结构力学静定结构内力计算
结构力学静定结构内力计算(2)
0 A
0 MK MK Hy
K
C b1
QK Q cos H sin
0 K
a1 VA0 a2 a3
b2
b3
VB0
NK Q sin H cos
0 K
二、三铰拱的合理拱轴线
使拱在给定荷载下只 0 M M H y 0 产生轴力的拱轴线，被 称为与该荷载对应的合 0 M 理拱轴 y
a1 b1
H VA
VA0 Mc0
VB=VB0
VA0
a2
a3
b2
b3
VB 0
VA=VA0 H= MC0 / f
HA=HB =H
（二）内力的计算公式
y
P
1
P K 2
A
x
y f
l/2 l x l/2 P2
C
P3
B
P1
QK M K NK
HB
HA VA
P1
0 QK
HA VA
A P1
0 MK
VB
P3 B
V
第三章 静定结构的内力计算
§3-3 三铰拱
一、概述 拱：在竖向荷载作用下产生水平推力得曲杆结构。
曲梁
拱
三铰拱： 静定拱式结构。
拱顶
顶铰 矢高
拱脚
拱跨
拱脚
矢跨比：f / l
拱的受力特点： 由于推力的存在，使拱的弯矩比同跨同荷载的 简支梁弯矩要小得很多，或者几乎没有。使拱 成为一个受压为主或单纯受压的结构。
H
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下 的合理拱轴线 MC0=ql2/8 H=ql2/8f
03结构力学 第三章 静定结构的内力计算3.3 静定刚架的内力计算(邓军)
轴力仍以受拉为正，受压为负；轴力图可画在杆件的任一侧或 与纵坐标对称地画在杆件的两边，但需在轴力图上标明正负号。
§3.3 静定刚架的计算
例1 绘制如图所示门式刚架在半跨均布荷载作用下的内力图。
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
静定刚架的组成及类型
平面刚架是由直杆（梁和柱）组成的平面结构。
刚架中的结点部分或全部是刚节点。
在刚节点处，各杆件连成一个整体，杆件之间不能发生相对 移动和相对转动，刚架变形时各杆之间的夹角保持不变，因 此刚节点能够承受弯矩、剪力和轴力。
解：
1）求支座反力 由整体平衡方程可得
M A 0, 6 3 12FyB 0 M B 0, 6 9 12FyA 0
X 0, FxA FxB 0
取铰C右边部分为隔离体
MC 0, 6.5FxB 6FyB 0
求得
FyB =1.5kN() FyA=4.5kN() FxA =1.384 kN()
§3.3 静定刚架的计算
2）作弯矩图
求出杆端弯矩（设弯矩方正向为使刚架内侧受拉）后，画于受 拉一侧并连以直线，再叠加简支梁的弯矩图。
以DC杆为例
M DC 1.384 4.5 6.23kN m, MCD 0
CD中点弯矩为 1.3845.5 133 1 1 4.5 6 1.388kN m 22
（2）为计算静定刚架位移和分析超静定刚架打下基础。
2）刚架各杆内力的求法
从力学观点看，刚架是梁的组合结构，因此刚架的内力求法 原则上与梁的内力计算相同。 通常是利用刚架的整体或个体的平衡条件求出各支座反力和 铰接点处的约束反力，然后用截面法逐个计算杆件内力。
结构力学 第三章 静定结构的内力计算(典型例题练习题).
［例题3-2-1］作简支梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程［例题3-2-2］作外伸梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程［例题3-2-3］作外伸梁的剪力图与弯矩图。
解：求支座反力荷载叠加法平衡方程［例题3-3-1］作多跨静定梁的内力图。
解：求支座反力荷载叠加法［例题3-3-2］作三跨静定梁的内力图。
解：求支座反力［例题3-3-3］ 作多跨静定梁的内力图。
解：求支座反力［例题3-4-1］ 作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-2］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-3］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-4］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-5］作三铰刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-6］作三铰刚架的内力图解：求支座反力??［例题3-4-7］作静定刚架的内力图解：求支座反力［例题3-4-8］作静定刚架的图解：［例题3-4-9］作静定刚架的图解：［例题3-4-10］作静定刚架的图解：［例题3-4-11］作静定刚架的图解：［例题3-4-12］作静定刚架的图解：［例题3-4-13］作静定刚架的图解：［例题3-4-14］作静定刚架的图解：求支座反力?［例题3-4-15］作静定刚架的图解：［例题3-5-1］???求支座反力当时?????? ? ?????［例3-5-2］??? 试求对称三铰拱在竖向均布荷载作用下的合理轴线。
解：相应简支梁的弯矩方程为水平推力合理轴线方程为合理轴线为一抛物线。
［例3-6-1］用结点法求桁架各杆的内力。
解：求支座反力解题路径：以结点为对象以结点为对象以结点为对象以结点为对象［例3-6-2］用结点法求桁架各杆的内力。
解：求支座反力平衡方程荷载叠加法解题路径：以结点为对象以结点为对象以结点为对象以结点为对象以结点为对象以结点为对象以结点为对象［例3-6-3］用结点法求桁架各杆的内力。
解：利用对称性，求支座反力解题路径：以结点为对象?以结点为对象以结点为对象以结点为对象例3-6-4］指出桁架的零杆。
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
结构力学二3-静定结构的内力计算
以例说明如下
例 绘制刚架的弯矩图。 解：
E 5kN
由刚架整体平衡条件 ∑X=0 得 HB=5kN← 此时不需再求竖向反力便可 绘出弯矩图。 有：
30
20 20 75 45
40
0
MA=0 , MEC=0 MCE=20kN· m（外） MCD=20kN· m（外） MB=0 MDB=30kN· m（外） MDC=40kN· m（外）
有突变
铰或 作用处 自由端 (无m）
m
Q图
M图
水平线
⊕
⊖㊀
Q=0 处 突变值为P 如变号 无变化
有极值 尖角指向同P 有极值 有突变 M=0 有尖角
斜直线
→
↑
利用上述关系可迅速正确地绘制梁的内力图（简易法）
简易法绘制内力图的一般步骤：
（1）求支反力。 （2）分段：凡外力不连续处均应作为分段点， 如集中力和集中力偶作用处，均布荷载两端点等。 （3）定点：据各梁段的内力图形状，选定控制 截面。如集中力和集中力偶作用点两侧的截面、均 布荷载起迄点等。用截面法求出这些截面的内力值， 按比例绘出相应的内力竖标，便定出了内力图的各 控制点。
说明：
（a）M图画在杆件受拉的一侧。 （b）Q、N的正负号规定同梁。Q、N图可画在杆的 任意一侧，但必须注明正负号。 （c）汇交于一点的各杆端截 面的内力用两个下标表示，例如： MAB表示AB杆A端的弯矩。 MAB
例 作图示刚架的内力图
RB↑
←HA
VA→
CB杆：
由∑ X=0 可得： M = CD RB=42kN↑ HA=48kN←， H （左） A=6×8=48kN← 由∑M144 VA=22kN↓ 48 A=0 可得： MEB=MEC=42×3 ↑ （2）逐杆绘M图 R=126kN = 126 · m （下） B 192 MDC=0 CD杆： M =42 × 6-20 × 3 由 ∑Y=0 可得： CB MCD=48kN·m（左） =192kN· m（下） VA=42-20=22kN↓
结构力学静定结构的内力计算图文
dM
q(x)
（1）微分关系 dx FQ
dx
dFQ q dx
q
FQ
M+d M
M d x FQ+d FQ
MA FQA
d 2M
q
Fy
dx2
FQ
m0 M
dx
M+ M
（2）增量关系
FQ+F Q
FQ Fy M m0
（3）积分关系 由dFQ = – q·d x
qy
FQB FQA
xB xA
q
y
dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱMB
静定结构内力计算过程中需注意的几点问题： （1）弯矩图习惯画在杆件受拉边、不用标注正负号，轴力图和剪力图可画 在杆件任一边，需要标注正负号。 （2）内力图要写清名称、单位、控制截面处纵坐标的大小，各纵坐标的长 度应成比例。 （3）截面法求内力所列平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系 统，不可混淆。
四、 分段叠加法作弯矩图
MA
q
MB
P
M
MA
M
MA
M
+
M
M M M
A
MA
MB
FNA
FyA MA
MB
Fy0A
MA
q q q
M M
B MB
FNB FyB
MB
Fy0B
MB
例：4kN·m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN·m
（2）集中力偶作用下
4kN·m 2kN·m
（3）叠加得弯矩图
4kN·m
4kN·m
§3-2 静定梁
❖ 静定梁分为静定单跨梁和静定多跨梁。单跨梁的结构形式有水平梁、斜
静定结构的内力计算 教程
拆成单个杆,求出杆两端的弯矩,按与单跨梁相同的方法画弯矩图 (1)无荷载分布段(q=0), FQ图为水平线,M图为斜直线。 (2)均布荷载段(q=常数), FQ图为斜直线,M图为抛物线,且凸向与荷 载指向相同。 (3)集中力作用处,FQ图有突变,且突变量等于力值; M图有尖点,且指 向与荷载相同。 (4)集中力偶作用处, M图有突变,且突变量等于力偶值; FQ图无变化。
工程力学
第十四章
静定结构的内力计算
b、求D点的内力 先求计算参数：
xD 3m
dy 4 f 4 4 tg D 2 ( L 2 x) 2 (12 2 3) 0.667 dx L 12 MD D 3342' Cos D 0.832
4 4 yD 2 (12 3) 3 3m 12
工程力学
第十四章
静定结构的内力计算
3、杆端内力的计算 先求出刚架的支座反力，再利用截面法求出各杆杆端内力 (1)在待求内力的截面截开，取任一部分为隔离体。 (2)画隔离体的受力图。 (3)利用隔离体的平衡条件，求出截面上的剪力、轴力和弯矩。 (4)利用结点的平衡条件校核刚结点杆端内力值。 4、刚架弯矩图的绘制
i i
与右图简支梁的支座反力：
Pb l Pa l
F
0 AY
i i
F
0 BY
i i
FAY F
0 AY
0 FBY FBY
工程力学
第十四章
静定结构的内力计算
分析推力H 式：
FAY l1 P 1 (l1 a1 ) H f
上式中的分子
FAY l1 P 1 (l1 a1 )
MEC=0kN•m CE杆上为均布荷载，弯矩图为抛物线 。 利用叠加法求出中点截面弯矩MCE中=30+60=90kN•m
结构力学静定结构内力计算练习题.
M 图分析分析：EB 杆件无弯矩杆件无弯矩→→杆件无弯矩杆件无弯矩→0kN 2445cos =−oB F 0=AMkN(4↓=I F求图示桁架指定杆件内力。
求图示桁架指定杆件内力。
(分析方法)1 1 F F FF F 1 1例 计算图示组合结构。
计算图示组合结构。
FP A D a 2FP /3 F a Ⅰ a/2 a/2 Ⅰ E G a B解A D 2FP /3 FP /3 F FP CFNCD FSCD FNFGC∑M ∑F ∑FC= 0 FNFG = FP / 2FNFAFNDFFy= 0 FSCD = FP / 3 = 0 FNCD = − FP / 2FP /2x∑Fx= 0 FNFA = 2 FP / 2= 0 FNDF = − FP / 2一般情况下应先计算链杆的轴力 取隔离体时不要截断 取隔离体时不要截断受弯杆件 不要截断受弯杆件∑Fy例：作组合结构的内力图 解 FP E D a A a C B aFP有无零杆?FNECFNDC FNDBFN DB = FPFN EC = −2 FPFN DC = 0FP a 2FP aFP 2FP -2FP FPM图FS图FN图例：计算图示组合结构。
计算图示组合结构。
FP E G FP A 0 a a a 2FPB取隔离体FJBC FNEFF J B C a 2FP 2FP -2FP FP a 2FP 2FP CF J aFNGJa B解：1、求支反力 2、求FNEF、FNGJ∑M = 0 F = 2F (↑) ∑F = 0 F = 2F (↓)Cy PyByP∑M ∑FJ=0FN EF = −2 FP2FP ax=0FN GJ = 2 FP内力图例：计算图示组合结构。
计算图示组合结构。
4m 5kN/m 15kN B C D E解：左边为基本部分， 左边为基本部分， 右边为附属部分。
右边为附属部分。
10kN 20 40A 2m 5 15 10 4mF 4mG 10 30 52m 2m20 （2.5）10 5 1012.52.55M图(kN·m)例：分析图示组合结构。
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3.6 静定组合结构的计算 一、组合结构的组成
组合结构是由只承受轴力的二力杆和同时承受弯矩、剪力、轴 力的梁式杆所组成。可以认为是桁架和梁的组合体。
二、组合结构的计算方法 （1）先求出二力杆的内力。 （2）将二力杆的内力作用于梁式杆上，再求梁式杆的内力。
三、组合结构计算举例
例题： 试求（图1）所示组合结构，绘内力图。 1、内力计算
（3）四杆结点无外荷载作用时，如其中两杆在一条直线上，另外 两杆在另一条直线上，则同一直线上的两杆内力性质相同（图3）。
二、截面法 1、定义：截取桁架的一部分（至少两个结点），利用平衡条件求解 桁架内力的方法。 2、实质：作用在隔离体上的各力组成一平面任意力系。 3、注意点：
（1）一般隔离体上上的未知力不能多余三个。 （2）技巧：选取平衡方程时，最好使一个方程只含一个未知数。 4、截面法举例：
作1-1截面，研究其左半部（图2）：
MC 0
N EG 50.67KN(拉力）
研究结点E（图3）：
X 0 Y 0
N EA 63．34KN（拉力） N ED 38KN（压力）
研究结点G（图3）：
X 0 Y 0
N GB 63．34KN（拉力） N GF 38KN（压力）
2、根据计算结果，绘出内力图如下： 3、对计算结果进行校核（略）。
（1）一般结点上的未知力不能多余两个。 （2）可利用比例关系求解各轴力的铅直、水平分量。
4、结点法举例：
解：求支座反力
X 0 MB 0
HA 0 VA 30KN()
MA 0
VB 10KN()
校核： Y 30 10 10 20 10 0
分别以各结点为研究对象，求各杆之轴力：
分别以各结点为研究对象，求各杆之轴力：
两种方法均很简单；而计算联合桁架时，需要联合应用。 例题1
K
K
用结点法计算出1、2、3结点后，无论向结点4或结点5均无法继续 运算。作K-K截面：M8=0，求N5-11；进而可求其它杆内力。
例题2：试求图示桁架各杆之轴力。
K 求出支座反力后作封闭截面K，以其内部或外部为研究对象，可求 出NAD、NBE、NCF，进而可求出其它各杆之内力。
分别以各结点为研究对象，求各杆之轴力：
分别以各结点为研究对象，求各杆之轴力：
将计算结果标在桁架计算简图上：
5、结点平衡特殊情况的简化计算
（1）在不共线的两杆结点上，若无外荷载作用，则两杆内力性质 相同（图1）。
（2）三杆结点无外荷载作用时，如其中两杆在一条直线上，则共 线的两杆内力性质相同，而第三杆内力为零（图2）。
二、桁架各部分的名称及分类
1、名称： 上弦杆 斜杆 竖杆
下弦杆
桁高（h)
2、分类：
跨度（l）
节间长度(d)
腹杆
（1）按外形分： 平行弦、折弦、三角形、梯形等。
（2）按竖向荷载作用下支座是否产生水平推力分：
（a）无推力桁架（梁式桁架）；Leabharlann （b）有推力桁架（拱式桁架）。
斜杆 竖杆
（3）按几何组成分： a)简单桁架：由基础或基本铰结三角形开始，依次增
例题1：试求图示桁架杆25、35、34之轴力。
0 kn 30 kn
1
1 10 kn
求出支座反力后，作 1-1 截面，研究其左半部：
（1） M 3 0 ： N 25 1 10 2 30 2 0 N 25 40 KN (拉力）
（2）将轴力 N35 移至结点 5 处沿 x、y 方向分解后：
M 1 0 ： N35 sin 4 20 2 0 N35 22.36 KN (压力）
（3）将轴力 N34 移至结点 4 处沿 x、y 方向分解后：
M5 0 ：
N 34cos 2 (30 10) 4 20 2 0 N34 22.36 KN (压力）
例题2：试求（图1）示桁架杆67、56之轴力。
加二元体而形成的桁架。 b)联合桁架：若干个简单桁架按几何不变体系组成规
则铰结而成的桁架。 c)复杂桁架：不属于以上两类的静定桁架（可采用“零
载法”分析）。
联合桁架
3.5.2 静定平面桁架的计算 一、结点法 1、定义：利用各结点的平衡条件求解桁架内力的方法。 2、实质：作用在结点上的各力组成一平面汇交力系。 3、注意点：
解：
（1）求出支座反力后，作 1-1 截面，研究其
左半部(图 2)：
Y 0
30 5 10 10 N 67 sin 0 N 67 5 2KN (拉力）
（2）作 2-2 截面，研究其左半部（图 3）：
Y 0
30 5 10 N56 0
N56 15KN（压力）
三、结点法与截面法的联合应用 结点法、截面法是计算桁架的两种基本方法。计算简单桁架时 ，
3.7静定结构的特性（page70)
静定结构有：静定梁、静定刚架、三铰拱、静定桁架等，这些 类型静定结构共同特征：
1.满足平衡条件的静定结构的内力（反力）解答是唯一的 2.作用在基本结构部分的荷载只使基本部分产生内力和反力；
作用在附属部分的荷载，能使附属部分和基本部分产生内 力和反力。 3.温度改变、支座位移、和制造误差等因素，在静定结构中均 不引起内力和反力。 4.当平衡力系加在静定结构的某一内部几何不变部分时，其他 部分都没有内力和反力。 5.当静定结构的某一内部几何不变部分上的荷载作等效变换时， 只有该部分的内力发生变化，其余部分的内力和反力均保 持不变。 6.当静定结构的内部几何不变部分作组成上的局部改变时，只 在该部分的内力发生变化，其余部分的内力均保持不变。