2020年吉林省长春市中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣12．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×1033．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．10．因式分解：m2﹣4m+4＝．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为cm．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为米/分，无人机在40米的高度上飞行了分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】直接利用数轴得出结果即可．解：数轴上蝴蝶所在点表示的数可能为﹣1，故选：D．2．今年初，党中央、国务院对湖北共派遣援鄂抗役医务人员42000多人，经过全国人民的共同努力，取得了这场战役的胜利：42000这个数用科学记数法表示为（）A．42×103B．4.2×104C．4.2×105D．4.2×103【分析】科学记数法表示较大的数形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．10的指数n＝原来的整数位数﹣1．解：42000＝4.2×104，故选：B．3．某立体图形的左视图如图所示，则该立体图形不可能（）A．B．C．D．【分析】找到各选项中从左面看不是所给视图的立体图形即可．解：各选项中只有选项D从左面看得到从左往右2列正方形的个数依次为2，1，1，故选：D．4．不等式2x﹣2≤0的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．解：移项，得2x≤2，系数化为1，得x≤1，不等式的解集在数轴上表示如下：．故选：D．5．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】设有x匹大马，y匹小马，根据100匹马恰好拉了100片瓦，已知一匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，列方程组即可．解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得，故选：C．6．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A．B．C．D．【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．解：当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；故选：C．7．如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．【分析】作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝32°，AB＝50×16＝800（米），sin∠BAC＝，∴BC＝sin∠BAC•AB＝800•sin32°．故选：A．8．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．2【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），进而可得出结论．解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），∴AO：BO＝1：，∵OB：OA＝2，∴a＝﹣4，故选：A．二、填空题（每题3分，满分18分，将答案填在答题纸上）9．化简：﹣＝．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．解：原式＝2﹣＝．故答案为：．10．因式分解：m2﹣4m+4＝（m﹣2）2．【分析】原式利用完全平方公式分解即可．解：原式＝（m﹣2）2．故答案为：（m﹣2）2．11．关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为﹣．【分析】根据关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根可得△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2﹣3x﹣k＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×2（﹣k）＝0，∴9+8k＝0，∴k＝﹣．故答案为：﹣．12．如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝30°．【分析】作出平行线，根据两直线平行：内错角相等、同位角相等，结合三角形的内角和定理，即可得出答案．解：作出辅助线如图：则∠2＝42°，∠1＝∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3＝180°﹣∠2﹣∠3＝30°，∴∠1＝∠3＝30°．故答案为：30°．13．图①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10cm．图②表示当钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16cm，若钟面显示3点55分时，A点距桌面的高度为（16+3）cm．【分析】根据当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分得出AD＝10，进而得出A′C＝16，从而得出FA″＝3，得出答案即可．解：∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10公分．∴AD＝10，∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16公分，∴A′C＝16，∴AO＝A″O＝6，则钟面显示3点55分时，∠A″OA′＝45°，∴FA″＝3，∴A点距桌面的高度为：16+3（cm）．故答案为：（）．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x+1）2+b与y＝a（x﹣2）2+b+1交于点A．过点A作y轴的垂线，分别交两条抛物线于点B、C（点B在点A左侧，点C在点A右侧），则线段BC的长为6．【分析】设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，由抛物线的对称性结合BC═2（AE+AF），即可求出结论．解：设抛物线y＝a（x+1）2+b的对称轴与线段BC交于点E，抛物线y＝a（x﹣2）2+b+1的对称轴与线段BC交于点F，如图所示．由抛物线的对称性，可知：BE＝AE，CF＝AF，∴BC＝BE+AE+AF+CF＝2（AE+AF）＝2×[2﹣（﹣1）]＝6．故答案为：6．三、解答题：共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．先化简，再求值（a﹣1）2﹣2a（a﹣1）+（2a+1）（2a﹣1），其中a＝．【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝a2﹣2a+1﹣2a2+2a+4a2﹣1＝3a2，当a＝时，原式＝3×5＝15．16．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字为1，2，7，这些卡片除数字不同外其余均相同．洗匀后，小强从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片．用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．【分析】首先根据题意列表求得所有等可能的结果与抽到的两张卡片上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．解：根据题意，列表如下：1271238234978914所以P（两次抽取的卡片上数字之和为偶数）＝．17．今年初，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．【分析】设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为1.4x 元/个，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进了10000个，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设该爱心人士第一次购进口罩的单价为x元/个．则第二次购进口罩的单价为 1.4x 元/个，依题意，得：，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．答；该爱心人士第一次购进口罩的单价为5元/个．18．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD．（1）求证：AD平分∠BAC．（2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长．【分析】（1）连接OD，如图，由切线的性质得到OD⊥BC，则OD∥AC，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠ODA，由∠ODA＝∠OAD，所以∠CAD＝∠DAE；（2）由（1）知，∠FAE＝50°，由弧长公式可得答案．解：（1）如图，连结OD，∵⊙O与边BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵∠C＝90°，∴∠C＝∠ODB＝90°，∴OD∥AC．∴∠CAD＝∠ODA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）如图，连结OF，∵AD平分∠BAC，且∠CAD＝25°，∴12﹣3＝9，∴∠EOF＝100°，∴的长为．19．某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为18；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．【分析】（1）根据条形统计图中的数据可以得到m的值；（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．解：（1）由图可得，众数m的值为18，故答案为：18；（2）由题意可得，如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，故答案为：中位数；（3）300×＝100（名），答：该部门生产能手有100名工人．20．图①，图②，图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，在图①，图②，图③恰定的网格中按要求画图．（1）在图①中，画出格点C，使AC＝BC，用黑色实心圆点标出点C所有可能的位置．（2）在图②中，在线段AB上画出点M，使AM＝3BM．（3）在图③中，在线段AB上画出点P，使AP＝2BP．（保留作图痕迹）要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质画图即可；（2）根据相似三角形的性质，构造相似三角形即可；（3）由相似三角形的性质，构造相似三角形即可．解：（1）如图①所示，点C即为所求；（2）如图②所示，点M即为所求；（3）如图③所示，点P即为所求．21．小明在练习操控航拍无人机，该型号无人机在上升和下落时的速度相同，设无人机的飞行高度为y（米），小明操控无人飞机的时间为x（分），y与x之间的函数图象如图所示．（1）无人机上升的速度为20米/分，无人机在40米的高度上飞行了3分．（2）求无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式．（3）求无人机距地面的高度为50米时x的值．【分析】（1）利用图象信息，根据速度＝计算即可解决问题；（2）利用待定系数法即可解决问题；（3）求出无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），分两种情形构建方程即可解决问题；解：（1）无人机上升的速度为＝20米/分，无人机在40米的高度上飞行了6﹣1﹣2＝3分．故答案为20，3；（2）设y＝kx+b，把（9，60）和（12，0）代入得到，解得，∴无人机下落过程中，y与x之间的函数关系式为y＝﹣20x+240．（3）易知无人机从40米高度到60米高度的函数关系式为y＝20x﹣60（5≤x≤6），由20x﹣60＝50，解得x＝5.5，由﹣20x+240＝50，解得x＝9.5，综上所述，无人机距地面的高度为50米时x的值为5.5和9.5．22．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．2．线段垂直平分线我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN 是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA ＝PB（请写出完整的证明过程）请根据教材中的分析，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．定理应用：（1）如图②，在△ABC中，直线l、m、n分别是边AB、BC、AC的垂直平分线．求证：直线l、m、n交于一点．（2）如图③，在△ABC中，AB＝BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，若∠ABC＝120°，AC＝18，则DE的长为6．【分析】教材呈现：如图①中，证明△PAC≌△PBC即可解决问题．定理应用：（1）如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．利用线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可．（2）连接BD，BE，证明△BDE是等边三角形即可．【解答】教材呈现：解：如图①中，∵MN⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB＝90°．又∵AC＝BC，PC＝PC，∴△PAC≌△PBC（SAS），∴PA＝PB．定理应用：（1）证明：如图②中，设直线l、m交于点O，连结AO、BO、CO．∵直线l是边AB的垂直平分线，∴OA＝OB，又∵直线m是边BC的垂直平分线，∴OB＝OC，∴OA＝OC，∴点O在边AC的垂直平分线n上，∴直线l、m、n交于点O．（2）解：如图③中，连接BD，BE．∵BA＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∵边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E，∴DA＝DB，EB＝EC，∴∠A＝∠DBA＝30°，∠C＝∠EBC＝30°，∴∠BDE＝∠A+∠DBA＝60°，∠BED＝∠C+∠EBC＝60°，∴△BDE是等边三角形，∴AD＝BD＝DE＝BE＝EC，∵AC＝18，∴DE＝AC＝6．故答案为6．23．在△ABC中，AC＝5，BC＝4，∠B＝45°，点D在边AB上，且AD＝3，动点P 从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，以PD为边向上做正方形PDMN，设点P运动的时间为t秒，正方形PDMN与△ABC重叠部分的面积为S．（1）用含有t的代数式表示线段PD的长．（2）当点N落在△ABC的边上时，求t的值．（3）求S与t的函数关系式．（4）当点P在线段AD上运动时，做点N关于CD的对称点N'，当N'与△ABC的某一个顶点的连线平分△ABC的面积时，求t的值．【分析】（1）分0＜t≤3时，3＜t≤7时，两种情形分别求解即可．（2）分两种情形①如图2中，当点N在AC上时，②如图3中，当点N在BC上时，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（3）分三种情形：①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，②如图5或6中．当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN．③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，分别求解即可．（4）分三种情形画出图形，利用平行线分线段成比例定理构建方程即可解决问题．解：（1）如图1中，作CD′⊥AB于D．∵∠B＝45°，BC＝4，∴CD′＝BD′＝4，∴AD′＝＝＝3，∵AD＝3，∴AD＝AD′，∴D′与D重合，当0＜t≤3时，PD＝3﹣t．当3＜t≤7时，PD＝t﹣3；（2）①如图2中，当点N在AC上时，∵MN∥AD，∴，∴，解得t＝；②如图3中，当点N在BC上时，∵MN∥BD，∴，∴，解得t＝5；综上所述，满足条件的t的值为s或5s．（3）①如图4中，当0＜t≤时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MDPN﹣S△NEF＝（3﹣t）2﹣•（3﹣t﹣t）2＝﹣t+；②如图5或6中，当＜t≤5时，重叠部分是正方形PDMN，S＝t2﹣6t+9③如图7中，当5＜t≤7时，重叠部分是五边形EFPDM，S＝S正方形MNPD﹣S△EFN＝（t ﹣3）2﹣•[（t﹣3）﹣（7﹣t）]2＝﹣t2+14t﹣41．综上所述，S＝．（4）如图8中，当点N′落在中线AE上时，作EK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵JN′∥EK，∴，则，解得t＝1；如图9中，当点N′落在中线BG上时，作GK⊥BC于K，N′J⊥AB于J．∵N′J∥GK，∴，∴，解得t＝；如图10中，当点N′落在中线CF上时，∵MN′∥DF，∴，∴＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为1s或s或s．24．在平面直角坐标系中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义：如果y′＝，那么称点Q为点P的“伴随点”．例如：点（5，6）的“伴随点”为点（5，6）；点（﹣5，6）的“伴随点”为点（﹣5，﹣6）．（1）直接写出点A（2，1）的“伴随点”A′的坐标．（2）点B（m，m+1）在函数y＝kx+3的图象上，若其“伴随点”B′的纵坐标为2，求函数y＝kx+3的解析式．（3）点C、D在函数y＝﹣x2+4的图象上，且点C、D关于y轴对称，点D的“伴随点”为D′．若点C在第一象限，且CD＝DD′，求此时“伴随点”D′的横坐标．（4）点E在函数y＝﹣x2+n（﹣1≤x≤2）的图象上，若其“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），直接写出实数n的取值范围．【分析】（1）由题意即可求解；（2）分m≥0、m＜0两种情况分别求解即可；（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，CD＝DD′，即可求解；（4）通先分段表示出y'，进而确定出最大值，最后用m的范围建立不等式组，即可得出结论．解：（1）由题意得：点A'的坐标为（2，1）（2）①当m≥0时，m+1＝2，m＝1∴B（1，2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴k+3＝2，解得：k＝﹣1∴一次函数解析式为y＝﹣x+3②m＜0时，m+1＝﹣2，m＝﹣3∴B（﹣3，﹣2）∵点B在一次函数y＝kx+3图象上，∴﹣3k+3＝﹣2解得：k＝一次函数解析式为y＝x+3．（3）设点C的横坐标为n，点C在函数y＝﹣x2+4的图象上，∴点C的坐标为（n，﹣n2+4），∴点D的坐标为（﹣n，﹣n2+4），D′（﹣n，n2﹣4）∵CD＝DD′，∴2n＝2（﹣n2+4），解得：n＝；∵点C在第一象限，∴D′的横坐标为；（4）当﹣1≤x≤0时，y'＝x2﹣n，此时，﹣n≤y'≤1﹣n，当0≤x≤2时，y'＝﹣x2+n，此时，n﹣4≤y'≤n，当n≥1﹣n时，即：n≥，y'的最大值是n，①∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤n≤3，当n＜时，y'最大值为1﹣n，②∵“伴随点”E′的纵坐标y′的最大值为m（1≤m≤3），∴1≤1﹣n≤3，∴﹣2≤n≤0，∴n的取值范围应为1≤n≤3或﹣2≤n≤0．。
2020年长春市中考数学模拟试卷及答案解析
2020年长春市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）下列四个数中，最小的数是（）A．−43B．﹣1C．0D．22．（3分）长白山位于吉林省延边州安图县和白山市抚松县境内，是中朝两国的界山、中华十大名山之一、国家5A级风景区．今年十一期间长白山景区共接待游客18.14万人次，将18.14万用科学记数法表示为（）A．18.14×104B．1.814×104C．1.814×105D．1.814×106 3．（3分）李明为好友制作一个（如图）正方体礼品盒，六面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是（）A．B．C．D．4．（3分）如果关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，那么该不等式组的解集为（）A．x≥﹣1B．x＜2C．﹣1≤x≤2D．﹣1≤x＜2 5．（3分）《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（ ）A ．{8y −x =37y −x =4B ．{8y −x =37y −x =−4C ．{y −8x =−37y −x =−4D ．{8y −x =37y −y =4 6．（3分）如图，⊙O 的半径为6cm ，四边形ABCD 内接于⊙O ，连结OB 、OD ，若∠BOD＝∠BCD ，则劣弧BD̂的长为（ ）A ．4πB ．3πC ．2πD ．1π7．（3分）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A 离地面的高度AC＝m ，钢管与地面所成角∠ABC ＝∠a ，那么钢管AB 的长为（ ）A ．m cosaB ．m •sin aC ．m •cos aD ．m sina8．（3分）如图，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO ＝∠ADB ＝90°，反比例函数y =6x 在第一象限的图象经过点B ，则△OAC 与△BAD 的面积之差S △OAC ﹣S △BAD 为（ ）A ．36B ．12C ．6D ．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）分解因式：16x 4﹣1＝ ．。
2020年吉林省长春市名校调研中考数学一模试卷含答案
（1）当 B=3 时，求 AE 的长； （2）当 AF 取得最小值时，求折痕 EF 的长； （3）连结 CF，当△FCG 是以 CG 为底的等腰三角形时，直接写出 BG 的长，
4.【答案】C
【解析】解：∵∠C=30°，∠ABC=20°， ∴∠BAD=∠C+∠ABC=50°， ∵EF∥AB， ∴∠AEF=180°-∠BAD=130°， 故选：C． 依据三角形外角性质，即可得到∠BAD，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF 的度数． 本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．
故选：A． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集 表示在数轴上即可． 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞， ≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示 解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个 ．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
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23. 如图，在平面直角坐标系中，把抛物线 y=x2 先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 4 个单位长度，得到抛物线 y=（ x-h）2+k，所得抛物线与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的 左边），与 y 轴交于点 C，顶点为 M． （1）写出 h、k 的值及点 A、B 的坐标； （2）判断△BCM 的形状，并计算其面积； （3）点 P 是抛物线上的一动点，在 y 轴上存在点 Q，使以点 A、B、P、Q 为顶点组成的四边形是平行四边形，求点 P 的 坐标．
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.如图，该几何体的俯视图是（）A. B. C. D.2.下列事件是随机事件的是（）A. 人长生不老B. 明天是2月30日C. 一个星期有七天D. 2020年奥运会中国队将获得45枚金牌3.已知反比例函数y=的图象的两支分别在第二、四象限内，那么k的取值范围是（）A. k＞-B. k＞C. k＜-D. k＜4.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=，则cos B的值为（）A. B. C. D.5.如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=50°，则∠BCD的度数为（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°6.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，连接AE并延长交BC的延长线于点F，若AD=3CF，那么下列结论中正确的是（）A. FC：FB=1：3B. CE：CD=1：3C. CE：AB=1：4D. AE：AF=1：2．二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）7.点（-2，5）关于原点对称的点的坐标是______．8.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cos A=，那么AC=______．9.抛物线y=5（x-4）2+3的顶点坐标是______．10.若关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．11.如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知=，则的值为______．12.如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，△ABP的面积为8，则这个反比例函数的解析式为______．13.如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______．14.已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连结OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为______．三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）15.计算：sin30°+3tan60°-cos245°．16.如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度AB的长，他过A、B两点画两条相交于点O的射线，在射线上取两点D、E，使，若测得DE=37.2米，他能求出A、B之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上一点，tan∠DBC=，且BC=6，AD=4．求cos A的值．18.在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若点C（-3，12）是抛物线上的另一点，求点C关于对称轴为对称的对称点D的坐标．19.A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？20.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=12，点E在AD边上，且AE=8，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF．（2）求CF的长．21.重庆是一座美丽的山坡，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，长度为13米，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点4米远的E处有一花台，在E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于D点，FD=5米．（1）求斜坡AB的坡度i．（2）求DC的长．（参考数据：tan53°≈，tan63.4°≈2）22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，1），B（-1，4），C（-3，2）（1）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．23.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF=6，⊙O的半径为5，求CE的长．24.如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过OB的中点E，且与边BC交于点D．（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；（2）求三角形DOE的面积；（3）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线解析式．25.已知：如图，▱ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为3cm/s；点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接并延长QP交BA的延长线于点M，过M作MN⊥BC，垂足是N，设运动时间为t（s）（0＜t＜1）．（1）当t为何值时，四边形AQDM是平行四边形？（2）证明：在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半？若存在，求出相应的t值；若不存在，说明理由．26.如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2，直线y=x-2经过点C，交y轴于点G．（1）求C，D坐标；（2）已知抛物线顶点y=x-2上，且经过C，D，若抛物线与y交于点M连接MC，设点Q是线段下方此抛物线上一点，当点Q运动到什么位置时，△MCQ的面积最大？求出此时点Q的坐标和面积的最大值．（3）将（2）中抛物线沿直线y=x-2平移，平移后的抛物线交y轴于点F，顶点为点E（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：从几何体的上面看可得两个同心圆，故选：D．找到从几何体的上面看所得到的图形即可．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．2.【答案】D【解析】解：A、人长生不老是不可能事件；B、明天是2月30日是不可能事件；C、一个星期有七天是必然事件；D、2020年奥运会中国队将获得45枚金牌是随机事件；故选：D．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3.【答案】C【解析】解：∵函数y=的图象分别位于第二、四象限，∴3k+1＜0，解得k＜-故选：C．先根据函数y=的图象分别位于第二、四象限列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y=（k≠0）中，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大是解答此题的关键．4.【答案】C【解析】解：设∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，由于sin A==，∴cos B==故选：C．根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查互余的三角函数关系，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．5.【答案】C【解析】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠ABD=50°，∴∠DAB=90°-50°=40°，∴∠BCD=∠DAB=40°．故选：C．先根据圆周角定理求出∠ADB的度数，再由直角三角形的性质求出∠A的度数，进而可得出结论．本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，∴△ECF∽△ADE，∵AD=3CF，A、FC：FB=1：4，错误；B、CE：CD=1：4，错误；C、CE：AB=1：4，正确；D、AE：AF=3：4．错误；故选：C．由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC，证△ECF∽△ADE，进而判断即可．本题主要考查相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．7.【答案】（2，-5）【解析】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，∴点（-2，5）关于原点过对称的点的坐标是（2，-5）．故答案为：（2，-5）．根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，比较简单．8.【答案】2【解析】解：如图所示．∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cos A=，∴cos A==，∴AC=AB=×6=2，故答案为2．利用锐角三角函数定义表示出cos A，把AB的长代入求出AC的长即可．此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．9.【答案】（4，3）【解析】【分析】此题考查二次函数的性质，掌握顶点式y=a（x-h）2+k中，顶点坐标是（h，k）是解决问题的关键．根据顶点式的坐标点直接写出顶点坐标.【解答】解：∵y=5（x-4）2+3是抛物线解析式的顶点式，∴顶点坐标为（4，3）.故答案为（4，3）.10.【答案】k≤1且k≠0【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根，∴△=b2-4ac≥0，即：4-4k≥0，解得：k≤1，∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0，故答案为：k≤1且k≠0．根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．11.【答案】【解析】解：∵l1∥l2∥l3，∴=，∵=，∴=；故答案为：．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出=，再将已知数据代入求出即可．此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出=是解题的关键．12.【答案】y=-【解析】解：连接OA，如图所示．设反比例函数的解析式为y=（k≠0）．∵AB⊥y轴，点P在x轴上，∴△ABO和△ABP同底等高，∴S△ABO=S△ABP=|k|=8，解得：k=±16．∵反比例函数在第二象限有图象，∴k=-16，∴反比例函数的解析式为y=-．故答案为：y=-．连接OA，设反比例函数的解析式为y=（k≠0），根据△ABO和△ABP同底等高，利用反比例函数系数k的几何意义结合△ABP的面积为4即可求出k值，再根据反比例函数在第二象限有图象，由此即可确定k值，此题得解．本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象，根据反比例函数系数k 的几何意义找出|k|=4是解题的关键．13.【答案】π【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键.连接OD、OE，先证明△AOD、△BOE是等边三角形，得出∠AOD=∠BOE=60°，求出∠DOE=60°，再由弧长公式即可得出答案.【解答】解：连接OD、OE，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，∵OA=OD，OB=OE，∴△AOD、△BOE是等边三角形，∴∠AOD=∠BOE=60°，∴∠DOE=60°，∵OA=AB=3，∴的长==π；故答案为π.14.【答案】（2，-4）【解析】解：∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，∴-=2，∴a=-，∴抛物线的表达式为：y=-x2+x，∴顶点A的坐标为（2，1），设对称轴与x轴的交点为E．如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE=，tan∠EOP=，∵OA⊥OP，∴∠OAE=∠EOP，∴=，∵AE=1，OE=2，∴=，解得PE=4，∴P（2，-4），故答案为：（2，-4）．根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标，设对称轴与x轴的交点为E，求出∠OAE=∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．15.【答案】解：原式=+3×-（）2=+3-=3．【解析】根据特殊角三角函数值，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．16.【答案】解：∵=，∠AOB=∠EOD（对顶角相等），∴△AOB∽△EOD，∴==，∴=，解得AB=111.6米．所以，可以求出A、B之间的距离为111.6米．【解析】先判定出△AOB和△EOD相似，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．17.【答案】解：在Rt△DBC中，∵∠C=90°，BC=6，∴tan∠DBC==．∴CD=8．∴AC=AD+CD=12在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=，∴cos A=．【解析】先解Rt△DBC，求出DC的长，然后根据AC=AD+DC即可求得AC，再由勾股定理得到AB，最后再求cos A的值即可．本题主要考查了解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．18.【答案】解：（1）设抛物线的解析式是：y=a（x-1）2-4，根据题意得：a（3-1）2-4=0解得：a=1．则函数的解析式是：y=（x-1）2-4．（2）设点C关于对称轴为对称的对称点D的横坐标是m，则=1解得：m=5则点D的坐标是（5，12）．【解析】（1）已知顶点，和经过的一个点，利用待定系数法即可求解；（2）关于对称轴为对称的对称点纵坐标相同，横坐标的平均数是对称轴的值，据此即可求解．本题主要考查了待定系数法求函数解析式，理解关于对称轴对称的两点坐标之间的关系是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）P=；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P==，乙获胜的情况有2种，P==，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．【解析】（1）根据概率的定义列式即可；（2）画出树状图，然后根据概率的意义分别求出甲、乙获胜的概率，从而得解．本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比20.【答案】（1）证明：∵EF⊥BE，∴∠EFB=90°，∴∠DEF+∠AEB=90°．∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∴∠AEB+∠ABE=90°，∴∠DEF=∠ABE，∴△ABE∽△DEF．（2）解：∵AD=12，AE=8，∴DE=4．∵△ABE∽△DEF，∴=，∴DF=，∴CF=CD-DF=6-=．【解析】（1）由同角的余角相等可得出∠DEF=∠ABE，结合∠A=∠D=90°，即可证出△ABE∽△DEF；（2）由AD、AE的长度可得出DE的长度，根据相似三角形的性质可求出DF的长度，将其代入CF=CD-DF即可求出CF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是：（1）利用同角的余角相等找出∠DEF=∠ABE；（2）利用相似三角形的性质求出DF的长度．21.【答案】解：（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，∴BG=DF=5米，∵AB=13米，∴AG==12米，∴AB的坡度i==1：2.4；（2）在Rt△BCF中，BF==，在Rt△CEF中，EF==，∵BE=4米，∴BF-EF═-=4，解得：CF=16．∴DC=CF+DF=16+5=21米．【解析】（1）过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形，求得BG=DF=5米，然后根据勾股定理求得AG，即可求得斜坡AB的坡度i．（2）在Rt△BCF中，BF==，在R t△CEF中，EF==，得到方程BF-EF=-=4，解得CF=16，即可求得求DC=21．本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解直角三角形的应用-坡度和坡比问题，正确理解题意是解题的关键．22.【答案】解：（1）△A1BC1即为所求；（2）△A2B2C2即为所求，C2的坐标为（-6，4）．【解析】（1）作出A、C的对应点A1、C1即可解决问题；（2）作出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；本题考查作图-位似变换、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握位似变换和旋转变换的性质，所以中考常考题型．23.【答案】（1）证明：连接OE．∵OE=OB，∴∠OBE=∠OEB，∵BE平分∠ABC，∴∠OBE=∠EBC，∴∠EBC=∠OEB，∴OE∥BC，∴∠OEA=∠C，∵∠ACB=90°，∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接OE、OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，∴OH=CE，∵BF=6，∴BH=3，在Rt△BHO中，OB=5，∴OH==4，∴CE=4．【解析】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线和垂径定理以及勾股定理的运用，具有一定的综合性．（1）连接OE，证明∠OEA=90°即可；（2）连接OF，过点O作OH⊥BF交BF于H，由题意可知四边形OECH为矩形，利用垂径定理和勾股定理计算出OH 的长，进而求出CE 的长．24.【答案】解：（1）∵矩形OABC 的顶点B 的坐标是（4，2），E 是矩形ABCD 的对称中心，∴点E 的坐标为（2，1），∵代入反比例函数解析式得=1，解得k =2，∴反比例函数解析式为y =，∵点D 在边BC 上，∴点D 的纵坐标为2，∴y =2时，=2，解得x =1，∴点D 的坐标为（1，2）；（2）∵D 的坐标为（1，2），B （4，2），∴BD =3，OC =2．∵点E 是OB 的中点，∴S △DOE =S △OBD =××3×2=；（3）如图，设直线与x 轴的交点为F ，矩形OABC 的面积=4×2=8， ∵矩形OABC 的面积分成3：5的两部分，∴梯形OFDC 的面积为×8=3， 或×8=5， ∵点D 的坐标为（1，2），∴若（1+OF ）×2=3， 解得OF =2，此时点F 的坐标为（2，0）， 若（1+OF ）×2=5， 解得OF =4，此时点F 的坐标为（4，0），与点A 重合，当D （1，2），F （2，0）时，， 解得， 此时，直线解析式为y =-2x +4，当D （1，2），F （4，0）时，， 解得．此时，直线解析式为y=-x+，综上所述，直线的解析式为y=-2x+4或y=-x+．【解析】（1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；（2）根据点D的坐标求出BD的长，再由点E是OB的中点可知S△DOE=S△OBD，由此可得出结论；（3）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．本题考查的是反比例函数综合题，涉及到矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（3）难点在于要分情况讨论．25.【答案】解：（1）连结AQ、MD，∵当AP=PD时，四边形AQDM是平行四边形，∴3t=3-3t，解得：t=，∴t=s时，四边形AQDM是平行四边形．（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AMP∽△DQP，∴=，∴=，∴AM=t，即在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）∵MN⊥BC，∴∠MNB=90°，∵∠B=45°，∴∠BMN=45°=∠B，∴BN=MN，∵BM=AB+AM=1+t，在Rt△BMN中，由勾股定理得：BN=MN=（1+t），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵MN⊥BC，∴MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，∴y=×AP×MN=×3t×（1+t）=t2+t（0＜t＜1）．假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，∴t2+t=×3×，整理得：t2+t-1=0，解得：t1=，t2=（舍去），∴当t=s时，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半．【解析】本题考查了相似性的综合，用到的知识点是相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质、解直角三角形、勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，是一道综合性较强的题，有一定难度．（1）连结AQ、MD，根据平行四边形的对角线互相平分得出AP=DP，代入求出即可；（2）根据已知得出△AMP∽△DQP，再根据相似三角形的性质得出=，求出AM的值，从而得出在P、Q运动的过程中，总有CQ=AM；（3）根据已知条件得出BN=MN，再根据BM=AB+AM，由勾股定理得出BN=MN=（1+t），根据四边形ABCD是平行四边形，得出MN⊥AD，设四边形ANPM的面积为y，得出y=×AP×MN，假设存在某一时刻t，四边形ANPM的面积是平行四边形ABCD的面积的一半，得出t2+t=×3×，最后进行整理，即可求出t的值．26.【答案】解：（1）令y=2，2=x-2，解得x=4，则OA=4-3=1，∴C（4，2），D（1，2）；（2）由二次函数对称性得，顶点横坐标为=，令x=，则y=×-2=，∴顶点坐标为（，），∴设抛物线解析式为y=a（x-）2+，把点D（1，2）代入得，a=，∴解析式为y=（x-）2+，即，∴M（0，）又∵C（4，2），∴直线CM的解析式为y=过点Q作QH⊥x轴交直线CM于点H设Q（m，m2-m+），则H（m，-m+）∴S△MCQ==所以当m=2时，S△MCQ最大=，此时Q（2，）（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m-2）（m＞0）∴可设解析式为y=（x-m）2+m-2，①若FG=EG时，FG=EG=2m，则F（0，2m-2），代入解析式得+m-2=2m-2，得m=0（舍去），m=-，此时所求的解析式为：y=（x-+）2+3-；②若GE=EF时，FG=2m，则F（0，2m-2），代入解析式得：m2+m-2=2m-2，解得m=0（舍去），m=，此时所求的解析式为：y=（x-）2-；③若FG=FE时，∵平移后抛物线的顶点在y轴右侧，∴∠GEF为钝角，∴此种情况不存在．【解析】（1）先令y=2求出x的值，故可得出OA的长，根据正方形的性质即可得出C、D的坐标；（2）由二次函数对称性得出其顶点坐标，设抛物线解析式为y=a（x-）2+，把点D（1，2）代入求出a的值，故可得出二次函数的解析式，得出点M的坐标．利用待定系数法求出直线CM的解析式，再根据三角形的面积即可得出结论；（3）设顶点E在直线上运动的横坐标为m，则E（m，m-2）（m＞0），故可设解析式为y=（x-m）2+m-2，再分FG=EG，GE=EF及FG=FE三种情况进行讨论．本题考查的是二次函数综合题，涉及到轴对称的性质、二次函数图象上点的坐标特点等知识，难度较大．。
2020年吉林省吉林市中考数学一模试卷（含答案解析）
2020年吉林省吉林市中考数学⼀模试卷（含答案解析）2020年吉林省吉林市中考数学⼀模试卷⼀、选择题（本⼤题共6⼩题，共12.0分）1.下列计算错误的是()A. (?1)2018=1B. ?3?2=?1C. (?1)×3=?3D. 0×2017×(?2018)=02.下图是⼀个由4个相同的正⽅体组成的⽴体图形，它的左视图是()A. B. C. D.3.计算(x2)2的结果是()A. x2B. x4C. x6D. x84.如图，直线AB//CD，如果∠1=70°，那么∠BOF的度数是()A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°5.如图，△ABC是⊙O的内接三⾓形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是()A. 45°B. 85°C. 90°D. 95°6.如图，在菱形ABCD中，点E是AD的中点，连接CE，并延长CE与BA的延长线交于点F，若∠BCF=90°，则∠D的度数为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°⼆、填空题（本⼤题共8⼩题，共24.0分）7.近年来，党和国家⾼度重视精准扶贫，收效显著，据不完全统计约有65000000⼈脱贫，65000000⽤科学记数法表⽰为_______．8.因式分解：2a3?32a=______．=______．9.计算：2√48÷√6?2√2?110.不等式组{x?2≤1x+3>2的解集为______．11.在墙壁上固定⼀根横放的⽊条，则⾄少需要2枚钉⼦，正确解释这⼀现象的数学知识是______．12.如图∠AOB=30°，点C在OB上，OC=8，以点C为圆⼼、R为半径的圆与OA相切，则R=______．13.已知点A(4,x)，B(y,?3)，若AB//x轴，且线段AB的长为5，则xy=______．14.如图，矩形纸⽚ABCD中，AB=6，BC=9，将矩形纸⽚ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为________．三、解答题（本⼤题共12⼩题，共84.0分）15.先化简，再求值：(1a+2?1)÷a2?1a+2，其中a=√3+116.《孙⼦算经》是中国传统数学中最重要的著作，其中记载了这样⼀个问题：“今有⽊，不知长短．引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不⾜⼀尺．问⽊长⼏何？”译⽂：“⽤⼀根绳⼦去量⼀根长⽊，绳⼦还剩余4.5尺，将绳⼦对折再量长⽊，长⽊还剩余1尺，问长⽊长多少尺？”17.⼀个不透明的⼝袋中有三个⼩球，上⾯分别标有数字1，2，3，每个⼩球除数字外其他都相同．甲先从袋中随机取出1个⼩球，记下数字后放回；⼄再从袋中随机取出1个⼩球记下数字．(1)⽤画树形图或列表的⽅法，求取出的两个⼩球上的数字之和为3的概率；(2)求取出的两个⼩球的数字之和⼤于4的概率．18.已知：如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE⊥CA，且AE=BC，点D在AC上，且AD=AB，求证：DE//AB．19.如图所⽰，在边长为1个单位的正⽅形⽹格中建⽴平⾯直⾓坐标系，△ABC的顶点均在格点上．(1)△A1B1C1与△ABC关于y轴对称，画出△A1B1C1(2)将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C1；并直接写出点A2、B2的坐标．20.每年11⽉9⽇为消防宣传⽇，今年“119”消防宣传⽉活动的主题是“全民参与，防治⽕灾”.为响应该主题，吴兴区消防⼤队到某中学进⾏消防演习．图1是⼀辆登⾼云梯消防车的实物图，图2是其⼯作⽰意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地⾯BD的⾼度AH为5.2m.当起重臂AC长度为16m，张⾓∠HAC为130°时，求操作平台C离地⾯的⾼度(结果精确到0.1m)(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)21.某校组织九年级的三个班级进⾏趣味数学竞赛活动，各班根据初赛成绩分别选拔了10名同学参加决赛，决赛成绩(满分：10分)如下表所⽰：班级决赛成绩(单位：分)⼀班55677888910⼆班46777999 10 10三班567789991010(1)把下表补充完整(单位：分)，其中a=______，b=______，c=______；班级平均分中位数众数⼀班7.3a8⼆班7.88b三班c8.59(2)8统计量进⾏说明；(3)为了在全市竞赛中取得好成绩，你认为应选派哪个班级代表学校去参加全市的竞赛？为什么？22.如图1，直线y=kx?2k(k<0)与y轴交于点A，与x轴交于点B，AB=2√5．(1)求A、B两点的坐标．(2)如图2，以AB为边，在第⼀象限内画出正⽅形ABCD，并求直线CD的解析式．23.甲、⼄两组同时加⼯某种零件，⼄组⼯作中有⼀次停产更换设备，更换设备后，⼄组的⼯作效率是原来的2倍．两组各⾃加⼯零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所⽰．(1)直接写出甲组加⼯零件的数量y与时间x之间的函数关系式______；(2)求⼄组加⼯零件总量a的值；(3)甲、⼄两组加⼯出的零件合在⼀起装箱，每满300件装⼀箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？24.如图1，直⾓三⾓形ABC中，∠C=90°，CB=1，∠BCA=30°．(1)求AB、AC的长；(2)如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD.求证：BD=EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长．25. 如图(1)，AB =4cm ，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，AC =BD =3cm.点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t(s)．(1)若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，当t =1时，△ACP 与△BPQ 是否全等，并判断此时线段PC 和线段PQ 的位置关系，请分别说明理由；(2)如图(2)，将图(1)中的“AC ⊥AB ，BD ⊥AB ”为改“∠CAB =∠DBA =60°”，其他条件不变．设点Q 的运动速度为x cm/s ，是否存在实数x ，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．26. 23.已知⼆次函数y =x 2+bx ?34的图像经过点(2,54).(1)求这个⼆次函数的函数解析式；(2)若抛物线交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C 点，顶点为D ，求以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形⾯积．。
2020年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷(附答案详解)
2020年吉林省长春市宽城区中考数学一模试卷1.−5的绝对值是()A. −5B. 5C. 15D. −152.预计到2025年，中国5G用户将超过460000000.将460000000用科学记数法表示为()A. 4.6×109B. 46×107C. 4.6×108D. 0.46×1093.右图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的主视图是()A.B.C.D.4.把不等式x+1≤2x−1的解集在数轴上表示，正确的是()A. B.C. D.5.关于x的一元二次方程x2+ax−1=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根6.下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容：题目测量树顶端到地面的高度测量目标示意图相关数据AB=10m，α=45°，β=56°设树顶端到地面的高度DC为xm，根据以上条件，可以列出求树高的方程为()A. x=(x−10)cos56°B. x=(x−10)tan56°C. x−10=xtan56°D. x=(x+10)sin56°7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心、大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点D和点E，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连结CF.若AC=3，CG=2，则CF的长为()A. 3.5B. 3C. 2.5D. 28.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(−2,3)、(0,1)，将线段AB沿x(k≠轴的正方向平移m(m>0)个单位，得到线段A′B′.若点A′、B′都落在函数y=kx 0,x>0)的图象上，则k的值为()C. 3D. 6A. 1B. 329.计算：√12−√3=______．10.分解因式：x3−16x=______．11.如图，点D是△ABC的边BA延长线上一点，AE//BC.若∠DAC=110°，∠B=70°，则∠EAC的大小为______度．12.如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为______ m.13.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+4交x轴、y轴于A、B两点，将线段AB绕着点B逆时针方向旋转90°，点A落在点A′处，则点A′的坐标为______．14.如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为______ 米．15.以下是小鹏化简代数式(a−2)2+(a+1)(a−1)−2a(a−3)的过程．解：原式=a2−2a+4+a2−1−2a2+6a…………………………①=(a2+a2−2a2)+(−2a+6a)+(4−1)…………………………②=4a+3.………………………………………………………………③(1)小鹏的化简过程在第______ 步开始出错，错误的原因是______ ．(2)请你帮助小鹏写出正确的化简过程，并计算当a=−1时代数式的值．416.在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1，2，5，这些卡片除数字不同外其余均相同，现从盒子中随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后再随机抽取一张卡片.用画树状图或列表的方法，求两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率．17.供电局的电力维修工人要到30千米远的郊区进行电力抢修.维修工人骑摩托车先从供电局出发，15分钟后，抢修车装载着所需材料出发，沿着与维修工人相同的路线行驶，结果他们同时到达.已知抢修车的速度是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度．18.图①、图②均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.△ABC的顶点均在格点上.要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图．(1)在图①中画线段CD，满足CD⊥AB于点D．(2)在图②中的线段AC上找到一点M，满足S△ABC=4S△BCM.(保留确定点M的画图痕迹)19.如图，AB是⊙O的直径，BD、CD分别是过⊙O上点B、点C的切线，且∠BDC=110°，连接AC．(1)求∠A的度数；(2)若⊙O的直径为6，求BC⏜的长.(结果保留π)20.第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年在北京市和张家口市举行.为了调查学生对冬奥知识的了解情况，某校对七、八年级全体学生进行了相关知识测试，然后从七、八年级各随机抽取了20名学生的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息．Ⅰ.七年级20名学生成绩的频数分布表如下：七年级学生样本成绩频数分布表成绩m(分)频数(人数)50≤m<60160≤m<70270≤m<80380≤m<90890≤m≤1006合计20Ⅱ.七年级20名学生成绩在80≤m<90这一组的具体成绩是：8788888889898989Ⅲ.七、八年级学生样本成绩的平均数、中位数、众数如下表所示：平均数中位数众数七年级84n89八年级84.28585根据以上提供的信息，解答下列问题：(1)表中n的值为______ ．(2)在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级，并说明理由．(3)七年级共有学生180名，若将不低于80分的成绩定为优秀，请估计七年级成绩优秀的学生人数．21.李师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示油箱中剩余油量为4升．已知汽车行驶时每小时的耗油量一定．设油箱中剩余油量为y(升)，汽车行驶时间为x(时)，y与x之间的函数图象如图所示．(1)求李师傅加油前y与x之间的函数关系式．(2)求a的值．(3)求李师傅在加油站的加油量．22.教材呈现：如图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．问题解决：请结合图①，写出例1的完整解答过程．问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=4，∠BAD=2∠ABC.过点D作DE//AC交BC的延长线于点E．(1)如图②，连接OE，则OE的长为______ ．(2)如图③，若点P是对角线BD上的一个动点，连接PC、PE，则PC+PE的最小值为______ ．23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，CD为斜边AB的中线.点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位的速度向终点B运动.过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，得到矩形PECF，CD与矩形PECF的一边交于点G，连接PC.设点P 的运动时间为t秒．(1)求线段CF的长.(用含t的代数式表示)(2)当t=1时，求线段PG的长．2(3)当点P不与点A、B、D重合时，设矩形PECF与△PCD重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．(4)在点P出发的同时，点Q从点D出发，沿DC−CD以每秒6个单位的速度向终点D运动.当点Q在矩形PECF内部时，直接写出t的取值范围．x2+nx+1(x≥0)，其中n为常数24.在平面直角坐标系中，已知函数y=−12(1)当n>0时，求这个函数图象的顶点坐标.(用含n的代数式表示)(2)当y的最大值为1时，且|n|≤2，求整数n的值．x2+nx+1(x≥0)的图象只有一个公共点时，(3)当直线y=n+2与函数y=−12求n的取值范围．(4)设点A在y轴上，点B在x轴的正半轴上.已知点A的坐标为(0,2n)，以OA为边x2+nx+1(x≥0)的图象与正方形OACB的边有两作正方形OACB.当函数y=−12个公共点时，直接写出n的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：−5的绝对值是5，故选：B．根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可．此题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键．2.【答案】C【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其．中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【解答】解：将460000000用科学记数法表示为4.6×108．故选：C．3.【答案】D【解析】解：从正面看有两层，底层三个正方形，上层左边一个正方形，左齐．故选：D．根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．4.【答案】A【解析】解：由x+1≤2x−1，得：x≥2，故选：A．根据不等式解集的表示方法，可得答案．本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画；<，≤向左画)，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．5.【答案】B【解析】解：△=a2−4×1×(−1)=a2+4．∵a2≥0，∴a2+4>0，即△>0，∴方程x2+ax−1=0有两个不相等的实数根．根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=a2+4>0，由此即可得出方程x2+ax−1=0有两个不相等的实数根．本题考查了根的判别式，牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．6.【答案】B【解析】解：∵∠DAC=45°，∴AC=CD=xm，∵AB=10m，∴BC=(x−10)m，∴tan56°=CD，BC∴x=(x−10)tan56°，故选：B．根据锐角三角函数的定义即可求出答案．本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．7.【答案】C【解析】解：由作图可知，DF 垂直平分线段BC ，∴CG =GB =2，DF ⊥BC ，FC =FB ，∴∠FGB =∠ACB =90°，∴AF =FB ，∴GF =12AC =32， ∴FB =√FG 2+GB 2=√(32)2+22=52，∴FC =FB =52， 故选：C ．由作图可知，DF 垂直平分线段BC ，推出CF =BF ，利用勾股定理求出BF 即可解决问题．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8.【答案】C【解析】解：∵点A(−2,3)沿x 轴的正方向平移m(m >0)个单位得到点A′，∴点A′的坐标为(m −2,3)．同理，可得出：点B′的坐标为(m,1)．将A′(m −2,2)，B′(m,1)代入y =k x ，得：{3=k m−21=k m， 解得：k =3，故选：C ．利用平移的性质，可用含m 的代数式表示点A′，B′的坐标，根据点A′，B′的坐标，利用待定系数法可得出关于m ，k 的方程组，解之即可得出结论．本题考查了坐标与变换、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：利用平移的性质，找出点A′，B′的坐标．9.【答案】√3【解析】【分析】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．先化简√12=2√3，再合并同类二次根式即可．【解答】解：√12−√3=2√3−√3=√3．故答案为：√3．10.【答案】x(x+4)(x−4)【解析】解：原式=x(x2−16)=x(x+4)(x−4)，故答案为：x(x+4)(x−4)．原式提取x，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11.【答案】40【解析】解：∵AE//BC，∴∠DAE=∠B=70°，∴∠EAC=∠DAC−∠DAE=110°−70°=40°．故答案为：40．由AE//BC，利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠DAE的度数，结合∠EAC=∠DAC−∠DAE，即可求出∠EAC的大小．本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．12.【答案】4.5【解析】解：如图：∵CD//AB，∴△ECD∽△EBA，∴CD：AB=CE：BE，∴1.8：AB=2：5，∴AB=4.5m．答：路灯灯泡距地面的高度为4.5m．根据题意，可将原题转化如下图所示的几何模型，可得△ECD∽△EBA，利用相似三角形的性质，列出方程，通过解方程求出路灯灯泡距地面的高度即可．本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质，列出方程，通过解方程求出路灯灯泡距地面的高度．13.【答案】(4,6)【解析】解：过A′点作A′E⊥x轴，于点E，作BD⊥A′E，∵一次函数y=−2x+4的图象与坐标轴分别交于B、A两点，∴y=0，即0=−2x+4，∴x=2，∵A点坐标为：(2,0)，∴B点坐标为：(0,4)，∵旋转前后图形全等，∴BD=BO=4，A′D=AO=2，DE=BO=4，∴A′E=6，∴点A′的坐标是：(4,6)．故答案为(4,6)．根据一次函数y=−2x+4的图象与坐标轴分别交于B、A两点，得出B，A两点坐标，再画出旋转后的图形位置，根据图形求解．此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与坐标轴交点求法以及涉及图形旋转，根据旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得A′坐标．14.【答案】0.5【解析】解：以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系，由题意可得A(0,2.5)，B(2,2.5)，C(0.5,1)设函数解析式为y=ax2+bx+c把A、B、C三点分别代入得出c=2.5同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1解之得a=2，b=−4，c=2.5．∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5．∵2>0∴当x=1时，y=0.5米．∴故答案为：0.5米．根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答．本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．15.【答案】①完全平方公式运用错误【解析】解：(1)小鹏在第①步开始出错，(a−2)2≠a2−2a+4，错误的原因是完全平方公式运用错误．故答案为：①，完全平方公式运用错误．(2)(a−2)2+(a+1)(a−1)−2a(a−3)=a2−4a+4+a2−1−2a2+6a=2a+3．∴当a=−14时，原式=2×(−14)+3=52．(1)从第①步开始核对计算结果，可发现错在−2a，即完全平方公式运用错误；(2)将原式按照完全平方公式、平方差公式及单项式乘以多项式的法则展开并合并同类项，再将a=−14代入计算即可．本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关公式及运算法则是解题的关键．16.【答案】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数为5，所以两次抽取的卡片上数字之和为偶数的概率=59．【解析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两次抽取的卡片上数字之和为偶数的结果数，然后根据概率公式计算．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．17.【答案】解：设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，依题意，得：30x −301.5x=1560，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意．答：摩托车的速度为40千米/小时．【解析】设摩托车的速度为x千米/小时，则抢修车的速度为1.5x千米/小时，根据时间=路程÷速度结合骑摩托车的维修工人比乘抢修车的工人多用15分钟到达，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．18.【答案】解：(1)如图，线段CD即为所求．(2)如图，点M即为所求．【解析】(1)取格点E，作直线CE交AB于点D，线段CD即为所求．(2)取格点J，K，连接JK交AC于点M，连接BM，点M即为所求．本题考查作图−应用与设计，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)连接OC，∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD=∠OBD=90°，∵∠BDC=110°，∴∠BOC=360°−∠OCD−∠BDC−∠OBD=70°，∴∠A=12∠BOC=35°；(2)∵⊙O的直径为6，∴OC=OB=3，∵∠BOC=70°，∴BC⏜的长=70⋅π×3180=7π6．【解析】(1)首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案；(2)由(1)可知∠BOC=70°，圆的半径为3，利用弧长公式计算即可．此题考查了切线的性质、弧长公式的运用以及圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．20.【答案】88.5【解析】解：(1)由表格中的数据可得，n=(88+89)÷2=88.5，故答案为：88.5；(2)在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级，理由：∵七年级中位数是88.5，87<88.5，∴如果该学生在七年级，排名是后10名，不合题意；∵八年级中位数是85，85<87，∴如果该学生在八年级，排名是前10名，符合题意；由上可得，在学生样本成绩中，某学生的成绩是87分，在他所属年级抽取的学生中排在前10名，根据表中数据判断该学生所在年级是八年级；(3)180×8+620=126(人)，答：七年级成绩优秀的学生有126人．(1)根据表格中的数据，可以求得n 的值；(2)根据表格中的数据，可以判断该生所在的年级，然后根据表格中的数据，即可说明理由；(3)根据表格中的数据，可以计算出七年级成绩优秀的学生人数．本题考查中位数和众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的中位数．21.【答案】解：(1)设加油前函数关系为y =kx +b(k ≠0)，把(0,28)和(1,20)代入，得{b =28k +b =20， 解得：{k =−8b =28故李师傅加油前y 与x 之间的函数关系式为：y =−8t +28；(2)当y =4时，−8a +28=4；解得：a =3；(3)设在加油站的加油量x 升，则28+x −34=8×5，解得：x =46，答：李师傅在加油站的加油量为46升．【解析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；(2)将y =4代入，得出a 的值；(3)根据汽车的耗油量以及剩余油量和加油量之间关系得出等式求出答案． 此题主要考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键．22.【答案】2√7 4√3【解析】解：教材呈现：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD//BC ，AB =BC ，∴∠BAD +∠B =180°，∵∠BAD =2∠B ，∴∠B=60°，∵AB=BC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形；(1)由教材呈现可知，∠ABC=60°，∠BAD=120°，△ABC为等边三角形，∵四边形ABCD为菱形，∴∠BAC=∠DAC=60°，∠ADB=∠CDB=30°，∴OD=AD⋅sin∠DAC=2√3，∵AD//BC，DE//AC，∴四边形ACED为平行四边形，∴DE=AC=4，∠ADE=180°−∠DAC=120°，∴∠ODE=90°，∴OE=√OD2+DE2=2√7；(2)∵四边形ABCD为菱形，∴点C与点A关于BD对称，连接AE交BD于P，则PC+PE最小，且PC+PE=AE，∵△ADC和△EDC是等边三角形，∴AE=2×4×sin60°=4√3，故答案为：(1)2√7；(2)4√3．教材呈现：根据平行线的性质得到∠BAD+∠B=180°，根据题意求出∠B=60°，根据等边三角形的判定定理证明结论；(1)解直角三角形求出OD，根据平行四边形的性质得到DE=AC=4，证明∠ODE=90°，根据勾股定理计算即可；(2)连接AE交BD于P，根据轴对称最短路径问题得到PC+PE的最小值为AE，根据等边三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定和性质、轴对称−最短路径问题，掌握菱形的性质、轴对称的性质是解题的关键．23.【答案】解：(1)如图1中，在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AC=6，CB=8，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10，∵四边形PECF是矩形，∴PE//BC，PE=CF，∴APAB =PEBC，∴5t10=PE8，∴PE=4t，∴CF=4t．(2)如图1中，∵t=12，∴AP=12×5=52，∵AD=DB=12AB=5，∴PA=PD，∵PG//AC，∴DG=GC，∴PG=12AC=3．(3)如图2中，当0<t<1时，重叠部分是△PCG．S =12⋅PG ⋅CF =12⋅(6−6t)⋅4t =−12t 2+12t ．如图3中，当1<t <2时，重叠部分是△PCG ．S =12⋅PG ⋅EC =12⋅(8t −8)⋅(6−3t)=−12t 2+36t −24． 综上所述，S ={−12t 2+12t(0<t <1)−12t 2+36t −24(1<t <2)．(4)如图4−1中，当点Q 从D →C 的运动过程中，Q 与G 相遇时，则有：DQ =DG =DP ，可得6t =5−5t ，解得t =511．如图4−2中，当点Q 从C →D 的运动过程中，Q 与G 相遇时，则有DQ =DG =DP ，可得：10−6t =5t −5，解得t =1511，观察图象可知，当511<t <1511时，点Q 在矩形PECF 内部．【解析】(1)求出PE，利用矩形的性质解决问题即可．(2)证明此时PG是△ACD的中位线即可解决问题．(3)分两种情形：如图2中，当0<t<1时，重叠部分是△PCG.如图3中，当1<t<2时，重叠部分是△PCG.分别利用三角形的面积公式求解即可．(4)求出两种特殊情形点Q与G相遇的时间即可判断．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．24.【答案】解：(1)y=−12x2+nx+1=−−12(x−n)2+12n2+1，∴当n>0时，顶点坐标为(n,12n2+1).(2)当对称轴在y轴右侧即n>0时，y最大值=12n2+1>1，当对称轴时y轴或y轴左侧即n≤0时，y最大值=1，∵|n|≤2且n是整数，∴n=0或−1或−2．(3)当n>0时，直线与二次函数的交点即是抛物线的顶点，12n2+1=n+2，如图①，解得：n1=1−√3(舍去)，n2=1+√3，当n≤0时，满足n+2≤−1得n≤−1，如图②，∴n≤−1或n=1+√3．(4)当两个交点都在AC上时，如图③，则经过C点(2n,2n)，得2n=−−12(2n)2+2n2+ 1，∴n=12，当一个交点在OA上，一个交点在BC上时，如图④，则顶点在AC之下，且抛物线顶点在(n,2n)下方，即：12n2+1<2n,得2−√2<n<2+√2当交点分别在OB和BC上时，则n<0，且抛物线当x=2n时，函数值y<0，如图⑤，即：−−12(−2n)2+n⋅(−2n)+1<0，∴n<−12或n>12(与n<0矛盾，舍去)，综上所述，n的取值范围是n=12或2−√2<n<2+√2ℎ或n<−12．【解析】(1)把函数y=−12x2+nx+1配方成顶点式即可求得．(2)分两类情况讨论：当n>0时，y最大值=12n2+1>1，不符合题意，当n≤0时，y最大值=1，结合|n|≤2，即可求出n的值．(3)分两类情况讨论：当n>0时，交点即是抛物线的顶点，当n≤0时，满足n+2≤1即可．(4)用数形结合的思想，看两个交点在哪些边上，找出临界位置，分类讨论，结合点的坐标即可求出n的取值范围．本题考查了数形结合思想的综合运用，一元二次不等式的解法，二次函数的顶点坐标，开口等与字母的关系，特别注意抛物线中字母系数的取值与图像的关系．。
2020年吉林省长春市中考数学一模试卷
中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.-3的绝对值是（）A. -3B. 3C.D.2.据统计，2019年春运全国铁路累计发送旅客约410 000 000次．410 000 000个数用科记数法表示为（）A. 041×109B. 4.1×109C. 4.1×108．D. 41×1073.不等式4-2x≤0的解集在数轴上表示为（）A. B.C. D.4.如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A.B.C.D.5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交边BC于点D．若∠B＝45°，∠C＝55°，则∠ADC的大小为（）A. 80°B. 85°C. 95°D. 100°6.如图，某超市自动扶梯的倾斜角∠ABC为31°，扶梯长AB为9米，则扶梯高AC的长为（）A. 9sin31°米B. 9cos31°米C. 9tan31°米D. 9米7.如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（）A. B.C. D.8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C在函数y=（x＞0）的图象上，BC∥x轴，若AB=AC，点A、C的横坐标分别为2、6，△ABC的面积为12，则k的值为（）A. 4B. 8C. 9D. 12二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.比较大小：______2（填“＞”或“＜”或“=”）10.计算：a3•a4= ______ ．11.若关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，则m的值为______．12.利用标杆CD测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD的高为1.5米，测得DE＝2米，BD＝18米，则建筑物的高AB为____米．13.如图，在△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A1CB1．若AC=6，BC=8，则DB1的长为______．14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x-2）2+k（a，k为常数且a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴与抛物线交于点D．若点A的坐标为（-4，0），则的值为______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）15.某地区由于龙卷风出现毁坏性灾害，一自愿者协会紧急筹集资金，计划购买甲、乙两种教灾物品送往该地区已知甲种物品每件的价格比乙种物品每件的价格高10元，用700元购买甲种物品的件数与用600元购买乙种物品的件数相同．（1）求甲、乙两种救灾物品每件的价格．（2）经调查，该地区所需乙种物品的件数是甲种物品件数的2倍，自愿者协会按此比例购买1500件物品，需筹集资金多少元？四、解答题（本大题共9小题，共71.0分）16.先化简，再求值：（x-1）2+2x-3，其中x=．17.一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字1，2，3，除所标数字不同外，其它完全相同，从中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀，再随机摸出一个小球．用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的小球所标数字之和大于4的概率；18.图①、图②均是边长为1的小正方形组成的6×6的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C均在格点上，按下列要求画出顶点均在格点上的四边形．（1）在图①中确定顶点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图②中确定顶点E，并画出以A、B、C、E为顶点的四边形，使其为中心对称图形（图①、图②中各画出一个符合条件的四边形即可）．19.如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC交⊙O于点D，连结AD．已知⊙O的半径为3，∠C=20°（1）求∠A的度数；（2）求的长．（结果保留π）．20.某校为提高学生的汉字书写能力，开展了“汉字听写”大赛．七、八年级各有150人参加比赛，为了解这两个年级参加比赛学生的成绩情况，从中各随机抽取10名学生的成绩，数据如下：七年级88 94 90 94 84 94 99 94 99 100八年级84 93 88 94 93 98 93 98 97 99（1）整理数据按如下分段整理样本数据并补全表格：分析数据补全下列表格中的统计量：（2）估计该校八年级参加这次“汉字听写”大赛成绩低于90分的人数．（3）你认为哪个年级学生“汉字听写”大赛的成绩比较好？并说明理由．（写一条即可）21.甲、乙两车间同时开始加工一批零件，加工一段时间后，甲车间的设备出现故障停产维修设备，乙车间继续加工，甲车间维修好设备后提高了工作效率，每小时比出现故障前多加工10个零件，从开始加工到加工完这批零件乙车间的工作效率不变且工作10小时．甲、乙两车间加工这批零件的总数量y（件）与加工时间x（时）之间的函数图象如图所示：（1）甲车间每小时加工零件______个．（2）求甲车间维修完设备后，y与x之间的函数关系式．（3）求加工完这批零件总数量的时所用的时间．22.在△ABC中，CA=CB，0°＜∠C≤90°．过点A作射线AP∥BC，点M、N分别在边BC、AC上（点M、N不与所在线段端点重合），且BM=AN，连结BN并延长交AP于点D，连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E，连结ED．【猜想】如图①，当∠C=45°时，可证△BCN≌△ACM，从而得出∠CBN=∠CAM，进而得出∠BDE的大小为______度．【探究】如图②，若∠C=α．（1）求证：△BCN≌△ACM．（2）∠BDE的大小为______度（用含a的代数式表示）．【应用】如图③，当∠C=90°时，连结BE．若BC=3，∠BAM=15°，则△BDE的面积为______．23.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=10．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC-CB于点D，以PD 为边在PD右侧做正方形PDEF，在点P出发的同时，点Q从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿边CA向点A运动，过点Q作QG∥AB交BC于点G，以QG 为边在QG的下方做正方形QGMN．设正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形的面积为S（S＞0），点P的运动时间为t秒（0＜t＜5）．（1）正方形QGMN的边长为______（用含t的代数式表示）．（2）当点E与点N重合时，求t的值．（3）求S与t之间的函数关系式．（4）作直线EM，当直线EM与△ABC的边垂直时，直接写出t的值．24.定义：对于给定的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），把形如y=的函数称为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的衍生函数．（1）已知二次函数y=x2-2x-2．①写出这个二次函数的衍生函数的表达式．②若点P（m，-）在这个二次函数的衍生函数的图象上，求m的值．③当-2≤x≤3时，求这个二次函数的衍生函数的最大值和最小值．（2）当二次函数y=x2+2x-2（a＜0）的衍生函数的图象与以A（-3，2）、B（5，2）、C（5，-4）、D（-3，-4）为顶点的矩形ABCD的边只有两个公共点时，直接写出a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：|-3|=3．故-3的绝对值是3．故选：B．根据绝对值的定义，-3的绝对值是指在数轴上表示-3的点到原点的距离，即可得到正确答案．本题考查的是绝对值的定义，抓住定义及相关知识点即可解决问题．2.【答案】C【解析】解：410 000000=4.1×108．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】D【解析】解：移项得，-2x≤-4，系数化为1得，x≥2．在数轴上表示为：故选：D．先根据不等式的基本性质求出其解集，并在数轴上表示出来即可．本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．4.【答案】D【解析】解：这个立体图形的俯视图是：故选：D．根据组合体的形状即可求出答案．本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．解题的关键是根据组合体的形状进行判断．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据∠ADC=∠B+∠BAD，只要求出∠B，∠BAD即可解决问题.【解答】解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-55°=80°，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC=40°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+40°=85°，故选：B．6.【答案】A【解析】解：由题意，在Rt△ABC中，∠ABC=31°，由三角函数关系可知，sin31°==，AC=AB•sin31°=9sin31°米，即扶梯高AC的长为9sin31°米，故选：A．在Rt△ABC中，根据三角函数关系，AC=AB•sin∠ABC．代入数据即可得出AC的长度．此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵PB+PC=BC，而PA+PC=BC，∴PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上，即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．故选：D．由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P 在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．8.【答案】C【解析】解：过A点作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD，∵点A、C的横坐标分别为2、6，∴点D的横坐标分别为2，∴CD=6-2=4，∴BC=8，∵S△ABC=BC•AD=×8•AD=12，∴AD=3，∵设点C（6，m），则点A（2，m+3），∵△ABC的顶点A、C在函数y=（x＞0）的图象上，则k=6m=2（m+3），解得：k=9，故选：C．过A点作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质，求得BC=8，由S△ABC=BC•AD=12，求得AD=3，设点C（6，m），则点A（2，m+3），则根据反比例函数系数k的几何意义得出k=6m=2（m+3），即可求解．本题考查的是反比例函数k的意义，此类题目主要通过面积确定某个点的一个坐标，找出对应点坐标关系，通过k的意义求解．9.【答案】＞【解析】解：∵2=＜，∴＞2，故答案为：＞．根据2=＜即可得出答案．本题考查了实数的大小比较，关键是得出2=＜，题目比较基础，难度适中．10.【答案】a7【解析】解：a3•a4=a3+4=a7，故答案为：a7．根据同底数幂的乘法：底数不变指数相加，可得答案．本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．11.【答案】-1【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=b2-4ac=0，即：22-4（-m）=0，解得：m=-1，故选答案为-1．由于关于x的一元二次方程x2+2x-m=0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的不等式，解答即可．本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．12.【答案】15【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．根据同一时刻同一地点物高与影长成正比列式求得CD的长即可．【解答】解：∵AB∥CD，∴△EBA∽△ECD，∴=，即=，∴AB=15（米）．故答案为：15．13.【答案】3【解析】解：∵在△ACB中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB===10，∵点D为AB的中点，∴CD=AB=5，∵将△ACB绕点C按顺时针方向旋转，当CB经过点D时得到△A1CB1．∴CB1=BC=8，∴DB1=8-5=3，故答案为：3．根据勾股定理得到AB===10，由直角三角形的性质的CD=AB=5，由旋转的性质得到CB1=BC=8，于是得到结论．此题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理，此题综合性较强，难度适中，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．14.【答案】2【解析】解：∵抛物线y=a（x-2）2+k的对称轴为直线x=2，而CD∥x轴，∴CD=4，∵A点坐标为（-4，0），∴B点坐标为（8，0），∴OB=8，∴==2．故答案为2．利用二次函数的性质得到抛物线y=a（x-2）2+k的对称轴为直线x=2，根据抛物线的对称性得到CD=4，B点坐标为（8，0），则OB=8，从而得到的值．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15.【答案】解：（1）设乙种物品每件的价格为x元，则甲种物品每件的价格为（x+10）元，根据题意，得=-10，解得：x=60，经检验x=60是原方程的解，且符合题意，所以x+10=60+10=70，答：甲种物品每件的价格为70元，乙种物品每件的价格为60元；（2）设购买甲种物品m件，则购买乙种物品2m件，根据题意，得m+2m=1500，解得：m=500，可得70×500+60×2×500=95000，答：自愿者协会按此比例购买1500件物品，需筹集资金95000元．【解析】（1）设乙种物品每件的价格为x元，则甲种物品每件的价格为（x+10）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）设购买甲种物品m件，则购买乙种物品2m件，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．此题考查了分式方程的应用，以及一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．16.【答案】解：原式=x2-2x+1+2x-3=x2-2，当x=时，原式=（）2-2=6-2=4【解析】先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．本题考查了整式的混合运算，正确去括号是解题的关键．17.【答案】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两次摸出的小球所标数字之和大于4的有3种结果，所以两次摸出的小球所标数字之和大于4的概率为=．【解析】利用树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球所标数字之和大于4的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．18.【答案】解：（1）如图①所示：（2）如图②所示：答案不唯一，以上答案供参考．【解析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；（2）根据中心对称的性质画出图形即可．此题主要考查了利用轴对称设计图案，考查中心对称、轴对称的概念与画图的综合能力．19.【答案】解：（1）∵BC是⊙O的切线，∴∠B=90°，∴∠BOC=90°-∠C=90°-20°=70°，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA，∴∠A=∠BOC=×70°=35°；（2）∵∠AOC=180°-∠BOC，∴∠AOC=180°-70°=110°，∴弧AD的长为：=．【解析】（1）由切线的性质得出∠B=90°，则∠BOC=90°-∠C=70°，由OA=OD，得出∠A=∠ODA，由外角的性质即可得出结果；（2）由平角定义得出∠AOC=180°-∠BOC，即∠AOC=180°-70°=110°，由弧长公式即可得出结果．本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和等腰三角形的性质，熟记弧长公式是解题的关键．20.【答案】解：（1）整理数据：由题意，可得a=1，b=4；分析数据：由题意，可知94分出现次数最多是4次，所以众数c=94，将八年级10名学生的成绩从小到大排列为：84，88，93，93，93，94，97，98，98，99，中间两个数分别是93，94，（93+94）÷2=93.5，所以中位数d=93.5；得出结论：（2）150×=30（人）．答：估计该校八年级参加这次“汉字听写”大赛成绩低于90分的约有30人；（3）从平均数来看，八年级比七年级高，说明八年级比七年级的成绩好；从方差上看，八年级的比七年级的小，说明八年级的成绩比较稳定．因此，成绩较好的是：八年级．【解析】（1）整理数据：根据八年级抽取10名学生的成绩，可得a、b的值；分析数据：根据题目给出的数据，利用众数的定义求出c，利用中位数的定义求出d即可；（2）用150乘以样本中成绩低于90分的人数所占的百分比即可；（3）根据给出的平均数和方差分别进行分析，即可得出答案（答案不唯一）．本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．21.【答案】60【解析】解：（1）由题意得：前3小时没有故障，设甲每小时生产x个，甲出故障后已一个小时生产90个，即已的效率为90，前3小时：则3x+3×90=450，解得：x=60，故答案为60；（2）设函数表达式为：y=kx+b，把（4，540），（10，1500）代入得：，解得：，∴y=160x-100（4＜x≤10）；（3）求加工完这批零件总数量的时所用的时间为x，160x-100=1500×，解得：x=．（1）出故障后已一个小时生产90个，即已的效率为90，设故障前甲的效率为x，则前3小时：则3x+3×90=450，即可求解；（2）设函数表达式为：y=kx+b，把（4，540），（10，1500）代入一次函数即可求解；（3）求加工完这批零件总数量的时所用的时间为x，则160x-100=1500×，即可求解．本题考查的是一次函数综合运用，此类题目，关键要弄清楚图象每个点，尤其是拐点代表的意义，进而求出甲乙的效率，即可求解．22.【答案】135 α或（180-α）9-9【解析】【猜想】证明：如图1中，延长ED交BC于点F，交AC于点O，∵CB=CA，∴∠ABM=∠BAN，∵CA=CB，BM=AN，∴CM=CN，∵∠C=∠C，∴△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN=∠CAM，∵E是AD的垂直平分线上的点，∴EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠EMF，∠EDA=∠EFM，∴∠BNC=∠BFE，∴∠NOD+∠BDF=∠C+∠FOC，∵∠C=45°，∠FOC=∠NOD，∴∠NDO=45°，∴∠BDE=135°，故答案为：135°；【探究】（1）证明：∵CA=CB，BM=AN，∴CA-AN=CB-BM，∴MC=NC，又∵∠C=∠C，∴△BCN≌△ACM（SAS）；（2）分两种情况：①如图2中，当点E在AM的延长线上时，易证：∠CBN=∠ADB=∠CAN，∠ACB=∠CAD，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠CAM+∠CAD=∠BDE+∠ADB，∴∠BDE=∠CAD=∠ACB=α．如图4中，当点E在MA的延长线上时，延长ED交BC的延长线于点F，同理得△BCN≌△ACM（SAS），∴∠CBN=∠CAM，同理得：∠BNC=∠AMC=∠BFE，∴∠BNC+∠NBC=∠NBC+∠BFE，∴∠ACB=∠BDF=α，∴∠BDE=180°-α．故答案为：α或（180-α）；【应用】如图3，同（2）得：∠BDE=180°-∠ACB=90°，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠BAM=15°，∴∠CAM=∠CBN=30°，Rt△BNC中，CN==，BN=2，∴AN=AC-CN=3-，∵AD∥BC，∴∠DAN=∠ACB=90°，∠ADN=∠NBC=30°，∴DN=2AN=6-2，AD=AN=3-3，∴BD=BN+DN=2+6-2=6，∵EA=ED，∠EAD=60°，∴△EAD是等边三角形，∴ED=AD=3-3，∴S△BDE===9-9．故答案为：9-9．【猜想】如图（1）中，延长ED交BC于点F，交AC于点O．想办法证明∠BNC=∠BFE，再利用三角形的外角的性质即可解决问题；【探究】（1）同理根据SAS证明：△BCN≌△ACM；（2）分两种情形讨论求解即可，①如图2中，当点E在AM的延长线上时，②如图4中，当点E在MA的延长线上时，分别计算即可；【应用】如图3，分别计算BD和DE的长，证明△EAD是等边三角形，根据三角形的面积公式可得结论．本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．23.【答案】2t【解析】解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵点Q从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿边CA向点A运动，过点Q作QG∥AB交BC于点G，以QG为边在QG的下方作正方形QGMN，∴△CQG是等腰直角三角形，CQ=t，则QG=CQ=×t=2t，即正方形QGMN的边长为：2t，故答案为：2t；（2）∵以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动，过点P作PD⊥AB交折线AC、CB于点D，以PD为边在PD右侧作正方形PDEF，∴△APD是等腰直角三角形，AP=PD，过点C作CK⊥AB于K，交QG于点H，如图1所示：则CH⊥QG，∵△ABC是等腰直角三角形，∴CK=AB=×10=5，当点E与点N重合时，CH+QN+EF=CK=5，∵△CQG是等腰直角三角形，∴△CHQ是等腰直角三角形，∴CQ=CH，此时，CQ=t，AP=DP=EF=2t，∴CH===t，QG=QN=CQ=×t=2t，∴t+2t+2t=5，解得：t=1；（3）由题意得：正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形是正方形，当正方形PDEF与正方形QGMN完全重合时，3t=5，t=；分两种情况：①当1＜t≤时，如图2所示：由（1）得：QG=GM=2t，△CQG是等腰直角三角形，由（2）得：EF=2t，CH=t，CK=5，∴S=[2t-（5-3t）]2=（5t-5）2=25t2-50t+25，即S与t之间的函数关系式为S=25t2-50t+25；②当＜t＜5时，如图3所示：S=（5-t）2=t2-10t+25，即S=t2-10t+25；（4）分三种情况：①当EM⊥BC时，如图4所示：由题意得：（5-2t）=10-2t，解得：t=0，不合题意舍去；②当EM⊥AC时，如图5所示：由题意得：×3t=10-2t，解得：t=；③当EM⊥AB时，正方形PDEF与正方形QGMN重合，此时t=；综上所述，当直线EM与△ABC的边垂直时，t的值为或．（1）易证△ABC是等腰直角三角形，△CQG是等腰直角三角形，CQ=t，则QG=CQ=2t，即可得出结果；（2）易证△APD是等腰直角三角形，AP=PD，过点C作CK⊥AB于K，交QG于点H，则CH⊥QG，由等腰直角三角形性质得出CK=AB=5，当点E与点N重合时，CH+QN+EF=CK=5，易证△CHQ是等腰直角三角形，则CQ=CH，此时，CQ=t，AP=DP=EF=2t，∴CH==t，QG=QN=CQ=2t，即可得出结果；（3）正方形PDEF与正方形QGMN重叠部分图形是正方形，当正方形PDEF与正方形QGMN完全重合时，t=；分两种情况：①当1＜t≤时，QG=GM=2t，△CQG是等腰直角三角形，EF=2t，CH=t，CK=5，则S=[2t-（5-3t）]2=25t2-50t+25；②当＜t＜5时，S=（5-t）2=t2-10t+25；（4）分三种情况：①当EM⊥BC时，（5-2t）=10-2t，解得t=0，不合题意舍去；②当EM⊥AC时，×3t=10-2t，解得t=；③当EM⊥AB时，正方形PDEF与正方形QGMN重合，此时t=．本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质性质、等腰直角三角形的判定与性质、分类讨论等知识，正确理解题意，画出图形是解题的关键．24.【答案】解：（1）①y=②当m≥0时，m2-2m-2=-解得：m1=1+，m2=1-（舍去）当m＜0时，-m2-2m-2=-解得：m1=-1+，m2=-1-综上所述，m的值为1+或-1+或-1-．③当-2≤x＜0时，y=-x2-2x-2=-（x+1）2-1∴x=-1时，y的最大值为-1；x=-2时，y的最小值为y=-1-1=-2当0≤x≤3时，y=x2-2x-2=（x-1）2-3∴x=1时，y的最小值为-3；x=3时，y的最大值为4-3=1综上所述，当-2≤x≤3时，这个二次函数的最大值为1，最小值为-3．（2）如图，二次函数y=x2+2x-2（a＜0）的衍生函数为y=∵a＜0，即＜0，＞0，∴当x≥0时，即y轴右侧，图象开口向下，有最高点M′（-a，-a-2）当x＜0时，即y轴左侧，图象开口向上，有最低点M″（a，a-2）由题意，得①当M′（-a，-a-2），M″（a，a-2）均在矩形ABCD的内部时，则：，解得：-2＜a＜0；②当M′（-a，-a-2）在矩形ABCD的内部，M″（a，a-2）在矩形ABCD的外部，且左侧交点在CD边上时，则：，解得：-4＜a＜；③当M′（-a，-a-2），M″（a，a-2）均在矩形ABCD的外部时，则：，解得：a＜；综上所述，a的取值范围为：-2＜a＜0，-4＜a＜，a＜．【解析】（1）①按照衍生函数定义，x≥0时解析式即为原解析式，x＜0时解析式的二次项系数变为原系数的相反数．②当m≥0时，把y=-代入解析式y=x2-2x-2，解方程并讨论解为非负数的值即为m的值；当m＜0时，把y=-代入解析式y=-x2-2x-2，解方程并讨论解为负数的值即为m的值；③当-2≤x＜0时，解析式配方得y=-（x+1）2-1，抛物线开口向下，故在x=-1时有最大值y=-1；由于x=-2与x=0与对称轴：直线x=-1距离相等，故x=-2时有最小值y=-2．当0≤x≤3时，解析式配方得y=（x-1）2-3，抛物线开口向上，故在x=1时有最小值y=-3；由于x=3比x=0离对称轴：直线x=1的距离远，故x=3时有最大值y=1．比较两种情况的最大值和最小值，得到-2≤x≤3时最大值为y=1，最小值为y=-3．（2）先把函数解析式化为顶点式，得到y轴两侧图象的顶点坐标，再分三种情况进行讨论：①M′（-a，-a-2），M″（a，a-2）均在矩形ABCD的内部，②M′（-a，-a-2）在矩形ABCD的内部，M″（a，a-2）在矩形ABCD的外部，M′（-a，-a-2），M″（a，a-2）均在矩形ABCD的外部．本题考查了二次函数图象和性质，二次函数最大（小）值应用，新定义，图象与矩形交点问题等，解题时要注意运用数形结合的方法和分类讨论的数学思想．。
2020年吉林省长春市中考数学模拟试卷及答案解析
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
14．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m＝．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为边在PD右侧做正方形PDEF．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒（0＜t＜4）．
（2）在图②中找到一个格点D，使∠ADB是锐角，且tan∠ADB＝1，并画出△ABD．
19．（7分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，CD＝4，求BD的长．
20．（8分）某校“两会”知识竞赛培训活动中，在相同条件下对甲、乙两名学生进行了10次测验．
（3）甲出发多长时间与乙第一次相遇？
22．（9分）在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE，过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．
猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为．
探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系，并加以证明．
2020年吉林省长春市新区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年吉林省长春市新区中考数学一模试卷一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．02．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010 3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a25．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为（）A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1 7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）比较大小：2（填“＞”、“＜”或“＝”）10．（3分）分解因式：a2﹣9＝．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（写出一个即可）．12．（3分）如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若∠CBA＝43°，则∠PAC的大小为度．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是AB上一点，连结CE，将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，则△AEF的面积为．14．（3分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加米．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣3，b＝．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字﹣2、0、1，每个小球除数字不同外其余均相同，小致先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率．17．（6分）某市为落实“2020脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市的900套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改造的数量是原来计划的1.5倍，结果提前30天完成任务，求甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．18．（7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，则线段BP的长为．19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．20．（7分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起*4247*4752*49坐其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．21．（8分）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200km外的B地输送紧急物资，甲在途中休息了3小时，休息前后的速度不同，最后两车同时到达B地，如图甲、乙两车到A地的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）甲车休息前的行驶速度为千米/时，乙车的速度为千米/时；（2）当9≤x≤15，求甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式；（3）直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇．22．（9分）问题呈现：下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．小致的思考：要证明PM＝PM，只需证明△POM≌△PON即可．请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．（2）在（1）的条件下，如图③，若AB＝10，tan∠PAB＝，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S ＞0），点P的运动时间为t秒．（1）①BC的长为；②用含t的代数式表示线段PQ的长为．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y＝（m为常数）．（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．（3分）如图，数轴上被遮挡住的整数的相反数是（）A．1B．﹣3C．﹣1D．0【分析】被遮挡的左边是整数﹣2，右边是0，因此被遮挡的整数是﹣1，再求相反数即可．解：被遮住的左边是整数﹣2，右边是0，因此被遮挡的整数是﹣1，﹣1的相反数是1，故选：A．2．（3分）据长春海关统计数据显示，2020年一季度，全省出口总额为7 810 000 000元，7 810 000 000这个数用科学记数法表示为（）A．0.781×103B．7.81×109C．78.1×109D．7.81×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：7 810 000 000＝7.81×109．故选：B．3．（3分）如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．解：这个立体图形的俯视图有两层，上层三个正方形，下层一个正方形，右齐．故选：D．4．（3分）a6可以表示为（）A．6a B．a2•a3C．（a3）2D．a12÷a2【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法分别计算可得．解：A、6a表示6×a，此选项不符合题意；B、a2•a3＝a5，此选项不符合题意；C、（a3）2＝a6，此选项符合题意；D、a12÷a2＝a10，此选项不符合题意；故选：C．5．（3分）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中第三卷中记载一题：今有兽，六首四足；禽，二首二足，上有七十六首，下有四十六足，问：禽、兽各几何？译文：今有一只怪兽，有6个头4只脚，一只怪鸟，有2个头2只脚，现在上面有76个头，下面有46只脚，问怪兽、怪鸟各有多少？设怪兽为x只，怪鸟为y只，可列方程组为（）A．B．C．D．【分析】根据怪兽和怪鸟的头数及脚数，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．解：依题意，得：．故选：C．6．（3分）小致利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，如图，小致在D处测得顶端P的仰角∠PDC＝α，D到旗杆的距离CD＝5米，测角仪BD的高度为1米，则旗杆PA的高度表示为（）A．5tanα+1B．5sinα+1C．5cosα+1D．+1【分析】根据题意可得，四边形ABDC是矩形，根据锐角三角函数即可表示旗杆PA的高度．解：根据题意可知：四边形ABDC是矩形，∴∠PCD＝90°，AC＝BD＝1，在Rt△PCD中，PC＝CD tanα＝5tanα，∴PA＝PC+AC＝5tanα+1．答：旗杆PA的高度表示为5tanα+1．故选：A．7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以B为圆心，适当长度为半径作弧，交AB于点D，交BC于点E；②分别以D，E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点N，若AB＝BN，∠A＝74°，则∠C的大小为（）A．32°B．42°C．37°D．40°【分析】依据等腰三角形的性质即可得到∠ABN的度数，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理，即可得到∠C的度数．解：∵AB＝BN，∠A＝74°，∴∠ANB＝74°，∠ABN＝180°﹣2×74°＝32°，由作图痕迹可得，BN平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABN＝64°，∴△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝180°﹣74°﹣64°＝42°，故选：B．8．（3分）如图，Rt△AOB的顶点A在第一象限，顶点B在x轴的正半轴，函数y＝（k ＞0，x＞0）的图象经过OA的中点D，与直角边AB交于点C，若点A的坐标为（4，3），则△AOC的面积为（）A．5B．3C．D．4.5【分析】直接根据点D是OA的中点即可求出D点坐标，由D点坐标即可求出反比例函数的解析式，故可得出△OBC的面积，由S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC即可得出结论．解：∵D是OA的中点，点A的坐标为（4，3），∴D（2，），把D（2，）代入反比例函数y＝的图象上，∴k＝2×＝3，∵点C在反比例函数y＝的图象上，∴S△OBC＝×3＝，∴S△AOC＝S△AOB﹣S△OBC＝×4×3﹣＝．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）比较大小：＜2（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】首先利用二次根式的性质可得2＝，再比较大小即可．解：∵2＝，∴＜2，故答案为：＜．10．（3分）分解因式：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．【分析】直接利用平方差公式分解因式进而得出答案．解：a2﹣9＝（a+3）（a﹣3）．故答案为：（a+3）（a﹣3）．11．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是0（写出一个即可）．【分析】先利用判别式的意义得到22﹣4k＞0，再解不等式确定k的范围，然后在此范围内取一个值即可．解：根据题意得△＝22﹣4k＞0，解得k＜1．所以k可以取0．故答案为0．12．（3分）如图，直线PQ∥MN，将一个有30°角的三角尺按如图所示的方式摆放，若∠CBA＝43°，则∠PAC的大小为107度．【分析】根据平行线的性质得到∠BAP＝137°，由角的和差关系得到∠PAC的大小即可．解：∵PQ∥MN，∴∠BAP＝180°﹣∠CBA＝137°，∴∠PAC＝137°﹣30°＝107°．故答案为：107．13．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，E是AB上一点，连结CE，将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，则△AEF的面积为．【分析】根据矩形的性质得到∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，根据折叠的性质得到CF＝CB＝5，EF＝BE，根据勾股定理得到DF＝＝4，AE ＝，于是得到结论．解：∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，BC＝AD＝5，∵将△BCE沿CE翻折，使点B的对应点F落在边AD上，∴CF＝CB＝5，EF＝BE，∴DF＝＝4，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣4＝1，∵EF2＝AE2+AF2，∴（3﹣AE）2＝AE2+12，解得：AE＝，∴△AEF的面积＝AE•AF＝×1＝故答案为：．14．（3分）如图是一座截面边缘为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降1米时，水面宽度增加（2﹣4）米．【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为（0，2），设抛物线解析式y＝ax2+2，将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，解得：a＝﹣，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，将y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度为2米，故水面宽度增加了（2﹣4）米，故答案为：（2﹣4）．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a＝﹣3，b＝．【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．解：a（a﹣2b）+（a+b）2＝a2﹣2ab+a2+b2+2ab＝2a2+b2，当a＝﹣3，b＝时，原式＝2a2+b2＝2×（﹣3）2+（）2＝23．16．（6分）一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有数字﹣2、0、1，每个小球除数字不同外其余均相同，小致先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回并搅匀；再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率．【分析】列举出符合题意的各种情况的个数，再根据概率公式即可求出两次摸出的小球上的数字之和是负数的概率．解：列表得：﹣201和﹣2﹣4﹣2﹣10﹣2011﹣112共有9种等情况数，其中小致两次摸出的小球的数字之和是负数的有5种，则小致两次摸出的小球的数字之和是负数的概率是．17．（6分）某市为落实“2020脱贫攻坚政策”，甲工程队计划将该市的900套老旧房屋进行翻新改造，为尽快完成任务，实际每天翻新改造的数量是原来计划的1.5倍，结果提前30天完成任务，求甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋的数量．【分析】设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋x套，则实际每天翻新改造老旧房屋1.5x套，根据工作时间＝工作总量÷工作效率结合提前30天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．解：设甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋x套，则实际每天翻新改造老旧房屋1.5x 套，依题意，得：﹣＝30，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意．答：甲工程队原计划每天翻新改造老旧房屋10套．18．（7分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的直线交OP于点C，且∠CBP＝∠ADB．（1）求证：BC为⊙O的切线；（2）若OA＝2，AB＝，则线段BP的长为．【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠A+∠ADB＝90°，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∵∠CBP＝∠ADB，∴∠OBA+∠CBP＝90°，∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，∴BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵OA＝2，∴AD＝2OA＝4，∵OP⊥AD，∴∠POA＝90°，∴∠P+∠A＝90°，∴∠P＝∠D，∵∠A＝∠A，∴△AOP∽△ABD，∴＝，即＝，解得：BP＝，故答案为：．19．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B、C、D、E、F均在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求长写出画法．（1）在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．【分析】（1）根据网格即可在图①中以线段AB为边画一个直角△ABM；（2）根据网格和勾股定理即可在图②中以线段CD为边画一个轴对称△CDN，使其面积为5；（3）根据网格和梯形面积公式即可在图③中以线段EF为边画一个轴对称四边形EFGH，使其面积为6．解：（1）图①中直角△ABM即为所求；（2）图②中△CDN即为所求；（3）图③中四边形EFGH即为所求．20．（7分）某年级共有150名女生，为了解该年级女生实心球成绩（单位：米）和一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）的情况，从中随机抽取30名女生进行测试，获得了他们的相关成绩，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．实心球成绩的频数分布如表所示：分组 6.2≤x＜6.6 6.6≤x＜7.07.0≤x＜7.47.4≤x＜7.87.8≤x＜8.28.2≤x＜8.6频数2m10621b．实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3c．一分钟仰卧起坐成绩如图所示：根据以上信息，回答下列问题：（1）①表中m的值为9；②一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45；（2）若实心球成绩达到7.2米及以上时，成绩记为优秀．①请估计全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②该年级某班体育委员将本班在这次抽样测试中被抽取的8名女生的两项成绩的数据抄录如表所示：女生代码A B C D E F G H实心球8.17.77.57.57.37.27.0 6.5一分钟仰卧起坐*4247*4752*49其中有3名女生的一分钟仰卧起坐成绩未抄录完整，但老师说这8名女生中恰好有4人两项测试成绩都达到了优秀，于是体育委员推测女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀，你同意体育委员的说法吗？并说明你的理由．【分析】（1）①根据题意和表格中的数据可以求得m的值；②根据条形统计图中数据和中位数的定义可以得到这组数据的中位数；（2）①根据题意和表格中的数据可以求得全年级女生实心球成绩达到优秀的人数；②根据题意和表格中的数据可以解答本题．解：（1）①m＝30﹣2﹣10﹣6﹣2﹣1＝9，故答案为：9；②由条形统计图可得，一分钟仰卧起坐成绩的中位数为45，故答案为：45；（2）①∵实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组的是：7.0，7.0，7.0，7.1，7.1，7.1，7.2，7.2，7.3，7.3，∴实心球成绩在7.0≤x＜7.4这一组优秀的有4人，∴全年级女生实心球成绩达到优秀的人数是：150×＝65，答：全年级女生实心球成绩达到优秀的有65人；②同意，理由：如果女生E的仰卧起坐成绩未到达优秀，那么只有A、D、F有可能两项测试成绩都达到优秀，这与恰有4个人两项成绩都达到优秀，矛盾，因此，女生E的一分钟仰卧起坐成绩达到了优秀．21．（8分）甲、乙两车沿同一条道路从A地出发向1200km外的B地输送紧急物资，甲在途中休息了3小时，休息前后的速度不同，最后两车同时到达B地，如图甲、乙两车到A地的距离y（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）甲车休息前的行驶速度为120千米/时，乙车的速度为80千米/时；（2）当9≤x≤15，求甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式；（3）直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇．【分析】（1）根据甲在途中休息了3小时，结合函数图象可求出b的值，进而由路程÷时间＝速度，便可求得结果；（2）用待定系数法进行解答便可；（3）设甲出发x小时与乙在途中相遇，分两种情况：在甲中途休息前相遇，甲中途休息时相遇．分别列出一元一次方程解答．解：（1）由题意知，b＝9﹣3＝6，∴甲车休息前的行驶速度为：600÷（b﹣1）＝600÷（6﹣1）＝120（千米/时），乙车的速度为：1200÷15＝80（千米/时），故答案为：120；80；（2）设当9≤x≤15时，甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），把（9，600），（12，1200）代入得，，解得，，∴当9≤x≤15时，甲车的行驶路程y与x之间的函数关系式为：y＝100x﹣300；（3）设甲出发x小时与乙在途中相遇，根据题意得，①在甲途中休息前相遇，有120x﹣80x＝80×1，解得，x＝2；②在甲途中休息时相遇，有80（x+1）＝600，解得，x＝6.5，综上，甲出发2小时或6.5小时与乙在途中相遇．22．（9分）问题呈现：下图是小致复习全等三角形时遇到的一个问题并引发的思考，请帮助小致完成以下学习任务．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，M、N分别是OA、OB上的点，OM＝ON，求证：PM＝PN．小致的思考：要证明PM＝PM，只需证明△POM≌△PON即可．请根据小致的思路，结合图①，解出完整的证明过程．结论应用：（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD+BC，∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，求证：PC＝PD．（2）在（1）的条件下，如图③，若AB＝10，tan∠PAB＝，当△PBC有一个内角是45°时，△PAD的面积是8或．【分析】问题呈现：由“SAS”可证△MOP≌△NOP，可得PM＝PN；结论应用：（1）在AB上截取AE＝AD，连接PE，由“SAS”可证△ADP≌△AEP，△BPC≌△BPC，可得PD＝PE＝PC；（2）延长AP，BC交于点H，由“ASA”可证△ADP≌△HCP，可得CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，分三种情况讨论，由角平分线的性质和锐角三角函数可求解．解：问题呈现：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OP＝OP，OM＝ON，∴△MOP≌△NOP（SAS），∴PM＝PN；结论应用：（1）如图②，在AB上截取AE＝AD，连接PE，∵AP平分∠DAB，∴∠DAP＝∠BAP，又∵AD＝AE，AP＝AP，∴△ADP≌△AEP（SAS），∴DP＝PE，∠D＝∠AEP，∵AB＝AD+BC，AB＝AE+BE，∴BE＝BC，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，又∵BP＝BP，∴△BPC≌△BPE（SAS），∴CP＝PE，∠PCB＝∠PEB，∴PC＝PD＝PE；（2）由（1）可证∠D＝∠AEP，∠PCB＝∠PEB，∵∠AEP+∠PEB＝180°，∴∠PCB+∠D＝180°，∴AD∥BC，∴∠DAC+∠ABC＝180°，∵∠DAB的平分线和∠ABC的平分线交于CD边上点P，∴∠DAC＝2∠PAB，∠ABC＝2∠ABP，∴2∠PAB+2∠ABP＝180°，∴∠PAB+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∵AB＝10，tan∠PAB＝＝，∴PA＝2PB，∵PA2+PB2＝AB2，∴PB＝2，PA＝4，如图③，延长AP，BC交于点H，∵AD∥BC，∴∠DAP＝∠H，∴∠H＝∠BAP，∴AB＝BH＝10，又∵PB平分∠ABC，∴BP⊥AP，AP＝PH＝4，∵∠DAP＝∠H，AP＝PH，∠DPA＝∠CPH，∴△ADP≌△HCP（ASA），∴CP＝DP，AD＝CH，S△ADP＝S△CPH，若∠PBC＝45°时，则∠PBC＝∠H＝45°，∴PB＝PH（不合题意舍去），若∠BPC＝45°时，则∠HPC＝∠BPC＝45°，如图④，过点C作CN⊥BP于N，CM⊥PH于M，∴CM＝CN，∵S△PBH＝×BP×PH＝×BP×CN+×PH×CM，∴CM＝CN＝，∴S△PCH＝×4×＝＝S△ADP；若∠PCB＝45°时，如图⑤，过点P作PF⊥BC于F，∵∠PAB＝∠H，∴tan H＝tan∠PAB＝，∴，∴FH＝2PF，∵PF2+FH2＝PH2＝80，∴PF＝4，FH＝8，∵PF⊥BC，∠BCP＝45°，∴∠PCB＝∠FPC＝45°，∴CF＝PF＝4，∴CH＝4，∴S△ADP＝S△CPH＝×4×4＝8，故答案为：8或．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20．点P从点B出发，以每秒5个单位长度的速度沿BC向终点C运动，同时点M从点A出发，以相同速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ、MQ为邻边作矩形PQMN，当点P运动到终点时，整个运动停止，设矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（S ＞0），点P的运动时间为t秒．（1）①BC的长为16；②用含t的代数式表示线段PQ的长为3t．（2）当QM的长度为10时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边时，直接写出t的值．【分析】（1）①由勾股定理可求解；②由锐角三角函数可求解；（2）分两种情况讨论，由QM的长度为10，列出方程可求解；（3）分两种情况讨论，由面积公式可求解；（4）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求解．解：（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，∴BC＝＝＝16，故答案为：16；②∵sin B＝，∴，∴PQ＝3t，故答案为：3t；（2）在Rt△PQB中，BQ＝＝4t，当点M与点Q相遇，20＝4t+5t，∴t＝，当0＜t＜时，MQ＝AB﹣AM﹣BQ，∴20﹣4t﹣5t＝10，∴t＝，当＜t≤时，MQ＝AM+BQ﹣AB，∴4t+5t﹣20＝10，∵＞，∴不合题意舍去，综上所述：当QM的长度为10时，t的值为；（3）当0＜t＜时，S＝3t×（20﹣9t）＝﹣27t2+60t；当＜t≤时，如图，∵四边形PQMN是矩形，∴PN＝QM＝9t﹣20，PQ＝3t，PN∥AB，∴∠B＝∠NPE，∴tan B＝tan∠NPE，∴，∴NE＝＝﹣15，∴S＝3t×（9t﹣20）﹣×（9t﹣20）×（﹣15）＝﹣；（4）如图，若NQ⊥AC，∴NQ∥BC，∴∠B＝∠MQN，∴tan B＝tan∠MQN，∴＝，∴t＝，如图，若NQ⊥BC，∴NQ∥AC，∴∠A＝∠BQN，∴tan A＝tan∠BQN，∴，∴，∴t＝综上所述：当t＝s或s时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的四个顶点坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（4，﹣1）、C（4，1），D（﹣1，1）．函数y＝（m为常数）．（1）当此函数的图象经过点D时，求此函数的表达式．（2）在（1）的条件下，当﹣2≤x≤2时，求函数值y的取值范围．（3）当此函数的图象与矩形ABCD的边有两个交点时，直接写出m的取值范围．（4）记此函数在m﹣1≤x≤m+1范围内的纵坐标为y0，若存在1≤y0≤2时，直接写出m的取值范围．【分析】（1）根据矩形的性质结合平面直角坐标系先确定点D的坐标，再判断出经过点D的函数，代入点D的坐标求出m的值即可；（2）当﹣2≤x≤2时分﹣2≤x＜和≤x≤2两种情况，结合函数图象进一步确定函数的取值范围；（3）首先确定当x＜m时，y有最小值为﹣（x﹣m）2+3，再根据m的不同取值，结合图象与矩形的边的交点个数确定m的取值范围；（4）根据x的不同取值，分别得到关于m的不等式（组），求解不等式（组）即可．解：（1）由题意得，点D的坐标为（﹣1，1），当x＝﹣1时，y＝，∴函数的图象不经过点D，∴函数y＝x2﹣2mx+2m+2（x＜m）的图象经过点D，∴（﹣1）2﹣2m×（﹣1）+2m+2＝1，解得，，∴；（2）由（1）可知，当﹣2≤x≤2时，分段讨论：①当﹣2≤x＜时，y＝x2+x+1，该二次函数的对称轴为直线x＝﹣，且开口向上，如图，∴当﹣2≤x＜时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y取最大值，最大值＝4﹣2+1＝3；当x＝﹣时（取不到），y最小值＝；所以，＜y≤3；②当﹣≤x≤2时，，二次函数的对称轴为x＝2，开口向下，如图所示，∴﹣≤x≤2时，y随x的增大而增大，当x＝﹣时，y最小值＝﹣，当x＝2时，y最大值是1，∴．综上，当﹣2≤x＜时，＜y≤3；当﹣≤x≤2时，；∴y的取值范围是：；（3）过点E（0，﹣1），F（2，1），B（4，﹣1）三点，＝（x﹣m）2﹣（m﹣1）+3恒过（1，3），对称轴为直线x＝m，在x＜m时，y随x的增大而减小，y有最小值，最小值＝m2﹣2m2+2m+2＝﹣（m﹣1）2+3．①若m≤0，x≥0时，则y1与矩形的边有3个交点，不符合题意；②若0＜m≤2时，y1与矩形的边有F、B两个交点，即y2与矩形的边无交点，∴y最小值≥1，∴﹣（m﹣1）2+3≥1，解得，，即：0＜m≤2；③若2＜m≤4，x≥m时，y1与矩形的边的交点只有B，∴y2有且只有一个交点，∴﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得，﹣1≤﹣（m﹣1）2+3＜1，解得：或，∴，④若m＞4，y1与矩形的边无交点，则y2与矩形的边有两个交点，即：当x＝4时，y2＜1，有两个交点，即16﹣8m+2m+2＜1，∴m＞，∴m＞4，综上，m的取值范围是：0＜m≤2或或m＞4；（4）①当m≤x≤m+1时，，若存在1≤y0≤2，仅有y0＝1，即x＝2时，y1＝1，∴m≤2≤m+1，∴1≤m≤2；②当m﹣1≤x ＜m时，，若存在1≤y 0≤2，则，即满足最小值小于2，最大值大于等于1即可，∴，∴或；综合①、②得：或．。
2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷 (含解析)
2020年吉林省长春市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.利用数轴，比较1，√2，−1.5，−√5，|−π|，√2−1的大小正确的是()2A. −√5<−1.5<√2−1<1<√2<|−π|2B. −1.5<−√5<1<√2−1<√2<|−π|2C. −√5<−1.5<√2−1<√2<1<|−π|2D. −√5<−1.5<1<√2−1<|−π|<√222.某水利枢纽工程于2014年9月25日竣工，该工程设计的年发电量为32.25亿度，32.25亿这个数用科学记数法表示为()A. 32.25×108B. 3.225×109C. 322.5×107D. 3225×1063.下图是由4个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是()A.B.C.D.4.下列计算结果正确的是()A. 3a−(−a)=2aB. a3⋅(−a)2=a5C. a5÷a=aD. (−a2)3=a65.“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、物价各几何？”这是我国古代名著九章算术中记载的古典名题，其题意是：有若干人一起买鸡.如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？若设买鸡的人数为x人，则列方程正确的是()A. 9x+11=6x+16B. 9x+11=6x−16C. 9x−11=6x+16D. 9x−11=6x−166.某校八年级生物兴趣小组租两艘快艇去微山湖生物考察，他们从同一码头出发，第一艘快艇沿北偏西70°方向航行50千米，第二艘快艇沿南偏西20°方向航行50千米，如果此时第一艘快艇不动，第二艘快艇向第一艘快艇靠拢，那么第二艘快艇航行的方向和距离分别是()A. 南偏东25°，50√2千米B. 北偏西25°，50√2千米C. 南偏东70°，100千米D. 北偏西20°，100千米7.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C(x>0)的图象上，则△OAB的面积等于()在反比例函数y=2xA. 2B. 3C. 4D. 68.用直尺和圆规作一个直角三角形斜边上的高，作图错误的是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.√2+√18=______．10.一件商品的原价为a元，提高50%后标价，再按标价打七折销售，则此时售价为______元．11.如图，直线AB//EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF=度．12.点A(−1,y1)，B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1−y2 ___0(填“>”或“<”).13.如图，从边长为(a+2)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a−1)cm的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该长方形的周长是___________cm．x2，当水位上涨14.在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y=−13 1m时，水面宽CD为2√6m，则桥下的水面宽AB为______m．三、解答题（本大题共10小题，共78.0分）15.先化简，再求值：(2a+1)2−4a(a−1)，其中a=1．816.将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中．甲袋中有3个球，分别标有数字2，3，4；乙袋中有2个球，分别标有数字2，4.从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球．(1)用列表法或画树状图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率．(2)摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？17.六⋅一前夕某幼儿园园长到厂家选购A、B两种品牌的儿童服装每套A品牌服装进价比B品牌服装每套进价多25元，用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍，求A、B两种品牌服装每套进价分别为多少元？18.如图，PC是⊙O的直径，PA切⊙O于点P，OA交⊙O于点B，连结BC.已知⊙O的半径为2，∠C=35°(1)求∠A的度数．(2)求BC⏜的长．19.某校七、八年级各有学生400人，为了解这两个年级普及安全教育的情况，进行了抽样调查，过程如下：选择样本，收集数据从七、八年级各随机抽取20名学生，进行安全教育考试，测试成绩(百分制)如下：七年级 85 79 89 83 89 98 68 89 79 5999 87 85 89 97 86 89 90 89 77八年级 71 94 87 92 55 94 98 78 86 9462 99 94 51 88 97 94 98 85 91分组整理，描述数据(1)按如下频数分布直方图整理、描述这两组样本数据，请补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图；分析数据，计算填空(2)两组样本数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表所示，请补充完整；年级平均数中位数众数优秀率七年级85.3888920%八年级85.4______ ______ ______ 得出结论，说明理由．(3)估计八年级成绩优秀的学生人数约为______人．(4)整体成绩较好的年级为______，理由为______(至少从两个不同的角度说明合理性)．20.如图，在正方形网格上有一个△ABC，A、B、C均为小正方形的顶点．(1)画△ABC关于直线a的对称图形(不写画法)；(2)若网格上的每个小正方形的边长为1，求所画出的对称图形的面积．21.如图①所示，空圆柱形容器内放着一个实心的“柱锥体”(由一个圆柱和一个同底面的圆锥组成的几何体).现向这个容器内匀速注水，水流速度为5cm3/s，注满为止．已知整个注水过程中，水面高度ℎ(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请你根据图中信息，解答下列问题：(1)圆柱形容器的高为______ cm，“柱锥体”中圆锥体的高为______ cm；(2)分别求出圆柱形容器的底面积与“柱锥体”的底面积．22.如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG//CD交AF于点G，连接DG．(1)求证：四边形EFDG是菱形；AF⋅GF；(2)求证：EG2=12(3)若AG=6，EG=2√5，求BE的长．23.如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且EF=DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC，(1)求证：△AEG是等腰直角三角形；(2)求证：AG+CG=√2DG．24.已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点，且对称轴为直线x=4.设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外)，以每秒√2个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N.将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN.在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．求S 关于t的函数关系式．【答案与解析】1.答案：A解析：[分析]利用绝对值的性质化简，再在数轴上表示出各数所在的位置，即可得出答案．[详解]解：|−π|=π，如图示，所以．故选A．[点评]此题主要考查了实数与数轴、实数的大小比较以及绝对值的性质，在数轴上正确表示出各数是解题关键．2.答案：B解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．解：将32.25亿这用科学记数法表示为：3.225×109．故选：B．3.答案：B解析：本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．解析：解：从正面看下层是三个小正方形，上层右边一个小正方形，故选B．4.答案：B解析：本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项．利用同底数幂乘法，除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则计算即可．解：A.3a−(−a)=4a，故A错误；B.a3⋅(−a)2=a5，故B正确；C.a5÷a=a4，故C错误；D.(−a2)3=−a6，故D错误．故选B．5.答案：C解析：本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设买鸡的人数为x人，根据鸡的价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．解：设买鸡的人数为x人，根据题意得：9x−11=6x+16．故选C．6.答案：B解析：解：∵第一艘快艇沿北偏西70°方向，第二艘快艇沿南偏西20°方向，∴∠BOA=90°，∵BO=AO=50km，∴AB=50√2km，∠B=∠OAB=45°，∵第二艘快艇沿南偏西20°方向，∴∠1=∠CAO=20°，∴∠2=45°−20°=25°，∴第二艘快艇航行的方向和距离分别是：北偏西25°，50√2千米．故选：B．根据题意得出AO=BO以及∠BOA=90°，进而得出第二艘快艇航行的方向和距离．此题主要考查了方向角以及勾股定理，正确把握方向角的定义是解题关键．7.答案：B解析：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，求得BD，OA的长是解题关键．过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD//CE，得出∴CEBD =AEAD=ACAB，设CE=x，则BD=2x，根据反比例函数的解析式表示出OD=1x，OE=2x，OA=3x，然后根据三角形面积公式求解即可．解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD//CE，∴CEBD =AEAD=ACAB，∵OC是△OAB的中线，∴CEBD =AEAD=ACAB=12，设CE=x，则BD=2x，∴C的横坐标为2x ，B的横坐标为1x，∴OD=1x ，OE=2x，∴DE=OE−OD=1x，∴AE=DE=1x，∴OA=OE+AE=3x，∴S△OAB=12OA⋅BD=12×3x×2x=3．故选：B．8.答案：B解析：本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)．根据基本作图对A、B、D进行判断；根据圆周角定理对C进行判断．解：A选项通过作线段的垂直平分线得到斜边上的高，C选项通过作90度的圆周角得到斜边上的高，D选项通过画图得到菱形，即可得到斜边上的高，B选项无法保证斜边所对的顶点在所画线段的垂直平分线上，故选：B．9.答案：4√2解析：解：原式=√2+3√2=4√2．故答案为：4√2．首先化简二次根式，进而计算得出答案．此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．10.答案：1.05a解析：解：由题意得标价为(1+50%)a=1.5a元，则实际售价为1.5a×0.7=1.05a元．故答案为：1.05a．一件商品的原价为a元，提高50%后标价，则标价为(1+50%)a=1.5a元，再用标价×0.7即可求出实际售价．此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量之间的关系．11.答案：120解析：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，正确掌握平行线的性质是解题关键．直接延长FE交DC于点N，利用平行线的性质得出∠BCD=∠DNF=95°，再利用三角形内角和定理及平角的定义得出答案．解：延长FE交DC于点N，∵直线AB//EF，∴∠BCD=∠DNF=95°，∵∠CDE=25°，∴∠DEN=180°−95°−25°=60°，∴∠DEF=180°−60°=120°．故答案为120．12.答案：>解析：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，主要利用了一次函数的增减性．根据k<0可知，一次函数的函数值y随x的增大而减小．解：∵直线y=kx+b的k<0，∴函数值y随x的增大而减小，∵点A(−1,y1)，B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，∵−1<3，∴y1>y2，∴y1−y2>0．故答案为>．13.答案：4a+8解析：此题考查图形的剪拼，整式的运算，正确使用完全平方公式是解决问题的关键．矩形的长就是边长是a+2的正方形与边长是a−1的正方形的边长的和，矩形的宽就是边长是a+2的正方形与边长是a−1的正方形的边长的差，列出代数式进行化简即可．解：由题意得矩形的长为a+2+a−1=(2a+1)cm，矩形的宽为a+2−(a−1)=3cm，所以矩形的周长=2【(2a+1)+3】=(4a+8)cm，故答案为(4a+8)．14.答案：6解析：本题考查点二次函数的实际应用，解题的关键是要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．由x2，可以求二次函数图象的对称性可知D点的横坐标为√6，把x=√6代入二次函数关系式y=−13x2，即可求出B的横坐标，出对应的纵坐标，进而求出点B的纵坐标，再把B的纵坐标代入y=−13即AB长度的一半．解：∵水面宽CD为2√6m，y轴是对称轴，∴D点的横坐标为√6，×(√6)2=−2，∴D的纵坐标为y=−13∵水位上涨1m时，水面宽CD为2√6m，∴B的纵坐标为−2−1=−3，x2得：把x=−3代入解析式y=−13×(−3)2=−3，∴B的横坐标为y=−13∴桥下的水面宽AB为3×2=6米，故答案为6．15.答案：解：原式=4a2+4a+1−4a2+4a=8a+1，当a=18时，原式=8a+1=2．解析：直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案．此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．16.答案：解：(1)或甲袋和乙袋23424564678摸出的两个球上数字之和为5的概率为16．(2)从表看，摸出的两个球上数字之和为6时概率最大．解析：依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能和达到某种效果的可能，然后根据概率公式求出该事件的概率．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17.答案：解：设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为(x−25)元，由题意得：2000x =2×750x−25解得：x=100，经检验：x=100是原分式方程的解，x−25=100−25=75，答：A、B两种品牌服装每套进价分别为100元、75元；解析：本题考查了分式方程组的应用，弄清题意，表示出A、B两种品牌服装每套进价，根据购进的服装的数量关系列出分式方程，求出进价是解决问题的关键．首先设A品牌服装每套进价为x元，则B品牌服装每套进价为(x−25)元，根据关键语句“用2000元购进A种服装数量是用750元购进B种服装数量的2倍．”列出方程，解方程即可．18.答案：解：(1)由圆周角定理得，∠AOP=2∠C=70°∵PA切⊙O于点P，∴∠APO=90°，∴∠A=20°；(2)∠BOC=180°−∠AOP=110°，∴BC⏜=110π×2180=119π.解析：(1)根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质计算，得到答案；(2)根据弧长公式计算即可．本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．19.答案：解：(1)补全八年级20名学生安全教育频数分布直方图如图所示，(2)91.5，94，55%；(3)220；(4)八年级八年级的中位数和优秀率都高于七年级．解析：解：(1)见答案(2)八年级20名学生安全教育考试成绩按从小到大的顺序排列为：51 55 62 71 78 85 86 87 88 91 92 94 94 94 94 94 97 98 98 99∴中位数=91+922=91.5分；∵94分出现的次数最多，故众数为94分；优秀率为：1120×100%=55%，故答案为：91.5，94，55%；(3)400×55%=220(人)，答：八年级成绩优秀的学生人数约为220人；故答案为：220；(4)整体成绩较好的年级为八年级，理由为八年级的中位数和优秀率都高于七年级．故答案为：八年级，八年级的中位数和优秀率都高于七年级．(1)由收集的数据即可得；根据题意补全频数分布直方图即可；(2)根据众数和中位数和优秀率的定义求解可得；(3)根据题意列式计算即可；(4)八年级的中位数和优秀率都高于七年级即可得结论．本题考查了频数分布直方图，平均数，中位数，众数的定义，正确的理解题意是解题的关键．20.答案：解：(1)如图所示，△DEF即为所求；(2)由图可得，S=4×2−12×2×1−12×3×1−12×4×1=3.5解析：(1)依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线a的对称图形；(2)利用割补法，即可得到所画出的对称图形的面积．此题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及三角形面积求法，利用结合网格解题是关键．21.答案：解：(1)12；3；(2)设圆柱形容器的底面积为S，则S(12−8)=(42−26)×5，解得，S=20，设“柱锥体”的底面积为S柱锥，×5=20×5−15×5，S柱锥解得，S柱锥=5，即圆柱形容器的底面积是20cm2，“柱锥体”的底面积是5cm2．解析：本题考查一次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．(1)根据函数图象可以直接得到圆柱形容器的高和“柱锥体”中圆锥体的高；(2)根据题意和函数图象可以求得圆柱形容器的底面积与“柱锥体”的底面积．解：(1)由题意和函数图象可得，圆柱容器的高为12cm，“柱锥体”中圆锥体的高为：8−5=3cm，故答案为12；3；(2)见答案．22.答案：解：(1)证明：∵GE//DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．(2)证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=12GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴DFAF =FODF，即DF2=FO⋅AF．∵FO=12GF，DF=EG，∴EG2=12GF⋅AF．(3)如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=12GF⋅AF，AG=6，EG=2√5，∴20=12FG(FG+6)，整理得：FG2+6FG−40=0．解得：FG=4，FG=−10(舍去)．∵DF=GE=2√5，AF=10，∴AD=√AF2−DF2=4√5．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH//AD．∴△FGH∽△FAD．∴GHAD =FGAF，即4√5=410．∴GH=8√55．∴BE=AD−GH=4√5−8√55=12√55．解析：本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO⋅AF 是解题答问题(2)的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题(3)的关键．(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；(2)连接DE，交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=12GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO⋅AF，于是可得到结果；(3)过点G作GH⊥DC，垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE= AD−GH求解即可．23.答案：(1)证明：∵DE=EF，AE⊥DP，∴AF=AD，∴∠AFD=∠ADF，∵∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°，∴∠AFD=∠PAE，∵AG平分∠BAF，∴∠FAG=∠GAP，∵∠AFD+∠FAE=90°，∴∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°，∴2∠GAP+2∠PAE=90°，即∠GAE=45°，∴△AGE为等腰直角三角形；(2)证明：作CH⊥DP，交DP于H点，∴∠DHC=90°，∵AE⊥DP，∴∠AED=90°，∴∠AED=∠DHC，∵∠ADE+∠CDH=90°，∠CDH+∠DCH=90°，∴∠ADE=∠DCH，∵在△ADE和△DCH中，{∠AED=∠DHC ∠ADE=∠DCH AD=DC∴△ADE≌△DCH(AAS)，∴CH=DE，DH=AE=EG．∴EH+EG=EH+HD，即GH=ED，∴GH=CH，∴CG=√2GH，∵AG=√2EG，∴AG=√2DH，∴CG+AG=√2GH+√2HD，∴CG+AG=√2(GH+HD)，即CG+AG=√2DG．解析：本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．(1)根据线段垂直平分线的定义得到AF=AD，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；(2)作CH⊥DP，交DP于H点，证明△ADE≌△DCH(AAS)，得到CH=DE，DH=AE=EG，证明CG=√2GH，AG=√2DH，计算即可．24.答案：方法一：解：(1)设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c由题意得{−b 2a =4c =124a +2b +c =0，解得{a =1b =−8c =12，∴二次函数的解析式为y =x 2−8x +12，点P 的坐标为(4,−4)；(2)存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形．理由如下：当y =0时，x 2−8x +12=0，∴x 1=2，x 2=6，∴点B 的坐标为(6,0)，设直线BP 的解析式为y =kx +m则{6k +m =04k +m =−4，解得{k =2m =−12∴直线BP 的解析式为y =2x −12∴直线OD//BP ，∵顶点坐标P(4,−4)，∴OP =4√2设D(x,2x)则BD 2=(2x)2+(6−x)2当BD =OP 时，(2x)2+(6−x)2=32，解得：x 1=25，x 2=2，当x 2=2时，OD =BP =2√5，四边形OPBD 为平行四边形，舍去，∴当x =25时四边形OPBD 为等腰梯形，∴当D(25,45)时，四边形OPBD 为等腰梯形；(3)①当0<t ≤2时，∵运动速度为每秒√2个单位长度，运动时间为t 秒，则MP =√2t ，∴PH =t ，MH =t ，HN =12(4−t)，∴MN =MH +HN =2+12t ， ∴S =34t 2； ②当2<t <4时，P 1G =2t −4，P 1H =t ，∵MN//OB∴△P 1EF∽△P 1MN ，∴S △P 1EF S△P 1MN =(P 1G P 1H )2， ∴S △P 1EF34t 2=(2t−4t)2， ∴S △P 1EF =3t 2−12t +12，∴S =34t 2−(3t 2−12t +12)=−94t 2+12t −12， ∴当0<t ≤2时，S =34t 2，当2<t <4时，S =−94t 2+12t −12．方法二：(1)略．(2)设D(t,2t)，O(0,0)，P(4,−4)，B(6,0)，∴K BP =0+46−4=2，K OD =2t−0t−0=2，∴K BP =K OD ，∴BP//OD ，∵四边形OPBD 为等腰梯形，∴DB =OP ，(t −6)2+(2t −0)2=(4−0)2+(−4−0)2，∴t 1=2(舍)，t 2=25，∴D(25,45).(3)O(0,0)，P(4,−4)，∴l OP ：y =−x ，∴M(4−t,t −4)，∵B(6,0)，∴l BP ：y =2x −12，∴N(t+82,t−4)，①当0<t≤2时，S=12MN(N Y−P Y)=12(t+82−4+t)(t−4+4)=34t2，②当2<t<4时，∵△PMN与△P′MN关于MN对称，∴K MP′+K MP=0，K NP′+K NP=0，∴l MP′：y=x+2t−8，l NP′：y=−2x+2t+4，∴D(8−2t,0)，C(t+2,0)，∴S=12(CD+MN)|M Y|=12(t+2−8+2t+t+82−4+t)(4−t)=−94t2+12t−12．解析：(1)利用对称轴公式，A、C两点坐标，列方程组求a、b、c的值即可；(2)存在．由(1)可求直线PB解析式为y=2x−12，可知PB//OD，利用BD=PO，列方程求解，注意排除平行四边形的情形；(3)由P(4,−4)可知直线OP解析式为y=−x，当P1落在x轴上时，M、N的纵坐标为−2，此时t=2，按照0<t≤2，2<t<4两种情形，分别表示重合部分面积．本题考查了二次函数的综合运用．求出二次函数解析式，研究二次函数的顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．。
2020-2021学年吉林省长春市中考数学第一次模拟试题及答案解析
吉林省长春市最新中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．2．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．0.11×107C．1.1×106 D．1.1×1053．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A． B． C． D．4．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（）A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤15．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点E，F，EG⊥EF，与∠EFC的平分线FG交于点G．若∠EFG=25°，则∠AEG的大小为（）A．30° B．40° C．50°D．60°6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∠ABO=30°，若顶点B在第一象限，则点B的坐标为（）A．（1，1） B．（，）C．（，） D．（2，2）7．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为（）A．20° B．40° C．50°D．60°8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，若点C的坐标为（4，3），则k的值为（）A．12 B．20 C．24 D．32二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．分解因式：x2﹣4=______．10．某种电视机每台定价为m元，商店在节日期间搞促销活动，这种电视机每台降价20%，促销期间这种电视机每台的实际售价为______元．（用含m的代数式表示）11．一元二次方程3x2+5x+1=0______实数根．（填“有”或“没有”）12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=65°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交边AB于点D，则∠BCD的大小为______度．13．如图，在⊙O中，AB是弦，过点A的切线交BO的延长线于点C，若⊙O的半径为3，∠C=20°，则的长为______．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为______．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．16．一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率．17．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？18．如图，延长▱ABCD的边AB到点E，使BE=BC，延长CD到点F，使DF=DA，连结AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．19．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O顺时针旋转35°到OA′处，此时点A′到OA的距离为线段A′B的长，求调整后点A′比调整前点A降低的高度AB．（结果取整数）【参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70】20．在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（1）这次调查获取的样本数据的众数是______元；（2）这次调查获取的样本数据的中位数是______元；（3）根据样本数据，估计该校1200名学生中本学期计划购买课外书花费50元的学生人数．21．甲、乙两人从学校出发沿同一路线步行到距学校1500米处的图书馆看书，甲与乙在行进过程中以各自的速度匀速行走，甲比乙先出发5分钟，乙比甲先到达图书馆，甲、乙两人间的距离y（米）与甲的行走时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）求甲、乙两人行走的速度；（2）当乙到达图书馆时，求甲、乙两人间的距离；（3）求线段BC所在直线对应的函数表达式．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．（1）若AD平分∠BAC，求证：EF=CF．（2）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．（3）在（2）的条件下，若∠BAC=45°，AD=6，直接写出C，E两点间的距离．23．（10分）（2016•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD 的顶点A在直线y=2x+4上，点B在第二象限，C，D两点均在x轴上，且点C在点D的左侧，抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，且这条抛物线交y轴于点E．（1）写出A，C两点的坐标；（2）当抛物线y=﹣（x﹣m）2+n经过点C时，求抛物线所对应的函数表达式；（3）当点E在AC所在直线上时，求m的值；（4）当点E在x轴上方时，连接CE，DE，当△CDE的面积随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．24．（12分）（2016•宽城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点B 出发以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，点P不与点B重合，以BP为边在BC上方作正方形BPEF，设正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P 的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示线段PC的长；（2）当点E落在线段AC上时，求t的值；（3）在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式；（4）设边BC的中点为O，点C关于点P的对称点为C′，以OC′为边在BC上方作正方形OC′MN，当正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时，直接写出t的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．﹣6的相反数是（）A．6 B．﹣6 C．D．【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义，即可解答．【解答】解：﹣6的相反数是6，故选：A．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．2．地球绕太阳每小时转动经过的路程约为110000米，将110000用科学记数法表示为（）A．11×104B．0.11×107C．1.1×106 D．1.1×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：110000=1.1×105，故选：D．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据俯视图是从上边看得到的图形，可得答案．【解答】解：从上边看从上边看第一层是一个小正方形，第二层是第一层正上一个小正方形，右边一个小正方形，故选：D．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上边看得到的图形．4．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（）A．﹣2＜x＜1 B．﹣2＜x≤1 C．﹣2≤x＜1 D．﹣2≤x≤1【考点】在数轴上表示不等式的解集．【分析】根据不等式解集的表示方法即可判断．【解答】解：该不等式组的解集是：﹣2≤x＜1．故选C．【点评】本题考查了不等式组的解集的表示，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．5．如图，AB∥CD，EF与AB，CD分别交于点E，F，EG⊥EF，与∠EFC的平分线FG交于点G．若∠EFG=25°，则∠AEG的大小为（）A．30° B．40° C．50°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先根据角平分线的性质求出∠EFC的度数，再由平行线的性质得出∠AEF的度数，根据EG⊥EF得出∠GEF=90°，进而可得出结论．【解答】解：∵FG是∠EFC的平分线，∠EFG=25°，∴∠EFC=2∠EFG=50°．∵AB∥CD，∴∠AEF=180°﹣∠EFC=180°﹣50°=130°．∵EG⊥EF，∴∠GEF=90°，∴∠AEG=∠AEF﹣∠GEF=130°﹣90°=40°．故选B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．6．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的直角顶点与原点O重合，顶点A的坐标为（﹣1，1），∠ABO=30°，若顶点B在第一象限，则点B的坐标为（）A．（1，1） B．（，）C．（，） D．（2，2）【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质．【分析】根据勾股定理得到OA==，解直角三角形得到OB=，过B作BC ⊥x轴于C，根据等腰直角三角形的性质得到OC=BC，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵A的坐标为（﹣1，1），∴OA==，∵Rt△AOB，∠ABO=30°，∴=tan30°，∴OB=，过B作BC⊥x轴于C，∵A的坐标为（﹣1，1），∴x轴负半轴与OA的夹角为45°，∵∠AOB=90°，∴∠BOC=45°，∴OC=BC，∴2OC2=OB2=（）2=6，OC=BC=，∴B的坐标为（，），故选C．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．7．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD=40°，则∠ABD的大小为（）A．20° B．40° C．50°D．60°【考点】圆周角定理．【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠BCD=40°，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°﹣40°=50°．故选C．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，若点C的坐标为（4，3），则k的值为（）A．12 B．20 C．24 D．32【考点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】延长BC交x轴于D，则BD⊥OD，根据菱形的性质以及勾股定理得出BC=OC=OA=5，即可得出B点坐标，进而求出k的值即可．【解答】解：延长BC交x轴于D，如图所示：则BD⊥OD，∵C的坐标为（4，3），∴OD=4，CD=3，∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OA=OC=5，∴BD=5+3=8，∴点B的坐标为（4，8），把B（4，8）代入函数y=（x＞0）得：k=4×8=32；故选：D．【点评】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理和反比例函数图象上点的坐标性质；得出B 点坐标是解题关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．分解因式：x2﹣4= （x+2）（x﹣2）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．故答案为：（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反．10．某种电视机每台定价为m元，商店在节日期间搞促销活动，这种电视机每台降价20%，促销期间这种电视机每台的实际售价为0.8m 元．（用含m的代数式表示）【考点】列代数式．【分析】用原售价减去降低的价格得出实际售价即可．【解答】解：∵电视机每台定价为m元，每台降价20%，∴每台降价20%m元，则电视机每台的实际售价为：m﹣20%m=0.8m元．故答案为：0.8m．【点评】此题考查列代数式，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．11．一元二次方程3x2+5x+1=0 有实数根．（填“有”或“没有”）【考点】根的判别式．【分析】根据方程计算出△=b2﹣4ac的值，即可知方程根的情况．【解答】解：∵b2﹣4ac=52﹣4×3×1=13＞0，∴方程有两个不相等实数根，故答案为：有．【点评】此题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根是本题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=65°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交边AB于点D，则∠BCD的大小为40 度．【考点】等腰三角形的性质．【分析】先求出∠ACD的度数，根据∠BCD=90°﹣∠ACD即可解决问题．【解答】解：∵CA=CD，∴∠A=∠CDA=65°，∴∠ACD=180°﹣∠A﹣∠ADC=180°﹣65°﹣65°=50°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=40°，故答案为40【点评】本题考查等腰三角形的性质．直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．13．如图，在⊙O中，AB是弦，过点A的切线交BO的延长线于点C，若⊙O的半径为3，∠C=20°，则的长为．【考点】切线的性质；弧长的计算．【分析】由AC是⊙O的切线推出OA⊥AC，由∠C=20°，得到∠COA=70°，进而推出圆心角∠AOB=110°，代入弧长公式即可得到结论．【解答】解：连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴OA⊥AC，∵∠C=20°，∴∠COA=70°，∴∠AOB=110°，∴的长为=π．故答案为π．【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，弧长公式，本题关键是求得圆心角∠AOB的度数．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为（1，）．【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的解析式求得A（0，2）和对称轴x=1，进而求得B的坐标，然后根据待定系数法求得直线AB的解析式，把x=1代入即可求得．【解答】解：由抛物线y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1可知A（0，2），对称轴为x=1，∴OA=2，∵OB=2OA，∴B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB为y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴C（1，）．【点评】本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求一次函数的解析式，利用抛物线的解析式求A的坐标和对称轴是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】原式利用单项式乘以多项式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2﹣2ab+a2+2ab+b2=2a2+b2，当a=﹣1，b=时，原式=2+2=4．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．一个不透明的口袋中有3个小球，上面分别标有数字1，2，3，每个小球除数字外其他都相同，甲先从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回；乙再从口袋中随机摸出一个小球记下数字，用画树状图（或列表）的方法，求摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个小球上的数字之和为偶数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，摸出的两个小球上的数字之和为偶数的有5种情况，∴摸出的两个小球上的数字之和为偶数的概率为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】可设第二批鲜花每盒的进价是x元，根据等量关系：第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，列出方程求解即可．【解答】解：设第二批鲜花每盒的进价是x元，依题意有=×，解得x=150，经检验：x=150是原方程的解．故第二批鲜花每盒的进价是150元．【点评】考查了分式方程的应用，列方程解应用题的关键是正确确定题目中的相等关系，根据相等关系确定所设的未知数，列方程．18．如图，延长▱ABCD的边AB到点E，使BE=BC，延长CD到点F，使DF=DA，连结AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．【考点】平行四边形的判定与性质．【分析】根据平行四边形性质得出AB∥CD，且AB=CD，AD=BC，推出CF∥AE，AE=CF，根据平行四边形的判定推出即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，且AB=CD，AD=BC，∴CF∥AE，∵BE=BC，DF=DA，∴BE=DF，∴AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．19．如图，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O顺时针旋转35°到OA′处，此时点A′到OA的距离为线段A′B的长，求调整后点A′比调整前点A降低的高度AB．（结果取整数）【参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70】【考点】解直角三角形的应用．【分析】作A′B⊥AO于B，通过解余弦函数求得OB，然后根据AB=OA﹣OB求得即可．【解答】解：如图，根据题意OA=OA′=80cm，∠AOA′=35°，作A′B⊥AO于B，∴OB=OA′•cos35°=80×0.82≈65.6，∴AB=OA﹣OB=80﹣65.6=14cm．答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了14厘米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．20．在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：（1）这次调查获取的样本数据的众数是30 元；（2）这次调查获取的样本数据的中位数是50 元；（3）根据样本数据，估计该校1200名学生中本学期计划购买课外书花费50元的学生人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；中位数；众数．【分析】（1）众数就是出现次数最多的数，据此即可判断；（2）中位数就是大小处于中间位置的数，根据定义判断；（3）求得调查的总人数，然后利用1200乘以本学期计划购买课外书花费50元的学生所占的比例即可求解．【解答】解：（1）这组数据中30元出现次数最多，故众数是：30元；（2）40个数据中位数是第20个数据50元与第21个数据50元的平均数，故中位数是：50元；（3）调查的总人数是：6+12+10+8+4=40（人），×1200=300（人）．答：该校1200名学生中本学期计划购买课外书花费50元的学生人数约为300人．故答案为：（1）30；（2）50．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．甲、乙两人从学校出发沿同一路线步行到距学校1500米处的图书馆看书，甲与乙在行进过程中以各自的速度匀速行走，甲比乙先出发5分钟，乙比甲先到达图书馆，甲、乙两人间的距离y（米）与甲的行走时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）求甲、乙两人行走的速度；（2）当乙到达图书馆时，求甲、乙两人间的距离；（3）求线段BC所在直线对应的函数表达式．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据速度=，即可解决问题．（2）用总路程减去甲走的路程即可．（3）设解析式为y=kx+b，把C、B两点代入即可．【解答】解：（1）V甲==30（米/分），V乙==50米/分．（2）1500﹣30×35=450米．则当乙到达图书馆时，甲、乙两人间的距离为350米．（3）设线段BC所在直线对应的函数表达式为y=kx+b．由题意点B坐标（12.5，0），将（12.5，0），（35，450）代入y=kx+b得，解得，故线段BC所在直线对应的函数表达式为y=20x﹣250．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握路程、速度、时间的关系，学会用待定系数法确定函数解析式，属于中考常考题型．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边BC上一点，DE⊥AB于点E，点F是线段AD上一点，连接EF，CF．（1）若AD平分∠BAC，求证：EF=CF．（2）若点F是线段AD的中点，试猜想线段EF与CF的大小关系，并加以证明．（3）在（2）的条件下，若∠BAC=45°，AD=6，直接写出C，E两点间的距离．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）先证明Rt△AED≌Rt△ACD，得到∠ADE=∠ADC，再证明△EDF≌△CDF，根据全等三角形的对应边相等即可解答；（2）根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，即可解答；（3）根据∠AED=90°，∠ACD=90°，可得点A，E，D，C四点共圆，所以求出∠EFC=2∠BAC=90°，由（2）可知，EF=CF=AD=3，再根据勾股定理，即可解答．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠ACB=90°，DE⊥AB于点E，∴DE=DC，在Rt△AED和Rt△ACD中，∴Rt△AED≌Rt△ACD，∴∠ADE=∠ADC，在△EDF和△CDF中，∴△EDF≌△CDF，∴EF=CF．（2）EF=CF，在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是线段AD的中点，∴EF=AD，CF=AD，∴EF=CF．（3）连接CE，如图，∵∠AED=90°，∠ACD=90°，∴点A，E，D，C四点共圆，∴AD为圆的直径，∵点F是线段AD的中点，∴点F为圆心，∴∠EFC=2∠BAC=90°，由（2）可知，EF=CF=AD=3，∴CE=．【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明三角形全等．23．（10分）（2016•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形ABCD 的顶点A在直线y=2x+4上，点B在第二象限，C，D两点均在x轴上，且点C在点D的左侧，抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，且这条抛物线交y轴于点E．（1）写出A，C两点的坐标；（2）当抛物线y=﹣（x﹣m）2+n经过点C时，求抛物线所对应的函数表达式；（3）当点E在AC所在直线上时，求m的值；（4）当点E在x轴上方时，连接CE，DE，当△CDE的面积随m的增大而增大时，直接写出m的取值范围．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由正方形的边长为1可求得点A的纵坐标，将点A的纵坐标代入代入y=2x+4可求得点A的横坐标，由点A的坐标可求得点C的坐标；（2）由抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，可得到n=2m+4．再将点C的坐标代入抛物线的解析式可求得m、n的值，从而可求得抛物线的解析式；（3）由n与m的关系可将抛物线的解析式转为y=﹣（x﹣m）2+2m+4．然后将点E的坐标（用含m的式子表示），接下来，在求得AC的解析式，最后将点E的坐标代入AC的解析式可求得m的值；（4）由S△CDE=DC•EO可得到△CDE的面积与m的函数关系式，依据二次函数的增减性和点E在x的上方可求得m的取值范围．【解答】解：（1）∵正方形的边长为1，∴点A的纵坐标为1．∵将y=1代入y=2x+4得：2x+4=1，解得；x=﹣，∴A（﹣，1）．∴D（﹣，0）∵CD=1，∴C（，0）（2）∵抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，∴n=2m+4．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m+4．∵抛物线经过点C（﹣，0），∴（﹣﹣m）2+2m+4=0．解得：m1=m2=﹣．∴n=2×（﹣）+4=1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x+）2+1（y=﹣x2﹣3x﹣）．（3）∵抛物线y=﹣（x﹣m）2+n的顶点P在直线y=2x+4上运动，∴n=2m+4．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m+4．∵将x=0代入得：y=﹣m2+2m+4．∴E（0，﹣m2+2m+4）．设直线AC的解析式为y=kx+b．∵将A（﹣，1、C（，0）代入得：，解得k=1，b=，∴直线AC的解析式为y=x+．∵点E在直线AC上，∴﹣m2+2m+4=．解得：m1=1﹣，m2=1+．（4）S△CDE=DC•EO=﹣m2+m+2，∵m=﹣=1，a=﹣＜0，∴当m≤1时，y随x的增大而增大．令﹣m2+m+2=0，解得：m1=1﹣，m2=1+（舍去）．∵点E在x轴的上方，∴m＞1﹣．∴m的范围是1﹣＜m≤1．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的图形与性质，依据二次函数的增减性确定出m的取值范围是解题的关键．24．（12分）（2016•宽城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点B 出发以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，点P不与点B重合，以BP为边在BC上方作正方形BPEF，设正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P 的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示线段PC的长；（2）当点E落在线段AC上时，求t的值；（3）在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式；（4）设边BC的中点为O，点C关于点P的对称点为C′，以OC′为边在BC上方作正方形OC′MN，当正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时，直接写出t的取值范围．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据PC=BC﹣BP可得出PC长度关于t的表达式，结合PC≥0即可得出t 的取值范围；（2）当点P落在线段AC上时，由正方形的性质可得知EP∥AB，由此得出△CPE∽△CBA，根据相似三角形的相似比即可得出结论；（3）随着点P的运动，按正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的形状不同分情况考虑：①为正方形时，结合（2）结论可得知此时t的取值范围，由正方形的面积公式即可得出S 关于t的函数关系式；②为五边形时，由F点在线段AB上可得出此时t的取值范围，根据S=大三角形面积﹣2个小三角形的面积即可得出S关于t的函数关系式；③为梯形时，t为值域内剩下的部分，根据S=大三角形面积﹣小三角形面积即可得出S关于t的函数关系式；（4）按运动的过程寻找，找出几个临界点，求出此时的t值，结合实际情况即可得出结论．【解答】解：（1）BP=2t，PC=BC﹣BP=8﹣2t，∵，∴0＜t≤4．故PC=﹣2t+8（0＜t≤4）．（2）当点P落在线段AC上时，∵EP∥AB，∴△CPE∽△CBA，∴，即，解得：t=．（3）按P点运动的过程中正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的形状不同分3种情况考虑：①当0＜t≤时，如图1所示．此时S=BP2=（2t）2=4t2；②当＜t≤3时，如图2所示．此时BF=BP=2t，PC=8﹣2t，AF=6﹣2t，∵NP∥AB，FM∥BC，∴△CNP∽△CAB∽△MAF，∴，∴NP=PC=6﹣t，FM=AF=8﹣t．S=BC•AB﹣PC•NP﹣FM•AF=×6×8﹣（8﹣2t）（6﹣t）﹣（8﹣t）（6﹣2t）=﹣+28t﹣24；③当3＜t≤4时，如图3所示．∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CBA，∴，∴PQ=PC=6﹣t．S=BC•AB﹣PC•PQ=×8×6﹣（8﹣2t）（6﹣t）=﹣t2+12t．（4）根据P点的运动，画出正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时的临界点．①当P点开始往右移动时，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形，达到图4所示情况时不再为三角形．此时：OC′=ON，∵点O为线段BC的中点，ON∥AB，∴ON为△CAB的中位线，∴OC′=ON=AB=3，CC′=OC′+OC=3+4=7，∴PC=CC′==8﹣2t，解得：t=．即0＜t＜；②当P点运动到图5所示情况时，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形开始为三角形．此时MC′=CC′=OC′，OC=OC′+CC′=4，∴MC′=，CC′=，∴PC=CC′==8﹣2t，解得：t=；③当P点运动到图6所示情况，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形，P再运动一点时不再为三角形．此时OC′=ON=AB=3，CC′=OC﹣OC′=4﹣3=1，∴PC=CC′==8﹣2t，解得：t=．综上知：当正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时，t的取值范围为0＜t＜和＜t≤．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质、解一元一次方程、一元一次不等式组以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据不等式组找出t的取值范围；（2）找出比例关系；（3）根据重合图形的不同分类讨论；（4）按P点的运动过程寻找临界点．本题属于中档题，难度不小，题中出现大量图形，深刻的体现了数形结合的重要性．。