矢量分析旋度散度梯度
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矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
例：
给定两矢量 A 2xˆ 3yˆ 4zˆ 和 B 6xˆ 4yˆ 1zˆ ，求 A B 在 C xˆ yˆ zˆ 上的分量。
元的表示
10. 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u
• 单位矢量：小写上加倒勾xˆ
ex
ex
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则
相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋
关系, 为nAˆ , B所在平面的右手法向 :
A B nˆ A B sin aAB
特点： 1、它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
2、 xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis
§1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
3、
并有
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
互相垂直的两个矢量的点积为0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
4、 A B Ax Bx Ay By Az Bz A A Ax2 Ay2 Az2 A 2
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA- (A·A)X
X pA A P A A
作业
• P31 1-1 1-3
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
A B (xˆAx yˆAy zˆAz ) (xˆBx yˆBy zˆBz ) xˆ( Ay Bz Az By ) yˆ( Az Bx AxBx ) zˆ( Ax By Ay Bx )
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
解：
xˆ yˆ zˆ
A B 2 3 4 13xˆ 22yˆ 10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
A BC 25 14.43
wk.baidu.com
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p A X ， P A X
握散度定理的内容，并能熟练运用。 5. 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。
6. 了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 7. 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应
用
8. 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 9. 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积
B xˆBx yˆBy zˆBz
则
A B xˆ( Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
A (B C) B (C A) C ( A B)
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
§1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
A xˆAx yˆAy zˆAz
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2 Ay2 Az2
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆ cosa yˆ cos zˆ cos
和或差: Vector addition or subtraction
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
例：
给定两矢量 A 2xˆ 3yˆ 4zˆ 和 B 6xˆ 4yˆ 1zˆ ，求 A B 在 C xˆ yˆ zˆ 上的分量。
元的表示
10. 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u
• 单位矢量：小写上加倒勾xˆ
ex
ex
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则
相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋
关系, 为nAˆ , B所在平面的右手法向 :
A B nˆ A B sin aAB
特点： 1、它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
2、 xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis
§1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.6 亥姆霍兹定理
基本要求
1. 掌握矢量在正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
3、
并有
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
互相垂直的两个矢量的点积为0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
4、 A B Ax Bx Ay By Az Bz A A Ax2 Ay2 Az2 A 2
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA- (A·A)X
X pA A P A A
作业
• P31 1-1 1-3
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
A B (xˆAx yˆAy zˆAz ) (xˆBx yˆBy zˆBz ) xˆ( Ay Bz Az By ) yˆ( Az Bx AxBx ) zˆ( Ax By Ay Bx )
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
解：
xˆ yˆ zˆ
A B 2 3 4 13xˆ 22yˆ 10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
A BC 25 14.43
wk.baidu.com
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p A X ， P A X
握散度定理的内容，并能熟练运用。 5. 了解矢量场旋度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。
6. 了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 7. 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应
用
8. 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 9. 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积
B xˆBx yˆBy zˆBz
则
A B xˆ( Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
A (B C) B (C A) C ( A B)
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
§1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
A xˆAx yˆAy zˆAz
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2 Ay2 Az2
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆ cosa yˆ cos zˆ cos
和或差: Vector addition or subtraction