静定梁结构内力计算
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建筑力学第三章静定结构内力计算
01
02
03
04
排架是由两个单层刚架组成的 结构，其内力可以通过整体法
和分离法进行计算。
整体法是将两个单层刚架作为 一个整体进行分析，从而求得
整个排架的内力。
分离法是将排架拆分成两个单 层刚架进行分析，然后分别求
得每个单层刚架的内力。
在计算过程中，需要考虑到排 架的自重、外力以及支座反力
的影响。
组合结构的内力计算实例
03 静定结构的内力计算方法
截面法
总结词
通过在指定截面上截取隔离体，然后对隔离体进行受力分析，计算出内力的方法。
详细描述
截面法是静定结构内力计算的基本方法之一。在截面法中，我们首先在结构中选择一个或多个截面， 然后将这些截面处的杆件暂时断开，并分析这些杆件的内力。通过这种方法，我们可以确定每个杆件 的内力大小和方向。
组合结构是由两种或多种结构组成的 结构，其内力可以通过叠加法进行计 算。
在计算过程中，需要考虑到组合结构 是将每种结构的内力分别计算 出来，然后根据结构的特点进行叠加， 从而求得整个组合结构的内力。
05 静定结构内力计算的注意 事项
材料强度的考虑
材料强度
在计算静定结构内力时，必须考虑材 料的强度。不同的材料有不同的抗拉 、抗压、抗剪强度，应确保结构中的 应力不超过材料的容许应力。
节点法
总结词
通过分析节点处的平衡状态，计算出节点所受内力的方法。
详细描述
节点法是一种基于力的平衡原理的计算方法。在节点法中，我们首先确定节点 的位置和数量，然后分析每个节点处的平衡状态。通过这种方法，我们可以计 算出每个节点所受的内力大小和方向。
弯矩图法
总结词
通过绘制弯矩图，直观地表示出结构的弯矩 分布情况，进而计算出结构的内力。
单跨静定梁的内力计算
单跨静定梁的内力计算单跨静定梁的内力计算是结构力学中的一个基本问题，通过计算可以得到梁在不同位置处的剪力、弯矩和轴力等内力参数。
这些内力参数是设计和分析梁的性能和安全性的重要依据。
梁的内力计算可以通过多种方法进行，常见的有静力方法、能量方法和受力平衡方法等。
下面将介绍静力方法和能量方法这两种常用的计算方法，并简要说明计算步骤和注意事项。
1. 静力方法：静力方法是一种基于受力平衡的计算方法，通过平衡受力来计算内力。
具体步骤如下：1.1 绘制受力图：根据梁的受力情况，画出受力图，标注各个受力的方向和大小，包括支持力、荷载力、剪力和弯矩等。
1.2 利用受力平衡条件分析：根据受力平衡条件，设置适当的方程组，解方程组得到未知力的大小。
1.3 计算内力：根据受力图和已知力的大小，应用受力平衡和几何关系，计算梁的不同位置处的剪力、弯矩和轴力等内力。
2. 能量方法：能量方法是通过能量原理来计算内力的一种方法，包括弹性势能原理和最小势能原理。
具体步骤如下：2.1 建立适当的变形假设和应变位移关系：对梁的受力状态进行分析，建立适当的变形假设，如小位移假设，然后利用应变位移关系得到各部位的应变和位移。
2.2 建立应变能和位移能的表达式：利用应变能和位移能的定义，建立它们的表达式，一般包括弯曲应变能、剪切应变能和轴向应变能等。
2.3 建立总能量和平衡方程：将总能量表示为应变能和位移能的和，再应用极值原理，建立平衡方程，对系统总能量求导，使其达到极值。
2.4 计算内力：通过求解平衡方程，得到梁在不同位置处的内力。
在进行单跨静定梁的内力计算时，需要注意以下几点：- 细化受力图的绘制，要准确标注各个受力的方向和大小。
- 对于复杂的受力情况，可采用多段剖分的方法，将梁分割为多个小段进行分析，再将结果整合得到整体的内力。
- 静力和能量方法是两种常用的计算方法，其结果应尽可能一致，以确保计算结果的准确性。
- 在应用能量方法计算内力时，应根据实际情况选择适当的应变能和位移能表达式。
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
第三章 静定结构的内力计算
FAy
1 3a 4 FP a M q 3a 3a 2 5
第三章
静定结构的内力计算
M
B
0
3a 4 FAy 3a M q 3a FP a 0 2 5 1 3a 4 FAy FP a M q 3a 3a 2 5
第三章
无荷载 平行轴线
Q图
静定结构的内力计算
均布荷载
集中力 发生突变
P
集中力偶
无变化 发生突变
m
斜直线
M图
二次抛物线 凸向即q指向
出现尖点
两直线平行 备 注
Q=0区段M图 Q=0处，M 平行于轴线 达到极值
集中力作用截 集中力偶作用 面剪力无定义 面弯矩无定义
在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截面弯矩 等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。
第三章 静定结构的内力计算
第三章
静定结构的内力计算
§3-1单跨静定梁
一、静定结构概述 1．概念：是没有多余约束的几何不变体系。 2．特点：在任意荷载作用下，所有约束反力和内力都 可由静力平衡方程唯一确定。 平衡方程数目 = 未知量数目 3．常见的静定结构 常见的静定结构有：单跨静定梁、多跨静定梁、静 定平面刚架、三铰拱、静定平面桁架、静定组合结构等 (如下图）。
0 FYA FYA 0 FYB FYB
A
x
C
L
斜梁的反力与相应简支 梁的反力相同。
第三章
（2）内力
静定结构的内力计算
求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC： a FP1 A
FYA x Fp1 FYA
0
MC
结构力学二3-静定结构的内力计算
以例说明如下
例 绘制刚架的弯矩图。 解：
E 5kN
由刚架整体平衡条件 ∑X=0 得 HB=5kN← 此时不需再求竖向反力便可 绘出弯矩图。 有：
30
20 20 75 45
40
0
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN· m（外） MCD=20kN· m（外） MB=0 MDB=30kN· m（外） MDC=40kN· m（外）
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化
有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
→
↑
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制 截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均 布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值， 按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各 控制点。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
例 作图示刚架的内力图
RB↑
←HA
VA→
CB杆：
由∑ X=0 可得： M = CD RB=42kN↑ HA=48kN←， H （左） A=6×8=48kN← 由∑M144 VA=22kN↓ 48 A=0 可得： MEB=MEC=42×3 ↑ （2）逐杆绘M图 R=126kN = 126 · m （下） B 192 MDC=0 CD杆： M =42 × 6-20 × 3 由 ∑Y=0 可得： CB MCD=48kN·m（左） =192kN· m（下） VA=42-20=22kN↓
建筑力学静定结构内力计算
工业建筑及大跨度民用建筑中的屋架、托 架、檩条等常常采用桁架结构。
上弦杆 斜杆 竖杆
节间距离
下弦杆 跨度
桁架的计算简图常常采用下列假定： (1) 联结杆件的各结点，是无任何摩擦的理想铰。 (2) 各杆件的轴线都是直线，都在同一平面内，并且 都通过铰的中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上，并位于桁架平 面内。
Nc=33.3 kN (拉力)
求Nb:取Na与Nc的交点O为矩心， 如图 (c)所示，并将Nb在1结点处分 解为Vb、Hb，则： ∑MO=0: ∑MO=VAx+Vb(x+4)-10x-
20(x+2)=0 根据相似三角形的比例关系有： x=6m 将x=6代入∑MO 40×6+Vb×10-60-20×(6+2)=0 Vb=-2 kN 根据力Nb与其竖向分量Vb的比
也就是说，当杆件变形达到一定限度，点之间出 现开裂现象。当截面上的内力都达到了极限，所有点 之间都出现了裂缝，则意味着杆件发生断裂破坏了。
具体的定量表达将在后面介绍的强度条件中描述。
2、截面法
确定杆件某一截面中的内力，假想将杆件沿需求内力的 截面截开，使杆件分为两部分，取其中任一部分作为研究对 象。用作用于截面上的内力，代替舍去部分对留下部分的作 用力。 再由静力平衡条件求出此内力的方法，称为截面法。 截面法可归纳为两个步骤：
在桁架中，有时会出现轴力为零的杆件，它 们被称为零杆。在计算之前先断定出哪些杆件为 零杆，哪些杆件内力相等，可以使后续的计算大 大简化。在判别时，可以依照下列规律进行。
（1） 对于两杆结点，当没有外力作 用于该结点上时，则两杆均为零杆， 如图 (a)所示；当外力沿其中一杆的 方向作用时，该杆内力与外力相等， 另一杆为零杆，如图 (b)所示。 （2） 对于三杆结点，若其中两杆共 线，当无外力作用时，则第三杆为零 杆，其余两杆内力相等，且内力性质 相同（均为拉力或压力）。如图 (c) 所示。 （3） 对于四杆结点，当杆件两两共 线，且无外力作用时，则共线的各杆 内力相等，且性质相同。如图 (d)所
上弦杆 斜杆 竖杆
节间距离
下弦杆 跨度
桁架的计算简图常常采用下列假定： (1) 联结杆件的各结点，是无任何摩擦的理想铰。 (2) 各杆件的轴线都是直线，都在同一平面内，并且 都通过铰的中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上，并位于桁架平 面内。
Nc=33.3 kN (拉力)
求Nb:取Na与Nc的交点O为矩心， 如图 (c)所示，并将Nb在1结点处分 解为Vb、Hb，则： ∑MO=0: ∑MO=VAx+Vb(x+4)-10x-
20(x+2)=0 根据相似三角形的比例关系有： x=6m 将x=6代入∑MO 40×6+Vb×10-60-20×(6+2)=0 Vb=-2 kN 根据力Nb与其竖向分量Vb的比
也就是说，当杆件变形达到一定限度，点之间出 现开裂现象。当截面上的内力都达到了极限，所有点 之间都出现了裂缝，则意味着杆件发生断裂破坏了。
具体的定量表达将在后面介绍的强度条件中描述。
2、截面法
确定杆件某一截面中的内力，假想将杆件沿需求内力的 截面截开，使杆件分为两部分，取其中任一部分作为研究对 象。用作用于截面上的内力，代替舍去部分对留下部分的作 用力。 再由静力平衡条件求出此内力的方法，称为截面法。 截面法可归纳为两个步骤：
在桁架中，有时会出现轴力为零的杆件，它 们被称为零杆。在计算之前先断定出哪些杆件为 零杆，哪些杆件内力相等，可以使后续的计算大 大简化。在判别时，可以依照下列规律进行。
（1） 对于两杆结点，当没有外力作 用于该结点上时，则两杆均为零杆， 如图 (a)所示；当外力沿其中一杆的 方向作用时，该杆内力与外力相等， 另一杆为零杆，如图 (b)所示。 （2） 对于三杆结点，若其中两杆共 线，当无外力作用时，则第三杆为零 杆，其余两杆内力相等，且内力性质 相同（均为拉力或压力）。如图 (c) 所示。 （3） 对于四杆结点，当杆件两两共 线，且无外力作用时，则共线的各杆 内力相等，且性质相同。如图 (d)所
【土木建筑】第16章：静定结构的内力计算
= M0x
单跨静定梁小结
要求： １）理解内力、内力图的概念； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点： １）内力正、负号的判断； ２）叠加法做弯矩图。
§16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直 杆件与大地一起构成的结构。
绕曲线杆端切线
q
XA A
B XB
C
E
D B
A
• 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方 程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意 指定截面的内力，应用与梁相同的内力符 号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图 方法作内力图（M图、Q图、N图）
40kN
(+) (-)
40kN
q=20kN/m
B
C
P=40kN D
例16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 别计算的条件，并作梁的FQ、M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖 向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的 平衡方程，解两个未知数。 （２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆， 当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的 平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可 视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
２）求C截面的内力 切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向 将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点： １）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取 的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断 并代以约束力、内力。 ２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向， 由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向， 并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方 向。 ３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取 其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均 按规定的正方向画出。
单跨静定梁小结
要求： １）理解内力、内力图的概念； ２）了解梁的主要受力、变形特点； ３）理解并掌握截面法计算内力的方法； ４）熟练掌握用叠加法做直杆段的弯矩图。
本节难点及重点： １）内力正、负号的判断； ２）叠加法做弯矩图。
§16-2 多跨静定梁
多跨静定梁由相互在端部铰接、水平放置的若干直 杆件与大地一起构成的结构。
绕曲线杆端切线
q
XA A
B XB
C
E
D B
A
• 一、静定刚架支座反力的计算：平衡方 程
二、绘制内力图：用截面法求解刚架任意 指定截面的内力，应用与梁相同的内力符 号正负规定原则即相同的绘制规律与绘图 方法作内力图（M图、Q图、N图）
40kN
(+) (-)
40kN
q=20kN/m
B
C
P=40kN D
例16-2-2 分析图示多跨静定梁可分解成单跨梁分 别计算的条件，并作梁的FQ、M图。
分析：（１）图示梁的荷载以及约束的方向，是竖 向平行力系。一个平面平行力系只能列两个独立的 平衡方程，解两个未知数。 （２）杆ＣＥ有两个与大地相连的竖向支座链杆， 当仅在竖向荷载作用下时，可维持这个平行力系的 平衡。所以，杆ＣＥ在仅有竖向荷载的作用下，可 视为与杆ＡＢ同等的基本部分。
２）求C截面的内力 切开过C点的横截面，将梁分成两部分。取左侧
部分考虑，其暴露的截面上按规定的内力的正方向 将内力示出，建立静力平衡方程。
说明：计算内力要点： １）所取的隔离体（包括结构的整体、截面法截取 的局部），其隔离体周围的所有约束必须全部切断 并代以约束力、内力。 ２）对未知外力（如支座反力），可先假定其方向， 由计算后所得结果的正负判断所求力的实际方向， 并要求在计算结果后的圆括号内用箭线表示实际方 向。 ３）计算截面的内力时，截面两侧的隔离体可任取 其一，一般按其上外力最简原则选择。截面内力均 按规定的正方向画出。
力学与结构—静定结构内力计算
力学与结构—静定结构内力计算静定结构是指在静态平衡的情况下，具有确定的结构稳定的结构体系。
在静定结构内力计算中，我们主要关注结构中的受力情况，以及内力的计算和分析。
本文将介绍静定结构内力计算的基本原理和方法。
一、静定结构的受力情况静定结构中，每一点的受力都可以通过平衡方程来计算。
平衡方程包括力的平衡方程和力矩的平衡方程。
力的平衡方程：在静态平衡状态下，结构的受力合力为零，即ΣF=0力矩的平衡方程：在静态平衡状态下，结构的受力合力矩为零，即ΣM=0根据这两个平衡方程，我们可以计算出结构中各个节点的受力情况。
二、内力的计算和分析在静定结构中，内力是指结构中材料的内部受力情况。
在计算内力时，我们主要关注结构中的悬臂梁、简支梁、悬链线等情况。
1.悬臂梁悬臂梁是一种固定在一端的梁。
在计算悬臂梁的内力时，我们需要知道梁的长度、材料的性质、外力的作用点和大小等信息。
对于悬臂梁，内力可以通过以下公式计算：弯矩M=Px（P为力的大小，x为力的作用点到悬臂梁左端的距离）剪力V=P2.简支梁简支梁是一种两端都可以自由转动的梁。
在计算简支梁的内力时，我们同样需要知道梁的长度、材料的性质、外力的作用点和大小等信息。
对于简支梁，内力可以通过以下公式计算：弯矩M=Px（P为力的大小，x为力的作用点到简支梁左端的距离）剪力V=03.悬链线悬链线是一种线性受力的结构，常见于吊桥和高空绳索走廊等场景。
在计算悬链线的内力时，我们需要知道悬链线的长度、绳子的重力、外力的作用点和大小等信息。
对于悬链线，内力可以通过以下公式计算：水平力H=水平方向的外力的合力垂直力V=绳子的重力+垂直方向的外力的合力张力T = sqrt(H^2 + V^2)通过以上的方法，我们可以计算得到静定结构中各个节点的受力情况和内力。
三、静定结构内力计算的应用静定结构内力计算在结构工程中具有重要的应用价值。
通过计算内力，我们可以了解结构的受力情况，选择合适的材料和结构参数，保证结构的安全性和稳定性。
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X oA 0
X 0
3.1 梁的内力计算 二、斜梁
2、内力计算
M qlx / 2 qx2 / 2
Q
竖直链杆斜梁内力计算
x
N
Q (ql / 2 qx) cos N (ql / 2 qx) sin MFra bibliotekQ0 N0
M 0 qlx / 2 qx2 / 2
Q o ql / 2 qx
（二）分段叠加法原理
XA 0
15KN YA
45KN.m
25KN.m
YB
25KN
X XM 0 Y 8810 44 3500 Y 15KN M 00 Y 0 10 Y 25KN
BA AA B A B
15KN 0 15KN 15KN 45KN.m 0 0 25KN 25KN 0
A A A D D A D A D
2、内力计算
弯矩图特点：无外力偶作用的两杆汇交刚结点，两杆端弯矩在数值上大小相等，
受拉侧“相同”，可称为“可展性”。
内力图特点
1.典型杆段
① q=0 ② q=C Q—常数 Q—斜直线 M—直线 M—二次抛物线
③ M图凸向与荷载方向一致
2.特殊点
① 集中力作用点两侧，M相等，Q突变 ② 集中力偶作用点两侧，M突变，Q相等 ③ 悬臂端（自由端）、铰支杆端、铰结杆端、均为已知 ④ 直杆段中的铰不改变M-Q-q间的微分关系 ⑤ 无外力偶作用的两杆汇交刚结点M图可展
1. 描点法：列方程，根据方程描点作图 2. 利用微分关系作图 3. 叠加法作图
四、荷载与内力之间的微分关系
五、常用的简单荷载作用下的弯距图
§2 静定结构支座反力的分析方法
一、选择适当的研究对象
1. 独立体的概念
独立体：能应用自身的平衡条件求出作用自身的所有未知力者。 （1）承受一般力系：未知力不多于三个 （2）对承受汇交力系者：未知力不多于两个
例2: 作出图示刚架的M、Q、N图
C
15KN
D
2m
C
15KN
D B
B
2m
YD
A
4m
XA
A
YA
解:
1、求支座反力
X 0, X 15 0, X 15() M 0,Y 4 15 2 0,Y 7.5() Y 0,Y Y 0,Y Y 7.5()
无外力偶时
M=0
有外力偶m时 M=m
3.Q=0的问题
① 点 —— M取极值 ② 段 —— M为常数
4.轴力图
外力与杆轴垂直或无载的杆件，其轴力为常数
练习
例3: 求图示刚架的支座反力 q ql 2 ql
l
解:
F
A
x
0, X A ql 0, X A ql()
A A
XA
MA
YA
l 2 l 2
P
A
0, M B pl / 2(顺时针转 )
YA
l
例4: 作图示结构弯矩图
Pl / 2 Pl / 2 l/2
P
练习: 作弯矩图
P P
l
l/2
l l
Pl / 2
l
2 Pl
Pl
Pl
P
l l
例5: 作图示结构弯矩图
Pl / 2 Pl / 2 l/2
P
练习: 作弯矩图
P P
l
l/2
l l
Pl / 2
No 0
M0
x
斜梁
斜梁的内力图特点
3.1 梁的内力计算
二、斜梁
1、支反力计算
XA X 'A
水平链杆斜梁内力计算
Y 'A YA YB
A
Y 'B
M 0 Y 0
X 0
X B ql / 2tg
X A ql / 2tg
YA ql
M 0 Y 0
A
Y o B ql / 2
25KN
45KN.m
25KN.m
25KN.m
15KN
25KN
0
20KN.m
0
45KN.m
25KN.m
两端弯矩已知的杆段M图作法：
以两端弯距竖标的端点联线 为基准线，作出视该杆段为简支 25KN 梁时其在跨间荷载作用下的弯距 0 图，最后所画轮廓线与杆轴线所 25KN.m 围图形即该杆段的M图。
15KN 45KN.m 45KN.m 0 35 25KN.m
2. 半独立体的概念
半独立体：能应用自身的平衡条件，求出作用自身的部分未知力者。
对承受一般力系者：未知力虽多于三个 （1）除一个未知力外，其余的未知力平行 （2）除一个未知力外，其余的未知力汇交
3. 研究对象选择原则
优先选择独立体、半独立体；再依次研究新出现的独立体，半独立体。
二、关于平衡方程形式的选择问题
Y o A ql / 2
X oA 0
X 0
3.1 梁的内力计算
二、斜梁
2、内力计算
水平链杆斜梁内力计算
M qlx / 2 qx2 / 2
Q
M
N Q (ql / 2 qx) cos
Q0 N0 M0
M 0 qlx / 2 qx2 / 2
Q o ql / 2 qx
20
0
15KN 45KN.m 20 25KN.m
25KN
（三）分段叠加法作M图步骤
1.求支反力
2.内力计算 （1）确定控制截面，求M控，标在受拉侧； （2）无载联直线，有载联虚线，再叠简支。
例
XA
YA YB
解： 1.求支反力
X 0 X 0 M 0 Y 17KN M A 0 YB 7KN
ql2 / 2
q
练习: 作图示结构弯矩图
q
ql / 2
l
ql l / 2
ql
l
q
l/2
l
l
l
q
l
练习: 作图示结构弯矩图
q
ql
5ql / 4
q
l
ql
l/2 l/2
l
5ql / 4
l l
ql
l
5ql2 / 4
ql
2
3ql2 / 2 5ql2 / 4
例8: 作图示结构弯矩图
（二）内力计算步骤
1. 求支座反力 2. 内力计算 对M、Q、N分别
A. 确定控制截面位置 B. 求控制截面内力 C. 绘内力图
例1
P
解： 1、M
B C
L
MCB=0 MBA=PL（左）
2、Q
3、N
MBC=PL（上）
MAB=PL（左） QBA=0 NBA=-P
A
L
QBC=P NBC=0
PL
P
+
- P M图 Q图 N图
3. 内力表示方法方法：双脚标表示
4. 正、负号约定：约定M的纵坐标（竖距）画受拉纤维一侧；Q、N同前
5. 算式
弯距=截面一边所有外力对截面形心的力矩代数和 剪力=截面一边所有外力沿截面切线方向投影代数和
轴力=截面一边所有外力沿截面法线方向投影代数和
m 0 Y 0 X 0
（三）画内力图
M
D
0
XD
YD YE
YE 4 10 4 2 0 YE 20kN
2. 以BCDE为研究对象
M
B
0
XB YB YC YE
YE 8 YC 3 10 8 4 0 160 YC kN 3
（四）三铰结构
若结构体系（不含基础）有两个刚片，其与基础的联结满足三刚片规则，则称 其为三铰结构。
2、分类
竖直链杆斜梁
水平链杆斜梁
3.1 梁的内力计算
二、斜梁
1、支反力计算
斜梁
XA
竖直链杆斜梁内力计算
X oA
相当梁
Y oA
YA
A
M 0 Y 0
X 0
YB YB ql / 2
YA ql / 2
XA 0
M 0 Y 0
A
Y oB Y o B ql / 2
Y o A ql / 2
2.变形特点：变形前后各杆夹角不变。
3.受力特点：M、Q、N，主要内力为M。 4.M分布均匀，峰值小。 5.由于利用了刚结点，使得结构的杆件数目减少，空间大，整体性好。
四、刚架的内力计算
（一）杆端内力
1. 分段原则：原则上一杆一段。 2. 轴力分布特征
N P N
外力与杆轴垂直或无载的杆件，其轴力为常数。
1. 思考方法
排除法：把其余力排除于平衡方程之外。
2. 措施
“求谁不管谁”：不考虑待求未知力，而考虑其它未知力有什么特点。
1. 其余未知力平行，在其垂直方向投影。 2. 其余未知力汇交于一点，对该点取矩。
三、静定结构支座反力计算
（一）悬臂结构
用一个固定端与基础相联结的结构称为悬臂结构。
计算特点：免
1.分析方法
（1）以整体为研究对象，列三个平衡方程。 （2）以中间铰C一侧为研究对象，列一个平衡方程。
2.简单三铰结构 例
XA
XB YA YB
3.复杂三铰结构
O1 O2
整体为研究对象
C A E B D O1 F
M
O1
0
BC为研究对象
M
B
0
注意：
Y1 Y2 Y3 Y4
（1）先求的两个未知力应作用于同一 刚片上。 （2）两个方程应取不同的研究对象。
X 0
3.1 梁的内力计算 二、斜梁
2、内力计算
M qlx / 2 qx2 / 2
Q
竖直链杆斜梁内力计算
x
N
Q (ql / 2 qx) cos N (ql / 2 qx) sin MFra bibliotekQ0 N0
M 0 qlx / 2 qx2 / 2
Q o ql / 2 qx
（二）分段叠加法原理
XA 0
15KN YA
45KN.m
25KN.m
YB
25KN
X XM 0 Y 8810 44 3500 Y 15KN M 00 Y 0 10 Y 25KN
BA AA B A B
15KN 0 15KN 15KN 45KN.m 0 0 25KN 25KN 0
A A A D D A D A D
2、内力计算
弯矩图特点：无外力偶作用的两杆汇交刚结点，两杆端弯矩在数值上大小相等，
受拉侧“相同”，可称为“可展性”。
内力图特点
1.典型杆段
① q=0 ② q=C Q—常数 Q—斜直线 M—直线 M—二次抛物线
③ M图凸向与荷载方向一致
2.特殊点
① 集中力作用点两侧，M相等，Q突变 ② 集中力偶作用点两侧，M突变，Q相等 ③ 悬臂端（自由端）、铰支杆端、铰结杆端、均为已知 ④ 直杆段中的铰不改变M-Q-q间的微分关系 ⑤ 无外力偶作用的两杆汇交刚结点M图可展
1. 描点法：列方程，根据方程描点作图 2. 利用微分关系作图 3. 叠加法作图
四、荷载与内力之间的微分关系
五、常用的简单荷载作用下的弯距图
§2 静定结构支座反力的分析方法
一、选择适当的研究对象
1. 独立体的概念
独立体：能应用自身的平衡条件求出作用自身的所有未知力者。 （1）承受一般力系：未知力不多于三个 （2）对承受汇交力系者：未知力不多于两个
例2: 作出图示刚架的M、Q、N图
C
15KN
D
2m
C
15KN
D B
B
2m
YD
A
4m
XA
A
YA
解:
1、求支座反力
X 0, X 15 0, X 15() M 0,Y 4 15 2 0,Y 7.5() Y 0,Y Y 0,Y Y 7.5()
无外力偶时
M=0
有外力偶m时 M=m
3.Q=0的问题
① 点 —— M取极值 ② 段 —— M为常数
4.轴力图
外力与杆轴垂直或无载的杆件，其轴力为常数
练习
例3: 求图示刚架的支座反力 q ql 2 ql
l
解:
F
A
x
0, X A ql 0, X A ql()
A A
XA
MA
YA
l 2 l 2
P
A
0, M B pl / 2(顺时针转 )
YA
l
例4: 作图示结构弯矩图
Pl / 2 Pl / 2 l/2
P
练习: 作弯矩图
P P
l
l/2
l l
Pl / 2
l
2 Pl
Pl
Pl
P
l l
例5: 作图示结构弯矩图
Pl / 2 Pl / 2 l/2
P
练习: 作弯矩图
P P
l
l/2
l l
Pl / 2
No 0
M0
x
斜梁
斜梁的内力图特点
3.1 梁的内力计算
二、斜梁
1、支反力计算
XA X 'A
水平链杆斜梁内力计算
Y 'A YA YB
A
Y 'B
M 0 Y 0
X 0
X B ql / 2tg
X A ql / 2tg
YA ql
M 0 Y 0
A
Y o B ql / 2
25KN
45KN.m
25KN.m
25KN.m
15KN
25KN
0
20KN.m
0
45KN.m
25KN.m
两端弯矩已知的杆段M图作法：
以两端弯距竖标的端点联线 为基准线，作出视该杆段为简支 25KN 梁时其在跨间荷载作用下的弯距 0 图，最后所画轮廓线与杆轴线所 25KN.m 围图形即该杆段的M图。
15KN 45KN.m 45KN.m 0 35 25KN.m
2. 半独立体的概念
半独立体：能应用自身的平衡条件，求出作用自身的部分未知力者。
对承受一般力系者：未知力虽多于三个 （1）除一个未知力外，其余的未知力平行 （2）除一个未知力外，其余的未知力汇交
3. 研究对象选择原则
优先选择独立体、半独立体；再依次研究新出现的独立体，半独立体。
二、关于平衡方程形式的选择问题
Y o A ql / 2
X oA 0
X 0
3.1 梁的内力计算
二、斜梁
2、内力计算
水平链杆斜梁内力计算
M qlx / 2 qx2 / 2
Q
M
N Q (ql / 2 qx) cos
Q0 N0 M0
M 0 qlx / 2 qx2 / 2
Q o ql / 2 qx
20
0
15KN 45KN.m 20 25KN.m
25KN
（三）分段叠加法作M图步骤
1.求支反力
2.内力计算 （1）确定控制截面，求M控，标在受拉侧； （2）无载联直线，有载联虚线，再叠简支。
例
XA
YA YB
解： 1.求支反力
X 0 X 0 M 0 Y 17KN M A 0 YB 7KN
ql2 / 2
q
练习: 作图示结构弯矩图
q
ql / 2
l
ql l / 2
ql
l
q
l/2
l
l
l
q
l
练习: 作图示结构弯矩图
q
ql
5ql / 4
q
l
ql
l/2 l/2
l
5ql / 4
l l
ql
l
5ql2 / 4
ql
2
3ql2 / 2 5ql2 / 4
例8: 作图示结构弯矩图
（二）内力计算步骤
1. 求支座反力 2. 内力计算 对M、Q、N分别
A. 确定控制截面位置 B. 求控制截面内力 C. 绘内力图
例1
P
解： 1、M
B C
L
MCB=0 MBA=PL（左）
2、Q
3、N
MBC=PL（上）
MAB=PL（左） QBA=0 NBA=-P
A
L
QBC=P NBC=0
PL
P
+
- P M图 Q图 N图
3. 内力表示方法方法：双脚标表示
4. 正、负号约定：约定M的纵坐标（竖距）画受拉纤维一侧；Q、N同前
5. 算式
弯距=截面一边所有外力对截面形心的力矩代数和 剪力=截面一边所有外力沿截面切线方向投影代数和
轴力=截面一边所有外力沿截面法线方向投影代数和
m 0 Y 0 X 0
（三）画内力图
M
D
0
XD
YD YE
YE 4 10 4 2 0 YE 20kN
2. 以BCDE为研究对象
M
B
0
XB YB YC YE
YE 8 YC 3 10 8 4 0 160 YC kN 3
（四）三铰结构
若结构体系（不含基础）有两个刚片，其与基础的联结满足三刚片规则，则称 其为三铰结构。
2、分类
竖直链杆斜梁
水平链杆斜梁
3.1 梁的内力计算
二、斜梁
1、支反力计算
斜梁
XA
竖直链杆斜梁内力计算
X oA
相当梁
Y oA
YA
A
M 0 Y 0
X 0
YB YB ql / 2
YA ql / 2
XA 0
M 0 Y 0
A
Y oB Y o B ql / 2
Y o A ql / 2
2.变形特点：变形前后各杆夹角不变。
3.受力特点：M、Q、N，主要内力为M。 4.M分布均匀，峰值小。 5.由于利用了刚结点，使得结构的杆件数目减少，空间大，整体性好。
四、刚架的内力计算
（一）杆端内力
1. 分段原则：原则上一杆一段。 2. 轴力分布特征
N P N
外力与杆轴垂直或无载的杆件，其轴力为常数。
1. 思考方法
排除法：把其余力排除于平衡方程之外。
2. 措施
“求谁不管谁”：不考虑待求未知力，而考虑其它未知力有什么特点。
1. 其余未知力平行，在其垂直方向投影。 2. 其余未知力汇交于一点，对该点取矩。
三、静定结构支座反力计算
（一）悬臂结构
用一个固定端与基础相联结的结构称为悬臂结构。
计算特点：免
1.分析方法
（1）以整体为研究对象，列三个平衡方程。 （2）以中间铰C一侧为研究对象，列一个平衡方程。
2.简单三铰结构 例
XA
XB YA YB
3.复杂三铰结构
O1 O2
整体为研究对象
C A E B D O1 F
M
O1
0
BC为研究对象
M
B
0
注意：
Y1 Y2 Y3 Y4
（1）先求的两个未知力应作用于同一 刚片上。 （2）两个方程应取不同的研究对象。