高中数学 2.4.1函数的零点课时作业 新人教A版必修1
高中数学 2.4.1函数的零点课时作业新人教A版必修1
2．4.1 函数的零点
课时目标
1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.
2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.
3.掌握函数零点的存在性定理．
1．零点的定义：
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即________，则α叫做这个函数的______．
2．二次函数零点的个数：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，有
(1)当Δ＝b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有________零点；
(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有__________的实数根(重根)，这时说二次函数y＝ax2＋bx＋c有____________零点或者说有______零点；
(3)当Δ＝b2－4ac<0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，这时说二次函数y＝ax2＋bx ＋c没有零点．
3．二次函数零点的性质：
(1)当函数的图象通过零点且穿过x轴时，__________________.
(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
(3)任意函数，只要它的图象是不间断的，上述性质同样成立．
一、选择题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无法确定
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法正确的
是( )
A ．若f (a )f (b )>0，不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0
B ．若f (a )f (b )<0，存在且只存在一个实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0
C ．若f (a )f (b )>0，有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0
D ．若f (a )f (b )<0，有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0
3．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2
－ax 的零点是( )
A ．0，－12
B ．0，1
2
C ．0,2
D ．2，－1
2
4．已知f (x )是定义域为R 的奇函数，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个，则f (x )的零点的个数为( )
A ．1 003
B ．1 004
C ．2 006
D ．2 007
5．若二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，则该函数的零点个数为( ) A ．1 B ．2
C ．0
D ．不能确定
6．函数f (x )＝3ax －2a ＋1在[－1,1]上存在一个零点，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥1
5
B ．a ≤1
C ．－1≤a ≤15
D ．a ≥1
5
或a ≤－1
二、填空题
7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有__________个零点，这几个零点的和等于______．
8．已知一次函数f (x )＝2mx ＋4，若在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是________．
9．若函数f (x )＝x 2
＋ax ＋b 的零点是2和－4，则a ＝________，b ＝________. 三、解答题
10．证明：方程x 4
－4x －2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x 的方程mx 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围．
能力提升12．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图像如图所示，则( )
A．b∈(－∞，0) B．b∈(0,1)
C．b∈(1,2) D．b∈(2，＋∞)
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
§2.4 函数与方程 2．4.1 函数的零点
知识梳理
1．f (α)＝0 零点 2.(1)两个不相等 两个 (2)两个相等 一个二重的 二阶 3.(1)函数值符号改变 作业设计
1．C [方程ax 2
＋bx ＋c ＝0中，∵ac <0，∴a ≠0，
∴Δ＝b 2
－4ac >0，
即方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有2个不同实数根， 则对应函数的零点个数为2个．] 2．C [对于选项A ，可能存在根； 对于选项B ，必存在但不一定唯一； 选项D 显然不成立．]
3．A [∵a ≠0,2a ＋b ＝0，
∴b ≠0，a b ＝－1
2
.
令bx 2
－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12
.]
4．D [因为f (x )是奇函数，
则f (0)＝0，且在(0，＋∞)内的零点有1 003个， 所以f (x )在(－∞，0)内的零点有1 003个．
因此f (x )的零点共有1 003＋1 003＋1＝2 007(个)．] 5．B [由f (1)＝0，得a ＋b ＋c ＝0，又a >b >c ，
∴a >0，c <0，∴Δ＝b 2
－4ac >0.]
6．D 7．3 0
解析 ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，
又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f (x )在(－∞，0)上也单调递增，
由f (2)＝－f (－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点， 综上f (x )在R 上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．m ≥1
解析 因为一次函数f (x )在[－2,0]上存在x 0使f (x 0)＝0， 即函数f (x )在[－2,0]内有一个零点， 所以f (－2)f (0)≤0.
即(－4m ＋4)(0＋4)≤0，解得m ≥1. 9．2 －8
解析 ∵2，－4是函数f (x )的零点，∴f (2)＝0，
f (－4)＝0，即⎩⎪⎨
⎪
⎧
2a ＋b ＝－4，－4a ＋b ＝－16，
解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a ＝2
b ＝－8
.
10．证明 设f (x )＝x 4
－4x －2，其图象是连续曲线．
因为f (－1)＝3>0，f (0)＝－2<0，f (2)＝6>0. 所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f (x )＝mx 2
＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14.
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m >0f 4<0或⎩
⎪⎨⎪⎧
m <0
f 4>0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
m >0
26m ＋38<0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m <0
26m ＋38>0，
解得－19
13
<m <0.
12．A [方法一 从图中可以得f (0)＝0，
∴d ＝0，由图可知f (x )有三个零点，故可设函数的解析式是 f (x )＝ax (x －1)(x －2)＝ax 3－3ax 2＋2ax . 当x >2时，f (x )>0，因此a >0， ∵b ＝－3a ∴b <0.
方法二 由f (0)＝0，得d ＝0，又∵f (1)＝0， ∴a ＋b ＋c ＝0①
又∵f (－1)<0，即－a ＋b －c <0② ①＋②得2b <0，∴b <0.]
13．解 设f (x )＝x 2
＋(k －2)x ＋2k －1.
∵方程f (x )＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
f 0>0f 1<0f 2>0
，即⎩⎪⎨⎪
⎧
2k －1>01＋k －2＋2k －1<0
4＋2k －4＋2k －1>0
∴12<k <23.。
11-第五节 函数的应用(二)-课时1 函数的零点与方程的解高中数学必修一人教A版
在区间
1 2
,
2 3
1
2
1
8
= > 0,
2
3
=
1
− ,
27
1 = 0,所以
内至少存在一个零点，且 = 1也是 的零点，综上，
至少有3个零点，C错误； 的零点即方程 3 − 2 + 1 = 0的解，故
两者个数相等，D错误.
9.已知函数 的图象是连续不断的,且, 有如下的对应值表:
1 = 4 + 2 > 0,
正确；函数 的零点是方程 = 0的实数根，是函数 的图象与
轴的交点的横坐标，D正确，C错误.
4.函数 =
A.0
1
e
− lg 的零点个数为( C )
B.1
C.2
【解析】 函数 的零点个数可转化为函数
=
=
1
和
e
1
和
e
= lg 的图象的交点个数.作出
A. 0,1
B. 1,2
C. 2,3
D. 3,4
【解析】 由题意得， 在 0, +∞ 上单调递增.又
1
2
2 = lg 2 − = lg
区间为 2,3 .
2
10
< 0， 3 = lg 3 > 0，所以函数 的零点所在
8.[2024黑龙江双鸭山市一中期末]关于函数 = 3 − 2 + 1的零点，下
少有1个零点，在区间 4,5 内至少有1个零点.综上，函数 在区间[1,6]内
的零点至少有3个.
10.若 < < ,则函数 = − − + ( − )( − ) +
新教材高中数学第4章函数的应用二：函数的零点与方程的解pptx课件新人教A版必修第一册
2
(2)由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10．]
2
• 类型2 确定函数零点所在的区间
2
• 【例2】 (1)函数f (x)＝ln (x＋1)－ 的零点所在的大致区间是(
• A．(3，4)
B．(2，e)
C．(1，2)
)
f (1)·f (2)<0，所以方程的一个根所在区间为(1，2)，故选C．
• 发现规律 判断函数零点所在区间的3个步骤
端点值
• (1)代入：将区间______代入函数求出函数的值．
相乘
• (2)判断：把所得的函数值____，并进行符号判断．
• (3)结论：若符号为__且函数在该区间内是单调函数，则在
故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)．
1
令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝− ．所以函数g(x)的零
3
1
点为0和－ ．
3
• 反思领悟 函数零点的求法
• (1)代数法：求方程f (x)＝0的实数根．
• (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x)＝0，可以将它与函数y＝f
类型1 求函数的零点
类型2 确定函数零点所在的区间
类型3 函数零点个数问题
• 类型1 求函数的零点
2
• 【例1】 (1)函数f (x)＝ቊ + 2 − 3， ≤ 0， 的零点为________；2
－3和e
−2 + ln ， > 0
－3和e2
当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；
(2)方程、函数、函数图象之间的关系
人教A版高中数学必修1课时作业(21) 方程的根与函数的零点
课时作业（二十一）方程的根与函数的零点一、选择题1．已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下的x,f(x)对应值表由表可知函数f(x)存在零点的区间有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D ∵f(2)f(3)<0,f(3)f(4)<0,f(4)·f(5)<0,f(6)f(7)<0,∴共有4个零点．2．方程0.9x－221x＝0的实数解的个数是( ) A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 设f(x)＝0.9x－221x,则f(x)为减函数,值域为R,故有1个．3．若函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( )A．若f(a)·f(b)＞0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)＜0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)＞0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)＝0D．若f(a)·f(b)＜0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)＝0解析：选C 根据函数零点存在性定理可判断,若f(a)·f(b)＜0,则一定存在实数c∈(a,b),使f(c)＝0,但c的个数不确定,故B、D错．若f(a)·f(b)＞0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)＝0,如f(x)＝x2－1,f(－2)·f(2)＞0,但f(x)＝x2－1在(－2,2)内有两个零点,故A错,C正确．4．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2,并且α,β是函数f(x)的两个零点,则实数a,b,α,β的大小关系可能是( )A．a<α<b<β B．a<α<β<bC．α<a<b<β D．α<a<β<b解析：选C ∵α,β是函数f(x)的两个零点, ∴f(α)＝f(β)＝0.又∵f(x)＝(x－a)(x－b)－2,∴f(a)＝f(b)＝－2<0.结合二次函数f(x)的图象,如图所示,可知,a,b必在α,β之间,只有C满足．5．已知x0是函数f(x)＝2x＋11－x的一个零点．若x1∈(1,x0),x2∈(x0,＋∞),则( )A．f(x1)<0,f(x2)<0 B．f(x1)<0,f(x2)>0 C．f(x1)>0,f(x2)<0 D．f(x1)>0,f(x2)>0解析：选B 在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象,如图所示,由图可知函数y＝2x和函数y＝1x－1的图象只有一个交点,即函数f(x)＝2x＋11－x只有一个零点x0,且x0>1.因为x1∈(1,x0),x2∈(x0,＋∞),所以由函数图象可知,f(x1)<0,f(x2)>0.二、填空题6．函数f(x)＝ln x－x2＋2x＋5的零点个数为________．解析：令ln x－x2＋2x＋5＝0得ln x＝x2－2x－5,画图(图略)可得函数y＝ln x与函数y＝x2－2x－5的图象有2个交点,即函数f(x)的零点个数为2.答案：27．已知方程mx2－x－1＝0在(0,1)上恰有一解,则实数m的取值范围是________．解析：设f(x)＝mx2－x－1,∵方程mx2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解,且当m＝0时,方程－x－1＝0在(0,1)内无解,∴m≠0,由f(0)f(1)＜0,即－1(m－1－1)＜0,解得m＞2.答案：(2,＋∞)8．若函数f(x)＝a x－x－a(a>0,且a≠1)有两个零点,则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝a x－x－a(a>0,且a≠1)有两个零点,就是函数y＝a x(a>0且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点,由图象可知当0<a<1时两函数的图象只有一个交点,不符合；当a>1时,因为函数y＝a x(a>1)的图象过点(0,1),当直线y＝x＋a与y轴的交点(0,a)在(0,1)的上方时一定有两个交点．所以a>1.答案：(1,＋∞)三、解答题9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围．解：令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，f 4＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，f 4＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，26m ＋38＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，26m ＋38＞0，解得－1913＜m ＜0.故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0. 10．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点,求m 的取值范围,并求出该零点．解：由题意知方程(2x )2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根． 设2x＝t(t>0),则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0,即m 2－4＝0时,m ＝±2； 当m ＝－2时,t ＝1；当m ＝2时,t ＝－1不合题意,舍去, ∴2x＝1,x ＝0符合题意． 当Δ>0,即m>2或m<－2时,设t 2＋mt ＋1＝0有两个根t 1,t 2且t 1t 2＝1. 又∵t>0,∴t 1>0,t 2>0,则原方程有两个根． ∴这种情况不可能．综上可知：m ＝－2时,f(x)有唯一零点,该零点为 x ＝0.11．已知函数f(x)＝－x 2＋2ex ＋m －1,g(x)＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若g(x)＝m 有零点,求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围,使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． 解：(1)作出g(x)＝x ＋e2x(x ＞0)的图象如图所示：可知若使g(x)＝m 有零点, 则只需m≥2e ,故m 的取值范围为[2e,＋∞)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根,即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x ＋e2x (x ＞0)和f(x)的图象如图所示．∵f(x)＝－x 2＋2ex ＋m －1 ＝－(x －e)2＋m －1＋e 2,其对称轴为直线x ＝e,开口向下,最大值为m －1＋e 2, ∴当m －1＋e 2＞2e,即m ＞－e 2＋2e ＋1时,g(x)与f(x)有两个交点, 即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根, ∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1,＋∞)． 12．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根,其中一根在区间(－1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m 的范围； (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m 的范围．解：(1)由条件知,抛物线f(x)＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内,如图(1)所示,得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2m ＋1<0，f －1＝2>0，f 1＝4m ＋2<0，f2＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m<－12，m ∈R ，m<－12，m>－56.即－56<m<－12.(2)抛物线与x 轴交点均落在区间(0,1)内,如图(2)所示,列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f 0>0，f 1>0，Δ≥0，0<－m<1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m>－12，m>－12，m≥1＋2或m≤1－2，－1<m<0.即－12<m≤1－ 2.。
人教A版数学必修一, 第三章 , 函数的应用,课时作业
作业（一）一、选择题1．下列函数没有零点的是( ) A ．f (x )＝0 B ．f (x )＝2 C ．f (x )＝x 2－1D ．f (x )＝x －1x【解析】 函数f (x )＝2，不能满足方程f (x )＝0，因此没有零点． 【答案】 B2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≤11＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0【解析】 当x ≤1时，由f (x )＝0，得2x －1＝0，所以x ＝0.当x >1时，由f (x )＝0，得1＋log 2x ＝0，所以x ＝12，不成立，所以函数的零点为0，选D.【答案】 D3．函数f (x )＝－x 3－3x ＋5的零点所在的大致区间是( ) A ．(－2,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)【解析】 ∵f (1)＝－13－3×1＋5＝1＞0，f (2)＝－23－3×2＋5＝－9＜0，∴函数f (x )的零点必在区间(1,2)上，故选C. 【答案】 C4．已知0＜a ＜1，则函数y ＝|log ax |－a |x |零点的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．1个或2个或3个【解析】 ∵0＜a ＜1，函数y ＝|log ax |－a |x |的零点的个数就等于方程a |x |＝|log ax |的解的个数，即函数y＝a|x|与y＝|log ax|图象的交点的个数．如图所示，函数y＝a|x|与y＝|log ax|的交点的个数为2，故选B.【答案】 B5．已知方程|2x－1|＝a有两个不等实根，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(1,2)C．(0，＋∞) D．(0,1)【解析】若关于x的方程|2x－1|＝a有两个不等实数根，则y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个不同的交点．函数y＝|2x－1|的图象如图所示由图可得，当a∈(0,1)时，函数y＝|2x－1|的图象与y＝a有两个交点，故实数a的取值范围是(0,1)，故选D.【答案】 D二、填空题6．函数f(x)＝(x－1)ln xx－3的零点是________．【解析】令f(x)＝0，即(x－1)ln xx－3＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.【答案】 17．若方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则实数a 的取值范围是________．【解析】 由|x 2－4x |－a ＝0，得a ＝|x 2－4x |，作出函数y ＝|x 2－4x |的图象，则由图象可知，要使方程|x 2－4x |－a ＝0有四个不相等的实根，则0＜a ＜4.【答案】 (0,4)8．已知函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系是________.【解析】 画出函数y ＝3x ，y ＝log 3x ，y ＝－x ，y ＝－2的图象，如图所示观察图象可知，函数f (x )＝3x ＋x ，g(x )＝log 3x ＋2，h (x )＝log 3x ＋x 的零点依次是点A ，B ，C 的横坐标，由图象可知a ＜b ＜c .【答案】 a ＜b ＜c 三、解答题9．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x (x ≥0)2x (x <0)，(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)讨论方程|f (x )|＝a 的解的个数．(只写明结果，无需过程) 【解】 (1)函数y ＝f (x )的图象如图所示：(2)函数y＝|f(x)|的图象如图所示：①0＜a＜4时，方程有四个解；②a＝4时，方程有三个解；③a＝0或a＞4时，方程有二个解；④a＜0时，方程没有实数解．10．已知函数f(x)＝x2－bx＋3.(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；(2)若函数f(x)一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围．【解】(1)由f(0)＝f(4)，得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，令f(x)＝0，即x2－4x＋3＝0，得x1＝3，x2＝1，所以f(x)的零点是1和3.(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图．需f(1)<0，即1－b＋3<0，所以b>4.故b的取值范围为(4，＋∞)．作业（二）一、选择题1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.【答案】B2．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定【解析】∵f(1.5)·f(1.25)＜0，由零点存在性定理知方程的根落在区间(1.25,1.5)内．故选B.【答案】 B3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：() A．1.25 B．1.375C．1.42 D．1.5【解析】 由表格可得，函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.437 5,1.406 25)之间．结合选项可知，方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.【答案】 C4．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点近似解的是( ) ①y ＝3x 2－2x ＋5；②y ＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≥0，x ＋1，x <0；③y ＝2x ＋1；④y ＝x 3－2x ＋3；⑤y ＝12x 2＋4x ＋8.A ．①②③B ．⑤C ．①⑤D ．①④【解析】 ⑤中y ＝12x 2＋4x ＋8，Δ＝0，不满足二分法求函数零点的条件．故选B .【答案】 B5．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 【解析】 ∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52，⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 【答案】 D 二、填空题6．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．【解析】 设函数f (x )＝x 3－2x －5.∵f (2)＝－1＜0，f (3)＝16＞0，f (4)＝51＞0，∴下一个有根区间是(2,3)．【答案】(2,3)7．用二分法研究函数f(x)＝x2＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________.【导学号：02962022】【解析】∵f(0)·f(0.5)<0，∴x0∈(0,0.5)，取该区间的中点0.52＝0.25.∴第二次应计算f(0.25)．【答案】(0,0.5)f(0.25)8．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．【解析】第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．【答案】 1.5,1.75,1.875,1.812 5三、解答题9．用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正零点．(精确度为0.01)【解】由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵|1.445 312 5－1.437 5|＝0.007 812 5<0.01，∴x＝1.445 312 5可作为函数的一个正零点．10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)【解】令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25.[能力提升]1．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为() A．0.68B．0.72C．0.7D．0.6【解析】已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7.因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．【答案】C2．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：________．【解析】 f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.029<0，方程3x －x －4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.【答案】 1.562 53．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________.【解析】 ∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法，∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象与x 轴相切，∴Δ＝a 2－4b ＝0，∴a 2＝4b .【答案】 a 2＝4b4．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．【证明】 ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0， 即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0. ∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0， 则－b －c >c ，即a >c . ∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0.∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上各有一个零点．又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根．作业（三）一、选择题1．y 1＝2x ，y 2＝x 2，y 3＝log 2x ，当2<x <4时，有( ) A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 2>y 1>y 3 C ．y 1>y 3>y 2D ．y 2>y 3>y 1【解析】 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y 2＝x 2，y 1＝2x ，y 3＝log 2x ，故y 2>y 1>y 3.【答案】 B2．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 公顷关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x ) C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x【解析】 用排除法，当x ＝1时，排除B 项；当x ＝2时，排除D 项；当x ＝3时，排除A 项．【答案】 C3．高为H ，满缸水量为V 0的鱼缸的轴截面如图3-2-4所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为V ，则函数V ＝f (h )的大致图象是( )图3-2-4【解析】当h＝H时，体积是V，故排除A，C.h由0到H变化的过程中，V的变化时增长速度越来越快，类似于指数型函数的图象，后来增长速度越来越慢，类似于对数型函数的图象，综合分析可知选B.【答案】 B4．函数y＝2x－x2的图象大致是()【解析】分别画出y＝2x，y＝x2的图象，如图所示，由图象可知，有3个交点，∴函数y＝2x－x2的图象与x轴有3个交点，故排除B，C；当x＜－1时，y＜0，故排除D，故选A.【答案】 A5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f (x )的图象大致为( )【解析】 设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意可得ax ＝a (1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x (x ≥1)，所以函数y ＝f (x )的图象大致为D 中图象，故选D.【答案】 D 二、填空题6．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________ .【解析】 当x 变大时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2要比x ln x 增长的要快． 【答案】 y ＝x 27．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v 米/秒和燃料的质量M 千克、火箭(除燃料外)的质量m 千克的函数关系式是v ＝2 000ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m .当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．【解析】 当v ＝12 000时，2 000×ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝12 000， ∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋M m ＝6，∴M m ＝e 6－1.【答案】 e 6－18．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图3-2-5所示．现给出下列说法：图3-2-5①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．其中正确的说法是________．(填序号)【解析】因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即5min前每当t增加一个单位增量，则y相应的增量越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则②④正确．【答案】②④三、解答题9．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．【解】据表中数据作出散点图如图：由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2,1)代入到h＝log a(t＋1)中，得1＝log a3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝log3(8＋1)＝2，故可预测第8年松树的高度为2米．10．有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时5元；乙中心按月计算，一个月中30小时以内(含30小时)90元，超过30小时的部分每小时2元．某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲中心健身活动x (15≤x ≤40)小时的收费为f (x )元，在乙中心健身活动x 小时的收费为g (x )元，试求f (x )和g (x )；(2)问：选择哪家比较合算？为什么？ 【解】 (1)f (x )＝5x,15≤x ≤40， g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧90，15≤x ≤3030＋2x ，30＜x ≤40.(2)当5x ＝90时，x ＝18， 即当15≤x ＜18时，f (x )＜g (x )； 当x ＝18时，f (x )＝g (x )， 当18＜x ≤40时，f (x )＞g (x )．所以当15≤x ＜18时，选甲比较合算；当x ＝18时，两家一样合算；当18＜x ≤40时，选乙比较合算．作业（四）一、选择题1．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (副)的函数解析式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )A ．200副B ．400副C ．600副D ．800副【解析】 由5x ＋4 000≤10x ，解得x ≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．【答案】 D2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C .pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1【解析】 设年平均增长率为x ，则有(1＋p )(1＋q )＝(1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1. 【答案】 D3．某种细胞在正常培养过程中，时刻t (单位：分)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下表：t 最接近于( ) A ．200 B ．220 C ．240D ．260【解析】 由表中数据可以看出，n 与t 的函数关系式为n ＝2t20，令n ＝1 000，则2t20＝1 000，而210＝1 024，所以繁殖到1 000个细胞时，时刻t 最接近200分钟，故应选A.【答案】 A4．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ，则x ，y 的函数关系是( )A ．y ＝()0.957 6x100 B ．y ＝(0.957 6)100x C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.957 9100xD ．y ＝1－(0.042 4)x100【解析】 设镭一年放射掉其质量的t %，则有95.76%＝1·(1－t )100，t ＝1－(0.957 6)1100，∴y ＝(1－t )x＝(0.957 6)x100.【答案】 A5．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30 min ，组装第A件产品用时15 min ，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16【解析】 由题意知，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60.将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 【答案】 D 二、填空题6．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9.【答案】 97．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________(lg 2≈0.301 0)．【解析】 设至少要洗x 次，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34x ≤1100，所以x ≥1lg 2≈3.322，所以需4次． 【答案】 48．为了在“十一”黄金周期间降价促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________元．【解析】 依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤200，0.9x ，200<x ≤500，500×0.9＋(x －500)×0.7，x >500.当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.∴两次共购得价值为470＋168＝638(元)的商品，∴500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6(元)，故若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．【答案】 546.6 三、解答题9．某公司试销某种“上海世博会”纪念品，每件按30元销售，可获利50%，设每件纪念品的成本为a 元．(1)试求a 的值；(2)公司在试销过程中进行了市场调查，发现销售量y (件)与每件售价x (元)满足关系y ＝－10x ＋800.设每天销售利润为W (元)，求每天销售利润W (元)与每件售价x (元)之间的函数解析式；当每件售价为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)∵按30元销售，可获利50%，∴a (1＋50%)＝30，解得a ＝20. (2)∵销售量y (件)与每件售价x (元)满足关系y ＝－10x ＋800，则每天销售利润W (元)与每件售价x (元)满足。
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B版必修108012133
高中数学第二章函数2.4.1函数的零点学案新人教B 版必修1080121331．理解函数零点的概念．(重点)2．会求一次函数、二次函数的零点．(重点)3．初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴交点的横坐标之间的关系．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 函数的零点阅读教材P 70～P 71“例”以上部分内容，完成下列问题． 1．定义如果函数y ＝f (x )在实数α处的值等于零，即f (α)＝0，则α叫做这个函数的零点． 2．性质(1)当函数图象通过零点且穿过x 轴时，函数值变号．(2)两个零点把x 轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1,0)，(x 2,0)．( )(3)f (x )＝x －1x只有一个零点．( )【答案】 (1)× (2)× (3)×教材整理2 二次函数零点与一元二次方程 实根个数的关系阅读教材P 70“倒数第2行”～P 71“例”以上的内容，完成下列问题． 判别式ΔΔ>0 Δ＝0 Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实根二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点有两个零点x 1，x 2有一个二重零点x 1＝x 2没有零点已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 的图象全部在x 轴的上方，则实数a 的取值范围是________.【导学号：97512030】【解析】 函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，所以Δ＝4－4a <0，a >1. 【答案】 (1，＋∞)[小组合作型]求函数的零点(1)函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1,0) B ．x ＝－1 C ．x ＝1D ．x ＝0(2)求下列函数的零点． ①f (x )＝－x 2－2x ＋3； ②f (x )＝x 4－1.【精彩点拨】 求函数对应方程的根，即为函数的零点． 【自主解答】 (1)令1＋1x＝0，解得x ＝－1，故选B.(2)①由于f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， 所以方程－x 2－2x ＋3＝0的两根是－3,1. 故函数的零点是－3,1.②由于f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， 所以方程x 4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.【答案】 (1)B (2)①－3,1 ②－1,1求函数的零点时，通常转化为解方程f x ＝0，若方程f x ＝0有实数根，则函数f x 存在零点，该方程的根就是函数f x 的零点；否则，函数f x 不存在零点.[再练一题]1．函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是________.【导学号：60210059】【解析】 ∵函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，∴2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ， ∴g (x )＝bx 2－ax ＝－2ax 2－ax ＝－ax (2x ＋1)， ∵－ax (2x ＋1)＝0，即x ＝0，x ＝－12，∴函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是0，－12.【答案】 0，－12函数零点个数的判断判断下列函数零点的个数． (1)f (x )＝x 2－7x ＋12；(2)f (x )＝x 2－1x .【精彩点拨】 (1)中f (x )为一元二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法转化为两个熟知的基本初等函数求图象交点个数．【自主解答】 (1)由f (x )＝0，即x 2－7x ＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f (x )有两个零点． (2)法一 由x 2－1x ＝0，得x 2＝1x.令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1x.在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象，如图所示，两函数图象只有一个交点，故函数f (x )＝x 2－1x只有一个零点．法二令f(x)＝0，即x2－1x＝0.∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0.∴x＝1或x2＋x＋1＝0.∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴方程x2＋x＋1＝0无实数根．∴函数f(x)只有一个零点．确定函数零点个数的方法1．一元n次方程根的个数的问题，一般采用分解因式法来解决．2．一元二次方程通常用判别式来判断根的个数．3．指数函数和对数函数等超越函数零点个数的问题，一般用图象法来解决．4．利用函数的单调性判断函数零点的个数．[再练一题]2．判断函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数．【解】y＝x3－3x2－2x＋6＝x2(x－3)－2(x－3)＝(x2－2)(x－3)，令y＝0，则x＝±2或x＝3，显然有三个零点．[探究共研型]函数零点的应用探究1 设F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)的零点与函数y＝f(x)与y＝g(x)有何关系？【提示】F(x)的零点是函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标．探究2 若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是什么？【提示】若函数f(x)＝x2－2x＋a有零点，则方程x2－2x＋a＝0有根．故Δ＝(－2)2－4a≥0，故a≤1.若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．【精彩点拨】把问题转化为方程|2x－2|＝b有根问题，进而应用数形结合的思想转化为y ＝|2x －2|与y ＝b 图象的交点问题．【自主解答】 由f (x )＝|2x－2|－b ＝0，得|2x－2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 【答案】 (0,2)已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围.2分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决.3数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.[再练一题]3.若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是( ) A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1【解析】 根据函数零点的性质，f (1)，f (－1)一正一负，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝－5a ＋1所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0－5a ＋1<0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0－5a ＋1>0，解得a >15或a <－1.【答案】 B1．下列四个函数图象，在区间(－∞，0)内，函数f i (x )(i ＝1,2,3,4)中有零点的是( )A ．B ．C ． D.【解析】 由函数图象可知，f 2(x )在(－∞，0)上与x 轴有交点，故f 2(x )在(－∞，0)上有零点．【答案】 B2．函数y ＝2x －4的零点是( ) A ．2B ．(2,0) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 D.12【解析】 由2x －4＝0，得x ＝2，即函数y ＝2x －4的零点是2.【答案】 A3．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝________.【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x 1)＝0， 则f (－x 1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝0. 【答案】 04．若函数f (x )＝ax 2－x －1只有一个零点，则实数a ＝________.【解析】 (1)当a ＝0时，函数为y ＝－x －1，显然该函数的图象与x 轴只有一个交点，即函数只有一个零点．(2)当a ≠0时，函数y ＝ax 2－x －1是二次函数．因为y ＝ax 2－x －1只有一个零点，所以关于x 的方程ax 2－x －1＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝0，即1＋4a ＝0，解得a ＝－14.【答案】 0或－145．已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围．【解】 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.∴f (x )的大致图象如图所示：则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4a －4a ＋1＋a －1<0，或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，4a －4a ＋1＋a －1>0，解得0<a <5，∴a 的取值范围为(0,5)．。
【新教材】新人教A版必修一 函数及其表示 课时作业
2019-2020学年新人教A版必修一函数及其表示课时作业1.设全集U是实数集R，函数y=ln(x2—4)的定义域为M，N=（1,3)，则N∩（U M）= ( ）A.｛x|-2≤x<1｝B.｛x|—2≤x≤2｝C.｛x|x<2}D.{x|1<x≤2｝【解析】选D.M={x|x2—4〉0}=（—∞，-2）∪（2,+∞)，所以N∩(U M)=（1，3）∩[-2，2]=（1，2]。
2。
已知函数f（x)=则f的值为( )A。
B。
C.- D.18【解析】选A.f（2)=4,f=f=1—=。
3。
已知f=+,则f（x)等于( )A。
（x+1）2（x≠1)B。
(x-1)2（x≠1)C。
x2—x+1(x≠1)D。
x2+x+1(x≠1)【解析】选C。
f=+=—+1，令=t(t≠1)，则f(t）=t2—t+1,即f(x)=x2-x+1(x≠1）。
4.(2019·太原模拟）若函数f（x)满足f（1—lnx)=,则f(2)等于( ）A。
B.eC.D。
-1【解析】选B。
令1-lnx=t，则x=e1-t，于是f（t）=，即f(x)=，故f（2)=e.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.由1—ln x=2,得x=,这时==e，即f(2)=e。
5.已知函数f（x）的定义域为[0，2］,则函数g（x）=f(2x）+的定义域为（）A。
［0，1］B。
[0，2] C。
[1，2］ D.[1,3］【解析】选A.由题意，得解得0≤x≤1.【变式备选】设函数f（x)=lg（1—x),则函数 f［f(x）］的定义域为( ）A。
（—9,+∞）B.(—9,1)C.［-9,+∞)D。
[—9,1)【解析】选B.f［f（x）］=f［lg（1—x)]=lg［1-lg(1—x)]，其定义域为解得—9〈x〈1，所以f［f（x）]的定义域为(-9，1）.二、填空题（每小题5分，共10分)6。
(2018·泉州模拟)已知函数f(x)=若f（x0)=2，则x0的值为.【解析】若x0≤1,则=2,解得x0=—1，若x0>1,则log3x0=2，解得x0=7。
函数的零点与方程的解学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.5.1 函数的零点与方程的解一、学习目标1、会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；2、能借助函数单调性及图象判断零点个数．二、知识梳理（复习导入）✓对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数的零点.方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点．✓用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的实数根就是相应二次函数的零点．像lnx+2x−6=0这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？（新授探究）探究1：观察零点所在区间，以及这个区间内函数图象与x轴的关系，并探究用f(x)取值刻画这种关系[a，b]上图象连续不断，且“穿过”x轴，f(a)f(b)<0探究2：观察以下两组图片，哪一组能说明小黄人一定渡过河? 若将河流抽象视为x轴，两个位置分别记为A、B两点，请用连续不断的曲线画出他的可能路径.是不是只要满足在[a，b]上图象连续不断，且f(a)f(b)<0，就能有零点存在呢？零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y =f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c ∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c 就是方程f(x)=0的解.探究3：由函数零点定义，试求方程 lnx +2x −6=0 的根。
解法一：设函数f(x)=lnx +2x −6，利用计算工具，列出函数y =f(x)的对应值表，并画出图象.解法一图像 解法三图像解法二：f (1)=ln1+2−6=−4<0f (3)=ln3+6−6=ln3>0 ⟹ f (1)∙f (3)<0⟹ 函数f(x)=lnx +2x −6在区间(2，3)内至少有一个零点.解法三：可看成y =lnx 与 y =−2x +6 的交点（典例剖析）练习1：函数f(x)=2log 2x 2的零点是（ ）.A.0B.1C.−1D.±1练习2：函数f(x)=2x +log 2x −3的零点所在区间是（ ）.A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)练习3：f(x)={x 2+2x −3,x ≤0, −2+log 2x,x >0. ) 的零点个数为（ ）.A.0B.1C.2D.3（课堂小结）。
2021年高中数学 函数与方程(方程式的根与函数的零点)(1) 课时作业 新人教A版必修1
2021年高中数学函数与方程(方程式的根与函数的零点)(1) 课时作业
新人教A版必修1
1、函数的零点是（）
A 1，-3；
B 3，-1；
C 1，2；
D 不存在。
2、若函数没有零点，则实数的取值范围是（）
A ；
B ；
C ；
D 。
3、若函数有一个零点2，那么函数的零点是（）
A 0，2；
B 0，；
C 0，；
D 2，。
4、如果不等式的解集是，那么的值是（）
A 1；
B 2；
C 3；
D 4。
5、如果函数有两个零点为-2，6，那么（）
A B
C D
6、（xx。
内蒙古模拟）函数且则（）
A ，
B ，
C ，
D 。
7、（xx．吉林模拟）已知函数是定义域为R的偶函数，在上是减函数，若，则方程的根的个数是（）
A 2；
B 2或1；
C 3；
D 2或3。
二、填空题：
8、若函数仅有一个零点，则实数的值等于。
9、已知函数当时，的值有正也有负，则实数的取值范围是。
10、已知函数对实数都有，如果函数恰好有4个零点，那么这些零点之和为。
11、已知函数有两个零点且分布在1的两侧，求实数的取值范围。
G20643 50A3 傣 30466 7702 眂K26001 6591 斑I 28765 705D 灝b720281 4F39 伹736717 8F6D 轭29127 71C7 燇。
人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业3：4.5.1 函数的零点与方程的解
4.5 函数的应用(二) 4.5.1 函数的零点与方程的解基础达标练1．若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ≥12．对于函数f (x )，若f (－1)·f (3)<0，则( ) A ．方程f (x )＝0一定有实数解 B ．方程f (x )＝0一定无实数解 C ．方程f (x )＝0一定有两实根D ．方程f (x )＝0可能无实数解3．已知函数f (x )的图象是连续不断的，有如下的x ，f (x )对应值表：那么函数f (x )在区间『1,6』上的零点至少有( ) A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．已知x 0是函数f (x )＝2x －log 13 x 的零点，若0<x 1<x 0，则f (x 1)的值满足( )A ．f (x 1)>0B ．f (x 1)<0C ．f (x 1)＝0D ．f (x 1)>0与f (x 1)<0均有可能5．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )的零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)6．函数f (x )＝x 2－4x －2的零点是________．7．方程lg x ＋x －1＝0有________个实数根．8．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 9．已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1)． (1)求函数f (x )的定义域； (2)求函数f (x )的零点．10．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点？(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．素养提升练1．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，α，β的大小关系可能是()A．a<α<b<βB．a<α<β<b C．α<a<b<βD．α<a<β<b2．若函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)为偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有()A．一个B．两个C．至少两个D．无法判断3．设x0是方程ln x＋x＝4的解，且x0∈(k, k＋1)，k∈Z，则k＝________.4．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．——★ 参*考*答*案 ★——基础达标练1．B『『解 析』』由题意知，Δ＝4－4a ＜0，∴a ＞1. 2．D『『解 析』』∵函数f (x )的图象在(－1,3)上未必连续，故尽管f (－1)·f (3)<0，但方程f (x )＝0在(－1,3)上可能无实数解． 3．B『『解 析』』由表可知f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (4)·f (5)<0. ∴f (x )在『1,6』上至少有3个零点． 4．B『『解 析』』由于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)<f (x 0)＝0. 5．C『『解 析』』方法一：对于函数f (x )＝6x －log 2x ，因为f (2)＝2＞0，f (4)＝－0.5＜0，根据零点的存在性定理知选C ．方法二：在同一坐标系中作出函数h (x )＝6x 与g (x )＝log 2x 的大致图象，如图所示，可得f (x )的零点所在的区间为(2,4)．6．－2『『解 析』』由f (x )＝(x ＋2)(x －2)x －2＝x ＋2＝0，解得x ＝－2，所以f (x )的零点是－2.7．1『『解 析』』由原方程得lg x ＝－x ＋1，问题转化为函数y ＝lg x 的图象与函数y ＝－x ＋1的图象交点的个数．作出相应函数的图象，如图．由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根．8．(1，＋∞)『『解 析』』函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有唯一交点，故a >1.9．解 (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋3＞0，解得－3<x <1，所以函数的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f (x )＝log a 『(1－x )(x ＋3)』＝log a (－x 2－2x ＋3)， 由f (x )＝0，得－x 2－2x ＋3＝1， 即x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1±3.因为－1±3∈(－3,1)，所以f (x )的零点是－1±3.10．解 (1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m )＞0，可解得m ＜43.由Δ＝0，可解得m ＝43；由Δ＜0，可解得m ＞43.故当m ＜43时，函数有两个零点；当m ＝43时，函数有一个零点；当m ＞43时，函数无零点．(2)因为0是对应方程的根，所以有1－m ＝0，解得m ＝1.素养提升练1．C『『解 析』』因为α，β是函数f (x )的两个零点，所以f (α)＝f (β)＝0.又f (a )＝f (b )＝－2<0，结合二次函数的图象，如图所示．可知a ，b 必在α，β之间． 2．B『『解 析』』依据给出的函数性质，易知f (－2)＝0，画出函数的大致图象如图：可知f (x )有两个零点．3．2『『解 析』』令f (x )＝ln x ＋x －4，且f (x )在(0，＋∞)上递增，因为f (2)＝ln 2＋2－4<0，f (3)＝ln 3－1>0. 所以f (x )在(2,3)内有解，所以k ＝2. 4．解 (1)∵－1和－3是函数f (x )的两个零点，∴－1和－3是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两个实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧－1－3＝k －2，－1×(－3)＝k 2＋3k ＋5，解得k ＝－2. (2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x 2－(k －2)x ＋k 2＋3k ＋5＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝k －2，αβ＝k 2＋3k ＋5，Δ＝(k －2)2－4(k 2＋3k ＋5)≥0.则⎩⎪⎨⎪⎧α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k 2－10k －6，－4≤k ≤－43， ∴α2＋β2在区间⎣⎡⎦⎤－4，－43上的最大值是18，最小值是509， 即α2＋β2的取值范围为⎣⎡⎦⎤509， 18.。
【新教材】新人教A版必修一 函数的图象及其应用 课时作业
课时达标检测（十一）函数的图象及其应用1．函数f（x)＝错误!的图象大致为（）解析：选A 因为f(x）＝错误!,所以f（0)＝f（π）＝f（－π)＝0,排除选项C，D；当0<x<π时，sin x>0，所以当0<x〈π时，f（x)〉0，排除选项B，故选A.2。
已知定义在区间上的函数y＝f(x）的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( ）解析:选B 由y＝f(x）的图象知,f（x）＝错误!当x∈时，2－x∈,所以f（2－x)＝错误!故y＝－f(2－x）＝错误!3．若变量x，y满足|x｜－ln错误!＝0，则y关于x的函数图象大致是( )解析：选B 由|x｜－ln错误!＝0，得y＝错误!＝错误!利用指数函数图象可知选B。
4.如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f（x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是（)解析：选D 由图象知,张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小．故张大爷的行走的路线可能如D选项所示．5。
如图，函数f（x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0，0）,（1，2），(3,1),则f错误!＝________.解析:∵由图象知f（3)＝1,∴错误!＝1.∴f错误!＝f(1)＝2。
答案：2一、选择题1．如图，下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为( ）A．1 B．2 C．3 D．4解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来；图①应该是匀速的,故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确;③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．2．下列函数f（x)图象中,满足f错误!＞f(3)＞f(2）的只可能是( )解析：选D 因为f错误!＞f（3）＞f(2)，所以函数f（x）有增有减,排除A，B.在C 中，f错误!＜f(0)＝1，f（3)＞f(0)，即f错误!＜f（3），排除C，选D.3．函数y＝x33x－1的图象大致是（)解析：选C 由题意得，x≠0,排除A；当x<0时，x3〈0，3x－1〈0，∴错误!>0，排除B；又∵x→＋∞时，错误!→0，∴排除D，故选C.4.函数f(x）＝错误!的图象如图所示，则下列结论成立的是( ）A．a＞0，b＞0,c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0解析：选C 函数定义域为｛x｜x≠－c｝，结合图象知－c＞0，∴c＜0.令x＝0，得f(0）＝错误!，又由图象知f（0）＞0,∴b＞0.令f（x）＝0,得x＝－错误!，结合图象知－错误!＞0，∴a<0。