安徽省金寨一中2021届高三上学期理科实验班数学周练9试题(2020年11月21日

金寨一中高三理科实验班数学周练9试题 11.21一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 1. 已知集合{}21M x y x ==+，{}2(,)1N x y y x ==-+，则M N =（ ）A. {}1B. ()0,1C. ∅D. {}(0,1)2. 已知命题():0,P x ∃∈+∞，ln 0x x +<，则p ⌝为（ ） A. ()0,x ∀∈+∞，ln 0x x +< B. ()0,x ∃∉+∞，ln 0x x +< C. ()0,x ∀∈+∞，ln 0x x +≥D. ()0,x ∀∉+∞，ln 0x x +≥3. 已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A. 8 B. 8- C. 2 D. 2- 4. 以下选项中，满足log 2log 2a b >的是（ ） A. 2a =，4b = B. 8a =，4b = C. 14a =，8b = D. 12a =，14b =5．函数22cos ()sin x xf x x x+=的部分图象大致为（ ）A B C D6．已知等比数列{}n a 中，10a <，则“36a a <”是“15a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为（ ） Aπ90 B. π180 C. π270 D. π3608．若对任意x ∈R ，都有5sin 2cos()(,||)6x x πωϕωϕπ⎛⎫+=+∈< ⎪⎝⎭R ， 则满足条件的有序实数对(,)ωϕ的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．39. 已知方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，则实数a 的取值范围是（ ）A. [)0,+∞B. (),0-∞C. (],2-∞D. []2,0-10. 已知α，β为锐角，4tan α=，()5cos αβ+=，则tan αβ（ ） A. 247-B. 5C. 211-D. -211. 已知函数2112()cos(1)1()x x x x a e e x f x --+=-+++--有唯一零点，则a =（ ）A. 1B. 13-C. 13D.1212. 定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：当0πx ≤<时，()sin f x x =；当πx ≥时，()()2πf x f x =-.若方程()0f x x m -+=在区间[]0,5π上恰有3个不同的实根，则m 的所有可能取值集合是（ ） A.4π0,33⎡⎢⎣ B.4π0,33⎛ ⎝ C.[)4π0,33π,4π3⎡⋃⎢⎣ D.()4π0,33π,4π3⎡⋃⎢⎣二、填空题（每题5分，满分20分）13．函数()xe f x x=在点(1, (1))f 处的切线方程为______．14．已知单位向量,a b 满足：||3a b -=，则|2|a b +=_____．15. 已知x ＞1，y ＞1，xy ＝10，则14lg lg x y+的最小值是_______． 16. 2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设{}n a 为等差数列，{}n b 是正项等比数列，且112a b ==，322a b =．在①53112b b b -=，②542a b +=，这两个条件中任选一个，回答下列问题： （I ）写出你选择的条件并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）在（1）的条件下，若()*n n n c a b n =+∈N ，求数列{}nc 的前n 项和nS．18．（12分）设函数()2cos sin 3f x x x π⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭x ∈R ． （I ）求函数()f x 的对称轴方程；（II ）在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且()f A =2a =，ABCS=ABC 的周长．19. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin sin )(sin sin )(sin sin )sin A C A C A B B +-=- （I ）求角C ； （II）若c = 且sin sin(2)sin 2C C A A ++=，求△ABC 的面积.20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n S a =- （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（II ）设22log (2)2nn na n n nb n n a ⎧⎪+⎪=⎨⎪⎪⎩，为奇数，为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .21. 设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈. （I ）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（II ）若()f x 在区间[0,]π内有两个不同的零点，求a 的取值范围.22. 设函数f (x )=ax 2-a -ln x ，其中a ∈R. （I ）讨论f (x )的单调性；（II ）确定a 的所有可能取值，使得11()xf x e x->-在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．周练答案1-6CCDAAC 7-12 ACACDD 13．y e = 1415.9 16.401117．（1）选择①：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为(0)q q >． 则根据题意有422242224d q q q +=⎧⎨-=⎩， 解得23q d =⎧⎨=⎩， 所以123(1)31,222n n n n a n n b -=+-=-=⋅=，选择②：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为(0)q q >． 则根据题意有32242422d q d q +=⎧⎨++=⎩， 解得23q d =⎧⎨=⎩， 所以123(1)31,222n n n n a n n b -=+-=-=⋅=．（2）由（1）可知312nn c n =-+,所以()21212(231)3222122nn n n n nnS +-+-+=+=+--． 18．（1）因为21()2cos sin sin cos 2f x x x x x x x ⎛⎫=+⋅=+- ⎪⎝⎭11cos21sin 2sin 2sin 22223x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭， 令2,32x k k πππ-=+∈Z ，解得5,122k x k ππ=+∈Z ，即为所求． （2）因为锐角三角形ABC ，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为()sin 23f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3A π=因为1sin 2ABCSbc A ===4bc = 又因为22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===，所以4b c += 所以ABC 的周长为6a b c ++=． 19.（1）π3C =；（2）6或4. 20.（1）112,22n n n S a --≥=- 1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -= 又111,22n S a ==- 12a =∴数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列<2>由（1）知()()2211log 2n 22222n n n n n n n n n n b b n n n n -⎧⎧⎪⎪++⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩为奇数为奇数为偶数为偶数 所以21232n n T b b b b =++++ 135211*********2133521212222n n n n -⎛⎫⎡⎤=-+-++-+++++ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦13521246212222n n n n -⎡⎤=+++++⎢⎥+⎣⎦设135212462222n n A -=++++， 则23572124622222n n A -+=++++，两式相减得3572121322221422222n n nA -+=++++-，整理得211668992n n A -+=-⨯，所以221166899221n n n n T n -+=-+⨯+. 21.（1）()sin xf x e x '=-， 由0x >，得1,sin [1,1]xe x >∈-，则()sin 0xf x e x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数.故()(0)2f x f >=，即()2f x >.（2）由()cos 0xf x ae x =+=，得cos x xa e=-. 设函数cos (),[0,]x xh x x eπ=-∈， 则sin cos ()xx xh x e'+=. 令()0h x '=，得34x π=. 则30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3()0,,4h x x ππ'⎛⎤>∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '<， 所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调逼增，在3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调减.又因为343(0)1,(),4h h e h ππππ--⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以当34,2a e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，方程cos x xa e =-在区间[0,]π内有两个不同解， 即所求实数a的取值范围为34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 22.（Ⅰ）2121()2(0).ax f x ax x x x --=>'=0a ≤当时，()'f x <0，()f x 0+∞（，）内单调递减. 0a >当时，由()'f x =0，有x =此时，当x∈（时，()'f x <0，()f x 单调递减； 当x∈+)∞时，()'f x >0，()f x 单调递增. （Ⅰ）令()g x =111ex x --，()s x =1e x x --. 则()s x '=1e 1x --. 而当1x >时，()s x '>0，所以()s x 在区间1+)∞（，内单调递增. 又由(1)s =0，有()s x >0， 从而当1x >时，()f x >0当0a ≤，1x >时，()f x =2(1)ln 0a x x --<.故当()f x >()g x 在区间1+)∞（，内恒成立时，必有0a >. 当102a <<>1. 由（Ⅰ）有(1)0f f <=,从而0g >， 所以此时()f x >()g x 在区间1+)∞（，内不恒成立. 当12a ≥时，令()()()(1)h x f x g x x =-≥， 当1x >时，3212222111112121()20xx x x x h x ax e x x x x x x x x--+-+=-+->-+-=>>'， 因此，()h x 在区间(1,)+∞单调递增.又因为(1)=0h ，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立.综上，1[,)2a ∈+∞..。