对数函数及其性质2
高一数学对数函数及其性质2
(
2 x 8)
函数的奇偶性
例3、函数 y log2 (x x2 1)(x R)的奇偶性为
（）
A．奇函数而非偶函数 C．非奇非偶函数
B．偶函数而非奇函数 D．既奇且偶函数
二 函数的单调性
例4
1.求函数 y log 2 (x2 2x)
例2 求函数的值域
1 f ( x) log2 x
2 f ( x) loga x
x [1,2]
x [1,2]
3 f ( x) log 2( x2 2)
4 f ( x) log 2(8x x2 7)
5 f
(x)
(log2
x 2 )(log2
x) 4
2.2.2 对数函数及其性质（二）
对数函数y=log a x<1
图
y
y
象
o (1, 0)
（1, 0) xo
x
(1) 定义域： (0,+∞)
性 (2) 值域：R
(3) 过点(1,0), 即x=1 时, y=0
(4) 0<x<1时, y<0;
质 x>1时, y>0
(4) 0<x<1时, y>0; x>1时, y<0
; 宠物DR 宠物DR ；
不少于800字。不得抄袭。 [写作提示]“钥匙”是开锁的工具，它熟悉事物的机理，最了解锁的“心”，所以能够灵活机动，只轻轻一转，就“轻而易举”地打开了锁。对于一般的事物、问题而言，这里的“心”是指事物的关键之处、问题的症结所在；对于人的思想、情感而言，“心” 是指隐秘之处的思想和情感。“铁棒”天生不是开锁的料，只会砸“锁”、撬“锁”。我们可以把它理解为没有抓住事物的关键或问题的症结
2.2.2对数函数及其性质(二)
练习
1995年我国人口总数是 亿，如果人口的自然增长率 年我国人口总数是12亿 年我国人口总数是 控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将大约等于 亿？ 控制在 ，问哪一年我国人口总数将大约等于14亿 解： 年后人口总数超过14亿 设 X年后人口总数超过 亿，依题意得 年后人口总数超过 12.(1+0.0125)X=14 即 1.0125X=14/12，两边取常用对数， ，两边取常用对数， 得：X.lg1.0125=lg14-lg12 即：X= (lg14-lg12)/ lg1.0125≈12.4 年后， 年我国人口总数将大约等于14亿 答：12年后，即2007年我国人口总数将大约等于 亿。 年后 年我国人口总数将大约等于
基本初等函数（ 第二章 基本初等函数（Ⅰ）
§2.2.2 对数函数及其性质(二) 对数函数及其性质(
复习： 复习：对数函数 y = log a x 的图象与性质 a>1
3
3 2.5
0<a<1
2.5 2 1.5
2
1.5
图 象 函 数 性 质
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2
3
4
5
6
7
8
-1
0
1
-0.5
课堂回顾: 课堂回顾:
1．如何利用对数函数的单调性比较大小？ 如何利用对数函数的单调性比较大小？ 2．如何构建对数函数模型，解决生活中的实 如何构建对数函数模型， 际问题？ 际问题？ 3．怎样理解同底的指数函数与对数函数互为 反函数？ 反函数？
例5：已知函数 f ( x) = log 2 (3x − 1), 若 f ( x) < 0， 求 x 的 取 值 范围 ．
对数函数及其性质(2)教学设计
对数函数及其性质（2）教学设计延长县中学焦存江一、学情与教材分析对数函数是高中引进的第二个初等函数，是本章的重点内容。
学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受y=log a x(a>0且a≠1)中，a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。
最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。
二、设计思想在本节课的教学过程中，通过古遗址上死亡生物体内碳14含量与生物死亡年代关系的探索，引出对数函数的概念。
通过对底数a的分类讨论，探究总结出对数函数的图象与性质，使学生经历从特殊到一般的过程，体验知识的产生、形成过程，通过例题的分析与练习，进一步培养学生自主探索，合作交流的学习方式，通过学生经历直观感知，观察、发现、归纳类比，抽象概括等思维过程，落实培养学生积极探索学习习惯，提高学生的数学思维能力的新课程理念。
三、教学目标1、通过对对数函数概念的学习，培养学生实践能力，使学生理解对数函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2、通过对对数函数有关性质的研究，渗透数形结合、分类讨论的数学思想。
培养观察、分析、归纳的思维能力和交流能力，增强学习的积极性。
掌握对数函数的图象与性质，并会初步应用。
3、培养学生自主学习、数学交流能力和数学应用意识。
通过联系观点分析，解决两数比较大小的问题。
四、教学重点和难点重点：1、对数函数的定义、图象、性质。
2、对数函数的性质的初步应用。
难点：底数a对对数函数图象、性质的影响。
高中数学：2.2.2对数函数及其性质 (2)(1)
2.2.2对数函数及其性质课后篇巩固提升基础巩固1.y=2x与y=log2x的图象关于()A.x轴对称B.直线y=x对称C.原点对称D.y轴对称y=2x与y=log2x互为反函数,故函数图象关于直线y=x对称.2.函数y=ln(1-x)的图象大致为()(-∞,1),且函数在定义域上单调递减,故选C.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,且a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1y=log a(x+c)的图象是由y=log a x的图象向左平移c个单位长度得到的,结合题图知0<c<1.根据单调性易知0<a<1.4.已知a>0且a≠1,函数y=log a x,y=a x,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是()函数y=a x 与y=log a x 的图象关于直线y=x 对称,再由函数y=a x 的图象过(0,1),y=log a x 的图象过(1,0),观察图象知,只有C 正确.5.已知a=2-13,b=log 213,c=lo g 1213,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b0<a=2-13<20=1,b=log 213<log 21=0,c=lo g 1213>lo g 1212=1,∴c>a>b.故选D .6.若对数函数f (x )的图象经过点P (8,3),则f (12)= .f (x )=log a x (a>0,a ≠1),则log a 8=3,∴a 3=8,∴a=2.∴f (x )=log 2x ,故f (12)=log 212=-1.17.将y=2x 的图象先 ,再作关于直线y=x 对称的图象,可得到函数y=log 2(x+1)的图象( )A.先向上平移一个单位长度B.先向右平移一个单位长度C.先向左平移一个单位长度D.先向下平移一个单位长度,可求出解析式或利用几何图形直观推断.8.已知函数f (x )={log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,直线y=a 与函数f (x )的图象恒有两个不同的交点,则a 的取值范围是 .f (x )的图象如图所示,要使直线y=a 与f (x )的图象有两个不同的交点,则0<a ≤1.9.作出函数y=|log 2x|+2的图象,并根据图象写出函数的单调区间及值域.y=log 2x 的图象,如图甲.再将y=log 2x 在x 轴下方的图象关于x 轴对称翻折到x 轴上方(原来在x 轴上方的图象不变),得函数y=|log 2x|的图象,如图乙;然后将y=|log 2x|的图象向上平移2个单位长度,得函数y=|log 2x|+2的图象,如图丙.由图丙得函数y=|log 2x|+2的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(0,1),值域是[2,+∞).10.已知对数函数y=f (x )的图象经过点P (9,2). (1)求y=f (x )的解析式;(2)若x ∈(0,1),求f (x )的取值范围.(3)若函数y=g (x )的图象与函数y=f (x )的图象关于x 轴对称,求y=g (x )的解析式.设f (x )=log a x (a>0,且a ≠1).由题意,f (9)=log a 9=2,故a 2=9, 解得a=3或a=-3.又因为a>0,所以a=3.故f (x )=log 3x. (2)因为3>1,所以当x ∈(0,1)时,f (x )<0, 即f (x )的取值范围为(-∞,0).(3)因为函数y=g (x )的图象与函数y=log 3x 的图象关于x 轴对称,所以g (x )=lo g 13x.能力提升1.函数y=log a (x+2)+1(a>0,且a ≠1)的图象过定点 ( )A.(1,2)B.(2,1)C.(-2,1)D.(-1,1)x+2=1,得x=-1,此时y=1.2.若函数f (x )=log 2x 的反函数为y=g (x ),且g (a )=14,则a=( ) A.2B.-2C.12D.-12,得g (x )=2x .∵g (a )=14,∴2a =14,∴a=-2.3.若函数f (x )=log 2(x 2-ax-3a )在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,4) B.(-4,4] C.(-∞,4)∪[2,+∞)D.[-4,4)t (x )=x 2-ax-3a ,则由函数f (x )=log 2t 在区间(-∞,-2]上是减函数,可得函数t (x )在区间(-∞,-2]上是减函数,且t (-2)>0,所以有-4≤a<4,故选D .4.已知函数f (x )=a x +log a (x+1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ,则a 的值等于( ) A.12B.2C.3D.13y=a x 与y=log a (x+1)在[0,1]上的单调性相同,所以f (x )在[0,1]上的最大值与最小值之和为f (0)+f (1)=(a 0+log a 1)+(a 1+log a 2)=a ,整理得1+a+log a 2=a ,即log a 2=-1,解得a=12.故选A .5.已知a=log 23.6,b=log 43.2,c=log 43.6,则a ,b ,c 的大小关系为 .a=log 43.6log 42=2log 43.6=log 43.62,又函数y=log 4x 在区间(0,+∞)上是增函数,3.62>3.6>3.2,∴log 43.62>log 43.6>log 43.2,∴a>c>b.6.已知a>0且a ≠1,则函数y=a x 与y=log a (-x )在同一直角坐标系中的图象只能是下图中的 (填序号).方法一)首先,曲线y=a x位于x 轴上方,y=log a (-x )位于y 轴左侧,从而排除①③.其次,从单调性考虑,y=a x 与y=log a (-x )的增减性正好相反,又可排除④.故只有②满足条件.(方法二)若0<a<1,则曲线y=a x 下降且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )上升且过点(-1,0),所有选项均不符合这些条件.若a>1,则曲线y=a x 上升且过点(0,1),而曲线y=log a (-x )下降且过点(-1,0),只有②满足条件.(方法三)如果注意到y=log a (-x )的图象关于y 轴的对称图象为y=log a x 的图象,又y=log a x 与y=a x互为反函数(两者图象关于直线y=x 对称),则可直接选②.7.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )=lg x ,则满足f (x )>0的x 的取值范围是 .f (x )的解析式为f (x )={lgx ,x >0,0,x =0,-lg (-x ),x <0,其图象如右图所示.由函数图象可得不等式f (x )>0时,x 的取值范围为(-1,0)∪(1,+∞).-1,0)∪(1,+∞)8.设函数f (x )=ln(ax 2+2x+a )的定义域为M. (1)若1∉M ,2∈M ,求实数a 的取值范围; (2)若M=R ,求实数a 的取值范围.由题意M={x|ax 2+2x+a>0}.由1∉M ,2∈M 可得{a ×12+2×1+a ≤0,a ×22+2×2+a >0,化简得{2a +2≤0,5a +4>0,解得-45<a ≤-1.所以a 的取值范围为(-45,-1]. (2)由M=R 可得ax 2+2x+a>0恒成立.当a=0时,不等式可化为2x>0,解得x>0,显然不合题意;当a ≠0时,由二次函数的图象可知Δ=22-4×a×a<0,且a>0,即{4-4a 2<0,a >0,化简得{a 2>1,a >0,解得a>1.所以a 的取值范围为(1,+∞).9.已知函数f (x )=log 21+axx -1(a 为常数)是奇函数. (1)求a 的值与函数f (x )的定义域;(2)若当x ∈(1,+∞)时,f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立,求实数m 的取值范围.∵函数f (x )=log 21+ax x -1是奇函数,∴f (-x )=-f (x ). ∴log 21-ax-x -1=-log 21+axx -1.即log 2ax -1x+1=log 2x -11+ax ,∴a=1. 令1+xx -1>0,解得x<-1或x>1.所以函数的定义域为{x|x<-1或x>1}. (2)f (x )+log 2(x-1)=log 2(1+x ),当x>1时,x+1>2,∴log 2(1+x )>log 22=1.∵x ∈(1,+∞),f (x )+log 2(x-1)>m 恒成立, ∴m ≤1.故m 的取值范围是(-∞,1].。
第二章 2.2.2 第2课时 对数函数及其性质(二)
第2课时 对数函数及其性质(二)学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.会解简单的对数不等式.3.了解反函数的概念及它们的图象特点.知识点一 不同底的对数函数图象的相对位置一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0<a <1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越小越靠近x 轴. 知识点二 反函数的概念一般地，像y ＝a x 与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y ＝a x 的定义域R 就是y ＝log a x 的值域；而y ＝a x 的值域(0，＋∞)就是y ＝log a x 的定义域. (2)互为反函数的两个函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同.但单调区间不一定相同.1.y ＝log 2x 2在(0，＋∞)上为增函数.( √ )2.212log y x 在(0，＋∞)上为增函数.( × )3.ln x <1的解集为(－∞，e).( × )4.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象相同.( √ )题型一 比较大小例1 (1)若a ＝log 0.23，b ＝log 0.22.5，c ＝log 0.20.3，则( ) A.a >b >c B.c >b >a C.a >c >b D.c >a >b答案 B解析 因为0.3<2.5<3，且y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上是减函数，所以c >b >a . (2)比较下列各组数的大小：①log 534与log 543；②1135log 2log 2与；③log 23与log 54.解 ①方法一 对数函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以log 534<log 543.方法二 因为log 534<0，log 543>0，所以log 534<log 543.②由于1321log 21log 3=，1521log 21log 5=，又对数函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数，且0<15<13<1，所以0>log 213>log 215，所以1log 213<1log 215，所以3151l 2log 2og <.③取中间值1，因为log 23>log 22＝1＝log 55>log 54，所以log 23>log 54. 反思感悟 比较对数值大小时常用的四种方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性.(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量.(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)设a ＝log 2π，12log πb =，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a 答案 C解析 a ＝log 2π>1，12log π0b <=，c ＝π－2∈(0,1)，所以a >c >b .(2)比较下列各组值的大小： ①2233log 0.5,log 0.6；②log 1.51.6，log 1.51.4；③log 0.57，log 0.67；④log 3π，log 20.8.解 ①因为函数23log y x =是减函数，且0.5<0.6，所以2233log 0.5log 0.6>.②因为函数y ＝log 1.5x 是增函数，且1.6>1.4， 所以log 1.51.6>log 1.51.4.③因为0>log 70.6>log 70.5，所以1log 70.6<1log 70.5，即log 0.67<log 0.57. ④因为log 3π>log 31＝0，log 20.8<log 21＝0，所以log 3π>log 20.8. 题型二 对数不等式的解法 例2 (1)7171lo lo g (g 4)x x >- ；(2)log a (2x －5)>log a (x －1). 解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，4－x >0，x <4－x ，解得0<x <2.所以原不等式的解集为{x |0<x <2}.(2)当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －5>0，x －1>0，2x －5>x －1.解得x >4.当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x －5>0，x －1>0，2x －5<x －1，解得52<x <4.综上所述，当a >1时，原不等式的解集为{x |x >4}；当0<a <1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪52<x <4. 反思感悟 对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况进行讨论.(2)形如log a x >b 的不等式，应将b 化为以a 为底数的对数式的形式(b ＝log a a b )，再借助y ＝log a x 的单调性求解.(3)形如log f (x )a >log g (x )a (f (x )，g (x )>0且不等于1，a >0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解.跟踪训练2 (1)求满足不等式log 3x <1的x 的取值集合； (2)若log a 25<1(a >0，且a ≠1)，求实数a 的取值范围.解 (1)因为log 3x <1＝log 33，所以x 满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 3x <log 33，即0<x <3.所以x 的取值集合为{x |0<x <3}. (2)log a 25<1，即log a 25<log a a .当a >1时，函数y ＝log a x 在定义域内是增函数， 所以log a 25<log a a 总成立；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在定义域内是减函数， 由log a 25<log a a ，得a <25，即0<a <25.所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，25∪(1，＋∞).题型三 对数型复合函数的单调性命题角度1 求单调区间例3 求函数212log (1)y x =-的单调区间.解 要使212log (1)y x =-有意义，则1－x 2>0，所以x 2<1，所以－1<x <1， 因此函数的定义域为(－1,1). 令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，x 增大，t 增大，y ＝12log t 减小.所以当x ∈(－1,0]时，212log (1)y x =-是减函数；同理可知，当x ∈[0,1)时，212log (1)y x =-是增函数.即函数212log (1)y x =-的单调递减区间是(－1,0]，单调递增区间为[0,1).反思感悟 求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域.(2)研究函数t ＝f (x )和函数y ＝log a t 在定义域上的单调性. (3)判断出函数的增减性求出单调区间.跟踪训练3 求函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调区间.解 因为1－2x >0，所以x <12.又设u ＝1－2x ，则y ＝log 2u 是(0，＋∞)上的增函数. 又u ＝1－2x ，则当x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12时，u (x )是减函数， 所以函数f (x )＝log 2(1－2x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 命题角度2 已知复合函数单调性求参数范围例4 已知函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，a 2上是减函数，∵0<12<1，∴12log ()y g x =是减函数，而已知复合函数212log ()y x ax a =-+在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上单调递减，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)上恒成立， 即⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，g (2)＝(2)2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，22＋2].反思感悟 若a >1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相同，若0<a <1，则y ＝log a f (x )的单调性与y ＝f (x )的单调性相反.另外应注意单调区间必须包含于原函数的定义域. 跟踪训练4 若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(1,3) C.(1,3] D.[3，＋∞) 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围 答案 B解析 函数由y ＝log a u ，u ＝6－ax 复合而成，因为a >0，所以u ＝6－ax 是减函数，那么函数y ＝log a u 就是增函数，所以a >1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x ＝2时，u ＝6－ax 取得最小值，所以6－2a >0，解得a <3，所以1<a <3.故选B.1.不等式log 2(x －1)>－1的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >23 B.{x |x >2}C.{x |x >1}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32 答案 D解析 ∵log 2(x －1)>－1＝log 212，∴x －1>12，即x >32.2.函数f (x )＝－2x ＋5＋lg(2－x －1)的定义域为( )A.(－5，＋∞)B.[－5，＋∞)C.(－5,0)D.(－2,0) 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5>0，2－x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x >－5，2－x >20，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >－5，x <0，∴－5<x <0，故选C.3.如果2121l log og 0x y <<，那么( )A.y <x <1B.x <y <1C.1<x <yD.1<y <x 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D4.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝________. 考点 函数的反函数 题点 求函数的反函数 答案 log 2x5.函数f (x )＝ln x 2的单调减区间为____________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (－∞，0)1.与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响.2.y ＝a x 与x ＝log a y 的图象是相同的，只是为了适应习惯用x 表示自变量，y 表示因变量，把x ＝log a y 换成y ＝log a x ，y ＝log a x 才与y ＝a x 关于直线y ＝x 对称，因为点(a ，b )与点(b ，a )关于直线y ＝x 对称.一、选择题1.函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为( ) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫12，1考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 A解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 3(2x －1)≥0，2x －1>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥1，2x －1>0，∴x ≥1， ∴函数y ＝log 3(2x －1)的定义域为[1，＋∞). 2.若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( ) A.0<a <b <1 B.0<b <a <1 C.a >b >1 D.b >a >1答案 B解析 因为log a 2<0，log b 2<0， 所以0<a <1,0<b <1， 又log a 2<log b 2， 所以a >b ， 故0<b <a <1.3.函数f (x )＝12log x 的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.(0,1] C.(0，＋∞) D.[1，＋∞)答案 D解析 f (x )的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞).4.函数y ＝15log (1－3x )的值域为( )A.RB.(－∞，0)C.(0，＋∞)D.(1，＋∞) 答案 C解析 因为3x >0，所以－3x <0， 所以1－3x <1.又y ＝15log t (t ＝1－3x )是关于t 的减函数，所以y ＝15log t >15log 1＝0.5.已知log a 12<2，那么a 的取值范围是( )A.0<a <22B.a >22C.22<a <1 D.0<a <22或a >1 考点 对数不等式 题点 解对数不等式 答案 D解析 当a >1时，由log a 12<log a a 2得a 2>12，故a >1；当0<a <1时，由log a 12<log a a 2得0<a 2<12，故0<a <22. 综上可知，a 的取值范围是0<a <22或a >1. 6.函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间是( )A.(－∞，2)B.(2，＋∞)C.(1,2)D.(2,3) 答案 D解析 由－3＋4x －x 2>0，得x 2－4x ＋3<0，得1<x <3. 设t ＝－3＋4x －x 2，其图象的对称轴为x ＝2. ∵函数y ＝13log t 为减函数，∴要求函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间，即求函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间， ∵函数t ＝－3＋4x －x 2,1<x <3的单调递减区间是(2,3)，∴函数y ＝13log (－3＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,3)，故选D.7.已知函数f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围为( ) A.(－∞，4] B.[4，＋∞ ) C.[－4,4] D.(－4,4] 答案 D解析 令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，∵f (x )＝log 0.5(x 2－ax ＋3a )在[2，＋∞)上单调递减， ∴函数g (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，且恒大于0， ∴12a ≤2且g (2)>0， ∴a ≤4且4＋a >0，∴－4<a ≤4， 故选D.8.已知指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫1a x，当x ∈(0，＋∞)时，有y >1，则关于x 的不等式log a (x －1)≤log a (6－x )的解集为( ) A.⎣⎡⎭⎫72，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，72 C.⎝⎛⎦⎤1，72 D.⎣⎡⎭⎫72，6答案 D解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫1a x 在x ∈(0，＋∞)时，有y >1， ∴1a>1，∴0<a <1. 于是由log a (x －1)≤log a (6－x )， 得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥6－x ，x －1>0，6－x >0，解得72≤x <6，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪72≤x <6.故选D. 二、填空题9.若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎫32，23，则a ＝________. 考点 函数的反函数 题点 反函数的图象与性质 答案2解析 因为点⎝⎛⎭⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝⎛⎭⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ， 即a 2＝2，又因为a >0，所以a ＝ 2. 10.函数y ＝log 2(x 2－1)的增区间为________. 考点 对数函数的单调性 题点 对数型复合函数的单调区间 答案 (1，＋∞)解析 由x 2－1>0得函数的定义域为{x |x <－1或x >1}，又y ＝log 2x 在定义域上单调递增，y ＝x 2－1在(1，＋∞)上单调递增，∴函数的增区间为(1，＋∞).11.若函数f (x )＝log a x (其中a 为常数，且a >0，a ≠1)满足f (2)>f (3)，则f (2x －1)<f (2－x )的解集是________. 答案 {x |1<x <2} 解析 ∵f (2)>f (3)， ∴f (x )＝log a x 是减函数，由f (2x －1)<f (2－x )，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>0，2－x >0，2x －1>2－x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >12，x <2，x >1，∴1<x <2. 三、解答题12.已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2. (1)若f (x )>0，求x 的取值范围； (2)若x ∈(－1,3]，求f (x )的值域. 解 (1)函数f (x )＝log 2(x ＋1)－2， ∵f (x )>0，即log 2(x ＋1)－2>0， ∴log 2(x ＋1)>2，∴x ＋1>4，∴x >3. 故x 的取值范围是x >3. (2)∵x ∈(－1,3]， ∴x ＋1∈(0,4]，∴log 2(x ＋1)∈(－∞，2]， ∴log 2(x ＋1)－2∈(－∞，0]， 故f (x )的值域为(－∞，0]. 13.已知f (x )＝12log (x 2－ax －a ).(1)当a ＝－1时，求f (x )的单调区间及值域；(2)若f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为增函数，求实数a 的取值范围. 考点 对数函数的单调性题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝12log (x 2＋x ＋1)，∵x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34≥34， ∴12log (x 2＋x ＋1)≤123log 4＝2－log 23， ∴f (x )的值域为(－∞，2－log 23].∵y ＝x 2＋x ＋1在⎝⎛⎦⎤－∞，－12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上单调递增，y ＝12log x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－12， 单调减区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. (2)令u (x )＝x 2－ax －a ＝⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24－a ， ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调增函数， 又∵y ＝12log u (x )为单调减函数，∴u (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上为单调减函数，且u (x )＞0在⎝⎛⎭⎫－∞，－12上恒成立. ⎝⎛⎭⎫提示：⎝⎛⎭⎫－∞，－12⊆⎝⎛⎭⎫－∞，a 2 因此⎩⎨⎧ a 2≥－12，u ⎝⎛⎭⎫－12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，14＋a 2－a ≥0， 解得－1≤a ≤12. 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12.14.若函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________.考点 对数函数的综合问题题点 与单调性有关的对数函数综合问题答案 12解析 当a >1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是增函数， ∴f (x )max ＝a ＋log a 2，f (x )min ＝a 0＋log a 1＝1，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴log a 2＝－1，a ＝12(舍去)； 当0<a <1时，y ＝a x 与y ＝log a (x ＋1)在[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝a 0＋log a (0＋1)＝1，f (x )min ＝a ＋log a 2，∴a ＋log a 2＋1＝a ，∴a ＝12. 综上所述，a ＝12. 15.已知函数f (x )＝lg(1＋x )－lg(1－x ).(1)求函数f (x )的定义域，并证明f (x )是定义域上的奇函数；(2)用定义证明f (x )在定义域上是增函数；(3)求不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0的解集.(1)解 由对数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，1＋x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x <1，x >－1， 即－1<x <1，∴函数f (x )的定义域为(－1,1).∵f (－x )＝lg(1－x )－lg(1＋x )＝－f (x )，∴f (x )是定义域上的奇函数.(2)证明 设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝lg(1＋x 1)－lg(1－x 1)－lg(1＋x 2)＋lg(1－x 2)＝lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1). ∵－1<x 1<x 2<1，∴0<1＋x 1<1＋x 2，0<1－x 2<1－x 1，于是0<1＋x 11＋x 2<1,0<1－x 21－x 1<1， 则0<(1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<1，∴lg (1＋x 1)(1－x 2)(1＋x 2)(1－x 1)<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )是(－1,1)上的增函数.(3)解 ∵f (x )在(－1,1)上是增函数且为奇函数，∴不等式f (2x －5)＋f (2－x )<0可转化为f (2x －5)<－f (2－x )＝f (x －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1<2x －5<1，－1<x －2<1，2x －5<x －2，解得2<x <3.∴不等式的解集为{x |2<x <3}.。
2.2.2 对数函数及其性质
3 y x ( x R) 的反函数，并且画出原来的函数和它 例13：求函数
的反函数的图象。
解：由y x 3，得 x 3 y ∴函数 y x 的反函数是： y 3 x ( x R)
3 3 y x ( x R)和它的反函数 y 3 x ( x R) 的图象如图所示： 函数
(2)在定义域上是增函数
注：函数 y log a x(a 0且a 1) 的图象与 y log 1 x(a 0且a 1) 的 a 图象关于 x轴对称。 练习： 1. 函数 y log 4.3 x 的值域是（ D ）
A.(0,) C义：
一般地，我们把函数 y log a x(a 0, 且a 1) 叫做对数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) 。
注：
x y a 1.由于指数函数 中的底数a满足a 0且a 1 ，则对数函数 y log a x 中的底数 a 也必须满足 a 0且a 1。
二、对数函数的图象和性质：
例2：函数 y log2 x 和 y log1 x 的图象。
2
一般地，对数函数y log a x(a 0，且a 1)的图象和性质 如下表所示：
0 a 1
图象
a 1
定义域 值域 性质 (2)在定义域上是减函数
(0,)
R
(1)过定点(1,0)，即x=1时，y=0
x f 1 ( y)
y 注：在函数 x f 1 ( y)中，表示自变量，表示函数。但在习惯上， x 我们一般用 x 表示自变量，用 y表示函数，为此我们常常对调函数 x f 1 ( y)中的字母 x, y，把它改写为 y f 1 ( x)。
2.如果函数 y f ( x)有反函数 f 1 ( x) ，那么函数 y f 1 ( x) 的反函 数就是y f ( x) 。
2.2.2对数函数及其性质教案(1)
2.2.2对数函数及其性质教案(1)2.2.2对数函数及其性质（一）教学目标（一）教学知识点1．对数函数的概念；2．对数函数的图象与性质．（二）能力训练要求1．认知对数函数的概念；2．掌握对数函数的图象、性质；3．培养学生数形结合的意识．（三）德育渗透目标1．重新认识事物之间的广泛联系与相互转变；2．用联系的观点看看问题；3．了解对数函数在生产生活中的简单应用．教学重点对数函数的图象、性质．教学难点对数函数的图象与指数函数的关系．教学过程一、复习引入：1、对数的概念：如果ax=n,那么数x叫作以a为底n的对数,记作logan＝x（a>0,a≠1）2、指数函数的定义:函数y=ax(a＞0,且a≠1)叫作指数函数,其中x就是自变量,函数的定义域就是r.3、我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y就是对立次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2则表示．现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个??细胞，那么，分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数．根据对数的定义，这个函数可以写成对数的形式就是x?log2y.如果用x则表示自变量，y则表示函数，这个函数就是y?log2x.带出新课--对数函数．二、新授内容：1．对数函数的定义：函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数，定义域为(0,??)，值域为(??,??)．x第1页共11页例1．求下列函数的定义域：（1）y?logax2；（2）y?loga(4?x)；（3）y?loga(9?x2)．分析：此题主要利用对数函数y?logax的定义域（0，+∞）解．求解：（1）由x>0得x?0,∴函数y?logax2的定义域就是?x|x?0?；2（2）由4?x?0得x?4，∴函数y?loga(4?x)的定义域是?x|x?4?；2（3）由9?x?0得-3?x?3，∴函数y?loga(9?x2)的定义域是?x|?3?x?3?．2．对数函数的图象：通过列表、描点、连线作y?log2x与y?log1x的图象：232.532.5221.51-11.510.51110.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5思索：y?log2x与y?log1x的图象存有什么关系？23．练习：教材第73页练习第1题．1.图画出来函数y=log3x及y=log1x的图象，并且表明这两个函数的相同性质和相同性质.3解：相同性质：两图象都位于y轴右方，都经过点（1，0），这说明两函数的定义域都是（0，+∞），且当x=1,y=0.不同性质：y=log3x的图象是上升的曲线，y=log1x的图象3就是上升的曲线，这表明前者在（0，+∞）上就是增函数，后者在（0，+∞）上就是减至函数.4．对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．32.52a＞132.520＜a＜11.51.5图象1-111110.50.50-0.512345678-101-0.512345678-1-1-1.5-1.5-2-2-2.5-2.5性定义域：（0，+∞）第2页共11页质值域：r过点（1，0），即当x=1时，y=0x?(0,1)时y?0x?(1,??)时y?0在（0，+∞）上是增函数三、讲解范例：基准2．比较以下各组数中两个值的大小：x?(0,1)时y?0x?(1,??)时y?0在（0，+∞）上是减函数⑴log23.4,log28.5；⑵log0.31.8,log0.32.7；⑶loga5.1,loga5.9(a?0,a?1)．解：⑴考查对数函数y?log2x，因为它的底数2>1，所以它在（0，+∞）上是增函数，于是log23.4?log28.5．⑵考查对数函数y?log0.3x，因为它的底数0<0.3<1，所以它在（0，+∞）上就是减至函数，于是log0.31.8?log0.32.7．小结1：两个同底数的对数比较大小的一般步骤：①确认所必须考查的对数函数；②根据对数底数推论对数函数多寡性；③比较真数大小，然后利用对数函数的多寡性推论两对数值的大小．⑶当a?1时，y?logax在（0，+∞）上就是增函数，于是loga5.1?loga5.9；当0?a?1时，y?logax在（0，+∞）上就是减至函数，于是loga5.1?loga5.9．小结2：分类探讨的思想．对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小于1．而已知条件并未指明，因此需要对底数a进行讨论，体现了分类讨论的思想，要求学生逐步掌握．四、练1。
人教新课标版数学高一-必修一 对数函数及其性质2(第2课时)
第2课时 对数函数及其性质的应用问题导学一、比较两个对数的大小活动与探究1比较下列各组数中两个值的大小：(1)log 0.31.8，log 0.32.7；(2)3log 45,2log 23；(3)log 32，log 56；(4)13log 0.4，log 40.6；(5)log 20.4，log 30.4.迁移与应用1．若a ＝log 3π，b ＝log 76，c ＝log 20.8，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a2．比较下面两个值的大小：(1)log 2.10.4与log 2.10.3； (2)13log 8与13log 7；(3)log 67与log 53；(4)log 52与log 0.33.比较两个对数值的大小，若底数相同，可根据对数函数的单调性判断；若底数不相同，可借助中间量log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)或log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)来比较，也可换底后再比较．二、解对数不等式活动与探究2解下列不等式：(1)log 2(2x ＋3)＞log 2(5x －6)；(2)log 3(2x ＋1)＋13log (31)x -＞0； (3)12log (12)>2x -.迁移与应用1．如果1122log log 0x y <<，那么( )A ．y ＜x ＜1B ．x ＜y ＜1C ．1＜x ＜yD ．1＜y ＜x2．满足不等式log 3x ＜log 3(2－x )的x 的取值集合为______．3．函数y ＝ log 0.5(4x －3)的定义域为______．常见对数不等式有两种类型：(1)形如log a f (x )＞log a g (x )的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．若底数不同，先将底数化为相同的形式再求解．(2)形如log a f (x )＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．特别注意的是，每个对数的真数均为正．三、求函数的值域活动与探究3求下列函数的值域： (1)212log (23)y x x =-++；(2)y ＝log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2，x ∈[－3，－1]．迁移与应用1．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)2．设a ＞1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a 等于( ) A ． 2 B ．2 C ．2 2 D ．43．函数12log (22)y x =+在x ∈[1,3]上的值域为______．求函数y ＝log a f (x )的值域时，先求出f (x )的值域，再利用对数函数y ＝log a u 的单调性求出原函数的值域．当堂检测1．若a ＝log 117，b ＝log 0.83，则( )A ．a ＞bB ．a ≥bC ．a ＜bD ．a ≤b2．函数(f x ( )A ．(－∞，2)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(1,2]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( ) A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)4．函数y ＝log 2(x 2－2x ＋3)的值域是__________．5．函数14log y x =的反函数是______．课前预习导学【预习导引】1．(1)(0，＋∞) 增 (0，＋∞) 减 (2)＞ ＜ ＜ ＞预习交流1 (1)log a m ＞log a n log a m ＜log a n (2)m ＞n m ＜n2．反函数预习交流2 提示：互为反函数的两个函数的图象关于直线y ＝x 对称．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)中的两个数可直接用对应的对数函数的单调性比较；(2)中的两个数可化为同底的两个对数，然后用对应的对数函数的单调性比较；(3)中的两个对数的底数不同，真数也不同，但其中一个大于1，另一个小于1；(4)中两个数，一个小于0，一个大于0；(5)将两个对数换底后再比较．解：(1)∵函数y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上是减函数，且1.8＜2.7，∴log 0.31.8＞log 0.32.7.(2)3log 45＝log 4125,2log 23＝4log 43＝log 481.∵函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上是增函数，且125＞81，∴log 4125＞log 481，即3log 45＞2log 23.(3)∵函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，且2＜3，∴log 32＜log 33＝1.同理log 56＞log 55＝1.∴log 32＜log 56.(4)∵函数13log y x =在(0，＋∞)上是减函数，且0.4＜1， ∴1133log 0.4>log 1＝0.同理，log 40.6＜log 41＝0. ∴13log 0.4＞log 40.6.(5)log 20.4＝ln 0.4ln 2，log 30.4＝ln 0.4ln 3. ∵3＞2＞1，∴ln 3＞ln 2＞0.∴1ln 2＞1ln 3＞0. 又ln 0.4＜0，∴ln 0.4ln 2＜ln 0.4ln 3. 即log 20.4＜log 30.4.迁移与应用 1．A 解析：∵log 3π＞log 33＝1,0＝log 71＜log 76＜log 77＝1，log 20.8＜log 21＝0，∴a ＞b ＞c ，故选A.2．解：(1)∵函数f (x )＝log 2.1x 在(0，＋∞)上是增函数，且0.4＞0.3，故log 2.10.4＞log 2.10.3.(2)∵函数()13log f x x =在(0，＋∞)上是减函数，且8＞7， 故1133log 8<log 7.(3)∵log 67＞log 66＝1，log 53＜log 55＝1，∴log 67＞log 53.(4)∵log 52＞log 51＝0，log 0.33＜log 0.31＝0，∴log 52＞log 0.33.活动与探究2 思路分析：将各式化为同底的对数，利用对数函数的单调性化为一般不等式求解．解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3＞0，5x －6>0，2x ＋3>5x －6，解得65＜x ＜3. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫65，3.(2)由log 3(2x ＋1)＋13log (31)x -＞0得log 3(2x ＋1)＞13log (31)x --，即log 3(2x ＋1)＞log 3(3x －1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1>0，3x －1>0，2x ＋1>3x －1，解得13＜x ＜2. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫13，2.(3)由12log (12)>2x -，得11221log (12)>log 4x -. ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2x >0，1－2x <14，解得38＜x ＜12. 所以原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫38，12.迁移与应用 1．D 解析：由1122log log x y <得x ＞y . 由1122log 0log 1y <=得y ＞1，∴x ＞y ＞1.2．(0,1) 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，2－x >0，x <2－x ，解得0＜x ＜1.3．⎝⎛⎦⎤34，1 解析：要使函数式有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －3>0，log 0.5(4x －3)≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34＜x ≤1. 活动与探究3 思路分析：先求出真数的范围，再利用对数函数的单调性求原函数的值域．解：(1)设u ＝－x 2＋2x ＋3＝－ (x －1)2＋4≤4， ∵12log y u =在(0，＋∞)上是减函数， ∴212log (23)x x -++≥12log 4＝－2.∴函数的值域为[－2，＋∞)．(2)设u ＝⎝⎛⎭⎫13x －2，∵x ∈[－3，－1]，∴3≤⎝⎛⎭⎫13x ≤27，即1≤u ≤25.∵函数y ＝log 3u 在(0，＋∞)上是增函数，∴0≤log 3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x －2≤log 325. ∴原函数的值域为[0，log 325]．迁移与应用 1．A2．D 解析：∵a ＞1，∴f (x )＝log a x 在[a,2a ]上为增函数，∴log a (2a )－log a a ＝log a 2＝12，解得a ＝4，故选D. 3．[－3，－2] 解析：∵x ∈[1,3]，∴2x ＋2∈[4,8]．∴111222log 8log (22)log 4x ≤+≤，即－3≤12log (22)x +≤－2.【当堂检测】1．A 解析：∵a ＝log 117＞log 111＝0，b ＝log 0.83＜log 0.81＝0， ∴a ＞b .2．D 解析：由题意得12log (1)0x -≥，∴0＜x －1≤1，即1＜x ≤2.3．D 解析：当x ≤1时，由21－x ≤2，得1－x ≤1，即x ≥0， ∴0≤x ≤1.当x ＞1时，由1－log 2x ≤2，得log 2x ≥－1，即x ≥12，∴x ＞1. 综上，满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．4．[1，＋∞) 解析：令u ＝x 2－2x ＋3，则u ＝(x －1)2＋2≥2. ∵函数y ＝log 2u 在u ∈(0，＋∞)上是增函数， ∴y ≥log 22＝1.∴y ∈[1，＋∞)．。
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y 2 ( x R) 互为反函数
x
y 3 ( x R) x y a ( x R)
的反函数是什么?
y log3 x( x (0, ))
的反函数是什么?
y loga x( x (0, ))
演示
探究：两个互为反函数的图象间有什么关系？
对数函数与指数函数的关系： 对数函数和指数函数互为反函数
解：(1)根据对数的运算性质，
有pH=
-lg[H+]=lg[H+]-1= lg
1 [H ]
1 在(0， )上，随着[H ]的增大， 减小，相应地， [H ] 1 lg 也减小，即pH减小，即知随着溶液中氢离子 [H ] 的浓度增大，溶液中酸度就越小。
(2) [H ] 10 时 ，pH lg10 7， 所 以 当 纯 净 水 的 H是7。 p
复习与回顾
(一)对数函数的概念：
函数 y loga x (a 0, 且a 1)叫做对数函数． 其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞).
a＞1
y x=1 y
0＜a＜1
x=1
图 象
o
1
x
y= ㏒ax (a>1)
o
1
x y= ㏒ax (0<a<1)
定义域
( 0 , + ∞) R
值域
性 质
反函数
y 2x ( x R)
x log2 y
y log2 x( x (0, ))
对于任意一个y∈（０，＋∞）通过式子x＝log２y， x在Ｒ中都有唯一确定的值和它对应，这时我们就说 x＝log２y( y∈（０，＋∞））是函数y＝２x的反函 数．习惯上写成 y＝log２x 对数函数 y log2 x( x (0, )) 与 指数函数
当 0<a<1 时，a 的值越小，图象越靠近 x 轴.
演示
练一练：
y
比较a、b、c、d、1 的大小 y=log a x y=log b x
0
1
x
y=log c x
y=log d x
答：b>a>1>d>c>0
学习目标
1. 利用对数函数的性质解决相关问题. 2. 数形结合解决实际问题. 3. 了解反函数的概念. 4.对数型函数的简单应用.
两个互为反函数的函数的图象关于直线 y＝x 对称 y＝ 2x y＝log2x 的反函数为 x 1 y log 1 x 的反函数为 y 2
2
结论:函数 y=logax (a＞0,且a≠1)是指数函数y=ax的反函数，反之，也成立.
对数型函数的应用
例3 溶液酸碱度的测量。 溶液酸碱度是通过pH刻画的， pH 的计算公式为pH=－lg[H+],其中[H+]表 示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。 (1)根据对数函数性质及上述pH的 计算公式，说明溶液酸碱度的与溶液中 氢离子的浓度之间的变化关系。 (2)已知纯净水中氢离子的浓度为 [H+]=10-7摩尔/升，计算纯净水的pH。
7
7
小结:
1. 对数函数的性质(单调性)应用. 2. 了解反函数的概念.
对数函数和指数函数互为反函数
两个互为反函数的函数的图象关于直线 y＝x 对称
作业:
系统集成P47 1，2，4，5
P49 1~7.
过定点（1 ,0），即 x = 1 时，y = 0 函数值 当 x＞1 时，y＞0 当 x＞1 时，y＜0 分布 当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
单调性 在( 0 , + ∞ ) 上是增函数
定点
在( 0 , + ∞ )上是减函数
注意
补充性质：
（1） 当 a>1 时，a 的值越大，图象越靠近 x 轴.