【新教材】新人教A版必修一 三角函数的图象与性质 教案
高中数学人教版A版精品教案《三角函数的图象与性质》
三角函数的图象与性质——正弦函数、余弦函数的性质【教学目标】1．理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2．会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3．掌握正弦函数(n )si y A x ωϕ＝＋的周期及求法。
【教学重点】正、余弦函数的性质。
【教学难点】正、余弦函数性质的理解与应用。
【教学过程】一、讲解新课：（1）定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(,)-∞+∞］，分别记作：sin y x x ∈R ＝，cos ,y x x =∈R（2）值域1sin 1x ≤≤-，-1cos 1x ≤≤也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[]-1,1。
其中正弦函数sin y x =，x ∈R（1）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最大值1。
（2）当且仅当x 2k 2ππ=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。
而余弦函数cos y x ＝，x ∈R当且仅当2x k π=，k ∈Z 时，取得最大值1(21)x k π=+，k ∈Z 时，取得最小值1-。
（3）周期性由sin(2)sin x k x π+=，cos(2)cos x k x π+=k ∈Z 知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。
一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
由此可知，2π，4π，…，2π-，4π-，…2k πk ∈Z 且0k ≠都是这两个函数的周期。
对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做()f x 的最小正周期。
注意：1．周期函数x ∈定义域M ，则必有x T M +∈，且若0T ＞则定义域无上界；0T ＜则定义域无下界； 2．“每一个值”只要有一个反例，则()f x 就不为周期函数（如()()00¹f x t f x +） 3．T 往往是多值的（如sin y x =，2π，4π，…，2π-，4π-，…都是周期）周期T 中最小的正数叫做()f x 的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k πk ∈Z 且0k ≠都是它的周期，最小正周期是2π（4）奇偶性由sin()sin x x -=-()cos x cosx -＝可知：sin y x =为奇函数cos y x =为偶函数∴正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于轴对称（5）单调性从sin y x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象上可看出： 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，曲线逐渐上升，sin x 的值由1-增大到1。
2019-2020学年新人教A版必修一 三角函数的图像与性质 教案
2019-2020学年新人教A 版必修一 三角函数的图像与性质 教案题型一：三角函数的单调性与值域【例1】 函数1()tan 44y x x ππ=-<<的值域是（ ） A [1,1]- B (,1)(1,)-∞-+∞ C (,1]-∞D [1,)-+∞【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】选择【关键词】无【解析】 略【答案】B【例2】 利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：（1）tan(138)-与tan125；（2）12tan()5π与16tan()3π-。
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】（1）因为tan(138)0->，而tan1250<，故tan(138)tan125->。
（2）1222tantan(2)tan 555ππππ=+=， 1622tan()tan(6)tan 333ππππ-=-+=， ∵2tan 05π>，2tan 03π<， ∴1216tantan()53ππ>-【例3】 函数cos(sin )y x =的值域为_______【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】填空【关键词】2018年，辽宁，高考【解析】sin t x =的值域为[1,1]-，而cos y t =在[1,1]-上先增后减，最大值在0t =处取到，故结合cos y t =的图象知cos(sin )y x =的值域为[cos1,1]【答案】[cos1,1]【例4】 若函数cos y a b x =-的最大值是32，最小值是12-，求函数4sin y a bx =-的最大值与最小值及周期。
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】∵1cos 1x -≤≤，当0b >时，cos b b x b -≤≤，∴cos a b a b x a b -≤-≤+，∴ 1.50.5a b a b +=⎧⎨-=-⎩，解得0.51a b =⎧⎨=⎩，∴2sin y x =-，同理可得当0b <时， 1.50.5a b a b -=⎧⎨+=-⎩，此时0.51a b =⎧⎨=-⎩，∴2sin()2sin y x x =--=，从而，2sin y x =±，此函数的最大值是2，最小值是2-，周期是2π。
三角函数的图象与性质教案
三角函数的图象与性质教案一、教学目标1. 理解三角函数的定义和基本性质。
2. 学会绘制和分析三角函数的图象。
3. 掌握三角函数的周期性、奇偶性、单调性等性质。
4. 能够应用三角函数的性质解决问题。
二、教学内容1. 三角函数的定义和基本性质。
2. 三角函数的图象绘制方法。
3. 三角函数的周期性性质。
4. 三角函数的奇偶性性质。
5. 三角函数的单调性性质。
三、教学重点与难点1. 三角函数的定义和基本性质的理解。
2. 三角函数图象的绘制和分析。
3. 三角函数周期性、奇偶性、单调性的理解和应用。
四、教学方法1. 采用多媒体教学，展示三角函数的图象和性质。
2. 利用数学软件或图形计算器进行图象绘制和分析。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳三角函数的性质。
4. 利用例题和练习题巩固所学知识。
五、教学安排1. 第一课时：三角函数的定义和基本性质。
2. 第二课时：三角函数的图象绘制方法。
3. 第三课时：三角函数的周期性性质。
4. 第四课时：三角函数的奇偶性性质。
5. 第五课时：三角函数的单调性性质。
六、教学目标1. 理解正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 学会应用周期性解决实际问题。
3. 掌握正弦函数、余弦函数的相位变换。
七、教学内容1. 正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 周期性在实际问题中的应用。
3. 正弦函数、余弦函数的相位变换。
八、教学重点与难点1. 周期性的理解和应用。
2. 相位变换的理解和应用。
九、教学方法1. 通过实例讲解周期性在实际问题中的应用。
2. 利用数学软件或图形计算器进行相位变换的演示。
3. 引导学生通过观察、分析和归纳正弦函数、余弦函数的周期性和相位变换。
十、教学安排1. 第六课时：正弦函数、余弦函数的周期性。
2. 第七课时：周期性在实际问题中的应用。
3. 第八课时：正弦函数、余弦函数的相位变换。
十一、教学目标1. 理解正切函数的图象和性质。
2. 学会应用正切函数解决实际问题。
3. 掌握正切函数的周期性和奇偶性。
高一数学教案：《三角函数的图像和性质》人教A版必修_1
教学目标:
知识与技能：进一步理解、掌握正弦函数、余弦函数的图像及性质，能应用正弦、余弦函数
的图像与性质解决有关数学问题；
过程与方法：利用函数的性质研究三角函数的图像和性质
情感态度与价值观：培养学生用普遍联系的观点来学习数学，认识数学
教学重点:应用正弦、余弦函数的图像与性质解决数学问题；
教学难点：函数的单调性和奇偶性的应用
教学过程:
一、激趣导学：
三角函数的图像与性质
二、重点讲析：
例1.求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x 的集合 (1)3
cos x y = (2)x y 2sin 2-=
例2.求下列函数的值域 (1)1cos 2cos +=
x x y (2)x x y cos 2sin 212+-=
例3.(1)求函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=32sin πx y 的单调增区间； (2)求函数⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-=4cos 2πx y 的单调减区间.
例4.求下列函数的定义域 (1)1sin 2+=x y (2)x
x y cos 13cos 2+--=
例5.比较下列各组数的大小
(1)o o 154sin 16sin 与
(2)o o 260cos 110cos 与
(3)o o 170cos 230sin 与
三、巩固迁移:33P / 4、5、6、7
四、小结
注意灵活运用三角函数线与三角函数图像及性质解决数学问题。
人教A版高中数学必修第一册 同步教案 三角函数的图象与性质
5.4 三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,能画出这些三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质．5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦曲线与余弦曲线及其画法函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象 画法 五点法五点法关键 五点(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1,(2π,0)(0,1),⎝⎛⎭⎪⎫π2，0,(π,－1),⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，0,(2π,1) 状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 的图象与x∈[0,2π]上的图形一致,因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸,可以由y ＝sin x,x∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确,但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法．提醒：作图象时,函数自变量要用弧度制,自变量与函数值均为实数,因此在x 轴、y 轴上可以统一单位,这样作出的图象正规便于应用．[教材解难] 1．教材P 196思考如图,在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆,⊙O 与x 轴正半轴的交点为A(1,0)．在单位圆上,将点A 绕着点O 旋转x 0弧度至点B,根据正弦函数的定义,点B 的纵坐标y 0＝sin x 0.由此,以x 0为横坐标,y 0为纵坐标画点,即得到函数图象上的点T(x 0,sin x 0)．2．教材P 197思考由诱导公式一可知,函数y ＝sin x,x∈[2kπ,2(k ＋1)π],k∈Z 且k≠0的图象与y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度),就可以得到正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象．3．教材P 198思考在函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象上,以下五个点：(0,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1,(π,0),⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1,(2π,0)4．教材P 198思考对于函数y ＝cos x,由诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2得,y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R.而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2,x∈R 的图象可以通过正弦函数y ＝sin x,x∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以,将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度,就得到余弦函数的图象．5．教材P 200思考能．以函数y ＝sin x,x∈[0,2π]的图象为基础,将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度,所得图象即函数y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]的图象．能．以函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象为基础,作它关于x 轴对称的图象,所得图象即函数y ＝－cos x,x∈[0,2π]的图象． [基础自测]1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x∈[2kπ,2(k ＋1)π](k∈Z)上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象,根据图象可知A,B,D 三项都正确．答案：C2．不等式sin x>0,x∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0,π] B ．(0,π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B3．下列图象中,是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称,故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x,x∈R 的图象时,首先应描出的五个点的横坐标是________． 解析：令2x ＝0,π2,π,3π2和2π,得x ＝0,π4,π2,34π,π.答案：0,π4,π2,34π,π题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材P 199例1] 例1 画出下列函数的简图： (1)y ＝1＋sin x,x∈[0,2π]； (2)y ＝－cos x,x∈[0,2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋sin x1211描点并将它们用光滑的曲线连接起来：(2)按五个关键点列表：x 0 π2π3π22πcos x 1 0 －1 0 1－cos x －1 0 1 0 －1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来：用五点法作图关键先找出5个关键点,再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b),x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．解析：(1)列表,如下表所示x 0 π2π3π22πy＝cos x 1 0 －1 0 1y＝3＋2cos x 5 3 1 3 5 (2)描点,连线,如图所示：利用五点作图法画简图．题型二正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题]例2 根据正弦曲线求满足sin x≥－32在[0,2π]上的x的取值范围．【解析】在同一坐标系内作出函数y＝sin x与y＝－32的图象,如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形,满足sin x≥－32的x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π,所以满足sinx≥－32在[0,2π]上的x的范围是{x0≤x≤43π或5π3≤x≤2π}.(或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π)在同一坐标系内作y＝sin x与y＝－32的图象,利用图象求x的范围.方法归纳利用三角函数图象解sin x>a(或cos x>a)的三个步骤(1)作出直线y＝a,y＝sin x(或y＝cos x)的图象．(2)确定sin x＝a(或cos x＝a)的x值．(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集．[注意] 解三角不等式sin x>a,如果不限定范围时,一般先利用图象求出x∈[0,2π]范围内x的取值范围,然后根据终边相同角的同名三角函数值相等,写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x 的集合为π3＋2kπ,5π3＋2kπ,k∈Z.在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象,利用图象求x 的范围.课时作业 33 一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π,6π]上的图象形状相同,只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称,故C 错误． 答案：C2．下列各点中,不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π,1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π,0),而不是(π,1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上,则m 等于( )A ．0B ．1三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1－sin x1121(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x≤12,x∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x≤5π6或7π6≤x≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x,x∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x|,x∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x,x∈[0,2π]的简图,再作出y ＝cos x,x∈[0,2π]关于x 轴对称的简图,即y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图,将y ＝－cos x,x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y ＝1－cos x,x∈[0,2π]的简图,如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y ＝sin x,x∈ [0,4π]的简图,再将该简图在x 轴下方的部分翻折到x轴的上方,即得到y＝|sin x|,x∈[0,4π]的简图,如图2所示．。
2019-2020学年新人教A版必修一 三角函数 的图像与性质2 教案
【例1】 2019-2020学年新人教A 版必修一 三角函数 的图像与性质2教案【例2】 若函数sin()y A x ωϕ=+，(0,0,02π)A ωϕ>><≤的图象上一个最高点的坐标为（，由这个最高点到相邻的最低点间，图象与x 轴的交点为(4,0).求此函数的解析式.【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】sin()y A x ωϕ=+其图象最高点的纵坐标为A，∴A =由题意(2,为最高点，而(4,0)为最高点到相邻最低点向图象与x 轴的交点，4224T =-=，∴2π8T ω==，∴π4ω=由题意(2,为最高点，∴sin(2)14πϕ⨯+=ππ2π22k ϕ+=+，2πk ϕ=，∴0ϕ=，k ∈Z【例3】 已知函数sin()y A x ωϕ=+，在同一周期内，当9x π=时函数取得最大值2，当49x π=时取得最小值2-，则该函数的解析式为（ ） A 2sin(3)6y x π=-B 2sin(3)6y x π=+C 2sin()36x y π=+D 2sin()36x y π=-【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 由题可知：点(,2)9π和点4(,2)9π-都是图像上的点，且由“五点法”作图可知，这两点分别是“第二点”和“第四点”，所以有：9243912ππωϕππωϕ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得36ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，答案：B 。
点评：一般来说，如对所求函数式中的,,A ωϕ不加限制，那么所求的函数式应有无数多个不同的形式（这是由于所求函数是周期函数所致），我们解这类题的方法很多，但逆用“五点法”作图的思想却渗透在各不同解法之中。
【答案】B【例4】 已知函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象如图所示，π223f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()0f =（ ）A.23-B.12-C.23D.12【考点】三角函数的图像【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，辽宁，高考【解析】 法一：由图象可知，2π3T =，则3ω=，∴()cos(3)f x A x ϕ=+， ∵π223f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴2sin 3A ϕ=-，而(0)cos f A ϕ=，由于点7π012⎛⎫⎪⎝⎭，在递增的那段曲线上， ∴7π7π3[2ππ2π2π]124k k k ⋅=∈++∈Z ，， ∴π2π4k ϕ=-，k ∈Z ，∴sin ϕ=cos ϕ=.解得：A =，∴2(0)3f == 法二：由图象可得最小正周期为2π3，于是2π(0)3f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，注意到2π3与π2关于7π12对称，则2ππ2323f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】C【例5】 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称，且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值． 【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x fx ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【答案】∵()f x 是偶函数，∴y 轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，∴(0)sin 1f ϕ==±，又0πϕ≤≤，∴π2ϕ=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称， ∴3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫⨯+== ⎪⎝⎭，又0ω>，∴3πππ0,1,242k k ω=+=，…． ∴2(21),0,1,2,3k k ω=+=当0k =时，23ω=， 2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥，π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．【例6】 已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ）【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2009年，浙江，高考【解析】 D ．当1a >时，振幅变大，周期变小，是B 的情形；同理，1a <时，是A 中的情形；当0a =时，是C 中的情形．【答案】D【例7】 已知正弦曲线sin()(0,0,02π)y A x A ωϕωϕ=+>><<上的一个最高点是(2,，由这个最高点到相邻的最低点，曲线与x 轴相交于点(6,0)，试求这个函数的解析式.【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】因为曲线的最高点为(2,，0A >，所以A =.又由曲线过最高点与相邻最低点与x 轴的交点，∴6244T=-=， ∴16T =，则2ππ8T ω==，∴π2sin 8y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又原函数过点(6,0)π28ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭∴ππ2π42k ϕ+=+，解得：π2π4k ϕ=+()k ∈Z 又02πϕ<<，解得：π4ϕ=∴函数的解析式是ππ84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【例8】 已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为0(,2)x 和0(3π,2)x +-. ⑴求()f x 的解析式；⑵用列表作图的方法画出函数()y f x =在长度为一个周期的闭区间上的图象.【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】⑴由已知，易得2A =．00(3π)3π2T x x =+-=，解得6πT =，13ω=． 把(0,1)代入解析式2sin()3x y ϕ=+，得2sin 1ϕ=．又π2ϕ<，解得π6ϕ=．∴π2sin()36x y =+为所求．⑵【例9】 如图，是函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>，πϕ<的图象的一部分，由图中条件写出函数解析式．【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】由图可知5A =，由5π3ππ222T =-=，得3πT = ∴2π23T ω==，此时25sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭下面介绍怎样求初相ϕ 法一：（单调性法）∵点(π,0)在递减的那段曲线上， ∴2ππ3π2π,2π,()322k k k ϕ⎡⎤+∈++∈⎢⎥⎣⎦Z ， 由2πsin 03ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得2π2ππ3k ϕ+=+， ∴π2π3k ϕ=+()k ∈Z ，∵πϕ<，∴π3ϕ=．法二：(最值点法)将最高点坐标π,54⎛⎫ ⎪⎝⎭代入25sin 3y x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得π5sin 56ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴ππ2π62k ϕ+=+， π2π()3k k ϕ=+∈Z ，又πϕ<，∴π3ϕ=，法三：（起始点法）函数sin()y A x ωϕ=+的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x 正式由0x ωϕ+=解得，故只要找出起始点横坐标0x ，就可以迅速求得角ϕ，由图象易得0π2x =-，(增区间中与原点的距离最小的零点)，∴02ππ323x ϕω⎛⎫=-=-⨯-= ⎪⎝⎭．【例10】 右图是函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,02π)A ωϕ>><< 的图象的一部分，试求此函数的解析式.【考点】三角函数的图像 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】由图可知A =，2[6(2)]16T =⨯--=，∴π8ω=，由图象过点(6,0)，且函数在此单调递增有ππ3πsin()sin(6)sin()0884x ϕϕϕ+=⨯+=+=3π2π4k ϕ+=()k ∈Z ，∴3π2π()4k k ϕ=-∈Z ， ∵02πϕ<<，解得：3π5π2π44ϕ=-=∴π5π84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.【例11】 函数sin()y A x ωϕ=+(0,0,π)A ωϕ>><的图象的一段如图所示，确定该函数的解析式.【考点】三角函数的图像 【难度】3星【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】如图所示，22y -≤≤，即2A =，∴函数解析式2sin()y x ωϕ=+，又函数的图象过点7π,012P ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,1Q ∴7πsin 0121sin 2ωϕϕ⎧⎛⎫-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，由五点法作图知7ππ12π6ωϕϕ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2π6ωϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩∴函数解析式为π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭题型六：三角函数的交点问题【例12】 在同一平面直角坐标系中，函数3πcos ([0,2π])22x y x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图象和直线12y =的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2018年，浙江，高考【解析】 设3π1cos sin 2222x x ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则π2π,26x k k =+∈Z 或5π2π,26x k k =+∈Z ∴π4π,3x k k =+∈Z 或5π4π,3x k k =+∈Z ，由[0,2π]x ∈ 解得：π3x =或5π3x =． 【答案】C【例13】 求证：在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的实数对(,)c d ，π,0,2c d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且c d <，使得sin(cos )c c =，cos(sin )d d =成立．【考点】三角函数的交点问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】【答案】分析：构造函数()sin(cos )f x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，从而利用函数的性质得到函数的图象与x 轴有唯一的交点，从而确定有唯一的实数存在．设函数()sin(cos )f x x x =-，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，任取1x ，2x π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得12π02x x <≤≤111()sin(cos )f x x x =-，222()sin(cos )f x x x =-由于cos y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则12cos cos x x >，且12πcos ,cos 0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，而sin y x =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调递增的，所以12sin(cos )sin(cos )x x >又由12x x <，则1122sin(cos )sin(cos )x x x x ->-，即12()()f x f x >，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数又(0)sin10f =>，ππ022f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()f x 的图象在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上与x 轴有唯一交点，即存在唯一实数π0,2c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得等式sin(cos )c c =成立同理可证明存在唯一实数π0,2d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得等式()cos sin d d =成立因为cos(sin )d d =，所以sin(cos(sin ))sin d d =又πsin 0,2d ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，而在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内只有唯一解c 使得sin(cos )c c =成立，故sin c d =当0x >时，sin x x <成立，则sin d d <，于是c d <，命题成立.【例14】 已知函数2sin()y x ωϕ=+(0π)ϕ<<为偶函数，其图象与直线2y =相邻的两个交点的横坐标分别为1x ，2x ，且12πx x -=，则( ) A.π2,2ωϕ==B.1π,22ωϕ==C.1π,24ωϕ==D.π2,4ωϕ== 【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 由πT =，则2π2Tω==，由函数为偶函数，即三角函数图象有一条对称轴为0x =，∴π0π2k ωϕ⋅+=+，∴ππ2k ϕ=+，又π0ππ2k <+<，解得：0k =，π2ϕ=. 【答案】A【例15】 ()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数且(2)0f =，则方程()0f x =在区间(0,6)内解的个数的最小值是( )A.2B.3C.4D.5【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2018年，福建，高考【解析】 ∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =又∵3T =，∴(3)(03)(0)0f f f =+== 又∵(2)0f =∴(5)(23)(2)0f f f =+==，(1)(23)(2)0f f f -=-== ∵()f x 是奇函数，∴(1)(1)0f f =--=∴(4)(13)(1)0f f f =+==综上可知()0f x =在(0,6)内有解1,2,3,4,5共5个，故选D【答案】D【例16】 函数sin (0)y x ωω=>在区间[0,1]上恰好有50个最大值，则ω的取值范围是 .【考点】三角函数的交点问题 【难度】4星 【题型】填空【关键词】2018年，广东，高考【解析】 设2πT ω=是最小正周期，则1(49)14T +=和1(50)14T +=时，分别有50个和51个最大值点，当T 增大时最大值个数或不变或减少.故197π201π,22ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ 本题可从sin y x =在一个周期内有几个最大值点入手，在长度为一个标准周期2π的区间内，在[)0,2π内只有一个最大值点π2x =，但在ππ[,2π]22+内有两个最大值π2x =和π2π2x =+，如果要出现连续的50个最大值，最少要包含49个周期的图象 .如：函数sin y x =在含49个周期的区间ππ,98π22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有50个最大值，在含49个多周期的区间π0,98π2⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上恰好有50个最大值，一般地，只有在区间[0,]a ，ππ98π100π22a +<+≤上恰好有50个最大值.【答案】197π201π,22ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【例17】 函数21π5cos π36k y x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()k *∈N 对于任意实数a ，在区间[,3]a a +上的值54出现的次数不少于4次且不多于8次，试求k 的值.【考点】三角函数的交点问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】在一个周期内，余弦型函数的一个值可以出现两次，如果在一个区间内，余弦型函数的函数值出现的次数不少于4次且不多于8次，此函数在该区间上至少有两个周期，但不超过四个周期.由条件可知，该函数周期2π62121π3T k k ==++，区间长度(3)3l a a =+-= 由题意知2π2421π3k +≤≤()k *∈N∴327k ≤≤∴2k =或3题型七：三角函数的绝对值变换【例18】 函数sin 2sin y x x =-的值域为（ ）[]()3,1A -- []()1,3B - []()0,3C []()3,0D -【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 讨论sin 0sin 0x x ≥<和【答案】B【例19】 若函数πsin()13y x ω=+-的最小正周期为π2，那么正数ω的值是( )A.8B.4C.2D.1【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】无【解析】 ∵π1sin()13x ω-+≤≤，∴ππsin 11sin 33y x x ωω⎛⎫⎛⎫=+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2T ω==，∴4ω=. 【答案】B【例20】 函数sin y x =的一个单调增区间是( )A.ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B.3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C.3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D.32π⎛⎫π ⎪2⎝⎭， 【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】无【解析】 由sin y x =的周期为π可知，函数的单调增区间为πππ[,]()222k k k +∈Z ，当2k =时，有3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调增区间 也可直接根据图象得到.【答案】C【例21】 求函数sin cos x x ⋅的最小正周期.【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】根据图象可知函数的最小正周期为2π【例22】 求函数()2sin 33sin 4f x x x =+的最小正周期【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】奇函数1()2sin 3f x x =的最小正周期12π3T =，偶函数2()3sin 4f x x =的最小正期2π4T =，故()f x 的最小正周期为1T ，2T 的最小公倍数2π【例23】 已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--，求()f x 的值域．【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】当sin cos x x >时，11()(sin cos )(sin cos )cos 22f x x x x x x =+--=当sin cos x x ≤时，11()(sin cos )(cos sin )sin 22f x x x x x x =+--=结合正余弦函数的图象知函数()f x 的图象是下图的实线部分：由此知()f x的值域为[-【例24】 求证函数()|cos ||sin |f x x x =+的最小正周期是π2．【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】先证2π是()f x 的周期． ∵()|cos()||sin()||sin ||cos |()πππ222f x x x x x f x +=+++=+=．∴π2是()f x 的周期， 再证π2是()f x 的最小正周期．假设有正数0π2T <<也是()f x 的周期，则()()f x T f x +=，即|cos()||sin()||cos ||sin |x T x T x x +++=+对于一切x 均成立 故令π2x =，因为π2x =也是f(x)的周期， 故有()f x T +()f x ==|cos ||sin |()1012πT T f +==+=．但当0π2T <<时，|cos ||sin |cos sin 1T T T T +=+>矛盾．因此π2是()|cos ||sin |f x x x =+的最小正周期．【例25】 函数πsin()4y x =+的最小正周期为 ，单调增区间为____ __ ．【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】无【解析】 πsin()4y x =+的图象可以由这样的变换得到：将sin y x =的图象左移π4个单位，再将x 轴下方的部分作关于x 轴对称翻转到x 轴上方，再将下方的图象除去，便可得到πsin()4y x =+的图象，如图：由此图象知πsin()4y x =+的周期为π，单调增区间为：ππ[π,π],44k k k -+∈Z ．此题也可以通过复合函数的观点来求πsin()4y x =+的增区间：πsin()4u x =+，y u =当0u >时，πsin()4u x =+的增区间就是πsin()4y x =+的增区间；当0u ≤时，πsin()4u x =+的减区间是πsin()4y x =+的增区间但此题中这种方法没有图象法简单形象．【答案】π，ππ[π,π],44k k k -+∈Z【例26】 已知函数()sin f x x a =-，a ∈R⑴讨论函数()f x 的奇偶性⑵求当()f x 取最大值时，自变量x 的取值集合.【考点】三角函数的交点问题 【难度】4星 【题型】解答【关键词】无【解析】 略【答案】⑴当0a =时，()sin f x x =，()sin()sin f x x x -=-=，故()f x 是偶函数当0a ≠时，∵(0)0f a =≠，故()f x 不是奇函数，又π12f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π12f a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，ππ22f f ⎛⎫⎛⎫≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()f x 不是偶函数∴当0a ≠时，()f x 非奇非偶⑵当0a >时，()sin f x x a =-取最大值时，sin 1x =-，此时x 的集合为π2π,2x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z当0a <时，()sin f x x a =-取最大值时，sin 1x =，此时x 的集合π2π,2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z当0a =时，()sin f x x a =-取最大值时，sin 1x =±，此时x 的集合为ππ,2x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z【例27】 设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x （ ）A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．在区间,2π⎡⎤-π-⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 【考点】三角函数的交点问题 【难度】3星 【题型】选择【关键词】2018年，天津文，高考【解析】 由函数图象的变换可知:()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象是将()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象x 轴下方的对折上去,此时函数的最小正周期变为π,则函数在区间ππππ32k x k ++≤≤即ππππ36k x k -+≤≤上为增函数,当1k =时有: 2736x ππ≤≤,故在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()f x 是增函数. 【答案】A【例28】 设函数()sin 3|sin 3|f x x x =+，则()f x 为( )A ．周期函数，最小正周期为π3B ．周期函数，最小正周期为2π3C ．周期函数，最小正周期为2πD ．非周期函数【考点】三角函数的交点问题 【难度】2星 【题型】选择【关键词】2018年，江西，高考【解析】 2π22sin 3 ππ333()π22π20 ππ3333x k x k f x k x k ⎧<<+⎪⎪=⎨⎪+<<+⎪⎩()k ∈Z ，因此()f x 为周期函数，且最小正周期为2π3. 【答案】B【例29】 函数()sin 2sin f x x x =+，[0,2π]x ∈的图象与直线y k =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．【考点】三角函数的交点问题【难度】2星【题型】填空【关键词】无【解析】3sin0π()sinπ2πx xf xx x⎧=⎨-<⎩≤≤≤，由函数图象可知k的取值范围为13k<<【答案】13k<<【例30】函数sin cos1y x x=-的最小正周期与最大值的和为．【考点】三角函数的交点问题【难度】2星【题型】填空【关键词】2018年，湖北文，高考【解析】1sin21,2π(21)π,2sin cos11sin21,(21)π(22)π,2x k x k ky x xx k x k k⎧-+∈⎪⎪=-=⎨⎪--++∈⎪⎩ZZ≤≤≤≤其图象如图所示，函数最小正周期2πT=，最大值为max12y=-，故最小正周期与最大值之和为12π2-。
2019-2020学年新人教A版必修一 三角函数图像 教案
三角函数图像与性质11.基本三角函数的图像2.正弦函数x y sin =与()ϕω+=x A y sin 的图像性质关系 类比于研究y ＝sin x 的性质，只需将y ＝Asin(ωx ＋φ)中的ωx ＋φ看成y ＝sin x 中的x ，但在求y ＝Asin(ωx ＋φ)的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化为正数．研究函数y ＝Acos(ωx ＋φ)，y ＝Atan(ωx ＋φ)的性质的方法与其类似，也是类比、转化． 3.余弦函数与xy cos =()ϕω+=x A y cos 的图像性质关系4.正切函数xy tan =与()ϕω+=x A y tan 的图像性质关系例1：函数y=2sin （3x+），x ∈R 的最小正周期是（ ） A ．B ．C ．D ．π 解：x y cos =()ϕω+=x A y cos周期 π2ωπ2 定义域 RR最大值 1，当πk x 2=取得 A ，当ωϕπ-=k x 2取得 最小值 -1，当ππ+=k x 2取得-A ，当ωϕππ-+=k x 2取得单调增区间[]πππk k 2,2- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---ωϕπωϕππk k 2,2 单调减区间 []πππ+k k 2,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-ωϕππωϕπk k 2,2 对称轴πk x =ωϕπ-=k x对称中心⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2ππk⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0,2ωϕππkx y tan =()ϕω+=x A y tan周期πωπ定义域⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππk k⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--ωϕππωϕππ2,2k k 最大值 无 无 最小值无无单调增区间⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2ππππk k⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--ωϕππωϕππ2,2k k 单调减区间 无 无 对称轴无无对称中心,02k π⎛⎫⎪⎝⎭2,0k πφω⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭223T ππω==,故选B 。
例2：函数f （x ）=tan （+）的最小正周期为（ ）A ．3πB ．6πC ．D ．解：3T ππω==,故选A 。
统编人教A版数学高中必修第一册《5.4 三角函数的图象与性质》优秀教案教学设计
【新教材】5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质教学设计（人教A版）本节课是正弦函数、余弦函数图像的继续，本课是正弦曲线、余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数、余弦函数的性质.课程目标1.了解周期函数与最小正周期的意义;2.了解三角函数的周期性和奇偶性;3.会利用周期性定义和诱导公式求简单三角函数的周期;4.借助图象直观理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象与x轴的交点等);5.能利用性质解决一些简单问题.数学学科素养1.数学抽象：理解周期函数、周期、最小正周期等的含义；2.逻辑推理：求正弦、余弦形函数的单调区间；3.数学运算：利用性质求周期、比较大小、最值、值域及判断奇偶性.4.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
一、情景导入研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？我们知道从定义域、值域、单调性、周期性、奇偶性、称性等考虑，那么正余弦函数有哪些性质呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本201-205页，思考并完成以下问题1. 周期函数、周期、最小正周期等的含义？2. 怎样判断三角函数的周期性和奇偶性？3. 通过正弦曲线和余弦曲线得到正弦函数、余弦函数的哪些性质？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1.定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集(或).2.值域(1)值域：正弦函数、余弦函数的值域都是.(2)最值正弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值余弦函数①当且仅当时,取得最大值②当且仅当时,取得最小值3.周期性定义：对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.由此可知,都是这两个函数的周期.对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.根据上述定义,可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.4.奇偶性()为奇函数,其图象关于原点对称()为偶函数,其图象关于轴对称5.对称性。
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知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!错误!值域[－1,1］［－1，1]R单调性递增区间：错误!错误!（k∈Z)递减区间:错误!错误!(k∈Z）递增区间：[2kπ－π，2kπ］（k∈Z)递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z）递增区间：错误!错误!(k∈Z)最值x＝2kπ＋错误!（k∈Z)时，y max＝1;x＝2kπ－错误!（k∈Z）时，y min＝－1x＝2kπ（k∈Z）时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z）时,y min＝－1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(kπ，0），k∈Z对称中心错误!，k∈Z对称中心错误!，k∈Z对称轴l：x＝kπ＋错误!,k∈Z对称轴l：x＝kπ，k∈Z无对称轴周期性2π2ππ易误提醒1．正切函数的图象是由直线x＝kπ＋错误!（k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是错误!，k∈Z不能说它在整个定义域内是增函数，如错误!〈错误!,但是tan错误!>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z "这一条件． 必记结论函数y ＝A sin （ωx ＋φ），当φ＝k π（k ∈Z ）时是奇函数，当φ＝k π＋π2（k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ),当φ＝k π(k ∈Z ）时是偶函数，当φ＝k π＋π2（k ∈Z ）时是奇函数．［自测练习］1．函数y ＝tan3x 的定义域为（ ） A 。
错误! B 。
错误! C 。
错误! D 。
错误!解析:由3x ≠错误!＋k π，得x ≠错误!＋错误!，k ∈Z 。
答案：D2．设函数f (x )＝sin 错误!,x ∈R ，则f （x ）是( ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为错误!的奇函数 D ．最小正周期为错误!的偶函数 解析:∵f (x )＝sin 错误!＝－cos2x , ∴f (x ）是最小正周期为π的偶函数． 答案:B3．已知函数f （x ）＝sin 错误!(ω〉0）的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝错误!对称 B ．关于点错误!对称 C ．关于直线x ＝－错误!对称D ．关于点错误!对称解析：∵f (x )＝sin 错误!(ω>0）的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x ）＝sin 错误!。
经验证可知f 错误!＝sin 错误!＝sinπ＝0， 即错误!是函数f (x ）的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos 错误!的最大值为________，此时x ＝________。
解析:函数y ＝3－2cos 错误!的最大值为3＋2＝5,此时x ＋错误!＝π＋2k π,即x ＝错误!＋2kπ(k∈Z）．答案：5错误!＋2kπ(k∈Z）考点一三角函数的定义域、值域｜1．函数y＝错误!的定义域为(）A。
错误!B。
错误!，k∈ZC。
错误!，k∈ZD．R解析：∵cos x－错误!≥0，得cos x≥错误!,∴2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z.答案：C2．函数f（x）＝sin错误!在区间错误!上的最小值为()A．－1 B．－错误!C．0 D.错误!解析：因为0≤x≤错误!，所以－错误!≤2x－错误!≤错误!，由正弦函数的图象知，1≥sin错误!≥－错误!，所以函数f(x）＝sin错误!在区间错误!上的最小值为－错误!，故选B。
答案：B3．已知函数f(x）＝错误!（sin x＋cos x)－错误!|sin x－cos x｜，则f(x）的值域是________．解析:f(x）＝错误!（sin x＋cos x）－错误!|sin x－cos x｜＝错误!画出函数f（x）的图象（实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为错误!,故值域为错误!。
答案：错误!1．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域（最值)的三种方法（1)将所给函数化为y＝A sin(ωx＋φ）的形式,通过分析ωx＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x（cos x)看作一个整体，化为二次函数来解决．(3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f(x)＝sin 错误!sin x－错误!cos2x.(1)求f(x）的最小正周期和最大值；（2）讨论f(x)在错误!上的单调性．［解](1）f（x)＝sin错误!sin x－错误!cos2x＝cos x sin x－错误!(1＋cos2x)＝错误!sin2x－错误!cos2x－错误!＝sin错误!－错误!,因此f（x)的最小正周期为π，最大值为错误!.（2）当x∈错误!时，0≤2x－错误!≤π,从而当0≤2x－π3≤错误!，即错误!≤x≤错误!时，f(x）单调递增,当错误!≤2x－错误!≤π，即错误!≤x≤错误!时，f（x)单调递减．综上可知,f(x)在错误!上单调递增；在错误!上单调递减．三角函数的单调区间的求法（1)代换法：求形如y＝A sin(ωx＋φ）＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2）图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω〉0，函数f(x）＝sin错误!在错误!上单调递减，则ω的取值范围是（) A。
错误! B.错误!C.错误!D．（0,2］解析：由错误!〈x<π得错误!ω＋错误!〈ωx＋错误!<πω＋错误!，又y＝sin t在区间错误!上递减．∴错误!ω＋错误!≥错误!，且ωπ＋错误!≤错误!π,解之得错误!≤ω≤错误!.答案：A2．求函数y＝tan错误!的单调区间．解：把函数y＝tan错误!变为y＝－tan错误!。
由kπ－错误!<2x－错误!〈kπ＋错误!，k ∈Z，得kπ－错误!〈2x<kπ＋错误!，k∈Z，即错误!－错误!<x<错误!＋错误!,k∈Z。
故函数y＝tan错误!的单调减区间为错误!(k∈Z)．考点三三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有：1．三角函数的周期性．2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心．4．三角函数性质的综合应用．探究一三角函数的周期性1．函数y＝错误!的最小正周期为________．解析：∵y′＝sin错误!的最小正周期T′＝π，∴T＝错误!＝错误!。
答案:错误!2．（2015·高考湖南卷)已知ω〉0，在函数y＝2sinωx与y＝2cosωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2错误!，则ω＝________。
解析:由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1）,Q (x 2，y 2）,易知|PQ |2＝（x 2－x 1)2＋（y 2－y 1）2,其中|y 2－y 1｜＝错误!－(－错误!)＝2错误!,｜x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝2错误!sin 错误!的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半,所以（23)2＝错误!2＋（2错误!）2，ω＝错误!。
答案:错误!探究二三角函数的奇偶性3．若函数f (x ）＝sin 错误!（φ∈［0,2π]）是偶函数，则φ＝( ) A 。
错误! B 。
错误! C 。
错误!D 。
错误!解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知错误!＝错误!＋k π，k ∈Z ，即φ＝错误!＋3k π,k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π],∴φ＝错误!。
答案：C探究三三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos 错误!(ω∈N *)图象的一个对称中心是错误!，则ω的最小值为（ ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知错误!＋错误!＝k π＋错误!(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z ）⇒ωmin ＝2，故选B 。
答案：B5．函数f （x )＝sin 错误!的图象的一条对称轴是( ） A ．x ＝错误! B ．x ＝错误! C ．x ＝－错误!D ．x ＝－错误!解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低）点， 故令x －错误!＝k π＋错误!,k ∈Z ,∴x ＝k π＋错误!，k ∈Z . 即k ＝－1，则x ＝－错误!。
答案：C探究四三角函数性质的综合应用6．（2015·揭阳一模）当x ＝错误!时，函数f （x )＝sin （x ＋φ）取得最小值，则函数y ＝f 错误!( ）A ．是奇函数且图象关于点错误!对称B ．是偶函数且图象关于点（π，0）对称C ．是奇函数且图象关于直线x ＝错误!对称D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称解析：∵当x＝错误!时，函数f（x)取得最小值,∴sin错误!＝－1，∴φ＝2kπ－错误!(k∈Z)．∴f(x）＝sin错误!＝sin错误!。
∴y＝f错误!＝sin（－x）＝－sin x.∴y＝f错误!是奇函数，且图象关于直线x＝错误!对称．答案：C7．（2015·高考天津卷）已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>0），x∈R。
若函数f（x)在区间(－ω，ω)内单调递增,且函数y＝f（x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．解析：f(x）＝sinωx＋cosωx＝错误!sin错误!，因为函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，所以f（ω)＝错误!sin错误!＝±错误!,所以ω2＋错误!＝错误!＋kπ，k∈Z，即ω2＝错误!＋kπ，k∈Z,又函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤错误!，即ω2≤错误!，取k＝0,得ω2＝错误!，所以ω＝错误!。
答案：错误!函数f(x）＝A sin（ωx＋φ)的奇偶性、周期性和对称性（1）若f（x)＝A sin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f（x)取得最大或最小值；若f(x)＝A sin(ωx＋φ)为奇函数,则当x＝0时,f（x）＝0.（2）对于函数y＝A sin(ωx＋φ），其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0）的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1）求函数y ＝cos 2x ＋sin x 错误!的最大值与最小值．(2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨］利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解］ (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4, ∴t ∈错误!。