反函数求导法则
第二节 反函数与复合函数的导数(本科)
e x tan(e x )
13
例8 解：
求函数 y ( x 2 1)10 的导数 .
10( x 2 1)9 ( x 2 1) y
10( x 1) 2 x
2 9
20 x( x 1) .
2 9
14
例9 求函数 y ln x 1 ( x 2) 的导数. 3 x2 1 1 2 解： y ln( x 1) ln( x 2), 2 3 1 1 1 x 1 2 y 2x 2 2 x 1 3( x 2) x 1 3( x 2)
1. 常数和基本初等函数的导数公式
(C ) 0 (sin x ) cos x (tan x ) sec 2 x (sec x ) sec x tan x
( x ) x 1 (cos x ) sin x (cot x ) csc2 x (csc x ) csc x cot x
18
2. 函数的线性组合、积、商的求导法则
设u u( x ), v v( x ) 都可导, 则
( 1 ) ( u v ) u v , , R. ( 2) (u . v ) u v uv .
u u v uv ( 3) (v 0). 2 v v
6
二、复合函数的求导法则
复合函数 y f [ ( x)] 在 x0 处可导，且
链导法则
如果 u (x) 在 x0 处可导，而y f (u ) 在u0 ( x0 )点可导，则
dy dx
x x0
dy dy du f (u 0 ) ( x0 ) ， 简记为 dx du dx 。
反函数的导数
练习题答案
2x 2、 3、 一、1、8( 2 x + 5) ； 2、sin 2 x ； 3、 ； 4 1+ x x tan 2 x ln 10(tan 2 x + 2 x sec 2 2 x ) ； 4、 5、 4、− tan x ； 5、10 1 2 tan k x k −1 2 2 xf ′( x ) ； 7、e 6、 7、 6、 ⋅ k tan x ⋅ sec x , . 2 x 2 x cos 2 x − sin 2 x 2、 二、1、 2 ； 2、 ； 2 2 x x x −1 1 4、 ； 4、csc x ； 3、 2 2 a +x x 2 arcsin e arctan x 2； 5、 6、 5、 6、 ； 2 2 x (1 + x ) 4− x
一、反函数的导数
定理 如果函数x = ϕ( y)在某区间I y内单调、可导 内单调、
且ϕ′( y) ≠ 0 , 那末它的反函数 y = f ( x)在对应区间 Ix内也可导, 且有 1 f ′( x) = . ϕ′( x)
反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数
思考题
不可导， 可导， 若 f (u ) 在 u0 不可导， u = g ( x ) 在 x 0 可导，且 u0 = g ( x0 ) ，则 f [ g ( x )]在 x0 处（ ）． （1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导； ）必可导； ）必不可导； ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是（ ） 正确地选择是（3） 例 f ( u) =| u | 在 u = 0 处不可导， 处不可导， 取 u = g ( x ) = sin x 在 x = 0 处可导， 处可导，
高中数学三角函数的反函数求导法则及应用
高中数学三角函数的反函数求导法则及应用一、引言在高中数学中，三角函数是一个重要的概念，而其反函数则是求导法则中的一个关键内容。
本文将详细介绍三角函数的反函数求导法则，并结合具体题目进行分析和说明，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。
二、三角函数的反函数求导法则三角函数的反函数求导法则是指，对于一个三角函数f(x)的反函数f^(-1)(x)，其导数可以通过f'(x)的倒数来表示。
具体而言，我们可以利用以下公式来求解：1. 对于正弦函数sin(x)的反函数arcsin(x)，其导数为：(arcsin(x))' = 1 / (sin'(arcsin(x))) = 1 / cos(arcsin(x)) = 1 / √(1 - x^2)2. 对于余弦函数cos(x)的反函数arccos(x)，其导数为：(arccos(x))' = 1 / (cos'(arccos(x))) = -1 / sin(arccos(x)) = -1 / √(1 - x^2)3. 对于正切函数tan(x)的反函数arctan(x)，其导数为：(arctan(x))' = 1 / (tan'(arctan(x))) = 1 / (1 + tan^2(arctan(x))) = 1 / (1 + x^2)三、应用举例下面通过具体的题目来说明三角函数的反函数求导法则的应用。
例题1：求函数y = arcsin(2x)在x = 1处的导数。
解析：根据反函数求导法则，我们知道(arcsin(2x))' = 1 / √(1 - (2x)^2)。
将x = 1代入，得到：y' = (arcsin(2x))'|x=1 = 1 / √(1 - (2*1)^2) = 1 / √(1 - 4) = 1 / √(-3) = 1 / (i√3) = -i / √3例题2：求函数y = arccos(3x)在x = 0处的导数。
反函数和复合函数的求导法则
反函数和复合函数的求导法则在微积分中，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的方式。
在函数的研究中，反函数和复合函数是两个重要的概念。
本文将介绍反函数和复合函数的求导法则。
1.反函数反函数是指一个函数的输入和输出对调的函数。
如果函数f将集合A的元素映射到集合B的元素，那么反函数f^(-1)就将集合B的元素映射到集合A的元素。
设函数f的定义域为A，值域为B，则对于任意y∈B，如果存在x∈A，使得f(x)=y，那么函数f的反函数f^(-1)将满足f^(-1)(y)=x。
反函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(x)在区间I上是可导的，且f'(x)≠0。
若函数f在点x处可导，且f'(x)≠0，那么f^(-1)在点y=f(x)处也可导，且有反函数的导数公式：(f^(-1))'(y)=1/f'(x)其中x是f^(-1)(y)=x的解。
这个公式意味着反函数的导数是通过将函数的导数取倒数得到的。
这是因为反函数的定义是将函数的输入和输出对调，因此反函数的斜率应该是原函数斜率的倒数。
2.复合函数复合函数是指由两个或多个函数组合起来形成的新的函数。
设有函数f(x)和g(x)，那么f(g(x))就是一个由两个函数复合而成的函数。
复合函数的求导法则可以通过链式法则来推导。
设函数y=f(g(x))，其中f和g都是可导函数。
那么复合函数y的导数dy/dx可以通过链式法则表示为：dy/dx = dy/du * du/dx其中u=g(x)是变量x经过函数g变换后的结果。
这个公式意味着复合函数的导数是由两部分组成的。
第一部分是外层函数对内层函数的导数，第二部分是内层函数对变量的导数。
通过链式法则，我们可以将复合函数的求导问题转化为求两个简单函数的导数问题。
需要注意的是，如果函数f和g都是可导函数，那么复合函数f(g(x))不一定是可导函数。
复合函数的可导性依赖于函数f和g的可导性。
反函数的导数
2
3
y
1 2
1 x2 12x
1 3( x
2)
x x2 1
1 3( x 2)
例7
求函数
y
sin 1
ex
的导数.
解
y
e
sin
1 x
(sin
1
)
sin 1
ex
cos
1Leabharlann (1 )x
xx
1 x2
1 sin
ex
cos
1 x
.
对数微分法:
y' y(ln y)'
6、 y e arctan x ；
7、 y arcsin x ； arccos x
8、y arcsin 1 x . 1 x
三、设 f ( x)，g( x) 可导，且 f 2 ( x) g 2 ( x) 0 ,求函数
y f 2 ( x) g 2 ( x) 的导数 .
四、设 f ( x)在 x 0处可导，且 f (0) 0 ， f (0) 0 ,
sin x
例4 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例5 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
y
( y)
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y在
I
y
反函数求导
反函数求导
反函数在数学中一般指满足某种关系的一类函数，它们的定义域和值域在某种变换下是完全对立的。
函数求导，是指给定函数的某个点，通过求出函数在该点的切线斜率，来研究整个函数在该点的极值以及函数的变化情况。
反函数求导，就是求取从反函数到另一函数的求导。
由于反函数是完全对立的，所以在反函数求导时，要注意反函数围绕原函数的对称性，即求取的导数的正负符号与原函数左右点的计算正负值相反。
例如，对于函数f(x) = x^2，反函数为f^-1(x) = sqrt(x)，则求取f^-1(x)的导数，在x = 8时，由于f(8)=-8，f(8)=-1，则f^-1(x)的导数应为1/2。
反函数求导的具体过程是：
1.先，将原函数按对称性改写为f(g(x))的形式；
2.后，用求导法则来进行求导，从而可以得到f(g(x))的导数；
3.后，用变量替换法将f(g(x))的导数展开为g(x)的导数。
反函数求导的应用非常广泛，它可以用来求解某种函数的极值点，可以用于求解微分方程，也可以用来求解复杂的函数的极值问题。
总的来说，反函数求导是一项数学理论，它通过求取反函数到另一函数的导数，可以让我们更好地理解函数，并得出更好的解决方案。
反函数求导技术的应用不仅仅可以帮助我们更加准确地求解函数及
其极值，而且还能够为更复杂函数的求解提供有效的帮助。
- 1 -。
第三节 反函数复合函数及隐函数的求导法则
2
y 1 [ 1 1 1 ( 1 )]
2 1 x arccosx
1 ( 1 1
1
1 x2
)
2 x 1
1 x2 arccosx
则 y(0) 1 .
例10 设 y f (arctanx2 ) ,求 y.
解 设u arctanv,v x2 ,
则 y f (u).
所以 dy dy du dv
dx du dv dx
例1
设y (1 2x)30 , 求dy .
dx
解 设 y u30 ,u 1 2x ,则
y (u30 )u (1 2x)x 30u29 2
60u29 60(1 2x)29
例2 求 y cos nx 的导数. 解 设 y cos u,u nx, 则
y (cosu)u (nx)x
所以
y
u
v
(v ln
u
vu ). u
y
u(x)
或 y uv evlnu , 则
y (evlnu ) evlnu (v ln u)
u v (vln u vu). u
例1 设 y (ln x)x ,求 y.
解 (1)两边取对数,有ln y x ln ln x.
两边对 x 求导,有 1 y ln ln x 1 .
1 sec2
又sec2 y 1 tan2 y 1 x2 , 所以(arctan x)
同理可得:
(arc
cot
x)
1
1 x2
.
. y
1
1 x2
.
❖ 二. 复合函数的求导
复合函数求导法则:
设y f (u),u (x),即 y 是 x 的一个复合函
反函数的求导公式
反函数的求导公式反函数的求导公式是指给定一个函数y=f(x)，如果它的反函数存在且可导，那么我们可以通过求导公式来计算反函数的导数。
为了更好地理解反函数的求导公式，我们首先需要了解什么是反函数。
反函数是指如果一个函数f的定义域和值域互换，那么得到的函数就是f的反函数。
简单来说，反函数就是将原函数的自变量和因变量进行交换得到的新函数。
在求导过程中，我们常常遇到需要求反函数的导数的情况。
这时，我们可以利用反函数的性质以及链式法则来推导反函数的求导公式。
假设函数y=f(x)的反函数为x=f^{-1}(y)，其中f^{-1}表示反函数。
根据链式法则，我们可以得到以下关系：\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df^{-1}} \cdot \frac{df^{-1}}{dx}其中\frac{dy}{dx}表示函数y=f(x)的导数，\frac{dy}{df^{-1}}表示y关于f^{-1}的导数，\frac{df^{-1}}{dx}表示f^{-1}关于x的导数。
由于f和f^{-1}是互为反函数，因此它们的复合函数等于自变量。
换句话说，f(f^{-1}(y))=y和f^{-1}(f(x))=x。
通过这个关系，我们可以得到以下结果：\frac{dy}{df^{-1}} = \frac{d}{dy} (f(f^{-1}(y))) = 1\frac{df^{-1}}{dx} = \frac{d}{dx} (f^{-1}(f(x))) = 1将以上结果代入链式法则的公式中，我们可以得到反函数的求导公式：\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{df^{-1}} \cdot \frac{df^{-1}}{dx} = 1 \cdot 1 = 1也就是说，反函数的导数恒为1。
通过反函数的求导公式，我们可以轻松地求得反函数的导数。
这对于解决一些实际问题非常有用。
举个例子来说明，假设有一条曲线y=x^2，我们想要求其反函数x=\sqrt{y}的导数。
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反函数求导法则
刘云
（天水师范学院数学与统计学院数学与应用数学11级六班 甘肃天水 741000） 摘 要：主要叙述了反函数求导定理，基本初等函数的导数和微分公式，求导定理的推广以及在实际例题中的应用。
关键词：反函数；基本初等函数；求导
引 言
除了少数几个最简单的函数之外，可以直接用定义较方便地求出导数的函数实在是微乎其微，因而就有必要对一般的函数导出一系列的求导运算法则，故本节主要讨论反函数的求导法则以及应用。
1. 反函数求导定理
若函数)(x f y =在()b a ,上连续、严格单调、可导并且0)(≠'x f ,记α))(),(min(-+=b f a f ,))(),(max(-+=b f a f β,则它的反函数)(y f x '=在()b a ,上可导，且有
[])(1)(1x f y f
'='-. 证明：
因为函数)(x f y =
在()b a ,上连续且严格单调，由反函数连续定理，它的反函数)(1y f x -=在),(βα上存在、连续、且严格单调，这时
0)()(≠-∆+=∆x f x x f y 等价于0)()(11≠-∆+=∆--y f y y f x ，并且当0→∆y 时有
0→∆x 。
因此
[]y y f y y f y f y ∆-∆+='--→∆-)()(lim )(11
01
)()(lim 0x f x x f x x -∆+∆=→∆ )(1)()(lim 10x f x
x f x x f x '=∆-∆+=→∆. 2.基本初等函数的导数和微分公式：
0)(='C
0*0)(==dx C d 1)(-='a a ax x
dx ax x d a a 1)(-= x x cos )(sin ='
xdx x d cos )(sin = x x sin )(cos -='
xdx x d sin )(cos -= x x 2sec )(tan ='
xdx x d 2sec )(tan = x x 2csc )(cot -='
xdx x d 2csc )(cot -= x x x sec tan )(sec ='
xdx x x d sec tan )(sec = x x x csc cot )(csc -='
xdx x x d csc cot )(csc -= 3.求导定理的推广
(1)多个函数线性组合的导函数
∑∑=='='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡n i i i n i i i x f c x f c 11)()(，
其中),,3,2,1(n i c i =为常数。
（2）多个函数乘积的导函数
∑∏∏=≠==⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡n j n j i i i j n i i x f x f x f 111)()()(.
总结
通过反函数求导法则，可以简捷快速的求出反函数的导数，以及反函数的导数和原函数的导数及原函数之间的关系。
参考文献
[1] 陈纪修，於崇华，金路。
数学分析（第二版）[M],北京：北京教育出版社，2004.6.。