深圳市龙岗区九年级数学调研考试
龙岗试卷数学初三
一、选择题（每题4分，共40分）1. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点坐标为（1，-3），则a的取值范围是（）A. a>0B. a<0C. a≥0D. a≤02. 在等边三角形ABC中，点D是边BC上的一个动点，则三角形ABD的面积与三角形ACD的面积之比是（）A. 1:2B. 2:1C. 1:3D. 3:13. 若x^2-5x+6=0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A. 2B. 3C. 5D. 64. 已知函数y=kx+b（k≠0）与x轴、y轴分别交于点A、B，若点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3），则k与b的值分别是（）A. k=3，b=2B. k=2，b=3C. k=-3，b=2D. k=-2，b=35. 在直角坐标系中，点P的坐标为（2，-1），点Q关于x轴的对称点Q'的坐标是（）A.（2，1）B.（-2，1）C.（2，-1）D.（-2，-1）6. 若一个正方体的棱长为a，则它的体积V与表面积S的关系是（）A. V=6SB. V=2SC. V=SD. V=3S7. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°8. 若方程2x-3=5的解为x=2，则方程2x+3=5的解是（）A. x=2B. x=4C. x=0D. x=-29. 已知一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，若点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，3），则k与b的值分别是（）A. k=3，b=2B. k=2，b=3C. k=-3，b=2D. k=-2，b=310. 若一个数的平方根是2，则这个数是（）A. 4B. -4C. 0D. ±4二、填空题（每题4分，共40分）11. 若一个数a的绝对值是5，则a的值是__________。
广东省深圳市龙岗区-九年级下学期质量监测试题
龙岗区202X-202X学年第二学期质量监测试题九年级数学考前须知：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共22个小题，考试时量90分钟，总分值100分。
一、选择题（本局部共10小题，每题3分，共30分。
每题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）。
1.以下实数中，最小的数是（）A. -2B. -V2C. 0D. 12.将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如下图的几何体，那么该几何体的俯视图是（）ABCD3.深圳经济特区成立四十周年，经济发生了翻天覆地的变化，深圳经济GDP202X年位居全国各大城市前三，经济GDP约为28000亿元，将28000用科学记数法表示为（）A. 28X10%. 64.以下图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）a X ❖ABCD5.一组数据：7, 3, 9, x, 8,它们的平均数是7,那么这组数据的中位数是（）A. 8B. 7C. 6D. 56.以下说法正确的选项是（）A.平行四边形是轴对称图形，.函数"土的自变量取值范围*C.相等的圆心角所对的孤相等。
・直线j = x-5不经过第二象限7 .在中，ZC = 60°,匕4 = 50。
，分别以点A 、B 为圆心，以大于—A8的长为半径画 2 弧，两弧分别交于点M 、N ,作直线交AC 点。
，连接那么NCBD 的大小是（）.A. 15°B. 20°C. 25。
. 30°8. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸莺”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，己知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65。
广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2025届数学九年级第一学期开学检测模拟试题【含答案】
广东省深圳市龙岗区龙城初级中学2025届数学九年级第一学期开学检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列语句：(1)可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的；(2)可以把两个全等图形中的一个看成是由另一个平移得到的；(3)经过旋转，对应线段平行且相等；(4)中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分.其中正确的有()A ．一个B ．两个C ．三个D ．四个2、（4分）如图，矩形ABCD 的长和宽分别为6和4，E 、F 、G 、H 依次是矩形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 的周长等于()A ．20B ．10C ．D ．23、（4分）下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4、（4分）如图，四边形ABCD 是菱形，AC=8，DB=6，DH ⊥AB 于H ，则DH=（）学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………A ．245B ．125C ．12D ．245、（4分）在平面直角坐标系内，点O 是原点，点A 的坐标是()3,4，点B 的坐标是()3,4-，要使四边形AOBC 是菱形，则满足条件的点C 的坐标是（）A ．()3,0-B ．()3,0C ．()6,0D ．()5,06、（4分）如图是一个直角三角形，它的未知边的长x 等于()A ．13B 13C ．5D ．57、（4分）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，:1:2AD AB =，下列选项正确的是()A ．:1:2DE BC =B ．:1:3AE AC =C ．:1:3BD AB =D ．:1:3AE EC =8、（4分）下列四个图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）若∠BAC ＝30°，AP 平分∠BAC ，PD ∥AC ，且PD ＝6，PE ⊥AC ，则PE ＝________.10、（4分）点P 在第四象限内，P 到轴的距离是3，到轴的距离是5，那么点P 的坐标为．11、（4分）在x 2+（________）+4=0的括号中添加一个关于x 的一次项．．．，使方程有两个相等的实数根.12、（4分）如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，//OM AB 交AD 于点M ，若2OM =，6BC =，则OB 的长为______．13、（4分）如图，在△ABC 中，∠B=70°，∠BAC=30°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC ，当点B 的对应点D 恰好落在AC 边上时，∠CAE 的度数为___________.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E .F 分别在AB 、CD 上，AE =CF ，连接AF ，BF ，DE ，CE ，分别交于H 、G .求证：(1)四边形AECF 是平行四边形．(2)EF 与GH 互相平分．15、（8分）菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，BD 是对角线，点E 、F 分别是边AB 、AD 上两个点，且满足AE DF =，连接BF 与DE 相交于点G ．(1)如图1，求BGD ∠的度数；(2)如图2，作CH BG ⊥于H 点，求证：2GH GB DG =+；(3)在满足(2)的条件下，且点H 在菱形内部，若6GB =，CH =，求菱形ABCD 的面积．16、（8分）如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE ，求证：∠DAE ＝∠ECD ．17、（10分）学校准备购买纪念笔和记事本奖励同学，纪念笔的单价比记事本的单价多4元，且用30元买记事本的数量与用50元买纪念笔的数量相同．求纪念笔和记事本的单价.18、（10分）定义：我们把对角线相等的四边形叫做和美四边形．（1）请举出一种你所学过的特殊四边形中是和美四边形的例子．（2）如图1，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，已知四边形EFGH 是菱形，求证：四边形ABCD 是和美四边形；（3）如图2，四边形ABCD 是和美四边形，对角线AC ，BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，请探索EF 与AC 之间的数量关系，并证明你的结论．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）已知等腰三角形两条边的长为4和9，则它的周长=______.20、（4分）计算：的结果是_____．21、（4分）某正比例函数图象经过点(1，2)，则该函数图象的解析式为___________22、（4分）如图所示，为估计池塘两岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点C ，分别取CA 、CB 的中点E ，F ，测的18EF m =，则A ，B 两点间的距离是______m .23、（4分）化简：---a b a b a b =__．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）（1）如图，已知，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 垂足为D ，BC =6，AC =8，求AB 与CD 的长．（2）如图，用3个全等的菱形构成活动衣帽架，顶点A 、E 、F 、C 、G 、H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间的距离（比如AC 两点可以自由上下活动），若菱形的边长为13厘米，要使两排挂钩之间的距离为24厘米，并在点B 、M 处固定，则B 、M 之间的距离是多少？25、（10分）如图，已知点E 在四边形ABCD 的边AB 上，设AE a =，AD b =，DC c =.（1）试用向量a 、b 和c 表示向量DE ，EC ；（2）在图中求作：DE EC DA +-.（不要求写出作法，只需写出结论即可）26、（12分）已知四边形ABCD 是正方形，△ADE 是等边三角形，求∠BEC 的度数．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、B 【解析】根据平移的性质，对各语句进行一一分析，排除错误答案．【详解】(1)可以把半径相等的两个圆中的一个看成是由另一个平移得到的，正确；(2)可以把两个全等图形中的一个看成是由另一个平移得到的，错误；平移既需要两个图形全等,还需要两个图形有一种特殊的位置关系,(3)经过平移，对应线段平行且相等，故原语句错误；(4)中心对称图形上每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分，正确.故选B.本题利用了平移的基本性质：①图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．2、C 【解析】根据矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点，利用三角形中位线定理求证EF=GH=FG=EH ，然后利用四条边都相等的平行四边形是菱形．根据菱形的性质来计算四边形EFGH 的周长即可．【详解】如图，连接BD ，AC ．在矩形ABCD 中，AB=4，AD=6，∠DAB=90°，则由勾股定理易求得∵矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AD 、AB 、BC 、CD 的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∴EF=12EF ∥AC ，又GH 为△BCD 的中位线，∴GH=12，GH ∥AC ，∴HG=EF ，HG ∥EF ，∴四边形EFGH 是平行四边形．同理可得：FG=12EH=12AC=∴∴四边形EFGH 是菱形．∴四边形EFGH 的周长是：，故选C ．此题考查中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题关键3、B 【解析】试题分析：A ．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故A 选项错误；B ．∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B 选项正确．C ．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故C 选项错误；D ．∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故B 选项错误．考点：1．中心对称图形；2．轴对称图形．4、A【解析】解：如图，设对角线相交于点O ，∵AC=8，DB=6，∴AO=12AC=12×8=4，BO=12BD=12×6=3，由勾股定理的，==5，∵DH ⊥AB ，∴S 菱形ABCD =AB•DH=12AC•BD ，即5DH=12×8×6，解得DH=245．故选A ．本题考查菱形的性质．5、C 【解析】由A ，B 两点坐标可以判断出AB ⊥x 轴，再根据菱形的性质可得OC 的长，从而确定C 点坐标.【详解】如图所示，∵A （3，4），B （3，-4）∴AB ∥y 轴，即AB ⊥x 轴，当四边形AOBC 是菱形时，点C 在x 轴上，∴OC=2OD ，∵OD=3，∴OC=6，即点C 的坐标为（6，0）.故选C.此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分.6、B 【解析】由勾股定理得：22+32=x 2.【详解】由勾股定理得：22+32=x 2.所以，x=故选：B 本题考核知识点：勾股定理.解题关键点：熟记勾股定理.7、A 【解析】通过证明△ADE ∽△ABC ，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ∴12DE AD BC AB ==故选：A ．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．8、A 【解析】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；B 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选A ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】分析：过P 作PF ⊥AB 于F ，根据平行线的性质可得∠FDP =∠BAC =10°，再根据10度所对的边是斜边的一半可求得PF 的长，最后根据角平分线的性质即可求得PE 的长．详解：过P 作PF ⊥AB 于F ．∵PD ∥AC ，∴∠FDP =∠BAC =10°，∴在Rt △PDF 中，PF =12PD =1．∵AP 平分∠BAC ，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥AB 于F ，∴PE =PF =1．故答案为1．点睛：本题考查了角平分线的性质，直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记性质是解题的关键．10、（5，-1）．【解析】试题分析：已知点P 在第四象限，可得点P 的横、纵坐标分别为正数、负数，又因为点P 到x 轴的距离为1，到y 轴的距离为5，所以点P 的横坐标为5或-5，纵坐标为1或-1．所以点P 的坐标为（5，-1）．考点：各象限内点的坐标的特征．11、4x ±（只写一个即可）【解析】设方程为x 2+kx+4=0，根据方程有两个相等的实数根可知∆=0，据此列式求解即可.【详解】设方程为x 2+kx+4=0，由题意得k 2-16=0，∴k=±4,∴一次项为4x ±（只写一个即可）.故答案为：4x ±（只写一个即可）.本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.【解析】可知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∵OM=2，∴DC=4，∵AD=BC=6，∴由于△ABC 为直角三角形，且O 为AC 中点∴BO=11=22AC 因此OB ．本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC 的长．13、50°【解析】由旋转可得∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE ，则∠CAE=∠CEA ，再由三角形的外角性质可得∠CDE=∠CAE+∠AED 可求出∠CAE 的度数．【详解】∵△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△EDC∴∠CDE=∠B=70°，∠CED=∠BAC=30°，CA=CE ，∴∠CAE=∠CEA ，则∠AED=∠CEA-30°又∵∠CDE=∠CAE+∠AED即∠CAE+∠CAE-30°=70°解得∠CAE=50°故答案为：50°．本题考查三角形中的角度计算，解题的关键是利用旋转的性质得到旋转后的角度，并利用三角形的外角性质建立等量关系．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、见解析【解析】(1)根据四边形ABCD 是平行四边形,由平行四边形的性质可得://AB CD ,AB CD =,根据AE CF =,利用平行四边形的判定定理可得:四边形AECF 是平行四边形,()2由()1得四边形AECF 是平行四边形,根据平行四边形的性质可得://AF CE ,根据AE CF =,//AB CD ,AB CD =,可得://BE DF ,BE DF =,根据平行四边形的判定定理可得:四边形BFDE 是平行四边形,再根据平行四边形的性质可得://BF DE ,根据平行四边形的判定定理可得:四边形EGFH 是平行四边形,由平行四边形的性质可得:EF 与GH 互相平分.【详解】()1四边形ABCD 是平行四边形,//AB CD ∴,AB CD =,AE CF =,∴四边形AECF 是平行四边形,()2由()1得:四边形AECF 是平行四边形,//AF CE ∴,AE CF =,//AB CD ,AB CD =,//BE DF ∴,BE DF =,∴四边形BFDE 是平行四边形,//BF DE ∴,∴四边形EGFH 是平行四边形,EF ∴与GH 互相平分.本题主要考查平行四边形的判定定理和平行四边形的性质,解决本题的关键是要熟练掌握平行四边形的判定定理和平行四边形的性质.15、(1)120BGD ∠=︒；(2)证明见解析；(3)ABCD S =四边形.【解析】（1）只要证明△DAE ≌△BDF ，推出∠ADE=∠DBF ，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；（2）如图3中，延长GE 到M ，使得GM=GB ，连接BD 、CG ．由△MBD ≌△GBC ，推出DM=GC ，∠M=∠CGB=60°，由CH ⊥BG ，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH ，由CG=DM=DG+GM=DG+GB ，即可证明2GH=DG+GB ；（3）解直角三角形求出BC 即可解决问题.【详解】(1)如图，四边形ABCD 是菱形，AD AB ∴=，60A ∠=︒，ABD ∴∆是等边三角形，AB DB ∴=，60A FDB ∠=∠=︒，在DAE ∆和BDF ∆中，AD BD A BDF AE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DAE BDF ∴∆≅∆，ADE DBF ∴∠=∠，60EGB GDB GBD GDB ADE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，180120BGD BGE ∴∠=︒-∠=︒．(2)如图，延长GE 到M ，使得GM GB =，连接CG ．60MGB ∠=︒，GM GB =，GMB ∴∆是等边三角形，60MBG DBC ∴∠=∠=︒，MBD GBC ∴∠=∠，在MBD ∆和GBC ∆中，MB GB MBD GBC BD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MBD GBC ∴∆≅∆，DMGC ∴=，60M CGB ∠=∠=︒，CH BG ⊥，30GCH ∴∠=︒，2CG GH ∴=，CG DM DG GM DG GB ==+=+，2GH DGGB ∴=+．(3)如图12-中，由(2)可知，在Rt CGH ∆中，CH =，30GCH ∠=︒，tan 30GH CH∴︒=，4GH ∴=，6BG =，2BH ∴=，在Rt BCH ∆中，BC ==ABD ∆，BDC ∆都是等边三角形，222BCD ABCD S S ∆∴=⋅==四边形．本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．16、见解析,【解析】要证∠DAE=∠ECD．需先证△ADF≌△CEF，由折叠得BC=EC，∠B=∠AEC，由矩形得BC=AD，∠B=∠ADC=90°，再根据等量代换和对顶角相等可以证出，得出结论．【详解】证明：由折叠得：BC=EC，∠B=∠AEC，∵矩形ABCD，∴BC=AD，∠B=∠ADC=90°，∴EC=DA，∠AEC=∠ADC=90°，又∵∠AFD=∠CFE，∴△ADF≌△CEF（AAS）∴∠DAE=∠ECD．本题考查折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的性质和判定等知识，借助于三角形全等证明线段相等和角相等是常用的方法．17、纪念笔和记事本的单价分别为1元，6元．【解析】首先设纪念笔单价为x元，则记事本单价为（x-4）元，根据题意可得等量关系：30元买记事本的数量与用50元买纪念笔的数量相同，由等量关系可得方程，进而解答即可．【详解】解：设纪念笔单价为x元，则记事本的单价为（x-4）元．由题意，得：30504x x=-．解得:x=1．经检验x=1是原方程的解，且符合题意．∴纪念笔的单价为1元，∴记事本的单价：1-4=6（元）．答：纪念笔和记事本的单价分别为1元，6元．此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．18、（1）矩形；（2）证明见解析；（3）12EF AC =，证明见解析.【解析】（1）等腰梯形、矩形、正方形，任选一个即可；（2）根据三角形中位线性质可得AC BD =；（3）12EF AC =，连接BE 并延长至M ，使BE EM =，连接DM 、AM 、CM ，先证四边形MABD 是平行四边形，BD AM =可得，//BD AM ，60MAC AOB ∠=∠=可得，AMC 证得是等边三角形，CM AC =所以，，由三角形中位线性质得1122EF CM AC ==．【详解】解：()1矩形的对角线相等，∴矩形是和美四边形；()2如图1，连接AC 、BD ，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，12EH BD FG ∴==，12EF AC HG ==，四边形EFGH 是菱形，EH EF FG GH ∴===，AC BD ∴=，∴四边形ABCD 是和美四边形；()132EF AC =，证明：如图2，连接BE 并延长至M ，使BE EM =，连接DM 、AM 、CM ，AE ED =，∴四边形MABD 是平行四边形，BD AM ∴=，//BD AM ，60MAC AOB ∴∠=∠=，AMC ∴是等边三角形，CM AC ∴=，BMC 中，BE EM =，BF FC =，1122EF CM AC ∴==．本题综合考查了平行四边形的判定和三角形的有关知识，解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、1【解析】分9是腰长与底边长两种情况讨论求解即可．【详解】①当9是腰长时，三边分别为9、9、4时，能组成三角形，周长=9+9+4=1，②当9是底边时，三边分别为9、4、4，∵4+4＜9，∴不能组成三角形，综上所述，等腰三角形的周长为1．故答案为：1．本题考查了等腰三角形的两腰相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．20、1【解析】根据算术平方根的定义，直接得出表示21的算术平方根，即可得出答案．【详解】解：∵表示21的算术平方根，且故答案是：1．此题主要考查了算术平方根的定义，必须注意算术平方根表示的是一个正数的平方等于某个数.21、2y x =【解析】设正比例函数的解析式为y=kx ，然后把点(1，2)代入y=kx 中求出k 的值即可．【详解】解：设正比例函数的解析式为y=kx ，把点(1，2)代入得，2=k ×1，解得k=2，∴该函数图象的解析式为：2y x =；故答案为：2y x =．本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，掌握待定系数法求正比例函数解析式是解题的关键．22、36【解析】根据E 、F 是CA 、CB 的中点，即EF 是△CAB 的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解.【详解】解：据E 、F 是CA 、CB 的中点，即EF 是△CAB 的中位线，∴EF=12AB ，∴AB=2EF=2×18=36.故答案为36.本题考查了三角形的中位线定理应用，灵活应用三角形中位线定理是解题的关键.23、1利用同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即可得出答案．【详解】解：a b a b a b a b a b --=---=1．故答案是：1.考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）AB =10，CD =4.8；（2）BM =30厘米.【解析】（1）在直角三角形ABC 中，利用勾股定理求出AB 的长，再利用面积法求出CD 的长即可．（2）连接AC ，BD 交于点O ，根据四边形ABCD 是菱形求出AO 的长，然后根据勾股定理求出BO 的长，于是可以求出B 、M 两点的距离．【详解】解：（1）在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 垂足为D ，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB=，∵S △ABC =12AB•CD=12AC•BC ，∴CD=AC BC AB ⋅=8610⨯=4.8（2）.连接AC ，BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AO=12AC=12厘米，AC ⊥BD ，∴BO===5厘米，∴BD=2BO=10厘米，∴BM=3BD=30厘米．故答案为：（1）AB=10，CD=4.8；（2）BM=30厘米.本题考查勾股定理，以及三角形面积求法，菱形的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理以及菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．25、（1）DE a b =-，EC c a b =-+；（2）DE EC DA AC +-=.（1）由AE a =，AD b =，DC c =，直接利用三角形法则求解，即可求得答案；（2）由三角形法则可得：+==DE EC DA DC DA AC --，继而可求得答案.【详解】解：（1）∵AE a =，AD b =，DC c =，∴DE AE AD a b =-=-，EC DC DE c a b =-=-+;（2）+==DE EC DA DC DA AC --，如图：此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．26、30°或者150°.【解析】试题分析：分当等边△ADE 在正方形ABCD 外部时（如图①）和当等边△ADE 在正方形ABCD 内部时（如图②）两种情况求解.试题解析：(1)当等边三角形ADE 在正方形ABCD 外部时，如图①所示．∵AB ＝AD ＝AE ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°，∴∠AEB ＝(180°－150°)÷2＝15°.同理，∠DEC ＝15°.∴∠BEC ＝60°－15°－15°＝30°.(2)当等边三角形ADE 在正方形ABCD 内部时，如图②所示．∵AB ＝AD ＝AE ，∠BAE ＝90°－60°＝30°，同理，∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°×2－60°＝150°.第21页，共21页。
深圳市龙岗区2025届九上数学期末质量检测模拟试题含解析
深圳市龙岗区2025届九上数学期末质量检测模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．sin45°的值等于（ ）A ．B ．C ．D ．12．抛物线y ＝(x ﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是( )A ．(4，﹣5)，开口向上B ．(4，﹣5)，开口向下C ．(﹣4，﹣5)，开口向上D ．(﹣4，﹣5)，开口向下3．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π4．二次函数与288y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．2k ≤D ．2k ≤且0k ≠5．在同一直角坐标系中，函数-a y x=与y ＝ax +1（a ≠0）的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．图中所示的几个图形是国际通用的交通标志.其中不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若()320a b ab =≠，则下列比例式中正确的是（ ）A ．32a b =B ．23b a =C ．23a b =D ．32a b = 8．如图，点()8,6P 在ABC ∆的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将ABC ∆缩小到原来的12，得到'''A B C ∆，点P 在''A C 上的对应点P'的的坐标为( )A ．()4,3B ．()3,4C ．()5,3D ．()4,4 9．如图，AB 是O 的直径，AB ＝4，C 为AB 的三等分点（更靠近A 点），点P 是O 上一个动点，取弦AP 的中点D ，则线段CD 的最大值为（ ）A ．2B ．7C ．23D ．3+110．如图，在Rt ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则图中的相似三角形共有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对二、填空题(每小题3分,共24分)11．一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程_________．12．将三角形纸片(△ABC )按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是_________．13．已知弧长等于3π，弧所在圆的半径为6，则该弧的度数是____________.14．如图所示，半圆O 的直径AB=4，以点B 为圆心，23为半径作弧，交半圆O 于点C ，交直径AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是_____________.15．已知关于x 的方程x 2-3x+m=0的一个根是1，则m=__________．16．如图，AB 是半圆O 的直径，AB=10，过点A 的直线交半圆于点C ，且sin ∠CAB=45，连结BC ，点D 为BC 的中点．已知点E 在射线AC 上，△CDE 与△ACB 相似，则线段AE 的长为________；17．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，有下列6个结论：①abc ＜0；②b ＜a+c ； ③4a+2b+c ＜0；④2a+b+c ＞0；⑤24b ac ->0；⑥2a+b=0；其中正确的结论的有_______．18．若a b b -＝23，则a b的值为________． 三、解答题(共66分)19．（10分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC 长为13米，它的坡度为i ＝1：2.4，AB ⊥BC ，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC ＝13°（此时点B 、C 、D 在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB ；（2）求斜坡改进后的起点D 与原起点C 的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）20．（6分）如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，过点D 作EF ⊥AC 于点E ，交AB 的延长线于点F ．（1）判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）如果AB=5，BC=6，求DE 的长．21．（6分）如图，已知O 是坐标原点，B 、C 两点的坐标分别为()3,1-，()2,1，将BOC ∆绕点O 逆时针旋转90度，得到11B OC ∆，画出11B OC ∆，并写出B 、C 两点的对应点1B 、1C 的坐标，22．（8分）解方程（1）2(32)25x +=（2）27100x x -+=23．（8分）如图，已知直线334y x =-+与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线23y ax bx =++经过B 、C 两点并与x 轴的另一个交点为A ，且3OC OA =.（1）求抛物线的解析式；（2）点R 为直线BC 上方对称轴右侧抛物线上一点，当RBC △的面积为92时，求R 点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接CR ，作RH x ⊥轴于H ，连接CH 、AC ，点P 为线段CR 上一点，点Q 为线段CH 上一点，满足2QH CP =，过点P 作PE AC ∥交x 轴于点E ，连接EQ ，当45PEQ ∠=︒时，求CP 的长.24．（8分）如图1,在平面内,不在同一条直线上的三点,,A B C 同在以点O 为圆心的圆上,且ABC ∠的平分线交O 于点D ,连接AD ,CD ．（1）求证：AD CD =；（2）如图2,过点D 作DE BA ⊥,垂足为点E ,作DF BC ⊥,垂足为点F ,延长DF 交O 于点M ,连接CM ．若AD CM =,请判断直线DE 与O 的位置关系,并说明理由．25．（10分）一只不透明的袋子中装有3个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出2个球． （1）“其中有1个球是黑球”是 事件；（2）求2个球颜色相同的概率．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，双曲线m y x=和直线y=kx+b 交于A ，B 两点，点A 的坐标为（﹣3，2），BC ⊥y 轴于点C ，且OC=6BC ．（1）求双曲线和直线的解析式；（2）直接写出不等式mkx bx>+的解集．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．【详解】sin45°=．故选B．【点睛】错因分析：容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.2、A【解析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【详解】由y＝(x﹣4)2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标(4，﹣5)．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h.3、B【分析】根据题意得出圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥侧面积公式求出即可．【详解】依题意知母线长为：2，底面半径r=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πr l=π×1×2=2π．故选：B．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，对圆锥的侧面面积公式运用不熟练，易造成错误．4、D【解析】利用△=b2-4ac≥1，且二次项系数不等于1求出k的取值范围．【详解】∵二次函数与y=kx2-8x+8的图象与x轴有交点，∴△=b2-4ac=64-32k≥1，k≠1，解得：k≤2且k≠1．故选D．【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系是解题关键．5、B【分析】本题可先由反比例函数-ayx=图象得到字母a的正负，再与一次函数y＝ax+1的图象相比较看是否一致即可解决问题．【详解】解：A、由函数-ayx=的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＜0故选项A错误．B、由函数-ayx=的图象可知a＞0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，且交于y轴于正半轴，故选项B正确．C、y＝ax+1（a≠0）的图象应该交于y轴于正半轴，故选项C错误．D、由函数-ayx=的图象可知a＜0，由y＝ax+1（a≠0）的图象可知a＞0，故选项D错误．故选：B．【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型.6、C【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．【详解】A 、B 、D 都是轴对称图形，而C 不是轴对称图形．故选C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．7、C【分析】根据比例的基本性质直接判断即可.【详解】由()320a b ab =≠，根据比例性质，两边同时除以6，可得到23a b =，故选C. 【点睛】本题考查比例的基本性质，掌握性质是解题关键.8、A【解析】根据位似的性质解答即可.【详解】解：∵点P （8，6）在△ABC 的边AC 上，以原点O 为位似中心，在第一象限内将△ABC 缩小到原来的12，得到△A′B′C′，∴点P 在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）．故选A ．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ，进而结合已知得出答案．9、D【解析】取OA 的中点Q ，连接DQ ，OD ，CQ ，根据条件可求得CQ 长，再由垂径定理得出OD ⊥AP ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD 长，根据当C,Q,D 三点共线时，CD 长最大求解.【详解】解：如图，取AO 的中点Q,连接CQ ，QD ，OD ，∵C 为AB 的三等分点，∴AC 的度数为60°，∴∠AOC=60°, ∵OA=OC,∴△AOC为等边三角形，∵Q为OA的中点，∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,∴OQ=1121 22OC,由勾股定理可得，CQ=3, ∵D为AP的中点,∴OD⊥AP，∵Q为OA的中点，∴DQ=1121 22OA=⨯=,∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为3+1 .故选D【点睛】本题考查利用弧与圆心角的关系及垂径定理求相关线段的长度，并且考查线段最大值问题，利用圆的综合性质是解答此题的关键.10、C【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD所以有三对相似三角形，故选：C．【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似．二、填空题(每小题3分,共24分)11、()2108172x -=【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据“一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元”即可列出方程．【详解】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意可得：()2108172x -=，故答案为：()2108172x -=．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题的关键．12、2或127【分析】设BF=x ，根据折叠的性质用x 表示出B′F 和FC ，然后分两种情况进行讨论（1）△B′FC ∽△ABC 和△B′FC ∽△BAC ，最后根据两三角形相似对应边成比例即可求解．【详解】设BF=x ，则由折叠的性质可知：B′F=x ，FC=4x -，（1）当△B′FC ∽△ABC 时，有B F FC AB BC ='， 即：434x x -=，解得：127x =； （2）当△B′FC ∽△BAC 时，有B F FC BA AC='， 即：433x x -=，解得：2x =； 综上所述，可知：若以点B′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF 的长度是2或127 故答案为2或127． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解本题时，由于题目中没有指明△B′FC 和△ABC 相似时顶点的对应关系，所以根据∠C 是两三角形的公共角可知，需分：（1）△B′FC ∽△ABC ；（2）△B′FC ∽△BAC ；两种情况分别进行讨论，不要忽略了其中任何一种．13、90°【分析】把弧长公式l=180n r π进行变形，把已知数据代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵l=180n r π，∴n=180l r π=18036ππ⨯⨯=90°． 故答案为：90°．【点睛】本题考查的是弧长的计算，正确掌握弧长的计算公式及其变形是解题的关键．14、33π- 【解析】解：连接OC ，CB ，过O 作OE ⊥BC 于E ，∴BE =12BC =1232⨯=3．∵OB =12AB =2，∴OE =1，∴∠B =30°，∴∠COA =60°，=()DOC OBC AOC AOC DBCS S S S S S ∆-=--阴影扇形扇形扇形 =2260230(23)1(231)3603602ππ⨯⨯--⨯⨯ =2(3)3ππ-- =33π-．故答案为33π-．15、1【解析】试题分析：∵关于x 的方程230x x m -+=的一个根是1，∴1﹣3×1+m=0，解得，m=1，故答案为1． 考点：一元二次方程的解．16、3或9 或23或343【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB=90︒，∵sin ∠CAB=45， ∴45BC AB =, ∵AB=10，∴BC=8，∴22221086AC AB BC =-=-=,∵点D 为BC 的中点,∴CD=4.∵∠ACB=∠DCE=90︒,①当∠CDE 1=∠ABC 时，△ACB ∽△E 1CD,如图 ∴1AC BC CE CD =，即1684CE =， ∴CE 1=3，∵点E 1在射线AC 上， ∴AE 1=6+3=9，同理：AE 2=6-3=3.②当∠CE 3D=∠ABC 时，△ABC ∽△DE 3C ，如图∴3AC BC CD CE =，即3684CE =， ∴CE 3=163， ∴AE 3=6+163=343, 同理：AE 4=6-163=23. 故答案为：3或9 或23或343. 【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.17、①④⑤⑥【分析】①由抛物线的开口方向判断a 与1的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与1的关系，然后根据对称轴位置确定b 的符号，可对①作判断；②令x ＝－1，则y ＝ a －b ＋c ，根据图像可得：a －b ＋c ＜1，进而可对②作判断；③根据对称性可得：当x ＝2时，y ＞1，可对③对作判断；④根据2a ＋b ＝1和c ＞1可对④作判断；⑤根据图像与x 轴有两个交点可对⑤作判断；⑥根据对称轴为：x ＝1可得：a ＝－12b ，进而可对⑥判作断． 【详解】解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a ＜1．∵抛物线对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴b ＞1；∵抛物线与y 轴交于正半轴，∴c ＞1，∴abc ＜1；故①正确；②∵令x ＝－1，则y ＝ a －b ＋c ＜1，∴a ＋c ＜b ，故②错误；③根据抛物线的对称性知，当x ＝2时，y ＞1，即4a ＋2b ＋c ＞1；故③错误；④∵对称轴方程x ＝－2b a＝1， ∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝1，∵c ＞1，∴2a ＋b ＋c ＞1，故④正确；⑤∵抛物线与x 轴有两个交点，∴ax 2＋bx ＋c ＝1由两个不相等的实数根，∴24b ac ＞1，故⑤正确．⑥由④可知：2a ＋b ＝1，故⑥正确．综上所述，其中正确的结论的有：①④⑤⑥．故答案为：①④⑤⑥．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，二次函数最值的熟练运用．18、5 3【分析】根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】∵a bb-＝23，∴b=35 a,∴ab=5335aa=,故答案为：5 3 .【点睛】本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．三、解答题(共66分)19、（1）这个车库的高度AB为5米；（2）斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【解析】（1）根据坡比可得ABBC＝512，利用勾股定理求出AB的长即可；（2）由（1）可得BC的长，由∠ADB的余切值可求出BD的长，进而求出CD的长即可.【详解】（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝ABBC＝512，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC＝BD AB，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点睛】此题主要考查了坡角的定义以、锐角的三角函数及勾股定理等知识，正确求出BC，BD的长是解题关键．20、（1）相切，理由见解析；（2）DE=125．【分析】（1）连接AD，OD，根据已知条件证得OD⊥DE即可；（2）根据勾股定理计算即可．【详解】解：（1）相切，理由如下：连接AD，OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴AD⊥BC．∵AB=AC，∴CD=BD=12 BC．∵OA=OB，∴OD∥AC．∴∠ODE=∠CED．∵DE⊥AC，∴∠ODE=∠CED=90°．∴OD⊥DE．∴DE与⊙O相切．（2）由（1）知∠ADC=90°，∴在Rt△ADC中，由勾股定理得,AD=222211()5(6)22AC BC -=-⨯=1． ∵S ACD =12AD•CD=12AC•DE ， ∴12×1×3=12×5DE ． ∴DE=125． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质、勾股定理等知识.正确大气层造辅助线是解题的关键．21、详见解析；点1B ，1C 的坐标分别为()1,3，()1,2-【分析】利用网格特点和旋转的性质画出B 、C 的对应点B 1、C 1即可．【详解】解：如图，11B OC ∆为所作，点1B ，1C 的坐标分别为()1,3，()1,2-【点睛】本题考查了画图−性质变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．22、（1）x 1=1 x 2=73-（2）x 1=2 x 2=5 【分析】（1）根据直接开平方法即可求解（2）根据因式分解法即可进行求解.【详解】解方程（1）2(32)25x +=3x +2=5或 3x +2=－5x 1=1 x 2=73- （2）27100x x -+=(x －2）（x －5）=0x －2=0或x －5=0x 1=2 x 2=523、（3）239344y x x =-++；（3）R （3，3）；（3）3或83． 【分析】（3）求出A 、B 、C 的坐标，把A 、B 的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可得出结论；（3）设R （t ，239344t t -++）．作RK ⊥y 轴于K ，RW ⊥x 轴于W ，连接OR ． 根据RBC COB RCO ROB COB RCOB S S S S S S =-=+-△△△△△四边形计算即可；（3）在RH 上截取RM =OA ，连接CM 、AM ，AM 交PE 于G ，作QF ⊥OB 于H ．分两种情况讨论：①点E 在F 的左边；②点E 在F 的右边．【详解】（3）当x =0时y =3，∴C （0，3），∴OC =3．∵OC =3OA ，∴OA =3，∴A （-3，0）．当y =0时x =4，∴B （4，0）．把A 、B 坐标代入得0301643a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得：3494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为239344y x x =-++． （3）设R （t ，239344t t -++）． 作RK ⊥y 轴于K ，RW ⊥x 轴于W ，连接OR ．∵211391=34(3)3422442RBC COB RCO ROB COB RCOB S S S S S S t t t =-=+-⨯+⨯⨯-++-⨯⨯△△△△△四边形 2362t t =-+ ∵92ROB S =△， ∴239622t t -+=，11t =（舍去），23t =， ∴R （3，3）．（3）在RH 上截取RM =OA ，连接CM 、AM ，AM 交PE 于G ，作QF ⊥OB 于H ． 分两种情况讨论：①当点E 在F 的左边时，如图3．∵CR =CO ，∠CRM =∠COA ，∴△CRM ≌△COA ，∴CM =CA ，∠RCM =∠OCA ，∴∠ACM =∠OCR =90°，∴∠CAM =∠CMA =45°．∵AC∥PE，∴∠CAM=∠AGE=45°．∵∠PEQ=45°，∴∠AGE=∠PEQ，∴AM∥EQ，∴∠MAH=∠QEF．∵∠QFE=∠MHA=90°，∴△QEF∽△MAH，∴QF EF MH AH．∵OA=3，OH=3，MH=RH-RM=3-3=3，∴AH=AO+OH=4，∴EF=3QF．设CP=m，∴QH CP m．∵OC=OH，∴∠OHC=45°，∴QF=FH=m，∴EF=3m，∴EH=3m．∵ACPE为平行四边形，∴AE=CP=m．∵EH=AH-AE=4-m，∴3m=4-m，∴m=3，∴CP=3．②当点E在F的右边时，设AM交QE于N．如图3．∵CR=CO，∠CRM=∠COA，∴△CRM≌△COA，∴CM=CA，∠RCM=∠OCA，∴∠ACM=∠OCR=90°，∴∠CAM=∠CMA=45°．∵AC∥PE，∴∠CAM=∠AGE=45°．∵∠PEQ=45°，∴∠AGE=∠PEQ=45°，∴∠ENG=∠ENA=90°．∵∠EQF+∠QEF=90°，∠EAN+∠QEF=90°，∴∠EQF=∠MAB．∵∠QFE=∠AHM=90°，∴△QEF∽△AMH，∴QF EF AH MH，∴QF=3EF．设CP=m，∴QH2CP2m．∵OC=OH，∴∠OHC=45°，∴QF=FH=m，∴EF =12m ， ∴EH =12m ． ∵ACPE 为平行四边形，∴AE =CP =m ．∵EH =AH -AE =4-m ，∴4-m =12m ， ∴m =83， ∴CP =83． 综上所述：CP 的值为3或83． 【点睛】本题是二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题需要我们熟练各个知识点的内容，注意要分类讨论．24、（1）见解析 （2）见解析【分析】(1)根据角平分线的定义和圆周角定理的推论，即可得到结论；(2)连接OD ,过D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于E ,由BC 为直径,得AB AC ⊥,由AD CD =，得OD AC ⊥，进而可得OD DE ⊥，即可得到结论.【详解】（1）∵BC 平分ABC ∠,∴ABD CBD ∠=∠,∴AD CD =,∴AD CD =；（2）直线DE 与O 相切，理由如下：连接OD ,过D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于E ,∵BC 为直径,∴90BAC ∠=︒,∴AB AC ⊥,∵AD CD =,∴OD AC ⊥,∴OD AB ,∵DE AB⊥,∴OD DE⊥,∴DE为O的切线．【点睛】本题主要考查垂径定理和圆的切线的判定定理，掌握圆的切线的判定定理，是解题的关键.25、（1）随机（2）【解析】试题分析：（1）直接利用随机事件的定义分析得出答案；（2）利用树状图法画出图象，进而利用概率公式求出答案．试题解析：（1）“其中有1个球是黑球”是随机事件；故答案为随机；（2）如图所示：，一共有20种可能，2个球颜色相同的有8种，故2个球颜色相同的概率为：=．考点：列表法与树状图法．26、（1）双曲线的解析式为6yx=-，直线的解析式为y=﹣2x﹣4；（2）﹣3＜x＜0或x＞1.【分析】（1）将A坐标代入反比例解析式中求出m的值，确定出反比例解析式，根据OC=6BC，且B在反比例图象上，设B坐标为（a，﹣6a），代入反比例解析式中求出a的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；（2）根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标，以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可.【详解】（1）∵点A（﹣3，2）在双曲线myx=上，∴m23=-，解得m=﹣6，∴双曲线的解析式为6yx =-，∵点B在双曲线6yx=-上，且OC=6BC，设点B的坐标为（a，﹣6a），∴66aa-=-，解得：a=±1（负值舍去），∴点B的坐标为（1，﹣6），∵直线y=kx+b过点A，B，∴3k b2{k b6-+=+=-，解得：k2{b4=-=-，∴直线的解析式为y=﹣2x﹣4；（2）根据图象得：不等式m>kx bx+的解集为﹣3＜x＜0或x＞1.。
龙岗区初三数学试卷及答案
一、选择题（每题5分，共30分）1. 若实数a，b满足a + b = 0，则a² + b²的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 无法确定2. 在等腰三角形ABC中，AB = AC，若∠BAC = 40°，则∠B的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°3. 下列函数中，在其定义域内为单调递增函数的是（）A. y = -x²B. y = 2x + 3C. y = x³D. y = √x4. 若二次方程x² - 4x + 3 = 0的解为x₁和x₂，则x₁ + x₂的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）二、填空题（每题5分，共25分）6. 若一个数的平方等于4，则这个数是______。
7. 在直角三角形中，若直角边长分别为3和4，则斜边长为______。
8. 函数y = 2x - 1的图像与x轴的交点坐标为______。
9. 若a² = b²，则a和b的关系是______。
10. 下列各数中，属于有理数的是______。
三、解答题（每题15分，共60分）11. （解答题）已知三角形ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，求∠C的度数。
12. （解答题）解下列方程：2x² - 5x + 2 = 0。
13. （解答题）已知函数y = -3x² + 4x + 1，求该函数的顶点坐标。
14. （解答题）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-3，2），点Q在y轴上，且PQ = 5，求点Q的坐标。
答案一、选择题1. B2. C3. C4. B5. A二、填空题6. ±27. 58. （2，0）9. a = b或a = -b10. 2/3三、解答题11. ∠C = 75°12. x₁ = 1/2，x₂ = 213. 顶点坐标为（1/3，5/3）14. 点Q的坐标为（0，7）或（0，-3）请注意，以上试卷及答案仅供参考，实际考试内容可能会有所不同。
广东省市深圳市龙岗区南湾学校2024年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题【含答案】
广东省市深圳市龙岗区南湾学校2024年数学九年级第一学期开学质量检测模拟试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A ,B 两点,P 是线段AB 上任意一点(不包括端点),过点P 分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为10,则该直线的函数表达式是()A ．y=x+5B ．y=x+10C ．y=-x+5D ．y=-x+102、（4分）某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4×100米接力赛，而这9名同学只知道自己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差3、（4分）生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm ，将数据0.00000032用科学记数法表示正确的是()A ．73.210⨯B ．73.210-⨯C ．83.210⨯D ．83.210-⨯4、（4分）如图，矩形ABCD 中，14AB =，8AD =，点E 是CD 的中点，DG 平分ADC ∠交AB 于点G ，过点A 作AF DG ⊥于点F ，连接EF ，则EF 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．65、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于O，且AO=BD=4，AD=3，则△BOC 的周长为（）A ．9B ．10C ．12D ．146、（4分）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件可以是()A ．AC =BD B ．AB =AC C ．∠ABC =90°D ．AC ⊥BD7、（4分）如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点B 出发，沿BADC 方向运动至点C 处停止，设点E 运动的路程为x ，△BCE 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的周长为（）A ．20B ．21C ．14D ．78、（4分）如图．在正方形ABCD 中4AB =，E 为边BC 的中点，P 为BD 上的一个动点，则 PC PE +的最小值是()A ．B ．C ．D ．2+二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）已知关于x 的一元二次方程2230x ax a -+=的一个根是2，则a =______.10、（4分）已知函数y=3x 的图象经过点A(-1,y 1),点B(-2,y 2),则y 1____y 2(填“>”或“<”或“=”).11、（4分）既是矩形又是菱形四边形是________．12、（4分）如图所示，AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FG ，∠1＝125°，则∠A ＝_____度．13、（4分）如图，已知菱形OABC 的顶点O(0，0)，B(2，2)，则菱形的对角线交点D 的坐标为(1,1),若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，点D 的坐标为________．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）计算：（1）（3.14﹣π）0+（﹣12）﹣2﹣2×2﹣1（2）（2a 2+ab ﹣2b 2）（﹣12ab ）15、（8分）计算：(1)-+；(2)+16、（8分）对于一次函数y=kx+b （k≠0），我们称函数y [m]=()kx b x m kx b(x m)⎧+≤⎨-->⎩为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如，y=3x+1的4分函数为：当x≤4时，y [4]=3x+1；当x ＞4时，y [4]=-3x-1．（1）如果y=x+1的-1分函数为y [-1]，①当x=4时，y [-1]______；当y [-1]=-3时，x=______．②求双曲线y=2x 与y [-1]的图象的交点坐标；（1）如果y=-x+1的0分函数为y [0]，正比例函数y=kx （k≠0）与y=-x+1的0分函数y [0]的学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………图象无交点时，直接写出k 的取值范围．17、（10分）如图，四边形ABCD 是平行四边形,EB ⊥BC 于B ，ED ⊥CD 于D ，BE 、DE 相交于点E ，若∠E=62º，求∠A 的度数．18、（10分）在某市举办的“读好书，讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级（1）班全体同学捐献图书的情况统计图：请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：（1）该班有学生多少人？（2）补全条形统计图；（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）计算1112(0.25)(4)-⨯-．20、（4分）如图，直线为1y x m =+和22y x n =-的交点是A ，过点A 分别作x 轴、y 轴的垂线，则不等式2x m x n +≤-的解集为__________.21、（4分）如图，ABC ∆经过平移后得到DEF ∆，下列说法错误的是（）A ．//AB DE B ．ACB DFE ∠=∠C ．AD BE =D ．ABC CBE ∠=∠22、（4分）若a 2﹣5ab ﹣b 2＝0，则a b b a -的值为_____．23、（4分）如图，正比例函数y kx =的图象与反比例函数m y x =的图象交于A （2，1），B 两点，则不等式m kx x >的解集是_________．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/元，本地通话费用0.2元/分钟，方案二，月租费用0元/元，本地通话费用0.3元/分钟.（1）以x 表示每个月的通话时间（单位：分钟），y 表示每个月的电话费用（单位：元），分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；（2）问当每个月的通话时间为300分钟时，采用那种电话计费方式比较合算？25、（10分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC 的三个顶点都在格点上.⑴在线段AC 上找一点P （不能借助圆规），使得222PC PA AB -=，画出点P 的位置，并说明理由．⑵求出⑴中线段PA 的长度.26、（12分）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并根据统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请解答下列问题：（1）在这次调查中，样本容量为；（2）补全条形统计图；（3）“乘车”所对应的扇形圆心角为°；（4）若该学校共有2000名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C【解析】设P点坐标为(x,y)，如图，过P点分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为D.C，∵P点在第一象限，∴PD=y，PC=x，∵矩形PDOC的周长为10，∴2(x+y)=10，∴x+y=5，即y=−x+5，故选C.点睛:本题主要考查矩形的性质及点的坐标的意义,根据坐标的意义得出x,y之间的关系是解题的关键.2、B【解析】总共有9名同学，只要确定每个人与成绩的第五名的成绩的多少即可判断，然后根据中位数定义即可判断．【详解】要想知道自己是否入选，老师只需公布第五名的成绩，即中位数．故选B.3、B【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.00000032=3.2×10-1．故选：B．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4、C【解析】连接CG，由矩形的性质好已知条件可证明EF是△DGC的中位线，在直角三角形GBC中利用勾股定理可求出CG的长，进而可求出EF的长.【详解】连接CG，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD,∠B=90∘，AD=BC=8，∴∠AGD=∠GDC，∵DG平分∠ADC，∴∠ADG=∠GDC，∴∠AGD=∠ADG，∴AG=AD=8，∵AF⊥DG于点F，∴FG=FD，∵点E是CD的中点，∴EF是△DGC的中位线，∴EF=12CG，∵AB=14，∴GB=6，∴=10，∴EF=12×10=5，故选C.此题主要考查矩形的线段求解，解题的关键是熟知平行线的性质、三角形中位线定理及勾股定理的运用.5、A 【解析】利用平行四边形的性质即可解决问题.【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC =3，OD =OB =12BD =2，OA =OC =4，∴△OBC 的周长=3+2+4=9，故选：A ．题考查了平行四边形的性质和三角形周长的计算，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形对角线互相平分.6、D 【解析】根据菱形的判定方法有四种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，④对角线平分对角，作出选择即可．【详解】A ．∵四边形ABCD 是平行四边形，AC =BD ，∴四边形ABCD 是矩形，不是菱形，故本选项错误；B ．∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =AC ≠BC ，∴平行四边形ABCD 不是菱形，故本选项错误；C．∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形，不能推出平行四边形ABCD是菱形，故本选项错误；D．∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故本选项正确．故选D．本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定方法；注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．7、C【解析】分点E在AB段运动、点E在AD段运动时两种情况，分别求解即可．【详解】解：当点E在AB段运动时，y＝12BC×BE＝12BC•x，为一次函数，由图2知，AB＝3，当点E在AD上运动时，y＝12×AB×BC，为常数，由图2知，AD＝4，故矩形的周长为7×2＝14，故选：C．本题考查的是动点图象问题，涉及到一次函数、图形面积计算等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．8、A【解析】根据正方形的性质得到点A和点C关于BD对称，BC=AB=4，由线段的中点得到BE=2，连接AE交BD于P，则此时，PC+PE的值最小，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：四边形ABCD为正方形C关于BD的对称点为A．连结AE交BD于点P，如图：此时 PC PE +的值最小，即为AE 的长．∵E 为BC 中点，BC=4，∴BE=2，∴AE ===．故选：A.本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、1【解析】根据关于x 的一元二次方程x 2−2ax ＋3a ＝0有一个根为2，将x ＝2代入方程即可求得a 的值．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2−2ax ＋3a ＝0有一个根为2，∴22−2a×2＋3a ＝0，解得，a ＝1，故答案为1．此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可解决问题．10、＞【解析】分别把点A （－1，y 1），点B （－1，y 1）的坐标代入函数y ＝3x ，求出点y 1，y 1的值，并比较出其大小即可．【详解】∵点A （－1，y 1），点B （－1，y 1）是函数y ＝3x 的图象上的点，∵－3＞－6，∴y1＞y1．11、正方形【解析】根据正方形的判定定理即可得到结论．【详解】既是矩形又是菱形的四边形是正方形，故答案为正方形．本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．12、1【解析】设∠A＝x．根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC ＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FCE＝∠FEC＝5x，则180°﹣5x＝130°，即可求解．【详解】设∠A＝x，∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，∴根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，得∠CDB＝∠CBD＝2x，∠DEC＝∠DCE＝3x，∠DFE＝∠EDF＝4x，∠FGE＝∠FEG＝5x，则180°﹣5x＝125°，解，得x＝1°，故答案为1．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的外角的性质的运用；发现并利用∠CBD是△ABC 的外角是正确解答本题的关键．13、(－1，－1)【解析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．【详解】菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得D点坐标为（1，1）．每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360=7.5周，OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（-1，-1），故答案为：（-1，-1）．本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、(1)2；（2）−a1b−12a2b2+ab1．【解析】（1）根据0次幂和负整数指数幂，即可解答．（2）根据单项式乘以多项式，即可解答．【详解】（1）（1.12﹣π）0+（﹣12）﹣2﹣2×2﹣1=1+2-2×1 2=1+2-1 =2．（2）（2a2+ab-2b2）（-12ab）=−a1b−12a2b2+ab1．本题考查了单项式乘以多项式，解决本题的关键是熟记单项式乘以多项式的法则．15、（1）0；（2）【解析】（1=和合并同类二次根式法则计算即可；（2=计算即可．【详解】解：（1-==0（2+=2632⨯⨯=+==、除法公式=16、（2）①5，-4或2；②(-2，-2)；（2）k≥2【解析】（2）①先写出函数的-2分函数，代入即可，注意，函数值时-3时分两种情况代入；②先写出函数的-2分函数，分两种情况和双曲线解析式联立求解即可；（2）先写出函数的0分函数，画出图象，根据图象即可求得．【详解】解：（2）①y=x+2的-2分函数为：当x≤-2时，y [-2]=x+2；当x ＞-2时，y [-2]=-x-2．当x=4时，y [-2]=-4-2=-5，当y [-2]=-3时，如果x≤-2，则有，x+2=-3，∴x=-4，如果x ＞-2，则有，-x-2=-3，∴x=2，故答案为-5，-4或2；②当y=x+2的-2分函数为y [-2]，∴当x≤-2时，y [-2]=x+2①，当x ＞-2时，y [-2]=-x-2②，∵双曲线y=2x ③，联立①③解得，x 1y 2=⎧⎨=⎩（舍）x 2y 1=-⎧⎨=-⎩，∴它们的交点坐标为（-2，-2），联立②③时，方程无解，∴双曲线y=2x 与y [-2]的图象的交点坐标（-2，-2）；（2）当y=-x+2的0分函数为y [0]，∴当x≤0时，y [0]=-x+2，当x ＞0时，y [0]=x-2，如图，∵正比例函数y=kx （k≠0）与y=-x+2的0分函数y [0]的图象无交点，∴k≥2．本题考查的是函数综合题，主要考查了新定义，函数图象的交点坐标的求法，解本题的关键是理解新定义的基础上借助已学知识解决问题．17、118°【解析】根据EB ⊥BC ，ED ⊥CD ，可得∠EBC ＝90°，∠EDC ＝90°，然后根据四边形的内角和为360°，∠E ＝62°，求得∠C 的度数，然后根据平行四边形的性质得出∠A ＝∠C ，继而求得∠A 的度数．【详解】解：∵EB ⊥BC ，ED ⊥CD.∴∠EBC=∠EDC=90°∵∠E=62°∴∠C=360°-∠EBC-∠EDC-∠E=118°∵四边形ABCD 为平行四边形∴∠A=∠C=118°本题考查了平行四边形的性质及多边形的内角和等知识，熟练掌握四边形的内角和为360°与平行四边形对角相等是解题的关键．18、（1）因为捐2本的人数是15人，占30％，所以该班人数为＝50（2）根据题意知，捐4本的人数为：50－(10＋15＋7＋5)＝1．(如图)（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数是＝3(本)，众数是2本．【解析】（1）根据捐2本的人数是15人，占30%，即可求得总人数；（2）首先根据总人数和条形统计图中各部分的人数计算捐4本的人数，进而补全条形统计图；（3）根据中位数和众数的定义解答一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）【解析】首先化成同指数，然后根据积的乘方法则进行计算．【详解】解：原式=1111(0.25)(4)-⨯-×（－1）=[]11(0.25)(4)-⨯-×（－1）=1×（－1）=－1．考点：幂的简便计算．20、2x ≥.【解析】根据一元一次函数和一元一次不等式的关系，从图上直接可以找到答案.【详解】解：由2x m x n +≤-，即函数22y x n =-的图像位于1y x m =+的图像的上方，所对应的自变量x 的取值范围，即不等式2x m x n +≤-的解集，解集为2x ≥.本题考查了一次函数与不等式的关系，因此数形结合成为本题解答的关键.21、D 【解析】根据平移的性质，对应点的连线互相平行且相等，平移变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小对各小题分析判断即可得解．【详解】A 、AB ∥DE ，正确；B 、ACB DFE ∠=∠，正确；C 、AD=BE ，正确；D 、ABC DEF ∠=∠，故错误，故选D ．本题主要考查了平移的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．22、5【解析】由已知条件易得225a b ab -=，22a b a b b a ab --=，两者结合即可求得所求式子的值了.∵2250a ab b --=，∴225a b ab -=，∵22a b a b b a ab --=，∴2255a b a b ab b a ab ab --===.故答案为：5.“能由已知条件得到225a b ab -=和22a b a b b a ab --=”是解答本题的关键.23、﹣1＜x ＜0或x ＞1【解析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标，即可得出不等式的解集．【详解】∵正比例函数y =kx 的图象与反比例函数y m x =的图象交于A （1，1），B 两点，∴B （﹣1，﹣1）．观察函数图象，发现：当﹣1＜x ＜0或x ＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，∴不等式kx m x ＞的解集是﹣1＜x ＜0或x ＞1．故答案为：﹣1＜x ＜0或x ＞1．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是根据两函数图象的上下位置关系解不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两函数图象的上下位置关系结合交点坐标得出不等式的解集是关键．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）方案一中通话费用关于时间的函数关系式为y=15+0.2x ，（x≥0）；方案二中通话费用关于时间的函数关系式为y=0.3x ，（x≥0）；（2）采用方案一电话计费方式比较合算.【解析】试题分析：（1）根据“方案一费用=月租+通话时间×每分钟通话费用，方案二的费用=通话时间×每分钟通话费用”可列出函数解析式；（2）根据（1）中函数解析式，分别计算出x=300时的函数值，即可得出答案．试题解析：（1）根据题意知，方案一中通话费用关于时间的函数关系式为y=15+0.2x ，（x≥0）；方案二中通话费用关于时间的函数关系式为y=0.3x ，（x≥0）.（2）当x=300时，方案一的费用y=15+0.2×300=75（元），方案二的费用y=0.3×300=90（元），∴采用方案一电话计费方式比较合算.点睛：本题主要考查一次函数的应用，根据方案中所描述的计费方式得出总费用的相等关系是解题的关键．25、(1)详见解析；（2）线段PA 的长度为53.【解析】试题分析：（1）利用方格纸可作出BC 的垂直平分线交AC 于点P ，点P 为所求的点，由线段垂直平分线的性质和勾股定理即可证明此时：PC 2-PA 2=AB 2；（2）由图中信息可得AB=4，AC=6，设PA=x ，则PC=PB=6-x ，在Rt △PAB 中，由勾股定理建立方程解出x 即可.试题解析：⑴如图，利用方格纸作BC 的垂直平分线，分别交AC 、BC 于点P 、Q ，则PC ＝PB.∵在△APB 中，∠A ＝90°，∴222PA AB PB +=，即：222PB PA AB -=，∴222PC PA AB -=.⑵由图可得：AC=6，AB=4，设PA =x ，则PB=PC =6－x ∵在△PAB 中，∠A ＝90°，222PA BA PB +=∴()22246x x +=-，解得：53x =，即PA=53.答：线段PA 的长度为53.26、（1）50；（2）图略；（3）144︒；（4）600.【解析】（1）用此次调查的乘车的学生数除以其占比即可得到样本容量；（2）用调查的总人数减去各组人数即可得到步行的人数，即可补全统计图；（3）用360°×40%即可得到“乘车”所对应的扇形圆心角度数；（4）用2000乘以“步行”方式的占比即可.【详解】（1）样本容量为20÷40%=50（2）步行的人数为50-20-10-5=15（人）补全统计图如下：（3）“乘车”所对应的扇形圆心角为40%×360°=144°（4）估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为2000×1550=600（人）此题主要考查统计调查，解题的关键是根据统计图求出样本容量.。
广东省深圳市龙岗区龙城天成学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷(无答案)
2024—2025学年第一学期（10月）学情诊断九年级数学（第一章~第二章）说明：全卷共6页，满分100分，考试时长90分钟．请在答题卡上作答，在本卷上作答无效．一、选择题（本部分共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的，请将正确的选项填在答题卡上）1．下列图片中，能观察到菱形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 2．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A ．对边相等 B ．对边平行 C ．对角线互相平分D ．对角线互相垂直 3．如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上．若a b ∥且140∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°4．已知方程2560x x --=的一个根是6，则它的另一个根是（ ）A ．1B ．6-C ．1-D ．35．用配方法解方程2250x x +-=时，原方程应变形为（ ）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -= 6．某校九年级组织一次乒乓球比赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两个班之间都比赛一场），赛程计划7天，每天安排4场比赛．设有x 个队参赛，则x 满足的关系为（ ）A ．()11282x x -=B ．()11282x x +=C ．()128x x -=D ．()128x x +=7．小明和小颖同学交流学习心得，小明发现将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形．这个特殊的图形是（ ）① ② ③A ．矩形B ．三角形C ．菱形D ．正方形8．如图，在矩形ABCD 中，30cm AB =，动点P 从点A 出发沿AB 边以5cm/s 的速度向点B 运动，动点Q 从点C 出发沿CD 边以1cm/s 的速度向点D 运动，点P 和点Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t ，则当t =（ ）s 时，四边形APQD 是矩形．A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上）9．将方程()()223243x x +=-化成一般形式：__________．10．如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD ，然后向右拉框架，观察所得四边形的变化，下列结论中：①四边形ABCD 由矩形变为平行四边形；②变形前后对角线BD 的长度不变；③四边形ABCD 的面积不变；④四边形ABCD 的周长不变．正确的有__________．（填序号）11．如图，从边长为2的正方形ABCD 内部取一点G ，使它与正方形两个相邻的顶点C ，D 及点G 到边AB 的距离都相等，则CG 等于__________．12．小新同学在《九章算术》“勾股”章中看到一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何．”他查阅资料了解到大意是说：已知甲、乙二人从同一地点同时出发，在单位时间内甲的速度为7步，乙的速度为3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，然后向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？小新同学通过计算，算出了甲走了__________步．13．如图，将矩形沿图中虚线剪成四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若1x =，则y =__________．三、解答题（本部分共7小题．其中14题5分，15题7分，16题8分，17题8分，18题9分，19题12分，20题12分，共61分）14．（5分）解方程：24830x x ++=．15．（7分）如图，学校需要用绿竹围成周长为32m 的矩形ABCD 阅读空间，设AB 的长为x m ．（1）若矩形ABCD 的面积为2m y ，用含x 的代数式表示y ．（2）当矩形ABCD 的面积是260m 时，求它的边长．（3）矩形ABCD 的面积是否可以是270m 若能达到，求出边AB 的长；若不能达到，请说明理由．16．（8分）如图，两张等宽的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD ．（1）判断四边形ABCD 的形状，并证明．（2）若测得四边形ABCD 的面积为216cm ，点B ，D 之间的距离为8cm ，求边AB 的长．17．（8分）某网商平台国庆期间从某公司以20元一盆的价格采购了一批盆栽，以每盆40元的价格售出，第一天销售了25盆．该商品十分畅销，在售价不变的基础上，第三天销售量就达到了64盆．（1）求第二、三两天每天销售量的平均增长率．（2）国庆假期临近结束时，盆栽还有较多剩余，为了尽快减少库存，网商平台打算降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天销售量的基础上每天可以多售出4盆，降价多少元时，每天可获得的利润为1292元？18．（9分）如图，在ABC △中，AB AC =．（1）尺规作图：（保留作图痕迹）①分别作BAC ∠的平分线AD 及BAC ∠的外角的平分线AN ，AD 交BC 于点D ；②过点C 作CE AN ⊥，垂足为E ；（2）连接DE 交AC 于点F ，猜想DF 与AB 的关系，并证明．19．（12分）【项目式学习】项目主题：高铁建设与运营中的数学挑战项目背景：随着中国经济的快速发展，高速铁路网络已经覆盖了全国大部分地区．假设某城市计划建设一条新的高铁线路，以缩短与邻近城市的旅行时间．数学小组的同学在查阅相关资料的情况下，开展了相关探究．素材一：为了保证安全，高铁列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止，都需要一定的时间，假设加速度和减速度都是常数且加减速过程中，列车速度随时间变化的关系为：0v v at =+，其中v 是最终速度，0v 是初始速度，a 是加速度（或减速度），t 是时间．素材二：列车将保持以最高速度匀速行驶一段距离，已知列车从静止加速到最高速度以及从最高速度减速到停止所需的路程相同，均为d 千米，时间也相同，均为t 秒．素材三：匀加速（即加速度不变）或匀减速过程中，在单向行驶时，路程与运动时间的关系为：2012s v t at =+，其中：s 是路程，0v 是初始速度，a 是加速度（或减速度），t 是时间．任务—：理解与计算（1）如果高铁列车的最高速度360v =千米/小时，加速度0.5a =米/秒2，则从静止加速到最高速度所需的时间t =__________秒．（2）在（1）的条件下，列车从静止加速到最高速度所需的最小路程d =__________千米．任务二：应用与推理（3）在（1）的条件下，假设高铁线路全程x 千米中，除去两端的加减速路程d ，列车以最高速度行驶的距离为2x d -，请直接写出列车全程行驶的时间T 的表达式．（单位：小时）任务三：设计与分析（4）假设距某站台2千米有一辆高铁正以180千米/小时的速度驶来，由于某人从站台跳入轨道捡手机，列车需紧急停车，若减速度0.5a =-米/秒2，列车能否安全停车？分析计算后的答案，结合现实，说说你的想法．20．（12分）综合与实践【问题情境】我们定义：如图（a ），在ABC △中，把AB 绕点A 顺时针旋转()0180αα︒<<︒得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC '，连接B C ''．当180αβ+=︒时，我们称C AB ''△是ABC △的“旋补三角形”，C AB ''△的边B C ''上的中线AD 叫做ABC △的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”． 【特例感知】（1）在图（b ）和图（c ）中，C AB ''△是ABC △的“旋补三角形”，AD 是ABC △的“旋补中线”．①如图（b ），当ABC △为等边三角形时，AD 与BC 的数量关系为AD =__________BC ；②如图（c ），当90BAC ∠=︒，16BC =时，则AD 长为__________．【猜想论证】（2）如图（a ），当ABC △为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．【拓展应用】（3）如图（d ），在四边形ABCD 中，90C ∠=︒，150D ∠=︒，12BC =，CD =6AD =．在四边形内部是否存在点P ，使PDC △是PAB △的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求出PAB △的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．（a ） （b ） （c ） （d ）。
深圳市龙岗区2024-2025学年九年级数学第一学期开学教学质量检测试题【含答案】
深圳市龙岗区2024-2025学年九年级数学第一学期开学教学质量检测试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 中点，且AE 2=，BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ，则矩形的一边AB 的长度为()A ．2B C D ．42、（4分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．3、（4分）计算()69⨯-的结果等于()A ．15-B ．15C ．54D ．54-4、（4分）的整数部分为x ，小数部分为y y -的值是（）A ．3-BC ．1D ．35、（4分）计算（﹣2）的结果是（）A ．1B ．0C ．﹣1D ．﹣76、（4分）如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第7个图案中黑色瓷砖的个数是（）A ．19B ．20C ．21D ．227、（4分）甲、乙、丙、丁四人参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是13.2s ，方差如下表：选手甲乙丙丁方差(s 2)0.0200.0190.0210.022则这四人中发挥最稳定的是()A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8、（4分）某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B ．该村人均耕地面积y 与总人口x 成正比例C ．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人D ．当该村总人口为50人时，人均耕地面积为1公顷二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）在平行四边形ABCD 中，已知∠A﹣∠B＝60°，则∠C＝_____．10、（4分）如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，矩形CDEF 的边CD 在CB上，且5CD=3CB ，边CF 在轴上，且CF=2OC-3，反比例函数y=k x (k>0)的图象经过点B,E ，则点E 的坐标是____11、（4分）写一个二次项系数为1的一元二次方程，使得两根分别是﹣2和1．_____．12、（4分）如图，OC 平分∠AOB ，P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ．若PD ＝3cm ，则PE ＝_____cm ．13、（4分）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 垂直平分BD ，交BD 于点F ，延长DC 到点E ，使得CE=DC ，连接BE.（1）求证：四边形ABCD 是菱形.（2）填空：①当∠ADC=°时，四边形ACEB 为菱形；②当∠ADC=90°，BE=4时，则DE=15、（8分）如图，已知：EG ∥AD ，∠1=∠G ，试说明AD 平分∠BAC ．16、（8分）已知：如图，在△ABC 中，∠A=120°，AB=4，AC=2.求BC 边的长.17、（10分）如图，在Rt ACB 中，90C =∠，BE 平分ABC ∠，ED 垂直平分AB 于点D ，若9AC =，求AE 的长.18、（10分）如图1，E 为正方形ABCD 的边BC 上一点，F 为边BA 延长线上一点，且CE ＝AF ．（1）求证：DE ⊥DF ；（2）如图2，若点G 为边AB 上一点，且∠BGE ＝2∠BFE ，△BGE 的周长为16，求四边形DEBF 的面积；（3）如图3，在（2）的条件下，DG 与EF 交于点H ，连接CH 且CH ＝5，求AG 的长．B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形ABCD 的周长是_______.20、（4分）如图，已知一次函数y ＝ax +b 和y ＝kx 的图象相交于点P ，则根据图中信息可得二元一次方程组0y ax b kx y =+⎧⎨-=⎩的解是_____．21、（4分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，∠B 的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为____________．22、（4分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB 为半圆的直径，且抛物线的解析式为223y x x =--，则半圆圆心M 的坐标为______．23、（4分）如图，a ∥b ，∠1＝110°，∠3＝50°，则∠2的度数是_____．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在ABC △中，AD BC ⊥，12AD =，16BD =，5CD =.()1求ABC △的周长；()2判断ABC △是否是直角三角形，并说明理由.25、（10分）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入（元）2400040000酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？26、（12分）分解因式（1）20a 3-30a 2（2）25（x+y）2-9（x-y）2参考答案与详细解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】连接CE ，根据线段中点的定义求出DE 、AD ，根据矩形的对边相等可得BC=AD ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE=BC ，再利用勾股定理列式求出CD ，然后根据矩形的对边相等可得AB=CD ．【详解】如图，连接CE ，∵点E 是AD 中点，∴DE=AE=2，AD=2AE=2×2=4，∴BC=AD=4，∵BE 的垂直平分线MN 恰好过点C ，∴CE=BC=4，在Rt △CDE 中，由勾股定理得，∴故选C ．本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，难点在于作辅助线构造出直角三角形．2、C【解析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；C 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误，故选C ．本此题考查了轴对称及中心对称图形的判断，解答本题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念.3、D 【解析】利用乘法法则计算即可求出值【详解】解：原式=-54，故选D ．此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．4、C 【解析】因为12<<11-，即x ＝1，1y =-，所1)1y -=--=．5、C 【解析】分析：根据二次根式的乘法法则结合平方差公式进行计算即可.详解：原式=222)2341+-=-=-=-.故选C.点睛：熟记“二次根式的乘法法则和平方差公式”是正确解答本题的关键.6、D【解析】观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用字母表示即可．【详解】第个图案中有黑色纸片3×1+1=4张第2个图案中有黑色纸片3×2+1=7张，第3图案中有黑色纸片3×3+1=10张，…第n个图案中有黑色纸片=3n+1张.当n=7时，3n+1=3×7+1=22.故选D.此题考查规律型：图形的变化类，解题关键在于观察图形找到规律.7、B【解析】分析：根据方差的意义解答．详解：从方差看，乙的方差最小，发挥最稳定.故选B.点睛：考查方差的意义，方差越小，成绩越稳定.8、D【解析】人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，根据反比例函数的性质可推出A，D错误，再根据函数解析式求出自变量的值与函数值，有可判定C，B．【详解】如图所示，人均耕地面积y（单位：公顷/人）与总人口x（单位：人）的函数关系是反比例函数，它的图象在第一象限，∴y随x的增大而减小，∴A，B错误，设y=kx（k＞0，x＞0），把x=50时，y=1代入得：k=50，∴y=50 x，把y=2代入上式得：x=25，把x=50代入上式得：y=1，∴D正确，故选D.二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、120【解析】根据平行四边形的性质可得到答案.【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＋∠B＝180°，又∠A－∠B＝60°，故可知∠A＝120°，∴∠C＝∠A＝120°，故答案为120°.本题主要考查了平行四边形的基本性质，解本题的要点在于熟记平行四边形的对角相等.10、2715 204⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】设正方形OABC的边0A=a，可知OA=OC=AB=CB=a，所以点B的坐标为(aa)，推出反比例函数解析式的k=a2，再由CF=2OC-3，可知CF=2a-3，推出点的坐标为(231aa-,3a-3)，根据5CD=3CB，可求出点E的坐标【详解】由题意可设：正方形OABC的边OA=a ∴OA=OC=AB=CB∴点B的坐标为(a,a)，即k=a2CF=2OC-3∴CF=2a-3∵OF=OC+CF=a+2a-3=3a-3∴点E的纵坐标为3a-3将3a-3代入反比例函数解析式y=2ax中,可得点E的横坐标为231aa-∵四边形CDEF为矩形,∴CD=EF=2 31 a a-2531a a -=3a,可求得:a=94将a=94,代入点E 的坐标为(231a a -,3a-3),可得:E 的坐标为2715204⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：2715204⎛⎫ ⎪⎝⎭，本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征,正方形矩形的性质,熟知在反比例函数的题目中利用设点法找等量关系解方程是解题关键11、(x+2)(x-1)=0【解析】根据因式分解法解一元二次方程的方法，可得方程为(x+2)(x-1)=0.12、3【解析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等求解即可．【详解】解：∵OC 平分∠AOB ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PE ＝PD ＝3cm ．故答案为；3本题主要考查了角平分线的定义，角平分线上的点到角的两边的距离相等，熟记性质是解题的关键．13、1x <-【解析】不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y 1=kx+b 在y 2=x+a 的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．【详解】解：不等式()0kx b x a +-+>的解集是1x <-．故答案为：1x <-．本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）见解析；（2）①60；②.【解析】（1）由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABCD 为平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得四边形ABCD 是菱形.（2）①由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABEC 为平行四边形，再由“邻边相等的平行四边形是菱形”证得四边形ABEC 是菱形，则CA=AD=DC ，此时三角形ADC 为等边三角形，∠ADC=60°；②当∠ADC=90°时，四边形ABCD 为正方形，三角形BCE 为等腰直角三角形，因为BE=4，所以由勾股定理得CE=，DE 2CE ==.【详解】解：（1）证明：∵AC 垂直平分BD ，∴AB=AD ，BF=DF ，∵AB ∥CD,∴∠ABD=∠CDB.∵∠AFB=∠CFD,∴△AFB ≌△CFD （ASA ），∴AB=CD.又∵AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∵AB=AD ，∴平行四边形ABCD 是菱形.（2）①∵由（1）得：四边形ABCD 是菱形，∴AB=CD,AB//CD,∵CE 是CD 的延长线，且CE=CD ，∴由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形ABEC 为平行四边形∵假设四边形ACEB 为菱形，∴AC=CE ∵已知AD=DC ，∴AC=DC=AD,即三角形ADC 为等边三角形，∴060ADC ∠=②∵由（1）得：四边形ABCD 是菱形，且∠ADC=90°∴四边形ABCD 为正方形，三角形BCE 为直角三角形，∵CE=CD ，∴由勾股定理得CE=，DE 2CE ==.本题主要考察特殊四边形的性质，掌握特殊四边形的相关性质是解题的关键.15、见解析学校________________班级____________姓名____________考场____________准考证号…………………………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………………………【解析】先根据已知条件推出AD ∥EF ，再由平行线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠G ，结合已知通过等量代换即可得到∠2=∠3，根据角平分线的定义可知AD 是∠BAC 的平分线．【详解】∵EG ∥AD ，∴∠1=∠2，∠3=∠G ，∵∠G=∠1，∴∠2=∠3.∴AD 平分∠BAC.此题考查平行线的性质，解题关键在于掌握其性质定义.16、27.【解析】过点C 作CD⊥BA，垂足为D．根据平角的定义可得∠DAC=60°，在Rt △ACD 中，根据三角函数可求AD，BD 的长；在Rt △BCD 中，根据勾股定理可求BC 的长．【详解】解:过点C 作CD BA ⊥，垂足为D ∵120A ∠=︒∴60DAC ∠=︒在Rt ACD ∆中cos 2cos601AD AC DAC =⋅∠=⨯︒=sin 2sin60CD AC DAC =⋅∠=⨯︒=∴415BD AB AD =+=+=在Rt BCD ∆中2BC ====本题考查解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．同时考查了勾股定理．17、AE 的长为6.【解析】根据角平分线的性质可得DE=CE ，根据垂直平分线可得AE=BE ，进而得到30A ABE CBE ∠=∠=∠=，设AE x =，则9DE CE x ==-，根据直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半得到关于x 的方程，然后求解方程即可.【详解】解：设AE x =，则9CE x =-，BE 平分ABC ∠，CE CB ⊥，ED AB ⊥，9DE CE x ∴==-，又ED 垂直平分AB ，AE BE ∴=，A ABE CBE ∴∠=∠=∠，在Rt ACB 中，90A ABC ∠+∠=，30A ABE CBE ∴∠=∠=∠=，12DE AE ∴=，即192x x -=，解得6x =.即AE 的长为6.本题主要考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形30°角所对直角边为斜边的一半等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.18、（1）见解析；（2）64；（3）【解析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到，根据垂直的定义证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的判定定理得到，根据三角形的周长公式求出，根据正方形的面积公式计算；（3）作交的延长线于点，证明，得到，，根据勾股定理列方程求出，计算即可．【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，在和中，，，，，即，；（2）解：，，，，的周长为16，，，；（3）过点作交的延长线于点，，，垂直平分，，，，，即，在四边形中，，，，在和中，，，，在中，，，，，在中，设，则，由勾股定理得，解得：，．本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、20【解析】根据菱形的性质，得到AO=3，BO=4，AC ⊥BD ，由勾股定理求出AB ，即可求出周长.【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴116322AO AC ==⨯=，118422BO BD ==⨯=，AC ⊥BD ，∴△ABO 是直角三角形，由勾股定理，得AB ，∴菱形ABCD 的周长是：45=20⨯；故答案为：20.本题考查了菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质进行求解.20、42x y =-⎧⎨=-⎩【解析】直接利用已知图形结合一次函数与二元一次方程组的关系得出答案．【详解】如图所示：根据图中信息可得二元一次方程组{0y ax b kx y +-＝＝的解是：4{2x y --＝＝．故答案为：4{2x y --＝＝．此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，正确利用图形获取正确信息是解题关键．21、1【解析】根据平行四边形的性质，可得出AD ∥BC ，则∠AEB ＝∠CBE ，再由∠ABE ＝∠CBE ，则∠AEB ＝∠ABE ，则AE ＝AB ，从而求出DE ．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠CBE ，∵∠B 的平分线BE 交AD 于点E ，∴∠ABE ＝∠CBE ，∴∠AEB ＝∠ABE ，∴AE ＝AB ，∵AB ＝3，BC ＝5，∴DE ＝AD －AE ＝BC －AB ＝5－3＝1．故答案为1．本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质：对边相等．22、（1，0）．【解析】当y =0时，2230x x --=，解得：x 1=﹣1，x 2=3，故A （﹣1，0），B （3，0），则AB 的中点为：（1，0）．故答案为（1，0）．23、60【解析】根据平行线的性质：两直线平行内错角相等，可得∠BOD=50°，再根据对顶角相等可求出∠2.【详解】解：如图所示：∵直线a ∥b ，∠3=50°，∴∠BOD=50°，又∵∠1=∠BOD+∠2，∠2=∠1-∠BOD=110°-50°=60°.故本题答案为：60.平行线的性质及对顶角相等是本题的考点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（1）54；（2）ABC △不是直角三角形，理由见解析.【解析】（1）在Rt ABD △和Rt ACD 中，利用勾股定理分别求得AB 与AC 的长即可；（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可.【详解】解：()1AD BC ⊥,90ADB ADC ∴∠=∠=.在Rt ABD △和Rt ACD 中，根据勾股定理得222AB AD BD =+，222AC AD CD =+，又12AD =，16BD =，5CD =，20,13AB AC ∴==，ABC C AB AC BC AB AC BD DC ∴=++=+++201316554=+++=；()2ABC △不是直角三角形.理由：20,13,21AB AC BC ===，222AB AC BC ∴+≠，ABC ∴不是直角三角形.本题主要考查勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.25、该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元.【解析】根据题意可以列出相应的方程组，进而求得该酒店豪华间的间数和旺季每间的价格；【详解】设淡季每间的价格为x 元，酒店豪华间有y 间，()102400011400003x y x y ⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝=⎭=+⎩-，解得,60050x y ==⎧⎨⎩，∴x+13x=600+13×600=800，答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于理解题意列出方程组.26、（1）10a 2（2a ﹣3）（2）4(4x+y)(x+4y)【解析】分析：（1）利用提公因式法，找到并提取公因式10a 2即可；（2）利用平方差公式进行因式分解，然后整理化简即可.详解：（1）解：20a 3﹣30a 2=10a 2（2a ﹣3）（2）解：25（x+y ）2﹣9（x ﹣y ）2=[5（x+y ）+3（x ﹣y ）][5（x+y ）﹣3（x ﹣y ）]=（8x+2y ）（2x+8y ）；=4(4x+y)(x+4y).点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.。
龙岗区2022-2023学年第二学期质量监测 数学试题
⻰岗区2022-2023学年九年级第⼆学期质量监测试题数学说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2．全卷共6⻚．考试时间90分钟，满分100分．3．作答选择题1-10，选出每题答案后，⽤2B 铅笔把答题卡上对应题⽬答案标号的信息点框涂⿊．如需改动，⽤橡⽪擦⼲净后，再选涂其它答案．作答⾮选择题11-22，⽤⿊⾊字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案⼀律⽆效．4．考试结束后，请将答题卡交回．第⼀部分选择题⼀、选择题(本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分，每⼩题有四个选项，其中只有⼀个是正确的)1．的绝对值是A ．B ．C ．2D ．2．未来将是⼀个可以预⻅的AI 时代．AI ⼀般指⼈⼯智能，它研究、开发⽤于模拟、延伸和扩展⼈的智能的理论、⽅法、技术及应⽤系统的⼀⻔新的技术科学.下列是世界著名⼈⼯智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形但不是中⼼对称图形的是A B C D3．4⽉28⽇到5⽉4⽇的深圳天⽓如下图所示，其中最低⽓温的分别为22°C ，20°C ，21°C ，22°C ，24°C ，24°C ，24°C ，这最低⽓温这组数据中的众数是A ．22°CB ．20°C C ．21°CD ．24°C4．⼀个直尺和⼀个含45°的直⻆三⻆板按如图⽅式叠合在⼀起（三⻆板的两个顶点分别在直尺的边上），若∠1=20°，则∠2的度数是A ．20°B ．65°C ．70°D ．75°第4题图第3题图第8题图第10题图5．2023年3⽉9⽇消息，市场研究机构Counterpoint 发布了最新全球电动汽⻋市场报告，2022年总计销量超1020万辆，⽐亚迪、特斯拉和⼤众集团位列排⾏榜前三．中国、德国和美国已经成为全球新三⼤电动⻋市场．将1020万⽤科学记数法表示正确的是A ．0.102×108B ．1.02×107C ．10.2×107D ．102×1046．下列整式运算正确的是A ．6a +4b ＝10abB ．a 2b 3÷a ＝b 3C ．D ．a 3•a 4＝a 77．已知不等式组，其解集在数轴上表示正确的是A B C D8．港珠澳⼤桥是世界上最⻓的跨海⼤桥，被誉为“现代世界七⼤奇迹”的超级⼯程，它是我国从桥梁⼤国⾛向桥梁强国的⾥程碑之作．港珠澳⼤桥主桥为三座⼤跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取⾃“⻛帆”，寓意“扬帆起航”．某校九年学⽣为了测量该主塔的⾼度，站在B 处看塔顶A ，仰⻆为60°，然后向后⾛160⽶（BC =160⽶），到达C 处，此时看塔顶A ，仰⻆为30°，则该主塔的⾼度是A ．80⽶B ．⽶C ．160⽶D ．⽶9．杨辉是世界上第⼀个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家，他与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四⼤家”．他所著《⽥亩⽐类乘除算法》（1275年）提出这样⼀个问题：“直⽥积（矩形⾯积）⼋百六⼗四步（平⽅步），只云阔（宽）不及⻓⼀⼗⼆步（宽⽐⻓少⼀⼗⼆步）．问阔（宽）及⻓各⼏步．”设阔（宽）为x 步，则可列⽅程为A ．B ．C ．D ．10．如图，在菱形ABCD 中，AD =5，tan B =2，E 是AB 上⼀点，将菱形ABCD 沿DE 折叠，使B 、C 的对应点分别是B'、C'，当∠BEB'=90°时，则点C'到BC 的距离是A ．B ．C ．6D．第⼆部分⾮选择题⼆、填空题(本⼤题共5⼩题，每⼩题3分，共15分)11．因式分解：=▲．12．2022年10⽉12⽇，“天宫课堂”第三课在中国空间站正式开讲．神⾈⼗四号航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲作为“太空教师”，为⼴⼤⻘少年带来了⼀堂精彩绝伦的太空科普课，点燃了⽆数⻘少年⼼中的科学梦想．深圳某学校组织了⾸届“航天梦报国情”演讲⽐赛，共4名选⼿进⼊决赛．⽐赛规定，以抽签⽅式决定决赛选⼿的出场顺序，主持⼈将出场顺序的数字1，2，3，4分别写在4张同样卡⽚的正⾯，背⾯朝上，选⼿⼩星第⼀个抽，恰好抽到“数字2”的概率是▲．13．如图，BC 与⊙O 相切于点C ，BO 的延⻓线交⊙O 于点A ，连接AC ，若∠B =40°，则∠A =▲．第13题第15题14．如图，四边形OABC是⾯积为4的菱形，∠ABC =60°，点C 在y 轴正半轴上，若反⽐例函数的图象经过点B ，则k =▲．15．如图，在□ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是AD 上的⼀点，∠ABF=∠FBE=∠CBE ，延⻓BF 交CD 的延⻓线于点G ，若GF =8，BF =10，则CE =▲．三、解答题(本题共7⼩题，共55分)16.（5分）计算：．17.（7分）先化简，再求值：，其中x =3．18.（8分）⻘少年体重指数（BMI ）是评价⻘少年营养状况、肥胖的⼀种衡量⽅式，其中体重指数BMI 计算公式：BMI (kg/m 2)，G 表示体重(kg)，h 表示身⾼(m)，《国家学⽣体质健康标准》将学⽣体重指数(BMI)分成四个等级（如下表）．等级偏瘦（A ）标准（B ）超重（C ）肥胖（D ）男BMI ≤15.715.7<BMI ≤22.522.5<BMI ≤25.4BMI>25.4⼥BMI ≤15.415.4<BMI ≤22.222.2<BMI ≤24.8BMI>24.8深圳市某中学调查⼩组为了解本校学⽣体重指数分布情况，进⾏了相应数据的收集、整理、描述和分析．性别第14题图【数据收集】调查⼩组从本校学⽣中随机抽取部分学⽣进⾏问卷调查，并收集数据.【数据整理】根据整理的数据绘制以下两幅不完整的统计图.【问题解决】请根据以上信息，解决下列问题：（1）根据统计表的信息，本次调查的样本容量是▲；（2）请补全条形统计图；（3）所调查的男⽣体重指数（BMI ）的中位数落在▲等级；（只填字⺟）（4）每年5⽉11⽇是世界防治肥胖⽇，若该校共2000名学⽣，请你估计全校体重指标为“肥胖”的学⽣⼈数约为多少⼈？请对该校学⽣体重情况作出评价，并提出合理化建议．19.（7分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的⼀点．（1）实践与操作：在上求作点P，使得P 为的中点；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字⺟）（2）推理与计算：在（1）的条件下，连接AP ，AC ，若AP =，AC =6，求⊙O 的半径．20.（8分）中国是茶的故乡，中国茶⽂化博⼤精深，源远流⻓．某校为让学⽣学习茶道⽂化，感受茶艺的魅⼒，弘扬并传承⺠族⽂化拟开设“茶艺社团”，现需采购A 、B 两种不同的茶具.已知B 种茶具每套的采购价是A 种茶具的倍，且⽤3000元采购A 种茶具的数量⽐⽤3000元采购B 种茶具的数量的多10套．（1）A 、B 两种茶具每套采购价分别为多少元？（2）若学校需要采购A 、B 两种茶具共80套，供货商对B 种茶具按采购价的⼋折进⾏供货，总费⽤不超过6240元，则学校最少购进A 种茶具多少套？男、⼥⽣体重指数（BMI ）等级的⼈数分布情况所有调查学⽣体重指数（BMI ）等级⼈数占⽐情况21.（10分）深圳地铁16号线（Shenzhen Metro Line16），⼜称“深圳地铁⻰坪线”，是深圳市境内第16条建成运营的地铁线路，于2022年12⽉28⽇开通运营⼀期⼯程（⼤运站⾄⽥⼼站）．数学⼩组成员了解到16号线地铁进⼊某站时在距离停⻋线400⽶处开始减速.他们想了解地铁从减速开始，经过多少秒在停⻋线处停下？为解决这⼀问题，数学⼩组建⽴函数模型来描述地铁列⻋⻋头离停⻋线的距离s（⽶）与时间t（秒）的函数关系，再应⽤该函数解决相应问题．（1）【建⽴模型】①收集数据：t（秒）0481216202428…s（⽶）4003242561961441006436…②绘制图象：在平⾯直⻆坐标系中描出所收集数据对应的点，并⽤光滑的曲线依次连接．③猜想模型：观察这条曲线的形状，它可能是▲函数的图象．（请填写选项）A．⼀次B．⼆次C．反⽐例④求解析式：请根据表格的数据，求出s关于t的解析式（⾃变量t的取值范围不作要求）．⑤验证结论：将数据中的其余⼏对值代⼊所求的解析式，发现它们▲满⾜该函数解析式．（填“都”或“不都”）（2）【问题解决】地铁从减速开始，经过▲秒在停⻋线处停下．（3）【拓展应⽤】已知16号地铁列⻋在该地铁站经历的过程如下：进站：⻋头从进站那⼀刻起到停⻋线处停下，⽤时24秒；停靠：列⻋停靠时⻓为40秒（即列⻋停稳到再次启动停留的时间为40秒）；出站：列⻋再次启动到列⻋⻋头刚好出站，⽤时5秒．数学⼩组经计算得知，在地铁列⻋出站过程中，列⻋⻋头离停⻋线的距离s（⽶）与时间t（秒）的函数关系变为，请结合函数图象，求出该地铁站的⻓度是▲⽶．图3图2（图3备⽤图）图122．（10分）（1）如图1，在正⽅形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、BC 边上的点且BE =BF ，延⻓AB ⾄G 使得BG=BC ，延⻓GF 交CE 于点H ，求证：GH ⊥CE ；（2）如图2，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，将△ABC 绕点B 顺时针旋转⾄△EBF ，且点E 落在AC 上，求的值；（3）如图3，在四边形ABCD 中，∠BAD +∠BCD =90°，BC =6，CD =，，连接AC ，BD ，当△ABD 是以BD 为腰的等腰三⻆形时，直接写出AC的值．。
广东深圳龙岗区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题(解析版)
2024-2025学年第一学期学科素养期中诊断九年级数学（第一章~第五章）一、选择题1. 【答案】A【详解】这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同． 故选：A ．2.【答案】C【详解】解：∵一元二次方程2100x bx +−=的的一个根为2， ∴222100b +−=，∴3b =．故选：C3. 【答案】C【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，对角线AC ，BD 交于点O ， ∴OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵AOB ∠是AOD 外角，∴250AOD OAD ODA ∠=∠+∠=∠=°，∴25ADB ∠=°，故选：C ．4. 【答案】B【详解】解：由图可知，A 点在直尺的0刻度上，点B 在直尺的3刻度上，直尺的5刻度表示的数为8，图中的两条线段相互平行，∵点A 在数轴上表示的数是2,−设点B 在数轴上表示的数为x ， ()853,230x x −−∴=−−−即24324,x x −=+ 解得：4,x =即点B 在数轴上表示的数为4，故选：B ．的5.【答案】B)0.618≈的矩形称为黄金矩形，帕提侬神庙平面图的长约为30米，∴它的宽约为：300.61818.54×=（米）， 故选：B ．6. 【答案】D【详解】解：如图，由“七巧板”地砖的特点设AB BC CD DE a ====，AC FC ⊥，2AC FC CE a ===， ∴4号地砖的面积为2a ，整个正方形的面积为2112242822AE CF a a a ×⋅=×××=， ∴小球停在418=， 故选D7.【答案】A【详解】解： ABC 与DEF 是位似图形，点O 是位似中心， ABC DEF ∴ ∽，2OA AD =，23AB OA OA DE OD OA AD ∴===+，即23ABC DEFC C = ， ∴当ABC 的周长为4时，DEF 的周长为6，故选：A ．8. 【答案】C【详解】解：方程23100x x −−=，即()310x x −=的拼图如图：中间小正方形的边长为：()33x x −−=，其面积为：339×=，大正方形的面积为：()()23439410949x x x x +−=−+=×+=，其边长为7， 因此，C 选项所表示的图形符合题意，故选：C ． 二、填空题9. 【答案】12##0.5 【详解】解：∵23a b =， 设2a k =，则3b k =， ∴32122b ak k a k −−==， 故答案为：12． 10. 【答案】72【详解】解：由图（b ）可得频率稳定在0.2，即转盘中优胜的概率为0.2， ∴转盘中优胜奖区域的圆心角近似为3600.272°×=°，故答案为：72 ．11. 【答案】k ＜1．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=2241k 0−××>，解得：k 1<，故答案为k 1<.12. 【答案】14【详解】解：如图所示，连接CCCC ，∵20mm AM BN ==，15mm CMDN ==，8mm MN =， ∴AM CM BN ND +=+，即AC BD =， ∴AM BN AC BD=，A A ∠=∠， ∴AMN ACD ∽， ∴AM MN AC CD=， ∵201535AC AM CM mm =+=+=， ∴·3581420AC MN CD mm AM ×===， 故答案为：14 ．13. 【详解】解：延长EC ′，交BA 的延长线于点G ，如图：∵四边形ABCE 是正方形，∴90ABC C ∠=∠=°，DC AB ∥，DC BC =，∵30CBE ∠=°，∴9060GBE CBE ∠=°−∠=°，9060CEB CBE ∠=°−∠=° 由折叠可得：60GEB CEB ∠=∠=°，∴180180606060G GBE GEB ∠=°−∠−∠=°−°−°=°， ∴EGB 是等边三角形，∴BG BE =，在Rt BCE 中， 30CBE ∠=°，设CE x =，则2BE x =，BC =，∴2BG BE x ==，DC BC ==， ∵DC AB ∥，即DE GB ∥，∴DEF BGF ∠=∠，FED FGB ∠=∠，∴DEF BGF ∽，∴DFDE DC CE BF GB GB −===，三、解答题14.【答案】（1）10x =，22x =−； （2）123x =，217x =−．【解析】【小问1详解】解：220x x +=，∴()20x x +=， ∴0x =或20x +=， 解得：10x =，22x =−；【小问2详解】解：263910x x −−=，∴26391x x =−，∴222633913x x =+−+，∴()23400x −=，∴320x −=±，∴320x −=或320x −=−，解得：123x =，217x =−．15. 【答案】（1）14 （2）916【解析】【小问1详解】 解：小云随机从中抽取一张卡片，抽到“Al ”的概率为14， 故答案为：14； 【小问2详解】解：用A B C D 、、、分别表示Mg 、Al 、Zn 、Cu ，画树状图如下：由树状图可知，共有16中等结果，其中小云和小南抽到的金属均能置换出氢气的结果有9种， ∴小云和小南抽到金属均能置换出氢气的概率为916． 16. 【答案】（1）①，证明见解析； （2）四边形ABCF 的面积S 为18．【解析】小问1详解】证明：选①，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，∴ABE DFE ∠=∠，∵E 是AD 边的中点，∴AE DE =，在ABE 和DFE △中，ABE DFE AEB DEF AE DE ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AAS ABE DFE ≌，∴AB DF =，∵AB DF ∥，AB DF =，∴四边形ABDF 是平行四边形，的【∵=90BDC ∠°，∴90BDF ∠=°，∴四边形ABDF 是矩形．【小问2详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD =，5,BCAD == ∵AB DF =，3,DF CD AB ∴===336CF DF CD ∴=+=+=，90,5,3BDC BC AD CD ∠=°=== ，4,BD ∴===,AB CF ∥()()114361822S BD AB CF ∴=+=××+=， ∴四边形ABCF 的面积S 为18．17. 【答案】（1）这个降价率为10% （2）甲商品在原售价的基础上应降价5元【解析】【小问1详解】解：甲商品两次调价的降价率相同，这个降价率为x ， ∴()240132.4x −=，整理得，10.9x −=±， ∴10.110%x ==，21.9190%x ==（不符合题意，舍去）， ∴这个降价率为10%；【小问2详解】解：∵甲商品每降价1元时，每月可多销售10件， ∴设甲商品每降价a 元，则每月可多销售10a 件， ∴降价后每件的利润为()402020a a −−=−（元），此时的销售量为()10010a +件， ∴()()20100102250a a −+=，整理得，210250a a −+=，解得，125a a ==，∴甲商品在原售价的基础上应降价5元．18. 【答案】（1）25.5m ；（2）GH 的长不变，120m 17GH =；（3）头顶距离地面的最大高度为2m 【解析】【详解】解：（1）根据题意可得：EF CD ， GFE GDC ∴ ∽，EF EG CD CG∴=， 4.5m, 1.5m,10m EG EF CD === ， ∴1.5 4.510CG=， 解得：30CG =∴()30 4.525.5m EC =−=∴此时小明到电线杆CD 的距离EC 为25.5m ； （2）GH 的长不变，连接GH ，如图所示：根据题意可知：EF AB ∥，EF CD ∥， HEF HAB ∴△∽△， ∴EF EH AB AH=， 根据解析（1）可知：EF EG CD CG =， ∵AB CD =， ∴EH EG AH CG=，即AH CG EH EG=， ∴EH AE EG CE EH EG++=， ∴11AE CE EH EG +=+， ∴AE CE EH EG=， ∵AEC GEH ∠=∠，∴GHE CAE ∽， ∴AC CE GH EG=， ∴102011 1.53AC CE CE EG CG CD GH EG EG EG EF ++=+=====， ∴2017133AC GH=−=， ∴()3312040m 171717GH AC ==×=； （3）同（2）可得GHE CAE ∽ ∴AC CE GH EG=， ∴11AC CE CE EG CG CD GH EG EG EG EF++=+===， 即1AC CD GH EF +=，∵10m,25.5m,40m GH CE AC ===，∴4010110EF+=， 解得：2EF =，∴此时小明头顶离地面的最大高度2m ．19. 【答案】（1）27120x x −+=；（2）33x =，44x =；（3）互为倒数；（4）4x =证明见解析；（5）10x =，22025x =．【详解】解：（1）依题意可得： 一元二次方程212710x x −+=的“友好方程”是27120x x −+=， 故答案为：27120x x −+=； （2）27120x x −+=，∴()()340x x −−=， 解得：33x =，44x =； （3）（4）∵240b ac ∆=−≥时，∴方程20ax bx c ++=的两根为1=2x = 方程20cx bx a ++=的两根为3x =4x =，∴14x x ⋅==()2244b b acac −−=2244b b ac ac−+= 1=，同理：23x x ⋅==()2244b b acac −−=2244b b ac ac−+= 1=，∴方程20ax bx c ++=的两根1x ，2x 与其“友好方程”20cx bx a ++=的两根3x ，4x 之间存在的一种特殊关系为互为倒数，故答案为：互为倒数，4x =； （5）∵关于x 的方程220240x bx c +−=的两根是11x =−，212024x =， ∴方程220240x bx c +−=的“友好方程”220240cx bx −++=，即220240cx bx −−=的两根为11x =−，22024x =，设1y x =−∴()212024c x bx b −−+=，即()()21120240c x b x −−−−=可化为： 220240cy by −−=，∴11y =−，22024y =，∴11x −=−或12024x −=，解得：10x =，22025x =．20. 【答案】（1）[特例感知]AE BF =（2）[深入探究]思路一：AE BF =，证明见详解；思路二：AE BF =，证明见详解（3）[例比迁移]32AE BF =（4）[联系拓广]BE的长为43 【详解】解：（1）[特例感知]∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AB BC CD AD ABC BCD CDA DAB ===∠=∠=∠=∠=°， 当APB D ∠=∠时，即90APB ∠=°， ∴AE BF ⊥，∴90BAP ABP ABP CBF ∠+∠=∠+∠=°，∴BAE CBF ∠=∠，在Rt ABE 和Rt BCF 中，90ABE BCF AB BCBAE CBF ∠=∠=° = ∠=∠， ∴()ABE BCF SAS ≌，∴AE BF =，故答案为：AE BF =；（2）[深入探究]思路一：∵四边形ABCD 是菱形，∴,,AB BC CD AD ABC ADC BAD BCD ===∠=∠∠=∠，,AB CD AD BC ， 当APB D ∠=∠时，APB ABC ∠=∠， ∵APB ∠是三角形BEP ∴APB BEP EBP ∠=∠+∠，∵EBP PBA ABC ∠+∠=∠，∴ABP BEP ∠=∠，∵AB CD ，∴ABP CFB ∠=∠，∴BEP CFB ∠=∠，如图，在BC 边上取一点M 使AM AB =，则AM BC =， ∴ABM AMB ∠=∠，∵AB CD ，∴180ABC C ∠+∠=°，∵180AMB AME ∠+∠=°，∴AME C ∠=∠，在AME 和BCF 中，AME C AEM BFC AM BC ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()AME BCF AAS ≌，∴AE BF =；思路二：由思路一可得AEB ABP CFB ∠=∠=∠，在CB 的延长线上取一点N 使，AN AE =，∴N AEB ∠=∠，∴N CFB ∠=∠，∵180ABN ABC ABC C ∠+∠=∠+∠=°，∴ABN C ∠=∠，在ABN 和BCF 中，ABN C N BFC AB BC ∠=∠ ∠=∠ =， ∴()ABN BCF AAS ≌，∴AE BF =；（3）[例比迁移]如图所示，连接BBCC 交AE 于点M ，∵四边形ABCD 是菱形，∴,ABBC CD AD AD BC === ， ∵60APB C ∠=∠=°，∴BCD 是等边三角形，120ABC ∠=°，∴60CBD ABD C ∠=∠=°=∠，∵120ABP BAP ABP EBP ∠+∠=∠+∠=°，∴BAE EBP ∠=∠，在ABM 和BCF 中，BAM CBF AB BCABM C ∠=∠ = ∠=， ∴()ABM BCF ASA ≌，∴BF AM =，∵AB BC ，∴BEM DAM ∽， ∴BE ME AD MA=， ∵E 为BC 的中点，AD BC =， ∴12ME MA =， ∴23MA AE =，即32AE AM =， ∵AM BF =， ∴32AE BF =； （4）[联系拓广]第一种情况，直线AE 与直线BF 所夹的锐角60APF ∠=°时，如图所示，连接AC ，过点A 作AN CB ⊥延长线于点N ，∵四边形ABCD 是平行四边形，60BCD ∠=°，∴AB CD ，4,3ABCD AD BC ====， ∴60ABN ∠=°，∴30BAN ∠=°，在Rt ABN 中，4AB =，∴114222BN AB ==×=，AN =， ∵点F 是CCCC 的中点， ∴114222CF DF CD ===×=， 过点F 作FK BC ⊥于点K ，60BCD ∠=°，在Rt CFK 中，30CFK ∠=°，∴112122CK CF ==×=，FK =，∴312BK BC CK =−=−=，在Rt BFK 中，BF ∵60HPF FCB ∠=∠=°，HFP CFB ∠=∠，∴HFP BFC ∽，∴HFHP FP BFBC FC ==， ∴23FP CF FH CB ==， 设2,3FP x FH x ==， ∵HF AB ，∴PFH PBA ∽，∴HF PF AB PC=，∵2PC PF FC x =+=+，∴34x =，解得，x =∴33HF x =，∴2DH DF HF =−，则2CH CF HF =+， ∵AD CE ，∴ADH ECH ∽，∴AD DH EC CH=，∴·AD CH CE DH ==，∴3BE BC CE =+ 第二种情况，直线AE 与直线BF 所夹的锐角60APB ∠=°时，如图所示，连接AC 交BF 与点R ，由第一种情况可得，114222BN AB ==×=，AN =，BF =， ∴235NC BN BC =+=+=，在Rt ANC中，AC =， ∵AB CF ，∴CFR ABR ∽，∴12CFCR AB AR ==，∴2233AR AC ==×， ∵60P BCD ∠=∠=°，EBP FBC ∠=∠，∴EBP FBC ∽，∴EBEP BP FB FC BC ==，∴EB FB PB CB ==， ∴设,3EB BP m =，∵60,ABE P BAE PAB ∠=∠=°∠=∠，∴ABE APB ∽， ∴ABAE BE AP AB PB ==，∴44AE AP ==，解得，AE =在Rt ANE 中，23NE ===， ∴24233BE BN NE =−=−=；综上所述，BE 的长为43。