结构力学 静定梁的内力分析讲解学习

弯矩（M）
截面一侧所有外力对 指定截面形心力矩的 代数和。
例3-1-2 用直接法，求例 3-1-1图(a)所示伸臂梁截 面2上的内力。
M
(a)
解
支座反力计算同例3-1-1。内力 可由右图所示受力图直接计算：
M
FAx FAy
FBy
取截面2左侧：
FN2 FAx FQ2FAyq2a
M 2 F A y2 a M q 2 a a
内力计算的一般步骤
1.计算结构的支座反力和约束 取结构整体（切断结构与大地的约 束）、或取结构的一部分（切开结 构的某些约束）为隔离体，建立平 衡方程
(2)计算控制截面的内力 （指定截面的内力）
用假想的平面垂直于杆轴切开指定 截面，取截面的任意一侧为隔离体 并在其暴露的横截面上代以相应的 内力（按正方向标出），建立平衡 方程并求解
2)求截面1处的内力
截开截面1，取右侧为隔离
体，见图（cAx
F Ay
F Q1
(c)
M1
FQ1
FBy
(d)
FX 0 FN1FAx0 FN1 FAx
FY 0 FQ 1FAy qa0
FQ1 FAyqa
M1 0
用文字写
a
明受拉侧
M 1qa2FA yaM0
M11 2qa2FAyaM
第三章 静定梁的内力分析
静定梁有单跨静定梁和多跨静定梁。静定梁 是基本的结构形式。本节通过单跨静定梁， 复习杆系结构内力概念及内力计算基本方法； 通过多跨静定梁，了解静定结构几何组成对 内力计算的影响，掌握静定结构内力分析的 基本途径和方法。
第一节 单跨静定梁
单跨静定梁
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
(a)
1.轴力（FN） 2.剪力（FQ）
3.弯矩（M）
轴力(FN)
横截面上应力在截面法线（杆轴） 方向上的投影（或横截面上正应 力）的代数和称为轴力。轴力使 隔离体受拉为正（与截面法线方 向相同）。
剪力（FQ）
横截面上应力在截面切线（垂直于 杆轴）方向上的投影（或横截面上 切应力）的代数和称为剪力。剪力 使隔离体顺时针转动为正（左上、 右下）。
图3-1-
4 (b)
dx
FY 0 M0
F Q F QF QF P0
FQ FP
(d)
M M M F Q dxm 0
Mm
(e)
以上两式，为荷载与内力的增量 关系。式(e)忽略了一阶微量。
增量关系的几 何意义
在集中力作用点（集中力垂直 与杆轴或有垂直于杆轴的分量） 两侧截面，剪力有突变，突变 值即为该集中力或垂直于杆轴 的分量；弯矩相同。
(3)绘制结构的内 力图
(a)弯矩图 (b)剪力图 (c)轴力图
在静定结构的受力分析中，正 1 确有序地选取隔离体是解题的
关键。
2 取隔离体的要点是，要保证隔 离体的完全隔离，即隔离体与 结构其他部分的所有联系都要 切断。
3 隔离体上原有的已知力（荷载 和已求出未知力）要保留，不
能有遗漏。
4
隔离体上与其他部分联系的截 断处，只标舍去的其他部分对
取截面1右侧为隔离体 计算可得同样结果
3.直接法求指定 截面的内力
由例3-1-1内力计算结果 分析，指定截面的内力可 用该截面一侧的外力直接 表示，即：
轴力（FN）
截面一侧所有外力在指定 截面法线方向投影的代数 和，以与截面外法线方向 相反为正。
剪力（FQ）
截面一侧所有外力在指定 截面切线方向投影的代数 和，左上、右下为正。
图3-1-4(a)
dx
FY 0 F QdQ F F Qqd0 x
dFQ q
(a)
dx
M0 M dM M F Q d xq(d2)2 x0
dM dx FQ
(b)
由(a)、(b) 两式得:
d 2M q dx2
(c)
以上三式，为荷载与内力的微分 关系。式(b)忽略了二阶微量。
微分关系的几何意义
若直杆段上无荷载作用，则剪 力图是与轴线平行的一条直线， 弯矩图是一条斜直线；
若直杆段上作用均布荷载，则 剪力图为一条斜直线，弯矩图 为抛物线
若直杆段上作用三角形分布荷 载，则剪力图为抛物线，弯矩 图为三次曲线；
以此类推
(2)荷载与内力的增量关系
在图3-1-3所示杆件上，取含有集 中力和集中力偶在内的微段dx，见 图 3-1-4(b)，建立微段平衡方程：
用文字写明 受拉侧
取截面2右侧：
FN2
FP
3 5
4 FQ2 FP5FByqa
M 2F B yaF P5 4 2 aq aa 2
用文字写 明受拉侧
4.荷载与内力的关系(未考虑 沿杆件轴向的荷载作用)
dx
图3-1-3 对于直杆段上，见图3-1-3,荷 载与内力之间有下列关系：
(1)微分关系 在图3-1-3所示杆件的连续分 布荷载段截取微段dx，见图31-4(a),建立微段的平衡方程：
（箭头标出 实际方向）
MA 0
3 a 4 F B y3 a M q 3 a 2 F P 5 4 a 0
F B y3 1 a M q3 a3 2 aF P5 44 a (↑)
箭头标出实 际方向
FX 0
箭头标出 实际方向
FAx
FP
3 5
0
FAx
3 5
FP
(→)
由 FY 0 可校核所得支座反力。
弯矩（M）
横截面上应力（或横截面上正 应力）对截面中性轴的力矩代 数和称为弯矩。规定弯矩的竖 标画在受拉侧。
杆件截面上的 内力定义图
MA
MA
MB
MB
静定结构内力计算基本方 法和步骤：
静定结构的内力计算可归纳为， 选隔离体、建立隔离体的静力 平衡方程，和求解方程三部分 主要工作。内力计算基本方法 为截面法。
在集中力偶作用截面两侧，弯矩 有突变，突变值即为该集中力偶； 剪力相同。
隔离体的作用力。
例3-1-1 用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1上的内力。
M
M
FAx FAy
(a)
FBy
(b)
解
1)求支座反力
去掉支座约束，取整体为隔离体， 见图(b)。建立隔离体的平衡方程 并解之：
MB 0
F A y3 a M q 3 a 3 2 a F P 5 4a 0
F A y 3 1 a M q3 a3 2 aF P5 4a (↓)
(b)
(c)
(d)
1.结构的内力概念
结构的内力反映其受力后结构内部的响应状态 （产生应变及相应的应力）。杆件结构的内力 为杆件（垂直杆轴的）横截面上分布的应力， 可以用一个合力来表示。在杆系结构的内力分 析中，将这个合力分解成作用在横截面中性轴 处的三个分量即轴力、剪力和弯矩。
典型杆件截面上的内力