人教B版高中数学必修1第二章2.4.1函数的零点课件
人教B版高中数学必修1第二章2.4.1函 数的零 点课件 【精品 】
思（2）
维；
迁
(四)利用零点作函数图象：
作函数 y x(x 1)(x 2) 的图象
移 作函数f(x)=x3-2x2-x+2的图象
变式探究：
作函数y (x 1)(x 1)2 (x 3) 的图象
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课
堂 1.函数零点的概念
小
2.零点的存在性
结
3.求零点及零点所在区间 4.利用函数零点的性质作函
数图像
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谢谢
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新
知
探 究
零点的存在性：
观察下面函数y=f(x)的图象： y
ab d
c O
x
①在区间[a,b]上 (有/无)零 点,f(a)·f(b)____0(<,>)
②在区间[b,c]上 (有/无)零 点,f(b)·f(c)____0(<,>)
新
二次函数y=ax2+bx+c的零点个
知 数，方程ax2+bx+c=0的实根个
探 数见下表：
究
判别式 方程的根
函数的零点个 数
△＞0 两 个 不 相 等 的 2 个 （ 变 号 零
实根
点）
△＝0 两 个 相 等 的 实 1 个 二 重 （ 二
根
阶）零点
△＜0 无实根
无零点
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典 例 探 究
例：函数f(x)=x3+x-3,则函数 f(x)的零点所在区间（ ） A.（-1，0） B.（0，1） C.（ 1，2） D. (2,3)
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2.4.1 函数的零点
创 设 1.一元二次方程是否有实根的判 情 定方法； 境
2.二次函数y=ax2+bx+c的图像及 其性质；
3.一元二次方程的根和函数与X 轴交点的关系.
创 判别式△ = 设 b2－4ac
△＞0
△=0
方程ax2 +bx+c=0
情境(a > 0)的根
两个不相等 的实数根x1 ,x2
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定 如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上的图 理 象是连续不断的一条曲线,并且有
f(a)·f(b)<0, 那么, 函数y=f(x) 在区间 (a, b)内至少有一个零点, 即存在 c∈(a, b),使f(c)=0, 这个c也就是方 程f(x) = 0的根．
有两个相等的 实数根x1 = x2
y
函数y= ax2 +bx
y
+c(a > 0)的图象
0
x2 x
0 x1 x
函数的图象 与 x 轴的交点 (x1,0),(x2,0)
(x1,0)
△＜0 没有实数根
y
0
x
没有交点
一元二次方程的根就是对应函数图象与x 轴交点的横坐标。
创 设
4.已知二次函数y=x2－x－6，y=0时， 求方程的根，并作出函数的图像,解出
情 y>0,y<0的不等式的解集.
境
解此方程得：
x1=－2，x2=3
函数图像与x轴相交于
两点(－2，0)、(3，0)
新 概念形成：
知
一般地，如果函数y=f(x)在实数
探 a 处的值等于零，即f(a)=0，则a叫做
究 这个函数的零点.
概念深化：
1.函数的零点并不是“点”，而是
实数；
2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0
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新 例2：求函数f(x)=-x2-2x+3
知
的零点，并指出y>0,y<0时
探 x的取值范围.
究
y
0
x
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拓
展
延 伸
1.求函数 的零点个数.
2.函数 零点位于区间（ ） A． B． C.
D．
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课 后 作 业
教材72页A组5，6题； B组1题（3），2题.
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的实数根，亦即函数图像与x轴交点
的横坐标，也是不等式f(x)>0(<0)
的端点值.
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新
知
探
例1：判断下列函数的零点： (1)f(x)=x2-2x+1;
究 (2)f(x)=x2-2x+3.
y
y
x O
O
x
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人教B版高中数学必修一第二章2.4.1函数的零点课件
已知二次函数y=x2－x－6，y=0时，
0
作函数f(x)=x3-2x2-x+2的图象 +c(a > 0)的图象
x
这个函数的零点.
新 二次函数y=ax2+bx+c的零点个
知 数，方程ax2+bx+c=0的实根个
探 数见下表：
究
判别式 方程的根
函数的零点个 数
△＞0 两 个 不 相 等 的 2 个 （ 变 号 零
+c(a > 0)的图象 +c(a > 0)的图象 ②在区间[b,c]上 (有/无)零点,f(b)·f(c)____0(<,>) 这个函数的零点. 作函数f(x)=x3-2x2-x+2的图象 例2：求函数f(x)=-x2-2x+3 的实数根，亦即函数图像与x轴交点 二次函数y=ax2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表： 已知二次函数y=x2－x－6，y=0时， 观察下面函数y=f(x)的图象： a 处的值等于零，即f(a)=0，则a叫做
的实数根，亦即函数图像与x轴交点
的横坐标，也是不等式f(x)>0(<0)
的端点值.
新 例1：判断下列函数的零点： 知 探 (1)f(x)=x2-2x+1;
究 (2)f(x)=x2-2x+3.
例1：判断下列函数的零点：
例2：求函数f(x)=-x2-2x+3
二次函数y=ax2+bx+c的零点个数，方程ax2+bx+c=0的实根个数见下表：
(1)f(x)=x2-2x+1;
4.利用函数零点的性质作函 零点位于区间（ ）
高中新课程数学(新课标人教B版)必修一2.4.1《函数的零点》课件2
y
函
.
2
.
.y
.
数 的
.1
.
－1 0 1 2 3 x
2
1. .
图
－1 －2
. －1 0 1 2 x
பைடு நூலகம்
－3
象
. －4
方程的实数根x1=－1,x2=3
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根 无交点
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，
上述结论是否仍然成立？
判别式△ = b2－4ac
△＞0
方程ax2 +bx+c=0 两个不相等
(a>0)的根
的实数根x1 、x2
y
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
x1 0
x2 x
那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的
一个零点。
例题 2 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1） 和图象（图3.1—3）
x
1
2
3
4
56
7
8
9
f（x） －4 －1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972
y
y
0a y 0a
bx bx
0a y
高中数学 2.4.1 函数的零点课件 新人教B版必修1
名师点睛 1．函数零点的理解 (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时， 其函数值等于零． (2)函数的零点也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴交点的横坐 标． (3)求函数的零点最直接的方法就是求方程 f(x)＝0 的根． 2．函数零点的性质 (1)当函数的图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值变号． (2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
m>－56，
方法技巧 数形结合研究方程的根与函数的零点 方程、函数的图象、函数间的内在联系，在具体使用时， 可以通过下面的变形：方程 f(x)＝g(x)有实根⇔函数 y＝f(x)的图 象与 y＝g(x)的图象有公共点⇔函数 y＝f(x)－g(x)有零点．即用 数形结合求函数的零点． 【示例】 试讨论函数 f(x)＝x2－2|x|－a－1(a∈R)的零点个 数．
(2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与
所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．
(3)写出由题意得到的不等式．
(4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充
分体现了函数与方程的思想．
【训练 3】 已知关于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋1＝0. 若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间 (1,2)内，求 m 的取值范围．
9－6＋a>0，
解得－3<a<0. ………………………………………….8 分
(3)由方程的两个根都大于零，得
Δ＝4－4a>0，
－－22>0，
解得 0<a<1. …………………..12 分
f0>0，
【题后反思】 解决有关根的分布问题应注意以下几点：
(1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题．
高中数学 2.4.1函数的零点课件 新人教B版必修1
第十二页，共21页。
问题 4 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 一条曲线，函数 y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，那么 f(a)·f(b)<0 是否一定成立？ 答 不一定成立，由下图可知．
第十三页，共21页。
问题 5 如果函数 y＝f(x)满足了在区间[a，b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 两个条件后，函数的零 点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零 点？ 答 函数零点不一定唯一，由下图可知．还需添加函数 y＝ f(x)在区间[a，b]上单调．
第十九页，共21页。
3.如果二次函数 y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零点，则 m
的取值范围是
(C )
A．(－2,6)
B．[－2,6]
C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
D．{－2,6}
解析 由题意，得 Δ＝m2－4(m＋3)>0， 即 m2－4m－12>0，∴m>6 或 m<－2. 4.若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的零点是 2 和－4，则 a＝___2___，b ＝___－__8___.
第三页，共21页。
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点． 当 Δ＝b2－4ac>0 时，二次函数有_2_个零点； Δ＝b2－4ac＝0 时，二次函数有_1_个零点； Δ＝b2－4ac<0 时，二次函数有_0_个零点．
3.如果函数 y＝f(x)在实数集 R 上有零点 a，b (a<b)，当函数的 图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值_变__号__，并在区间(－∞， a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.
第十一页，共21页。
问题 4 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的 一条曲线，函数 y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，那么 f(a)·f(b)<0 是否一定成立？ 答 不一定成立，由下图可知．
第十三页，共21页。
问题 5 如果函数 y＝f(x)满足了在区间[a，b]上的图象是连续 不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0 两个条件后，函数的零 点是唯一的吗？还要添加什么条件可以保证函数有唯一零 点？ 答 函数零点不一定唯一，由下图可知．还需添加函数 y＝ f(x)在区间[a，b]上单调．
第十九页，共21页。
3.如果二次函数 y＝x2＋mx＋m＋3 有两个不同的零点，则 m
的取值范围是
(C )
A．(－2,6)
B．[－2,6]
C．(－∞，－2)∪(6，＋∞)
D．{－2,6}
解析 由题意，得 Δ＝m2－4(m＋3)>0， 即 m2－4m－12>0，∴m>6 或 m<－2. 4.若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的零点是 2 和－4，则 a＝___2___，b ＝___－__8___.
第三页，共21页。
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a≠0)的零点． 当 Δ＝b2－4ac>0 时，二次函数有_2_个零点； Δ＝b2－4ac＝0 时，二次函数有_1_个零点； Δ＝b2－4ac<0 时，二次函数有_0_个零点．
3.如果函数 y＝f(x)在实数集 R 上有零点 a，b (a<b)，当函数的 图象通过零点且穿过 x 轴时，函数值_变__号__，并在区间(－∞， a)、(a，b)、(b，＋∞)上所有函数值保持同号.
第十一页，共21页。
2012高一数学人教B必修一课件集2.4.1《函数的零点》三
答案（1）两个
（2）一个
（1）可直接解方程（2）可解方程也可数形结合
互动探究
例2：求函数的零点
(1) y x4 1
(2) f (x) 3x2 7x 6
答案（1）1和-1
（2）-3和 2 3
变式训练：
(1)求函数的零点 f (x) (x2 x 2)( x2 2x 8)
(2)讨论y (ax 1)(x 2)的零点。
2, 4上是否也具有这种特点呢？
-2 -3
-4
（1）当函数的图像通过零点且穿过x轴时，函数值变 号。 （2）两个零点把x轴分为三个区间。 可以推广到任意函数，只要它的图像是连续的，上述 性质同样成立。
例1：判断函数零点的个数
（1）f (x) x2 x 6 (2) f (x) x2 1 x
复习回顾： (1)一元二次方程是否有实根的判定方法. (2)二次函数的顶点坐标，对称轴方程。
一：利用一元二次方程根的判别式 b2 4ac
(1)△＞0,二次方程有两个不同的实数根 (2)△=0，二次方程有两个相同的实数根 (3)△＜0，二次方程没有实数根
二：二次函数 by ax2 bx c(a 0)
无实根
无零点
探究
观 察 二 次 函 数 f (x) x2 2x 3 的 图 y 5
象，如右图，我们发现函数 f (x) x2 2x 3在 4 3
区间2,1上有零点。计算 f (2) 和 f (1) 的乘 2
1
积，你能发现这个乘积有什么特点？在区间 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1
2a
顶点坐标为(
, 4ac b2 ) 对称轴为
4a
x b 2a
观察几个具体的一元二次方程的根及其相应的 二次函数的图象：
高中数学：2.4.1a函数的零点课件新人教版必修1
观点： 零点是函数、方程、不等式的纽带.
判别式 b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图像
0
y
x1 0 x2 x
0
y
0 x1 x2 x
0
y
0
x
ax2 bx c 0 (a 0)的解
ax 2 bx c 0 (a 0)的解集
有两相异的实根 x1，x2 (且x1 x2 )
解; y x2( x 1 ) ( x 1 )
( x 1 )2 ( x 1 )
x -2 -1 0 1 2
x
y -9 0 1 0 3
y - 0+ 0+
规律：当最高次幂系数为正时，
从右上方穿过零点；奇穿偶不穿. 注：“奇偶”指因式指数
例：求不等式x3 x2 x 1>0解
例3 : 求函数y x3+x2 x 1的零点, y 并画出它的草图.
通过零点且不穿过x轴时,函数值不变号
变号零点；不变号零点.
(2)两个零点把x轴分为三个区间， 每个区间函数值同号.
2.一元三次函数的零点式：y__a_(_x__x_1 )_(_x __x_2 )_(_x__x_3 )_, _
x1, x2, x3分别是对应方程的_根___ y
例1 : 求函数y x3 2 x2 x 2的零点,
最高次幂系数为负数？
解; y x2 ( x 1 )+( x 1 )
( x 1 )2 ( x 1 )
x
x -2 -1 0 1 2
y 9 0 -1 0 -3
y + 0- 0-
规律： 当最高次幂系数为负时，
从右下方穿过零点；奇穿偶不穿. 注：“奇偶”指因式指数
【数学】241《函数的零点》(新人教B版必修1)PPT课件
-2 -3
-4
探究 二次函数零点的性质
y
5
1、在区间【-2，1】有零点—-1—；
4
f(-2)= __﹥__ 0,f(1)= __﹤__ 0 ,
3 2
f(-2)*f(1)=___﹤_ 0( 、或)
1
2、在区间[-2,4]上有零点_3__
f(2)*f(4)__﹤__ 0(、或)
； -2 -1 0 1 2 3 4 5 x -1 -2
(2)讨y论 (ax1)(x2)的零点。
思考与讨论 ：如何求函数的零 点？
规律方法：由于函数的零点是对应方 程的根，所以求函数的零点就是解与 函数相对应的方程，一元二次方程可 用求根公式，简单的高次方程可用因 式分解去求。
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
方程的实数根 x1=－1,x2=3
x1=x2=1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
函数的图象 与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
3
问题3 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系，
(x1,0)
没有交点
4
函数零点的定义：
对于函数y=f(x)在实数α处的函数值等于0，即 f(α)=0
则α叫做这个函数的零点。
零点是一个点吗?
注意： 零点指的是一个实数；
函数的零点意义：
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。亦即函数 y=f(x)的图像与X轴交点的横坐标。即：
(人教B版)高中数学必修一课件：第二章 函数 2.4 2.4.1 函数的零点 教学课件
[活学活用]
1．若 abc≠0，且 b2＝ac，则函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的零点的 个数是________．
解析：∵ ax2＋ bx＋ c＝ 0 的根的判别式 Δ＝ b2－4ac， b2 ＝ ac，且 abc≠ 0， ∴ Δ＝－ 3b2＜ 0， ∴方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0 无实根． ∴函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c 无零点． 答案： 0
函数与方程
2．4.1 函数的零点
预习课本 P70～71，思考并完成以下问题
(1)函数零点的定义是什么？
(2)方程的根、函数的图象与 x 轴的交点、函数的零点三 者之间的联系是什么？
[新知初探]
1．函数的零点
等于零 ， f(α)＝0 ， 如果函数 y＝f(x)在实数 α 处的值_______ 即_______ α 叫做这个函数的零点．在坐标系中表示图象与 x 轴的 则___
(α，0) 点． 公共点是______
[点睛]
函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自
变量取该值时，其函数值等于零．
2．二次函数的零点与相应二次方程根的关系
判别式 Δ 二次函数 y＝ax2 ＋ bx ＋ c(a>0) 的 图象
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一 元 二 次 方 程 有两相异实 有两相等实 根 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 根 x1 ， 没有实根 b x1＝x2＝－ 2a 的根 x2(x1<x2) 二次函数 y＝ax2 有两个零点 有一个二重 零 ＋ bx＋ c 的零点 x1，x2 点 x1＝x2 没有零点
f0＞ 0 ∴f1＜ 0 f2＞ 0.
1 a＞ 0 2 1 即1－ ＋ ＜ 0 a a 4 1 4－a＋a＞ 0.
2.4.1 函数的零点 课件(人教B版必修1)
栏目 导引
第二章 函 数
解得 x＝1，与 x<0 矛盾． 所以函数 f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ <00没有零点． 法二：画出函数 y＝f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00的图 象，如图所示，
栏目 导引
第二章 函 数
因为函数图象与 x 轴没有公共点， 所以函数 f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00没有零点．
栏目 导引
第二章 函 数
2.二次函数零点的性质
(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数 值_变__号___． (2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区 间上所有函数值__保__持__同__号___．
栏目 导引
第二章 函 数
典题例证技法归纳
题型探究
求函数的零点
例1 求下列函数的零点： (1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.
第二章 函 数
2．4 函数与方程
栏目 导引
第二章 函 数
2．4. 1 函数的零点
栏目 导引
学习导航
学习目标
第二章 函 数
栏目 导引
第二章 函 数
重点难点 重点：求函数的零点． 难点：函数零点的个数的判断．
栏目 导引
第二章 函 数
新知初探思维启动
1.函数的零点
如果函数y＝f(x)在实数α处的值_等__于__零___， 即__f(_α_)_＝__0__，则α叫做这个函数的零点．
栏目 导引
第二章 函 数
零点个数的判断
例2 分别判断下列函数零点的个数，并说 明理由： (1)f(x)＝x2＋6x＋9； (2)f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00.
栏目 导引
第二章 函 数
第二章 函 数
解得 x＝1，与 x<0 矛盾． 所以函数 f(x)＝xx＋ －11， ，xx≥ <00没有零点． 法二：画出函数 y＝f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00的图 象，如图所示，
栏目 导引
第二章 函 数
因为函数图象与 x 轴没有公共点， 所以函数 f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00没有零点．
栏目 导引
第二章 函 数
2.二次函数零点的性质
(1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数 值_变__号___． (2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区 间上所有函数值__保__持__同__号___．
栏目 导引
第二章 函 数
典题例证技法归纳
题型探究
求函数的零点
例1 求下列函数的零点： (1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.
第二章 函 数
2．4 函数与方程
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2．4. 1 函数的零点
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第二章 函 数
重点难点 重点：求函数的零点． 难点：函数零点的个数的判断．
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新知初探思维启动
1.函数的零点
如果函数y＝f(x)在实数α处的值_等__于__零___， 即__f(_α_)_＝__0__，则α叫做这个函数的零点．
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第二章 函 数
零点个数的判断
例2 分别判断下列函数零点的个数，并说 明理由： (1)f(x)＝x2＋6x＋9； (2)f(x)＝xx＋－11，，xx≥<00.
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2018学年高中数学人教B版必修1课件：2.4.1 函数的零点 精品
1.定义 如果函数y＝f (x)在实数α处的值 等于零 ，即 f (α)＝0 函数的 零点 .
，则α叫做这个
2.性质 (1)当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值 变号 . (2)两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值 保持同号 .
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点.( ) (2)若方程f (x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f (x2,0).( ) (3)f (x)＝x－1x只有一个零点.( )
【解析】 由奇函数的对称性知：若f (x1)＝0， 则f (－x1)＝0，即零点关于原点对称，且f (0)＝0， 故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝0.
【答案】 0
4.已知函数f (x)＝ax2＋4x＋a有二阶零点，则a的值为____. 【解析】 由题意可知f (x)是二次函数，且Δ＝0，即42－4a2＝0，得a＝±2. 【答案】 ±2
5.函数y＝x2－ax－b的零点为2和3，求函数f (x)＝bx2－ax－1的零点. 【导学 号：60210060】
【解】 由2＋3＝a,2×3＝－b，得a＝5，b＝－6， ∴f (x)＝－6x2－5x－1，令f (x)＝0， 得x1＝－13，x2＝－12. ∴函数f (x)的零点是－13，－12.
函数零点的应用
[探究共研型]
探究 1 系？
设 F(x)＝f (x)－g(x)，则 F(x)的零点与函数 y＝f (x)与 y＝g(x)有何关
【提示】 F(x)的零点是函数y＝f (x)与y＝g(x)的图象的交点的横坐标.
探究 2 若函数 f (x)＝x2－2x＋a 有零点，则实数 a 的取值范围是什么？
【解析】 在函数f (x)与x轴所有的交点中，最右边的那个交点所对的坐标就 是函数的最大零点，即此函数的最大零点所在的区间为(6,7).