求导法则

可导， 可导，且有
(u ± v)′ = u′ ± v′
[u( x + ∆x ) + v ( x + ∆x )] − [u( x ) + v ( x )] 证 ( u + v )′ = lim ∆x → 0 ∆x [u( x + ∆x ) − u( x )] + [v ( x + ∆x ) − v ( x )] = lim ∆x → 0 ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) = lim + lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 4 = u′( x ) + v ′( x ) .
1 1 − ⋅ (1 + ln x ) − (1 − ln x ) ⋅ −2 x x = y′ = . 2 2 (1 + ln x ) x(1 + ln x )
19
二、反函数的导数
定理3.5 如 函 x = ϕ( y)在 区间I y内单 、可 定理 果 数 某 调 导
且 ′( y) ≠ 0, 那 它 反 数 y = f (x)在 应 间 么 的 函 对 区 ϕ Ix内 可 , 且 也 导 有 1 f ′(x) = . ϕ′( y)
3 x
π
9
求下列函数的导数： 例2 求下列函数的导数： 1. y = x ⋅ sin x ;
解 y′ = ( x )′ sin x + x (sin x)′
=
3
1 2 x
sin x + x cos x
2. y = x ⋅ ln x ⋅ cos x;
解 y′ = ( x 3 )′ ln x cos x + x 3 (ln x)′ cos x + x3 ln x(cos x)′
类似可求得
21
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例7. 求反三角函数的导数. 求反三角函数的导数.
解: 2) 设 则
y ∈I y = (−
π π
2 , 2
),
′ = sec2 y > 0 , 则 x ∈ I x = ( −∞, +∞ ) ∴ (tan y) 1 1 = (tan y)′ = sec2 y 1+ tan2 y
解
y = 2 sin x cos x ,
y′ = 2(cos2 x − sin 2 x ) = 2 cos 2 x .
定理3.6 如果函数u = ϕ(x)在点x可导, 而y = f (u) 定理 在点u = ϕ(x)可导, 则复合函数 y = f [ϕ(x)]在点
x可导 且其导数为 ,
dy = f ′(u) ⋅ϕ′(x) . dx
11
3、函数商的导数
u 处可导, 设 u = u( x ) , v = v ( x ) 在 x 处可导,且 v ( x ) ≠ 0 ，则 v
可导， 也在 x 处可导，且有
u ′ u′v − uv′ ( ) = v v2
u( x + ∆x ) u( x ) u( x + ∆x )v ( x ) − u( x )v ( x + ∆x ) − 证 ∆y = = v ( x + ∆x ) v ( x ) v ( x + ∆x ) ⋅ v ( x ) [ u( x + ∆x )v ( x ) − u( x )v ( x )] − [ u( x )v ( x + ∆x ) − u( x )v ( x )] = v ( x + ∆x ) ⋅ v ( x ) v ( x )∆u − u( x )∆v , = v ( x + ∆x ) ⋅ v ( x )
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
20
例7. 求反三角函数导数. 求反三角函数导数.
解: 1) 设 则
y ∈I y = (− , ) , 2 2
π π
∴ (sin y)′ = cos y > 0 , 则 x ∈ I x = (−1, 1) , 1 1 = = 2 (sin y)′ cos y 1− sin y
第二节
求导法则与 导数基本公式
1
思路: 思路:
( 构造性定义 ) 本节内容
（x )′ = nx (C )′ = 0 ( sin x )′ = cos x
n
x x x
n −1
求导法则 其它基本初等 函数求导公式
( a )′ = a ln a,( e )′ = e
x
初等函数求导问题
2
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解 f ′(x) = (x − 2)(x −3)⋯(x −50)+( x − 1)( x − 3)( x − 4)⋯ ( x − 50)
+ ( x − 1)( x − 2)( x − 4)⋯ ( x − 50) + ⋯
⇒ f ′(2) = ( x − 1)( x − 3)( x − 4)⋯ ( x − 50) |x =2
13
u ′ u′v − uv′ ( ) = 2 v v
特别地， 特别地 ， 如果 u( x ) ≡ 1 ， 则有
1′ v′ ( ) =− 2 v v
14
例4 解
求 y = tan x 的导数 .
sin x y′ = (tan x )′ = ( )′ cos x
(sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ = cos 2 x
可导, 必连续, 因为 v ( x ) 可导 , 必连续 ,故 lim v( x + ∆x ) = v( x ) , 于是
∆y ∆u ∆v lim = lim ⋅ lim v ( x + ∆x ) + u( x ) ⋅ lim ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆ x ∆ x → 0 ∆x → 0 ∆x = u′( x )v ( x ) + u( x )v ′( x ) .
cos 2 x + sin 2 x 1 = = = sec 2 x ， cos 2 x cos 2 x
即
(tan x)′ = sec2 x
′ = −csc2 x (cot x)
15
类似可得
例5 求 y = secx 的导数 . 解
′ = (sec x )′ = ( 1 )′ y cos x
v′ 1′ ( ) =− 2 v v
= 48 ! 或用定义： 或用定义：
f ( x) − f (2) ( x − 1)( x − 2)( x − 3)⋯ ( x − 50) f ′(2) = lim = lim x→2 x→2 x−2 x−2 = lim( x − 1)( x − 3)( x − 4)⋯ ( x − 50)
x →2
= 48 !
∵ x = a y , y ∈ I y = ( −∞ , +∞ ) ,
且 (a y )′ = a y ln a ≠ 0, ∴ x ∈ I x = (0, +∞ ),
1 1 1 (log a x )′ = y = y . = (a )′ a ln a x ln a
24
三、复合函数的求导法则
问题： 问题： y = sin 2 x , 是否有 (sin 2 x )′ = cos 2 x ？
可以推广到有限多个函数的情形： 可以推广到有限多个函数的情形： 推广到有限多个函数的情形
′ ′ (u1 ± u2 ±⋯± un )′ = u1 ± u2′ ±⋯± un
5
2、函数积的导数
处可导, 可导， 设 u = u( x ) , v = v ( x ) 在 x 处可导,则 u ⋅ v 也在 x 处可导， 且有 ′ ′ ′
第二节 求导法则 函数和、 一、函数和、差、积、商的导数 定理 3.2~3.4 的和、 积、 (除分母 差、 商 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且
(v(x) ≠ 0)
下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 .
3
1、函数和差的导数 处可导, 设 u = u( x ) , v = v ( x ) 在 x 处可导,则 u ± v 均在 x 处
类似可求得
22
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反三角函数的导数公式
(arcsin x)′ =
1
2
1− x 1 (arctan x)′= 2 1+ x
(arccos x)′ = −
1
1− x2 1 (arccot x)′ = − 1+ x2
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例8 求函数 y = log a x 的导数 . 解
12
v ( x ) ∆ u − u( x ) ∆ v ∆y = v ( x + ∆x ) ⋅ v ( x )
所以
∆u ∆v v( x ) − u( x ) ∆y ∆x ∆x = v ( x + ∆x ) ⋅ v ( x ) ∆x
∆x →0
因为 v ( x ) 可导 , 必连续 , 故 lim v( x + ∆x ) = v( x ) , 于是 可导, 必连续,
∆x → 0
6
(uv)′ = u′v + uv′
当u = c时，
(cv)′ = cv′
(c1u1 + c2u2 + ⋯ + cnun )′ = c1u1′ + c2u2′ + ⋯ + cnun′
7
(uv)′ = u′v + uv′
可推广到有限多个函数的乘积： 可推广到有限多个函数的乘积：
(uvw)′ = u′vw + uv′w + uvw′
2
(cos x )′ = − sin x