2020年北京市昌平区高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年北京市昌平区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，0，1，，则集合A. B. C. D. 0，2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则实数A. 1B.C. 2D.3.在的展开式中，的系数为A. B. 40 C. D. 804.已知向量，若，则实数t的值为A. B. 2 C. D.5.设，，则A. B. C. D.6.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A. 4B. 8C.D.7.已知点P是双曲线C：的一条渐近线上一点，F是双曲线C的右焦点，若的面积为5，则点P的横坐标为A. B. C. D.8.已知函数，则“函数在上单调递增”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.点P在函数的图象上．若满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则实数a的值为A. B. C. 3 D. 410.一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画，错误的画甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m的值为题号12345678得分学生甲30乙25丙25丁m35302520二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.已知，则的最小值为______．12.设是等差数列，且，，则数列的前n项和______．13.已知点M在抛物线上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M到其顶点O的距离为______．14.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上．若，则______；______．15.曲线C：，点P在曲线C上．给出下列三个结论：曲线C关于y轴对称；曲线C上的点的横坐标的取值范围是；若，，则存在点P，使的面积大于．其中，所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.在中，．Ⅰ求；Ⅱ若，，求的面积．17.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为PB中点，_____，求证：四边形ABCD是直角梯形，并求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．从；平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答．18.为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在，，，，，单位：小时的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图如图．Ⅰ由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在的概率；Ⅱ为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在和的人中任选3人，求其中在的人数X的分布列和数学期望；Ⅲ假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？只需写出结论19.已知椭圆M：的离心率为，椭圆M与y轴交于A，B两点在下方，且过点的直线l与椭圆M交于C，D两点不与A重合．Ⅰ求椭圆M的方程；Ⅱ证明：直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．20.已知函数，．Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；Ⅱ求函数的单调区间；Ⅲ当时，比较与的大小．21.已知有限数列，从数列中选取第项、第项、、第项，顺次排列构成数列，其中，，则称新数列为的长度为m的子列．规定：数列的任意一项都是的长度为1的子列．若数列的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列为完全数列．设数列满足，，．Ⅰ判断下面数列的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列：3，5，7，9，11；数列：2，4，8，16．Ⅱ数列的子列长度为m，且为完全数列，证明：m的最大值为6；Ⅲ数列的子列长度，且为完全数列，求的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，0，1，，．故选：B．进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：对应的点的坐标为，由题意可得，即．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，结合题意即可求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：在的展开式中，含的项为，故的系数为：．故选：C．由题意利用二项展开式的通项公式，求得的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.答案：A解析：解：向量，，若，则，实数，故选：A．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t的值．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．5.答案：B解析：解：，又，，即，，，，故选：B．利用对数函数和指数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．6.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体．如图所示：由于，，下底面为等腰直角三角形．所以：，，，．故选：C．首先把三视图转换为直观图，进一步求出三角形的最大面积．本题考查的知识要点：三视图和直观体之间的转换，几何体的表面三角形的面积的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：A解析：解：由双曲线方程可得，，则，则渐近线方程为：，，又，则，当时，，当时，，故点P的横坐标为，故选：A．根据条件得到渐近线方程为：，再由面积为5得到，再带回渐近线方程即可得到横坐标本题考查根据双曲线方程求解器渐近线方程，三角形面积公式，属于基础题8.答案：A解析：解：函数，可得其单调递增区间为：，．取，可得：，．由“函数在上单调递增”，，解得：．“函数在上单调递增”是“”的充分不必要条件．故选：A．函数，可得其单调递增区间为：，取，可得：，根据“函数在上单调递增”，可得范围，即可判断出关系．本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：过函数的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，又，于是，则，；，于是当点P到直线的距离为时，则满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，，解得或又当时，函数的图象与直线没有交点，从而只有两个点到直线距离为，所以不满足；故．故选：C．要满足到直线的距离为的点P有且仅有3个，则需要直线与函数的图象相交，而且点P在函数的图象上满足在直线一侧一个点到直线距离为，另外一侧两个点到直线距离为于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题．本题考查了两个函数图象位置关系、求曲线切线方程和点到直线距离，考查了学生的数形结合思想和转化能力，属于中档题．10.答案：B解析：解：因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确，又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：，对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分，故选：B．根据乙、丙得分一样得到第2，5两题答案正确，再结合甲的答案推得正确答案为：，即可计算m本题考查学生合情推理的能力，以乙、丙得分一样为突破口，属于中档题．11.答案：5解析：解：因为，则，当且仅当即时取等号，故答案为：5由，然后结合基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．12.答案：解析：解：由，可得：，数列为等差数列，公差为．则数列的前n项和．故答案为：．由，可得：，利用等差数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.答案：解析：解：点M在抛物线上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，设，可得，解得，所以，点M到其顶点O的距离为：．故答案为：．利用已知条件求出M的坐标，然后求解点M到其顶点O的距离．本题考查抛物线的简单性质的应用，两点间距离公式的应用，是基本知识的考查．14.答案：解析：解：在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称，点在角的终边上，则在的终边上，若，，且，故答案为：，．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．15.答案：解析：解：用代替x，有成立，即正确；，，故，即，即，解得，即正确；，若存在点P，使的面积大于，则，即．，，故不存在点P符合题意，即错误．故答案为：．根据对称性的特点，用代替x，代入曲线C中，若等式依然成立，则关于y轴对称；列出不等式，，解之即可得横坐标的取值范围；采用分析法，，要使的面积大于，则，即，再列出不等式，而，解出y的取值范围，即可进行判断．本题考查曲线与方程，考查学生的推理论证能力和运算能力，属于中档题．16.答案：解：Ⅰ在中，由正弦定理，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，Ⅱ因为，，由余弦定理，可得，所以，，所以．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tan B，进而可求B；由余弦定理及基本不等式可求ac的范围，然后结合三角形的面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．17.答案：解：选择．先证四边形ABCD是直角梯形．平面ABCD，，．，．又，，得．又，平面PAD，则．又，．四边形ABCD是直角梯形．再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．过A作AD的垂线交BC于点M．平面ABCD，，．如图建立空间直角坐标系．则0，，2，，2，，0，．为PB的中点，．，，．设平面PCD的法向量为，则，令，得．设直线AE与平面PCD所成的角为，．直线AE与平面PCD所成角的正弦值为．选择．先证四边形ABCD是直角梯形．平面ABCD，，．，．，，得．，平面PAD，则．平面PAD，平面ABCD，平面平面，，则四边形ABCD是直角梯形．再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．同上．解析：选择．由平面ABCD，可得，求解三角形得再由直线与平面垂直的判定可得平面PAD，则进一步得到可得四边形ABCD是直角梯形．过A作AD的垂线交BC于点以A为坐标原点建立空间直角坐标系求出平面PCD的法向量与的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE与平面PCD所成的角的正弦值．选择．由平面ABCD，可得，求解三角形得再由直线与平面垂直的判定可得平面PAD，则再由平面PAD，得，则四边形ABCD是直角梯形．直线AE与平面PCD所成角的正弦值同．本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18.答案：解：Ⅰ因为，所以．因为，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的概率为．Ⅱ由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在和的人分别为5人和3人．所以X的所有可能取值为0，1，2，3．，，，．所以X的分布列为：X012 3P所以数学期望．样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在．解析：Ⅰ由频率和为1，可求出a的值，然后结合频率组距、组距和样本总量，求出该天居家自主学习和锻炼身体总时间在的学生人数，即可求得对应的概率；Ⅱ由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在和的人分别为5人和3人，所以X的所有可能取值为0，1，2，然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；根据平均数的含义进行估量即可得解．本题考查频率分布直方图、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.答案：Ⅰ解：由题意得，解得．椭圆M的方程为；Ⅱ证明：由题意，直线l的斜率存在．当时，直线l的方程为，代入椭圆方程有．则．．．当时，则直线l的方程为．由，得．设，，则，．又，，．即直线AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．解析：Ⅰ由题意得关于a，b，c的方程组，求得a，b，c的值，则椭圆方程可求；Ⅱ由题意，直线l的斜率存在．当时，直线l的方程为，代入椭圆方程求得C，D的坐标，直接求AC与AD斜率的乘积；当时，则直线l的方程为联立直线方程与椭圆方程化为关于x的一元二次方程，利用斜率公式及根与系数的关系即可求得AC的斜率与直线AD的斜率乘积为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：Ⅰ当时，，因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为．定义域为R．因为，当时，恒成立．所以函数在R上单调递增，当时，恒成立．所以函数在R上单调递增．当时，令，则或，所以当时，或，当时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减，综上可知，当时，函数在R上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．：由Ⅱ可知，当时，函数在R上单调递增；所以当时，，因，所以，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减．当，即时，．所以当时，函数在上单调递减，上单调递增，，所以．当，即时，．由上可知，，因为，设．因为，所以在上单调递增．所以．所以所以，当，即时，．因为函数在上单调递减，所以当时，．所以．综上可知，，解析：先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论即可求解；结合中对单调性的讨论，可求的最值，进而可比较大小．本题主要考查了利用导数求解曲线的切线方程及单调性的讨论，体现了分类讨论思想的应用．21.答案：解：Ⅰ数列不是的完全数列；数列是的完全数列．理由如下：数列：3，5，7，9，11中，因为，所以数列不是的完全数列；数列：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列是的完全数列．Ⅱ假设数列长度为，不妨设，各项为．考虑数列的长度为2，3，的所有子列，一共有个．记数列的长度为2，3，的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a，最大值为A．所以，．所以其中必有两个子列的所有项之和相同．所以假设不成立．再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意．所以子列的最大长度为6．Ⅲ数列的子列长度，且为完全数列，且各项为．所以，由题意得，这5项中任意项之和不小于．即对于任意的，有，即．对于任意的，设2，3，4，，则数列的前j项和2，3，4，．下面证明：．因为，，．所以，当且仅当2，3，4，时，等号成立．所以求的最大值为．解析：Ⅰ直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．Ⅱ根据定义的应用求出子列的长度．Ⅲ利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．本题考查的知识要点：数列的信息题的应用，关系式的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．。
北京市昌平区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题含解析
北京市昌平区2019-2020学年高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，当阿基里斯跑完下-个10米时，乌龟先他1米....所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为（ ）A ．5101900-米B ．510990-米C ．4109900-米D ．410190-米【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===，由110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，再求和. 【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，设11100,,0.110n a q a ===， 所以110.110010n n a -⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，解得4n =，所以()44441110011011111001190a q S q⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭==-=--. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力，属于中档题. 2．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ）【解析】 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -=解得z =本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.3．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】 【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1．本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 4．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是 A ．1+i B ．1−iC ．−1+iD ．−1−i【答案】B 【解析】分析：化简已知复数z ，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=21i -()()()21+=111i i i i =+-+ ∴z 的共轭复数为1﹣i. 故选B ．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．5．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（ ）A ．30i >?B ．40i >?C ．50i >?D ．60i >?【答案】B 【解析】 【分析】由30020010203040=++++，则输出为300，即可得出判断框的答案 【详解】由30020010203040=++++，则输出的值为300，401050i =+=，故判断框中应填40i >？ 故选：B ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 6．已知i 是虚数单位，若z211i i=+-，则||z =（ ） A 2 B ．2C 10D ．10【分析】根据复数模的性质计算即可. 【详解】 因为z211i i=+-， 所以(1)(21)z i i =-+，|||1||21|z i i =-⋅+==，故选：C 【点睛】本题主要考查了复数模的定义及复数模的性质，属于容易题.7．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x L 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x L 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y L ，其线性回归方程ˆˆˆybx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++=L ，1210010y y y y ++=L ”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C 【解析】 【分析】①根据线性相关性与r 的关系进行判断, ②根据相关指数2R 的值的性质进行判断, ③根据方差关系进行判断,④根据点()00,x y 满足回归直线方程，但点()00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，而回归直线必过样本中心点，可进行判断. 【详解】①若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1,故①正确; ②用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果,2R 越大,模型的拟合效果越好,故②错误;③若统计数据123,,,,n x x x x L 的方差为1,则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x L 的方差为224=,故③正确; ④因为点()00,x y 满足回归直线方程，但点()00,x y 不一定就是这一组数据的中心点，即1210010x x x x +++=L ，1210010y y y y ++=L 时，点 ()00,x y 必满足线性回归方程 ˆˆˆybx a =+；因此“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆy bx a =+”是“1210010x x x x +++=L ，1210010y y y y ++=L ”必要不充分条件.故 ④错误; 所以正确的命题有①③. 故选：C. 【点睛】本题考查两个随机变量的相关性，拟合性检验，两个线性相关的变量间的方差的关系，以及两个变量的线性回归方程，注意理解每一个量的定义，属于基础题.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( ) A ．9 B ．12C ．15-D ．18-【答案】A 【解析】 【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案. 【详解】设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题. 9．设,,D E F 分别为ABC ∆的三边BC,CA,AB 的中点，则EB FC +=u u u v u u u v（ ）A ．12AD u u uvB ．AD uuu vC ．BC uuu vD ．12BC u u uv【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,画出几何图形,根据向量加法的线性运算即可求解. 【详解】根据题意,可得几何关系如下图所示:()12EB BC BA =-+u u u v u u u v u u u v ,()12FC CB CA =-+u u u v u u uv u u u v()()1122EB FC BC BA CB CA +=-+-+u u u v u u u v u u uv u u u v u u u v u u u v1122AB AC AD =+=u u uv u u u v u u u v 故选:B 【点睛】本题考查了向量加法的线性运算,属于基础题.10．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A ．55-B 5C ．25D 25【答案】D 【解析】 【分析】倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果. 【详解】解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，tan 2θ=.又θ为直线倾斜角，解得25sin =5θ. 故选：D. 【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.11．已知平面向量a r ，b r满足()1,2a =-r ，()3,b t =-r ，且()a ab ⊥+r r r ，则b =r （ ）A ．3B ．10C ．23D ．5先求出a b +r r，再利用()0a a b ⋅+=r r r 求出t ，再求b r .【详解】解：()()()1,23,2,2t t a b -+-=-=-+r r由()a a b ⊥+r r r ，所以()0a a b ⋅+=r r r()()()12220t ⨯-+-⨯-=，1t =，()3,1b =-r，10=r b故选：B 【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.12．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图依次判断每个选项得到答案. 【详解】由绘制出的折线图知：在A 中，各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关，故A 正确；在D 中，从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值，先上升后下降，故D 错误. 故选：D. 【点睛】本题考查了折线图，意在考查学生的理解能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市昌平区2020届高三数学第二次统一练习二模试题含解析
北京市昌平区2020届高三数学第二次统一练习（二模）试题（含解析）一、选择题（共10小题）.1. 已知集合{|21}A x x =-<<，{2,1,0,1,2}B =--，则集合=A B （ ） A. {0}B. {1,0}-C. {0,1}D.{1,0,1}-【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可.【详解】因为集合{|21}A x x =-<<，{2,1,0,1,2}B =--，故=A B {1,0}-. 故选：B.【点睛】本题主要考查了交集的基本运算,属于基础题.2. 在复平面内，复数()i i a -对应的点的坐标为(1,2)-，则实数a =（ ） A. 1 B. 1﹣C. 2D. 2﹣【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算公式对已知式子进行整理，结合所给点的坐标即可求出a .【详解】解：()1i i a ai -=--，由题意知，1ai --对应的点的坐标为(1,2)-，则2a =-， 故选:D【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了已知复数对应点坐标求参数，属于基础题. 3. 在（x ﹣2）5的展开式中，x 2的系数为（ ） A. ﹣40 B. 40C. ﹣80D. 80【答案】C 【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得x 2的系数．【详解】在（x ﹣2）5的展开式中，含x 2的项为()32225280C x x =--⋅，故x 2的系数为：﹣80． 故选：C.【点睛】本题主要考查了利用二项式定理求指定项的系数，属于基础题. 4. 已知向量(),1a t =，()1,2b =.若a b ⊥，则实数t 的值为（ ） A. －2 B. 2C. 12-D.12【答案】A 【解析】 【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求出t 的值.【详解】解：∵向量()1a t =，，()1,2b =，若a b ⊥，则20a b t ⋅=+=， ∴实数2t =-， 故选：A.【点睛】本题考查向量垂直的求参，重在计算，属基础题. 5. 设0.30.512,()2,ln 2c a b -===，则（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D.b ac <<【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的性质，求得1b a >>，再结合对数函数的性质，得到01c <<，即可求解. 【详解】由指数函数的性质和0.50.51()22b -== ，可得00.30.5222<<，即1b a >>根据对数函数的性质，可得ln1ln 2ln e <<， 因为ln 2c =，所以01c <<， 综上可得b a c >>.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的比较大小，其中解答中熟记指数函数与对数函数图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.6. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是（ ）A. 4B. 8C. 6D. 46【答案】C 【解析】 【分析】首先根据几何体的三视图还原空间几何体的直观图，进一步求出三角形的最大面积． 【详解】根据几何体的三视图还原得到该几何体的直观图为：该几何体为三棱锥体． 如图所示：由于2,4AB BD ==，下底面BCD 为等腰直角三角形． 可得12223262ACDS=⨯=14242ABDS =⨯⨯=，14242BCDS =⨯⨯=，1222222ABCS=⨯= 所以该四面体四个面的面积中，最大的是26ACDS =．故选：C ．【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.7. 已知点P 是双曲线C ：x 224y -=1的一条渐近线y ＝kx （k ＞0）上一点，F 是双曲线C 的右焦点，若△OPF 的面积为5，则点P 的横坐标为（ ） A. 55 C. 5± D. 25【答案】A 【解析】 【分析】根据条件得到渐近线方程为：y ＝2x ，再由面积为5得到y P 5可得到横坐标.【详解】由双曲线方程可得a ＝1，b ＝2，则c 415=+=则渐近线方程为：y ＝2x ，F 50）， 又S 12=c •|y P |＝5，则y P 5 当y ＝5x 52y==， 当y ＝﹣5x 52y==-，故点P 5 故选：A ．【点睛】本题主要考查了双曲线渐近线方程的应用，求出P的纵坐标是解题的关键，属于基础题.8. 已知函数f（x）＝sinωx（ω＞0），则“函数f（x）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“0＜ω≤2”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由263xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得出xω的取值范围，由正弦型函数的单调性列出不等式组可得ω范围，即可判断出关系.【详解】∵263xππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，∴263xππωωω≤≤，由于函数f（x）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴2622232kkππωπππωπω⎧≥-+⎪⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎪⎩（k Z∈）解得312334kkωππωπω≥-+⎧⎪⎪≤+⎨⎪>⎪⎩，（k Z∈）故k只能取0，即34ω<≤，∴“函数f（x）在263，ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增”是“0＜ω≤2”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、三角函数的图象与性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9. 点P在函数y＝e x的图象上．若满足到直线y＝x+a的点P有且仅有3个，则实数a 的值为（ ）A. B. C. 3 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】要满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，则需要直线与函数y ＝e x 的图象相交，而且点P 在函数y ＝e x，另外一侧两．于是就涉及到切线问题，需要求导数，求切点．从而解决问题． 【详解】过函数y ＝e x 的图象上点P （x 0，y 0）作切线，使得此切线与直线y ＝x +a 平行y ′＝e x ，于是01x e =，则x 0＝0，y 0＝1∴P （0，1），于是当点P 到直线y ＝x +a 时，则满足到直线y ＝x +a 的点P 有且仅有3个，∴d ==a ＝﹣1或a ＝3又当a ＝﹣1时，函数y ＝e x的图象与直线y ＝x ﹣1相切，，所以不满足； 故a ＝3． 故选：C ．【点睛】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大. 10. 一次数学考试共有8道判断题，每道题5分，满分40分．规定正确的画√，错误的画╳．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则m 的值为（ ）A. 35B. 30C. 25D. 20【答案】B 【解析】 【分析】根据乙、丙得分一样得到第2，5两题答案正确，再结合甲的答案推得正确答案为：╳╳╳√√╳√╳，即可计算m【详解】因为乙、丙第2，5题答案相同，且总得分相同，所以第2，5两题答案正确， 又因为甲得分30分即甲错两题且第2题、第5题答案均与乙丙不同，故其余6题答案均正确，故而这8道判断的答案分别是：╳╳╳√√╳√╳，对比丁的答案，可知其2、8两题错误，故得分m ＝6×5＝30， 故选：B.【点睛】本题主要考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知1a >，则41a a +-的最小值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】 由441111a a a a +=-++--，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1a >，则441111a a a a +=-++--15≥=， 当且仅当411a a -=-时，即3a =时取等号，所以41aa+-的最小值为5.故答案为：5.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”，合理构造利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.12. 设{a n}是等差数列，且a1＝3，a n+1＝a n﹣2，则数列{a n}的前n项和S n＝_____．【答案】﹣n2+4n【解析】【分析】由a n+1＝a n﹣2，可得：a n+1﹣a n＝﹣2，利用等差数列的求和公式即可得出．【详解】由a n+1＝a n﹣2，可得：a n+1﹣a n＝﹣2，∴数列{a n}为等差数列，公差为﹣2．则数列{a n}的前n项和S n＝3n()12n n-+⨯（﹣2）＝﹣n2+4n．故答案为：﹣n2+4n．【点睛】本题主要考查了等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.13. 已知点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，则点M 到其顶点O的距离为_____．【解析】【分析】利用已知条件求出M的坐标，然后求解点M到其顶点O的距离．【详解】点M在抛物线y2＝4x上，若以点M为圆心的圆与x轴和其准线l都相切，设M（x，x+1），可得（x+1）2＝4x，解得x＝1，所以M（1，2），点M到其顶点O=【点睛】本题主要考查了抛物线简单几何性质，考查了运算能力，属于中档题.14. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称，点(,1)M x -在角β的终边上．若1sin 3α=，则sin β＝_____；x ＝_____．【答案】 (1). 13- (2). ± 【解析】 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得结果．【详解】解：在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称，点(,1)M x -在角β的终边上，则(,1)N x -在α的终边上，则1sin 3α==x =±1sin 3β==-.故答案为：13-；±．【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题.15. 曲线C 3=，点P 在曲线C 上．给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②曲线C 上的点的横坐标的取值范围是[﹣2，2]；③若A （﹣1，0），B （1，0），则存在点P ，使△PAB 的面积大于32． 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①② 【解析】 【分析】①根据对称性的特点，用﹣x 代替x ，代入曲线C 中，若等式依然成立，则关于y 轴对称；②列出不等式，3=≥的取值范围； ③采用分析法，12PABP SAB y =⋅⋅=|y P |，要使△PAB 的面积大于32，则32P y ＞，即294P y ＞，再列出不等式，而3=≥y的取值范围，即可进行判断． 【详解】解：①用﹣x 代替x ，有==3成立，即①正确；②∵y 2≥0，∴3=≥故（x 2﹣1）2≤9，即﹣3≤x 2﹣1≤3，即﹣2≤x 2≤4，解得﹣2≤x ≤2，即②正确； ③11222PABP P P SAB y y y =⋅⋅=⨯⋅=，若存在点P ，使△PAB 的面积大于32，则32P y ＞，即294P y ＞．∵3=≥ ∴y 2≤294＜，故不存在点P 符合题意，即③错误． 故答案为：①②．【点睛】此题考查曲线与方程的关系，考查点与曲线的位置关系，属于中档题 三、解答题.共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 在△ABC a cos B ＝b sin A ． （1）求∠B ；（2）若b ＝2，c ＝2a ，求△ABC 的面积．【答案】（1）3π；（2． 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tan B ，进而可求B ； （2）由余弦定理及已知条件可求a ，c 的值，然后结合三角形的面积公式可求． 【详解】解：（1）在△ABC 中，由正弦定理，cos sin B b A =，cos sin sin A B B A =，因为sin A ≠0， 所以3cos sin B B =， 所以tan B 3=， 因为0＜B ＜π，所以3B π=，（2）因为b ＝2，c ＝2a ，由余弦定理b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ， 可得22144222a a a a =+-⨯⨯， 所以a 233=，c 433=，所以11234332322ABCSacsinB ==⨯⨯⨯=． 【点睛】此题考查正、余定理的应用，考查三角恒等变换有应用，考查三角形面积公式的应用，属于中档题17. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝CD ＝2，BC ＝3，23PC =，E 为PB 中点，_____，求证：四边形ABCD 是直角梯形，并求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值．从①CD ⊥BC ；②BC ∥平面PAD 这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答． 【答案】答案见解析. 【解析】 【分析】 选择①．由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ，PA ⊥CD ．求解三角形得CD ⊥PD ．再由直线与平面垂直的判定可得CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AD ．进一步得到AD ∥BC ．可得四边形ABCD 是直角梯形．过A 作AD 的垂线交BC 于点M ．以A 为坐标原点建立空间直角坐标系A ﹣xyz ．求出平面PCD 的法向量与AE 的坐标，再由两向量所成角的余弦值可得直线AE 与平面PCD 所成的角的正弦值． 选择②．由PA ⊥平面ABCD ，可得PA ⊥AD ，PA ⊥CD ．求解三角形得CD ⊥PD ．再由直线与平面垂直的判定可得CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AD ．再由BC ∥平面PAD ，得BC ∥AD ，则四边形ABCD 是直角梯形．直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值同①． 【详解】选择①．先证四边形ABCD 是直角梯形． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AD ，PA ⊥CD ．∵PA ＝AD ＝CD ＝2，∴PD =又∵PC =CD 2+PD 2＝PC 2，得CD ⊥PD ． 又∵PA ∩PD ＝P ，∴CD ⊥平面PAD ，则CD ⊥AD ． 又∵CD ⊥BC ，∴AD ∥BC ． ∴四边形ABCD 是直角梯形．再求直线AE 与平面PCD 所成角的正弦值． 过A 作AD 的垂线交BC 于点M ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AM ，PA ⊥AD ． 如图建立空间直角坐标系A ﹣xyz ．则A （0，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2）． ∵E 为PB 的中点，∴E （1，12-，1）． ∴1112AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，()222PC =-，，，()022PD =-，，． 设平面PCD 的法向量为()n x y z ，，=，则2220220n PC x y z n PD y z ⎧⋅=+-=⎨⋅=-=⎩，令y ＝1，得()011n =，，． 设直线AE 与平面PCD 所成的角为α，∴sinα＝|cos n AE＜，＞|11112 2322-⨯+⨯==⨯．∴直线AE与平面PCD所成角的正弦值为26．选择②．先证四边形ABCD是直角梯形．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD．∵PA＝AD＝CD＝2，∴22PD=．∵23PC=，CD2+PD2＝PC2，得CD⊥PD．∵PA∩PD＝P，∴CD⊥平面PAD，则CD⊥AD．∵BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BC∥AD，则四边形ABCD是直角梯形．再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值．同上①．【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之线面角的求法，属于中档题. 18. 为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）【答案】（Ⅰ）a＝0.2；0.2；（Ⅱ）分布列见解析，98；（Ⅲ）[5，6）.【解析】【分析】（Ⅰ）由频率和为1，可求出a的值，然后结合频率/组距、组距和样本总量，求出该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生人数，即可求得对应的概率；（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人，所以X的所有可能取值为0，1，2，3．然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；（III）根据平均数的含义进行估量即可得解．【详解】解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．因为0.2×1×100＝20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为200.2 100．（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．所以X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X ＝0）3538528C C ==，P （X ＝1）2153381528C C C ==， P （X ＝2）1253381556C C C ==，P （X ＝3）3338156C C ==． 所以X 的分布列为：所以数学期望E （X）0123282856568=⨯+⨯+⨯+⨯=． （III ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）． 【点睛】本题主要考查了由频率分布直方图求参数的值，古典概型的应用以及离散型随机变量的分布列，属于中档题.19. 已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>，椭圆M 与y 轴交于A ，B 两点（A在下方），且 4.AB =过点()0,1G 直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点（不与A 重合）. （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）证明：直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值.【答案】（Ⅰ）22154x y +=；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由24AB b ==，c a =（2）分直线l 的斜率0k =和0k ≠两类求解，当0k ≠时，设直线l 的方程为1y kx =+，联立方程组，利用韦达定理求AC AD k k ⋅，化简可得.【详解】（Ⅰ）解：由题意得222524c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.∴椭圆M 的方程为22154x y +=；（Ⅱ）证明：由题意，直线l 的斜率存在，当0k =时，直线l 的方程为1y =，代入椭圆方程有x =则C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，D ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,2)A - ，(0,2)B ，2AC k ==2AD k ==∴125AC AD k k ⋅==-，当0k ≠时，则直线l 的方程为1y kx =+.由221154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224510150k x kx ++-=.设()11,C x y ，()22,D x y ， 则1221045k x x k +=-+，1221545x x k=-+， 又()0,2A -，121222AC AD y y k k x x ++==，，()()()()2121212122121212121233393922AC ADkx kx k x x k x x k x x y y k k k x x x x x x x x +++++++++⋅=⋅===+222222103930364512451515545k k k k k k k k⎛⎫-+ ⎪-+++⎝⎭=+=+=---+，即直线AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值.【点晴】（1）第一问是常规题型，求解时注意椭圆的焦点位置；（2）第二问采用“设而不求”，利用韦达定理直接计算AC AD k k ⋅，考运算能力，化简时要细心，另因为0k =时已求出125AC AD k k ⋅=-，第二问化简时可简略书写. 20. 已知函数f （x ）313x =-ax +a ，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝1时，求曲线y ＝f （x ）在点（0，1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数y ＝f （x ）的单调区间；（Ⅲ）当x ∈（0，2）时，比较f （x ）与|1|a --的大小．【答案】（Ⅰ）10x y +-=；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）()|1|f x a >--. 【解析】 【分析】（I ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程； （II ）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a 进行分类讨论即可求解； （III ）结合（II ）中对单调性的讨论，可求f （x ）的最值，进而可比较大小． 【详解】解：（Ⅰ）当1a =时，31()13f x x x =-+， 因为2()1f x x '=-，所以(0)1f '=-，所以曲线()y f x =在点（0，1）处的切线方程为()110y x -=-⨯-，即10x y +-=． （II ）()f x 定义域为R ． 因为2()f x x a '=-，①当a ＝0时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，②当a ＜0时，()0f x '>恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增．③当a ＞0时，令()0f x '=，则x =x =所以当()0f x '>时，x <x当()0f x '<时，x <<所以函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减，综上可知，当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增；当a ＞0时，函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减．（III ）由（Ⅱ）可知，（1）当0a ≤时，函数()f x 在R 上单调递增， 所以当(0,2)x ∈时，min ()(0)f x f a >=，因为|1|(1)1a a a --=--=-，所以()|1|f x a >--，（2）当a ＞0时，函数()f x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减．①当01<≤，即01a <≤时，|1|0a --≤．所以当(0,2)x ∈时，函数()f x 在上单调递减，2)上单调递增，min ()10f x f a ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以()|1|f x a >--．②当12，即1＜a ＜4时，|1|10a a --=-<．由上可知，min ()1f x f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为()211213a a a ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭，设2()21,(14)3g x x x =--<<．因为()20g x '=，所以()g x 在(1,4)上单调递增． 所以()()1103g x g =＞＞．所以()11210a a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞所以()|1|f x a >--，2≥，即4a ≥时，|1|10a a --=-<． 因为函数()f x在上单调递减， 所以当(0,2)x ∈时，min 8()(2)13f x f a a ==->-． 所以()|1|f x a >--．综上可知，(0,2)x ∈时，()|1|f x a >--.【点睛】本题考查利用导数求切线方程，考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数比较大小，属于较难题.21. 已知有限数列{a n }，从数列{a n } 中选取第i 1项、第i 2项、……、第i m 项（i 1＜i 2＜…＜i m ），顺次排列构成数列{a k }，其中b k ＝a k ，1≤k ≤m ，则称新数列{b k }为{a n } 的长度为m 的子列．规定：数列{a n } 的任意一项都是{a n } 的长度为1的子列．若数列{a n } 的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{a n } 为完全数列．设数列{a n }满足a n ＝n ，1≤n ≤25，n ∈N *． （Ⅰ）判断下面数列{a n } 的两个子列是否为完全数列，并说明由； 数列（1）：3，5，7，9，11；数列 （2）：2，4，8，16．（Ⅱ）数列{a n } 的子列{a k }长度为m ，且{b k }为完全数列，证明：m 的最大值为6；（Ⅲ）数列{a n } 的子列{a k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，求1234511111b b b b b ++++的最大值．【答案】（Ⅰ）数列（1）不是{a n }的完全数列；数列（2）是{a n }的完全数列；理由见解析（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3116． 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用信息的应用和定义的应用整理出结果．（Ⅱ）根据定义的应用求出子列的长度．假设长度为m ≥7，不妨设m ＝7，得出矛盾，再说明长度为6时满足条件.（Ⅲ）利用信息的应用和关系式的恒等变换的应用求出最大值．【详解】（Ⅰ）数列 （1）不是{a n }的完全数列；数列 （2）是{a n }的完全数列． 理由如下：数列 （1）：3，5，7，9，11中，因为3+9＝5+7＝12，所以数列（1）不是{a n }的完全数列； 数列 （2）：2，4，8，16中，所有项的和都不相等，数列（2）是{a n }的完全数列． （Ⅱ）假设数列{b k }长度为m ≥7，不妨设m ＝7，各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 7． 考虑数列{b k }的长度为2，3，…7的所有子列，一共有27﹣1﹣7＝120个．记数列{b k }的长度为2，3，…7的所有子列中，各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为A ．所以a ＝b 1+b 2，A ＝b 1+b 2+25+24+23+22+21＝b 1+b 2+115． 所以其中必有两个子列的所有项之和相同． 所以假设不成立．再考虑长度为6的子列：12，18，21，23，24，25，满足题意． 所以子列{b k }的最大长度为6．（Ⅲ）数列{a n } 的子列{b k }长度m ＝5，且{b k }为完全数列，且各项为b 1＜b 2＜b 3＜…＜b 5． 所以，由题意得，这5项中任意i （1≤i ≤5）项之和不小于2i﹣1． 即对于任意的1≤i ≤5，有， 即11231242-++++≥++++i i b b b b ．对于任意的1≤i ≤5，112(1)(2(2)0--+-++-≥i i b b b ，设12-=-i i i c b （i ＝1，2，3，4，5），则数列{c i }的前j 项和D j ≥0（j ＝1，2，3，4，5）．下面证明：123451111111112416b b b b b ++++≤+++． 因（11112416+++）﹣（1234511111b b b b b ++++）欢迎下载！祝您成绩进步，生活愉快！21 12345111111111124816b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭351241234541612824816b b b b b b b b b b -----=++++， 3243541211234524816D D D D D D D D D b b b b b ----=++++， 123451223344551111111112244881616b b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D D D D D 0． 所以1234511111111311241616b b b b b ++++≤+++=，当且仅当12-=i i b （i ＝1，2，3，4，5）时，等号成立． 所以求1234511111b b b b b ++++的最大值为3116．【点睛】本题考查数列的新定义，考查反证法的应用，考查关系式的恒等变换的应用，属于难题.。
北京市昌平区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
北京市昌平区2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x ax x =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭，所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 2．已知函数()f x 满足()()11f x f x -=+，当1x ≥时，()2f x x x=-，则()}{21x f x +>=（ ）A ．{3x x <-或}0x > B ．{0x x <或}2x > C ．{2x x <-或}0x > D ．{2x x <或}4x >【答案】C 【解析】 【分析】简单判断可知函数关于1x =对称，然后根据函数()2f x x x =-的单调性，并计算21x xx ⎧-=⎪⎨⎪≥⎩，结合对称性，可得结果. 【详解】可知函数()f x 关于1x =对称 当1x ≥时，()2f x x x=-， 可知()2f x x x=-在[)1,+∞单调递增 则2120x x xx ⎧-=⎪⇒=⎨⎪≥⎩ 又函数()f x 关于1x =对称，所以()01f = 且()f x 在(),1-∞单调递减，所以20x +<或22x +>，故2x <-或0x > 所以()}{21x f x +>={2x x <-或}0x > 故选：C 【点睛】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：()()11f x f x -=+，()()110f x f x -++=，考验分析能力，属中档题.3．在区间[]1,1-上随机取一个实数k ，使直线()3y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．14C．2D．4【答案】D 【解析】 【分析】利用直线()3y k x =+与圆221x y +=相交求出实数k 的取值范围，然后利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由于直线()3y k x =+与圆221x y +=1<，解得k <<因此，所求概率为242P ⨯==. 故选：D. 【点睛】4．给出下列三个命题：①“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”的否定；②在ABC V 中，“30B ︒>”是“cos 2B <”的充要条件； ③将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度，得到函数π2cos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象． 其中假命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案. 【详解】对于命题①,因为()220002110x x x --+=≥,所以“2000,210x x x ∃∈-+≤R ”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:ABC V 中,若30B ︒>,则30180B ︒︒<<,由余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即1cos 2B -<<,即可得到cos B <,即充分性成立;必要性:ABCV中,0180B ︒︒<<,若cos 2B <,结合余弦函数的单调性可知,cos180cos cos30B ︒︒<<,即30180B ︒︒<<,可得到30B ︒>,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数2cos2y x =的图象向左平移6π个单位长度,可得到π2cos 23π2cos 26x y x ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎛⎥⎫+ ⎪⎝⎝⎣⎦⎭⎭的图象,即命题③是假命题． 故假命题有①③. 故选:C 【点睛】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.5．连接双曲线22122:1x y C a b -=及22222:1y x C b a-=的4个顶点的四边形面积为1S ，连接4个焦点的四边形的面积为2S ，则当12S S 取得最大值时，双曲线1C 的离心率为（ ） AB．2CD【答案】D 【解析】 【分析】先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得12S S 取得最大值时有a b =，从而求得其离心率.【详解】双曲线22221x y a b-=与22221y x b a -=互为共轭双曲线，四个顶点的坐标为(,0),(0,)a b ±±，四个焦点的坐标为(,0),(0,)c c ±±，四个顶点形成的四边形的面积112222S a b ab =⨯⨯=， 四个焦点连线形成的四边形的面积2212222S c c c =⨯⨯=，所以1222221222S ab ab ab S c a b ab ==≤=+， 当12S S 取得最大值时有a b =，c =，离心率ce a== 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目.6．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r（O 为坐标原点），设OZ r =u u u r ，以射线Ox为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A．B ．4C．D ．16【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin nnr i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可.【详解】)4441216cos sin 266z ii i ππ⎡⎤⎫⎛⎫==+=+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z ==.故选：D 【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.7．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题． 8．下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A ．21y x =+ B ．x x y e e -=- C ．lg y x =D ．2y x =【答案】C 【解析】试题分析：A 中，函数为偶函数，但1y ≥，不满足条件；B 中，函数为奇函数，不满足条件；C 中，函数为偶函数且y R ∈，满足条件；D 中，函数为偶函数，但0y ≥，不满足条件，故选C ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域． 9．已知集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥+，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}，则A ∪B ＝（ ） A ．{﹣1，0，1，2，3} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{x ﹣1≤x≤2}【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 和B 即可求得两个集合的并集. 【详解】∵集合3{|0}2xA x Z x -=∈≥=+{x ∈Z|﹣2＜x≤3}＝{﹣1，0，1，2，3}，B ＝{y ∈N|y ＝x ﹣1，x ∈A}＝{﹣2，﹣1，0，1，2}， ∴A ∪B ＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}．此题考查求集合的并集，关键在于准确求解不等式，根据描述法表示的集合，准确写出集合中的元素. 10．蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所求解的问题同一定的概率模型相联系；用均匀投点实现统计模拟和抽样，以获得问题的近似解，故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为2a 的正方形模型内均匀投点，落入阴影部分的概率为p ，则圆周率π≈（ ）A ．42p +B ．41p +C ．64p -D ．43p +【答案】A 【解析】 【分析】计算出黑色部分的面积与总面积的比，即可得解. 【详解】由2222244S a a p S a ππ--===阴正，∴42p π=+. 故选：A 【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算，属于基础题.11．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程即可得出该双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意可知，双曲线2214x y -=的渐近线方程是2x y =±.本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线的简单性质的合理运用． 12．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离； ②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=． 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】 【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断. 【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ， 显然B ，E ，F 三点不共线，则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+．于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++，所以()()22224224416124a r m mm -=+-++=．所以③正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届北京市昌平区高考数学二模试卷(理)(有答案)(已审阅)
北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所示的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填入的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3]B．[﹣3，﹣2]∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，3]D．[﹣1，0）∪（0，1] 8．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2 C．1+D．2一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，则数列{a n}的通项公式a n=．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=，AC=12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷．某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（用数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）①若a3=，则a=；②记S n=a1+a2+…+a n，则S2016=．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩[85，100][70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，x3，…，x n中的最大值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求d n的最小值．北京市昌平区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分子分母同时乘以1+i，直接利用复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的几何量，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的一个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线方程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满足．则z=2x﹣y的最小值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成立，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平面，b是直线且b⊂β“b⊥α”⇒α⊥β；反之不成立，若α⊥β，b⊂β，b⊥α不一定成立．故选：A．5．过点A和圆心O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB•AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△ADO==，解得DE．由DE⊥BC，可得BE•EC=DE2，即BE•（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB•AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△ADO==，解得DE==2．∵DE⊥BC，∴BE•EC=DE2，即BE•（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC•BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所示的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填入的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满足条件，退出循环，从而可得判断框内应填入的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运行过程，得S=0，i=1满足条件，执行循环体，S=2，i=2满足条件，执行循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填入的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所示，那么满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3]B．[﹣3，﹣2]∪（0，1]C．[﹣2，0）∪[1，3]D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利用函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成立；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满足不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满足不等式f（x）≥2x﹣1；∴满足不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意找出使得λ+μ最大的顶点C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的最大值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+μ最大；作平行四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；又；∴；即λ+μ的最大值为．故选C．一、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．已知S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，则数列{a n}的通项公式a n=2n（N*）．【考点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】根据等比数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等比数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公比q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】求出极坐标方程的普通方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通方程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上一点，则|OA|的最小值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上一点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB=，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利用正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为三棱锥．AC⊥侧面PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为三棱锥，AC⊥侧面PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3月12日，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园一带一谷”七大板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“一带”即草莓休闲体验带；“一谷”即延寿生态观光谷．某校学生准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“一馆一园一带一谷”进行参观，那么他们参观的不同路线最多有144种．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择一馆一园一带一谷，再进行排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）①若a3=，则a=；②记S n=a1+a2+…+a n，则S2016=1512．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．②a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满足条件．∴a=．②a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利用周期公式可求ω，又函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，又结合范围﹣＜x0＜，从而可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，又∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，又∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解高一新生数学基础，甲、乙两校对高一新生进行了数学测试．现从两校各随机抽取10名新生的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）比较甲、乙两校新生的数学测试样本成绩的平均值及方差的大小；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采用A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学生成绩均在60分以上）测试成绩[85，100][70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新生的测试成绩互相独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，求甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用均值与方差的定义分别求出甲、乙两校新生的数学成绩的均值与方差，从而得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新生的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新生的数学测试样本成绩的方差小于乙校新生的数学测试样本成绩的方差．（2）设事件D=“从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从乙校新生中随机抽取一名新生，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++•=，因此，从甲、乙两校新生中各随机抽取一名新生，甲校新生的数学基础等级高于乙校新生的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正方形A1ACC1所在平面，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的一点（端点除外），平面AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平面BC1D所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平面BC1D，由线面平行的性质得出AB1∥EF；（II）以C1为原点建立空间坐标系，求出和平面BC1D的法向量，则AE与平面BC1D所成角的正弦值为|cos＜＞|；（III）设=λ，求出和的坐标，令•=0解出λ．【解答】证明：（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD．∵四边形BCC1B1是平行四边形，∴G为B1C的中点，∵D为AC中点，∴GD∥AB1．又GD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D．∵AB1⊂平面AB1EF，平面AB1EF∩平面BC1D=EF，∴AB1∥EF．（II）以C1为原点，以C1A1，C1C，C1B1为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示．则A（2，2，0），E（0，1，），B（0，2，1），C1（0，0，0），D（1，2，0）．∴=（﹣2，﹣1，），=（0，2，1），=（1，2，0）．设平面BC1D的法向量为=（x，y，z），则∴，令y=1，得=（﹣2，1，﹣2）．∴cos＜，＞===．∴AE与平面BC1D所成角的正弦值为．（III）假设在线段BC1上存在点E，使得A1E⊥CE，设=λ，则=（0，，）．∴=﹣=（﹣2，，），==（0，﹣，）．∵A1E⊥CE，∴．即．解得：λ=．∴在线段BC1上存在点E，使得A1E⊥CE，且=．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）分别求得f（x）和g（x）的导数，由题意可知：即可求得c的值及a、b的关系；（Ⅱ）写出h（x）的表达式，求导，构造辅助函数F（x）=h′（x），由∀a∈R，F′（x）＞0，即可判断h′（x）的单调性，求得h′（x）的零点，并根据h′（x）判断出h（x）的单调性；（Ⅲ）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数，将问题转化为：h（x）max﹣h（x）min=e a﹣a≤e﹣1，即当a≥0时，G（a）=e a﹣a﹣（e﹣1）≤0，求得函数的单调性，求得a的取值范围．【解答】解：（I）∵函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c，∴函数f′（x）=ae ax，g′（x）=﹣2x+b．曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线，∴，即，∴c=1，a=b；…（II）由已知，h（x）=f（x）﹣g（x）=e ax+x2﹣ax﹣1．∴h′（x）=ae ax+2x﹣a，设F（x）=ae ax+2x﹣a，所以F′（x）=a2e ax+2，∀a∈R，F′（x）＞0，所以h′（x）在（﹣∞，+∞）上为单调递增函数．…由（I）得，f′（0）=g′（0）所以h′（0）=f′（0）﹣g′（0）=0，即0是h′（x）的零点．所以，函数h（x）的导函数h′（x）有且只有一个零点0．…所以h′（x）及h（x）符号变化如下，x （﹣∞，0）0 （0，+∞）h（x）﹣0 +h′（x）↘极小值↗所以函数h′（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．…（III）由（II）知当x∈[0，1]时，h（x）是增函数．对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，等价于h（x）max﹣h（x）min=h（1）﹣h（0）=e a﹣a≤e﹣1，等价于当a≥0时，G（a）=e a﹣a﹣（e﹣1）≤0，∵G′（a）=e a﹣1≥0，∴G（a）在[0，+∞）上是增函数，又G（1）=0，所以a∈[0，1]．…19．已知椭圆M： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，x3，…，x n中的最大值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求d n的最小值．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意，max{a n，b n}=max{， }，﹣=，分别求得k=1、k=2及k≥3时，分别求得max{a n，b n}；（Ⅱ）当k=2时，由（Ⅰ）可得d n=max{a n，c n}=max{， }，根据数列的单调性求得n=，d n取得最小值，44＜＜45，分别求得d44和d45，比较即可求得d n取得最小值；（Ⅲ）由（II）可知，当k=2时，d n的最小值为，当k=1及k≥3时，根据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较即可求得d n取得最小值；【解答】解：（I）由题意，max{a n，b n}=max{， }，因为﹣=，所以，当k=1时，＜，则max{a n，b n}=b n=，当k=2时，=，则max{a n，b n}=a n=，当k≥3时，＞，则max{a n，b n}=a n=．…（II）当k=2时，d n=max{a n，b n，c n}=max{a n，c n}=max{， }，因为数列{a n}为单调递减数列，数列{c n}为单调递增数列，所以当=时，d n取得最小值，此时n=．又因为44＜＜45，而d44=max{a44，c44}=a44=，d45=c45=，有d44＜d45．所以d n的最小值为．…（III）由（II）可知，当k=2时，d n的最小值为．当k=1时，d n=max{a n，b n，c n}=max{b n，c n}=max{， }．因为数列{b n}为单调递减数列，数列{c n}为单调递增数列，所以当=时，d n取得最小值，此时n=．又因为72＜＜73，而d72=b72=，d72=c72=，．此时d n的最小值为，＞．（2）k≥3时，≥=，a n＞b n，所以d n=max{a n，b n，c n}=max{a n，c n}≥max{， }．设h n=max{， }，因为数列{a n}为单调递减数列，数列{}为单调递增数列，所以当=时，h n取得最小值，此时n=．又因为36＜＜37，而h36=a36=，h37=，＜．此时d n的最小值为，＞．．综上，d n的最小值为d44=．…。
2020年高三二模数学(理)北京昌平区试题Word版带解析
2020年高三二模数学（理）北京昌平区试题Word 版带解析数学试卷(理科) 2019.4考生本卷须知：1.本试卷共6页，分第一卷选择题和第二卷非选择题两部分，总分值150分，考试时间 120分钟．2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时必须使用2B 铅笔．3．修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第一卷〔选择题 共40分〕【一】选择题(本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．) 1. 集合{}2340A x x x =--=，{}0,1,4,5B =，那么AB 中元素的个数为A 、0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3个 【答案】B【解析】{}{}23401,4A x x x =--==-，所以{}4AB =，即A B 中元素的个数为1，应选B【考点】 集合运算 【难度】 1 2.13(21)xdx -⎰等于A 、12- B. 23C. 1D. 6 【答案】A【解析】134100111(21)()|1222x dx x x -=-=-=-⎰，应选A 【考点】 定积分 【难度】 23. 等差数列{}n a 的公差是2，假设134,,a a a 成等比数列，那么1a 等于A. 4-B. 6-C. 8-D. 10-【答案】C【解析】依题意2143a a a ⋅=，即2111(6)(4)a a a ⋅+=+，解得18a =-，应选C 【考点】 等差数列；等比数列 【难度】 24. 〝||2b <是〝直线y b =+与圆2240x y y +-=相交〞的6,aA 、充分不必要条件B. 必要不充分条件 C 、充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 2b <等价于22b -<<圆2240x y y +-=的标准方程为22(2)4x y +-=假设直线y b =+与圆2240x y y +-=相交，那么圆心到直线的距离小于半径，即222b -<所以24b -<，解得26b -<< 所以〝||2b <是〝直线y b =+与圆2240x y y +-=相交〞的充分不必要条件，应选A【考点】 充分条件与必要条件；直线与圆的位置关系 【难度】 25. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s 的程序框图，那么图中的判断框内应填入的条件是A. 6i <B. 7i< C. 8i< D. 9i <【答案】B【解析】依题意计算结果应为123456a a a aa a +++++，所以当6i >时应结束循环，应选B【考点】 算法与程序框图【难度】 26 一个几何体的三视图如下图，那么这个几何体的体积为A.36+B.33+C.33+ D.【答案】A【解析】几何体的直观图如右图所示为半个圆锥与一个四棱锥的组合体，所以体积为211112223363π⨯⨯⨯⨯+，应选A侧视图 俯视图【考点】 三视图与直观图 【难度】 37. 函数()y f x =〔x ∈R 〕是奇函数，其部分图象如下图,那么在(2,0)-上与函数()f x 的单调性相同的是A. 21y x =+ B. 2log y x =C. (0)(0)x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ D. cos y x =【答案】D【解析】因为函数()f x 为奇函数，且在(0,2)递增，所以在(2,0)-递增；分别作出四个函数的图象可知选D 【考点】 函数图象 【难度】 38. 四面体A BCD -满足以下条件：〔1〕有一个面是边长为1的等边三角形； 〔2〕有两个面是等腰直角三角形. 那么四面体A BCD -的体积的取值集合是 A 、1{,}212 B 、1{,}612C、{}121224 D、1{,}61224 【答案】C【解析】设PAB ∆为边长为1的等边三角形，根据对称性，此时共有三种可能1.假设90APC BPC ∠=∠=，那么1PC =，此时PC ⊥平面PAB，体积为1111sin 60132⨯⨯⨯⨯⨯=。
2020年北京昌平区高三二模数学试卷
故选 ．
7. A
解析:
双曲线：
的渐近线方程为
，右焦点在
，
设 点坐标为
，
则
的面积
，
7
解得
．
故选 ．
8. A 解析: 若函数
在
上单调递增，则
，即
，即
之，若
，则函数 在
上不一定单调递增，故“函数
“ 故选 ．
”的充分而不必要条件．
，解得
，反
在
上单调递增”是
9. C
解析:
由题意，曲线
的图象上到直线
距离为 的点 有且仅有 个，
19. 已知椭圆
的离心率为 ，椭圆 与 轴交于 ， 两点（ 在下
方)，且
．过点
的直线 与椭圆 交于 ， 两点（不与 重合)．
（ 1 ） 求椭圆 的方程；
（ 2 ） 证明：直线 的斜率与直线 的斜率乘积为定值．
20. 已知函数
，
．
（1） 当
时，求曲线
在点 处的切线方程．
（ 2 ） 求函数
的单调区间．
（3） 当
4. A
解析:
∵
，
又∵
，
∴
∴
．
故选 ．
， ，
5. B
解析:
∵
，
∴
，Байду номын сангаас
又∵
， ，
，
，由
得
，则 的系数为
6
∴
，
又∵
，
又
，
∴
，
∴
．
故选 ．
6. C 解析: 在长方体中作出该几何体的直观图，如图所示，
三棱锥
昌平区2020年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案与评分标准
昌平区 2020 年高三年级第二次统一练习数学试卷参考答案及评分标准2020.6一、选择题（共10 小题，每小题 4 分，共 40 分）题号（ 1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（ 9）（10）答案B D C A BＣＡA C B二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25分）（11）5（ 12） S n n24n（13） 5（ 14）12 2（ 15）①②；3（注：第 14 题第一空 3 分 ,第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得0分，其他得 3 分.）三、解答题共 6 小题，共85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（16）（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）在 ABC 中，由正弦定理，因为3a cos B bsin A ，所以 3 sin Acos B sin Bsin A.⋯⋯⋯⋯⋯ ..2分因为 sin A0 ，所以 3 cos B sin B.所以 tan B 3.⋯⋯⋯⋯⋯ ..4分因为0Bπ，π⋯⋯⋯⋯⋯ ..6 分所以B.3（Ⅱ）因为 b2， c2a，由余弦定理 b2a2c22ac cos B 可得4a24a22a2a1.⋯⋯⋯⋯⋯ ..8分2所以 a 23,c43.⋯⋯⋯⋯⋯ ..12分33所以 S ABC 1acsin B1 2 3 433 2 3 .⋯⋯⋯⋯⋯ ..14 分223323（17）（本小题满分 14 分）解 1；选择①因为 PA平面 ABCD ，所以 PA AD，PA CD .⋯⋯⋯⋯⋯ ..1 分因为 PA AD CD 2 ，所以 PD2 2 .因为 PC2 3 ，所以 CD2PD 2PC2.所以 CD PD .⋯⋯⋯⋯⋯ .4分因为 PAI PD P ，所以 CD平面 PAD .⋯⋯⋯⋯⋯ .6分所以 CD AD .因为 CD BC ，所以 AD// BC.⋯⋯⋯⋯⋯ .7分所以四边形 ABCD 是直角梯形.解 2；选择②因为 PA平面 ABCD ，所以 PA AD，PA CD .⋯⋯⋯⋯⋯ ..1分因为 PA AD CD 2 ，zP所以 PD2 2 .因为 PC2 3 ，E所以CD2PD 2PC2.所以 CD PD .⋯⋯⋯⋯⋯.4因为 PAI PD P ，所以 CD平面PAD .所以 CD AD.因为 BC // 平面 PAD ， BC 所以 BC// AD.A Dy 分MB Cx⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分平面 ABCD ，平面 PAD I 平面 ABCD =AD ，所以四边形ABCD 是直角梯形.⋯⋯⋯⋯⋯.7分过A作 AD的垂线交 BC于点 M .因为 PA 平面 ABCD ，所以 PA AM , PA AD .⋯⋯⋯⋯⋯.8分如图建立空间直角坐标系 A xyz .⋯⋯⋯⋯⋯.9分则 A(0,0,0), C (2,2,0), D (0,2,0), P(0,0,2) . 因为 E 为 PB 中点， 所以 E(1,1,1).uuur2uuuruuur1 (2,2,(0,2, 2) .⋯⋯⋯⋯⋯ .10 分所以 AE(1,,1),PC 2), PD2r设平面 PCD 的法向量为 n ( x, y, z) ，则 r uuur 0, 2x 2 y 2z 0,n PC r uuur 即 2y 2z 0. ⋯⋯⋯⋯⋯ .11分n PD 0.令 y1,则 z 1, x0 .r (0,1,1)于是 n .⋯⋯⋯⋯⋯ .12 分设直线 AE 与平面 PCD 所成的角为，r uuurr uuur 11 1 1所以 sinn AE2 2.| cos n, AE | ruuur36| n || AE |22所以直线 AE 与平面 PCD 所成角的正弦值为2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .14分6(18)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）因为 (0.05+0.1+0.18+ a0.320.1 0.03 0.02)1 1 ，所以 a0.2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .2分因为 0.2 1 100=20 ，所以居家自主学习和锻炼身体总时间该天在 [5,6) 的学生有 20 人.⋯⋯.3 分所以从该校高三年级中随机抽取一名学生， 这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在 [5,6) 的概率为20 =0.2 . ⋯⋯⋯⋯⋯ .5分100（Ⅱ）由图中数据可知该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3) 和 [8,9) 的人分别有5人和 3 人.⋯⋯⋯⋯⋯.6 分所以 X 的所有可能取值为0,1,2,3.⋯⋯⋯⋯⋯.7 分P( X 0) C 53 5P( X1) C 52C 31 15,C 3，C 3282888P( X 2) C 51C 32 153)C 331⋯⋯⋯⋯⋯.9 分C 3 ， P(XC 3 .565688所以 X 的分布列为X0123P51515128285656所以 X 的期望E(X)051152 15319.⋯⋯⋯⋯ .11 分282856568（ III ）样本中的100 名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5,6) .⋯14分(19) （本小题满分15 分）c5,a5,a5解：（Ⅰ）由题意得2b4,解得b2,⋯⋯⋯⋯⋯ .3 分a2b2c2 ,c 1.即椭圆的方程为x2y21．⋯⋯⋯⋯⋯ .5分54（Ⅱ）法一由题意，直线l 的斜率存在.当 k 0时，直线l的方程为y1.代入椭圆方程有x 15. 2则 C (15,1), D (15,1) . 22所以 k AC 216216. 15, k AD15151522所以 k AC kAD6612 .⋯⋯⋯⋯⋯ .8分15155当 k0时，则直线 l 的方程为y kx1．y kx1,由x2y2，得 (4 5k 2 ) x210kx150 .⋯⋯⋯⋯⋯.9 分15 4设C( x1 , y1 ) ， D ( x2 , y2 ) ，则 x 1 x 210k2, x 1 x215 ．⋯⋯⋯⋯ 10 分4 5k 4 5k 2又 A(0, 2) ，所以 k AC y 1 2y 2 2⋯⋯⋯⋯⋯ .11分，k ADx 2 .x 1因为 k ACk AD y 12 y 22 (kx 1 3)( kx 2 3)x 1gx 1x 2x 2k 2 x 1x 2 3k (x 1 x 2 ) 923k ( x 1 x 2 ) 9x 1 x 2kx 1x 23k(10k 2 ) 930k 236 45k 2 12k24 5k k 21515. 54 5k 2即直线 AC 的斜率与直线 AD 的斜率乘积为定值．⋯⋯⋯⋯⋯ .1 5 分法二设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 y kx 1 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分y kx 1,由 x 2 y 2 ，得 (45k 2) x 2 10kx 150 .⋯⋯⋯⋯⋯ .7分154设 C( x 1 , y 1 ) ， D ( x 2 , y 2 ) ，则 xx10k , x x15 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .9 分1 24 5k 2 1 2 4 5k 2又 A(0, 2) ，所以 k ACy 1 2，k AD y 2 2 .⋯⋯⋯⋯⋯ .11分x 1 x 2因为 k ACy 1 2 y 2 2 (kx 1 3)( kx 23)k AD x 1 gx 2 x 1x 2k 2 x 1x 2 3k (x 1 x 2 ) 9k 23k ( x 1 x 2 ) 9x 1 x 2x 1x 23k(10k 2 ) 92 30k 2 36 45k 212k 245k k1515.54 5k 2即直线 AC 的斜率与直线AD 的斜率乘积为定值．⋯⋯⋯⋯⋯ .15 分(20)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）当 a 1时， f (x) 1 x3x 1.3因为 f'( x) x2 1，⋯⋯⋯⋯⋯ .1分所以 f'(0)1.⋯⋯⋯⋯⋯ .2 分所以曲线 y f (x) 在点 (0，1) 处的切线方程为 x y 10 .⋯⋯⋯⋯⋯.4分（ II ）定义域为R .因为 f '( x)x2a, a R .①当 a0 时，f'(x)0恒成立 .所以函数 y f(x) 在(-,+) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯.5 分②当 a0 时，f'(x)0恒成立 .所以函数 y f( x) 在(-,+) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯.6 分③当 a0 时，令f '(x)0 ，则 x a 或 x a .⋯⋯⋯⋯⋯ .7 分所以当 f '(x)0 时， x a 或 x a ；当 f '(x)0时，a x a .⋯⋯⋯⋯⋯ .8分所以函数 y f ( x) 在 (, a ) 和（ a，) 上单调递增，在 (a, a ) 上单调递减.⋯⋯⋯⋯⋯.9 分综上可知，当 a0 时，函数y f (x) 在(-,+ ) 上单调递增；当 a0 时，函数y f ( x) 在 (, a ) 和（a，) 上单调递增，在( a , a ) 上单调递减.（III ）法一：由（Ⅱ）可知，（ 1）当a0 时，函数y f (x) 在(-,+ ) 上单调递增；所以当 x(0,2)时， f min (x) f (0) a.因为 |1 a | =(1 a)a1，所以 f ( x)|1 a | .⋯⋯⋯⋯⋯.10分（ 2）当a0 时，函数y f ( x) 在 (, a ) 和（ a，) 上单调递增，在( a , a ) 上单调递减.①当 0 a 1，即0 a1时，|1 a | 0.所以当 x(0,2) 时，函数 y f ( x) 在 (0, a ) 上单调递减，（ a，2)上单调递增，f min (x) f ( a )1( a )3a a + a3 a( 2a +1) 0 3所以 f ( x)|1a | .⋯⋯⋯⋯⋯ .1 1 分②当 1 a 2 ，即1 a 4 时，|1 a | =1 a 0 .由上可知 fmin ( x) f (a)a(21)，a3因为 a(2 a 1)(1a)2a2a a 1 ，33设 g (x)2x x1,(1x4) . 2x3因为 g '(x)2x0，所以 g( x) 在 (1,4) 上单调递增.所以 g( x)g (1)10 .3所以 a(2 a 1)(1a)2a2a a1033所以 f ( x)|1 a |.⋯⋯⋯⋯⋯ .13 分③当 a2，即a4时，|1 a | =1a0 .所以当 x(0,2)时， f min ( x) f (2)81 a .a3所以 f (x)|1 a | .综上可知，当x(0,2)时， f (x)|1 a |.⋯⋯⋯⋯⋯ .14 分（III ）法二：因为 f ( x) (|1 a |) f ( x) |1 a |，①当 a 1 时，因为 x (0,2) ，所以所以ax x .f ( x)|1 a | =f ( x) 1 a 1 x3ax 1 1 x3x 1 .⋯⋯⋯⋯⋯10分33②当 a 1 时，f ( x)|1a | = f ( x)a1 1 x3ax2a11 x3a(2x)133因为 x(0,2)，所以 a(2x)(2x) .所以 f ( x)|1 a |1x3a(2 x)11x3(2x)11x3x 1 .. 11分1 x3333设 g( x)x 1.3因为 g '( x)x2 1( x1)( x1) ，所以当 g '( x)0 时，x1或 x1，当 g '( x)0 时， 1 x 1.⋯⋯⋯⋯⋯ .12分所以 g(x) 在 (0,1) 上单调递减，在(1,2) 上单调递增.⋯⋯⋯⋯⋯ 13分所以 g( x)g(1)10.min3所以当 x(0,2) 时， f ( x)|1 a | .⋯⋯⋯⋯⋯ .14分(21)（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）数列⑴不是{ a n } 的完全数列；数列⑵是{ a n } 的完全数列．⋯⋯⋯⋯⋯.2分理由如下：数列⑴： 3,5,7,9,11 中，因为3+9=5+7=12，所以数列⑴不是{ a } 的完全数列；数列⑵： 2,4,8,16 中，所有项的和都不相等，数列⑵是{ a n } 的完全数列． ⋯ .4 分（Ⅱ）假设数列{ b k } 长度为 m ≥ 7 ，不妨设 m= 7 ，各项为 b 1 b 2 b 3L b 7 ．考虑数列 { b k } 的长度为 2,3,L ,7 的所有子列，一共有27 1 7 120 个．记数列 { b k } 的长度为 2,3,L ,7 的所有子列中， 各个子列的所有项之和的最小值为a ，最大值为 A . 所以 ab 1b 2 ， A b 1 b 2 25 24 23 2221 b 1 b 2 115 ．所以其中必有两个子列的所有项之和相同． 所以假设不成立．再考虑长度为 6 的子列： 12， 18， 21， 23， 24，25，满足题意 .所以子列 { b k } 的最大长度为 6．⋯⋯⋯⋯⋯ .9分（Ⅲ）数列 { a n } 的子列 { b k } 长度 m 5 ，且 { b k } 为完全数列，且各项为b 1 b 2 b 3 Lb 5 ．所以，由题意得，这 5 项中任意 i (1≤ i ≤ 5) 项之和不小于 2i 1 ．即对于任意的 1≤ i ≤ 5 ，有 b 1 b 2 Lb i ≥ 2i1 ，即 b 1 b 2i 1.L b i ≥ 1 2 4 L 2对于任意的 1≤ i ≤ 5 ， (b 1 1) (b 22) L(b i - 2i 1)≥ 0，设 c i b i 2i 1（ (i 1,2,3,4,5) ），则数列 { c i } 的前 j 项和 D j ≥ 0 ( j 1,2,3,4,5) ．下面证明： 1 1 11 1≤ 1 1 1 1 1 ．b 1 b 2 b 3 b 4b 5 2 4 8 16 1 1 1 1) (1 1 1 11 )因为(1b 1 b 2 b 3b 4 b 524816(1 1) (11) (1 1) (1 1) (1 1 )b 1 2 b 2 4 b 3 8 b 4 16 b 5 b 1 1 b 2 2 b 34 b 4 8 b 516b 12b 2 4b 38b 416b 5D 1 D 2D 1 D 3D 2D 4 D 3D 5 D 4b 12b 2 4b 38b 4 16b 511) D 2(1111) D 4(11)D 5 ≥ 0 ，D 1 (2b 2) D 3(8b 416b 5b 1 2b 24b 34b 3 8b 4 16b 5所以11111≤ 1111131 ，当且仅当b1b2b3b4b524816 16b i 2i 1( i1,2,3,4,5)时，等号成立．所以11111 的最大值为31 ．⋯⋯⋯⋯⋯ .14 分b1b2b3b4b516。
北京昌平区2020年高三数学第二学期统一练习(二)理
昌平区 2020 学年第二学期高三年级第二次一致练习 数学（理科）试卷考生注意事项：1、本试卷共 6 页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120分钟。
2、答题前，考生务势必学校、姓名、考试编号填写清楚。
答题卡上第一部分( 选择题 ) 必须用 2B 铅笔作答，第二部分 ( 非选择题 ) 一定用黑色笔迹的署名笔作答，作图时能够使用2B铅笔。
3、改正时，选择题用塑料橡皮擦洁净，不得使用涂改液。
请保持卡面整齐，不要折叠、 折皱、损坏。
不得在答题卡上作任何标志。
4、请依据题号次序在各题目的答题地区内作答，未在对应的答题地区作答或高出答题区 域的作答均不得分。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、8 小题，每题5 分，共 40 分．在每题列出的四个选项中，选出选择题 ( 本大题共 切合题目要求的一项． )1．已知会合 A { x | x 3}, B { x | ( x 2)( x4) 0}，则 AI B =A ． { x | x 2}B ． { x | 3 x 4}C ． { x | 3 x 4}D ． { x | x 4}2．设向量a (1, x 1)，b (x 1,3)，则是“a // b ”的“x 2”A ．充足但不用要条件B ．必需但不充足条件C ．充要条件D．既不充足也不用要条件113. 已知 a 22 ,b ( )2 , 运算原理2如右图所示，则输出的值为开始A.12B.42输入 a 、 b4是否a bC. 4 22D.4输出 a输出 a b结束4．已知一个空间几何体的三视图如下图，此中正视图、侧视图都是由半圆和矩形构成，依据图中标出 11 的尺寸 ( 单位 :cm) ，可得这个几何体的体积是1331A ．π cmB ． 4 cm32 2 C ． 5cm3正视图侧视图D ． 2π cm33俯视图5. 依据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20~80 mg/100mL （不含 80）之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在 80mg/100mL （含 80）以上时，属醉酒驾车。
北京市昌平区2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析
北京市昌平区2019-2020学年高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，121,2a a ==，则n S =( )A ．()12n n +B ．12n +C ．21n -D ．121n ++【答案】C【解析】【分析】根据已知条件判断出数列{}1n S +是等比数列，求得其通项公式，由此求得n S .【详解】由于()()()212*111N ()n n n S S S n ++++=+∈，所以数列{}1n S +是等比数列，其首项为11112S a +=+=，第二项为212114S a a +=++=，所以公比为422=.所以12n n S +=，所以21n n S =-. 故选：C【点睛】 本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.2．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ）A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20【答案】D【解析】【分析】利用等比中项性质可得等差数列的首项，进而求得n S ，再利用二次函数的性质，可得当4n =或5时，n S 取到最小值.【详解】根据题意，可知{}n a 为等差数列，公差2d =，由134,,a a a 成等比数列，可得2314a a a =， ∴1112()4(6)a a a ++=，解得18a =-.∴22(1)981829()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--. 根据单调性，可知当4n =或5时，n S 取到最小值，最小值为20-.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前n 项和的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意当4n =或5时同时取到最值.3．关于函数()sin 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调性，下列叙述正确的是（ ） A ．单调递增B ．单调递减C ．先递减后递增D ．先递增后递减 【答案】C【解析】【分析】先用诱导公式得()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再根据函数图像平移的方法求解即可. 【详解】 函数()sin cos 63f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移3π个单位得到,如图所示,()f x 在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增.故选：C【点睛】本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.4．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ） A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义可得14PF =，1227F F =.由题意，12F F =126PF PF +=，又22PF =，则14PF=， 由余弦定理可得22212121212164281cos 22242PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===-⋅⨯⨯. 故12120F PF ︒∠=. 故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.5．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =IA ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x > 【答案】C【解析】【分析】解一元次二次不等式得{|2A x x =>或0}x <，利用集合的交集运算求得A B =I {|2}x x >.【详解】因为{|2A x x =>或0}x <，{}1B x x =>，所以A B =I {|2}x x >，故选C.【点睛】本题考查集合的交运算，属于容易题.6．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{|N x y ==若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合M的表示，求解函数y =的定义域化简集合N 的表示，根据M N M ⋂=可以得到集合M 、N 之间的关系，结合数轴进行求解即可.【详解】{}{}2|320|12M x x x x x =-+≤=≤≤，{{}||N x y x x a ===≥.因为M N M ⋂=，所以有M N ⊆，因此有1a ≤.故选：A本题考查了已知集合运算的结果求参数取值范围问题，考查了解一元二次不等式，考查了函数的定义域，考查了数学运算能力.7．在复平面内，复数z a bi =+（a ，b R ∈）对应向量OZ uuu r （O 为坐标原点），设OZ r =u u u r ，以射线Ox为始边，OZ 为终边旋转的角为θ，则()cos sin z r i θθ=+，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：()1111cos sin z r i θθ=+，()2222cos sin z r i θθ=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ=+++⎡⎤⎣⎦，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：()()cos sin cos sin n n r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，已知)4z i =，则z =（ ）A ．B ．4C ．D ．16【答案】D【解析】【分析】根据复数乘方公式：()()cos sin cos sin n n r i r n i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦，直接求解即可. 【详解】)4441216cos sin 266z i i i ππ⎡⎤⎫⎛⎫==+=+⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦16cos 4sin 4866i ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，16z ==.故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.8．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中6x 的系数为150，则2a =（ ） A ．20B ．15C ．10D ．25【答案】C【解析】【分析】通过二项式展开式的通项分析得到22666150C a x x =，即得解.由已知得()62123166()rr rr r r r a T C x C a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 故当2r =时，1236r -=，于是有226663150T C a x x ==，则210a =.故选：C【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项和系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．若集合{}10A x x =-≤≤，01x B xx ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则A B =U （ ） A ．[)1,1-B ．(]1,1-C ．()1,1-D ．[]1,1- 【答案】A【解析】【分析】用转化的思想求出B 中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．【详解】 解：由集合01x B x x ⎧⎫=<⎨⎬-⎩⎭，解得{|01}B x x =<<， 则{}{}{}[)|10|01|111,1A B x x x x x x =-<<=-<=-U U 剟? 故选：A ．【点睛】本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 10．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2π C ．76π D ．π【答案】B【解析】【分析】根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可.【详解】令sin cos2x x =，有2sin 12sin x x =-，所以sin 1x =-或1sin 2x =.又[],2x ππ∈-，所以2x π=-或32x π=或6x π=或56x π=，所以函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象交点的横坐标的和3522266s πππππ=-+++=，故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.11．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ）A ．5-BC ．D 【答案】D【解析】【分析】倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，tan 2θ=.又θ为直线倾斜角，解得sin =5θ. 故选：D.【点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题. 12．已知焦点为F 的抛物线2:4C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当||||MA MF 取得最大值时，直线MA 的方程为（ ）A ．1y x =+或1y x =--B ．1122y x =+或1122y x =--C ．22y x =+或22y x =--D ．22y x =-+【答案】A【解析】【分析】 过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，利用抛物线的定义可得11cos cos MA MA MF MP AMP MAF ===∠∠，要使||||MA MF 最大，则MAF ∠应最大，此时AM 与抛物线C 相切，再用判别式或导数计算即可.过M 作MP 与准线垂直，垂足为P ，11cos cos MA MA MF MP AMP MAF===∠∠， 则当||||MA MF 取得最大值时，MAF ∠最大，此时AM 与抛物线C 相切， 易知此时直线AM 的斜率存在，设切线方程为(1)y k x =+，则2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩.则221616011k k k ∆=-===±，，， 则直线AM 的方程为(1)y x =?.故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高三数学第二次质量抽测 理(昌平二模)(含解析)
2019-2020年高三数学第二次质量抽测理（昌平二模）（含解析）考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C解析，所以，选C.（2）已知命题，，那么下列结论正确的是A. 命题B．命题C．命题 D．命题【答案】B解析全称命题的否定是特称命题，所以命题，选B.(3)圆的圆心到直线（为参数）的距离为A. B.1 C. D.【答案】A解析直线的直角方程为，所以圆心到直线的距离为，选A.(4)设与抛物线的准线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为A. B. C. D.【答案】D侧视图俯视图2222正视图334EDCBA解析抛物线的准线方程为，所以做出对应的三角形区域如图。
由，得。
平移直线，由图象可知当直线经过点D 时，直线的截距最小，此时z 最大。
由得，即，代入得最大值，选D.(5) 在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为 A. B. C. D. 【答案】C解析由得，解得，所以事件“”发生的概率为，选C. (6) 已知四棱锥的三视图如图所示， 则此四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 A ． B ． C ． D ．【答案】C解析由三视图可知该几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为，此三角形的面积为：两个侧面面积为：，前面三角形的面积为：。