梯度旋度散度Word版
大学物理：坐标散度旋度梯度
哈密顿
xˆ yˆ zˆ x y z
拉普拉斯2
2 x2
2 y 2
2 z 2
divA 0 正源
divA 0 负源
divA 0 无源
散度的基本运算公式
•C 0
k A k A
C为常矢量 k为常数
A B A B u A u A A u
u为标量
散度定理 The divergence theorem
六面体的体积
矢量三重积: Vector triple production
A (B C) B( AC) C( A B)
公式右边为“BAC-CAB”, 故称为“Back -Cab”法则, 以便记忆。
三种正交坐标系 直角坐标系
矢量A三个坐标分量 Ax , Ay , Az 三个单位矢量： xˆ, yˆ, zˆ
x y z
l x l y l z l
cos cos cos
x
y
z
梯度 gradient
1. 是一个矢量
2. 的模就是在给定点的最大方向导数 3. 方向就是该具有最大方向导数的方向, 亦即的变
化率最大的方向。
grad xˆ yˆ zˆ
x y z
xˆ
x
yˆ
( )
( )
1
2
(
)
f ( ) f '( )
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
2、梯度的物理意义
1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；
2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场 增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。
梯度的重要性质
场，反之亦然。
环量与旋度, 斯托克斯定理
(梯度,散度,旋度)
P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有： 所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义 斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中 常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为 数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此， 当 因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的 侧和 Γ 的方向满足 右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :
梯度、散度和旋度.
梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
(完整word版)梯度,散度,旋度以及其混合运算的简单应用与物理含义
梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式.这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下:从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数,得到的还是一个矢量函数.这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度"、“散度的梯度"、“梯度的旋度"、“旋度的散度"和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次,而一维波动方程具有如下的形式（1）其中a为一实数,于是可以设想，对于一个矢量函数来说,要求得它的波动方程,只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：（2)(3）（4)旋度公式略显复杂.这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I。
梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而（5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6）称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符.事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时,即ρ=0,则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时,比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向,场强处处相等,于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地,则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度.这就好比说清水中滴入一滴红墨水,起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
梯度散度旋度公式大全
梯度散度旋度公式大全梯度、散度和旋度是向量场的重要性质，在多个领域中都有广泛的应用。
本文将综述梯度、散度和旋度的定义和主要公式，并分析它们的物理意义和数学性质。
1. 梯度（Gradient）梯度是一个标量函数的偏导数的向量。
假设有一个标量函数f(x,y,z)，其梯度为∇f，表示函数f在其中一点上最大的变化率和方向。
在直角坐标系中，梯度可以表示为：∇f=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)其中∂f/∂x、∂f/∂y和∂f/∂z表示函数f对应的偏导数。
梯度向量的方向指向函数变化最快的方向，并且梯度大小表示函数变化的速率。
梯度的物理意义很直观，它可以表示物理场中的力的方向和大小，也可以表示温度场中的温度梯度。
梯度具有以下重要性质：（1）梯度的方向垂直于等值面，且指向函数增加的方向。
（2）梯度的大小表示函数在该点上的最大变化率。
（3）梯度为零的点为函数的极值点。
2. 散度（Divergence）散度是一个矢量场的发散的量度。
假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其散度为∇·F，表示矢量场在其中一点上的流入和流出的总量。
在直角坐标系中，散度可以表示为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z表示矢量场对应的分量的偏导数。
散度可以理解为矢量场的源或汇，具有以下重要性质：（1）散度为正表示矢量场在该点上流入，为负表示矢量场在该点上流出。
（2）散度为零的点为矢量场的源或汇。
（3）散度为正相关于区域密度增加，散度为负相关于区域密度减少。
3. 旋度（Curl）旋度是一个矢量场的旋转量的量度。
假设有一个矢量场F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))，其旋度为∇×F，表示矢量场在其中一点上的旋转程度和方向。
在直角坐标系中，旋度可以表示为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z,∂P/∂z-∂R/∂x,∂Q/∂x-∂P/∂y)其中∂P/∂x、∂Q/∂y和∂R/∂z分别表示矢量场对应的分量的偏导数。
哈密顿算子与梯度、散度、旋度
引进哈密顿算符： 引进哈密顿算符：
∂r ∂ r ∂ r ∇= i + j + k ∂x ∂y ∂z
r ∇⋅ D = ρ r ∇⋅ B = 0 r r r ∂D ∇× H = δ + r ∂t r ∂B ∇× E = − ∂t
标量场的梯度(gradient) 标量场的梯度(gradient)
考虑压强标量场，空间某点的梯度，记 考虑压强标量场，空间某点的梯度， p 定义为如下矢量： 为 ∇ ，定义为如下矢量： 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上 1.大小等于压强在空间给定点单位长度上 的最大变化率。 的最大变化率。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向 方向为给定点压强变化率最大的方向。 2.方向为给定点压强变化率最大的方向。 笛卡尔坐标系下梯度表达式： 笛卡尔坐标系下梯度表达式：
对速度矢量场， 对速度矢量场 ， 流体微团运动分析证明 速度散度的物理意义是标定流体微团运 动过程中相对体积的时间变化率。 动过程中相对体积的时间变化率。
矢量场的旋度(curl) 矢量场的旋度(curl)
对矢量场， 对矢量场 ， 在笛卡尔坐标系下其旋度定 义为： 义为： ir rj kr
r ∇ × V = ∂ ∂x Vx − ∂ ∂y Vy ∂ ∂z Vz r i +
例如 麦克斯韦方程组的微分形式为
∂Hz ∂Hy ∂Dx − = δx + ∂t ∂y ∂z ∂Dy ∂Hx ∂Hz =δy + − ∂z ∂x ∂t ∂Hy ∂Hx ∂DZ − = δz + ∂x ∂y ∂t
∂Ez ∂Ey ∂Bx − =− ∂t ∂y ∂z ∂By ∂Ex ∂Ez − =− ∂z ∂x ∂t ∂Ey ∂Ex ∂Bz − =− ∂x ∂y ∂t
1.2 散度-旋度-梯度
u u( x, y, z) u(r ) C
如同温层，等位面，等高线
a
b
等值面
d c
2
方向导数
如何了解标量场 中某一点的标量 函数U沿某一方 向的变化情况？
b a
等值面
d c
方向导数：标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率
U l
3
方向导数
z
ez
z
U l
M ( x 0 x , y0 y, z 0 z )
1 1 ( ) 的梯度 R R
z
r
Q ( x , y , z ) R
o
r
P ( x, y, z )
y
x
16
源点与场点
• 源点： • 场点：
( x, y, z) ( x, y, z )
源点 r'
R
场点
r
O
17
例题
1 1 距离矢量 R r r ，求标量场 R 的梯度 ( ) R z Q ( x , y , z )
数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
A dS A en dS A cos θdS
s s s
通量(Flux)
dS en dS
S
C
有向曲面：开表面， 右螺旋
闭合曲面，外法线
通量：穿过曲面s的矢量线的总数
22
通量的应用
• 判断闭合曲面内源的性质
ey ez 直角坐标系中： ex x y z 1 柱面坐标系中： e e ez z 1 1 球面坐标系中： eR e e R R R sin
梯度、散度、旋度表达式的推导精编版
是一封闭曲线，我们在积分号中加一
小圆圈Ñ ，并称之为矢量 a 沿封闭回
线 L 的环量。
3．旋度
b.旋度
1) 定义：
矢量 a 的矢量旋度rota在 n 方向的投影：
Ñ ar • rd r
r
no
tl iaL s0
m S
注意：1）L 为封闭曲线，即积分为封闭
积分
2）S 的界面为 L
3．旋度
b.旋度
2) 表示形式
2. 散度
b. 散度 2) 表示形式
利用高斯公式把面积分转化为体积分上 式可得：
Ñ (ax ay az )dV
x y z
所以，最后可得
Ñ Ñ lim
ar
•
r dS
lim
( ax x
ay y
az )dV z
ax
ay
az
•
r a
ai
v0 V
v0
V
x y z
xi
2. 散度
b. 散度
3）面积分与体积分的转换
1.梯度
g. 梯度的单位
由定义可知
x
n
(nr ,
xr )
x
所以
x
r i
y
r j
z
r k
上式即为 在直角坐标系中的表示。
h. 性质 • drr d
证明：
•
drr
xi
• dxi
x
dx
y
dy
z
dz
2. 散度
a . 通量 给定一矢量 a(r , t)，在场内取一曲面 S,它可以
是封闭的也可以是不封闭的，在 S 面上取一面积元 素 d S ,在 d S 上任取一点 M,作 S 面在 M 点的法线， 令 n 表示 S 面上法线方向的单位矢量，a 表示 M 点 上的矢量函数的值，则
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梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X 度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。
散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。
III.梯度的旋度：对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。
比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。
再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。
如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。
IV.旋度的散度：求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。
若令(7)则从而将上面三式相加结果也为零。
所以说旋度的散度为零，这就意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度无法唯一地确定这个矢量场。
而光凭矢量场的旋度也无法唯一地确定这个矢量，这是因为有旋场可以叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。
V.旋度的旋度：旋度的旋度将是本文的重点。
若所研究的空间范围内是无源的，即ρ=0，J=0，则根据麦克斯韦方程有：(8)(9)(10)(11)对(9)式两端取旋度(12)再将(8)式代入(12)式有(13)看到这里容易让人想到式(1)，前面说式(1)的方程为一维波动方程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘手的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸好有矢量恒等式可以利用来帮助简化计算，这里要用到前面所讲的散度的梯度。
即有：(14)这里拉普拉斯算子作用于一个矢量函数时，意义变得不明确了，它和前面的几个“X 度的X度”都不一样，实际上它有这样的定义：(15)为了验证式(14)还是要对计算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用该式。
还是做(7)式那样的处理，即令则于是(16)而令(17)两式相减有(18)类似地有由于所关心的空间内是无源的，所以式(13)变成(19)这个方程很重要，称为三维波动方程，这也从理论上揭示了电磁波的存在。
它的各分量展开后比较复杂，实际上我们无法绘制出一个向四面八方传播的波的振动图像，但好在可以画出一维和二维的波，从而了解波的性质。
有些事物我们无法在现实世界中呈现，或绘制出图形，但是数学上却可以计算且有确切的物理意义，比如高于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹我们生活的世界的神奇。
VI.几个矢量恒等式：前面已经介绍了一个矢量恒等式，还有其他几个重要的恒等式。
由于三种“度”是三种不同微分算法，虽然有些场合可以把▽当做一个普通的矢量来处理，但并不总是正确的，这一点需要引起注意。
①②这里“×”乘的优先级高于“·”乘对于普通三个不共面的矢量A、B、C则有A·B×C=C·A×B=B·C×A。
得到的结果是令三个矢量共起点，以三个矢量的模为棱构成的六面体的体积或它的负值。
但是对于▽算子，则一般但是一般有实际上上面的矢量恒等式就是上式的扩展梯度、散度和旋度(2011-09-12 20:36:08)转载▼标签：旋度散度梯度矢量场拉普拉斯算子分类：电子技术波动方程梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。
之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。
这里假设读者已经了解了三者的定义。
它们的符号分别记作如下：从符号中可以获得这样的信息：①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。
这里φ称为势函数；②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下的；③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。
这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式(1)其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。
下面先给出梯度、散度和旋度的计算式：(2)(3)(4)旋度公式略显复杂。
这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。
I.梯度的散度：根据麦克斯韦方程有：而(5)则电势的梯度的散度为这是一个三维空间上的标量函数，常记作(6)称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。
事实上因为定义所以有当然，这只是一种记忆方式。
当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。
II.散度的梯度：散度的梯度，从上面的公式中可以看到结果会比较复杂，但是它的物理意义却是很明确的，因为从麦克斯韦方程可以看出空间某点处电场的散度是该点处的电荷密度，那么再求梯度就是空间中电荷密度的梯度。
这就好比说清水中滴入一滴红墨水，起初水面红色浓度最高，杯底浓度最低，这样水面与杯底形成一个浓度梯度，红墨水由水面向杯底扩散，最后均匀。
在半导体中，载流子分布的不均匀会导致扩散电流。
散度的梯度这个概念其实不常用，因为计算复杂，但在后面讲用它来推导一个矢量恒等式。
III.梯度的旋度：对于梯度的旋度，直接把(2)式代入(4)式中，有由于势函数在空间一点的领域内往往是有二阶连续混合偏导数的，因此上式的结果为0.所以说梯度的旋度为零，它的物理意义也是很明确的。
比如一个人从海平面爬到一座山上，无论它是从山的陡坡爬上去还是从缓坡爬上去，亦或者坐直升机上去，重力对他所做的功总是相等的，即力场的做工只与位移有关，而与路径无关，这样的场称为保守场，而保守场是无旋场。
再比如绘有等高线的地图，如果某点只有一个一根等高线穿过，那么该点有一个确定的相对高度。
如果该点有两条或以上的等高线穿过，则这个点处在悬崖边上，这个点处是不可微，也就没有求梯度的意义。
IV.旋度的散度：求旋度的散度也是将(4)式代入(3)式即可。
若令(7)则从而将上面三式相加结果也为零。
所以说旋度的散度为零，这就意味着一个散度场任意叠加上一个有旋场不会改变其散度，也就是说光凭矢量场的散度无法唯一地确定这个矢量场。
而光凭矢量场的旋度也无法唯一地确定这个矢量，这是因为有旋场可以叠加上这么一个矢量场而不改变其旋度，而这个矢量场是一个标量函数的梯度。
V.旋度的旋度：旋度的旋度将是本文的重点。
若所研究的空间范围内是无源的，即ρ=0，J=0，则根据麦克斯韦方程有：(8)(9)(10)(11)对(9)式两端取旋度(12)再将(8)式代入(12)式有(13)看到这里容易让人想到式(1)，前面说式(1)的方程为一维波动方程，那么跟(13)式有什么联系呢？棘手的问题是算旋度已经够复杂了，算旋度的旋度岂不是更费周折？幸好有矢量恒等式可以利用来帮助简化计算，这里要用到前面所讲的散度的梯度。
即有：(14)这里拉普拉斯算子作用于一个矢量函数时，意义变得不明确了，它和前面的几个“X度的X度”都不一样，实际上它有这样的定义：(15)为了验证式(14)还是要对计算“旋度的旋度”，但以后可以直接利用该式。
还是做(7)式那样的处理，即令则于是(16)而令(17)两式相减有(18)类似地有由于所关心的空间内是无源的，所以式(13)变成(19)这个方程很重要，称为三维波动方程，这也从理论上揭示了电磁波的存在。
它的各分量展开后比较复杂，实际上我们无法绘制出一个向四面八方传播的波的振动图像，但好在可以画出一维和二维的波，从而了解波的性质。
有些事物我们无法在现实世界中呈现，或绘制出图形，但是数学上却可以计算且有确切的物理意义，比如高于三维的空间，不得不感叹数学的神奇，感叹我们生活的世界的神奇。
VI.几个矢量恒等式：前面已经介绍了一个矢量恒等式，还有其他几个重要的恒等式。
由于三种“度”是三种不同微分算法，虽然有些场合可以把▽当做一个普通的矢量来处理，但并不总是正确的，这一点需要引起注意。
①②这里“×”乘的优先级高于“·”乘对于普通三个不共面的矢量A、B、C则有A·B×C=C·A×B=B·C×A。
得到的结果是令三个矢量共起点，以三个矢量的模为棱构成的六面体的体积或它的负值。