分式的基本性质和约分
分式的基本性质与约分
《分式的基本性质与约分》教学反思本节课的内容有两点：分式的基本性质、约分。
总的来说分式的基本性质相对比较简单，而约分是比较难的，所以我对本节课的内容做了如下安排，先讲分式基本性质再到约分。
从形式上看，分数的基本性质和分式的基本性质同乎是一样的，学生接受起来不会有什么困难，但是要学生真正理解和掌握，还需要进行更深入的分析和各种基本的训练。
首先应引导学生认识到分式的基本性质（M≠0）其中的A、B、M表示整式。
随着知识的扩充，A、B、还可代表任何代数式。
其次要强调M≠0。
在算术中讲到分数基本性质时，虽然也强调M≠0，但实际上不可能用零去乘（或除）分数的分子与分母，所以这个条件常常被子忽略了，而在代数中，M是一个含字母的代数式。
由于字母的取值可以是任意的，所以就有M=0的可能性。
因此，当我们应用这个性质时，都应考查M这个代数式的值是否为零，养成随时注意是在怎样的条件下应用这个性质的习惯。
“约分”是分式基本性质的直接利用。
通过学习约分，不仅可以巩固分式的基本性质，而且还可以为学习分式四则运算打下基础。
约分教学我采用了如下办法，收效甚好：1、重视复习的作用。
有关分式概念与分式基本性质以及本节课约分的学习接洽得极为亲密，没有前者为知识基础，约分的学习将无法顺利进行。
因此，第一环节就安排了复习引入，唤起学生对分式基本性质和整式的单项式、多项式、多项式因式分解中相关知识的回忆，为约分的学习做好筹备。
2、引导学生自动摸索。
新课学习以学生自主探究为主，教师引导与点拨为辅的方式进行，让全体学生通过察看、探究、展示、交换、小结等活动，一步一步地从化简分式（最简分式）的具体过程中抽象出约分的概念。
学生也在约分的探究学习中相互交换了自己的想法和作法。
通过合作交换增进了学生对约分方法的理解和控制。
分式的基本性质与分式的约分
分式的基本性质与分式的约分学案【基础知识检测】1.如果把除法算式B A ÷写成 的形式，其中A ，B 都是 ，且B 中含有 时，我们把代数式 叫做分式，其中A 叫做分式的 ，B 叫做分式的 .2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个 ， 分式的值不变.用等式表示就是：=B A =BA （ ） 3．分式的约分：利用 ，把一个分式的分子和分母中 约去，这叫做分式的约分.4.最简分式：当一个分式的分子与分母，除去 以外没有其它的 时，这样的分式叫做 .5.分式约分的结果应当是 .【达标检测】1.下列代数式：()2222,12,3,413,21,3,53b a b a x x a x x -+++-π， 其中整式为：分式为：2.在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立.（1）()xaxa =216 （2）()q q p 5102= （3）()1112=-+x x （4）()1112-=+-a a a 3．把下列除式写成分式，并指出，（1）当x 取什么值时，分式有意义；（2）当x 取什么值时，分式的值为0.（1）()x x 33÷- （2）()()272-÷+x x（3）()()626-÷+x x （4）()x x ÷-3624.求下列分式的值（1）5,323=+-x x x 其中 （2）2,4,3-=-=-+y x x y y x 其中5.不改变分式的值，使分式的分子、分母都不含“—”号.（1）m n 5- （2）y x 942-- （3）b a 2-- 6.约分：（1）b a a 232032 （2）a a a ++222 （3）643615abb a -（4）53240112axy y x -- （5）()()y x x x y --22（6）x x x 222+（7）ab ab b a 22+ （8）abb a b ab 442222+++7.化简下面的分式，求分式的值.（1）3,2446322==+--b a b ab a b a 其中 （2）3,236222==-+-y x xy y xy x 其中。
分式的基本性质应用：约分、通分
1.通分：
归例纳((112.))通4分b22adca33：22bb与与与34abcaa26bb522bcc
找最简公分母的方法： 1.把各分母因式分解
2.取系数的最小公倍数；
3.取所有因式的最高次幂。
例2.通分： 2x x5
与
3x x5
1
2
1
2
x 1 与 1 x (x 1)2 与 1 x2
找最简公分母的方法：
1.你根据什么进行分式变形？
2.分式变形后，各分母有什么变化？
通分的定义：
利用分式的基本性质，把不同分母
的分式化为相同分母的分式，这样的分 式变形叫分式的通分。
3.分式的分母 4ab 、6a2最终都化成什么？
4ab
6a2
12a2b 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作 为公分母，它叫做最简公分母。
1、分式的基本性质内容是什么？
分式的分子与分母同时乘以（或除以）同
一个不等于0的整式 ，分式的值不变.
2、什么是分式的约分？分式的约分 有什么要求？
1 3、把右边的分数通分：2
,
3 4
,
5 6
探究
一. 填空：
ab 4ab
3a2 3ab
12a2b
,
2a b 6a2
4ab 2b2
12a2b
,
1.已知 x y z ,试求 x y z 的值.
234
x yz
2.已x2
的值.
3.已知x2
3x
1
0, 试求x 2
1 x2
的值.
1. (多项式)因式分解；
2xy 与 x (x y)2 x2 y2
2.取系数的最小公倍数； 1 与 x x2 4 4 2x
《分式的基本性质及约分》教案与反思
一、教案内容1.1 教学目标（1）让学生理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
（1）培养学生运用分式解决实际问题的能力。
（1）提高学生的数学思维能力和团队协作能力。
1.2 教学重难点（1）分式的基本性质。
（1）分式的约分方法。
1.3 教学准备（1）教师准备PPT，包括分式的基本性质及约分的例题和练习题。
（1）学生准备笔记本，用于记录知识点和做练习题。
1.4 教学过程（1）导入：通过生活实例引入分式的概念，激发学生的学习兴趣。
（1）新课讲解：讲解分式的基本性质，如分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。
讲解分式的约分方法，如先找到分子分母的公因式，进行约分。
（1）课堂练习：学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导。
（1）总结：对本节课的内容进行总结，强调分式的基本性质和约分方法。
二、教学反思2.1 教学效果（1）学生能理解分式的概念，掌握分式的基本性质。
（1）学生能运用分式解决实际问题。
（1）学生的数学思维能力和团队协作能力得到提高。
2.2 教学改进（1）在讲解分式的基本性质时，可以多用生活中的例子进行解释，让学生更容易理解。
（1）在课堂练习环节，可以增加一些难度较高的练习题，提高学生的解题能力。
（1）在总结环节，可以让学生分享他们解决问题的过程，促进学生之间的交流。
三、教学评价3.1 学生评价（1）学生对分式的基本性质和约分方法的掌握程度。
（1）学生在解决实际问题时运用分式的能力。
（1）学生的数学思维能力和团队协作能力的提升。
3.2 教师评价（1）教师对学生的课堂表现进行评价，包括参与度、理解力和表达能力。
（1）教师对学生的作业完成情况进行评价，包括正确率和解题思路。
（1）教师对学生的团队协作能力进行评价，包括沟通协作和解决问题能力。
四、教学反馈4.1 学生反馈（1）学生对分式的基本性质和约分方法的理解程度。
（1）学生在解决实际问题时运用分式的困难程度。
（1）学生对课堂练习题的满意度。
分式及分式的基本性质
分式及分式的基本性质
知识要点：
1、分式：形如A/B(A.B是整式，且B中含字母，B不等于0）的式子，其中A叫分子，B 叫分母。
注意：分式A/B中，A.B是整式
分母B中含有字母
2、分式有、无意义的条件：
有意义：分母不等于0 即：B不等于0时，A/B有意义
无意义：分母等于0 即：B=0时A/B 没有意义
3、分式値为0的条件：
4、
分子等于0，分母不等于0 即：在A/B中，当A为零，B不为零时，分式値等于零。
4、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以（或除以）不等于零的整式，分式値不变。
A/B= AM/BM= A*M/B*M (其中A. B.M是整式，B、M不为零）
5、分式的约分：把分子、分母中的公因式约去。
方法：（1）、若分子、分母都是单项式，先找分子、分母系数的最大公约数，在找相同字母的最低次幂。
（2）、若分子、分母有多项式，先因式分解，在找分子、分母的公因式。
6、最简分式：约分后，分子、分母不再有工因式。
约分的结果应是最简分式。
7、最简共分母：
（1）、如各分母都是单项式，则最简共分母就是各系数的追小公倍数、相同字母的最高次幂及所有不同字母的积。
（2）、如各分母是多项式，先分解因式，然后把每个因式当作一个因数（或字母）。
8、通分：把几个异分母的分式化成和原来相等的同分母的分式。
分式的基本性质——通分
2x3 y 2 z 12 x3 y 4 z
1
2x2z
4x2 y3 12x3 y 4 z
6xy 4 12 x3 y 4 z
1、8 , 4 , y 的最简公分母是： 42x3
3x 7x2 2x3
8 8 •14x2
112 x 2
3x 3x •14x2 42x3
4 4 • 6x 24x
2、通分的关键是确定最简公分母，包括 系数、因式和因式的指数；分母是多项式 的要先分解因式；
3 、分式通分的依据是分式的基本性质， 每一步变形综合性都较强，计算时要步步 细心；
4、分式通分的基本步骤：
（1）、将各分母分解因式（没有拉倒）
（2）、寻找最简公分母（方法要记牢）
（3）、根据分式的基本性质，把各分式的分 子分母乘以同一个整式，化异分母为最简 公分母。（分子运算很重要）
(1)将各个分式的分母分解因式；(2)取 各分母系数的最小公倍数(3)凡是出现的
所有字母或因式都要取；(4)相同字母 (或含字母的式子)的幂取指数最大的； (5)将上述所得系数的最小公倍数与各字 母(或因式)的最高次幂全都乘起来，就
得到了最简公分母
解：（2）最简公分母是 (x 5)(x 5)
2x x5
2x(x 5) (x 5)( x 5)
2x2 x2
10 x 25
3x x5
3x(x 5) (x 5)( x 5)
3x2 x2
15 x 25
(3) 1 与 x x2 4 4 2x
解：（2）最简公分母是 2(x 2)(x 2)
和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原 来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
（1）求分式
2
分式约分要注意
第1页共1页分式约分要注意1. 遵循分式的基本性质例1 约分：232312a b ab -. 分析：系数的最大公约数是3，a 2和a 的最低次幂是a ，b 3和b 2的最低次幂是b 2，所以分子、分母的公因式是3ab 2，根据分式的基本性质，将分子、分母同时除以3ab 2即可约分. 解：232312a b ab -=2233(4)ab ab ab ⋅⋅-=-4ab . 2. 注意分子、分母整体进行例2 约分：22222x xy x y--. 分析：首先将分子、分母分解因式，找出分子、分母的公因式，然后再把公因式约去. 解：22222x xy x y --=2()()()x x y x y x y -+-=2x x y +. 温馨提示：本题的约分易出现的错误就是分子中的x 2与分母中的x 2，分子中的xy 与分母中的y 2单独约分，得到错误的结果.3. 注意找准公因式例3 约分：22222()3(44)m n m n mn n m --. 分析：由于2222()m n m n -=2m 2n （m+n ）（m-n ），23(44)mn n m -=-12mn 2（m-n ）观察可知分式的分子、分母的公因式为2mn （m-n ）. 解：22222()3(44)m n m n mn n m --=222()()12()m n m n m n mn m n +---=2()()2()(6)mn m n m m n mn m n n -+--=()6m m n n+-. 温馨提示：约分的根据是确定分子、分母中的公因式，找公因式的关键是将分子、分母分解因式.4. 最终结果必须是最简分式或整式例4 约分：31824ab a b. 分析：本题应注意18和24的最大公约数是6，ab 和a 3b 的公因式是ab ，所以分子、分母的公因式是6ab.解：31824ab a b =26364ab ab a ⋅⋅=234a . 温馨提示：分式约分时，最终的结果必须化成最简分式或整式，避免出现约分不彻底的错误.。
分式的基本性质分式的变形
1 2 a a (1) ( 2 ) 1 a a1 2 a a2 ( 3) 2 1 a
练习
不改变分式的值，使下列各式的分子与 分母的最高次项系数是正数，然后再约分
1- a - a ⑴ 2 3 1+a - a
⑶
2
x +1 ⑵ 2 1- x
1- a - 2 a - a +3
2
结
分式性质应用
(2a -
解：原式 =
2 ( a + b) ? 6 3
2
b) ? 6
12a 9b 4a 6b
巩固练习
y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B ) 1.若把分式 x+y
A．扩大两倍 C．缩小两倍 B．不变 D．缩小四倍
xy 2.若把分式 中的 x+y 的值( A ).
A．扩大3倍 C．扩大4倍
12 xy 的最简公分母是
的最简公分母
2 ；
是
1 2x , , (3)分式 最简公分母 2 2 2 6 x 3 x x 4 2 x 4 ) 2 ( 是 12 x ( x + 2) ( x - 2) ；
10a b c
x
2 2 2
4a 3c 5b , 2 , 2 2 5b c 10a b - 2ac
；
分式性质应用
不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母的各项系数都化为整数。
0.01x 0.5 （ 1） 0.3xБайду номын сангаас 0.04
(0.01x 0.5) 100 解：原式 (0.3 x 0.04) 100
x 50 30 x 4
3 2a - b 2 （ 2） 2 a +b 3 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
师生互动
例6：
3a
• 若分式 a2 b2 中的a和b同时扩大10倍，
则分式的值是原来的(
)C。
• A.10倍； B.100倍； C.1/10; D不变
3ab
• 若分式 a2 b2 中的a和b同时扩大10倍，
则分式的值是原来的(
)D。
• A.10倍； B.100倍； C.1/10; D不变
注意观察：分子和分母的次数。
师生互动 合作探究
（1）下列分数是否相等,变形的依据是什么？
2 , 4 , 8 , 16 , 32 . 3 6 12 24 48
（2）分数的基本性质是什么？ 分数的分子与分母同时乘以（或除以） 同一个不等于零的数，分数的值不变.
a ac , a a c (c 0) b bc b b c
9x3 3x
3x2y y
x y 2x
3x2y+3xy
6x2
x2 - y2 x-y
x(x y) x
根据分子或分母的变化，确定分子 分母同时乘还是除以哪一个整式。
例2：填空
a
1 —2 -4
a
1 —
b
a+b
a2 -b2
1） x =( 1 ) x2 - 2x x - 2
3a b a 2b
4a 1 5a 2
先统一化 成小数或 分数形式。
分子分母同时乘以各分母的最小公倍数。
师生互动
分式的基本性质时需要注意什么？
“两同、一整”
①分子、分母应同时做同一种变换(乘/除)； ②所乘/除同一个整式; ③所乘/除的整式应该不等于0.
师生互动
• 下列错误的是（ C ）
m-3 (4) 9 - m2
分子、分母为多项式时，先因式分 解再约分。
合作探究
例9：约分
a2 2a 1 (1) a2 - 1
(2)
a2 a2
b2 ab
2a - 2b (3) a2 - b2
(4) m2 - 9 3m 9
分子、分母为多项式时，先因式分 解再约分。
小结
• 1、分式的基本性质； • 两同一整，整式≠0 • 2、分式约分的步骤； • 先因式分解，再找到公分母，后约分； • 3、分子、分母、分式的符号的变形 • 三个符号同时改变两个，结果不变； • 4、a、b同时扩大10倍，分式的值如何变化 • 查清一次方，二次方（包括平方）
2
b)
先找出分子、分母的公分母
约分的核心是：约去分子分母的 最大公因数。
找最大公因式的一般步骤： 1、系数的最大公因数； 2、相同字母取指数最低次幂。
合作探究
例8：请小组讨论，将下列分式约分
(1)
(a a2 -
b)2 b2
ab (2) a2 2ab b2
2a - 2b (3)（a - b）2
分式基本性质的简单应用之一 ---------约分
约分：把一个分式的分 子分母的公因式约去。
师生互动 合作探究
例7：请小组讨论，将下列分式约分
(1) 2bc ac
4xy (2)
2y2
25a2bc3 (3)
15ab2c
(4) (a b)2 (a b)(a - b)
(5)
(
a
b)(a (a - b)
知识回顾
1、什么是分式?
A
分式是两个整式的商，形如 B ,其 中A，B都是整式,并且B中含有字母,B不 为零。 2、分式 A/B 什么时候才有意义？
B≠0。
3、分式A/B 什么时候等于0？ A=0且B≠0。
15.1.2分式的 基本性质
确定目标
• 1、理解分式的基本性质； • 2、能利用基本性质进行变形； • 3、能利用分式的基本性质进行约分； • 4、能利用分式的基本性质进行计算；
师生互动 合作探究
分式的基本性质
（1）如何用语言和式子来表示呢？
A A C (C 0) B BC
用语言表示
A A C (C 0) B BC
其中A,B,C,为整式.
分式的分子与分母同时乘以（或除以) 同一个不等于零的整式，分式的值不变.
例1：填空
2x2 y
2x2y
y2
a2 - b2 （a b）2
a-b
ab
2) 3分x2母6+x同根23x时据y乘分=还子(x是或+ 除分y)以母哪的一变个化整，式确。定分子
师生互动
• 例3：不改变分式的值，把分式中分 子、分母的各项系数化为整数。
0.3a 0.1b 0.1a 0.2b
2a 1 5 10 0.5a 0.2
作业
-a b
a
-b
— a
b
- -a -b
-a -b
-
a
b
a
b
+
a
b
- a
b
—
a
b
师生互动
• 例4：判断正误
a a ab ba
7b - 7b - 3a 3a a a -ab a-b
- 7b - 7b - 3a 3a
- a a -ab ab a-c c-a ab b-a
• A. ac c ab b
B.
b a
ab a2
• C. c ac b ab
D.
c b
c（a 2 b（a 2
1） 1）
注意：分子、分母同乘/除的M要确认是 否为0，若没有M≠0的条件，即为错误。
师生互动
• 填小空结：：在分括子号、内添分上母“和+分、式-”三号个符号 同时改变两个，结果仍不变。
师生互动
例5： 3a
• 若分式 a b 中的a和b同时扩大10倍，
则分式的值是原来的(
)D 。
• A.10倍； B.100倍； C.1/10; D不变
ab
• 若分式 a b 中的a和b同时扩大10倍，
则分式的值是原来的(
)A。
• A.10倍； B.100倍； C.1/10; D不变
注意观察：分子和分母的次数。
反馈检测
1、 化简求值
3x2 - xy 9x2 - 6xy +
y2
,其中x
=
-8,y
=
1 2
拓展延伸
已知
x 2
=
y 3
=
z 4
,求
xy x2
+ +
yz + y2 +
zx z2
的值。
a b
2, 求
a2 2ab 的值。 a2 b2
1 - 1 2,求 2a 2b 的值。
ab
a - 2ab b