初三数学试卷及答案

2011学年第二学期六校联合第一次月考初三数学试卷总分：150分 考试时间：100分钟一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．在下列各数中，无理数是………………………………………………………………（ ） （A ）138； （B ）π ； （C ）4； （D ）227． 2．下列计算中，正确的是………………………………………………………………（ ） （A ）532a a a =+； （B ）632a a a =⋅； （C ）222532a a a =+； （D ）532)(a a =．3．已知a b >，c 是非零实数，那么下列结论一定正确的是…………………… （ ） （A ）22ac bc <； （B ）ac bc <； （C ）ac bc >； （D ）22ac bc >．4．在Rt △ABC 中，∠A=90°，如果BC = 1，∠B =β，那么下列结论正确的是（ ）（A ）βcos =AC ；（B ）sin AC β=；（C ）1cos AC β=；（D ）1sin AC β=．5．如果两圆的半径分别为2、5，圆心距为4，那么两圆的位置关系为………（ ） （A ）外切； （B ）相交； （C ）内切； （D ）内含．6．下列命题中错误的是……………………………………………………………（ ） （A ）平行四边形的对角相等； （B ）两条对角线相等的平行四边形是矩形； （C ）等腰梯形的对角线相等； （D ）对角线互相垂直的四边形是菱形． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．分解因式：=-a ax 2______________．8．方程x x =+2的解是________．9．计算：111x x -=+_______________．10．函数26y x =-的定义域是_______________．11．抛物线3)1(2+-=x y 的对称轴是直线 ． 12．如果反比例函数的图像经过点(12)，，那么这个反比例函数的解析式为 ． 13．已知一次函数2y k x =-的图像经过点（2，-4），那么这个一次函数的解析式是_________________________．14．从长度为2、3、5、7的四条线段中任意选取三条，这三条线段能够构成三角形的概率等于________________．15．在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE // BC ，AD ∶DB = 2∶3， 那么DE ∶BC = ______________．16．已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作DE // BC ，分别交边AB 、AC 于点D 、E ，那么用向量BC 表示向量ED 为________________． 17．如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且AD ⊥BD ，若AB=3，CD=1，那么A ∠的正弦值为 ．18．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒． 将ABC △绕直角顶点C 按顺时针方向旋转， 得''A B C △，斜边''A B 分别与BC 、AB 相交于点D 、E ，直角边'A C 与AB 交于点F ．若2CD AC ==，则'ACA ∠= 度．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分） 先化简，再求值：32)4(++•-x x x x ，其中121+=x ． FE DB'A'BA C第18题图A B C D 第17题20. （本题满分10分）解方程组：226320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩ 21．（本题满分10分）社区调研员小胡想了解她所居住的小区500户居民的家庭收入情况，从中随机调查了40户居民家庭的收入情况（收入取整数，单位：元）并绘制了如下的频数分布表和频数分布直方图．根据以上提供的信息，解答下列问题： （1） 补全频数分布表； （3分） （2） 补全频数分布直方图； （2分）（3） 这40户家庭收入的中位数位于小组； （2分） （4） 请你估计该居民小区家庭收入不足4000元的户数大约有 户．（3分） 22．（本题满分10分）（本题共2小题，每小题5分，满分10分）如图，在△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别是点D 、E ，点F 是边BC 的中点． AE = 6，AD = 8， AC = 12．求：（1）BE 的长； （2）∠BEF 的正切值．48 12 16 20 (元) A B C D EF （第22题）23．（本题满分12分，第（1）小题满分8分，第（2）小题满分4分）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，联结BE 、CD 相交于点O 。

（1）如果AB =AC ，AD =AE ，求证：OB =OC ；（2）在①OB =OC ，②BD =CE ，③∠ABE =∠ACD ，④∠BDC =∠CEB 四个条件中选取两个个作为条件，就能得到结论“△ABC 是等腰三角形”，那么这两个条件可以是： （只要填写一种情况）。

24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 如图，已知抛物线223y ax ax =-+（a<0）与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ,且OB=3OA ,抛物线的顶点记为P ．（1）求直线AB 的函数解析式；（2）求抛物线的顶点P 的坐标；（3）平移直线AB 使其过点P ，如果点M且锐角∠OAM 的正切值为23，求点M 的坐标．（第２3题）25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分） 如图，在矩形ABCD 中，AB = 4，BC = 3，点E 是边CD 上任意一点（点E 与点C 、D不重合），过点A 作AF ⊥AE ，交边CB 的延长线于点F ，联结EF ，交边AB 于点G ．设DE = x ，BF = y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果AD = BF ，求证：△AEF ∽△DEA ；（3）当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE 的长；如果不能，请说明理由．初三数学参考答案以及评分标准A BC D E F G （第25题图）A B C D （备用图1） A BC D （备用图2）一、选择题（每题4分，满分24分）1．B ； 2．C ； 3．D ； 4．B ； 5．B ； 6．D ．二、填空题：（每题4分，满分48分） 7．)1)(1(+-x x a ；8．２； 9．1(1)x x +； 10．x ≥3；11．1=x ；12．x y 2=13．2y x =--； 14．14；15．2∶5； 16．23BC -；17．17. 33；18． 30.三、解答题：（本大题共7题，满分48分）19. 解：32)4(++•-x xx x =3242++•-x x x x -----------------------------（2分） =132+=+-x x -------------------------------（4分）12121-=+=x ---------------------------------------------（2分）原式=21121=+-=+x ----------------------------------------（2分）20．解： 方法一：将22320x xy y -+=化为20x y -=和 0x y -=………………（2分）∴原方程组可化为：620x y x y +=⎧⎨-=⎩，60x y x y +=⎧⎨-=⎩………………………………………（4分）分别解这两个方程,可得原方程组的解为1142x y =⎧⎨=⎩，2233x y =⎧⎨=⎩…………………………（4分）方法二：将6y x =-代入22320x xy y -+=得27120x x -+=……………………（4分）解得 124,3x x == …………………………………………………………（2分） ∴122,3y y ==……………………………………………………………………（2分）∴原方程组的解为1142x y =⎧⎨=⎩，2233x y =⎧⎨=⎩…………………………………………………（2分）21．（本题满分10分）（1）频数分布表中＂频数＂栏从上往下依次填6、16，＂频率＂栏填40.0；…（3分） （2）图略； ……………………………（5分） （3）4999~4000； ……………………………（7分） （4）125． ……………………………（10分） 22. 解：（1）∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠ADB =∠AEC = 90°．…………………（1分）∵∠DAB =∠EAC ，∴△ADB ∽△AEC ．……………………………（1分）∴AD ABAE AC=．…………………………………………………………（1分） 由AE = 6，AD = 8，AC = 12，得AB =16． 于是，由16610BE AB AE =-=-=，∴BE = 10．………………………………………………………………（2分） （2）在Rt △AEC 中，∠AEC = 90°，AE = 6，AC = 12，利用勾股定理，得EC =1分） 在Rt △BEC 中，由∠BEC = 90°，由点F 是边BC 的中点，得EF = BF ． ∴∠BEF =∠B ．…………………………………………………………（2分）∴tan tan EC BEF B BE ∠=∠===．或EC tg BEF tg B BE ∠=∠===．……………………………（2分） 23． （1） 证明：∵AB =AC ，AD =AE ，∠A =∠A ， ········································ （1 分）∴△ABE ≌△ACD ． ···························································· （2 分） ∴∠ABE =∠ACD ． ······························································ （1分） ∵AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ． ··············································· （1分）∴∠OBC =∠OCB ． ······························································ （1分） ∴OB =OC ． ········································································ （2分） （2） ①③或①④或②③或②④． ························································· （4分）24. 解：（1） y=ax ²-2ax +3， 当0=x 时,3=y∴)3,0(B ………………………………………………………………………… （1分） ∴3=OB ，又OB=3OA ， ∴1=AO ∴)0,1(-A ………………………（2分）设直线AB 的解析式为(0)y kx b k =+≠,则根据题意,得:⎩⎨⎧==+-30b b k ，解得 33k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为33+=x y ．…………………………………………………（1分） （2）)0,1(-A ， ∴320++=a a ，∴1-=a ……………………………（1分）∴322++-=x x y 4)1(2+--=x …………………………………………（1分）∴抛物线顶点P 的坐标为（1，4）． ………………………………………………（1分）（3）设平移后的直线解析式m x y +=3点P 在此直线上，∴m +=34， 1=m∴平移后的直线解析式13+=x y ……………………………………………………（1分） 设点M 的坐标为)13,(+x x ，作ME x ⊥轴于点E 若点M 在x 轴上方时， 13+=x ME ，1+=x AE 在Rt △AME 中，由11323tan ++===∠x x AE ME OAM ，∴31=x ……………………（1分）∴)2,31(M …………………………………………………………………………………（1分） 若点M 在x 轴下方时， 13--=x ME ，x AE +=1 在Rt △AME 中，由x x AE ME OAM +--===∠11323tan ，∴95-=x ∴)32,95(--M ……………………………………………………………………………（1分）所以M 的坐标是)2,31(或)32,95(--………………………………………………………（1分）25．解：（1）在矩形ABCD 中，90BAD D ABC ∠=∠=∠=︒，AD = BC = 3．即得∠D =∠ABF ．……………………………………………………（1分）∵AF ⊥AE ，∴90EAF BAD ∠=∠=︒．又∵EAF BAF BAE ∠=∠+∠，BAD DAE BAE ∠=∠+∠，∴∠DAE =∠BAF ．……………………………………………………（1分） 于是，由∠D =∠ABF ，∠DAE =∠BAF ，得△DAE ∽△BAF ．∴AD DEAB BF=． 由DE = x ，BF = y ，得34x y =，即得43y x =．………………………（1分）∴y 关于x 的函数解析式是43y x =，定义域是04x <<．…………（1分） （2）∵AD = BF ，AD = BC ，∴BF = BC ．…………………………………（1分）在矩形ABCD 中，AB // CD ，∴1FG FBGE BC==．即得FG = EG ．…（2分）于是，由90EAF ∠=︒，得AG = FG ．∴∠F AG =∠AFG ．∴∠AFE =∠DAE ．……………………………………………………（2分） 于是，由EAF D ∠=∠，∠AFE =∠DAE ，得△AEF ∽△DEA ．……（1分） （3）当点E 在边CD 上移动时，△AEG 能成为等腰三角形．此时，① 当AG = EG 时，94DE =； ………………………………（1分）② 当AE = GE 时，32DE =；…………………………………（2分）③ 当AG = AE 时，78DE =．…………………………………（1分）。