麦克斯韦方程中的梯度、散度、旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组在静电场中的散度和旋度
麦克斯韦方程组是在静电场中最常用的量子力学模型，它根据相对论建立了量
子物理学的基石。
在这个方程组的研究中，有一种特殊的量叫做“散度”和“旋度”。
散度就是一个力学概念，它代表了电场的分布方式，用来描述电场的流动情况，也可以理解为电量在不同方向上的流动情况。
而旋度则是一种场的特性，描述了电场的“旋转”状态，可以理解为某个场向不同方向旋转的距离，也可以用来描述一个场的弯曲程度。
在静电场中，麦克斯韦方程组可以大致描述为：电场分布的流动和旋转总是恒
定的，而散度和旋度的值则取决于当前的静电场的情况。
他们的值取决于场的强度、分布方式和旋转情况，因此这些量可以用来测量电场的实际状态。
另外，由于散度和旋度可以提供关于静电场发展情况的重要信息，因此它们也
可以用于预测未来的静电场状况。
这对工程应用非常实用，比如原子能、核燃料带电问题和太阳活动等学科。
除此之外，它们还可以用于其他微观物质问题的研究，例如飞行器设计和电子设计等。
总的来说，散度和旋度是麦克斯韦方程组的重要量，它们在静电场中可以测量
电场的实际状况，同时也可以用来预测未来的静电场状况，并可用于许多工程实践的科学研究。
关于梯度、散度与旋度的探讨
关于梯度、散度与旋度的探讨中文摘要本论文主要介绍了梯度、散度与旋度的概念以及性质，研究了它们的一些应用，其中包括共轭梯度法、斯托克斯定理等等。
在此基础之上，我们又进而深入探讨了它们之间的联系，例如梯度场和旋度场的两个重要性质、亥姆霍兹定理等等，同时，麦克斯韦方程组对散度和旋度的应用有了进一步的诠释。
关键词：哈密度算子；梯度；散度；旋度；共轭梯度法Discussion On The Gradient, Divergence And CurlABSTRACTThis paper describes the gradient, divergence and curl of the concept and nature of some of their applications, including conjugate gradient method, Stokes Theorem and so on. On this basis, we also discussed in detail the links between them, such as gradient and curl field of the two important properties, the Helmholtz Theorem, and so, while Maxwell's equations for divergence and curl The application has been further interpretation.KEY WORD: Hamilton operator degree;Gradient; divergence; rotation; conjugate gradient method.第一章前言 (1)1.1 问题的提出 (1)1.2 研究现状 (1)1.3 研究思路 (2)第二章梯度、散度与旋度的概念与性质 (3)2.1 梯度的概念与性质 (3)2.1.1 梯度的概念 (3)2.1.2 梯度的性质 (4)2.2 散度的概念及性质 (6)2.2.1 散度的概念 (6)2.2.2 散度的性质 (7)2.3 旋度的概念及性质 (9)2.3.1 旋度的概念 (9)2.3.2 旋度的性质 (11)第三章梯度、散度与旋度的应用与联系 (12)3.1 梯度、散度与旋度的应用 (12)3.1.1 梯度的应用 (12)3.1.2 散度的应用 (18)3.1.3 旋度的应用 (20)3.2 梯度、散度与旋度的联系 (21)3.2.1 两个重要性质 (21)3.2.2 亥姆霍兹定理 (22)3.2.3 麦克斯韦方程组 (23)第四章结束语 ...................................................................................................... 错误！未定义书签。
梯度、散度与旋度及其应用
梯度、散度与旋度及其应用
梯度是多元函数变化率取得最大值时的方向，散度表示向量函数在某一点发散的强弱程度，旋度可以表示为向量函数对某一点附近的微元造成的旋转程度。
梯度与旋度都是矢量，散度是标量，但有正负。
这些概念、计算在物理学和其他工程技术中有广泛应用。
本文主要探讨了梯度、散度与旋度在质点力学、流体力学与刚体力学中的简单应用。
梯度、散度与旋度是微积分学中三个重要的概念，每一个概念都
有相应的物理背景，所以只有结合物理背景才能更好地理解这三个概念，才能更好地应用梯度、散度与旋度。
它们在许多学科中都有重要的应用，比如物理学、气象学等等，因此认真学习场论中的梯度、散度与旋度对我们以后去正确判断事物有很大的帮助。
[1]张润琦，陈一宏，微积分.下册，北京：机械工业出版社，2006年1月。
[2]刘兆龙，冯艳全，石宏霆，大学物理.第一卷，力学与热学，北京：高等教育出版社，2017年2月。
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
哈密顿算子的定义与性质
• 定义向量微分算子
∂ ∂ ∇ = ∂x i + ∂∂y j + ∂z k
• 称为▽( Nabla ，奈 称为▽ 布拉)算子, 布拉)算子, 或哈密 顿( Hamilton ) 算子
• • •
矢量性 微分算子 只对于算子▽ 只对于算子▽ 右边的量发生 右边的量发生 微分作用
∂Dx ∂Dy ∂Dz + + =ρ ∂x ∂y ∂z ∂Bx ∂By ∂BZ + + =0 ∂x ∂y ∂z
哈密顿算子与梯度、散度、 哈密顿算子与梯度、散度、旋度
• 英汉对对碰 • • • • Operator▽ Operator▽ Gradient Divergence Curl • • • • 哈密顿算子 梯度(grad) 梯度(grad) 散度(div) 散度(div) 旋度(rot) 旋度(rot)
∂u ∂u ∇u = ∂x i + ∂ y ∂u j + ∂z k
= gradu
(2) A = P(x, y, z)i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k, 则
∇⋅ A
∂P ∂Q ∂R = ∂x + ∂ y + ∂z = div A
i
∂ = ∂x ∇× A P
j
∂ ∂y
k
∂ ∂z
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
梯度,散度,旋度以及几个常用的PDE方程
梯度，散度，旋度以及几个常用的PDE 方程——蒋小敏2012-05-07在最近的学习过程中，经常碰到梯度、散度、旋度等数学概念。
惭愧的是以前学的不够认真，到了现在，忘记的也差不多了，趁这个机会把这些知识捡回来，做一个总结，以后可以作为一个参考，是为记。
本文按知识点进行小节划分，提到的问题都是我自己经常忘记和搞混的知识点。
先定义一下本文的一些符号表达：矢量：大写黑体斜体字母A ，大写斜体字母加表示矢量的符号 标量：小写斜体字母u单位矢量：小写上加倒勾e x一、矢量（1）矢量的定义若一个矢量在三个相互垂直的坐标轴上的分量已知, 这个矢量就确定了。
例如在直角坐标系中, 矢量A 的三个分量模值分别是Ax ，Ay ，Az ，则矢量A ，z y x A z A y A xA ˆˆˆ++=（2）矢量的模222z y x A A A A ++=（3）矢量的乘积标量积，Dot production 点乘，这是一个标量AB a B A B A cos =⋅2222AA A A A AB A B A B A B A zyxz z y y x x =++=⋅++=⋅A xe矢量积，Cross production 叉乘，这是一个矢量AB a B A nB A sin ˆ=⨯ 其中 为A , B 所在平面的右手法向。
zy x z y x B B B A A A zy x B A ˆˆˆ=⨯ 二、通量（1）通量的定义若矢量场A 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S ，则⎰⋅=ψSd SA为矢量A 沿有向曲面S 的通量。
（2）通量的物理含义表示穿入和穿出闭合面S 的矢量通量的代数和。
若0>ψ穿出闭合曲面的通量多于穿入的通量，闭合面内有产生矢量线的正源；例如，静电场中的正电荷就是发出电力线的正源；若0<ψ，穿出闭合曲面的通量少于穿入的通量，闭合面内有吸收矢量线的负源；静电场中的负电荷就是接受电力线的负源；若0=ψ，闭合面无源。
梯度、散度和旋度
梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子波动方程分类：电子技术梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）（下）
最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（微分篇）（下）11梯度、散度和旋度▽算子不是一个矢量，除非你把它作用在一个函数上，否则它没啥意义。
但是，它在各个方面的表现确实又像一个矢量，只要你把▽算子的“作用”看成矢量的“相乘”。
一个矢量一般来说有3种“乘法”：1、矢量A和一个标量a相乘：aA。
比如我把一个矢量A大小变为原来的2倍，方向不变，那么这时候就可以写成2A。
2、矢量A和一个矢量B进行点乘：A·B。
这个点乘我们上面介绍很多了，A·B=|A||B|Cosθ，这里就不说了。
3、矢量A和一个矢量B进行叉乘：A×B。
这个叉乘跟点乘类似，也是我们单独针对矢量定义的另外一种乘法，A×B=|A||B|Sinθ。
大家可以看到，这个叉乘跟点乘唯一的区别就是：点乘是两个矢量的大小乘以它们的余弦值Cosθ，叉乘是两个矢量的大小乘以它们的正弦值Sinθ（在直角三角形里，角的对边和斜边的比为正弦Sinθ，邻边和斜边的比值为余弦Cosθ）。
那么，同样的，我们的▽算子也有3种作用方式：1、▽算子作用在一个标量函数z上：▽z。
这个▽z我们上面说过了，它表示函数z的梯度，它表示这个函数z变化最快的方向。
2、▽算子跟一个矢量函数E点乘：▽·E。
这就表示E的散度，我们开篇讲的高斯电场定律的左边就是电场E的散度，它就是表示成▽·E这样。
3、▽算子跟一个矢量函数E叉乘：▽×E。
它叫E的旋度，这个我们后面会再详细说。
这样，我们就以一种很自然的方式引出了这三个非常重要的概念：梯度（▽z）、散度（▽·E）和旋度（▽×E）。
大家可以看到，▽算子的这三种作用跟矢量的三种乘法是非常相似的，只不过▽是一个算子，它必须作用在一个函数上才行，所以我们把上面的标量和矢量换成了标量函数和矢量函数。
我们在描述山的高度的函数z=f(x,y)的时候，不同的点（x,y）对应不同的山的高度，而山的高度只有大小没有方向，所以这是个标量函数，我们可以求它的梯度▽z。
梯度、发散和旋度——定义及公式
梯度、发散和旋度——定义及公式梯度、发散和旋度是矢量场分析中常用的概念，它们用于描述矢量场的特性和变化。
以下是它们的定义及相关公式：1. 梯度（Gradient）梯度表示矢量场在给定点上最大变化的方向和速率。
我们可以将一个标量场（Scalar field）与一个矢量场（Vector field）的梯度进行计算。
梯度的定义：$$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partialf}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$f$ 表示标量场，$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 表示坐标轴的单位向量。
2. 发散（Divergence）发散用于描述矢量场的流出和流入情况，它表示在给定点的矢量场流量的变化率。
发散的定义：$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} +\frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\cdot$ 表示点乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。
3. 旋度（Curl）旋度用于描述矢量场的旋转和循环性质，它表示在给定点的矢量场环量的变化率。
旋度的定义：$$\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\mathbf{i} + \left(\frac{\partialF_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partialy}\right)\mathbf{k}$$其中，$\nabla$ 表示梯度算子，$\times$ 表示叉乘，$\mathbf{F}$ 表示矢量场。
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MAXWELL方程组
向量场数量场
有源场无源场保守场（无旋场）有旋场（非保守场）
保守场=有势场=无旋场------环流等于零!
有源场-------闭合曲面的通量不等于零!------这些是指场的宏观特性!
3.含时磁场可以感生出电场
4.含时电场可以感生处磁场
上面四个方程可逐一说明如下：在电磁场中任一点处
（1）电位移的散度 == 该点处自由电荷的体密度；
（2）磁感应强度的散度 --- 处处等于零。
（3）电场强度的旋度 == 该点处磁感强度变化率的负值；
（4）磁场强度的旋度 == 该点处传导电流密度与位移电流密度的矢量和\
把不明白的字母列举一下：
E 是电场强度矢量
D 是电位移矢量（也叫电感应强度）应该还有一个电传导向量 E=D+?
B 是磁感应强度矢量
H 是磁场强度矢量 H=B+?
其中内在的联系是：
D=εE
B=μH
注意上面这些大写字母都是矢量
物理都是循序渐进的，你看看懂麦克斯韦方程组，必须学过微积分和数学物理方程。
∮是环路积分，求是对闭合的回路求积分
▽是哈密顿算符，就是对XYZ三个方向求全导数（偏导数就是如果有几个变量，其他的不变，只求一个的导数，全导数就是把不同变量的偏导数全求出来，再加起来）
·是点乘，×是叉乘，不一样的，这是微积分里的
第一个说的是，电场的源是电荷。
＜你看它的微分形式，是不是：电场三个方向都求散度后的结果是电荷的密度，（散度通俗理解就是对三个空间方向求微分）这样就说明了电场不能凭空产生，它是有一个源头的，源头就是电荷。
这与我们通常的理解也是一样的，到目前为止我们也没有发现，单独的正电荷或负电荷，电场线都是从正电荷出发负电荷截止。
第二个方程，知道第一个方程的含义第二个就很好理解了，他就是说磁场是无源的，也就是说磁场是没有源头的，即磁场线是一条连续的曲线。
它不像电场线一样，必须从一个东西发出到一个东西结束。
第三个公式，也是看微分形式。
这里对电场取了旋度，＜旋度就相当于在电场线的垂直方向上求导＞我们看到最后它等于磁场对时间的求导。
负号是方向。
这是什么意思呢？它是说变化的磁场（含时磁场）能产生电场。
这一个在日常生活中用的最多，发电厂就是用的这个发电的。
第四个公式，和上一个方程类似不过又有不同，这里除了变化的电场（含时电场）能产生磁外，还说恒定的电流也能产生磁场。
＜j是电流的意思＞这一个也好理解，你想我们高中学的右手螺旋定则，其实就是用了这个。
右手螺旋定则是由电流方向判断磁场方向，那么也就是说有电流就有磁场了。
这个是帮助理解，其实是先有，麦克斯维再有右手螺旋定则的。
、
倒三角什么意思啊？我们一般把空间看成 X,Y,Z,的三维空间，这里的倒三角是对这，三个维度分别求导再相加的意思
梯度
1.坡度。
2.单位时间或单位距离内某种现象（如温度、气压、密度、速度等）变化的程度。
3.依照一定次序分层次地：我国经济发展由东向西～推进。
4.依照一定次序分出的层次：考试命题要讲究题型有变化，难易有～。
向量场A，数量场u
▽称为汉密尔顿算子，▽·▽=▽2=△，
△称为拉普拉斯算子。
梯度▽u
散度▽·A （点乘结果为数）
旋度▽×A （叉乘结果为向量）
首先梯度和旋度是向量，而散度是标量。
1.梯度针对一个数量场（势场），衡量一个数量场的变化方向。
梯度为0说明该势场是个等势场。
其结果为向量。
2.散度针对一个向量场，衡量一个向量场的单位体积内的场强。
散度为0说明这个场没有源头。
其结果为标量。
3.旋度针对一个向量场，衡量一个向量场的自旋。
旋度为0说明这个场是个保守场（无旋场），保守场一定是某个数量场的梯度场。
其结果为矢量。
三者的关系：注意各自针对的对象不同。
1.梯度的旋度▽×▽u=0
梯度场的旋度为0，故梯度场是保守场。
例如重力场。
2.梯度的散度▽2u=△u
3.散度的梯度▽(▽·A)
4.旋度的散度▽·(▽×A)=0
旋度场的散度为0，故旋度场是无源场。
例如磁场，磁场本身是其他场的旋度场。
5.旋度的旋度▽×(▽×A)=▽(▽·A)-▽2A=▽(▽·A)-△A
旋度场的旋度
也要说明一下，匀强场是保守场，因此绝对的匀强磁场是不可能的，磁场本身也是有旋场。
1.已知原向量场可以直接推出其散度、旋度。
反之则不行，还需要其他条件。
2.已知某向量场，求原数量场（势场）。
某向量场具有势场的充要条件是旋度为0。
因此若该向量场的旋度为0，可由斯托克斯公式求出。
若旋度不为0，则没有势场。
拉普拉斯算子△
laplace算子就是偏偏x，偏偏y，偏偏z；拉普拉斯算子是n维欧几里德空间中的一个二阶微分算子，定义为散度。
托克斯公式斯托克斯公式是格林公式的推广。
格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而斯托克斯公式则把曲面上的曲面积分与沿着的边界曲线的曲线积分联系起来。
梯度是矢量，其大小为该点函数的最大变化率，即该点的最大方向导数。
梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数增加的方向。
散度
散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，流体在运动中集中的区域为辐合，运动中发散的区域为辐散。
其计算也就是我们常说的“点乘”。
散度是标量，物理意义为通量源密度。
散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）。