瓦西列夫不等式研究综述
S05.瓦西列夫不等式的推广加强与类似
参赛队员 吴俊熹 熊奥林 刘哲 指导教师 杨志明 参赛学校 广东广雅中学 省份 广东省
目 录
摘要 ....................................................................................... 1 Summary .............................................................................. 2 一、背景知识......................................................................... 3 二、三维不等式 ..................................................................... 3 三、四维不等式 ................................................................... 13 四、五维不等式 ................................................................... 16 五、高维不等式 ................................................................... 18 六、加强形式 ....................................................................... 20 七、待解决的问题................................................................. 23 参考文献 .............................................................................. 24
瓦西列夫不等式的一种推广
文 章编 号 ：１０ — ４ ５２ １）３ ０ ６ ０ ０ ８ ５ ７ （０ １０ ～ ０ ６ ３
Ｅｘ ｅ ｉ ｎ ｏ ｓｌｖ Ｉ ｑ ｌｔ ｔ ｎｓｏ ｆｔ Ｖａ ｉｅ ｎｅ ｕａ ｉｙ ｈｅ
Ｚ Ａ０Ｘ ａ — ｌ Ｉ ＮＣ ｕ —ｎ Ｈ ｉｏＳ ，Ｑ Ａ ｂ ｈ ｎｌ ｉ
第２卷 第３ ２ 期 ２ １年 ９ ０１ 月
苏州市职业大学学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＳ ｚ ｕ Ｖｏ ａ ｏ Ｕｎ ｖｅ ｓｔ ｙ
Ｖｏ１ ２ ． Ｎｏ． ． ２ ３ Ｓｅ ｐ．， ２ １ ０１
瓦西 列夫不等式 的一种推广
．
ｊ Ｖ
［（＋ ＋ － ｙ＋ ｗ ｘ ｙ ２） 仃ｘ ｙ ｚ ２） ａ ＋ ＋ － ］ ｚ ｗ ｘ ２） （＋ ＋ － ｚ＋ （＋ ＋ － ｗ＋ （ ｚ ｗ ２） ｙ ＋
・
ｚ
【（ ＋ ＋ ２） ｘ ＋ － ｗ ＋ｒ ＋ ＋ － ｘ＋ （＋ ＋ ２） ｗ ｘ 一 ｚ＋ （＋ ｚ ２） ｃｙ ｚ ｗ ２） ８ｚ ｗ 一 ．】 （ ｙ＋
＋ ６＋ ｃ＋６ｄ ６＋ ｃ＋ ＋５ａ
．
ｃ＋ ｌｄ ＋ｏａ＋６ｂ ａ ＇
．
一
ｂ＋Ｃ＋ｄ
Ｃ ＋ｄ ＋ａ
ｄ＋ ａ＋ｂ
＋ ＋ ＋ ＼ ４ ＋ 十 ＋５ ６ ｃ （ ） ａ ＋ｂ＋ ｃ ３ ． ４ （）
一
一
证 明 设 ６ ｃ ， ｃ ＋ ｚ ＋ ６， ＋６ ｃ 贝 ： ＋ｚ ： ＋ ＋ ： ＋ ， ： ＋ ｗ： ＋ ， ｕ （ ＋ｗ一２ ） ６： １ ＋ｗ＋ ， （
（ ｅ ａ ｔ ｎ ｆＢ ｓｃＥ ｕ ａｉｎ，Ｓ ｚ ｏ ｏ ａｉｎ ｌＵｎｖ ｒｉｙ ｕ ｈ ｕ ２ ５０ Ｄ ｐ ｒｍｅ ｔｏ ａｉ ｄ ｃｔｏ ｕ ｈ ｕ Ｖ ｃ ｔ ａ ｉｅｓｔ ，Ｓ ｚ ｏ １ １４，Ｃ ｉａ ｏ ｈｎ ）
一类Gronwall- Bellman型不等式的统一证明及其推广
1．Gronwall- Bellman 型不等式简介 众所周知，Gronwall 型不等式在常微分方程、偏微分方程解的存在性、唯一性、稳定性
的研究及方程解的估计中起着极其重要的作用，对它的研究和推广，一直是数学工作者关注 的热点之一。
1919 年，Gronwall在研究微分方程的解关于参数可微性质时首次提出并证明了被后人称 之为Gronwall的不等式[1]：
（2.5）
或
u′(t) ≤ Ku(t)v(t) + A ， u(t0 ) ≤ M ， t ≥ t0 ，
(2.5)’
则有
{ } { } ∫ ∫ ∫ u(t) ≤ ⎢⎣⎡M +
t
A exp
t0
s t0
−
Kv(τ )dτ
ds⎥⎦⎤ exp
t
Kv(s)ds
t0
，t ≥ t0 。
（2.6）
证：设 f (t, x) = Kv(t)x + A ，则显然有 f ∈ C(R × R, R) ，且关于 x 不减，考虑微分
若
t
∫ u(t) ≤ ϕ(t) + t0 [u(s)v(s) + w(t)]ds ， t ≥ t0 ，
（2.11）
则有
{ } { } ∫ ∫ ∫ u(t) ≤ ϕ(t) + exp
t
v(s)ds
t0
t
[ϕ(s)vபைடு நூலகம்s) + w(s)]exp
t0
s − v(τ )dτ
t0
ds ， t ≥ t0 。
（2.12）
证：设 f (t, x) = Kx + A ，则显然有 f ∈ C(R × R, R) ，且关于 x 不减，考虑微分方程
双曲导数的schwarz-pick不等式的一个推论
设Ｚ１，Ｚ２∈Ｄ，则 ｚ１，ｚ２间的 Ｐｏｉｎｃａｒé距离为 ｄ（ｚ，ｚ２）＝ｌｎ｜｜１１－－ｚｚ１－１－ｚｚ２２｜｜－＋｜｜ｚｚ１１－－ｚｚ２２｜ 在 Ｐｏｉｎｃａｒé度量下，这两点的距离可定义为连 接这两点的曲线弧长的下确界。 对于上述命题，首先可证明 ｚ＝０到 ｚ＝ｒ（０＜ｒ ＜１）的 Ｐｏｉｎｃａｒé距离是
要使 ｆ（ｚ２）＞０，选 取 适 当 使 其 满 足。设 ｒ＝ｆ （ｚ２），那么 ｚ１和 ｚ２间的 Ｐｏｉｎｃａｒé距离为
ｄ（ｚ１，ｚ２）＝ｄ（０，ｒ）＝１ｎ１１＋－ｒｒ，
把 ｒ＝｜ｚ２－ｚ－１代入即可。 １－ｚ２ｚ１
Ｐｉｃｋ，Ｇ．Ａ将 Ｓｃｈｗａｒｚ引理进行改述并推广，设 ｆ
∶Ｄ→Ｄ是解析的，则对ｚ１，ｚ２，有 １－｜ｆ｜（ｆ（ｚ）ｚ）｜｜２１－１｜ｚ｜２和
是双曲度量。在这个度量下，称 ∫ｙ１２－｜ｄ｜ｚｚ｜｜２ 为 Ｄ内一条可求长弧 ｙ的非欧弧长。 在单位圆盘 Ｄ∈复平面 Ｃ上，两点间的双曲度
量 ｄ为 ｄ（ｚ，ｗ）＝１２ｌｏｇ１１＋－｜φφｗｗ（（ｚｚ））｜｜ 其中 φ（λ）＝τ－－λ∈ＡｕｔＤ，τ∈Ｄ其中 Ａｕｔ（Ｄ） １－τλ
是 Ｄ上的自同构，在 ０到 τ之间变化。 在文献 ２中，已证明在单位圆解析自同构映射
Ｓｃｈｗａｒｚ引理在单复变函数论中的重要理论，被 人们熟知并广泛应用。从几何观点来看，它主要阐 述对于任意的解析变换（满足），当它把单位圆变换 到一个单位圆内的区域上时，圆内任意非零点矩坐 标原点的距离没有它的像距坐标原点的距离近，如 果某一点的像和该点离坐标原点距离相同，则这个 区 域 是 单 位 圆，变 换 只 是 旋 转 而 已。１８８１年， Ｐｏｉｎｃａｒé，Ｊ．Ｈ引入 单 位 圆 盘 的 非 欧 度 量 后，得 出 在 单位圆解析自同构映射下，Ｐｏｉｎｃａｒé度量是不变的。 １９１６年，Ｐｉｃｋ，Ｇ．Ａ在此基础上进行推广，将 Ｓｃｈｗａｒｚ 引理重述为在非欧度量下，每一个单位圆盘到它自 身的解析映射是距离逐减的映射，即任意两点的像 点间的 Ｐｏｉｎｃａｒé度量小于等于这两点的 Ｐｏｉｎｃａｒé度 量。
瓦西列夫不等式的一点反思708111011
瓦西列夫不等式的一点反思708111011
赵化行苏树广
平阴县职业教育中心济南平阴 250400
摘要：本文反思了瓦西列夫不等式这一名题。
关键词：不等式瓦西列夫不等式赵氏不等式
上述资料来自互联网，本文发现这道命题有如下二元形式：
赵氏不等式：设a,b为正数，a+b=1,则
a2/b+b2/a≥1.
参考文献：
[1]张祖华，八次费马大定理的加强与摄动，《未来教育家》2017年第5卷第5期第2页。
[2]张祖华，费马小定理与费马大定理，《科学技术哲学》（已录用）。
[3]张祖华，广义费马大定理，《科教导刊》（已录用）。
[4]张祖华, 百次费马大定理的一组加强与推广,《内蒙古科技》（已录用）。
[5]张祖华,费马大定理的局部证明,《读写算》（已录用）。
[6]张祖华，时贞军，函数的单调性与费马大定理，《中国教育科学学报》2011年总第65期第43页。
高中数学竞赛中有关不等式的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学高中数学竞赛中有关不等式的研究不等式研究首先从欧洲国家兴起，东欧国家有一个较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。
目前，对不等式理论的研究的数学学者已经遍布世界各个国家。
当一个人站在满天星空之下，我们一定会为数之不尽的点点星光而感叹，也一定会为了特别闪亮的星星而特别的注视。
同样，数学中不等式也是那么那么的繁多。
在现在的不等式理论里，包含了更加全面的知识理论，回首过去，我们知道不等式理论是从 C.F.Gauss，A.L.Cauchy（只举极为最重要的）奠定近似方法的理论基础时开始发展起来的。
大约在十九世纪末和二十世纪初，许多不等式被证明了，其中一些成为了经典不等式，而大多则是孤立的、无联系的结果。
1934年出版的G..H..Hardy 的经典著作《不等式》，不等式领域从孤立公式的汇集改造成为系统的学科，这是全世界几乎公认的。
1.G.波利亚（涂泓、冯承天译）.《怎样解题》[M].上海科技教育出版社.2007,5世界著名数学家和数学教育家波利亚的《怎样解题》中文版于1948年问世，距今已60周年．在介绍波利亚生平的基础上，论述了3个方面的问题：（1）《怎样解题》的基本思想以及学者们研究发展它的情况；（2）波利亚的数学教育思想；（3）在学习接受波利亚数学教育思想的过程中应注意的问题.评论：这本书首先，让我们重温波利亚这位伟大数学教育家的思想精髓；其次，让我们了解数学教育工作的前辈们在6o年以前的民国时期做了些什么；再次，让我们认真地思考在新的条件下如何有效地发展波利亚的数学教育思想．在新的条件下如何有效地发展波利亚的数学教育思想．2.李名德,李胜宏.《高中数学竞赛培优教程》（一试）[M].浙江大学出版社.2007,3(2)13 5~152为了适应广大中学生对数学奥林匹克竞赛知道教程的需要，以及为从事中学数学工作者指导学生提供有益的参考资料，由浙江大学教授、博士生导师、全国数学奥林匹克竞赛领队李胜宏和浙江大学教授李名德先生主编的《高中数学竞赛培优教程》（一试）为我们指引了方向. 评论：本书详细的讲解了高中竞赛不等式的各种题型的证明、解法、应用以及三个重要不等式.3. 陈卓华.利用平凡不等式证明竞赛不等式[J].《中国科教创新导刊》.2008,8，95本文通过对《寻找匹配因子证明不等式》,《竞赛不等式的创新证法—向量内积法》、《也谈一类竞赛不等式的创新证法》三个文章中的不等式证明方法的研究和总结,设计出了利用本文列举的不等式来证明方法简单.评论：本文通过例题详细的讲解了如何利用匹配因子的方法，构造均值不等式证明不等式；如何利用向量内积的方法，构造向量来证明不等式；如何利用数学期望的性质，构造离散型随机变量的概率分布证明不等式。
FINSLER不等式的推广
。
得 靠广 大 的 数 学 爱 好 者们 作 进 一 步 探 讨
外在 验 证 时 还 意 外 地 发 现
) 的 边 长 之 间相 差 很 大 时 6
,
另
,
接 下 米 只 要 我 们仔 细 观 察 一 下 定 理
1
:
的
当 边形 3 ( (
,:
(
证 明就 会得 到 不 等式 ② 的 一 个 强 化结 沦
F IN S L E R 不 等式 的 推 广
安 徽 师范 大 学
第三 届 国 际 奥 林 匹 克数 学 竞 赛 中 有 这样
一道 题
:
陈远 利
a
、
多
、
其中
b
、
`
d
为其 四 边 之 长
a
,
a
为其 任 意
,
设
bZ
a
、
b
、
c
是 三 角形 的 三 条 边
,
一 组 对 角之 和 ( 显 然 有 O <
￡ =
、
等号
证 明 首先 注 意 到 对任 意 四 边 形 有 面 积 : = 公式 △ 。 。 。 ( 卜 ) 反而 示 飞 于 云 侧 ( 卜 ) ( 不 盯( 卜 ) d
一
成立
。
不 等 戊① 和 不 等式 ⑧ 分 别 反 映 了 三 角形 和 四 边 形 的 边 和 面 积 之 间的关 系
。
对 于五 边
<
2幼
长
,
△ 是 这 个 三 角形 的 面积
a 么 +
求证
:
士(
a +
b
+ c +
一些不等式的证明及推广【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学一些不等式的证明及推广一、前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）不等式是数学的基本内容之一, 它是研究许多数学分支的重要工具, 在数学中有着重要的地位。
数学家们给我们留下了一些经典的不等式, 这些不等式在学习中经常遇见。
本课题的主要任务是: 在查阅文献的基础上, 总结一些重要不等式( 如柯西不等式、赫尔德不等式等)的证明方法以及它们的推广形式。
首先，我们介绍这些重要的不等式。
柯西不等式[1]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，则222111n n ni i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。
赫尔德不等式[2]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，111 qp ，则 11111nnnpqp q i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。
当2p 时，赫尔德不等式即为柯西不等式。
反向赫尔德不等式[3]：设有两组实数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，111 qp ，则11111nn n pqp q i i i i i i i a b a b。
闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1 p ，则111111nnnpppp p p i i i i i i i a b a b，当且仅当1212nna a ab b b 时，等号成立。
反向闵可夫斯基不等式[3]：设有两组正数n a a a ,,21和12,,n b b b K ，1p 且0p ，则111111n n n pppp p p i i i i i i i a b a b。
二、主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）柯西不等式是著名的不等式之一，且不失为至善至美的重要不等式。
瓦西列夫不等式的指数推广
瓦西列夫不等式的指数推广
有名辉
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2011(000)007
【摘要】瓦西列夫不等式如下:命题A 设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则
(a2+b)/(b+c)+(b2+c)/(c+a)+(c2+a)/(a+b)≥2.文[2]通过类比,得到:命题B 设a,b,c∈R+,且a+b+c=1,则(a3+b)/(b+c)+(b3+c)/(c+a)+(c3+a)/(a+b)≥5/3.【总页数】2页(P18-19)
【作者】有名辉
【作者单位】浙江省杭州市安吉路实验学校(310006)
【正文语种】中文
【相关文献】
1.关于瓦西列夫不等式的探究 [J], 杨升强;王凡彬;李东圣;张洪波
2.一道IMO试题的引申与瓦西列夫不等式 [J], 李建潮
3.瓦西列夫不等式的推广再探 [J], 吕顺宁
4.瓦西列夫不等式的一种推广 [J], 赵晓苏;钱椿林
5.瓦西列夫不等式的一般形式 [J], 盛新根
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数学中的不等式和测度理论
数学中的不等式和测度理论数学中的不等式和测度理论是两个重要的分支，它们在许多领域中都有广泛的应用。
不等式理论研究了数值之间的大小关系，而测度理论则研究了集合的大小和结构。
本文将介绍不等式和测度理论的基本概念和应用。
一、不等式理论不等式理论是研究数值之间的大小关系的数学分支。
不等式在许多领域中都有广泛的应用，例如在经济学、物理学、工程学等等。
以下是一些常见的不等式以及其应用：1.1. 科尔莫戈洛夫不等式科尔莫戈洛夫不等式是概率论中的一种重要不等式，它描述了随机变量的方差与其离均值的偏离程度之间的关系。
该不等式在统计学和信息论中有广泛的应用。
1.2. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中的另一种重要不等式，它描述了随机变量与其均值之间的关系。
切比雪夫不等式给出了随机变量落在其均值附近的概率的一个上界，以及离均值较远的概率的一个下界。
1.3. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是概率论中的一种重要不等式，它用于研究随机变量与其期望之间的关系。
马尔可夫不等式给出了随机变量大于等于某个正常数的概率的一个上界。
二、测度理论测度理论是研究集合的大小和结构的数学分支。
测度是一种将集合映射到非负实数上的函数，它可以用来描述集合的大小。
以下是测度理论的一些基本概念和应用：2.1. 集合及其测度在测度理论中，我们使用集合和其测度来描述数学对象的大小和结构。
测度可以是实数轴上的长度、面积或体积，也可以是更一般的概念，如概率测度和测度空间中的测度。
2.2. 测度空间测度空间是一个包含了一组满足特定条件的集合的集合，并且给定了一个测度函数的数学结构。
测度空间可以用来研究集合的结构和性质。
2.3. 测度的应用测度理论在数学中有着广泛的应用，例如在概率论、实分析、函数论、拓扑学等领域中。
测度可以用来定义随机变量的概率分布、积分的定义和性质以及函数的收敛性等。
结论不等式理论和测度理论是数学中重要的分支，它们在许多领域中有广泛的应用。
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1 16 2 + 13
) 仍不是最佳的，因为（9）式与文
1 2 ，但在此前提下（8）式中 ∑ ( a − b) 的系数可为任意实数， 3 1 [8] ) 并非最佳.事实上笔者 至于（9）式与文 结果中的另一个取等条件则各不相同，因而 (1 − 16 2 + 13 5 运用“K-T”代换可将这一系数改进为 ，但仍不是最佳结果.这个最佳系数究竟为何？于是我们有如下 6 问题：设 a, b, c 是满足 a + b + c = 1 的正数，求使下述不等式恒成立的 λ 的最大值：
此外，关于瓦西列夫不等式的多元推广，亦是各具形态，多姿多彩，限于篇幅，这里不一一赘述了. [3] [4] 最近，笔者注意到文 尝试对瓦西列夫不等式所作的指数推广.该文利用文 的一个加强结果得到：
a3 + b 5 ∑ b+c ≥ 3 进而猜测：若 a, b, c > 0, a + b + c = 1, n ∈ N + ，则：
a 2 + b b2 + c c2 + a + + ≥2 (1) b+c c+a a+b a+b 由于不等式（1）等价于熟知不等式 ∑ ≥ 3 ，因而近年来国内一些数学期刊陆续刊出对该不等 b+c
式进行探究的文章.本文收集并利用其中部分文章的成果，旨在对该不等式作进一步探讨，以期引起广 泛关注，使相关结果趋于完美. 1. 瓦西列夫不等式的推广 [1] 文 最早将（1）式推广为：设 a, b, c 是满足 a + b + c = 1 的正数， t ≥ 1 ，则：
(3)
a n +1 + b 1 + 3n (4) ∑ b + c ≥ 2 × 3n−1 细加探究不难发现， （4）式只对 a ≥ b ≥ c （或 b ≥ c ≥ a 或 c ≥ a ≥ b ）成立，对于 a > c > b （或 c > b > a 或b > a > c） ， （4）式未必成立.
1
汪长银 安徽省太湖县大石一中 邮编：246421 13345564165 投稿日期：2009.4.8 E-mail:thwst129@ 收稿日期：2007.04.08
4
Байду номын сангаас
ta 2 + b a2 + b a2 a+b+c t +3 ( t 1) = + − ∑ b+c ∑ b+c ∑ b + c ≥ 2 + 2 (t − 1) = 2 a2 a+b+c ≥ （注意到这里 t − 1 ≥ 0 及 ∑ ） b+c 2 t 2 a +b 2 ta + ub a2 + b t a2 u ∑ b + c = u ∑ b + c = u[∑ b + c + ( u − 1)∑ b + c ] 1 t t + 3u ≥ u[2 + ( − 1)] = 2 u 2 t （注意到 t ≥ u > 0 有 ≥ 1 ） u
[4]
t=
1 16 2 + 13
[8]
.此外文 给出了（1）的一个加强形式：设 a, b, c 是满足 a + b + c = 1 的正数，则：
a2 + b 3 ∑ b + c ≥ 2 + 8 ∑ ( a − b) 2
[6] [8]
(7)
文 则将其进一步加强为（6）式.受文 的启示，笔者获得如下更强式： 定理 B： （题设同上） ，则有：
因1 −
1 16 2 + 13
= 0.832464119 >
3 ，知（8）式强于（6）式. 4
3. 尚需进一步探讨的问题
3
如前所述， n = 1, 2,3 时， （4）式成立， n ≥ 6 时， （4）式不恒成立.那么对于 n = 4 或 5 时， （4）式 是否成立，尚需进一步探明.此外， （8）式中的系数 (1 −
(∗)
2
(∗) 式 ⇔
3 1 (4 − 9k 2 − 3t 2 ) − (4 − 27 k 2 + 27 k 3 − 9t 2 − 27 kt 2 ) ≥ 1 4 2 2 3 2 ⇔ 27 k − 54k + 9t + 54kt 2 ≥ 0
⇔ 3k 2 (1 − 2k ) + t 2 (1 + 6k ) ≥ 0
a2 + b 1 )∑ ( a − b) 2 ∑ b + c ≥ 2 + (1 − 16 2 + 13
（8）式证明需要用到下述引理： 引理：设 a, b, c 是满足 a + b + c = 1 的非负实数，则：
(8)
∑ b + c ≥ 2 + ∑ ( a − b)
当且仅当 a = b = c = 下证（8）式： 证明：据文 有：
[8]
a
3
2
(9) （证明参见文[9]）
1 或 a, b, c 中其一为零，余二者相等时（9）式取等号. 3 (t ≥ 1 16 2 + 13 )
ta 2 + b t + 3 ∑ b+c ≥ 2
a 2 + wb 1 + 3w ≥ 于是 ∑ （其中 wt = 1 ） b+c 2 a + wb 3(1 + w) ∑ b+c ≥ 2 a+b a + wb a =∑ + ( w − 1)∑ 注意到： w∑ b+c b+c b+c 3 3 ≥ (1 + w) + ( w − 1)[ + ∑ (a − b) 2 ] （利用（9）式） 2 2 a+b w −1 ≥ 3+ ( a − b) 2 得： ∑ ∑ b+c w 2 1 a +b 从而 ∑ ≥ 2 + (1 − t )∑ (a − b) 2 ，取 t = 得（8）式. b+c 16 2 + 13
瓦西列夫不等式研究综述
汪长银 安徽省太湖县大石一中 246421 内容摘要： 本文简要概述了近两年国内部分数学期刊关于 “瓦西列夫不等式” 的相关研究， 利用 “K-T” 代换等方法及相关结论，分别给出了该不等式的指数推广和它的一个加强形式. 关键词：瓦西列夫不等式、推广、改进、加强、 “K-T”代换 《数学通讯》2006 年第 21 期刊载李学军，戎松魁老师介绍的一组优美的不等式，其中的瓦西列夫 不等式为： 设 a, b, c 是满足 a + b + c = 1 的正数，则：
及文 的一个加强结果：
[6]
3 3 2 a2 + b ∑ b + c ≥ 2 + 4 ∑ (a − b) = 2 + 2 [1 − 3∑ ab]
知此时欲证（5）式，只需证：
(6)
对 (∗) 式作“K-T”代换得：
3 14 [1 − 3∑ ab] + 5∑ ab − 3abc ≥ ⇔ 9∑ ab − 54abc ≥ 1 2 9
从而
1 + 36 a 7 +1 + b = 1.496133556 < = 1.502057613 ∑ b+c 2 × 35 、 （3）式表明， n 可取 1，2；近来笔者运用 接下来的问题自然是： （4）式的 n 至多可以取几？（1） [5] “K-T”代换方法 得到： n = 3 时， （4）式成立，即有： 定理 A：设 a, b, c ∈ R+ ，且 a + b + c = 1 ，则： a 4 + b 14 (5) ∑ b+c ≥ 9 证明：以上对（4）的探究表明，只要证 a ≥ c ≥ b 时（5）式成立即可. 1 1 t −k 1 t+k 不妨设 a = + k , c = + ，则 b = − 3 3 2 3 2 2 易知： > k ≥ 0, t ≥ 0 3 4 − 9k 2 − 3t 2 4 − 27 k 2 + 27 k 3 − 9t 2 − 27 kt 2 , abc = 经计算有 ∑ ab = 12 108 5 ( )4 2 1 5 1 54 14 a4 + b a4 （i） > k ≥ 时， a ≥ , b + c ≤ ， ∑ （5）式成立. > ≥ 6 = 3> ， 1 3 2 6 6 b+c b+c 6 9 6 4 2 1 a +b a +b （ii） > k ≥ 0 时，我们利用 ∑ =∑ − (∑ a 3 + ∑ a 2 ) b+c b+c 2 a2 + b =∑ − 2 + 5∑ ab − 3abc b+c
结果中虽具有共同取等条件 a = b = c =
a2 + b ∑ b + c ≥ 2 + λ ∑ ( a − b) 2
参考文献 [1]宋 庆.两个优美不等式的推广.中学数学,2007.4 [2]郝红宾.一个优美不等式的再推广.数学通讯,2007.（21） [3]李 歆.优美不等式中的三姐妹.数学通讯,2009.（1） [4]张 俊.瓦西列夫不等式的加强.数学通讯,2008.（9） 4 [5]汪长银，陈文东.“K-T”代换在一类三元对称不等式证明中的应用.不等式研究通讯,2007.○ [6]侯典峰.一个优美不等式加强的另证与进一步加强.不等式研究通讯,2008.○ 3 [7]万家练.一个不等式的改进.中学数学,2007.7 [8]杨学枝.一个不等式的最佳系数.中学数学,2008.1 [9]汪长银.一个不等式的最佳系数.不等式研究通讯,2008.○ 4