电磁感应中的杆轨模型
电磁感应中的“杆+导轨”类问题(3大模型)(解析版)
电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)电磁感应“杆＋导轨”模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一 单杆＋电阻＋导轨模型[初建模型][母题] 如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。
重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。
[解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BL v ，回路中的感应电流I ＝ER ＋R杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v2R＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下。
(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12m v m 2又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4。
[答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下 (2)12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4[内化模型]单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析开始时a ＝g sin α，B L[变式] 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。
现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。
54.高考一轮复习物理(创新版)热点专题7 第54讲 电磁感应中的“杆+轨”模型
(1)若S1闭合、S2断开，重物的最大速度。
(2)若S1和S2均闭合，电容器的最大带电量。
(3)若S1断开、S2闭合，重物的速度v随时间t变化的关系式。
答案
21mgr (1) 2B2L2
7mgrC (2) BL
(3)v＝10m＋7m2Cg B2L2·t
答案
解析 (1)S1闭合、S2断开时，M由静止释放后拉动金属棒沿导轨向上 做加速运动，金属棒受到沿导轨向下的安培力及重力的分力作用，设最大 速度为vm，根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势E＝BLvm
轨道水平光 滑，单杆ab质 量为m，电阻 不计，两平行 导轨间距为 L，拉力F恒定
v0≠0
v0＝0
导体杆以速度v切割磁 S闭合，ab杆受安培
力 学 观 点
感线产生感应电动势E
＝BLv，电流I＝ER＝ BRLv，安培力F＝BIL＝ B2RL2v，做减速运动： v ⇒F ⇒a ，当v＝0 时，F＝0，a＝0，杆保
v0＝0
开始时a＝mF，杆ab速度v ⇒感应电动势E＝BLv ，经过Δt速度为v ＋Δv，此时感应电动势E′＝BL(v＋Δv)，Δt时间内流入电容器的电 力学 荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝CBLΔv 观点 电流I＝ΔΔqt ＝CBLΔΔvt ＝CBLa 安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a＝m＋BF2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动
不光滑平行导轨
力学观点
开始时，两杆受安培力做 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变 加速后匀速运动；b杆静止。若
变加速运动；稳定时，两 杆以相同的加速度做匀加 F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运
动，b杆先静止后变加速最后和a杆 速运动
同时做匀加速运动，且加速度相同
核心素养微专题6 电磁感应中的“杆+导轨”模型
(1)若涉及变力作用下运动问题，可选用动量守恒和能量守恒的方法解决。
(2)若涉及恒力或恒定加速度，一般选用动力学的观点。若涉及运动时间
问题也可选用动量定理求解。
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二轮 ·物理
[示例3] 如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内跟磁场方向垂直的水 平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导 体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的 质量都为m，电阻都为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导 轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求： (1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小； (2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能； (3)两棒之间距离增加量Δx的上限。
×mgsin θ＝ma，解得加速度大小为 2.5 m/s2，B 正确；金属杆滑至底端
的整个过程中，整个回路中产生的焦耳热为 mgh－12mv2m，电阻 R 产生的
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二轮 ·物理
焦耳热一定小于 mgh－21mvm2 ，C 错误；金属杆达到最大速度后，根据受 力平衡可得 mgsin θ＝F 安＝BIL，得 I＝mgBsiLn θ＝neSv－，得v－＝ρgnseiBn θ， 其中 n 为单位体积的电子数，ρ 为金属杆的密度，所以杆中定向运动的 电荷沿杆长度方向的平均速度与杆的粗细无关，D 正确。 [答案] BD
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二轮 ·物理
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二轮 ·物理
2．单杆“倾斜导轨”模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，导轨间距 L，导体棒 质量 m，电阻 R，导轨光滑，电阻不计(如图)
物理 模型
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二轮 ·物理
棒 ab 由静止释放后下滑，此时 a＝gsin α，棒 ab 速度 v↑→
热点专题系列(六) 电磁感应中的“杆和导轨”模型
热点专题系列(六) 电磁感应中的“杆和导轨”模型热点概述：电磁感应中的“杆－轨”运动模型，是导体切割磁感线运动过程中动力学与电磁学知识的综合应用，此类问题是高考命题的重点。
[热点透析]单杆模型初态v0≠0v0＝0示意图质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定续表初态v0≠0v0＝0运动分析导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止当E感＝E时，v最大，且v m＝EBL，最后以v m匀速运动当a＝0时，v最大，v m＝FRB2L2，杆开始匀速运动Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBLΔv电流I＝ΔqΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a ＝Fm＋B2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动能量分析动能转化为内能，12m v2＝Q电能转化为动能和内能，E电＝12m v2m＋Q外力做功转化为动能和内能，W F＝12m v2m＋Q外力做功转化为电能和动能，W F＝E电＋12m v2注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。
(2020·山东省聊城市一模)(多选)如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。
现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。
完整版电磁感应定律单杆导轨模型含思路分析
单杆+导轨”模型1.单杆水平式（导轨光滑）注：加速度a的推导，a=F合/m （牛顿第二定律），F合=F-F安，F安=BIL ,匸E/R 整合一下即可得到答案。
v变大之后，根据上面得到的a的表达式，就能推出a变小这里要注意，虽然加速度变小，但是只要和v同向，就是加速运动，是a减小的加速运动（也就是速度增加的越来越慢，比如1s末速度是1, 2s末是5, 3s末是6, 4s末是6.1，每秒钟速度的增加量都是在变小的）2.单杆倾斜式（导轨光滑）BLv T【典例1】如图所示，足够长的金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度L二1.0 m,导轨上放有垂直导轨的金属杆P,金属杆质量为m= 0.1 kg,空间存在磁感应强度B= 0.5 T、竖直向下的匀强磁场。
连接在导轨左端的电阻R= 3.0約金属杆的电阻r 二1.0約其余部分电阻不计。
某时刻给金属杆一个水平向右的恒力F, 金属杆P由静止开始运动，图乙是金属杆P运动过程的v—t图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数尸0.5。
在金属杆P运动的过程中，第一个2 s内通过金属杆P的电荷量与第二个2 s内通过P的电荷量之比为3 : 5。
g取10 m/s2。
求：（1）水平恒力F的大小；⑵前4 s内电阻R上产生的热量。
【答案】（1）0.75 N （2）1.8 J【解析】（1）由图乙可知金属杆P先做加速度减小的加速运动,2 s后做匀速直线运动当t= 2 s时，v= 4 m/s,此时感应电动势E= BLv感应电流1=吕R+ rB2I2v安培力F = BIL =R+ r根据牛顿运动定律有F —F '―卩m= 0解得 F = 0.75 N o过金JI杆p的电荷量厂"二磊^甘十）；△型BLx所以尸驚qa为尸的位移）设第一个2 s內金属杆P的位移为Xi ；第二个肚内P的位移为助则二号g，又由于如：血=3 : 5麻立解得«=8mj IL=<8m前4 s内由能量守恒定律得其中 Q r : Q R = r : R = 1 : 3解得 Q R = 1.8 J o注：第二问的思路分析，要求 R 上产生的热量，就是焦耳热，首先想到的是公式Q=l2Rt ，但是在这里，前2s 的运动过程中，I 是变化的，而且也没办法求出I 的有效值来（电荷量对应的是电流的平均值，求焦耳热要用有效值，两者不一样）， 所以这个思路行不通。
电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题(较全)
电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。
变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。
一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （3x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F 的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．（1）金属棒匀速运动F 外=F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv总R EI =∴F 安=BIL=总R vL B 22即当L 取最大值时，安培力有最大值 ∵L max =22sinπ =2（m ）38R 2121=+=R R R R 总（Ω）∴总R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率121R E P =，可知当max L L =时P 1有最大功率，即140.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （3πx ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=总总R BLv R E == 43sin （35πt ）（A ） 2．金属棒图1（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力； （2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS nt nE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB=∆∆ ∵感应电动势2S kl tBt E =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl r E I 2==由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl lB B +=02．B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为d图2BLv E =，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlvR E =∴I=0时v=0∴x =av 2 2=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反（3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=Rv l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- Rv l B 022∴当v 0<22l B maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反 当v 0> 22lB maR=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同（2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆t B （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的． E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）4.028.011===R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）RE P 221)2(=＝1.28×102（W ） 图4另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。
电磁感应中的“杆+导轨”模型
电磁感应中的“杆+导轨”模型电磁感应中的“杆+导轨”模型一、单棒模型阻尼式：在单棒模型中，导体棒相当于电源，根据洛伦兹力的公式，可以得到安培力的特点为阻力，并随速度减小而减小，加速度随速度减小而减小，最终状态为静止。
根据能量关系、动量关系和瞬时加速度，可以得到公式B2l2v R rF和q mv/Bl，其中q表示流过导体棒的电荷量。
需要注意的是，当有摩擦或者磁场方向不沿竖直方向时，模型的变化会受到影响。
举例来说，如果在电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距为L、导轨左端连接一阻值为R的电阻，整个导轨平面处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的导体棒垂直于导轨放置，a、b之间的导体棒阻值为2R，零时刻沿导轨方向给导体棒一个初速度v，一段时间后导体棒静止，则零时刻导体棒的加速度为0，零时刻导体棒ab两端的电压为BLv，全过程中流过电阻R的电荷量为mv/Bl，全过程中导体棒上产生的焦耳热为0.二、发电式在发电式中，导体棒同样相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv。
根据安培力的特点，可以得到公式22Blv/l＝Blv/(R＋r)。
加速度随速度增大而减小，最终特征为匀速运动。
在稳定后的能量转化规律中，F-BIl-μmg=m*a，根据公式可以得到a=-(F-μmg)/m、v=0时，有最大加速度，a=0时，有最大速度。
需要注意的是，当电路中产生的焦耳热为mgh时，电阻R中产生的焦耳热也为mgh。
1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。
重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；2)上述过程中，杆上产生的热量。
电磁感应中的导轨模型
一、单棒模型
阻尼式
1．电路特点 导体棒相当于电源 2．安培力的特点 安培力为阻力，并随速度减小而减小。
FB
BIl
B2l 2v Rr
3．加速度特点 4．运动特点
加速度随速度减小而减小
a 减小的减速运动
a
FB m
B2l 2v m(R r)
v0
5．最终状态 静止
6．三个规律 (1)能量关系：
易错点：认为电容器最终带电量为零
电容无外力充电式
1．电路特点 导体棒相当于电源;电容器被充电.
v0
2．电流的特点 导体棒相当于电源; F 安为阻力， 棒减速, E 减小
有I感
I Blv UC
I 感渐小 电容器被充电。
R
UC 渐大，阻碍电流 当 Blv=UC 时，I=0， F 安=0，棒匀速运动。
3．运动特点 a 渐小的减速运动，最终做匀速运动。
FB BIl ＝B (E Blv）l B (E E反）l
Rr
Rr
3．加速度特点 加速度随速度增大而减小
4．运动特点 a 减小的加速运动
a FB mg = B (E Blv）l g
m
m(R r)
5．最终特征 匀速运动
6．两个极值 (1)最大加速度： v=0 时,E 反=0,电流、加速度最大 (2)最大速度： 稳定时，速度最大，电流最小
电容器放电电量： Q Q0 Q CE CBlvm
对杆应用动量定理： mvm BIl t BlQ
BlCE vm m B2l 2C
6．达最大速度过程中的两个关系
安培力对导体棒的冲量
I安
mvm
mBlCE m B2l2C
(完整版)高分策略之电磁感应中的杆+导轨模型
电磁感应现象中的杆4导轨模型一、单棒问题、含容式单棒问题三、无外力双棒问题竇力愣况分析动力学观点 *动量现点 运动情况伽能冒观点 牛輛定律 平衡羞件动能定理〕 幡■守恒无外力等距式1¥杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐小的减速运动V1=V2I = 0无外力不等距式» 1杆1做a渐小的减速运动杆2做a渐小的加速运动a= 0I = 0L1V1 = L2V2四、有外力双棒问题题型一阻尼式单棒模型如图。
1 •电路特点：导体棒相当于电源。
4.运动特点：速度如图所示。
a减小的减速运动基本模型运动特点有外力等距式i厂F12杆1做a渐大的加速运动杆2做a渐小的加速运动有外力不等距式杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐大的加速运动最终特征a i=a2, A v 恒定I恒定a i M a2, a i、a2恒定I恒定2•安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。
F B=BII= B+r3.加速度特点：加速度随速度减小而减小,a==5 •最终状态：静止 6.三个规律（1）能量关系：「'• ■ , -0 = Q ,=【典例1】如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为 L 的区域内,那么（【答案】B由上述二式可得' ,- •，即B 选项正确。
【典例2】如图所示，AB 杆受一冲量作用后以初速度 V 0=4m/s 沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止. AB 的质量为m=5g 导轨宽为L=0.4m ，电阻为R=2Q ，其余的电阻不计，磁 感强度B=0.5T ,棒和导轨间的动摩擦因数为卩=0.4 ,测得杆从运动到停止的过程中通过导线的（2）动量关系:BII t 0 mv 0（3）瞬时加速度: a ==-有一个边长为a （ a<L ）的正方形闭合线圈以初速V 0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为V （ V<V 0）A. 完全进入磁场中时线圈的速度大于（ v o +v ) /2B. 安全进入磁场中时线圈的速度等于（ V o +V ) /2C. 完全进入磁场中时线圈的速度小于（V o +V ) /2D. 以上情况A B 均有可能，而C 是不可能的【解析】设线圈完全进入磁场中时的速度为对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得:对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得:V x 。
高考物理大一轮复习单元综合专题十电磁感应中的“杆轨”模型课件
当感应电动势 E′与电池电动势 E 相等时，ab 的速度达到 最大值．设最终达到的最大速度为 vm，根据上述分析可知：E－ Blvm＝0
所以 vm＝BEl＝0.81×.50.5 m/s＝3.75 m/s.
(2)如果 ab 以恒定速度 v＝7.5 m/s 向右沿导轨运动， 则 ab 中感应电动势 E′＝Blv＝0.8×0.5×7.5 V＝3 V 由于 E′＞E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向， 大小为：I′＝ER′＋－rE＝03.8－＋10.5.2 A＝1.5 A
电磁感应中的“单杆＋电容””模型 【基本模型】如图，轨道水平光滑，杆 ab 质量为 m，电阻 不计，两导轨间距为 L，拉力 F 恒定，开始时 a＝mF ，杆 ab 速度 v↑⇒感应电动势 E＝BLv↑.
经过Δt 速度为 v＋Δv，感应电动势 E′＝BL(v＋Δv)， Δt 时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝C(E′－E)＝ CBLΔv，电流 I＝ΔΔqt＝CBLΔΔvt＝CBLa， 安培力 F 安＝BLI＝CB2L2a， F－F 安＝ma， a＝m＋BF2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动．
单元综合专题(十) 电磁感应中的“杆—轨”模型
要点综述
一、电磁感应中的“杆－轨”模型 电磁感应中的“杆－轨”运动模型，是导体切割磁感线运动 过程中力、能、电的综合应用，此类问题是高考命题的重点，主 要类型有：“单杆”模型、“单杆＋电源”模型、“单杆＋电容” 模型、“双杆”模型．
二、题型鸟瞰
题型鸟瞰 题型一：电磁感应中的“单杆”模型 题型二：电磁感应中的“单杆＋电源”模型 题型三：电磁感应中的“单杆＋电容””模型 题型四：电磁感应中的“双杆””模型
①作用于 ab 的恒力(F)的功率： P＝Fv＝0.6×7.5 W＝4.5 W ②电阻(R＋r)产生焦耳热的功率： P′＝I′2(R＋r)＝1.52×(0.8＋0.2) W＝2.25 W ③逆时针方向的电流 I′，从电池的正极流入，负极流出， 电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电 池吸收能量的功率：P″＝I′E＝1.5×1.5 W＝2.25 W.
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【解析】
(1)由右手定则可知，电流由 a 流向 b；
(2)开始放置 ab 刚好不下滑时， ab 所受摩擦力为最大静摩擦 力，由平衡条件，得 Fmax＝m1gsinθ，ab 刚好要上滑时，感应电 E 动势 E＝BLv， 电路电流 I＝ ， ab 受到的安培力 F 安＝BIL， R1＋R2 此时 ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件，得 F 安＝m1gsinθ＋Fmax，代入数据，解得 v＝5 m/s.
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(2)如果 ab 以恒定速度 v＝7.5 m/s 向右沿导轨运动， 则 ab 中感应电动势 E′＝Blv＝0.8×0.5×7.5 V＝3 V 由于 E′＞E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向， E′－E 3－1.5 大小为：I′＝ ＝ A＝1.5 A R＋r 0.8＋0.2
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的磁感应强度大小为 B＝0.5 T， 在区域Ⅰ中， 将质量 m1＝0.1 kg， 电阻 R1＝0.1 Ω 的金属条 ab 放在导轨上， ab 刚好不下滑， 然后， 在区域Ⅱ中将质量 m2＝0.4 kg， 电阻 R2＝0.1 Ω 的光滑导体棒 cd 置于导轨上， 由静止开始下滑， cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ 的磁场中，ab、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触， 取 g＝10 m/s2，求：
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例 2 如图所示， 长平行导轨 PQ、 MN 光滑， 相距 l＝0.5 m， 处在同一水平面中，磁感应强度 B＝0.8 T 的匀强磁场竖直向下 穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线 ab 的质量 m＝0.1 kg、电阻 R＝0.8 Ω ， 导轨电阻不计． 导轨间通过开关 S 将电动势 E＝1.5 V、 内电阻 r＝0.2 Ω 的电池接在 M、P 两端，试计算分析：
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单元综合专题(十) 电磁感应中的“杆—轨”模型
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要 点 综 述
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一、电磁感应中的“杆－轨”模型 电磁感应中的“杆－轨”运动模型， 是导体切割磁感线运动 过程中力、能、电的综合应用，此类问题是高考命题的重点，主 要类型有： “单杆”模型、 “单杆＋电源”模型、 “单杆＋电容” 模型、“双杆”模型．
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(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； (2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度 v 多大； (3)从 cd 开始下滑到 ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的 距离 x＝3.8 m，此过程中 ab 上产生的热量 Q 是多少．
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【答案】
(1)0.15 J
(2)0.1 A (3)0.75 T
【解析】 (1)因电流表的读数始终保持不变，即感应电动势 不变，故 BLabv0＝BLa′b′va′b′，代入数据可得 va′b′＝4 m/s， 1 根据能量转化和守恒定律，得 Q 总 ＝ m(v02 － va ′ b ′ 2) － 2 mglsin37°＝QR1＋QR2 U2 QR1 R2 由 Q＝ t，得 ＝ ， R QR2 R1
(1)在 S 刚闭合的瞬间，导线 ab 速度为零，没有
E 由 a 到 b 的电流 I0＝ ＝1.5 A， R＋r ab 受安培力水平向右，此时 ab 瞬时加速度最大， F0 BI0l 加速度 a0＝ ＝ ＝6 m/s2. m m
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当感应电动势 E′与电池电动势 E 相等时，ab 的速度达到 最大值．设最终达到的最大速度为 vm，根据上述分析可知：E－ Blvm＝0 E 1.5 所以 vm＝ ＝ m/s＝3.75 m/s. Bl 0.8×0.5
运动情况分析 合力为零，做匀速运动 v↑⇒BLv↑⇒I↑⇒BIL↑⇒a↓⇒a ＝0，匀速运动． v↓⇒BLv↓⇒I↓⇒BIL↓⇒a↓⇒ a＝0，匀速运动 要使棒做匀加速运动，由牛顿第二
F 随时间 t 按一定线性规律变化
B2L2（v0＋at） 定律：F＝ma＋ R
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电磁感应中的“单杆”模型 【基本模型】如图，金属导轨水平光滑，导轨间距为 L，导 体棒的质量为 m，回路总电阻为 R.导体棒在水平力 F 的作用下 运动，进入磁场时的速度为 v0，导体棒在磁场中的运动情况分析 如下：
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运动条件 B2L2v0 F＝ R F为 恒力 B2L2v0 F> R B2L2v0 F< R
设此时电容器极板上积累的电荷量为 Q，按定义有 C＝ Q U ③ ④
联立①②③式，得 Q＝CBLv
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(2)设金属棒的速度大小为 v 时经历的时间为 t，通过金属棒 的电流为 i.金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为 f1＝Bli ⑤
设在时间间隔 (t，t＋Δt)内流经金属棒的电荷量为ΔQ，按 ΔQ 定义有 i＝ Δt ⑥
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„方法提炼„ ΔQ CBLΔv (1)解决此类问题的关键物理量： 充电电流 I＝ ＝ Δt Δt ＝CBLa. (2)由本例得出结论：在此类问题中，导体棒在恒力作用下， 一直做匀加速直线运动．电路中的电流恒定不变．
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电磁感应中的“双杆””模型 “双杆””模型有下面两类情况， 解决此类问题要从分析两 杆的运动过程入手，确定杆的“收尾状态”是解题关键．
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直导线 ab 中的电流由 b 到 a，根据左手定则，磁场对 ab 有 水平向左的安培力作用，大小为 F′＝BlI′＝0.8×0.5×1.5 N＝ 0.6 N 所以要使 ab 以恒定速度 v＝7.5 m/s 向右运动，必须有水平 向右的恒力 F＝0.6 N 作用于 ab.上述物理过程的能量转化情况， 可以概括为下列三点：
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类型一：“一动一静”问题 例4 (2014· 天津)如图所示， 两根
足够长的平行金属导轨固定在倾角 θ ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间 距 L＝0.4 m，导轨所在空间被分成区 域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为 MN，Ⅰ中的匀强磁场 方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场
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(1)导线 ab 的加速度的最大值和速度的最大值是多少？ (2)在闭合开关 S 后，用多大的力才能使 ab 以恒定的速度 v ＝7.5 m/s 沿导轨向右运动？通过数据计算说明这时电路中的能 量转化情况．
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【解析】 电磁感应现象，
ΔQ 也是平行板电容器两极板在时间间隔(t，t＋Δt)内增加 的电荷量．由④式得ΔQ＝CBLΔv ⑦
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式中，Δv 为金属棒的速度变化量．按定义有 Δv a＝ Δt 金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为 f2＝μN N 是金属棒对导轨的正压力的大小，有 N＝mgcosθ ⑩ ⑨ ⑧
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(1)电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系； (2)金属棒的速度大小随时间变化的关系．
第24页高考ຫໍສະໝຸດ 研 ·高三总复习·物理【答案】
m（sinθ－μcosθ） (1)Q＝CBLv (2)v＝ gt 2 2 m＋B L C
【解析】 (1)设金属棒下滑的速度大小为 v，则感应电动势 为 E＝BLv 平行板电容器两极板之间的电势差为 U＝E ① ②
代入数据可求，得 QR1＝0.15 J
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(2)由焦耳定律 0.1 A
QR1＝I12R1t
可知：电流表读数 I1＝
QR1 ＝ R1t
(3)不计金属棒和导轨上的电阻，则 R1 两端的电压始终等于 金属棒与两轨接触间的电动势，由 E＝I1R1，E＝BLa′b′va′b′ I1R1 可得 B＝ ＝0.75 T La′b′va′b′
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右上方滑到 a′b′处的时间为 t＝0.5 s， 滑过的距离 l＝0.5 m． ab 处导轨间距 Lab＝0.8 m，a′b′处导轨间距 La′b′＝1 m．若金属 棒滑动时电流表的读数始终保持不变，不计金属棒和导轨的电 阻．sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取 10 m/s2，求： (1)此过程中电阻 R1 上产生的热量； (2)此过程中电流表上的读数； (3)匀强磁场的磁感应强度．
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例 3 如图所示，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角 为 θ，间距为 L.导轨上端接有一平行板电容器，电容为 C.导轨处 于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B，方向垂直于导轨平面．在 导轨上放置一质量为 m 的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑 过程中保持与导轨垂直并良好接触． 已知金属棒与导轨之间的动 摩擦因数为 μ，重力加速度大小为 g.忽略所有电阻．让金属棒从 导轨上端由静止开始下滑，求：
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电磁感应中的“单杆＋电容””模型 【基本模型】如图，轨道水平光滑，杆 ab 质量为 m，电阻 F 不计，两导轨间距为 L，拉力 F 恒定，开始时 a＝ ，杆 ab 速度 m v↑⇒感应电动势 E＝BLv↑.
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经过Δt 速度为 v＋Δv，感应电动势 E′＝BL(v＋Δ v)， Δt 时间内流入电容器的电荷量Δq＝ CΔU＝C(E′－E)＝ Δq Δv CBLΔv，电流 I＝ ＝CBL ＝CBLa， Δt Δt 安培力 F 安＝BLI＝CB2L2a， F－F 安＝ma， F a＝ 2 2 ，所以杆以恒定的加速度匀加速运动． m＋B L C