分式的基本性质(约分)
分式的基本性质与约分
《分式的基本性质与约分》教学反思本节课的内容有两点：分式的基本性质、约分。
总的来说分式的基本性质相对比较简单，而约分是比较难的，所以我对本节课的内容做了如下安排，先讲分式基本性质再到约分。
从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。
首先应引导学生认识到分式的基本性质（M≠0）其中的A、B、M表示整式。
随着知识的扩充，A、B、还可代表任何代数式。
其次要强调M≠0。
在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调M≠0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，而在代数中，M是一个含字母的代数式。
由于字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。
因此，当我们应用这个性质时，都应考查M这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。
“约分”是分式基本性质的直接利用。
通过学习约分，不仅可以巩固分式的基本性质，而且还可以为学习分式四则运算打下基础。
约分教学我采用了如下办法，收效甚好：1、重视复习的作用。
有关分式概念与分式基本性质以及本节课约分的学习接洽得极为亲密，没有前者为知识基础，约分的学习将无法顺利进行。
因此，第一环节就安排了复习引入，唤起学生对分式基本性质和整式的单项式、多项式、多项式因式分解中相关知识的回忆，为约分的学习做好筹备。
2、引导学生自动摸索。
新课学习以学生自主探究为主，教师引导与点拨为辅的方式进行，让全体学生通过察看、探究、展示、交换、小结等活动，一步一步地从化简分式（最简分式）的具体过程中抽象出约分的概念。
学生也在约分的探究学习中相互交换了自己的想法和作法。
通过合作交换增进了学生对约分方法的理解和控制。
分式的基本性质与分式的约分
分式的基本性质与分式的约分学案【基础知识检测】1.如果把除法算式B A ÷写成 的形式，其中A ，B 都是 ，且B 中含有 时，我们把代数式 叫做分式，其中A 叫做分式的 ，B 叫做分式的 .2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 ， 分式的值不变.用等式表示就是：=B A =BA （ ） 3．分式的约分：利用 ，把一个分式的分子和分母中 约去，这叫做分式的约分.4.最简分式：当一个分式的分子与分母，除去 以外没有其它的 时，这样的分式叫做 .5.分式约分的结果应当是 .【达标检测】1.下列代数式：()2222,12,3,413,21,3,53b a b a x x a x x -+++-π， 其中整式为：分式为：2.在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立.（1）()xaxa =216 （2）()q q p 5102= （3）()1112=-+x x （4）()1112-=+-a a a 3．把下列除式写成分式，并指出，（1）当x 取什么值时，分式有意义；（2）当x 取什么值时，分式的值为0.（1）()x x 33÷- （2）()()272-÷+x x（3）()()626-÷+x x （4）()x x ÷-3624.求下列分式的值（1）5,323=+-x x x 其中 （2）2,4,3-=-=-+y x x y y x 其中5.不改变分式的值，使分式的分子、分母都不含“—”号.（1）m n 5- （2）y x 942-- （3）b a 2-- 6.约分：（1）b a a 232032 （2）a a a ++222 （3）643615abb a -（4）53240112axy y x -- （5）()()y x x x y --22（6）x x x 222+（7）ab ab b a 22+ （8）abb a b ab 442222+++7.化简下面的分式，求分式的值.（1）3,2446322==+--b a b ab a b a 其中 （2）3,236222==-+-y x xy y xy x 其中。
分式的基本性质应用：约分、通分
1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分 式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作 为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分 有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x
分式的基本性质应用：约分、通分 (2)
(x y)y (2) xy2
x2 y2 （4） ( x y)2
当堂练习：
2. 约分：
6ab (1) 20a2b3
(2)
a2 3ab 3b2 ab
a2 36
（3）
2a 12
4 x2
（4）
x2 4x 4
（5）9x2 6xy y2 2y 6x
巩固练习：
3、化简求值：
(1)
x2 4y2 4x2 8xy
，其中
x 2, y 3 。
(2)
a
2
a2 9 6a
9
，其中
a 5 。
探究提高
化简求值： a 4 a 2b 2 其中 a 2,b 3 a2 ab
课堂小结：
把一个分式的分子和分母的公因式约去, 不改变分式的值，这种变形叫做分式的约分。
分式的约分
初二数学备课组
教学目标：
1．理解分式约分的概念，了解最简分 式的概念；
2．会用分式的基本性质进行分式约分。
教学重点、难点
重点：分式的约分。 难点：分式的分子分母是多项式的约分。
问题导学:(阅读教材p131，思考下列问题)
1.回顾：分式有哪些基本性质？ 2.类比分数的约分，思考什么是分式的约分，
什么是最简分式？ 3.类比分数的约分，思考如何确定分式分子分母的
公因式。 4.请用自己的语言叙述分式约分的步骤。
合作探究：
约分
(1) 6x2 12xy 6y2 3x 3yBiblioteka 6x2 12xy 6y2
(2)
y2 x2
当堂练习：
1.约分：
(1) 2bc ac
x2 xy (3) (x y)2
16.1.2分式的基本性质_约分
约分时, 约分时,分子或分母若是 多项式,能分解则必须先 多项式,能分解则必须先 进行因式分解. 进行因式分解.再找出分 子和分母的公因式进行 约分
例：约分
6 x 2 − 12 xy + 6 y 2 (3) 3 x − 3y
6 x 2 − 12 xy + 6 y 2 解：(3) 3 x − 3y
2 （x − y） 6 = （x − y） 3
x2 y + xy2 （3） ） 2xy
m2 − 2m +1 （4） ） 1− m
x −1 (1) 2 x − 2x + 1 2 m − 3m (2) 2 9−m
2
注意： 注意： 当分子分母是多项式的时候， 当分子分母是多项式的时候， 先进行分解因式， 先进行分解因式，再约分
(3)
x x
2
+ 4x + 3 + x−6
（1）约去系数的最大公约数 约去系数 系数的 约去分子分母相同因式 相同因式的 （2）约去分子分母相同因式的最低次幂
例：约分
x2 − 9 (2) 2 x + 6x + 9
分析：为约分要先找出分子和分母的公因式。 分子和分母的公因式 分析：为约分要先找出分子和分母的公因式。
x2 − 9 ( x + 3)( x − 3) x−3 (2) 2 = 解： = 2 x + 6x + 9 ( x + 3) x+3
2
(4)
49 − x
x
2
− 7x
2
小结
把一个分式的分子和分母的公因式 把一个分式的分子和分母的公因式 约去,不改变分式的值， 约去,不改变分式的值，这种变形叫做分 约分。 式的约分 式的约分。 1.约分的依据是： 1.约分的依据是：分式的基本性质 约分的依据是 2.约分的基本方法是： 2.约分的基本方法是： 约分的基本方法是 先找出分式的分子、分母公因式, 先找出分式的分子、分母公因式,再约 去公因式. 去公因式. 3.约分的结果是 整式或最简分式 约分的结果是： 3.约分的结果是：
15.1.2分式的基本性质(2)(约分)
（3） 、（4） 、
（5） 。（6）
(4)当X时分式 是正数。
5、自主探究：p130的“思考”。
归纳：分式的约分定义：
最大公因式：所有相同因式的最次幂的积
最简分式：
小组
互学展示竞学
小组合作学习，展示交流，有困难的先小组内互助
1、例1、(p131的“例3”整理)
通过上面的约分，你能说出分式进行约分的关键是确定分子和分母___________
2、约分后，分子和分母没有_______,称为最简分式。化简分式时，通常要使结果成为_____分式或_____得形式。
精讲导学
教师指导
学生补充
1.约分：
（1） 、（2）、
2.请将下面的代数式尽可能地化测评学
先独立完成，确实有困难的可以请教组长或老师
2、例2、约分：
（1） 、（2） 、
想一想：分式约分的方法：
1、（1）当分子和分母的都是单项式时，先找出分子和分母的最大公因式（即系数的__________与相同字母的最___次幂的积）,然后将分子和分母的最大公因式约去。
（2）、当分式的分子和分母是多项式时，应先把多项式_______,
然后约去分子与分母的________。
小结：本节课你的收获是什么？有什么疑问？
1．下列各式中与分式 的值相等的是（）.
（A） (B) (C) (D)
2．如果分式 的值为零，那么x应为（）.
（A）1（B）-1（C）±1（D）0
3．下列各式的变形：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（）.（A）①②③④（B）①②③（C）②③（D）④
4、约分：
用式子表示________________。
2、分解因式：（1）x2—y2=______（2）x2+xy=_____（3）9a2+6ab+b2=_____（4）-x2+6x-9 =_________
分式的基本性质分式的变形
1 2 a a (1) ( 2 ) 1 a a1 2 a a2 ( 3) 2 1 a
练习
不改变分式的值，使下列各式的分子与 分母的最高次项系数是正数，然后再约分
1- a - a ⑴ 2 3 1+a - a
⑶
2
x +1 ⑵ 2 1- x
1- a - 2 a - a +3
2
结
分式性质应用
(2a -
解：原式 =
2 ( a + b) ? 6 3
2
b) ? 6
12a 9b 4a 6b
巩固练习
y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B ) 1.若把分式 x+y
A．扩大两倍 C．缩小两倍 B．不变 D．缩小四倍
xy 2.若把分式 中的 x+y 的值( A ).
A．扩大3倍 C．扩大4倍
12 xy 的最简公分母是
的最简公分母
2 ；
是
1 2x , , (3)分式 最简公分母 2 2 2 6 x 3 x x 4 2 x 4 ) 2 ( 是 12 x ( x + 2) ( x - 2) ；
10a b c
x
2 2 2
4a 3c 5b , 2 , 2 2 5b c 10a b - 2ac
；
分式性质应用
不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母的各项系数都化为整数。
0.01x 0.5 （ 1） 0.3xБайду номын сангаас 0.04
(0.01x 0.5) 100 解：原式 (0.3 x 0.04) 100
x 50 30 x 4
3 2a - b 2 （ 2） 2 a +b 3 3
分式的基本性质(通分、约分)
16.1.2分式的基本性质（约分）一、学习目标：会用分式的基本性质将分式变形，正确进行分式的约分。
二、新课（一）复习1、96和128的最大公约数是2、约分4864= 1218a b= 3、多项式62323248a b ab a b -+的最大公因式是：（一）约分约分的概念：是应用分式的基本性质把分式的分子、分母同 ，使分式的值不变。
目的：约去分子、分母的做法：先找出分子、分母的 ，再将其约去。
最简分式：分子与分母不含有 的分式叫做最简分式1.下面的分式中，最简分式有： ①246a ab ②712xy a ③211a a -+ ④623a b a b ++ ⑤222()x y x y ++ ⑥2a ab a b -- 2..约分（1）2322515a bc ab c - （2）22969x x x -++（3）22612633x xy y x y-+-注意：找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式（分子、分母没有公因式）三.课堂检测1．判断下列约分是否正确：（1）c b c a ++=b a （2）22y x y x --=y x +1 （3）nm n m ++=0 2.约分：（1）cab b a 2263= （2）2228m n n m = （3）532164xyzyz x -= （4）xy y x --3)(2= （5）22222b a a ab b --+= （6）3232221821218x xy x x y xy-++四、课后反思：这节课你学到了什么？有哪些需要注意的地方？16.1.2分式的基本性质（通分）一、学习目标：会用分式的基本性质将分式变形，正确进行分式的通分.二、新课（一）通分通分的概念：是应用分式的基本性质使分式的分子、分母同 ，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的通分.最简公分母：各个分母中的因数的 与所有字母的最 次幂的积作为最简公分母.1.填空（1）1546与的最简公分母是： （2）736与548的最简公分母是 （3）223y x y x xy+与的最简公分母是 （4）223546a b ab c与的最简公分母是 （5）221a b a b a b-+-与的最简公分母是 （6）221244x x x x x x -+++与的最简公分母是 2.只改变分式的符号，把下面的算式化为同分母（1）a b a b b a--与 （2）x y x y x y+--与 3.通分： （1）321ab 与c b a 2252 最简公分母是：321ab = cb a 2252=（2）2355x x x x -+与 最简公分母是：25x x -= 35x x +=分析：一般取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.三、课堂检测1、通分：（1）xy a 2和23x b （2）223ab c 和28bc a -（3）11-y 和11+y （4）x x x --21和xx x +-21四、课堂小结1、最简公分母的概念2.通分的步骤:(1)先确定各个分母的最简公分母（对于多项式的分母，通常先将分母分解因式）（2）应用分式的基本性质，将各个分母化为同分母。
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(3)
(a b)3
(a b)(a b)
(2) 21a3b5c 56a 2b10d
(4)
2a(a 1)3 8ab2 (1 a)
练习 ：约分
3a 2b
1
6ab
9ab3c 2 27 ab2c2
3
10 a 3bc 5a2b3c2
4
2a(a 1) 8ab2 (1 a)
a
b
((34))
x 1
6x2 y2
根据分式的基本性质，把一分式的分子 和分母分别除以它们的公因式，
叫做分式的约分
练习： 找出下列分式中分子分母的公因式
⑴ 8bc 12ac
⑵ 3a3b3c 12 ac 2
⑶ x yy
xy 2
⑷ x 2 xy
x y2
⑸ x2 y2
x y2
例1 .约分
3.约分的步骤： (1).把分子、分母分解因式； (2).约去分子、分母相同因式的最低次幂； (3).尽量把分子、分母的最高次项的系数化
为正数.
6a
3
(5)
2a 6a 12a2
2 3a
(
)
(6)
m2 2m 1 m2
1
1 1
m m
(
)
同学甲和同学乙在化简时出现了分 歧，谁做的对？
5xy 同学甲 20 x2 y
5x 20 x2
同学乙 5xy 5xy 1 20 x2 y 4x 5xy 4x
分子和分母没有公因式的分
式,这样的分式称为最简分式。
约分的步聚：
1.把分子、分母分解因式； 2.约去分子、分母的公因式：； 3.尽量把分子、分母的最高次项的系数化为
正数.
1.判断正误，并说明理由。
(1) 3b2 3 ( ) (2) a m a
()
b2
bm b
(3) am 2 0 ( ) 2 am
(4) 2a 3b 1 3b 1 b
18(b a)2 5
24(a b)
例2.约分
(1) ma mb mc abc
(2)
a2 4ab 4 x2 4
x2 3x 2 (4) 1 2x x2
练习：约分
⑴ x2 xy
x y2
⑶ m2 m 2 2m2 m 1
x2 y2
⑵
x y2
⑷ m2 6m 9 9 m2
讨论：约分要注意些什么？ 约分的一般步骤是怎样的？
注意： 1.分式的分子与分母是单项式时，约分可直 接进行，约去分子、分母的公因式，即约去分子、 分母系数最大公约数，然后约去分子、分母相同 因式的最低次幂. 2.分式的分子与分母是多项式时，约分时， 先分解因 式，然后约分.
分式的约分
华校八年级数学组
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)
x4 x2 y
x2 y
(2) a b ab b2 (b 0) a ab
8
2.对分数
怎样化简?
12
4x2 ３.类似地，分式 6x2 y 也可约分吗？
共同探索
填空：
(1) 2b
2a a
(3)
ac c
a2
(2)
3a 3b 9c
化简分式时,通常要使结果成 为最简分式或者整式
例3 .下列分式中，
12b2c 、（5 x y）2 、a2 b2 、4a2 b2 、a b 4a y x 3(a b) 2a b b a
最简分式的个数是（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例４．先化简，再求值：
x3 4xy 2 x3 4x2 y 4xy2
，其中x=1,y=-2.
练习
1. 下列分式中,最简分式是 ( )
A ab ba
B
x2 y2 x y
C
x2 4 x2
D
a2
2
a 4a
4
2.化简求值：
(1)
a 3b a 2 9b2
,其中a=4,b=3.
x2 3xy (2) x2 6xy 9 y2
其中
x 3,y 2
2
3
.
小结
1.分式的约分：把一分式的分子和分母 分别除以它们的公因式叫做分式的约分 2.最简分式：分子与分母没有公因式 的分式，叫做最简分式。