分式的基本性质(约分)
分式的基本性质与约分
《分式的基本性质与约分》教学反思本节课的内容有两点：分式的基本性质、约分。
总的来说分式的基本性质相对比较简单，而约分是比较难的，所以我对本节课的内容做了如下安排，先讲分式基本性质再到约分。
从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。
首先应引导学生认识到分式的基本性质（M≠0）其中的A、B、M表示整式。
随着知识的扩充，A、B、还可代表任何代数式。
其次要强调M≠0。
在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调M≠0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，而在代数中，M是一个含字母的代数式。
由于字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。
因此，当我们应用这个性质时，都应考查M这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。
“约分”是分式基本性质的直接利用。
通过学习约分，不仅可以巩固分式的基本性质，而且还可以为学习分式四则运算打下基础。
约分教学我采用了如下办法，收效甚好：1、重视复习的作用。
有关分式概念与分式基本性质以及本节课约分的学习接洽得极为亲密，没有前者为知识基础，约分的学习将无法顺利进行。
因此，第一环节就安排了复习引入，唤起学生对分式基本性质和整式的单项式、多项式、多项式因式分解中相关知识的回忆，为约分的学习做好筹备。
2、引导学生自动摸索。
新课学习以学生自主探究为主，教师引导与点拨为辅的方式进行，让全体学生通过察看、探究、展示、交换、小结等活动，一步一步地从化简分式（最简分式）的具体过程中抽象出约分的概念。
学生也在约分的探究学习中相互交换了自己的想法和作法。
通过合作交换增进了学生对约分方法的理解和控制。
分式的基本性质与分式的约分
分式的基本性质与分式的约分学案【基础知识检测】1.如果把除法算式B A ÷写成 的形式，其中A ，B 都是 ，且B 中含有 时，我们把代数式 叫做分式，其中A 叫做分式的 ，B 叫做分式的 .2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 ， 分式的值不变.用等式表示就是：=B A =BA （ ） 3．分式的约分：利用 ，把一个分式的分子和分母中 约去，这叫做分式的约分.4.最简分式：当一个分式的分子与分母，除去 以外没有其它的 时，这样的分式叫做 .5.分式约分的结果应当是 .【达标检测】1.下列代数式：()2222,12,3,413,21,3,53b a b a x x a x x -+++-π， 其中整式为：分式为：2.在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立.（1）()xaxa =216 （2）()q q p 5102= （3）()1112=-+x x （4）()1112-=+-a a a 3．把下列除式写成分式，并指出，（1）当x 取什么值时，分式有意义；（2）当x 取什么值时，分式的值为0.（1）()x x 33÷- （2）()()272-÷+x x（3）()()626-÷+x x （4）()x x ÷-3624.求下列分式的值（1）5,323=+-x x x 其中 （2）2,4,3-=-=-+y x x y y x 其中5.不改变分式的值，使分式的分子、分母都不含“—”号.（1）m n 5- （2）y x 942-- （3）b a 2-- 6.约分：（1）b a a 232032 （2）a a a ++222 （3）643615abb a -（4）53240112axy y x -- （5）()()y x x x y --22（6）x x x 222+（7）ab ab b a 22+ （8）abb a b ab 442222+++7.化简下面的分式，求分式的值.（1）3,2446322==+--b a b ab a b a 其中 （2）3,236222==-+-y x xy y xy x 其中。
分式的基本性质应用：约分、通分
1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分 式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作 为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分 有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x
《分式的基本性质及约分》教案与反思
一、教案内容1.1 教学目标（1）让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
（1）培养学生运用分式解决实际问题的能力。
（1）提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
1.2 教学重难点（1）分式的基本性质。
（1）分式的约分方法。
1.3 教学准备（1）教师准备PPT，包括分式的基本性质及约分的例题和练习题。
（1）学生准备笔记本，用于记录知识点和做练习题。
1.4 教学过程（1）导入：通过生活实例引入分式的概念，激发学生的学习兴趣。
（1）新课讲解：讲解分式的基本性质，如分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
讲解分式的约分方法，如先找到分子分母的公因式，进行约分。
（1）课堂练习：学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导。
（1）总结：对本节课的内容进行总结，强调分式的基本性质和约分方法。
二、教学反思2.1 教学效果（1）学生能理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
（1）学生能运用分式解决实际问题。
（1）学生的数学思维能力和团队协作能力得到提高。
2.2 教学改进（1）在讲解分式的基本性质时，可以多用生活中的例子进行解释，让学生更容易理解。
（1）在课堂练习环节，可以增加一些难度较高的练习题，提高学生的解题能力。
（1）在总结环节，可以让学生分享他们解决问题的过程，促进学生之间的交流。
三、教学评价3.1 学生评价（1）学生对分式的基本性质和约分方法的掌握程度。
（1）学生在解决实际问题时运用分式的能力。
（1）学生的数学思维能力和团队协作能力的提升。
3.2 教师评价（1）教师对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、理解力和表达能力。
（1）教师对学生的作业完成情况进行评价，包括正确率和解题思路。
（1）教师对学生的团队协作能力进行评价，包括沟通协作和解决问题能力。
四、教学反馈4.1 学生反馈（1）学生对分式的基本性质和约分方法的理解程度。
（1）学生在解决实际问题时运用分式的困难程度。
（1）学生对课堂练习题的满意度。
16.1.2分式的基本性质_约分
约分时, 约分时,分子或分母若是 多项式,能分解则必须先 多项式,能分解则必须先 进行因式分解. 进行因式分解.再找出分 子和分母的公因式进行 约分
例：约分
6 x 2 − 12 xy + 6 y 2 (3) 3 x − 3y
6 x 2 − 12 xy + 6 y 2 解：(3) 3 x − 3y
2 （x − y） 6 = （x − y） 3
x2 y + xy2 （3） ） 2xy
m2 − 2m +1 （4） ） 1− m
x −1 (1) 2 x − 2x + 1 2 m − 3m (2) 2 9−m
2
注意： 注意： 当分子分母是多项式的时候， 当分子分母是多项式的时候， 先进行分解因式， 先进行分解因式，再约分
(3)
x x
2
+ 4x + 3 + x−6
（1）约去系数的最大公约数 约去系数 系数的 约去分子分母相同因式 相同因式的 （2）约去分子分母相同因式的最低次幂
例：约分
x2 − 9 (2) 2 x + 6x + 9
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式。 分子和分母的公因式 分析：为约分要先找出分子和分母的公因式。
x2 − 9 ( x + 3)( x − 3) x−3 (2) 2 = 解： = 2 x + 6x + 9 ( x + 3) x+3
2
(4)
49 − x
x
2
− 7x
2
小结
把一个分式的分子和分母的公因式 把一个分式的分子和分母的公因式 约去,不改变分式的值， 约去,不改变分式的值，这种变形叫做分 约分。 式的约分 式的约分。 1.约分的依据是： 1.约分的依据是：分式的基本性质 约分的依据是 2.约分的基本方法是： 2.约分的基本方法是： 约分的基本方法是 先找出分式的分子、分母公因式, 先找出分式的分子、分母公因式,再约 去公因式. 去公因式. 3.约分的结果是 整式或最简分式 约分的结果是： 3.约分的结果是：
人教版八年级数学上册《分式的基本性质应用约分、通分》评课稿
人教版八年级数学上册《分式的基本性质应用约分、通分》评课稿一、引言《分式的基本性质应用约分、通分》是人教版八年级数学上册中的一节课，本评课稿旨在对这节课进行全面的评价和分析。
本节课主要介绍了分式的基本性质，包括约分和通分的应用，并通过一些练习题来帮助学生掌握这些概念和技巧。
二、教学目标本节课的教学目标主要包括以下几个方面：1.理解分式的基本性质，包括分子、分母、约分和通分的定义和意义；2.学会应用约分的方法简化分式；3.学会应用通分的方法将分式同分母；4.锻炼学生的逻辑思维和解决问题的能力。
三、教学重点和难点教学重点主要放在以下几个方面：1.分式的基本性质，包括分子、分母、约分和通分的定义和意义；2.约分的方法和技巧；3.通分的方法和技巧；4.练习题的应用。
教学难点主要在于学生理解分式的基本性质和灵活运用约分和通分的方法。
四、教学过程1. 导入新知识通过提问题的形式，引导学生思考和回顾已学内容，例如：“你还记得什么是分式吗？分式有哪些基本概念和性质？”2. 分析讲解介绍分式的基本性质，包括分子、分母、约分和通分的定义和意义。
通过具体的例子讲解这些概念的应用方法，帮助学生理解清楚。
3. 约分的应用讲解约分的方法和技巧，通过一些练习题来帮助学生掌握约分的应用。
可以选择一些具体的实际问题，让学生通过约分来简化计算，培养他们的数学思维能力。
4. 通分的应用讲解通分的方法和技巧，通过一些练习题来帮助学生掌握通分的应用。
可以选择一些实际生活中的问题，让学生通过通分来解决问题，锻炼他们的逻辑思维和解决问题的能力。
5. 总结归纳通过小结和总结，帮助学生将所学知识进行归纳和总结。
可以提供一些综合性的例题，让学生运用所学知识进行综合性的分析和解答。
五、教学评价本节课教学方法灵活多样，适合学生的学习特点，通过引导和讲解的形式，使学生能够逐步理解和掌握分式的基本性质，并且能够应用约分和通分的技巧解决问题。
在教学过程中，教师注重学生的参与和思考，给予积极的评价和鼓励，激发学生的学习兴趣。
15.1.2分式的基本性质(2)(约分)
（3） 、（4） 、
（5） 。（6）
(4)当X时分式 是正数。
5、自主探究：p130的“思考”。
归纳：分式的约分定义：
最大公因式：所有相同因式的最次幂的积
最简分式：
小组
互学展示竞学
小组合作学习，展示交流，有困难的先小组内互助
1、例1、(p131的“例3”整理)
通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是确定分子和分母___________
2、约分后，分子和分母没有_______,称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为_____分式或_____得形式。
精讲导学
教师指导
学生补充
1.约分：
（1） 、（2）、
2.请将下面的代数式尽可能地化测评学
先独立完成，确实有困难的可以请教组长或老师
2、例2、约分：
（1） 、（2） 、
想一想：分式约分的方法：
1、（1）当分子和分母的都是单项式时，先找出分子和分母的最大公因式（即系数的__________与相同字母的最___次幂的积）,然后将分子和分母的最大公因式约去。
（2）、当分式的分子和分母是多项式时，应先把多项式_______,
然后约去分子与分母的________。
小结：本节课你的收获是什么？有什么疑问？
1．下列各式中与分式 的值相等的是（）.
（A） (B) (C) (D)
2．如果分式 的值为零，那么x应为（）.
（A）1（B）-1（C）±1（D）0
3．下列各式的变形：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（）.（A）①②③④（B）①②③（C）②③（D）④
4、约分：
用式子表示________________。
2、分解因式：（1）x2—y2=______（2）x2+xy=_____（3）9a2+6ab+b2=_____（4）-x2+6x-9 =_________
分式的基本性质分式的变形
1 2 a a (1) ( 2 ) 1 a a1 2 a a2 ( 3) 2 1 a
练习
不改变分式的值，使下列各式的分子与 分母的最高次项系数是正数，然后再约分
1- a - a ⑴ 2 3 1+a - a
⑶
2
x +1 ⑵ 2 1- x
1- a - 2 a - a +3
2
结
分式性质应用
(2a -
解：原式 =
2 ( a + b) ? 6 3
2
b) ? 6
12a 9b 4a 6b
巩固练习
y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B ) 1.若把分式 x+y
A．扩大两倍 C．缩小两倍 B．不变 D．缩小四倍
xy 2.若把分式 中的 x+y 的值( A ).
A．扩大3倍 C．扩大4倍
12 xy 的最简公分母是
的最简公分母
2 ；
是
1 2x , , (3)分式 最简公分母 2 2 2 6 x 3 x x 4 2 x 4 ) 2 ( 是 12 x ( x + 2) ( x - 2) ；
10a b c
x
2 2 2
4a 3c 5b , 2 , 2 2 5b c 10a b - 2ac
；
分式性质应用
不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母的各项系数都化为整数。
0.01x 0.5 （ 1） 0.3xБайду номын сангаас 0.04
(0.01x 0.5) 100 解：原式 (0.3 x 0.04) 100
x 50 30 x 4
3 2a - b 2 （ 2） 2 a +b 3 3
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பைடு நூலகம்
6（xy）2 (xy)(xy)
（ 2xy）
6x6y x y
（注意符号问题）
2021/3/18
课堂小结
把一个分式的分子和分母的公因式约去, 不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分。
1.约分的依据是： 分式的基本性质
2.约分的基本方法是： 先找出分式的分子、分母公因式,再约去公
因式.
注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号法则使 最后结果形式简捷；
（2） 6 10
x2y2 x 2 yz
2x2 y 3y 2x2 y 5z
3y 5z
（3）x2
x 2x
x x（x 2)
1 x2
2021/3/18
三 深入探究 问题：如何找分子分母的公因式？
（
2） 6 10
x2y2 x 3 yz
2x2 y 3y 2x2 y 5xz
3y 5 xz
公因式为2x2y
分子、分母都是单项式；
（1）系数： 最大公约数 （2）字母：相同字母取最低次幂
2021/3/18
（公因式为 x）
（3）x2
x 2x
x x（x 2)
问题：如何找分子分母的公因式？ 分子、分母是多项式； 先分解因式，再找公因式。
2021/3/18
（
2）160xx23yy2z
2x2 y 3y
2x2 y 5xz
2021/3/18
二 问题情景
1.计算：（
1） 6 10
2.观察下列式子与第1题的异同，试一试计算：
（
2） 6 10
x2y2 x 2 yz
（3）x2
x
2x
（类比思想，最近发展区）
2021/3/18
观察式子的异同，并计算：
（公因数为 2）
（1） 6 3 2 3 （约分）
10 5 2 5
（分子分母都除以 2） 公因式为2x2y
3y 5 xz
（3） x2
x
2x
x x（x 2)
问题：如何找分子分母的公因式？ （1）系数： 最大公约数 （2）字母：相同字母取最低次幂 （3）多项式：先分解因式，再找公因式
2021/3/18
四 辨别与思考
5xy 在约分 2 0 x 2 y 时,小颖和小明出现了分歧.
小颖: 小明:
5xy 5x 20x2y 20x2
1、了解最简分式的概念. 2、根据分式的基本性质，对分式进行约分化简.
2021/3/18
自学指导
自主学习课本P3-4页,回答问题（5分钟） 1、什么是最简分式？
约分后，分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。
2、如何对分式进行约分？
首先要找出分子与分母的公因式，再约去分子与分母的公因式。
2021/3/18
（
2） 6 10
x2y2 x 2 yz
2x2 y 3y 2x2 y 5z
3y 5z
（3）x2
x 2x
x x（x 2)
1 x2
把一个分式的分子和分母的公因式约去,
不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分.
2021/3/18
概念2-最. 简分式
（1） 6 3 2 3 10 5 2 5
分子和分母没有公 因式的分式称为最简 分式.
3.约分的结果是：整式或最简分式
2021/3/18
当堂检测
（
2） 6 10
x2y2 x 2 yz
2x2 y 3y 2x2 y 5z
3y 5z
（约分）
分子分母都除以2x2 y
2021/3/18
再试一试
（公因式x）
（3）x2
x 2x
x x（x 2)
1 x2
（约分）
（分子分母都除以 x）
2021/3/18
（三）引出概念
（1） 6 3 2 3 10 5 2 5
(2)原式=
(x3)(x3) (x3)2
5ac 2
3b
x3 x3
约分的基本步骤：
(1)找出分式的分子、分母的公因式
(2)约去公因式，化为最简分式
如果分式的分子或分母是多项式，先分解因式再约分
例2 约分
6x212xy6y2 变式 (3)
3x3y
(4)6x2y122xxy26y2
解：
（3）原式
（6（3 xxyy））2 （4）原式
5xy 20x2y
5xy 1
4x5xy 4x
√
你认为谁的化简对？为什么？
（分子和分母没有公因式的分式称为最简分式）
分式的约分,通常要使结果成为最简分式.
2021/3/18
五 例题设计
例1 约分
（注意符号问题）
(1) 25a2bc3 15ab2c
解:
x2 9 (2) x2 6x9
因式分解
(1)原式= 5abc•5ac2 5abc•3b
一 复习回顾
1.分式的基本性质：
一个分式的分子与分母同乘以（或除以）
一个 不为0的整式 ，分式的值___不__变______
用公式表示为:
A AM , A AM . B BM B BM
（M≠0）
(其中M，是不等于零的整式 )
2.分式的符号法则：
（1） a a b b
（2）a a a b b b