通信网络的设计问题2

为区域 d，将点集[51 12 30 46 68 31 38 33 65 59 4 41 73 48 60 58]记为区
域 e，将点集[77 23 71 6 64 75 11 72 74 57 17 10 44 15]记为区域 f。为了
满足 90%的可靠性，需要将 a,b,c 三个区域连通。为了使总的铺设费用最少，要
权总路径最短，先根据附件计算出 80 个节点任意两点间铺设道路的费用，然后 用 Prim 算法求出最小生成树。要分析所建网络结构的可靠性，要求出网络中所 有节点正常工作的概率以及网络链路连通的概率。 4.2 问题二的分析
对于问题二，在问题一的最小生成树基础上【3】，要使任意一个结点出现故 障时，其它结点间仍然能够保持通信畅通的可能性都达到 90%，即 80 个点中任 意一个节点出现故障时，至少有 72 个点仍然连通，可以将失效的节点与其它正 常工作的节点相连接，用 MATLAB 编程算出需要连接的节点最少的费用。 4.3 问题三的分析
问题 3：综合考虑网络的可靠性以及铺设费用，试确定合理的铺设方案。
二、模型假设
1.假设每个节点故障率为 10-5，每条链路的故障率为 10-7。【2】 2.假设两个节点之间的费用仅由单位费用和距离决定。 3.假设整个网络的连通情况仅仅只受结点与链路影响。 4.假设仅仅只考虑一个结点发生故障或者一条链路被破坏，不考虑其他情况。
与 35 连接（如下图所示），计算出总的费用为 29478+1064=30542 百元。
7
可靠性分析： 考虑问题二的可靠性，利用问题一的可靠性模型可以得到： 首先，在我们增加两条边之后，可以得到一个网络结构 G（80,82）；
因此，我们可以分析该网络结构得到，k0=272,k1=33,k2=1; 考虑到精确性，我们只分析了在 500 小时的时间内的可信度，
上表，一共有 5 种连接方式，如下：
连通线路
所需费用（百元）
1+2
1064
2+4
2627
2+5
1316
6
3+4
2561
4+5
2871
要使总的费用最少所以选出最优的路径为 1+2，即将点 61，68 连接，38,35
连接。
所以铺设线路的最佳方案为在第一问的基础上，将点 61 与 68 连接，点 38
根据题目要求，在任意一个节点出现故障时其它节点间仍然能够保持通信畅 通的可能性都达到 90%时，就是在任何的一个节点发生故障时，要保证至少有 72 个节点仍然连通，用 MATLAB 编程（附录 3）找出第一问所构建网络中不符合要 求的点，如下图所示
4
5
标有红色括号的即为不符合要求的点，从图中可以看出点 70，,51 和 77 为
与第二问相似，在第一问的最小生成树基础上，要使任意一条链路出现故障 时，其它链路仍然能否保持通信畅通的可能性达到 90%，即至少有 72 个节点连 通，可以将失效的节点与其它正常工作的相连接，保证至少有 72 个节点还正常 工作，用 MATLAB 编程求出需要连接的节点以及最少的费用。 4.4 问题四的分析
设每个节点的故障率为 1 , 每条链路的故障率为 2 , 则节点和链路的可靠 度分别为
rn e1t , rl e2t 网络中所有节点正常工作的概率
RNODE=rnN= e N1t , 网络链路连通的概率：
M N 1
RLINK
k je( N j1)2t (1 e2t )M N j1 ;
针对问题三，在第一问的基础上，要使任意一条链路发生故障时，其它节点 间的通信畅通率仍然达到 90%，即至少有 72 个节点保持连通，通过 MATLAB 编程求出不符合条件的链路，可以将失效的节点与其它正常工作的相连接，保证 至少有 72 个节点还正常工作，用 MATLAB 编程求出需要连接的节点以及最少的费 用。本文求得需要连通的节点为 61，68 与 46,71，所需的总费用为 30534 百元。
问题 2．考虑到通信网络结点的可靠性，若要求任意一个结点出现故障时， 其它结点间仍然能够保持通信畅通的可能性都达到 90%，请建立问题的数学模 型，设计求解算法，并给出使总铺设费用最少的铺设方案；
问题 3：考虑到通信网络链路的可靠性，若要求任意一条链路被破坏时，能 够保持通信畅通的结点都能够达到 90%，请建立问题的数学模型，设计求解算法， 并给出使总铺设费用最少的铺设方案；
对于一个系统，可靠性是其重要的整体指标，通信网络亦不例外。通信网络 的可靠性不仅与通信设备、链路有关，而且还与网络结构有关。
某通信公司拟建一个具有 80 个结点的通信网络，需要在这些结点之间铺设 线路，进行数据传输。结点之间的距离和铺设线路的单位费用见附件 1，请对以 下问题进行研究：
问题 1．要使得通信网络的总铺设费用最省，请建立问题的数学模型，设计 求解算法，给出铺设方案，并讨论方案的可靠性；
用 prim 算法【4】（附录 2）求出 80 个节点的最小生成树如下
2
3
根据最小生成树，算出的总费用为 29478 百元。 5.1.2 可靠性分析
通信网络的可靠性是指在规定条件下、规定时间内，全网保持连通的概率【1】 。 网络的可靠度就是在规定条件下、规定时间内, 全网保持连通的概率。 素回路：任意两个节点有一条链路当且仅当它们是相邻节点的回路，( N , M) 网络有 M- N + 1 个素回路【1】。 根据定义, 通信网络可靠性的评估应从分析网络是否连通入手，设一个网络结构 由 N 个结点，M 条链路构成，用 G（N,M）表示。设 kj 是( N , M) 网络中( N , N + k- 1) 连通子网的数目。
三个最关键的点。将点 70 连接的点集[1 34 26 61 50 32]记为区域 a，将点 51
连接的点集[30 31 38 59 4 48 60 58]记为区域 b，将点 77 连接的点集[71 11 72
74 17 10 44 15]记为区域 c，将点集[1 34 26 61 50 70 32 66 67 36 8 14]记
我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： A3
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
重庆邮电大学
参赛队员 (打印并签名) ：1.
王桃
2.
杨太海
3.
江海欢
指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：
鲜思东
日期：2014 年 9 月 2 日
1
高教社杯全国大学生数学建模竞赛
与第二问相似，根据题目要求，在任意一个链路出现故障时其它节点间仍然 能够保持通信畅通的可能性都达到 90%时，就是在任何的一个链路发生故障时， 要保证不会因此超过 8 个点出现故障，用 MATLAB 编程（附录 5）找出第一问所 构建网络中不符合要求的链路，如下图所示
针对问题二，在第一问的基础上，要使任意一个节点出现故障时，其它节点 间的通信畅通率达到 90%，即考虑至少有 72 个点仍然保持连通，本文采用 MATLAB 编程求出不符合要求的节点，并找出关键的 3 个节点，并从其引起故 障的失效节点中找出使之连通后保证仍然 90%的节点畅通，且使铺设的费用最少 的点。本文求得需要连通的节点为 61,68 与 38,35，最少费用为 30542 百元。
RNET
100
0.9231
0.9992
0.9224
200
0.8521
0.9984
0.8508
300
0.7866
0.9976
0.7847
400
0.7261
0.9968
0.7238
500
0.6703
0.9961
0.6677
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由上表可知，通信网络运行 100 个小时时，网络的可靠性为 92%，随着时间 的增加，可靠性降低，网络结构 运行 500 小时时，可靠性降低至 67%，可以看 出，该系统的可靠性较低。 5.2 问题二的模型及求解
首先，RNODE= eN1t =0.6703；
M N 1
RLINK
k
e(N
j
j 1)2t
(1
e2t
)M N
j 1
0.9976 ；
j0
所以：ＲNET=RNODE*RLINK=0.6687, 因此对比问题一的可靠度，我们可以知道可靠度提高，因此该网络结构的可靠性 比问题一的可靠性要好。 5.3 问题三的模型及求解
针对问题四，我们根据题目要求，我们首先将此问简单话，做出合理假设， 建立最优化方案模型，通过分析问题一、问题二、问题三的求解即铺设方案情况 情况，利用目标值 W 函数，及相关约束条件，找出前三问只有问题二的铺设方 案满足条件，得出 W=2.189×10-5，然后在问题二的铺设方案下进行改进，查找 最佳方案，最终通过分析比较，得出问题二的铺设方案为最佳铺设方案。
三、符号说明
1
每个节点的故障率
2
每条链路的故障率
t
网络结构运行的时间
RNODE RLINK RNET
ki W
网络中所有节点正常工作的概率 网络链路连通的概率 整个网络的可靠度 第 i 素回路对应的生成树数目 方案目标值
1
R
网络可靠度
P
方案费用
四、问题分析
4.1 问题一的分析 对于问题一，题目要求通信网络的总铺设费用最省，就要使 80 个节点的加
j0
整个网络的可靠度：RNET=RNODERLINK;
根据我们的求解方案，生成的网络结构为（80,79）的最小生成树网络，明 显可以得到，该网络中通路为 1，素回路为 0，因此，我们可以算出假定在 100 小时、500 小时内整个网络的可靠度如下：
500 小时内网络的可靠度