回归分析
回归分析概述
2002 2420 4950 11495 16445 19305 23870 25025 21450 21285 15510
•
由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的
消费支出不完全相同；但由于调查的完备性，给定收入水平X
• 解释变量（Explanatory Variable）或自变量
（Independent Variable）。
• 回归分析构成计量经济学的方法论基础，其 主要内容包括：
– （1）根据样本观察值对经济计量模型参数 进行估计，求得回归方程；
– （2）对回归方程、参数估计值进行显著性 检验；
– （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
统计依赖关系
正相关 线性相关 不相关 相关系数：
负相关 1 XY 1
正相关 非线性相关 不相关
负相关
有因果关系 回归分析 无因果关系 相关分析
• 注意 ①不线性相关并不意味着不相关。
②有相关关系并不意味着一定有因果关系。
③回归分析/相关分析研究一个变量对另一个 （些）变量的统计依赖关系，但它们并不意 味着一定有因果关系。
共计
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元）
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629
回归分析及其应用
回归分析及其应用数据分析是现代社会的重要组成部分，它可以帮助我们更好地理解问题，并提出更有针对性的解决方案。
回归分析是数据分析中最常用的一种方法之一，本文将介绍回归分析以及其在实际应用中的具体操作。
一、回归分析的概念回归分析是指利用统计方法来描述两个或多个变量之间相互关系的一种方法。
在回归分析中，通常将一个变量称为自变量，另一个变量称为因变量。
回归分析的目的是通过对自变量和因变量之间关系的研究来对未来的变量值进行预测。
二、回归分析的原理回归分析的基本原理是确定两个或多个变量之间的函数关系。
这个关系可以用一种数学函数形式来表示，如线性模型: y = a + bx （其中a和b是常数，y是因变量，x是自变量）。
通过拟合这一函数，我们可以得到自变量和因变量之间的关系，并预测未来的变量值。
三、回归分析的应用在实际应用中，回归分析具有广泛的应用领域。
以下是回归分析的几个经典案例：1.金融预测：利用回归分析，通过研究过去的数据来预测未来的股票价格波动。
2.销售预测：通过回归分析确定销售量与价格、市场份额、广告支出等自变量之间的关系，根据这个模型来预测未来的销售量。
3.人力资源管理：回归分析可以用于确定员工绩效与工资、教育水平、经验等自变量之间的关系，这有助于优化人力资源管理。
4.医疗研究：在医药领域，回归分析可以用于确定疾病与基因、年龄、性别等自变量之间的关系，从而为疾病的预防和治疗提供依据。
四、回归分析的步骤回归分析的具体步骤可以分为以下几个：1.确定研究问题在进行回归分析之前，需要明确研究问题，了解自变量与因变量之间的关系。
2.收集数据收集有关自变量和因变量之间关系的数据。
3.数据预处理对数据进行清洗、缺失值处理、异常值检测等预处理操作。
4.模型选择根据数据的特点，选择适合的回归模型。
5.模型拟合对收集到的数据进行回归分析，得到模型的系数以及相关的统计指标。
6.模型诊断对回归分析结果进行研究并进行模型诊断，确定模型是否合理。
统计学中的回归分析
统计学中的回归分析在统计学中，回归分析是一种重要的数据分析方法。
它用于探索自变量与因变量之间的关系，帮助我们理解变量之间的相互作用以及预测未来的趋势。
本文将介绍回归分析的基本概念、原理和应用。
一、回归分析的基本概念回归分析是通过建立数学模型来描述自变量与因变量之间的关系。
自变量是我们在问题中感兴趣的变量，而因变量是我们想要预测或解释的变量。
回归分析可以帮助我们确定自变量如何影响因变量，并找到最佳的拟合曲线或平面来描述这种关系。
回归分析的基本假设是，自变量与因变量之间存在线性关系，并且观测误差服从正态分布。
基于这个假设，我们可以使用最小二乘法来拟合回归模型，使得观测值与预测值之间的残差平方和最小化。
二、回归分析的原理1. 简单线性回归简单线性回归是最基本的回归分析方法，用于研究只包含一个自变量和一个因变量的情况。
我们可以通过绘制散点图来观察两个变量之间的关系，并使用最小二乘法拟合一条直线来描述这种关系。
2. 多元线性回归多元线性回归适用于包含多个自变量和一个因变量的情况。
通过拟合一个多元线性模型，我们可以同时考虑多个自变量对因变量的影响，并研究它们之间的相互作用。
3. 非线性回归非线性回归用于描述自变量与因变量之间的非线性关系。
在这种情况下，我们可以根据问题的特点选择适当的非线性回归模型，并使用最小二乘法进行参数估计。
三、回归分析的应用回归分析在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用示例：1. 经济学中的回归分析经济学家常常使用回归分析来研究经济现象。
例如，他们可以通过回归分析来研究GDP与各种经济指标之间的关系，以及利率、通胀率等因素对经济增长的影响。
2. 医学研究中的回归分析医学研究中的回归分析可以用于探索治疗方法与患者恢复速度之间的关系。
通过收集患者的相关数据，如年龄、性别、治疗时间等，可以建立多元线性回归模型来预测患者的康复时间。
3. 市场营销中的回归分析市场营销人员可以利用回归分析来确定产品价格与销量之间的关系。
回归分析法
1
§5－1 一元线性回归
一、什么叫回归分析
（一）两种不同类型的变量关系、函数与相关
简单的说，回归分析就是一种处理变量与变量之间关系的 数学方法。 例：自由落体运动中，物体下落的距离S与所需时间t之间，有 如下关系
S
1 2 gt 2
(0 t T )
2
变量S的值随t而定，这就是说，如果t给了固定值， 那么S的值就完全确定了 这种关系就是所谓的函数关系或确定性关系
（二）相关系数检验法
由U ( yi y ) U [(a bxi ) (a b x )]2
2 i=1 N i=1 N ^ _ N _
b ( xi x) 2
2 i=1
_
代入 Lyy [( yi yi ) ( yi y )]2整理后可得
i=1
23
相关系数临界值表 n-2 0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.01
1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708
n-2 0.05
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.01
0.684 0.661 0.641 0.623 0.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537
6
设y* a bx是平面上的一条任意直线，(xi , yi )(i 1,2, ..., N )是变量x，y的一组观测数据。 那么，对于每一个xi，在直线y* a bx上确可以确定一 个yi a bxi的值，yi 与xi处实际观测值yi的差： yi yi yi (a bx) 就刻画了yi与直线偏离度
回归分析
回归分析1、回归分析的概念在工农业生产和科学研究中，常常需要研究变量之间的关系。
变量之间的关系可以分为两类：确定性关系、非确定性关系。
确定性关系就是指存在某种函数关系。
然而，更常见的变量之间的关系存在着某种不确定性。
例如：商品的销售量与当地人口有关，人口越多，销售量越大，但它们之间并没有确定性的数值关系，同样的人口，可能有不同的销售量。
这种既有关联，又不存在确定性数值关系的相互关系，就称为相关关系。
回归分析就是研究变量之间相关关系的一种数理统计分析方法。
在回归分析中，主要研究以下几个问题： (1)拟合：建立变量之间有效的经验函数关系； (2)变量选择：在一批变量中确定哪些变量对因变量有显著影响，哪些没有实质影响； (3)估计与检验：估计回归模型中的未知参数，并且对模型提出的各种假设进行推断； (4)预测：给定某个自变量，预测因变量的值或范围。
根据自变量个数和经验函数形式的不同，回归分析可以分为许多类别。
2、一元线性回归⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 一元线性回归模型给定一组数据点(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，如果通过散点图可以观察出变量间大致存在线性函数关系，则可以建立如下模型：其中a,b 称为一元线性回归的回归系数；ε表示回归值与测量值之间的误差。
针对该模型，需要解决以下问题： (1)如何估计参数a,b 以及σ2； (2)模型的假设是否正确？(3)如何应用所求的回归方程对试验指标进行预测。
⏹ 回归系数的最小二乘估计已知(x1, y1),(x2 ,y2),...,(xn, yn)，代入回归模型得到： 采用最小二乘法（即使观测值与回归值的离差平方和最小）：⎩⎨⎧++=),0(~2σεεN bX a Y 2,~(0,),1,2,...,i i i i y a bx N i n e e s =++=1221111112111(,)2[()]0min (,)[()](,)2[()]011ˆˆˆn i i n n i i i i n i i i i i i n i i n n i i ii i n n n i i i ii i i Q a b y a bx a Q a b y a bx Q a b x y a bx b a y b x y n n na b x y a x b x x y e ==========ì锒ï=--+=ïï¶ï==-+ íï¶ï=--+=ïï¶ïî=-=-ìïï+=ïïï揶íïï+=ïïïîå邋åå邋邋1111221ˆ1n i n n n i i i ixy i i i nn xxbx x y x y L n b L ====ìïïïïïïïïí-ïï==ïïïå邋⏹ 回归系数估计量的性质⏹ 样本相关系数及其显著性检验显然：样本相关系数R 的符号决定于Lxy ，因此与相关系数b 的符号一致。
回归分析方法总结全面
一、什么是回归分析回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法，其基本组成是一个（或一组）自变量与一个（或一组）因变量。
回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系，即原因对结果的影响程度。
回归分析是指对具有高度相关关系的现象，根据其相关的形态，建立一个适当的数学模型(函数式)，来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。
利用这种方法建立的数学模型称为回归方程，它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。
二、回归分析的种类1.按涉及自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。
多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。
2.按回归方程的表现形式不同，可分为线性回归分析和非线性回归分析若变量之间是线性相关关系，可通过建立直线方程来反映，这种分析叫线性回归分析。
若变量之间是非线性相关关系，可通过建立非线性回归方程来反映，这种分析叫非线性回归分析。
三、回归分析的主要内容1.建立相关关系的数学表达式。
依据现象之间的相关形态，建立适当的数学模型，通过数学模型来反映现象之间的相关关系，从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。
2.依据回归方程进行回归预测。
由于回归方程反映了变量之间的一般性关系，因此当自变量发生变化时，可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。
因变量的回归估计值，虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距)，但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。
3.计算估计标准误差。
通过估计标准误差这一指标，可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性，还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。
四、一元线性回归分析1.一元线性回归分析的特点1)两个变量不是对等关系，必须明确自变量和因变量。
回归分析
1
p
e1
e
e2
en
1 x11
X
1
x12
1 x1n
xp1
xp2
xpn
• 我们得到的是一组实测p个变量的样本，利用这 组样本（n次抽样）对上述回归模型进行估计， 得到的估计方程为多元线性回归方程，记为:
nb0
b
n i 1
xi
n i 1
yi
n
n
n
b0
i 1
xi
b
i 1
xi 2
i 1
xi
yi
（3）
（3）式称为求回归系数的标准方程组。
回归系数也可直接表示为：
b0 y bx
n
b
xi yi nxy
气温T 0.9 1.2 2.2 2.4 -0.5 2.5 -1.1 0 6.2 2.7 3.2 -1.1 2.5 1.2 1.8 0.6 2.4 2.5 1.2 -0.8
环流指标 32 25 20 26 27 24 28 24 15 16 24 30 22 30 24 33 26 20 32 35
气温T
• 方差分析表明，预报量y的变化可以看成由 前期因子x的变化所引起的，同时加上随机 因素e变化的影响，这种前期因子x的变化影 响可以用回归方差的大小来衡量。如果回 归方差大，表明用线性关系解释y与x的关系 比较符合实际情况，回归模型比较好。
(4)式两边同时乘以n变成各变量离差平方和的关系。
什么是回归分析？
什么是回归分析？
回归分析是一种统计学方法，用于探索和建立变量之间的关系。
它主要用于预测一个或多个自变量对因变量的影响。
回归分析可以
确定这些变量之间的线性关系，并利用这些关系进行预测和解释。
在回归分析中，自变量是独立变量，可以通过实验或观察进行
测量。
因变量则是依赖于自变量的变量。
回归分析的目标是通过对
自变量和因变量之间的关系进行建模，来预测和解释因变量的变化。
回归分析可以应用于各种领域和问题，例如经济学、金融学、
社会科学等。
它可以帮助研究人员了解不同变量之间的关系，并使
用这些关系进行预测和决策。
回归分析有多种方法，如简单线性回归、多元线性回归、逻辑
回归等。
每种方法都有自己的假设和计算方法。
研究人员需要根据
具体的问题和数据选择适当的方法进行分析。
总而言之，回归分析是一种重要的统计学工具，可以探索和建
立变量之间的关系，并利用这些关系进行预测和解释。
它在许多领
域中都有广泛的应用，可以帮助研究人员进行深入的数据分析和决策支持。
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概念
• 广义上说，相关分析包括回归分析。相关分析是回归分析 的基础和前提，回归分析则是相关分析的深入和继续。相 关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体 形式，而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数 量变化的相关程度。相关分析常用回归分析来补充，两者 相辅相成。
若通过相关分析显示出变量间关系非常密切，则通 过所建立的回归方程可获得相当准确的取值。
步骤
• (3)进行相关分析
回归分析是对具有因果关系的影响因素（自变量）和预测 对象（因变量）所进行的数理统计分析处理。只有当变量 与因变量确实存在某种关系时，建立的回归方程才有意义 。因此，作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否 有关，相关程度如何，以及判断这种相关程度的把握性多 大，就成为进行回归分析必须要解决的问题。进行相关分 析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变 量和因变量的相关的程度。
相关概念
概念
自由度
• 模型中样本值可以自由变动的个数，称为自由度。 自由度 = 样本个数 — 样本数据受约束条件(方程)的个数 • 例如，样本数据为n，它们受k个方程的约束(系数矩阵秩 为k),那么，自由度df=n-k。
内容
• 回归分析的主要内容为：
①从一组数据出发，确定某些变量之间的定量关系式，即 建立数学模型并估计其中的未知参数。常用方法是最小二 乘法。 ②对这些关系式的可信程度进行检验。 ③在许多自变量共同影响着一个因变量的关系中，判断哪 个（或哪些）自变量的影响是显著的，哪些自变量的影响 是不显著的，将影响显著的自变量选入模型中，而剔除影 响不显著的变量，通常用逐步回归、向前回归和向后回归 等方法。 ④利用所求的关系式对某一生产过程进行预测或控制。
回归分析
2014年6月3日
概念
• 回归分析(regression analysis) ,是一个统计预测模型，用以 描述和评估因变量与一个或多个自变量之间的关系。
• 回归分析是处理多变量间 相关关系 的一种数学方法。通 常在统计上研究相关关系可以运用回归分析和相关分析。 • 区分：相关关系和函数关系 相关关系：表现出一定程度的波动性或随机性，对自变量 的每一取值，因变量可以有多个数值与之相对应。 函数关系：反映变量间的严格依存性。当一个或几个自变 量取一定的值时，因变量有确定值与之相对应。
步骤
• (1)确定变量
明确预测的具体目标，也就确定了因变量。如预测具体目 标是下一年度的销售量，那么销售量Y就是因变量。通过 市场调查和查阅资料，寻找与预测目标的相关影响因素， 即自变量，并从中选出主要的影响因素。 • (2)建立预测模型
依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础 上建立回归分析方程，即回归分析预测模型。
概念
• 辨析：回归分析和相关分析
回归分析：当自变量为非随机变量、因变量为随机变量时 ，分析它们的关系称回归分析。回归分析可以建立回归方 程，来反映自变量在固定条件下因变量的平均状态变化情 况。 相关分析：当两者都是随机变量时，称为相关分析。相关 分析是以某一指标来度量回归方程所描述的各个变量间关 系的密切程度。
倒数变换是用新的变量来替换原模型中变量的倒数，从而 使原模型变成线性模型的一种方法。
• 半对数变换
这种方法主要应用于对数函数模型的线性变换。 • 双对数变换 这种方法通过用新变量替换原模型中变量的对数，从而使 原模型变换为线性模型。 • 多项式变换 这种方法适用于多项式方程的变换。
例题
• 一元线性回归分析： (1)提出问题：对某市城镇居 民年人均可支配收入X，研 究它与年人均消费性支出Y 之间的关系。
例题
(2)建立模型：消费性支出除受可支配收入的影响之外，还受 到其它变量及随机因素的影响，将其它变量及随机因素的 影响均归并到随机变量ε中； 根据X与Y的样本数据，可做二者的散点图：
例题
可知，二者变化趋势是线性的，由此建立两者之间的一元 线性回归模型
Y= β0 + β1X + εi
模型的假设条件：
（1）随机误差项εi是随机变量，服从正态分布，且E(εi)=0， D(εi)=σε 2；满足这些条件，可根据高斯—马尔科夫定理，最小
二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。也就 是说，我们不需要再去寻找其它无偏估计量，估计量 （2）Cov(εi,εj )=0， i≠j,即随机误差项 ε 无序列相关； 的方差最多与普通最小二乘估计量的方差一样小，不 会比它更小。 （3）解释变量 X 与随机项 ε 不相关，即 Cov(计量：数学期望等于被估计的量的统计估计 量。
例题
(3)估计结果：由样本观测数据，样本回归模型为
Y=β0 + β1X+ε 用最小二乘法求得：(可通过Eviews软件估计一元线性回归模型)
Y=135.31+0.69X
(4)评价模型： 结构分析 β1=0.69是样本回归方程的斜率，它表示该市城镇居民的消 费倾向，说明年人均可支配收入每增加1元，将0.69元用于 消费性支出； β0 =135.31是样本回归方程的截距，表示不
• 拟合优度的检验：主要是运用判定系数和回归标准差，检 验模型对样本观测值的拟合程度。当解释变量为多元时， 要使用调整的拟合优度，以解决变量元素增加对拟合优度 的影响。
概念
拟合优度
• R2=ESS/TSS 其中TSS=ESS+RSS TSS=总离差平方和
ESS=回归平方和
RSS=残差平方和 • R2有一个缺点，即R2随着解释变量个数的增加而增加，无 论增加的解释变量是否有意义，情况总是如此。 • 这是因为R2的定义中没有考虑自由度问题。为了避免这个 现象，需要对决定系数进行自由度调整。
• 有一类模型，其回归参数不是线性的，可以通过转换变为 线性的，或通过转换的方法仍不能变为线性的。这类模型 进行自变量和因变量的分析称为非线性回归分析。
主要的非线性模型
• 抛物线模型 • 对数函数模型
• 双曲线模型
• 逻辑曲线模型
• 幂函数模型
• 多项式模型
• 指数函数模型
非线性模型的线性化
• 倒数变换
例题
下面是1980~1998年Y的样本值及1980~2000年预测值折线图：
①用定性分析判断现象之间的依存关系； ②避免回归预测的任意外推； ③应用合适的数据资料。
分类
• 按照涉及的自变量的多少，可分为一元回归分析和多元回 归分析:
• 如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且 二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一 元线性回归分析。（y=β0x+β1+ε，其中ε为随机扰动项） • 如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量 和自变量之间是线性关系，称为多元线性回归分析。
步骤
• (4)计算预测误差
回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模 型的检验和对预测误差的计算。回归方程只有通过各种检 验，且预测误差较小，才能将回归方程作为预测模型进行 预测。 • (5)确定预测值
利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析 ，确定最后的预测值。
注意问题
• 应用回归预测法时应首先确定变量之间是否存在相关关系 。如果变量之间不存在相关关系，对这些变量应用回归预 测法就会得出错误的结果。 • 正确应用回归分析预测时应注意：
概念
拟合优度
• 拟合优度（Goodness of Fit）是指回归直线对观测值的拟 合程度。拟合优度是回归分析中的一个重要参数。
• 度量拟合优度的统计量是可决系数(亦称确定系数)R2。R2 的取值范围是[0，1]。R2的值越接近1，说明回归直线对观 测值的拟合程度越好；反之，R2的值越接近0，说明回归 直线对观测值的拟合程度越差。
(y=β0+β1x1+β2x2+...+βixi+ε，其中ε为随机扰动项)
分类
• 按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分 析和非线性回归分析:
• 在统计学中，线性回归是利用称为线性回归方程的最小二 乘函数对一个或多个自变量和因变量之间关系进行建模的 一种回归分析。这种函数是一个或多个称为回归系数的模 型参数的线性组合。
例题
受可支配收入影响的自发消费行为。β1和β0 的符号和大小 ，均符合经济理论及目前该市的实际情况。
拟合优度：r2=0.98，说明总离差平方和的98%被样本回 归直线解释，仅2%未被解释。因此样本回归直线对样本点 拟合优度很高。 (5)预测：
分别给出1999年、2000年该市人均可支配收入为 X1999=1763元，X2000=1863元。通过Eviews软件，可得1999 年、2000年该市城镇居民年人均消费性支出预测值分别为 1354.89元和1424.05元。
概念
• 回归关系：具有相关关系的两个变量X和Y，它们之间既存 在着密切的关系，又不能由一个变量的数值精确地求出另 一变量的值。通常选定X = a时Y的数学期望作为对应 X = a 时Y的代表值，因为它反映X = a 条件下Y取值的平均水平。 这样的对应关系称为回归关系。
• 回归方程：根据回归分析可以建立变量间的数学表达式， 称为回归方程。