。
线段一般用两个点表示，比如用A和B表示一个线段AB。
线段的长度等于两个端点之间的距离。
线段的和差处理是指在给定的线段AB和线段CD的情况下，通过截长补短的方法计算出线段AB和线段CD的和或差。
具体来说，截长补短法可以分为两种情况：一种是线段AB和线段CD的起点和终点相同，另一种是线段AB和线段CD的起点和终点不同。
第一种情况下，如果线段AB和线段CD的起点和终点相同，那么它们可以看作是同一个线段。
在这种情况下，线段AB和线段CD的和差就是线段AB（或CD）的两倍。
更具体地说，如果我们要计算线段AB和线段CD的和，那么和的长度等于线段AB的长度加上线段CD的长度；如果我们要计算线段AB和线段CD的差，那么差的长度等于线段AB的长度减去线段CD的长度。
第二种情况下，如果线段AB和线段CD的起点和终点不同，那么它们不可以看作是同一个线段。
在这种情况下，我们需要找到线段AB和线段CD的一个公共部分，并将其截取下来。
具体来说，我们可以通过以下步骤实现线段和差的处理：1.先找到线段AB和线段CD的一个公共的端点。
这个公共端点可以是线段AB的起点或终点，也可以是线段CD的起点或终点。
2.从线段AB的起点开始，沿着线段AB的方向，截取和线段CD长度相等的一段线段。
这段线段的长度等于线段CD的长度。
3.将截取下来的线段与线段CD的起点相连。
这样我们就得到了一条新的线段EF，其中E是线段AB的起点，F是线段CD的起点。
4.线段EF就是线段AB和线段CD的和。
《截长补短法》课件
04
截长补短法的实例
实例一：几何图形
总结词
通过图形直观展示
详细描述
在PPT中，我们可以使用几何图形来展示截长补短法的应用。例如，在平面几何中，我们可以通过将一个不规则 图形切割成几个规则图形，然后进行补充，从而得到一个新的规则图形。这种方法可以帮助学生更好地理解几何 图形的性质和特点。
实例二：数据可视化
原理的数学解释
截长补短法是一种基于几何和代数知识 的解题方法，其原理可以通过数学公式
和定理进行解释。
在几何学中，截长补短法可以用于证明 一些线段或角度的性质和关系，例如通 过截取线段来证明两个三角形相似或通 过补全角度来证明一个四边形是平行四
边形。
在代数中，截长补短法可以用于解决一 些方程和不等式问题，例如通过将一个 复杂的多项式方程进行截取和补全，来
索其在其他领域的应用。
拓展应用范围
尝试将截长补短法与其他几何 作图方法结合，拓展其应用范 围，解决更多复杂的几何问题 。
提高教学水平
在数学教学中，加强对截长补 短法的介绍和讲解，帮助学生 更好地理解和掌握该方法。
激发学习兴趣
通过引导学生运用截长补短法 解决实际问题，激发他们对数
学学习的兴趣和热情。
THANKS
简单、更易于解决的小问题。
补全短线段
补全短线段是指在解题过程中，将一些较短的线段或步骤进行补充和整合，使其形 成一个完整的解决方案。
通过补全短线段，可以将零散的信息和步骤整合起来，形成一个完整的知识体系或 解决方案。
在数学问题中，补全短线段通常用于将一些分散的条件和信息整合起来，形成一个 完整的证明或解题过程。
找到满足条件的解。
03
截长补短法的步骤
截长补短法证明题课件
THANKS
谢谢
总结词：梯形中位线定理 详细描述
1. 定义梯形中位线为AD， 并设梯形两底分别为AB和 CD。
2. 通过梯形中位线的定义， 我们知道AD是AB和CD的组 合线段。
3. 根据组合线段的性质， AD等于两底AB和CD的平均 值。
4. 因此，AD等于 (AB+CD)/2，即梯形的中位 线等于两底和的一半。
02
CHAPTER
截长补短法的基础知识
平行线定理与推论
平行线定理
两条平行线被第三条直线所截，截得的对应线段成比例。
推论
如果一条直线截三角形的两边或其延长线，都使得两对边成 比例，那么这条直线一定与三角形相交。
三角形中位线定理
定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
应用
通过证明三角形中位线定理，可以得出四边形可以被分割成若干个三角形，从 而利用三角形面积公式求解四边形面积。
05
CHAPTER
截长补短法的实际应用
在几何作图中的应用
总结词
截长补短法在几何作图中应用广泛，是解决 作图题的重要方法。
详细描述
在几何作图中，常常需要将一条线段分成两 段或几段，然后利用这些线段构造新的图形 。截长补短法通过将长线段截取成若干段， 或补短线段以形成所需的新图形，从而实现 作图目标。
截长补短法证明题课件
目录
CONTENTS
• 截长补短法概述 • 截长补短法的基础知识 • 截长补短法的证明技巧 • 截长补短法经典例题解析 • 截长补短法的实际应用 • 截长补短法的进一步研究与探讨
01
CHAPTER
截长补短法概述
定义与特点
定义
截长补短法是一种证明几何命题 的技巧，通过将较长的线段截取 一部分，用来补足较短线段的不 足，从而使命题得证。
截长补短法构造全等三角形
截长补短法构造全等三角形
截长补短法（SSS）是指通过修改三角形的边长，在保持三个边长之和不变的情况下，改变三角形的形状，使其与另一个三角形完全相同。
下面是一个使用截长补短法构造全等三角形的示例：
给定三角形ABC和DEF，其中AB=6cm，BC=5cm，AC=7cm，DE=5cm，EF=6cm，DF=7cm。
我们需要使用截长补短法构造一个与ABC全等的三角形。
步骤如下：
1. 在BC的中点G处，画一条平行于AC的直线，并延长到交DE延长线于点H。
2. 在AC的中点I处，画一条平行于BC的直线，并延长到交EF延长线于点J。
3. 连接BH和CJ，将四边形BCHJ分成两个三角形。
4. 证明三角形ABH和DEF全等，由于BH=DE=5cm，AB和DF都平行于HJ，AH和DE都平行于BC，因此根据副角定理和平行线性质可知，两个三角形全等。
5. 证明三角形ACJ和DEF全等，AC=DF=7cm，AC和DF都平行于CJ，AJ 和DE都平行于BC，因此根据副角定理和平行线性质可知，两个三角形全等。
因此，三角形ABC和DEF是全等的，且可以通过截长补短法构造。
76 截长补短模型证明问题-【初中数学】120个题型大招!冲刺满分秘籍!
截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。
3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可.【类型】一、截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。
方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为平行四边形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。
“截长补短法”在解题中的应用
在三角形问题中，“截长补短法”常用于将一个三角形转化为另一个形状或大小不同的三角形，以便 应用不同的定理和性质。例如，通过截取或补全，将直角三角形转化为等腰三角形或等边三角形，从 而应用相应的定理和性质。
矩形问题
总结词
在解决矩形问题时，“截长补短法”可以用于构造辅助线， 将矩形问题转化为三角形问题，从而简化解题过程。
THANKS
谢谢
可以将代数方法应用于几何问题，从而简化复杂图形的计算和分析。
05
CHAPTER
“截长补短法”的练习与巩 固
基础练习题
总结词
熟悉基本概念和步骤
详细描述
基础练习题主要涉及简单的几何图形 ，如三角形、矩形等，目的是让学生 熟悉“截长补短法”的基本概念和步 骤，掌握基本的解题技巧。
提高练习题
总结词
深化理解和应用
特点
该方法具有直观、易懂、易于掌握的 特点，能够将复杂问题转化为简单问 题，降低解题难度。
适用范围
适用于求解平面几何 中的线段、角度、面 积等问题；
适用于求解解析几何 中的轨迹、最值等问 题。
适用于求解立体几何 中的体积、表面积等 问题；
解题步骤
分析题目
首先需要仔细分析题目，明确需要解决的问 题和已知条件；
04
CHAPTER
“截长补短法”与其他解题 方法的结合
与因式分解法的结合
总结词：简化计算
详细描述：在解决一些复杂的代数问题时，将“截长补短法”与因式分解法相结合，可以简化计算过 程，提高解题效率。通过因式分解，将多项式转化为容易处理的简单形式，再利用“截长补短法”进 行计算，可以快速得到答案。
与配方法结合
实施操作
按照确定的策略进行图形分割或拼接，注意 保持图形的完整性和美观性；
专题 全等三角形模型——截长补短与倍长中线(解析版)
全等三角形模型——截长补短与倍长中线截长补短截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段在线段AB 上截取AD AC=补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等延长AC ，使得AD AB =1.ABC D 中，AD 是BAC Ð的平分线，且AB AC CD =+．若60BCA Ð=°，则ABC Ð的大小为( )A ．30°B ．60°C ．80°D ．100°【分析】可在AB 上取AC AC ¢=，则由题中条件可得BC C D ¢=¢，即2C AC D B Ð=Т=Ð，再由三角形的外角性质即可求得B Ð的大小．【解答】解：如图，在AB 上取AC AC ¢=，AD Q 是角平分线，DAC DAC ¢\Ð=Ð，ACD \D @△()AC D SAS ¢，CD C D ¢\=，又AB AC CD =+Q ，AB AC C B ¢¢=+，BC C D \¢=¢，DCBAAB CD260C AC D B ¢\Ð=Ð=Ð=°，30B \Ð=°．故选：A ．2.阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．（1）请完成下题的证明过程：如图1，在ABC D 中，2B C Ð=Ð，AD 平分BAC Ð．求证：AB BD AC +=．证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE（2）如图2，//AD BC ，EA ，EB 分别平分DAB Ð，CBA Ð，CD 过点E ，求证：AB AD BC =+．【分析】（1）在AC 上截取AE AB =，连接DE ，证明ABD AED D @D ，得到B AED Ð=Ð，再证明ED EC =即可；（2）由等腰三角形的性质知AE FE =，再证明ADE FCE D @D 即可解决本题．【解答】证明：在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图1:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2BC Ð=Ð，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=；（2）延长AE 、BC 交于F ，AB BF =Q ，BE 平分ABF Ð，AE EF \=，在ADE D 和FCE D 中，DAE F AE EFAED CEF Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()ADE FCE ASA \D @D ，AD CF \=，AB BF BC CF BC AD \==+=+．3.如图，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð交BC 于D ，在AB 上截取AE AC =．（1）求证：ADE ADC D @D ；（2）若6AB =，5BC =，4AC =，求BDE D的周长．【分析】（1）根据SAS 证明ADE ADC D @D 即可；（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．【解答】证明：（1）AD Q 平分BAC Ð，EAD CDA \Ð=Ð，在ADE D 与ADC D 中，AE AC EAD CDA AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADE ADC SAS \D @D ，（2）ADE ADC D @D Q ，ED DC \=，BDE \D 的周长6457BE BD DE AB AE BC DC DC AB AC BC DC DC AB AC BC =++=-+-+=-+-+=-+=-+=4.（2020秋•武昌区期中）如图，ABC D 中，60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð、ACB Ð，AD 、CE 相交于点P（1）求CPD Ð的度数；（2）若3AE =，7CD =，求线段AC 的长．【分析】（1）利用60ABC Ð=°，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，即可得出答案；（2）由题中条件可得APE APF D @D ，进而得出APE APF Ð=Ð，通过角之间的转化可得出CPF CPD D @D ，进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．【解答】解：（1）60ABC Ð=°Q ，AD 、CE 分别平分BAC Ð，ACB Ð，120BAC BCA \Ð+Ð=°，1()602PAC PCA BAC BCA Ð+Ð=Ð+Ð=°，120APC \Ð=°，60CPD \Ð=°．（2）如图，在AC 上截取AF AE =，连接PF ．AD Q 平分BAC Ð，BAD CAD \Ð=Ð，在APE D 和APF D 中AE AF EAP FAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()APE APF SAS \D @D ，APE APF \Ð=Ð，120APC Ð=°Q ，60APE \Ð=°，60APF CPD CPF \Ð=Ð=°=Ð，在CPF D 和CPD D 中，FPC DPC CP CPFCP DCP Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()CPF CPD ASA \D @D CF CD \=，3710AC AF CF AE CD \=+=+=+=．5.如图，在ABC D 中，60BAC Ð=°，AD 是BAC Ð的平分线，且AC AB BD =+，求ABC Ð的度数．【分析】在AC上截取AE AB=，根据角平分线的定义可得BAD CADÐ=Ð，然后利用“边角边”证明ABDD和AEDD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD DE=，全等三角形对应角相等可得B AEDÐ=Ð，再求出CE BD=，从而得到CE DE=，根据等边对等角可得C CDEÐ=Ð，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得2AED CÐ=Ð，然后根据三角形的内角和定理列方程求出CÐ，即可得解．【解答】解：如图，在AC上截取AE AB=，ADQ平分BACÐ，BAD CAD\Ð=Ð，在ABDD和AEDD中，AE ABBAD CAD AD AD=ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS\D@D，BD DE\=，B AEDÐ=Ð，AC AE CE=+Q，AC AB BD=+，CE BD\=，CE DE\=，C CDE\Ð=Ð，即2B CÐ=Ð，在ABCD中，180BAC B CÐ+Ð+Ð=°，602180C C\°+Ð+Ð=°，解得40CÐ=°，24080ABC\Ð=´°=°．6.如图，五边形ABCDE 中，AB AE =，BC DE CD +=，120BAE BCD Ð=Ð=°，180ABC AED Ð+Ð=°，连接AD ．求证：AD 平分CDE Ð．【分析】连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，由AB AE =，120BAE Ð=°，得到AB 与AE 重合，并且AC AF =，又由180ABC AED Ð+Ð=°，得到180AEF AED Ð+Ð=°，即D ，E ，F 在一条直线上，而BC DE CD +=，得CD DF =，则易证ACD AFD D @D ，于是ADC ADF Ð=Ð．【解答】证明：如图，连接AC ，将ABC D 绕A 点旋转120°到AEF D ，AB AE =Q ，120BAE Ð=°，AB \与AE 重合，并且AC AF =，又180ABC AED Ð+Ð=°Q ，而ABC AEF Ð=Ð，180AEF AED Ð+Ð=°Q ，D \，E ，F 在一条直线上，而BC EF =，BC DE CD +=，CD DF \=，又AC AF =Q ，ACD AFD \D @D ，ADC ADF \Ð=Ð，即AD 平分CDE Ð．7.已知：如图，在ABC D 中，D 是BA 延长线上一点，AE 是DAC Ð的平分线，P 是AE 上的一点（点P 不与点A 重合），连接PB ，PC ．通过观察，测量，猜想PB PC +与AB AC +之间的大小关系，并加以证明．【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得FP CP =，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．【解答】解：PB PC AB AC +>+，理由如下：在BA 的延长线上截取AF AC =，连接PF ，在FAP D 和CAP D 中，AF AC FAP CAP AP AP =ìïÐ=Ðíï=î，()FAP CAP SAS \D @D ，FP CP \=．在FPB D 中，FP BP FA AB +>+，即PB PC AB AC +>+．8.已知ABC D 中，AB AC =，BE 平分ABC Ð交边AC 于E ．（1）如图（1），当108BAC Ð=°时，证明：BC AB CE =+；（2）如图（2），当100BAC Ð=°时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于BC，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．只要证明BEA BED D @D ，CE CD =即可解决问题；（2）结论：BC BE AE =+．如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，再证明EA EH EF CF ===即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，在BC 上截取BD BA =．BA BD =Q ，EBA EBD Ð=Ð，BE BE =，BEA BED \D @D ，BA BD \=，108A BDE Ð=Ð=°，AB AC =Q ，36C ABC \Ð=Ð=°，72EDC Ð=°，72CED \Ð=°，CE CD \=，BC BD CD AB CE \=+=+．（2）结论：BC BE AE =+．理由：如图2中，在BA 、BC 上分别截取BF BE =，BH BE =．则EBH EBF D @D ，EF EH \=，100BAC Ð=°Q ，AB AC =，40ABC C \Ð=Ð=°，20EBA EBC \Ð=Ð=°，80BFE H EAH \Ð=Ð=Ð=°，AE EH \=，BFE C FEC Ð=Ð+ÐQ ，40CEF C \Ð=Ð=°，EF CF \=，BC BF CF BE AE \=+=+．9.（2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在ABC D 中，AD 平分BAC Ð，2B C Ð=Ð．求证：AB BD AC +=．”李老师给出了如下简要分析：要证AB BD AC +=，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE AB =，连接DE ，只要证BD = EC 即可，这就将证明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ @△ ，得出B AED Ð=Ð及BD = ，再证出Ð = ，进而得出ED EC =，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分BAC Ð，将ABD D 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =．只要证AF AC =即可，此时先证Ð C =Ð，再证出△ @△ ，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．【分析】方法一、如图2，在AC 上截取AE AB =，由“SAS ”可证ABD AED D @D ，可得B AED Ð=Ð，BD DE =，由角的数量关系可求DE CE =，即可求解；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，由“AAS ”可证AFD ACD D @D ，可得AC AF =，可得结论．【解答】解：方法一、在AC 上截取AE AB =，连接DE ，如图2:AD Q 平分BAC Ð，BAD DAC \Ð=Ð，在ABD D 和AED D 中，AE AB BAD DAC AD AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD AED SAS \D @D ，B AED \Ð=Ð，BD DE =，又2B C Ð=ÐQ ，2AED C \Ð=Ð，而2AED C EDC C Ð=Ð+Ð=Ð，C EDC \Ð=Ð，DE CE \=，AB BD AE CE AC \+=+=，故答案为：EC ，转化，ABD ，AED ，DE ，EDC ，C Ð；方法二、如图3，延长AB 至点F ，使BF BD =，F BDF \Ð=Ð，2ABD F BDF F \Ð=Ð+Ð=Ð，2ABD C Ð=ÐQ ，F C \Ð=Ð，在AFD D 和ACD D 中，FAD CAD F CAD AD Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AFD ACD AAS \D @D ，AC AF \=，AC AB BF AB BD \=+=+，故答案为F ，AFD ，ACD ．倍长中线倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形；其本质是转移边和角．其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．10.三角形ABC 中，AD 是中线，且4AB =，6AC =，求AD 的取值范围是 ．【分析】延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，证ADC EDB D @D ，推出8AC BE ==，在ABE D 中，根据三角形三边关系定理得出AB BE AE AB BE -<<+，代入求出即可．【解答】解：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ，AD Q 是BC 边上的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，Q AD DE ADC EDB DC BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，4AC BE \==，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，64264AD \-<<+，15AD \<<，故答案为：15AD <<．11.（2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABCD 中，若4AB =，3AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下ED ABC的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，则得到ADC EDB D @D ，小明证明BED CAD D @D 用到的判定定理是： （用字母表示）；问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；拓展应用：以ABC D 的边AB ，AC 为边向外作ABE D 和ACD D ，AB AE =，AC AD =，90BAE CAD Ð=Ð=°，M 是BC 中点，连接AM ，DE ．当3AM =时，求DE 的长．【分析】问题背景：先判断出BD CD =，由对顶角相等BDE CDA Ð=Ð，进而得出()ADC EDB SAS D @D ；问题解决：先证明()ADC EDB SAS D @D ，得出3BE AC ==，最后用三角形三边关系即可得出结论；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，同（1）的方法得出()BMN CMA SAS D @D ，则BN AC =，进而判断出ABN EAD Ð=Ð，进而判断出ABN EAD D @D ，得出AN ED =，即可求解．【解答】解：问题背景：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC D 和EDB D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，故答案为：SAS；问题解决：如图1，延长AD 到点E ，使DE AD =，连接BE ，AD Q 是ABC D 的中线，BD CD \=，在ADC EDB D @D 中，AD ED CDA BDE CD BD =ìïÐ=Ðíï=î，()ADC EDB SAS \D @D ，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE AB BE -<<+，4AB =Q ，3AC =，4343AE \-<<+，即17AE <<，DE AD =Q ，12AD AE \=，\1722AD <<；拓展应用：如图2，延长AM 到N ，使得MN AM =，连接BN ，由问题背景知，()BMN CMA SAS D @D ，BN AC \=，CAM BNM Ð=Ð，AC AD =Q ，//AC BN ，BN AD \=，//AC BN Q ，180BAC ABN \Ð+Ð=°，90BAE CAD Ð=Ð=°Q ，180BAC EAD \Ð+Ð=°，ABN EAD \Ð=Ð，在ABN D 和EAD D 中，AB EA ABN EAD BN AD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN EAD SAS \D @D ，AN DE \=，MN AM =Q ，2DE AN AM \==，3AM =Q ，6DE \=．12.如图，ABC D 中，D 为BC 的中点．（1）求证：2AB AC AD +>；（2）若5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．【分析】（1）再延长AD 至E ，使DE AD =，构造ADC EDB D @D ，再根据三角形的三边关系可得2AB AC AD +>；（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得53253AD -<<+，再计算即可．【解答】（1）证明：由BD CD =，再延长AD 至E ，使DE AD =，D Q 为BC 的中点，DB CD \=，在ADC D 和EDB D 中AD DE ADC BDE DB CD =ìïÐ=Ðíï=î，BE AC \=，在ABE D 中，AB BE AE +>Q ，2AB AC AD \+>；（2）5AB =Q ，3AC =，53253AD \-<<+，14AD \<<．13.如图，平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 、C 分别为x 轴负半轴，x 轴正半轴上的点，AB AD =，AC AE =，90BAD CAE Ð=Ð=°，连DE ．如图，F 为BC 的中点，求证：2DE AF =．【分析】延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，证明BFN CFA D @D ，根据全等三角形的性质得到BN AC =，FBN FCA Ð=Ð，证明ABN DAE D @D ，根据全等三角形的性质证明；【解答】证明：延长AF 至点N ，使FN AF =，连接BN ，在BFN D 和CFA D 中，FB FC BFN CFA FN AF =ìïÐ=Ðíï=î，BN AC \=，FBN FCA Ð=Ð，BN AE \=，ABN DAE Ð=Ð，在ABN D 和DAE D 中，AB AD ABN DAE BN AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABN DAE SAS \D @D ，AN DE \=，2DE AF \=．14.如图，AD 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AE 是ABD D 的边BD 上的中线．求证：2AC AE =．【分析】延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，由SAS 证得ABE FDE D @D ，得出DF AB CD ==，EDF B Ð=Ð，易证AB BD =，得出ADB BAD Ð=Ð，证明ADC ADF Ð=Ð，由SAS 证得ADF ADC D @D ，即可得出结论．【解答】证明：延长AE 至点F ，使EF AE =，连接DF ，如图所示：AE Q 是ABD D 的边BD 上的中线，BE DE \=，在ABE D 与FDE D 中，AE EF AEB FED BE DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABE FDE SAS \D @D ，DF AB CD \==，EDF B Ð=Ð，AD Q 是ABC D 的边BC 上的中线，CD AB =，AB BD \=，ADB BAD \Ð=Ð，ADC B BAD BDA EDF ADF \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð，在ADF D 与ADC D 中，AD AD ADF ADC DF DC =ìïÐ=Ðíï=î，()ADF ADC SAS \D @D ，2AC AF AE \==．15.如图，在ABC D 中，D ，E 是AB 边上的两点，AD EB =，CF 是AB 边上的中线，则求证AC BC CD CE +>+．【分析】如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G ，通过证明AFH BFC D @D ，BCE AHD D @D ，可得BC AH =，CE DH =，利用三角形的三边关系可求解．【解答】证明：如图，延长CF 至H ，使FH CF =，连接AH ，DH ，延长CD 交AH 于点G，Q是AB边上的中线，CF\=，且CFB AFHAF BF=，Ð=Ð，CF FH()\D@DAFH BFC SAS=，Ð=Ð，且AD BE\=，CBE HADBC AH\D@D()BCE AHD SAS\=，CE DH在AGC+>+，D中，AC AG DC DG在GDH+>，D中，DG GH DHAC AG DG GH DC DG DH\+++>++，\+>+，AC AH DC DH\+>+．AC BC CD CE16.如图1，ABCÐ=Ð．D中，CD为ABCD的中线，点E在CD上，且AED BCD（1）求证：AE BC=．（2）如图2，连接BE，若2CBEÐ的度数为 （直接写出结果），Ð=°，则ACDAB AC DE==，14【分析】（1）如图1，延长CD到F，使DF CDD@D，可得=，连接AF，由“SAS”可证ADF BDCAF BC=，F BCDÐ=Ð，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得DEB DBEÐ=Ð，可得14DCB DEBÐ=Ð-°，14ACB ABC DEBÐ=Ð=Ð+°，即可求解．【解答】证明：（1）如图1，延长CD到F，使DF CD=，连接AF，CDQ为ABCD的中线，AD BD\=，且ADF BDCÐ=Ð，且CD DF=，()ADF BDC SAS\D@D，AF BC\=，F BCDÐ=Ð，AED BCDÐ=ÐQ，AED F\Ð=Ð，AE AF\=，AE BC\=；（2）12DE AB=Q，CD为ABCD的中线，DE AD DB\==，DEB DBE\Ð=Ð，14 ABC DBE CBE DEB\Ð=Ð+Ð=Ð+°，DEB DCB CBEÐ=Ð+ÐQ，14DCB DEB\Ð=Ð-°，AC AB=Q，14ACB ABC DEB\Ð=Ð=Ð+°28ACD ACB DCB\=Ð-Ð=°，故答案为：28°．17.如图，ABC D 中，点D 是BC 中点，连接AD 并延长到点E ，连接BE ．（1）若要使ACD EBD D @D ，应添上条件： ；（2）证明上题：（3）在ABC D 中，若5AB =．3AC =，可以求得BC 边上的中线AD 的取值范围4AD <．请看解题过程：由ACD EBD D @D 得：AD ED =，3BE AC ==，因此AE AB BE <+，即8AE <，而12AD AE =，则4AD <请参考上述解题方法，可求得AD m >，则m 的值为 ．（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证明）【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件AD DE =；（2）易证BD CD =，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；（3）根据三角形三边关系即可解题；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =；证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，易证ACD EBD D @D ，可得C DBE Ð=Ð，AC BE =，即可证明BAC ABE D @D ，可得BC AE =，即可解题．【解答】解：（1）应添上条件：AD DE =，故答案为AD DE =；（2）Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；（3）Q 三角形两边之差小于第三边，AE AB BE \>-，即2AE >，12AD AE =Q ，1AD \>，故答案为 1；（4）已知RT ABC D 中90BAC Ð=°，AD 是斜边中线，求证12AD BC =，证明：延长AD 到点E 使得DE AD =，连接BE ，Q 点D 是BC 中点，BD CD \=，Q 在ACD D 和EBD D 中，BD CD ADC BDE AD DE =ìïÐ=Ðíï=î，()ACD EBD SAS \D @D ；C DBE \Ð=Ð，AC BE =，90ABC C Ð+Ð=°Q ，90ABC DBE \Ð+Ð=°，即90ABE Ð=°，Q 在BAC D 和ABE D 中，90AB BA ABE BAC AC BE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()BAC ABE SAS \D @D ；BC AE \=，12AD BC \=．。