矢量分析旋度散度梯度
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解教学内容
矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解1.梯度 gradient设体系中某处的物理参数(如温度、速度、浓度等)为w，在与其垂直距离的dy 处该参数为w+dw，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。
如果参数为速度、浓度或温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。
更严格的说，从欧氏空间Rn到R的函数的梯度是在Rn某一点最佳的线性近似。
在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。
梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数z=f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P(x,y)∈D，都可以定出一个向量(δf/x)*i+(δf/y)*j这向量称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)的梯度，记作gradf(x,y)类似的对三元函数也可以定义一个：(δf/x)*i+(δf/y)*j+(δf/z)*k 记为grad[f(x,y,z)]2.散度气象学中指：散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，值为负时为辐合，此时有利于天气系统的的发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。
表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：设某量场由 A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k 给出，其中 P、Q、R 具有一阶连续偏导数，∑是场内一有向曲面，n 是∑在点 (x,y,z) 处的单位法向量，则∫∫A·ndS 叫做向量场 A 通过曲面∑向着指定侧的通量，而δP/δx + δQ/δy + δR/δz 叫做向量场 A 的散度，记作 div A，即 div A = δP/δx + δQ/δy + δR/δz。
梯度散度和旋度——定义及公式
梯度散度和旋度——定义及公式梯度、散度和旋度是矢量场的重要属性，它们帮助我们理解和描述矢量场的变化特征。
梯度表示了矢量场的变化率和方向，散度表示了矢量场的流出或流入程度，旋度表示了矢量场的循环或旋转程度。
在物理学、工程学和应用数学等领域，梯度、散度和旋度被广泛应用于描述流体力学、电磁场和温度分布等问题。
首先，让我们来看看梯度的定义和公式。
梯度表示了矢量场在一个点上的最大变化率和该变化的方向。
对于一个标量场（只有大小没有方向的场），梯度是一个矢量场。
设f(x,y,z)是一个三维空间中的标量场，梯度∇f(x,y,z)可以表示为：∇f(x,y,z)=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)其中，∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z分别表示f对x、y和z的偏导数。
梯度的大小表示了函数在该点上变化最快的方向。
接下来，我们来看看散度的定义和公式。
散度表示了矢量场的流出或流入程度。
对于一个三维矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，它的散度∇·F可以表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中，∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示F的各个分量对x、y和z的偏导数。
散度的值正表示流出，负表示流入。
最后，我们来看看旋度的定义和公式。
旋度表示了矢量场的循环或旋转程度。
对于一个三维矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，它的旋度∇×F可以表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)其中，∂R/∂y-∂Q/∂z、∂P/∂z-∂R/∂x、∂Q/∂x-∂P/∂y分别表示F的各个分量对x、y和z的偏导数之差。
旋度的大小表示了场的循环或旋转的强度。
梯度、散度和旋度提供了一种描述矢量场的数学工具，帮助我们分析矢量场的性质和行为。
通过计算这些属性，我们可以得到关于矢量场的重要信息，如流体的速度分布、电磁场的演化和温度场的变化。
旋度梯度散度方向导数
旋度梯度散度方向导数旋度、梯度、散度和方向导数是微分几何中的一些基本概念，它们在物理学、工程学和应用数学中都有广泛的应用。
本文将对旋度、梯度、散度和方向导数进行详细的介绍和解释。
1. 旋度旋度是矢量场的一个重要属性，用于描述矢量场的旋转性质。
在三维空间中，一个矢量场的旋度可以表示为向量的叉乘形式，即旋度矢量。
旋度矢量的大小表示旋转的强度，方向则表示旋转的方向。
旋度的计算公式为：∇ × F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z) i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x) j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y) k其中，F = Fx i + Fy j + Fz k 是一个矢量场，∂/∂x、∂/∂y、∂/∂z 分别表示对 x、y、z 的偏导数。
2. 梯度梯度是标量场的一个重要属性，用于描述标量场的变化率。
在三维空间中，一个标量场的梯度可以表示为矢量的形式，即梯度矢量。
梯度矢量的大小表示变化率的大小，方向则表示变化率的方向。
梯度的计算公式为：∇f = (∂f/∂x) i + (∂f/∂y) j + (∂f/∂z) k其中，f 是一个标量场，∂f/∂x、∂f/∂y、∂f/∂z 分别表示对 x、y、z 的偏导数。
3. 散度散度是矢量场的一个重要属性，用于描述矢量场的收敛或发散性质。
在三维空间中，一个矢量场的散度可以表示为矢量的点乘形式，即散度标量。
散度标量的大小表示收敛或发散的强度，正值表示收敛，负值表示发散。
散度的计算公式为：∇ · F = (∂Fx/∂x) + (∂Fy/∂y) + (∂Fz/∂z)其中，F = Fx i + Fy j + Fz k 是一个矢量场，∂Fx/∂x、∂Fy/∂y、∂Fz/∂z 分别表示对 x、y、z 的偏导数。
4. 方向导数方向导数是标量场在给定方向上的变化率。
在三维空间中，标量场的方向导数可以表示为梯度矢量和给定方向单位矢量的点乘形式。
方向导数的大小表示变化率的大小，方向则表示变化率的方向。
散度 旋度 梯度 运算
散度旋度梯度运算散度、旋度和梯度是数学中常用的运算符号，用来描述矢量场的性质和变化规律。
它们在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。
本文将分别介绍散度、旋度和梯度的定义、性质和应用。
一、散度（Divergence）散度是描述矢量场发散或收敛性质的一个概念。
它表示矢量场在某一点上的流出或流入程度。
具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其散度定义为 D = ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z。
散度可以理解为该点上各个方向的流量之和。
若散度为正，则表示该点上的流量向外；若散度为负，则表示该点上的流量向内；若散度为零，则表示该点上的流量无净流出或流入。
散度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，根据散度定理，流体的质量守恒可以用散度来描述。
此外，在电场和磁场中，散度也可以用来描述电荷和磁荷的分布情况。
二、旋度（Curl）旋度是描述矢量场的旋转性质的一个概念。
它表示矢量场在某一点上的旋转程度。
具体地说，对于一个三维矢量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其旋度定义为 C =∇×F = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)。
旋度可以理解为该点上绕着某一轴旋转的程度。
若旋度为正，则表示该点上的旋转方向符合右手定则；若旋度为负，则表示旋转方向符合左手定则；若旋度为零，则表示该点上没有旋转。
旋度在物理学中有着重要的应用，例如在流体力学中，旋度可以用来描述流体的旋转和涡旋的生成。
此外，在电场和磁场中，旋度也可以用来描述电流和磁场的旋转情况。
三、梯度（Gradient）梯度是描述标量场变化率和方向的一个概念。
它表示标量场在某一点上变化最快的方向和速率。
具体地说，对于一个标量场f(x, y, z)，其梯度定义为∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
散度、旋度、梯度释义
散度、旋度、梯度释义散度、旋度、梯度是矢量分析中的重要概念，通常用于描述矢量场的特性。
1. 散度（Divergence）散度是指矢量场在某一点上的流出量与流入量之差，也就是说，它描述了矢量场的源和汇在该点的情况。
如果某一点的散度为正，表示该点是矢量场的源，矢量场从该点向外扩散；如果散度为负，表示该点是矢量场的汇，矢量场汇聚于该点；如果散度为零，则表示该点是矢量场的旋转中心。
数学上，散度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的散度算子作用于该点处的矢量的结果。
散度算子用符号“∇·”表示，因此，该点的散度可以用以下公式来计算：div F = ∇·F其中，F表示矢量场，div F表示该点的散度。
2. 旋度（Curl）旋度是指矢量场在某一点上的旋转程度，也就是说，它描述了矢量场在该点处的旋转方向和强度。
如果某一点的旋度为正，表示该点周围的矢量场是顺时针旋转的；如果旋度为负，表示该点周围的矢量场是逆时针旋转的；如果旋度为零，则表示该点周围的矢量场没有旋转。
数学上，旋度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的旋度算子作用于该点处的矢量的结果。
旋度算子用符号“∇×”表示，因此，该点的旋度可以用以下公式来计算：curl F = ∇×F其中，F表示矢量场，curl F表示该点的旋度。
3. 梯度（Gradient）梯度是指矢量场在某一点上的变化率，也就是说，它描述了矢量场在该点处的变化方向和强度。
如果某一点的梯度为正，表示该点处的矢量场在该方向上增强；如果梯度为负，表示该点处的矢量场在该方向上减弱；如果梯度为零，则表示该点处的矢量场没有变化。
数学上，梯度用向量微积分的形式来表示，它是矢量场的梯度算子作用于该点处的标量函数的结果。
梯度算子用符号“∇”表示，因此，该点的梯度可以用以下公式来计算：grad f = ∇f其中，f表示标量函数，grad f表示该点的梯度。
矢量分析：旋度、散度、梯度
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
例：
给定两矢量 A 2xˆ 3yˆ 4zˆ 和 B 6xˆ 4yˆ 1zˆ ，求 A B 在 C xˆ yˆ zˆ 上的分量。
s
q
4 r2
s
ds
q
4 r2
4 r 2
q
这证明在此球面上所穿过的电通量 e 的源正是点电荷q。
例：
球面S上任意点的位置矢量为 r xˆx yˆy zˆz rˆr,
试利用散度定理计算 r ds
解：
S
r x y z 3 x y z
r ds rdv 3 dv 3 4 r3 4 r3
Curl
[ A nˆ lim
l A dl ]max
S 0
S
2、旋度的物理意义
1) 矢量A的旋度是一个矢量, 其大小是矢量A在给定点处的最大 环量面密度, 其方向就是当面元的取向使环量面密度最大时,
该面元矢量的方向 nˆ 。
2) 它描述A在该点处的旋涡源强度。
3) 若某区域中各点curl A=0, 称A为无旋场或保守场。
无源场f可以表示为另一个矢量场的旋度即202161075可将矢量场f表示为一个无源场fs和无旋场f因而可定义一个标量位函数u和矢量位函数a使得202161076常用的矢量恒等式202161077202161078矢量分析小结基本内容矢量场的表示方法和代数运算和乘积运算亥姆霍兹方程202161079基本要求了解矢量场散度的定义掌握其计算方法和物理意义
梯度散度旋度公式大全
梯度散度旋度公式大全梯度、散度和旋度是向量场的重要性质，在多个领域中都有广泛的应用。
本文将综述梯度、散度和旋度的定义和主要公式，并分析它们的物理意义和数学性质。
1. 梯度（Gradient）梯度是一个标量函数的偏导数的向量。
假设有一个标量函数f(x,y,z)，其梯度为∇f，表示函数f在其中一点上最大的变化率和方向。
在直角坐标系中，梯度可以表示为：∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)其中∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z表示函数f对应的偏导数。
梯度向量的方向指向函数变化最快的方向，并且梯度大小表示函数变化的速率。
梯度的物理意义很直观，它可以表示物理场中的力的方向和大小，也可以表示温度场中的温度梯度。
梯度具有以下重要性质：（1）梯度的方向垂直于等值面，且指向函数增加的方向。
（2）梯度的大小表示函数在该点上的最大变化率。
（3）梯度为零的点为函数的极值点。
2. 散度（Divergence）散度是一个矢量场的发散的量度。
假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其散度为∇·F，表示矢量场在其中一点上的流入和流出的总量。
在直角坐标系中，散度可以表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z表示矢量场对应的分量的偏导数。
散度可以理解为矢量场的源或汇，具有以下重要性质：（1）散度为正表示矢量场在该点上流入，为负表示矢量场在该点上流出。
（2）散度为零的点为矢量场的源或汇。
（3）散度为正相关于区域密度增加，散度为负相关于区域密度减少。
3. 旋度（Curl）旋度是一个矢量场的旋转量的量度。
假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其旋度为∇×F，表示矢量场在其中一点上的旋转程度和方向。
在直角坐标系中，旋度可以表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示矢量场对应的分量的偏导数。
第一章矢量分析
r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。
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握斯托克斯公式的内容，并能数量应用。
6. 了解标量场的梯度的定义，掌握其计算方法和物理意义 7. 正确理解标量格林定理和矢量格林定理的内容，并学会应
用
8. 了解曲面坐标系中矢量的表示方法、三种坐标系的转换 9. 了解曲面坐标系中散度、旋度的表示线元、面积元、体积
A xˆAx yˆAy zˆAz
矢量的模 Magnitude of vector
A Ax2 Ay2 Az2
A的单位矢量 Unit vector
Aˆ A xˆ Ax yˆ Ay zˆ Az AA AA
xˆ cosa yˆ cos zˆ cos
和或差: Vector addition or subtraction
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
例：
给定两矢量 A 2xˆ 3yˆ 4zˆ 和 B 6xˆ 4yˆ 1zˆ ，求 A B 在 C xˆ yˆ zˆ 上的分量。
元的表示
10. 正确理解亥姆霍兹定理的内容，并能正确应用。
物理量的表示
• 矢量：大写黑体斜体字母 A
大写斜体字母加表示矢量的符号 A
• 标量：小写斜体字母 u
• 单位矢量：小写上加倒勾xˆ
ex
ex
§1 .1 矢量表示法及其运算
1 .1 .1 矢量表示法及其和差
若一个矢量在三个相互垂 直的坐标轴上的分量已知, 这 个矢量就确定了。 例如在直角 坐标系中, 矢量A的三个分量模 值分别是Ax , Ay , Az, 则
3、
并有
xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ xˆ 0
互相垂直的两个矢量的点积为0
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 1
4、 A B Ax Bx Ay By Az Bz A A Ax2 Ay2 Az2 A 2
二、矢量积 Cross production 定义：矢量积A×B是一个矢量, 其大小等于两个矢量的模值
A B (xˆAx yˆAy zˆAz ) (xˆBx yˆBy zˆBz ) xˆ( Ay Bz Az By ) yˆ( Az Bx AxBx ) zˆ( Ax By Ay Bx )
xˆ A×B各分量的下标次序具有规律性。例如, 分量第一项是y→z,
定义：标量积A·B是一标量, 其大小等于两个矢量模值相 乘, 再乘以它们夹角αAB(取小角, 即αAB≤π)的余弦:
特点：
A B A B cosaAB
1、
A B B A 它符合交换律:
2、
|B|cosAB是矢量B在矢量A上的投影， |A|cosAB是矢量A 在矢量B上的投影。 B矢量在A矢量上的投影（或者说矢量B 在A 上的分量） 等于A•B/|A|
矢量场的空间变化规律通常用散度和旋度描述
§1.2.1 矢量场的通量
定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在 任意曲面S，则
S A dS
为矢量 A 沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
SA dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。
矢量场的通量
在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量； 在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。
B xˆBx yˆBy zˆBz
则
A B xˆ( Ax Bx ) yˆ( Ay By ) zˆ( Az Bz )
图 1 -2 矢量的相加和相减
1 .1 .2 标量积和矢量积
矢量的相乘有两种定义: 标量积(点乘)和矢量积(叉乘)。
一、标量积 Dot production
解：
xˆ yˆ zˆ
A B 2 3 4 13xˆ 22yˆ 10zˆ
6 4 1
AB在C上的分量为：
A BC 25 14.43
C
3
例
如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便 可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p A X ， P A X
其第二项下标则次序对调: z→y, 依次类推。并有
xˆ yˆ zˆ A B Ax Ay Az
Bx By Bz
图 1 -3 矢量乘积的说明
1 .1 .3 三重积
A
B
C
矢量的三连乘也有两种。 标量三重积: Scalar triple production
A (B C) B (C A) C ( A B)
p和P已知，试求X
解：
由P=AX，有
A P＝ A(A X)=(A·X)A-(A·A)X=pA- (A·A)X
X pA A P A A
作业
• P31 1-1 1-3
§1 .2 通量与散度, 散度定理
Flux, divergence of a vector field, divergence theorem
第一章 矢 量 分 析
Chapter 1 Vector Analysis
§1.1 矢量表示法和运算 §1.2 通量与散度,散度定理 §1.3 环量与旋度,斯托克斯定理 §1.4 方向导数与梯度,格林定理 §1.5 曲面坐标系 §1.正交坐标系中的表示方法 2. 掌握矢量的代数运算及其在坐标系中的物理意义 3. 掌握矢量积、标量积的计算 4. 了解矢量场散度的定义，掌握其计算方法和物理意义；掌
相乘, 再乘以它们夹角αAB(≤π)的正弦, 其方向与A , B成右手螺旋
关系, 为nAˆ , B所在平面的右手法向 :
A B nˆ A B sin aAB
特点： 1、它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
2、 xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ