高中数学会考知识点总结-(超级经典)

数学学业水平复习知识点第一章 集合与简易逻辑1、 集合（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{ }。

（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作φ，φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）； （4）、元素a 和集合A 之间的关系：a ∈A ，或a ∉A ；（5）、常用数集：自然数集：N ；正整数集：N ；整数集：Z ；整数：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。

2、子集（1）、定义：A 中的任何元素都属于B ，则A 叫B 的子集 ；记作：A ⊆B ， 注意：A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ（2）、性质：①、A A A ⊆⊆φ,；②、若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；③、若A B B A ⊆⊆,则A =B ； 3、真子集（1）、定义：A 是B 的子集 ，且B 中至少有一个元素不属于A ；记作：B A ⊂； （2）、性质：①、A A ⊆≠φφ,；②、若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；4、补集①、定义：记作：},|{A x U x x A C U ∉∈=且；②、性质：A A C C U A C A A C A U UU U ===）（，， φ； 5、交集与并集（1）、交集：}|{B x A x x B A ∈∈=且性质：①、φφ== A A A A , ②、若B B A = ，则A B ⊆ （2）、并集：}|{B x A x x B A ∈∈=或性质：①、A A A A A ==φ , ②、若B B A = ，则B A ⊆ABBA6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）不等式解集的边界值是相应方程的解含参数的不等式ax 2＋b x ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋b x ＋c>0的解集是R ； 其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况。

第二章 函数1、映射：按照某种对应法则f ，集合A 中的任何一个元素，在B 中都有唯一确定的元素和它对应， 记作f ：A →B ，若B b A a ∈∈,，且元素a 和元素b 对应，那么b 叫a 的象，a 叫b 的原象。

2、函数：（1）、定义：设A ，B 是非空数集，若按某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个数x ，集合B 中都有唯一确定的数f （x ）和它对应，就称f ：A →B 为集合A 到集合B 的一个函数，记作y=f （x ）， （2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x 的取值范围叫函数的定义域，函数值f （x ）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）； （4）、区间：满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫闭区间，表示为：[a ，b ] 满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫开区间，表示为：（a ，b ）满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a ，b ）或（a ，b ]； （5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R ；②、分式：分母0≠，0次幂：底数0≠，例：|3|21x y -=③、偶次根式：被开方式0≥，例：225x y -=④、对数：真数0>，例：)11(log xy a -=（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：||2.0x y = ②、单调函数：代入求值法： ]3,31[),13(log 2∈-=x x y ③、二次函数：配方法：)5,1[,42∈-=x x x y ， 222++-=x x y④、“一次”分式：反函数法：12+=x xy ⑤、“对称”分式：分离常数法：xxy sin 2sin 2+-=⑥、换元法：x x y 21-+= （7）、求f （x ）的一般方法：①、待定系数法：一次函数f （x ），且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ，求f （x ） ②、配凑法：,1)1(22xx xx f +=-求f （x ） ③、换元法：x x x f 2)1(+=+，求f （x ）④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f （x ）满足xx f x f 1)()(2=-，求f （x ） 3、函数的单调性：（1）、定义：区间D 上任意两个值21,x x ，若21x x <时有)()(21x f x f <，称)(x f 为D 上增函数； 若21x x <时有)()(21x f x f >，称)(x f 为D 上减函数。

（一致为增，不同为减） （2）、区间D 叫函数)(x f 的单调区间，单调区间⊆定义域；（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论 （4）、复合函数)]([x h f y =的单调性：内外一致为增，内外不同为减； 4、反函数：函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=；函数)(x f y =和)(1x fy -=互为反函数； 反函数的求法：①、由)(x f y =，解出)(1y f x -=，②、y x ,互换，写成)(1x fy -=，③、写出)(1x fy -=的定义域（即原函数的值域）；反函数的性质：函数)(x f y =的定义域、值域分别是其反函数)(1x fy -=的值域、定义域；函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x fy -=的图象关于直线x y =对称；点（a ，b ）关于直线x y =的对称点为（b ，a ）；5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n 次方根等于a （*,1N n n ∈>），那么这个数叫a 的n 次方根；na 叫根式，当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n n（2）、分数指数幂：正分数指数幂：n mnma a =；负分数指数幂：nm nmaa1=-0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）； （3）、运算性质：当Q s r b a ∈>>,,0,0时：r r r rs s r sr srb a ab a a aa a ===⋅+)(,)(,，rr a a 1=；6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果)1,0(≠>=a a N a b，数b 叫以a 为底N 的对数，记作b N a =log ，其中a 叫底数，N 叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN ，以e=2.7182828…为底叫自然对数：记为lnN （2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：01log =a ，③、底的对数等于1：1log =a a ，④、积的对数：N M MN a a a log log )(log +=， 商的对数：N M NMa a alog log log -=， 幂的对数：M n M a na log log =， 方根的对数：M nM a n a log 1log =，7、指数函数和对数函数的图象性质第三章 数列（一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项； 数列是特殊的函数：定义域：正整数集*N （或它的有限子集{1，2，3，…，n}），值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；（2）、通项公式：数列{n a }的第n 项n a 与n 之间的函数关系式；例：数列1，2，…，n 的通项公式n a = n 1，-1，1，-1，…，的通项公式n a =1)1(--n ； 0，1，0，1，0，…，的通项公式n a 2)1(1n-+=（3）、递推公式：已知数列{n a }的第一项，且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系用一个公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列{ n a }：11=a ，111-+=n n a a ，求数列{ n a }的各项。

（4）、数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321； 数列前n 项和与通项的关系：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n S S n S a a n nn（二）、等差数列 ：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

（2）、通项公式：d n a a n )1(1-+= （其中首项是1a ，公差是d ；整理后是关于n 的一次函数）， （3）、前n 项和：1．2)(1n n a a n S +=2. d n n na S n 2)1(1-+=（整理后是关于n 的没有常数项的二次函数）（4）、等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

即：2ba A +=或b a A +=2 [说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。

（5）、等差数列的判定方法：①、定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。

②、等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

（6）、等差数列的性质：①、等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有dm n a a m n )(-+=②、等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+。

也就是： =+=+=+--23121n n na a a a a a ，如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ++---112,,,,,,12321③、若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。

如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++④、设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有：前n 项的和偶奇S S S n +=， 当n 为偶数时，d2nS =-奇偶S ，其中d 为公差；当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=（其中中a 是等差数列的中间一项）。