静定结构的内力分析
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建筑力学第三章静定结构内力计算
01
02
03
04
排架是由两个单层刚架组成的 结构，其内力可以通过整体法
和分离法进行计算。
整体法是将两个单层刚架作为 一个整体进行分析，从而求得
整个排架的内力。
分离法是将排架拆分成两个单 层刚架进行分析，然后分别求
得每个单层刚架的内力。
在计算过程中，需要考虑到排 架的自重、外力以及支座反力
的影响。
组合结构的内力计算实例
03 静定结构的内力计算方法
截面法
总结词
通过在指定截面上截取隔离体，然后对隔离体进行受力分析，计算出内力的方法。
详细描述
截面法是静定结构内力计算的基本方法之一。在截面法中，我们首先在结构中选择一个或多个截面， 然后将这些截面处的杆件暂时断开，并分析这些杆件的内力。通过这种方法，我们可以确定每个杆件 的内力大小和方向。
组合结构是由两种或多种结构组成的 结构，其内力可以通过叠加法进行计 算。
在计算过程中，需要考虑到组合结构 是将每种结构的内力分别计算 出来，然后根据结构的特点进行叠加， 从而求得整个组合结构的内力。
05 静定结构内力计算的注意 事项
材料强度的考虑
材料强度
在计算静定结构内力时，必须考虑材 料的强度。不同的材料有不同的抗拉 、抗压、抗剪强度，应确保结构中的 应力不超过材料的容许应力。
节点法
总结词
通过分析节点处的平衡状态，计算出节点所受内力的方法。
详细描述
节点法是一种基于力的平衡原理的计算方法。在节点法中，我们首先确定节点 的位置和数量，然后分析每个节点处的平衡状态。通过这种方法，我们可以计 算出每个节点所受的内力大小和方向。
弯矩图法
总结词
通过绘制弯矩图，直观地表示出结构的弯矩 分布情况，进而计算出结构的内力。
第03章： 结构力学 静定结构内力分析
A
2
2qa 2
2qa2
4qa
2
2
4qa2
14qa2
2qa2 q
14qa
弯矩图
10
也可直接从悬臂端开始计算杆件 8 2qa2
8qa 2
B
10qa 2
6qa 2q
2
2qa 2
4qa2
14qa
2
M图
（4）绘制结构Q图和N图 2qa2 2qa2 C 6qa q E
D
2q A 2a 2a 4a B
3a
6qa
FN2=0
FN=0
FN=0
FN1=0
判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
截
面
法
截取桁架的某一局部作为隔离体， 由平面任意力系的平衡方程即可求得未知 的轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为3，因此所截断的杆件数 一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
5、三铰拱的合理轴线 拱的合理轴线：在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态 的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即
M M FH y 0
0
M y FH
0
结论： (1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴 线为一抛物线。
y
M AD
1 qL x2 8
M BD
q(l x) 1 x qx 2 2 2
Mx1max
1 qL x2 8
由以上三处的弯矩得到：
q(L x) 1 2 1 2 x qx qL x 2 2 8
整理得：
x 0.172L
2
2qa 2
2qa2
4qa
2
2
4qa2
14qa2
2qa2 q
14qa
弯矩图
10
也可直接从悬臂端开始计算杆件 8 2qa2
8qa 2
B
10qa 2
6qa 2q
2
2qa 2
4qa2
14qa
2
M图
（4）绘制结构Q图和N图 2qa2 2qa2 C 6qa q E
D
2q A 2a 2a 4a B
3a
6qa
FN2=0
FN=0
FN=0
FN1=0
判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
截
面
法
截取桁架的某一局部作为隔离体， 由平面任意力系的平衡方程即可求得未知 的轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为3，因此所截断的杆件数 一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
5、三铰拱的合理轴线 拱的合理轴线：在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态 的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即
M M FH y 0
0
M y FH
0
结论： (1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴 线为一抛物线。
y
M AD
1 qL x2 8
M BD
q(l x) 1 x qx 2 2 2
Mx1max
1 qL x2 8
由以上三处的弯矩得到：
q(L x) 1 2 1 2 x qx qL x 2 2 8
整理得：
x 0.172L
建筑力学之 静定结构的内力分析知识详解
第二个脚标表示该截面所属杆件的另一端。例如 则表M示BA AB杆B端截面的弯矩。
表M示AB AB杆A端截面的弯矩，
❖ （3）内力图绘制
❖ 静定刚架内力图有弯矩图、剪力图、轴力图。刚架的内力图由各杆的内力图组合 而成，而各杆的内力图，只需求出杆端截面的内力后，即可按照梁内力图的绘制 方法画出。
❖ 6．平面刚架计算步骤
第十一章 静定结构的内力分析
❖ 第一节 楼梯斜梁和多跨静定梁 ❖ 1. 楼梯斜梁 ❖ 楼梯斜梁承受的荷载主要有两种，一种是沿
斜梁水平投影长度分布的荷载，如楼梯上人群 的重量等；另一种是沿倾斜的梁轴方向分布的 竖向荷载，如梁的自重等。 ❖ 一般在计算时，为计算简便可将沿梁轴方 向分布的竖向荷载按等值转换为沿水平方向分 布的竖向荷载，如图11-1 (a)，沿梁轴线方向分 布 则的 由荷 于载 是等′值转转换换为，沿所水q 以平有方：向分布的荷q 载 ，
❖ (2）杆端内力的表示：如：FNAB 、 、 、 FNBA FQAB FQBA 、M AB 、M BA 等。 ❖ 注意：刚结点处不同方向有不同的杆端内力。
❖ 为了明确表示刚架上不同截面的内力，特别是为了区别汇交于同一结点的不同杆
端截面的内力，在内力符号右下角采用两个脚标；第一个脚标表示内力所属截面，
❖ 详解见教材
图11-21
❖ （6）结点法与截面法的联合应用 ❖ 欲求图11-23所示a杆的内力，如果只用结点法计算，不论取哪个结
点为隔离体，都有三个以上的未知力无法直接求解；如果只用截面法 计算，也需要解联立方程。 ❖ 为简化计算，可以先作Ⅰ-Ⅰ截面，如图所示，取右半部分为隔离 体，由于被截的四杆中，有三杆平行，故可先求1B杆的内力，然后以 B结点为隔离体，可较方便地求出3B杆的内力，再以3结点为隔离体， 即可求得a杆的内力。
静定结构的内力分析
静定结构的内力分析-建筑结构
一级注册建筑师
静定结构按其受力特性，可以分为静定梁、静定刚架、三铰拱、静定桁架和静定组合结构。
一、静定梁
1 ．截面内力分量及正负号规定
平面杆件的任一截面上一般有三个内力分量：轴力N ，剪力Q 和弯矩M 。
内力的正负号一般规定为：
（1 ）轴力以受拉为正；
（2 ）剪力以绕隔离体顺时针方向为正；
（ 3 ）弯矩一般不规定正负号（对水平梁通常以使梁的下侧受拉为正）。
内力图一般以杆轴为基线绘制。
弯矩图规定画在杆件的受拉侧，无需标明正负号；剪力图和轴力图则可画在杆件的任一侧（对水平杆件通常将正的剪力和轴力绘于杆件上侧），但需标明正负号。
2 ．截面法
截面法是结构内力分析的基本方法。
截面法计算结构内力的基本步骤为：
（1）将结构沿拟求内力的截面切开。
（2）取截面任一侧的部分为隔离体，作出隔离体的受力图；受力图中的力包括两部分：外荷载和截断约束处的约束力（截面内力或支座反力），未知截面内力一般假设为正号方向。
（3）利用静力平衡条件计算所求内力。
对于平面结构，一般情况下隔离体上的各力组成一平面任意力系，故有三个独立的平衡方程（投影方程或力矩方程）：
或
特殊情况下，例如截取的是一个铰节点，则各丸组成一平面汇交力系，故有两个独立的投影平衡方程：
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第3章 静定结构内力分析Ⅰ
掌握不同杆系的受力特点和内力计算，能够准 确绘出其内力图。 掌握静定结构的静力特性。
重点:
杆系结构基本部分、附属部分的特征及层次图的 绘制。 用控制截面法正确绘制杆系结构的内力图。 拱合理拱轴线的定义及求法。 静定结构的静力特性。
难点：
基本部分、附属部分的特性。
截面法绘制杆系的内力图。 拱合理拱轴线的求法。
l
M
M
l
练习: 利用微分关系等作弯矩图
1 FP l 2
l
1 FP l 4
FP
l/2
M
M M
l l
l/2
M M
M
2M
M
l
M M M
l
l
l
1 FP l 2
l
1 FP l 4
FP
l/2
q
l/2
M
1 2 ql 2
l
l
2M
M
M
M
M
M M M
M M
l l
M M
M
练习: 利用微分关系等作弯矩图
练习: 利用微分关系,叠加法等作弯矩图
内力图的变化规律 （a）无均布荷载的区段，FQ图为水平线、M为斜线。 有---------------------， FQ图为斜直线、M为曲线。 凹向与均布荷载的方向一致。
（b）M图的极值点在FQ =0处或FQ图变号处。
（c）铰处无力偶作用时，M=0； 有---------------------，弯矩等于力偶值。 （d）集中力作用时， M图是折线； FQ图有突变， 突变值等于作用力。 （e）集中力偶作用时， M图有突变，突变值等于力偶值。
20k N/m G H
2m
2m
静定结构内力计算全解[详细]
![静定结构内力计算全解[详细]](https://img.taocdn.com/s3/m/290a22ba7cd184254b3535d4.png)
➢ 杆件结构的组成和分析是两个相关的过程，应当 把受力分析与组成分析联系起来，根据结构的组 成特点确定受力分析的合理途径。
从组成的观点，静定结构的型式： ✓悬臂式、简支式（两刚片法则） ✓三铰式（三刚片法则） ✓组合式（两种方式的结合）
悬臂式 三铰式
简支式 组合式
组合式结构中:
✓基本部分：结构中先组成的部分，能独立承载； ✓附属部分：后组成的以基本部分为支承的部分，不能独立 承载。
三铰拱作业：
y
100kN
1
A O
2m
20kN/m
4m 8m
2
B x
Hale Waihona Puke 2m求图示抛物线拱的1、2截面的内力。
三、三铰拱的合理拱轴线
使拱在给定荷载下只
M M 0 FH y 0 产生轴力的拱轴线，被
y M0
称为与该荷载对应的合 理拱轴
FH
三铰拱的合理拱轴线 的纵坐标与相应简支梁弯 矩图的竖标成正比。
Mik
i
FQik
Mik
i
Fiy
q Mki
k
FQki q
Mki
k
Fky
叠加法作弯矩图： 叠加法作弯矩图：
+
要点：先求出杆两端 截面弯矩值，然后在 两端弯矩纵距连线的 基础上叠加以同跨度、 同荷载简支梁的弯矩 图。
§3 静定多跨梁与静定平面刚架
一、静定多跨梁 多根梁用铰连接组成的静定体系。
AB、CD梁为基本部分 BC梁为附属部分。
2、求支座反力和内部约束力
根据组成和受力情况，取整个结构或部分结构为隔离 体，应用平衡方程求出。
B
B
F
F
FBy
A FC
FAx A FAy
从组成的观点，静定结构的型式： ✓悬臂式、简支式（两刚片法则） ✓三铰式（三刚片法则） ✓组合式（两种方式的结合）
悬臂式 三铰式
简支式 组合式
组合式结构中:
✓基本部分：结构中先组成的部分，能独立承载； ✓附属部分：后组成的以基本部分为支承的部分，不能独立 承载。
三铰拱作业：
y
100kN
1
A O
2m
20kN/m
4m 8m
2
B x
Hale Waihona Puke 2m求图示抛物线拱的1、2截面的内力。
三、三铰拱的合理拱轴线
使拱在给定荷载下只
M M 0 FH y 0 产生轴力的拱轴线，被
y M0
称为与该荷载对应的合 理拱轴
FH
三铰拱的合理拱轴线 的纵坐标与相应简支梁弯 矩图的竖标成正比。
Mik
i
FQik
Mik
i
Fiy
q Mki
k
FQki q
Mki
k
Fky
叠加法作弯矩图： 叠加法作弯矩图：
+
要点：先求出杆两端 截面弯矩值，然后在 两端弯矩纵距连线的 基础上叠加以同跨度、 同荷载简支梁的弯矩 图。
§3 静定多跨梁与静定平面刚架
一、静定多跨梁 多根梁用铰连接组成的静定体系。
AB、CD梁为基本部分 BC梁为附属部分。
2、求支座反力和内部约束力
根据组成和受力情况，取整个结构或部分结构为隔离 体，应用平衡方程求出。
B
B
F
F
FBy
A FC
FAx A FAy
建筑力学 第九章(最终)
图9-7
② 求各杆杆端的内力。 考虑结点 D 的平衡: 由
求得
由 求得
由
求得 考虑结点 E 的平衡: 由
求得
由 求得
由 求得
M D 0, M DE 18 0
M DE 18 kN m
Fx 0, FNDE 3 0
FNDE 3 kN
Fy 0, FQDE 4.5 0
FQDE 4.5 kN
截取横梁 CF 为研究对象，根据 FN 图、FQ 图 和 M 图，画出其受力图如图9-6e 所示。
MC 24 20 20 2 12 5 36 4 0 Fx 10 10 0
Fy 36 4 20 12 0
可见横梁 CF 满足平衡条件，表明所求作的内 力图正确。
图9-6
【例9-4】试作出图9-7a 所示三铰刚架的内力图。 解：① 计算支座反力。
图9-3
由本例可见，求作多跨静定梁内力图的关键是 要分清梁的组成层次，作出层次图，以及如何将梁 拆开来计算其支座反力。梁的支座反力一旦求出， 求作多跨静定梁内力图的问题就归结为求作各单跨 静定梁内力图的问题，而单跨静定梁的内力图绘制 已是熟悉的求作问题。所以，求作多跨静定梁内力 图只不过是在单跨静定梁的内力图绘制基础上所做 的一种引伸，而并非新的计算问题。
12 110
2
4
kN
由
Fy 0, FBy FAy 20 12 0
求得
FBy 20 12 FAy 20 12 4 36 kN
② 求各杆的杆端弯矩，作 M 图。
杆AC： M AC 0, MCA 22 4 8 4 2 24kN m
用区段叠加法绘出杆 AC 段弯矩图。应用虚线连接杆端弯 矩 MAC 和 MCA，再叠加该杆段为简支梁在均布荷载作用下的弯 矩图。
第五章 静定结构的内力分析
1 a) A 1 B
MB
2 2
MC
C
解：1.计算外力偶矩
M A 9549
m T 1592N· 637N· m
b) T c)
M B 9549
x
637N· m
x
2.求各段扭矩 AB段：T1= MA=1592N· m BC段：T2= MA- MB=1592-955=637N· m
30 955N m 300 20 M C 9549 637N m 300
压缩与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合
在进行结构设计时，为保证结构安全正常工
作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解
决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截
面的内力,内力计算是结构设计的基础。
5—1 轴向拉压杆
沿杆件轴线作用一对相反的外力，杆件将发生沿轴线方向
的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩。
建筑力学
第5章 静定结构的内力分析
杆件结构——由杆件组成的结构。
杆件——长度远大于其横截面的宽度和高度的构件。
几何特点：横截面是与杆件长度方向垂直的截面，而轴线 是各横截面形心的连线。细而长，即l>>h，l>>b。
杆件结构
杆又可分为直杆和曲杆。
受外力作用后，其几何形状和尺寸一般都要发生改 变，这种改变称为变形。作用在构件上的荷载是各种 各样的，因此，杆件的变形形式就呈现出多样性，并 且有时比较复杂，但分解来看，变形的基本形式却只 有四种：
3.求截面2-2的内力
Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 5 1 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2Fl M 2 0，
MB
2 2
MC
C
解：1.计算外力偶矩
M A 9549
m T 1592N· 637N· m
b) T c)
M B 9549
x
637N· m
x
2.求各段扭矩 AB段：T1= MA=1592N· m BC段：T2= MA- MB=1592-955=637N· m
30 955N m 300 20 M C 9549 637N m 300
压缩与弯曲的组合
弯曲与扭转的组合
在进行结构设计时，为保证结构安全正常工
作，要求各构件必须具有足够的强度和刚度。解
决构件的强度和刚度问题，首先需要确定危险截
面的内力,内力计算是结构设计的基础。
5—1 轴向拉压杆
沿杆件轴线作用一对相反的外力，杆件将发生沿轴线方向
的伸长或缩短，这种变形称为轴向拉伸或压缩。
建筑力学
第5章 静定结构的内力分析
杆件结构——由杆件组成的结构。
杆件——长度远大于其横截面的宽度和高度的构件。
几何特点：横截面是与杆件长度方向垂直的截面，而轴线 是各横截面形心的连线。细而长，即l>>h，l>>b。
杆件结构
杆又可分为直杆和曲杆。
受外力作用后，其几何形状和尺寸一般都要发生改 变，这种改变称为变形。作用在构件上的荷载是各种 各样的，因此，杆件的变形形式就呈现出多样性，并 且有时比较复杂，但分解来看，变形的基本形式却只 有四种：
3.求截面2-2的内力
Fy 0 : FAy F FQ 2 0， 5 1 得FQ 2 FAy F F F F 4 4 M 2 0 : 2Fl M 2 0，
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集度，但符号相反。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
四、剪力图与弯矩图之间的关系
荷载 无外力 情况
剪力图 水平线
一般 弯矩图 为斜
直线
均布力作用 (q向下)
斜为 直零 线处
抛物 有
线下 极
凸
值
集中力作用
处(FP向下)
有突 变(突变ຫໍສະໝຸດ 变值=FP)号
有尖 有 角(向 极 下） 值
集中力 铰
偶M作 结
用处
处
无 无变化 影
§3-1 平面杆件内力计算回顾
一、内力的概念和符号规定
剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力。剪力 以绕微段隔离体顺时针转动为正。
弯矩----截面上应力对截面形心的力矩。在水平杆 件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为 正。
作内力图时，轴力图和剪力图要注明正负号，弯 矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
二、内力的计算方法
杆件结构内力计算方法主要采用截面法。截面法可
用“截开、代替、平衡”六个字来描述： 截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作 为隔离体； 隔离体与其周围的约束要全部 截断。 代替----用截面内力代替该截面的应力之和；用相 应的约束力代替截断约束。 平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内 力。
q(x) Fp
y p(x)
dx
M x
q(x)
M
M+dM
dx
FN
FN+d FN
FQ P(x) FQ+dFQ
§3-1 平面杆件内力计算回顾
考虑梁微段的平衡，由平衡
q(x)
M
M+dM
方程ΣY＝0得
dx
F Q (x ) q (x ) d [ x F Q (x ) d Q (x F ) ] 0FN
即 dFQ(x) q(x)
Y0 FYA4kN
§3-1 平面杆件内力计算回顾
五、内力计算及内力图
2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开，
取隔离体补充方程。 由整体：
例：
20kN/m
X0 FXAFXB
C
MA0 F YB 2 0 4686k0
6m 2m
A
B
4m 4m
Y0 F YA 2 0 46 02k0N
三、直杆内力的微分关系
d d Q (F x )x q (x ) ， d d (x M )x F Q (x )d ,2 d M 2 (x x ) q (x ) 几何意义：
剪力图上某点处切线斜率等于该点处的横向荷载 集度，但符号相反。
弯矩图上某点处切线斜率等于该点处的剪力。 弯矩图在某点处的二阶导数等于该点的横向荷载
例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。
8kN 4kN/m
16kN∙m
A C
E
G
1m 1m 2m
2m 1m 1m
解：a、把梁分成三段：AC、CE、EG。 b、求反力：
MA 0 F Y G ( 8 1 4 4 4 1 6 ) 8 7 k N
Y 0 F Y A 8 4 4 7 1 7 k N
区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下：
▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩 值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间 连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是 杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用， 那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上 产生的弯矩图形。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
FN+d FN FQ P(x)FQ+dFQ
dx
再由平衡方程 ΣM(c)＝0（c为微段右侧面的形心）得
[M (x ) d(x M ) ] M (x ) q (x )d 2 d x F x Q (x ) d 0 x
略去二阶微量，得
dM(x) dx
FQ(x)
d2M(x) dx2
q(x)
§3-1 平面杆件内力计算回顾
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
MB
§3-1 平面杆件内力计算回顾
3）用区段叠加法画弯矩图
对图示简支梁把其
Fp
q
中的AB段取出，其隔 离体如图所示：
把AB隔离体与相 应的简支梁作一对 比：
显然两者是完全
A
L
q MA
A
FQAY
q
MA
取左半部分为隔离体： MC 0 F XA 2 0 481k0N 由式1： FXB10kN
§3-1 平面杆件内力计算回顾
2. 画弯矩图 1）几种简单荷载的弯矩图
▲ 简支梁在均布荷载 作用下的弯矩图 F P ab
L
▲ 简支梁在集中力作 用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作 用下的弯矩图
q qL2/8 FP
§3-1 平面杆件内力计算回顾
二、内力的计算方法
利用截面法可得出以下结论： 轴力等于截面一侧所有外力沿杆轴切线方向投影 的代数和； 剪力等于截面一侧所有外力沿杆轴法线方向投影 的代数和； 弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代 数和。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
三、直杆内力的微分关系
A
相同的。
MA A FAY
M
B
B MB FQBY
MB
B
B MB FBY
§3-1 平面杆件内力计算回顾
Fp
q
M
A
L
B
因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁 相同的方法绘制，即把MA和MB标在杆端，并连 以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作
用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA 和MB。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
c、求分段点C、E点的弯矩值：
§3-1 平面杆件内力计算回顾
取AC为隔离体
1m
A 17
8 1m MC
C
FQCA
MC 0
M C 1 7 2 8 1 2 6 k N m
取EG为隔离体
ME 0
ME
E
FQEG
1m
M E 7 2 1 6 3 0 k N m
响
有突变 （突变 为零 值=M）
§3-1 平面杆件内力计算回顾
五、内力计算及内力图
步骤：求反力 画弯矩图 画剪力图 画轴力图
1. 求支座反力
1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个
平衡方程，就可求得反力。
4kN
例： B
C
4m
A
D
2m 2m
X0
1kN/m
FXA144kN
MA0F YD 4 2 1 4 2 0
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
L/2
L/2
§3-1 平面杆件内力计算回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下
的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
§3-1 平面杆件内力计算回顾
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
§3-1 平面杆件内力计算回顾
四、剪力图与弯矩图之间的关系
荷载 无外力 情况
剪力图 水平线
一般 弯矩图 为斜
直线
均布力作用 (q向下)
斜为 直零 线处
抛物 有
线下 极
凸
值
集中力作用
处(FP向下)
有突 变(突变ຫໍສະໝຸດ 变值=FP)号
有尖 有 角(向 极 下） 值
集中力 铰
偶M作 结
用处
处
无 无变化 影
§3-1 平面杆件内力计算回顾
一、内力的概念和符号规定
剪力----截面上应力沿杆轴法线方向的合力。剪力 以绕微段隔离体顺时针转动为正。
弯矩----截面上应力对截面形心的力矩。在水平杆 件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为 正。
作内力图时，轴力图和剪力图要注明正负号，弯 矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
二、内力的计算方法
杆件结构内力计算方法主要采用截面法。截面法可
用“截开、代替、平衡”六个字来描述： 截开----在所求内力的截面处截开，任取一部分作 为隔离体； 隔离体与其周围的约束要全部 截断。 代替----用截面内力代替该截面的应力之和；用相 应的约束力代替截断约束。 平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内 力。
q(x) Fp
y p(x)
dx
M x
q(x)
M
M+dM
dx
FN
FN+d FN
FQ P(x) FQ+dFQ
§3-1 平面杆件内力计算回顾
考虑梁微段的平衡，由平衡
q(x)
M
M+dM
方程ΣY＝0得
dx
F Q (x ) q (x ) d [ x F Q (x ) d Q (x F ) ] 0FN
即 dFQ(x) q(x)
Y0 FYA4kN
§3-1 平面杆件内力计算回顾
五、内力计算及内力图
2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开，
取隔离体补充方程。 由整体：
例：
20kN/m
X0 FXAFXB
C
MA0 F YB 2 0 4686k0
6m 2m
A
B
4m 4m
Y0 F YA 2 0 46 02k0N
三、直杆内力的微分关系
d d Q (F x )x q (x ) ， d d (x M )x F Q (x )d ,2 d M 2 (x x ) q (x ) 几何意义：
剪力图上某点处切线斜率等于该点处的横向荷载 集度，但符号相反。
弯矩图上某点处切线斜率等于该点处的剪力。 弯矩图在某点处的二阶导数等于该点的横向荷载
例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。
8kN 4kN/m
16kN∙m
A C
E
G
1m 1m 2m
2m 1m 1m
解：a、把梁分成三段：AC、CE、EG。 b、求反力：
MA 0 F Y G ( 8 1 4 4 4 1 6 ) 8 7 k N
Y 0 F Y A 8 4 4 7 1 7 k N
区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下：
▲ 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩 值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间 连以直线。
▲ 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是 杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用， 那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上 产生的弯矩图形。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
FN+d FN FQ P(x)FQ+dFQ
dx
再由平衡方程 ΣM(c)＝0（c为微段右侧面的形心）得
[M (x ) d(x M ) ] M (x ) q (x )d 2 d x F x Q (x ) d 0 x
略去二阶微量，得
dM(x) dx
FQ(x)
d2M(x) dx2
q(x)
§3-1 平面杆件内力计算回顾
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
MB
§3-1 平面杆件内力计算回顾
3）用区段叠加法画弯矩图
对图示简支梁把其
Fp
q
中的AB段取出，其隔 离体如图所示：
把AB隔离体与相 应的简支梁作一对 比：
显然两者是完全
A
L
q MA
A
FQAY
q
MA
取左半部分为隔离体： MC 0 F XA 2 0 481k0N 由式1： FXB10kN
§3-1 平面杆件内力计算回顾
2. 画弯矩图 1）几种简单荷载的弯矩图
▲ 简支梁在均布荷载 作用下的弯矩图 F P ab
L
▲ 简支梁在集中力作 用下的弯矩图
▲ 简支梁在集中力矩作 用下的弯矩图
q qL2/8 FP
§3-1 平面杆件内力计算回顾
二、内力的计算方法
利用截面法可得出以下结论： 轴力等于截面一侧所有外力沿杆轴切线方向投影 的代数和； 剪力等于截面一侧所有外力沿杆轴法线方向投影 的代数和； 弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心力矩的代 数和。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
三、直杆内力的微分关系
A
相同的。
MA A FAY
M
B
B MB FQBY
MB
B
B MB FBY
§3-1 平面杆件内力计算回顾
Fp
q
M
A
L
B
因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁 相同的方法绘制，即把MA和MB标在杆端，并连 以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作
用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA 和MB。
§3-1 平面杆件内力计算回顾
c、求分段点C、E点的弯矩值：
§3-1 平面杆件内力计算回顾
取AC为隔离体
1m
A 17
8 1m MC
C
FQCA
MC 0
M C 1 7 2 8 1 2 6 k N m
取EG为隔离体
ME 0
ME
E
FQEG
1m
M E 7 2 1 6 3 0 k N m
响
有突变 （突变 为零 值=M）
§3-1 平面杆件内力计算回顾
五、内力计算及内力图
步骤：求反力 画弯矩图 画剪力图 画轴力图
1. 求支座反力
1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个
平衡方程，就可求得反力。
4kN
例： B
C
4m
A
D
2m 2m
X0
1kN/m
FXA144kN
MA0F YD 4 2 1 4 2 0
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
L/2
L/2
§3-1 平面杆件内力计算回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下
的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
§3-1 平面杆件内力计算回顾
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆