自成像与莫尔条纹理解光的相位改变
莫尔条纹测试技术 ppt课件

行修正。
• 由图示
• 因此
获得莫尔条 纹图后,应 根据该式进 行坐标修正
x'x d x'
h
l
x
x'
h l
(d
x'
)
y
y'
h l
(d
y')
O
BC
F
αβ
D(x’,y’) P
X
h
E(x,y)
照射型莫尔法几何原理图
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莫尔形貌(等高线)测试技术
• ②投影型莫尔法
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莫尔形貌(等高线)测试技术
• ③莫尔条纹级次与凹凸判断
• 实际测量时条纹的绝对级数不易确定,只能定出条纹的相 对级数。
• 判定凹凸的方法是:
• 当使光栅离开物体时,如果条纹向内收缩,表明该处表面是凸的 ,反之是凹的;
• 照射型中还可通过移动光源来确定凹凸问题,如果光源同接受器 之间的距离d增加,条纹向外扩张,且条纹数增加,则是凸的。
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莫尔条纹技术简介
• 引言:
• 一般来说,任何两组(或多组)有一定排列规律的几何线 族的叠合,均能产生按新规律分布的莫尔条纹图案。
• 1874年英国物理学家瑞利首次将莫尔图案作为一种计测手 段,根据条纹形态来评价光栅尺各线纹间的间隔均匀性, 从而开创了莫尔测试技术。随着光刻技术和光电子技术水 平的提高,莫尔技术获得较快发展,在位移测试、数字控 制、伺服跟踪、运动比较等方面有广泛的应用。
L1 G1 C1 S
• 照射型莫尔法虽然具有测定装置简
ob
L2 G2 C2
应用光栅自成像的编码器莫尔条纹信号提取

Extraction of Moiré Fringe Signal for Photoelectric Encoder Based on Grating Self-imaging
WANG Yu-zhi1, 2,AI Hua1,HAN Xu-dong1
( 1.Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of sciences, Changchun 130033, China; 2. Graduate School of Chinese Academy of sciences, Beijing 100039, China ) Abstract: High quality moiré fringe signal with a large gap between gratings can be obtained by employing grating Fresnel self-imaging for the construction of photoelectric rotary encoder, and the high contrast of moiré fringe remain unchanged, which permits the construction of optical encoder with fine gratings. A theoretical analysis of the Fresnel field observed behind one or two binary amplitude gratings, which was illuminated by a monochromatic plane wave, was presented based on the principle of Fourier optics. A mathematical model of the intensity distribution of Fresnel images and moiré fringe was developed. The theoretical formula was programmed in the MATLAB for convenient graphic calculation results, which analyzed the impact of some parameters such as the gap between gratings on moiré fringe signal. The theoretical analysis is corroborated by experiment. Key words: grating self-imaging; Moiré fringe; Fresnel diffraction; photoelectric encoder
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G1 G1
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(-1,0)
(0,-1)
(0,0)
-1
(1,-1)
0
(0,1) (1,0)
(1,1)
1
(1,2)
G2 双光栅的衍射级
(-1,0) (-1,1) (0,0)
(0,1)
(1,0) f′ G2
衍射光的干涉
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莫尔条纹技术基础
• ②衍射原理
2)衍射光的干涉
由一级组(0,1)和(1,0)两光束相干所形成的光强分布按余 弦规律变化,其条纹方向和宽度与用几何光学原理分析的 结果相同。
• 在莫尔测量技术中用到的光栅自成像现象也是无法用几何 光学原理解释的。
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莫尔条纹技术基础
• ②衍射原理
• 1)光栅副的衍射
如图示
• 2)衍射光的干涉 • 光栅付衍射光有多个方向,每个
方向又有多个光束,它们之间相 互干涉形成的条纹很复杂,行成 不了清晰的莫尔条纹,可以在光 栅付后面加透镜L,在透镜的焦点 处用一光阑只让一个方向的衍射 光通过,滤掉其它方向的光束, 以提高莫尔条纹的质量。 如图示
单纯利用几何光学原理,不可能说明许多在莫尔 测量技术中出现的现象。例如:
• 在使用相位光栅时,这种光栅处处透光,它对入射光波的 作用仅仅是对其相位进行调制,然而,利用相位光栅亦能 产生莫尔条纹,这就不可能用栅线的遮光作用予以说明。
• 当使用细节距光栅时,在普通照明条件下就很容易观察到 彩色衍射条纹。两块细节距光栅叠合形成的莫尔条纹中, 往往会出现暗弱的次级条纹,这些现象必须应用衍射原理 才能解释。
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光闸莫尔条纹
播放中播…放…动画
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莫尔条纹的光学原理

莫尔条纹的光学原理莫尔条纹是一种在光学实验中观察到的干涉现象,它的光学原理与光的波动性以及光的干涉有关。
下面将详细介绍莫尔条纹的光学原理。
光的波动性是理解莫尔条纹的基础。
根据光的波动性,光可以被视为电磁波,它具有一定的频率和波长。
当光通过介质界面时,会发生反射和折射,并且光的波长会在介质中发生改变。
莫尔条纹实验通常在一个反射光源下进行观察,其中的主要元件有一平行板和观察屏。
在莫尔条纹实验中,一束入射光从光源(如激光器)射向一个透明的平行板,平行板的表面可以看作是两个平行的玻璃面,它们之间有一个微小的空气间隙。
当光线垂直入射到平行板上时,根据斯涅耳定律,部分光线将会被反射,另一部分光线则穿过平行板继续向前传播,同时发生折射。
光线在平行板内部传播时,由于光的波长会在介质中发生改变,因此不同路径上的光会有不同的光程。
光程差是产生莫尔条纹的重要因素。
当两束光线经过平行板传播后,在观察屏上会形成明暗相间的条纹,这就是莫尔条纹。
因为光程差的存在,两束光线在观察屏上会产生相位差。
当相位差为整数倍的波长时,两束光线会相干叠加形成明条纹;而当相位差为半波长时,两束光线会相消干涉形成暗条纹。
这种明暗相间的条纹就是莫尔条纹。
具体来说,对于从平行板上的两个不同点出射的光线,光程差可以表示为:ΔL = 2n*dsinθ,其中n是平行板的折射率,d是平行板的厚度,θ是入射角。
当光程差满足ΔL = mλ时,其中m是任意整数,λ是光的波长,两束光线在观察屏上会叠加相干增强形成明条纹;而当光程差满足ΔL = (m+0.5)λ时,两束光线在观察屏上会叠加相消干涉形成暗条纹。
莫尔条纹实验的观察屏上会出现一系列的明暗相间的直线条纹。
这是由于平行板内不同位置处的光程差不同,所以不同位置处会有不同的相位差,从而在观察屏上形成明暗相间的条纹。
莫尔条纹是一种非常重要的干涉现象,它不仅被广泛应用于实验室的光学实验中,还在一些实际应用中得到利用,例如在显微镜、望远镜、天文学观测中都有应用。
莫尔条纹测试技术

D E
C
X
A b)
θ
P W
a)
莫尔条纹的几何关系
莫尔条纹光学放大作用举例
有一直线光栅,每毫米刻线数为50,主光栅与 指示光栅的夹角 =1.8,则: 分辨力 =栅距W =1mm/50=0.02mm=20m (由于栅距很小,因此无法观察光强的变化) 莫尔条纹的宽度是栅距的32倍: L ≈W/θ = 0.02mm/(1.8 *3.14/180 ) = 0.02mm/0.0314 = 0.637mm 由于较大,因此可以用小面积的光电池“观察” 莫尔条纹光强的变化。
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莫尔条纹技术基础
②衍射原理 单纯利用几何光学原理,不可能说明许多在莫尔 测量技术中出现的现象。例如:
• 在使用相位光栅时,这种光栅处处透光,它对入射光波的
作用仅仅是对其相位进行调制,然而,利用相位光栅亦能 产生莫尔条纹,这就不可能用栅线的遮光作用予以说明。 • 当使用细节距光栅时,在普通照明条件下就很容易观察到 彩色衍射条纹。两块细节距光栅叠合形成的莫尔条纹中, 往往会出现暗弱的次级条纹,这些现象必须应用衍射原理 才能解释。 • 在莫尔测量技术中用到的光栅自成像现象也是无法用几何 光学原理解释的。
d L2
G2 B′ C′ a
和ΔBCL2 ∽ΔB′C′L2,故 BC:L1L2 = h1:(h1+l), BC=Pl/a 于是 l Pl
h1 a d Pl a
h2
h1
l
Pl(l f ) h1 fd (l f ) P
投影莫尔法光学系统 与原理图示
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莫尔形貌(等高线)测试技术
•
•
因此
x' x d x' h l
莫尔条纹原理及应用

光学设计实验莫尔条纹原理及应用学生姓名:指导教师:所在学院:物理学院所学专业:物理学中国·长春2014 年6 月一、中文摘要目前,以莫尔条纹技术为基础的光栅线性位移传感器发展十分迅速,光栅长度测量系统的分辨率达到纳米级,测量精度已达 0.1um,已成为位移测量领域各工业化国家竞争的关键技术。
它的应用非常广泛,几乎渗透到社会科学中的各个领域,如机床行业、计量测试部门、航空航天航海、科研教育以及国防等各个行业部门。
本文首先详细阐述了莫尔条纹的形成机理,当计量光栅为粗光栅时,莫尔条纹形成机理用遮光阴影原理解释,当计量光栅为细光栅时,则用衍射干涉原理解释。
然后系统介绍了基于莫尔条纹技术的光电测量仪器的设计原理,它由光栅读数头和对莫尔条纹信号进行处理的电子学部分组成,光栅读数头包括光栅副,光电接收元件,由光源和准直镜组成的照明系统,以及必要的光阑、接收狭缝、调整机构等。
最后提出了基于光栅莫尔条纹干涉计量技术的一种新的应用,即把光栅线性位移传感器应用在数字读数显微镜上,数字读数显微镜包括光学系统、控制与显示系统、CCD 摄像机与显示器四部分,其中,控制与显示系统是设计的核心模块,是基于 FPGA 技术实现的,它包括倍频鉴相模块、可逆计数模块、显示控制和显示接口模块。
经过大量的理论研究和实践测试工作,我们已经把光栅莫尔条纹技术成功地应用在数字读数显微镜上,实现了对被测物体线性位移的精密测量,测量分辨率达到 0.5um,测量精度达到±1um。
设计中用 CCD 摄像头代替目镜可以避免传统的肉眼观察的不便。
关键词:莫尔条纹,光栅读数头,FPGA,数字读数显微镜二、英文摘要At the present time, grating linear movement sensor based on grating Moiré fringe interferometry technology has developed rapidly.Grating movement measurement system has reached the nanometer level resolution, measuring accuracy than 0.1um.It is widely used, almost penetrated into the social sciences in various fields, such as the machine tool industry,test measurement,aerospace navigation,national defense,education and scientific research in all industry sectors.This paper first described in detail the formation mechanism of Moire fringe,when the measurement grating for coarse grating, the moire fringe formation mechanism of the shadow of the principle of using sunscreen to explain, when the measurement grating for fine grating, then explained by diffraction interference principle. And then systematically introduced the principle of design of grating linear movement sensor based on Grating Moire fringe technology, grating linear movement sensor is composed of grating reading-head and Moire fringe signal processing electronics components.Grating reading-head include Grating pair, the lighting system composed of light source, collimation mirror, the essential diaphragm, received slot and adjusted organization, etc. Finally, a new kind of application based on the Moire fringe interferometry technology is proposed, which apply the grating linear movement sensor to the digital reading microscope. The digital reading microscope includes optical system, control and display system,CCD camera and display four parts, among them, it is the key module that is designed to control with the display system, which is based on FPGA technology and mainly concludes four fold-frequency and direction-judgment module,reversible counter module,displaying control module and displaying interface module.After a lot of theoretical research and practical testing,we have already applied grating Moire fringe technology to the digital reading microscope successfully,which has made the accurate measurement of linear displacement of the testee become true, and the measured resolution has reached 0.5um, the measurement accuracy has reached ± 1um. CCD camera instead of eyepiece can avoid the inconvenience of traditional visual observation.Keywords: Moire Fringe, Grating Reading Head, FPGA, Digital Reading Microscope三、正文1、问题提出光栅莫尔条纹技术是一门既古老又现代的测量技术。
形成莫尔条纹的光学原理莫尔条纹通常

二、莫尔条纹莫尔条纹是光栅式传感器工作的基础。
(一)形成莫尔条纹的光学原理莫尔条纹通常是由两块光栅叠加形成的,为了避免摩擦,光栅之间留有间隙,对于栅距较大的振幅光栅,可以忽略光的衍射。
图7-25 为两光栅以很近的距离重叠的情况。
在a-a线上,两光栅的栅线透光部分与透光部分叠加,光线透过透光部分形成亮带;在b-b线上,两光栅透光部分分别另一光栅的不透光部分叠加,互相遮挡,光线透不过形成暗带,这种由光栅重叠形成的光学图案称为莫尔条纹。
长光栅莫尔条纹的周期为式中 W1——标尺光栅(也称主光栅)1的光栅常数;W2——指示光栅2的光栅常数;θ——两光栅栅线的夹角。
莫尔条纹有如下重要特性:1.运动对应关系莫尔条纹的移动量和移动方向与两光栅的相对位移量和位移方向有着严格的对应关系。
在图7-25中,当主光栅向右运动一个栅距W1时,莫尔条纹向下移动一个条纹间距B;如果主光栅1向左运动,莫尔条纹则向上移动。
光栅传感器在测量时,可以根据莫尔条纹的移动量和移动方向判定光栅的位移量和位移的方向。
2.位移放大作用由于两光栅的夹角θ很小,若它们的光栅常数相等,设为W,从式(7-19)可得到如下近似关系(7-20)明显看出,莫尔条纹有放大作用,其放大倍数为1/θ。
所以尽管栅距很小,难以观察到,但莫尔条纹却清晰可见。
这非常有利于布置接收莫尔条纹信号的光电器件。
3.误差平均效应莫尔条纹是由光栅的大量栅线(常为数百条)共同形成的,对光栅的刻划误差有平均作用,在很大程度上消除了栅线的局部缺陷和短周期误差的影响,个别栅线的栅距误差或断线及疵病对莫尔条纹的影响很微小,从而提高了光栅传感器的测量精度。
对于栅距很小(例如W<0.005mm)的光栅,特别是有的相位光栅处处透光,这时莫尔条纹的形成必须用光的衍射理论加以解释。
根据物理光学理论,平行光束透过光栅后,将发生衍射现象,如图7-26所示。
设光栅G1产生了0,±1,±2,…等n级衍射光,光栅G1的衍射光束到达光栅G2时将进一步被衍射,G1的n 级衍射光,其中每一级的衍射光束对光栅G2来说都是一组入射光束,并由光栅G2又衍射成n级衍射光(因为两光栅的W相同,又是单色光),所以从光栅副出射的衍射光束的数目为个。
实验讲义_条纹投影三维面性测量实验

光学传感三维面形测量实验GCS-SWCL实验讲义大恒新纪元科技股份有限公司版权所有不得翻印光学传感三维面形测量1. 引言非接触三维自动测量是随着计算机技术的发展而开展起来的新技术研究,它包括三维形体测量﹑应力形变分析和折射率梯度测量等方面。
应用到的技术有莫尔条纹、散斑干涉、全息干涉和光阑投影等光学技术和计算机条纹图像处理技术。
条纹投影以及各种光阑投影自动测量技术在工业生产控制与检测、医学诊断和机器人视觉等领域正占有越来越重要的地位。
本试验是利用投影式相移技术,对形成的被测物面条纹进行计算机相移法自动处理的综合性实验。
2. 实验目的通过本实验了解投影光栅相位法的形成机理;了解一种充分发挥计算机特长的条纹投影相位移处理技术。
对于非接触测量有一定的感性认识。
3. 基本原理投影光栅相位法是三维轮廓测量中的热点之一,其测量原理是光栅图样投射到被测物体表面,相位和振幅受到物面高度的调制使光栅像发生变形,通过解调可以得到包含高度信息的相位变化,最后根据三角法原理完成相位---高度的转换。
根据相位检测方法的不同,主要有Moire轮廓术、Fourier变换轮廓术,相位测量轮廓术,本实验就是采用了相位测量轮廓术。
相位测量轮廓术采用正弦光栅投影相移技术。
基本原理是利用条纹投影相移技术将投影到物体上的正弦光栅依次移动一定的相位,由采集到的移相变形条纹图计算得到包含物体高度信息的相位。
基于相位测量的光学三维测量技术本质上仍然是光学三角法,但与光学三角法的轮廓术有所不同,它不直接去寻找和判断由于物体高度变动后的像点,而是通过相位测量间接地实现,由于相位信息的参与,使得这类方法与单纯基于光学三角法有很大区别。
相位测量轮廓术的基本原理将规则光栅图像投射到被测物表面,从另一角度可以观察到由于受物体高度的影响而引起的条纹变形。
这种变形可解释为相位和振幅均被调制的空间载波信号。
采集变形条纹并对其进行解调,从中恢复出与被测物表面高度变化有关的相位信息,然后由相位与高度的关系确定出高度,这就是相位测量轮廓术的基本原理。
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上式说明观察平面上的角谱等于孔径平面上的角谱与某一相位因子的乘积,即角谱由孔 径平面传播到距离为 z 的观察平面,要经过一个相移 qexp( jkz 1cos 2 cos 2 ) 。通过对观 察面角谱 A(
cos cos , ) 作傅立叶逆变换, 就可以求得观察面上衍射场的复振幅。 如下:
Biblioteka df xdf y Ao( f x , f y )exp q exp j 2 ( f x x, f y y ) df xdf y u ( x, y ) A( f x , f y )exp j 2 ( f x , f y ) x y = 。 (1-4)
(1-4)
式中:第一项是均匀的透过率;第二,三项保持了原有的两块光栅的周期结构;第四项 是和频项,其空间频率是相叠合的两块光栅空间频率之和;第五项是差频项,其空间频 率是相叠合的两块光栅空间频率之差,在大多数的应用中,相叠合的两块光栅具有较接 近或相同的空间频率,所以在上述各项中,第二,三,四项具有较高的空间频率,而第 五项具有明显较低的空间频率,通过采用空间频域滤波或空间域卷积的办法,很容易将 差频从其它各项中分离出来,而差频项通常携带了人们所感兴趣的信息。 如果用 m1 和 m2 表示相叠合的两块光栅线条的序数,有 m1 1 x , m2 2 x ,则代 入上述公式有 T1 ( x)
2 n n G' ( f x ) cn f x exp j z e jkz ,对于频率为 n , 0 的平面波分量,在 d d n d
2 n 2md 2 exp j z exp jkz 观察平面仅引入相移 , 若距离 z 满足条件 z , d n j z exp m 1, 2,3,L 则有 d 2 1 ,不同频率 n , 0 成分在观察平面上引入 d
u ( x, y )
A( f , f
x
y
)e
2 j ( f x x , f y y )
df x df y
(1-2)
复振幅分布 u ( x, y) 可分解为频率不同的复指数分量的线性组合。各频率分量的权重因子
A ( f , f ) 为频谱 A( f x , f y ) 即 x y u ( x, y )exp 2 j ( f x x, f y y ) dxdy ,其中 exp 2 j ( f x x, f y y ) 代表 一个沿 cos f x , cos f y 所确定方向传播的单位振幅平面波,其中 A( f x , f y ) 为 u ( x, y)
1 1 x cos y sin x cos y sin 1 cos ,T2 ( x, y) 1 cos ,两块 2 d 2 d
p m1 m2 , q m1 m2 。虽然 m1 和 m2 各自变化,只要 p 或 q 不变,则等和条纹或等差条
纹就具有相同的序数。若两块光栅的周期相同,即 d1 = d 2 d 或 1 2 如图 4-1 刻线方向以 y 轴对称放置,当 y 轴的夹角分别为 , 时,这样两块光栅的透射率可记 为: T1 ( x, y )
T1 ( x)
1 1 和 2 = 。 其 透 射 率 可 以 记 为 d1 d2
1 1 1 cos 21 x 1 cos 22 x ; T2 ( x) 。当用单位强度的平面光波照射这 2 2
样两块重叠的光栅时,其透射的强度为:
1 x xo 2 1 y yo 2 r z 2 ( x xo )2 ( y yo )2 1 ( ) ( ) 。 将 r 代入有: 2 2 2 2
h( x xo , y yo )
1 j z
e e
jk ( x xo )2 ( y yo )2 jkz 2 z
u ( p) c u ( po )k ( ) e
ikr
r
ds ,如图 2-1,其中Σ 为光波的一个波面,u ( po ) 为波面上任一
uuuu r 点 po 的复振幅; u ( p) 为光场中任意一观察点 p 的复振幅;r 为 p 到 po 的距离; 为 p o p
和过 po 点的光波面法线 n 的夹角; 倾斜因子 k ( ) 表示子波源 po 对 p 的作用与角度 有关;
2 2 为 g ( x ) g ( x )exp jkz , 强 度 分 布 则 与 物 体 相 同 I ( x) g ' ( x) g ( x) 因 而 在
'
zk
2d 2
的整数倍距离上,可以观察到物体的像。 zk 亦称为 Talbot 距离。
莫尔条纹原理与应用
在生活中都有过这样的经验,当两扇纱窗重叠时会产生亮暗相间的光线扰动,类 似的体育场围栏网格,薄布也会发生这种现象,一般的,具有空间周期性的网点图像重 合或者扫描记录网点图像时,在原有图像所含有的周期性成分和扫描周期性因素之间产 生干涉,呈现原来图像中看不到的新的低空间频率的衍射条纹,就称为莫尔条纹。同样 通过的两枚光栅交叠与自成像效应也会产生莫尔条纹。 莫尔条纹的形成 在这节中讨论两块一位的余弦光栅相叠合的情况,假设两块光栅在 x 方向上的周期 分 别 为 d1 , d 2 。 其 空 间 频 率 为 1
1 1 1 2 m1 m2 cos 2 m1 m2 1 cos 2 m1 cos 2 m2 cos 4 2 2
(1-5 )
式中, m1 m2 对应的条纹叫称为和条纹, m1 m2 项所对应的条纹称为等差条纹,令
u( x , y )h( x x , y y )dx dy ,
o o o o o o
1 j r
e jkr 。通常假定观察平面和孔径平面之间的距离 z 远远大于
孔径 以及观察区域的最大线度,即傍轴近似。这时上式分母中的 r 可以用 z 来近似, 但是因为 k 值很大, 为避免产生更大的位相误差, 复指数中的 r 必须作更为精确的近似:
1 1 T ( x )T 1cos 21x 1cos 22 x 1 x T2 x 2 2
1 1 =1 1 cos 21 x cos 22 x cos 2 1 2 x cos 2 1 2 x 4 2 2
对于一维的周期性物体,其复振幅透过率为 g ( x)
n
c
n
n
exp( j 2
n x) n 0, 1, 2,L , d
式中 d 为周期。当采用振幅平面波垂直照射时,紧靠物体后的光场分布即为 g ( x) 。它可
n 以看作是频率取离散值 , 0 的无穷多平面波分量的线性叠加。cn 表示各平面波分量的 d
c 为常数。
图 惠更斯原理基本示意图
在实际的衍射观测中具体可分为两种类型;菲涅尔衍射和夫琅和费衍射,即通常理解的 近场衍射和远场衍射,自成像效应是应用于菲涅尔近场衍射原理的,因此着重讨论菲涅 尔衍射如图 2-2 观察平面上复振幅分布为: u ( x, y) 其中有 h( x xo , y yo )
' 2 观察平面上得到场分布的频谱为 G ( f x )G ( f x ) H ( f x ) cn f x d exp j zf x exp jkz n n
频率取值是离散的,根据 的函数与普通函数乘积的性质,上式可以改写为如下:
。由此可见菲涅尔近似的物理实质是用二次曲
面代替球面的惠更斯子波,通过迭代可得出菲涅尔衍射公式:
u ( x, y )
1 j z
e jkz
2z u( xo, yo )e
jk 2 2 ( x xo ) ( y yo )
dxodyo
(1-1 )
相对振幅和位相分布。讨论与物体相距 z 的观察平面上的光场分布,这是一个菲涅尔衍 射的问题,从频域分析,物场分布的空间瓶谱为 G( f x )
n
f c
n
x
n ,各平面波分量 d
2 传播过程中仅产生相移, 由菲涅尔衍射的传递函数, 可写为 H f x exp j zf x exp jkz
图 孔径平面与观察面衍射分析示意图
自成像效应的衍射理论解释与现象 在上述描述中所采取的是基于基尔霍夫衍射理论的球面波理论。承上节,本节中 讨论的是基于角谱原理的平面波理论。对任意一平面上的光场复振幅分布作空间坐标的 二维傅立叶变换,可求得其频谱分布。由于各个不同空间频率的空间傅立叶分量可看作 是沿不同方向传播的平面波,此时,空间频谱称为平面波谱即复振幅分布的角谱。如图 2-3:
的频谱,当其用方向余弦表示时, A(
cos cos , ) 因为与方向角 , 有关又称其为
u ( x, y) 的角谱。承上述通过解亥姆霍兹方程 (2 k 2 )u( x, y) 0 可得出以下式子:
A( cos cos cos cos , ) Ao( , )exp( jkz 1cos 2 cos 2 )
T ( x) T1 x T2 x 1 1 , T2 ( x) 1 cos 2 m1 1 cos 2 m2 ,同样的有: 2 2
1 1 1 cos 2 m1 1 cos 2 m2 2 2
图 角谱基本原理图
在孔径平面和观察平面上的光场都可以分别看作是许多沿不同方向传播的单色平面波 的线性组合。每一平面波分量的相对振幅和位相取决于相应的角谱分量,通过寻找出射 面角谱和观察面角谱之间的关系就可以知道每一平面波分量在传播过程中振幅和相位 的变化,进而可以确定整个光场由孔径平面传播到观察平面所发生的变化。 设单色光场某一平面 x y 上的复振幅分布为 u ( x, y) , 其中 (cos ,cos ,cos ) 为它 的方向余弦,利用傅立叶变换对 u ( x, y) 进行傅立叶分析。 有: