九章算术
中国古代的数学巨著-九章算术
中国古代的数学巨著-九章算术《九章算术》是中国最主要的数学经典，集先秦到西汉的数学知识之大成。
约成书于公元前1世纪，稍晚于《周髀算经》。
魏刘徽说：《九章算术》是由九数发展而来，由于秦始皇焚书而失。
西汉张苍、耿寿昌收集秦火残遗，加以整理删补，而成《九章算术》。
一、《九章算术》的结构、内容和体系《九章算术》全书约有90余条抽象性的算法、公式，246道例题及其解法，包括丰富的算术、代数和几何内容。
书中的246道题，几乎全是应用题，结构上分为：“问”“答”“术”。
这些问题按不同的用途分为九部分，故名《九章算术》。
“方田”章：（38问）主要讲平面图形的计算，包括系统的分数运算，提出了完整的分数运算法则，以及各种多边形、圆、弓形等的面积公式；“粟米”章：（46问）粮食交换中的比例问题，讨论了各种比例算法；“衰分”章：（20问）比例算法在各种物资分配中的应用，提出了比例分配法则；“少广”章：（24问）开平方、开立方问题，给出了完整的开平方、开立方程序；“商功”章：（28问）土木工程中的体积计算，讨论各种体积公式及工程分配方法；“均输”章：（28问）主要讲纳税和运输方面的计算问题，也是复杂的比例分配问题；“盈不足”章：（20问）主要讲算术中的盈亏问题，“盈不足”术的应用。
“方程”章：（18问）主要讲线性方程组的解法、正负数概念和减法运算法则。
“勾股”章：（24问）勾股定理的应用以及各种测量术。
二、《九章算术》的历史地位1、《九章算术》在中国数学史上的地位《九章算术》是我国的算经之首，在中国数学史上是一部承前启后的数学巨著，对后世的数学发展产生了深远的影响。
《九章算术》为中国古代数学著作提供了编撰创作的范例和样板，建立了中国古代数学的基本框架。
以后的数学著作大体为两种模式，一是以《九章算术》为样本编撰新的著作，如《孙子算经》、《张丘建算经》、《四元玉鉴》等。
另一种就是采取为《九章算术》作注的形式，以《九章算术》为研究内容。
九章算术
九章算术的内容
九章算术的特点
优点 以计算为中心 密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数 学问题为目的 缺点 没有任何数学概念的定义 没有任何推导和证明
九章算术的成就
分数运算
比例问题 “盈不足”算法。
九章算术方程章第一题
今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下 禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中 禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉， 中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、 下禾实一秉各几何？
你会用什么方法解下面的方程组？
3X+2Y+Z=39 （1） 2X+3Y+Z=34 （2） X+2Y+3Z=26 （3）
九章算术
刘徽（魏晋）
九章算术简介
《九章算术》是中国古代最早的数学专著，是 《算经十书》中最重要的一种。该书内容十分 丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成 就。它的出现标志中国古代数学形成了完整的 体系。
算筹演算过程
3X+2Y+Z=39 （1） 2X+3Y+Z=34 （2） X+2Y+3Z=26 （ 3 下禾 3 1 实 26 34
3 2 1 39 （3）（2）（1）
列出的算筹式为方形， 故称为“方”，计算过 程称为“程”，故有 “方程”一词的出现。
消元方法：右行上禾遍乘 中行减左行（如：3 x (2)(1)）
九章算术的简介
九章算术的简介
《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种。
它的作者已不可考，一般认为是由西汉的张苍、耿寿昌等人增补和修订而成的。
最后成书的时间最迟在东汉前期，现今流传的大多是在三国时期魏元帝景元四年（263年），刘徽为《九章》所作的注本。
《九章算术》的内容十分丰富，全书总结了战国、秦、汉时期的数学成就。
它包含了方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股等九章，共收集了246个数学问题。
这些问题涵盖了当时生活中的各个方面，如土地测量、谷物分配、税收计算、工程建筑、商业交换、军事防御等。
这些问题不仅具有实际的应用价值，而且展示了中国古代数学的卓越成就和独特风格。
在数学理论上，《九章算术》有着很高的成就。
它首次提到了分数问题，并且首先记录了盈不足等问题。
特别是在《方程》章中，它首次阐述了负数及其加减运算法则，这在世界数学史上具有重要的地位。
这一成就不仅展示了中国古代数学家的卓越智慧，也为后来的数学发展奠定了坚实的基础。
此外，《九章算术》还是一本综合性的历史著作，它反映了当时世界上最简练有效的应用数学。
它的出现标志着中国古代数学的发展达到了一个新的高度，对于推动数学的发展和应用起到了重要的作用。
同时，它也为中国古代科技文化的发展做
出了重要的贡献。
总的来说，《九章算术》是中国古代数学的重要里程碑，它不仅总结了当时数学的理论和实践成果，而且为后来的数学发展提供了宝贵的经验和启示。
它的价值和影响不仅体现在数学领域，更体现在对中国古代科技文化发展的推动和贡献上。
九章算术
九章算术九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种。
魏晋时刘徽为《九章算术》作注时说:“周公制礼而有九数，九数之流则《九章》是矣”，又说“汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。
苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古或异，而所论多近语也”。
根据研究，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。
最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。
《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。
《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。
再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。
九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是“九章”。
1984年，在湖北出土了《算数书》书简。
据考证，它比《九章算术》要早一个半世纪以上，书中有些内容和《九章算术》非常相似，一些内容的文句也基本相同。
有人推测两书具有某些继承关系，但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。
后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学，许多人曾为它作过注释。
其中最著名的有刘徽(263)、李淳风(656)等人。
刘、李等人的注释和《九章算术》一起流传至今。
唐宋两代，《九章算术》都由国家明令规定为教科书。
到了北宋，《九章算术》还曾由政府进行过刊刻(1084)，这是世界上最早的印刷本数学书。
在现传本《九章算术》中，最早的版本乃是上述北宋本的南宋翻刻本(1213)，现藏于上海图书馆(孤本，残，只余前五卷)。
清代戴震由《永乐大典》中抄出《九章算术》全书，并作了校勘。
此后的《四库全书》本、武英殿聚珍本、孔继涵刻的《算经十书》本(1773)等，大多数都是以戴校本为底本的。
《九章算术》翻译文
《九章算术》翻译文1.约分术又有九十一分之四十九。
问约之得几何？答曰：十三分之七。
约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约2. 密率术又有环田，中周六十二步、四分步之三，外周一百一十三步、二分步之一，径十二步、三分步之二。
问为田几何？答曰：四亩一百五十六步、四分步之一。
术曰：并中外周而半之，以径乘之为积步。
密率术曰：置中外周步数，分母、子各居其下。
母互乘子，通全步，内分子。
以中周减外周，余半之，以益中周。
径亦通分内子，以乘周为实。
分母相乘为法，除之为积步，余积步之分。
以亩法除之，即亩数也。
3. 盈不足术今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十。
问家数、牛价各几何？答曰：一百二十六家，牛价三千七百五十。
盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。
令维乘所出率，并以为实。
并盈、不足为法。
实如法而一。
有分者，通之。
盈不足相与同其买物者，置所出率，以少减多，余，以约法、实。
实为物价，法为人数。
3. 方程术今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。
问上、中、下禾实一秉各几何？答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一，中禾一秉，四斗、四分斗之一，下禾一秉，二斗、四分斗之三。
方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。
中、左禾列如右方。
以右行上禾遍乘中行而以直除。
又乘其次，亦以直除。
然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。
左方下禾不尽者，上为法，下为实。
实即下禾之实。
求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。
余如中禾秉数而一，即中禾之实。
求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。
余如上禾秉数而一，即上禾之实。
实皆如法，各得一斗。
4.少广术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步，各以其母除其子，置之于左。
命通分者，又以分母遍乘诸分子，及已通者皆通而同之，并之为法。
九章算术原文及白话文
九章算术原文及白话文九章算术是中国古代数学著作之一，它包含了许多重要的数学知识和计算方法。
以下是九章算术的原文及白话文翻译：原文：第一章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以三乘之，以一加之。
方曰，九。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以三乘之，以一加之。
方曰，九。
第二章，方程。
有物不知其数，五十者，三十者，二十者之数同也。
求其数。
答曰，以三乘之，以一加之。
方曰，百五十。
今有物不知其数，五十者，三十者，二十者之数同也，求其数。
答曰，以三乘之，以一加之。
方曰，百五十。
第三章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第四章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第五章，方程。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第六章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
方曰，十八。
第七章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第八章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
第九章，方程。
有物不知其数，三者之数同也。
求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
今有物不知其数，三者之数同也，求其数。
答曰，以五乘之，以三加之。
方曰，十八。
白话文翻译：第一章，方程。
如果有一些物品，不知道它们的数量，但这些物品的数量相等。
请问这些物品的数量是多少？答案是，将这个数量乘以三，再加上一。
九章算术算法
九章算术算法
九章算术算法，又称九章算术或者九章算法，是中国古代数学中著名的算法之一。
九章算术最早见于《汉书·艺文志》，被认为是中国最早的数学专著之一。
九章算术是古代中国数学的一部重要著作，其内容包括算术、代数、几何、解析、概率等多个领域。
九章算术的算法包括了加法、减法、乘法、除法等基本运算，以及求平方根、求立方根、解方程等高级运算。
这些算法不仅简单实用，而且在当时的中国以及后来的数学发展中起到了重要作用。
九章算术算法在古代中国以及其他东亚国家被广泛应用，成为古代数学中的一部分。
它的独特之处在于采用九个数字1至9和一些基本算术运算符号，通过适当的排列和组合来解决各种数学问题。
这种算法简单易学，具有很高的实用性，被许多古代数学家所推崇。
九章算术算法的研究不仅有助于了解古代数学的发展历程，还有助于对现代数学的认识和理解。
九章算术算法体现了古代数学家在数学领域的智慧和创造力，对于推动数学科学的发展具有重要意义。
总的来说，九章算术算法作为古代中国数学的重要代表之一，具有深远的历史意义和学术价值。
它的研究不仅有助于了解古代数学的发展，还有助于对现代数学的认识和理解。
九章算术算法的算法思想和数学方法对于数学领域的发展具有重要的启示和影响，是值得深入研究的重要课题。
九章算术的内容
九章算术的内容《九章算术》是中国历史上最为优秀的数学著作之一，其内容涉及许多数学术语，如乘除法、立方根计算等，也是为中国古代数学思想发展做出了杰出贡献的著作。
《九章算术》由九章组成，每一章专注于一个特定的数学主题，以下分别介绍：第一章：算术全书本章讨论的是算术的基础，关注数字和运算符之间的关系，以及如何利用这些关系来解决问题。
第二章：立方根计算本章介绍了立方根计算方法，包括求立方根的数学算法，以及如何使用这些算法来解决问题。
第三章：乘除法本章介绍了乘除法，包括如何进行乘除法和被乘除数的形式，乘除法的规律与特性，以及乘除法的应用问题。
第四章：折扣计算本章讨论的是折扣计算，涉及折扣的定义、计算和应用，以及如何使用折扣来解决问题。
第五章：测量本章介绍了测量的基本原理，如比例和比较法，以及如何用这些原理来解决问题。
第六章：无量数计算本章讨论的是无量数计算，涉及无量数定义、计算和应用，以及如何使用无量数来解决问题。
第七章：代数本章介绍了代数的基本原理，如有理数，代数分析和多项式，以及如何使用这些原理来解决问题。
第八章：几何本章介绍了几何的基本原理，如直线、圆和平面，以及如何用这些原理来解决问题。
第九章：概率本章讨论的是概率的基本原理，如事件概率和独立概率，以及如何使用这些原理来解决问题。
《九章算术》是中国古代数学思想发展的重要著作，它是通过大量实践而形成的，也有利于理论的发展。
在《九章算术》中，数学家们以清晰、精确的语言来阐述数学思想，并以实例的解释和精确的演算来加以说明。
《九章算术》的内容是集合数学、代数学、几何学、抽象代数学和概率理论等学科的总结和综合，基本上可以称之为古代中国的《现代数学入门》，是研究中国古代数学思想发展的重要资料。
《九章算术》的贡献在于它把古代中国有关数学思想的研究方法总结成一本综合性的算术手册，不仅受到了当时的赞誉，也为后人学习和研究古代中国数学思想提供了巨大的帮助。
因此，《九章算术》对中国数学思想发展史具有重要意义，它不仅有助于古代中国数学思想的研究，也为现代数学思想的发展提供了参考价值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
九章算术《九章算术》成书于西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。
这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示。
原作有插图，今传本已只剩下正文了。
《九章算术》的作者不详。
很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。
由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：《九章算术》的主要内容，可分成算术、代数和几何三部分。
一、算术部分1．分数《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等。
其步骤与方法大体与现代的雷同。
分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减。
加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子。
“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”。
就是分子小于分母时便以分数形式保留。
其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”。
《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法也很清楚。
2．最大公约数与最小公倍数《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法。
求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也。
以等数约之。
”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数。
可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2。
不都是偶数了，则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数。
如方田章第六题：“又有九十一分之四十九，问约之得几何”。
将更相减损这一运算写成现代的图式就是法实质上是辗转相减法。
辗转相减法与欧几里得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是一致的。
《九章算术》在分数的加减运算中，已知用最小公倍数作公分母，例如少广章第六题相当于分数的运算，这个公分母420正是1，2，3，4，5，6，7的最小公倍数。
3．比例算法在《九章算术》的第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题。
粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……。
例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”。
它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”。
用现代的方式来表达，即为公式：或所求数∶所有数=所求率∶所有率。
这个题是欲将粟米换成粝米，其中“粟米一斗(十升)”是“所有数”，粝米数即为“所求数”，按规定“粟率五十”为“所有率”，粝米30为“所求率”。
于是得所求数为10×30÷50=6(升)，这就是说一斗谷子可以砻得六升糙米。
因而可以根据物与物的比率，再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)，因为这类应用问题大都依据“今有”的数据，问所求的数，因此我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词。
在《九章算术》中，今有术应用特别广泛，是一种普遍的解题方法。
与比率有关的其他一些算法一般都是在今有术的基础上演化而来的。
《九章算术》中另一个常用的比率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分。
比例分配的意思，它是古代处理配分问题的一般方法，“衰分术曰，各置列衰(即所配的比率)，副并(得所配比率的和)为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一”，刘徽“注”说：“列衰各为所求率，副并(所得的和)为所有率，所分为所有数”，用“今有术”计算，就可以得到各所求数。
例如衰分章第二题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰，我羊食半马(所食)，马主曰，我马食半牛(所食)，今欲衰偿之，问各几何”，依照羊主人、马主人的话，牛、马、羊所食粟相互之比率是4∶2∶1，就用4、2、1各为所求率，4＋2＋1=7《九章算术》中有相当复杂的比例问题，例如均输章中，既有按正比“列衰”也有按反比“列衰”的比例分配问题等等。
因此《九章算术》已包括了现代算术中的全部比例的内容，形成了一个完整的体系。
印度于五、六世纪间有“三率法”的算法。
所谓三率法相当于术。
印度三率法传入阿拉伯国家，再传到西欧各国，于是欧洲在更晚的时期也有类似的算法，欧洲商人很重视这种算法，称它为“金法”。
从《九章算术》的“今有术”逐渐演变到现在教科书中的比例，已有二千年的发展历史。
4．盈亏问题《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)。
”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下。
令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实。
实为物价，法为人数”。
如以算筹演算大致如图1－24所示。
用现代的符号来表示：设每人出a1钱，盈b1钱；每人出a2钱，不足b2钱，求物价u 和人数v。
依据术文得下列二公式：当然我们还可以算出每人应该分摊的钱数因此上述的盈不足术实际上包含着三个公式。
《九章算术》的盈不足章的最前四个问题是正规的盈亏问题。
而第五题是“两盈”问题，第六题是“两不足”问题则分子就得相减了，都是“以少减多”来进行的，第七题是“盈、适足”，第八题是“不足，适足问题。
它们的解法也可以在盈不足术的基础上分别提出适当的公式。
盈不足章的第9到第20题，是一般的算术应用题，有些问题还相当难，初学者不易解答。
如果通过两次假设(分别各假设一个答数)然后分别验算其盈余和不足的数量，这样任何算术问题都可以改造成为一个盈亏问题来解。
因此盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位。
盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国。
二、代数部分《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平。
1．开平方和开立方《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样。
所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步。
问为方几何”。
“答曰：二百三十五步”。
这里所说的步是我国古代的长度单位。
“开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长。
)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)。
步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)。
议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)。
以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225-40000=15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)。
复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位。
因“实”的千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3。
置3于商的十位。
以次商3乘借算得3×100=300，与定法相加为4000＋300=4300。
再乘以次商，则得：3×4300=12900，由“实”减去得：15225-12900=2325。
如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1+4300=4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，以5＋460=465，再乘以三商5，得465×5=2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235。
)上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作。
它的开平方原理与现代开平方原理相同。
其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换。
《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的。
至于开立方，因篇幅的关系这里从略。
2．二次方程问题《九章算术》勾股章第二十题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何。
”“答曰：二百五十步”。
已知：如图1－26所示，CD=20步，EB=14步，BF=1775步，求CE。
按题意，得或EC(CE＋CD＋EB)＝2CD·BF。
设x=EC。
经整理，得x2＋34x=71000。
这是一个解数字二次方程的问题。
这种二次方程有一个正系数的一次项在二次项后面，我国古代称这个一次项为“从法”。
《九章算术》少广章开平方术虽然专为开整平方而建立，但是也可以利用来解一般的二次方程问题。
解这种二次方程只需开带“从法”的平方，或简称为“开带从平方”。
从而即可求得方程的正根。
因此上述勾股章第20题的解法为：“术曰以出北门步数乘西行步数倍之，(2CD·BF=2×20×1775=71000)为实，并出南门步数为从法(20+14=34)，开方除之，即邑方。
”现列出开带从平方的筹算步骤如图1－27所示。
(注：为了不易搞错，空位补上0)如果我们将上述开带从平方的演算过程与55225的开平方的演算过程作一比较的话，我们就可以发现：在55225开平方过程中，议平方根的第二位和第三位数字时，所列的算式是一个有“从法”的开方式相当于我们分别用开带从平方的方法解二次方程：不过要注意的是前者的正根是10x2=35，而后者的正根是x3=5。