结构力学3静定结构的内力分析
N Q N Q
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
内力计算法则（直接法求内力）及符号规定： 轴力——截面上沿杆件轴线方向的内力合力。 “拉力为正，压力为负”。 轴力FN的数值等于截面任一边所有外力在梁 FN Fix 轴线方向投影的代数和。 剪力——截面上沿杆轴法线方向的内力合力。 “顺时针旋转为正，反之为负”。 剪力FQ的数值等于截面任一边所有外力在与梁轴 线垂直方向投影的代数和。 FQ Fiy
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
3.1.1 用截面法求指定截面的内力 杆件内力主要指截开杆件所暴露出的截面上的力。对于平面 杆件，一般包括轴力、剪力和弯矩三种，如图3.2(b)所示。
q 分析杆件内力最基本的方法是截面法， 其原理是利用静力平衡条件求截面的内力， 主要步骤包括： (a) 简支梁 图 3.2 截面内力 ① 截开截面——即用假想平面或曲 (b) 切开截面后的内力 面沿指定截面将原结构切开一分为二； q q M ② 内力代替——选取截面任一侧结 F 构为隔离体，截开截面暴露出的三种内力 F q 绘制在隔离体受力图截面上； M F ③ 列平衡方程——通过隔离体静力 F 平衡方程求解未知内力。 在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向， 而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向 作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。
受力 情况
剪力图 弯矩图
FP A C l/2 l/2 y B A
A
第三章 静定结构的内力分析
表3.1 梁杆内力图特征 无外力区段 水平线 斜直线
均布荷载 作用区段
斜直线 抛物线
C B
B
集中力 作用处
突变 转折
FP /2 x A C
集中力偶 作用处
无变化 突变
B FP /2
(a)简支梁
FP l 4 (b)
2 kN·m
2.75 kN
A C
D 0.5 kN·m B E
C -2 kN
A
D -1.25 kN B E
(a) MB和MD在弯矩图中的竖标 (b) FQA左、FQA右和FQD在剪力图中的竖标 图3.4 内力竖标表示方法
将杆件上所有截面的内力求出，并用竖标绘在相应基线上， 再将所有竖标相连，可得相应的内力图。内力图中的轴力图和剪 力图可绘制在杆件的任意侧，并标注正负号以表明力的正负；弯 矩图无需标注正负号，但必须绘制在杆件截面上纤维受拉侧。
难点： 内力与荷载间微分关系同内力图特征间的联系；区 段叠加法绘制弯矩图；选取适当的隔离体和静力平衡方程求静定 平面桁架的轴力。
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第三章 静定结构的内力分析
目录
§3-1 单跨静定梁的内力分析
§3-2 多跨静定梁的内力分析
§3-3 静定平面刚架的内力分析
§3-4 静定平面桁架的内力分析 §3-5 静定组合结构的内力分析 §3-6 三铰拱的内力分析 §3-7 静定结构的一般特性
本章小结
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结构力学
第三章 静定结构的内力分析
3.1 单跨静定梁的内力分析
梁是以受弯为主的结构，以承受竖向荷载为主。静定梁可分为单跨静定梁 和多跨静定梁。单跨静定梁为单杆结构，其全部支座反力和内力都可用静力平 衡方程求出。 常见的单跨静定梁形式包括简支梁、斜梁、悬臂梁和伸臂梁等，如图3.1 所示。在建筑结构中，窗台上的过梁属于简支梁；楼梯梁属于斜梁；雨棚属于 悬臂梁；阳台上的挑梁属于伸臂梁。
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
河南理工大学万方科技学院
结构力学 土木工程指导性专业规范系列教材
第三章 静定结构的内力分析
主编：文国治
副主编：陈名弟
2013年12月8日
出版社
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
第3章
静定结构的内力分析
教学基本要求：灵活运用截面法、内力图与荷载间的关系及 区段叠加法绘制杆件的内力图；熟练掌握静定梁和静定刚架内力 图的绘制方法；熟练掌握静定平面桁架结构轴力的计算方法，能 利用特殊结点的静力平衡条件判断零杆和等力杆；掌握静定组合 结构的受力特点及内力计算方法；掌握三铰拱支座反力及指定截 面内力的计算方法；了解三铰拱在几种常见荷载作用下的合理拱 轴线。 重点： 内力图特征；绘制单跨和多跨静定梁、静定平面刚 架的内力图，这是本课程最重要的基本功之一。
A、B两点间剪力图形的面积
如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值；按 内力图的特征逐段绘图。 梁端点上的内力值
梁端点 荷载 剪力值 弯矩值 铰支座无 集中荷载 支反力值 零 固定端无 集中荷载 支反力值 反力偶矩 自 无集中荷载 零 由 端 集中力F 集中力偶m 零
F力值
零
零
m力偶矩
dM ( x ) FS ( x ) dx
d 2M ( x ) q( x ) 2 dx
3）区段叠加法。求出梁某段两侧截面上的弯矩值，用虚直线 连接两截面上的弯矩值，然后以它为基线，叠加上该段在所受 荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，即得该段梁的弯矩图。
通常先选取梁的端点和梁上的外力不连续点（如集中力、 集中力偶作用点，分布荷载作用的起点和终点等外力变化的截 面）作为控制截面，并求出各控制截面上的内力值，然后由内 力变化规律及区段叠加法绘出内力图。
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第三章 静定结构的内力分析
3.1.2 内力图与荷载间的关系 工程中通常采用内力图表示结构在外荷载作用下的受力状 态。表示杆件上各截面内力沿杆轴线变化规律的图形称为内力 图。一般以杆件轴线为内力图基线，以垂直于基线的竖标表示 对应位臵处的内力值。如例3.1中所示结构各截面弯矩和剪力 的竖标表示方法分别如图3.4(a)、(b)所示。
图3.6 根据弯矩图绘剪力图（水平杆）
(b) 剪力轮廓图 图3.8 例3.2图
6 1 2 3 4 5
7 8 9
10 11
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第三章 静定结构的内力分析
3.1.3 用区段叠加法快速绘制任一杆段的弯矩图
若某杆件内任一杆段两端弯矩为已知时，可利用简支梁弯矩图的叠加法 快速绘制该杆段的弯矩图，称为区段叠加法。 叠加原理：对于小变形线弹性结构而言，所有荷载产生的总效应（内力 和变形等）等于各种荷载单独作用产生效应的代数和。 图3.10(a)所示简支梁，两端作用集中力偶跨间布满均匀荷载，该梁弯矩 图可视为两部分之和：仅在集中力偶作用下的弯矩图(如图3.10(b)所示)和仅 在均匀荷载作用下的弯矩图(如图3.10(c)所示)。在叠加集中力偶和均匀荷载 的弯矩时，首先用虚线将 M i 和 M j 相联，以此虚线为新的基线，叠加均布 荷载作用下的弯矩图，即在虚线的中点b处将ab线段延长 ql 2 / 8 ，得到c点， 而后用光滑的曲线将d、c、e三点相联，该曲线即为最终的弯矩图(如图 q q Mi Mj Mj Mi Mj 3.10(d)所示)。
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第三章 静定结构的内力分析
求解内力之前，通常先确定支座反力，未知支反力可任意假 设正方向。若计算结果为正，则表示支反力的实际方向与假设方 向相同；反之，则表示实际方向与假设方向相反。 求出支座反力后，为避免以后计算过程中误判支反力方向， 一般用括号中的箭头标明其实际方向，如计算得实际支反力向上， 则在求得的支座反力后采用“（↑）”标注。 【例3.1】试求图(a)伸臂梁截面D弯矩M D 、截面A右侧的剪力 FQA右 。 2kN 2kN 2kN/m 2kN/m 【解】(1)求支反力 A D E B D F 绘出该梁受力 C F F 2m 1m 图，如图3.3(b)所 1m 2m 示。对A点处取力 FRB 4 2 5 2 3 0.5 0 MA 0 矩平衡方程
M 图
(c) FQ图
当梁段的弯矩图为直线变化时，剪力图为平行线， F F M FP QAC QCA l/2 2 剪力数值大小为M图形的斜率，如上例： 切线水平 【例3.2】试由 图示弯矩图绘 出相应的剪力 轮廓图，其中 区段9-11的弯 矩为二次抛物 线。
(a)弯矩示意图
1 y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
(a) 简支梁
(b) 斜梁 (c) 悬臂梁 图 3.1 单跨静定梁的结构形式
(d) 伸臂梁
单跨静定梁内力分析和内力图绘制方法，是其他静定结构内力分析和内力 图绘制的基础。因此本节在材料力学等课程的基础上，进一步深入讨论单跨静 定梁内力图的绘制方法，包括截面法、内力图与荷载间的关系和区段叠加法。
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FAx 0 C FAy 4.75 kN() 1m
FBy 3.25kN()
MC
(a)
(b)
D D (2)求指定截面内力 FNC FNC FQC右 FQC右 ①求截面D的弯矩 FBy (c) 绘DBE梁段的受力图,如图3.3(c)。 M D FBy 2 2 3 0.5kN m
q(x)=线性函数梁段：
剪力图为二次抛物线; 弯矩图为三次抛物线.
集中力F作用截面：剪 力图发生突变，且突变 值等于该集中力的大小 ；弯矩图出现尖角，且 尖角的方向与集中力的 方向相同。
集中力偶作用截面： 剪力图不变化；弯矩 图发生突变，且突变 值等于该集中力偶的 力偶矩。
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第三章 静定结构的内力分析
内力图的绘制方法 1）内力方程法。列出梁的内力方程，由方程绘制内力图。 2）微分关系法。根据梁上外力把梁分成若干段，由弯矩、剪力 和分布荷载间的微分关系导出的内力变化规律来确定各段内力 图的形状，计算各控制截面上的内力值，绘制梁的内力图。
dFS ( x ) q( x ) dx
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内力计算法则（直接法求内力）及符号规定： 轴力——截面上沿杆件轴线方向的内力合力。 “拉力为正，压力为负”。 轴力FN的数值等于截面任一边所有外力在梁 FN Fix 轴线方向投影的代数和。 剪力——截面上沿杆轴法线方向的内力合力。 “顺时针旋转为正，反之为负”。 剪力FQ的数值等于截面任一边所有外力在与梁轴 线垂直方向投影的代数和。 FQ Fiy
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第三章 静定结构的内力分析
3.1.1 用截面法求指定截面的内力 杆件内力主要指截开杆件所暴露出的截面上的力。对于平面 杆件，一般包括轴力、剪力和弯矩三种，如图3.2(b)所示。
q 分析杆件内力最基本的方法是截面法， 其原理是利用静力平衡条件求截面的内力， 主要步骤包括： (a) 简支梁 图 3.2 截面内力 ① 截开截面——即用假想平面或曲 (b) 切开截面后的内力 面沿指定截面将原结构切开一分为二； q q M ② 内力代替——选取截面任一侧结 F 构为隔离体，截开截面暴露出的三种内力 F q 绘制在隔离体受力图截面上； M F ③ 列平衡方程——通过隔离体静力 F 平衡方程求解未知内力。 在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向， 而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向 作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。
受力 情况
剪力图 弯矩图
FP A C l/2 l/2 y B A
A
第三章 静定结构的内力分析
表3.1 梁杆内力图特征 无外力区段 水平线 斜直线
均布荷载 作用区段
斜直线 抛物线
C B
B
集中力 作用处
突变 转折
FP /2 x A C
集中力偶 作用处
无变化 突变
B FP /2
(a)简支梁
FP l 4 (b)
2 kN·m
2.75 kN
A C
D 0.5 kN·m B E
C -2 kN
A
D -1.25 kN B E
(a) MB和MD在弯矩图中的竖标 (b) FQA左、FQA右和FQD在剪力图中的竖标 图3.4 内力竖标表示方法
将杆件上所有截面的内力求出，并用竖标绘在相应基线上， 再将所有竖标相连，可得相应的内力图。内力图中的轴力图和剪 力图可绘制在杆件的任意侧，并标注正负号以表明力的正负；弯 矩图无需标注正负号，但必须绘制在杆件截面上纤维受拉侧。
难点： 内力与荷载间微分关系同内力图特征间的联系；区 段叠加法绘制弯矩图；选取适当的隔离体和静力平衡方程求静定 平面桁架的轴力。
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目录
§3-1 单跨静定梁的内力分析
§3-2 多跨静定梁的内力分析
§3-3 静定平面刚架的内力分析
§3-4 静定平面桁架的内力分析 §3-5 静定组合结构的内力分析 §3-6 三铰拱的内力分析 §3-7 静定结构的一般特性
本章小结
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3.1 单跨静定梁的内力分析
梁是以受弯为主的结构，以承受竖向荷载为主。静定梁可分为单跨静定梁 和多跨静定梁。单跨静定梁为单杆结构，其全部支座反力和内力都可用静力平 衡方程求出。 常见的单跨静定梁形式包括简支梁、斜梁、悬臂梁和伸臂梁等，如图3.1 所示。在建筑结构中，窗台上的过梁属于简支梁；楼梯梁属于斜梁；雨棚属于 悬臂梁；阳台上的挑梁属于伸臂梁。
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第3章
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教学基本要求：灵活运用截面法、内力图与荷载间的关系及 区段叠加法绘制杆件的内力图；熟练掌握静定梁和静定刚架内力 图的绘制方法；熟练掌握静定平面桁架结构轴力的计算方法，能 利用特殊结点的静力平衡条件判断零杆和等力杆；掌握静定组合 结构的受力特点及内力计算方法；掌握三铰拱支座反力及指定截 面内力的计算方法；了解三铰拱在几种常见荷载作用下的合理拱 轴线。 重点： 内力图特征；绘制单跨和多跨静定梁、静定平面刚 架的内力图，这是本课程最重要的基本功之一。
A、B两点间剪力图形的面积
如此，可利用积分法从梁左端向右端依次确定各控制截面内力值；按 内力图的特征逐段绘图。 梁端点上的内力值
梁端点 荷载 剪力值 弯矩值 铰支座无 集中荷载 支反力值 零 固定端无 集中荷载 支反力值 反力偶矩 自 无集中荷载 零 由 端 集中力F 集中力偶m 零
F力值
零
零
m力偶矩
dM ( x ) FS ( x ) dx
d 2M ( x ) q( x ) 2 dx
3）区段叠加法。求出梁某段两侧截面上的弯矩值，用虚直线 连接两截面上的弯矩值，然后以它为基线，叠加上该段在所受 荷载单独作用下的相应简支梁的弯矩图，即得该段梁的弯矩图。
通常先选取梁的端点和梁上的外力不连续点（如集中力、 集中力偶作用点，分布荷载作用的起点和终点等外力变化的截 面）作为控制截面，并求出各控制截面上的内力值，然后由内 力变化规律及区段叠加法绘出内力图。
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3.1.2 内力图与荷载间的关系 工程中通常采用内力图表示结构在外荷载作用下的受力状 态。表示杆件上各截面内力沿杆轴线变化规律的图形称为内力 图。一般以杆件轴线为内力图基线，以垂直于基线的竖标表示 对应位臵处的内力值。如例3.1中所示结构各截面弯矩和剪力 的竖标表示方法分别如图3.4(a)、(b)所示。
图3.6 根据弯矩图绘剪力图（水平杆）
(b) 剪力轮廓图 图3.8 例3.2图
6 1 2 3 4 5
7 8 9
10 11
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3.1.3 用区段叠加法快速绘制任一杆段的弯矩图
若某杆件内任一杆段两端弯矩为已知时，可利用简支梁弯矩图的叠加法 快速绘制该杆段的弯矩图，称为区段叠加法。 叠加原理：对于小变形线弹性结构而言，所有荷载产生的总效应（内力 和变形等）等于各种荷载单独作用产生效应的代数和。 图3.10(a)所示简支梁，两端作用集中力偶跨间布满均匀荷载，该梁弯矩 图可视为两部分之和：仅在集中力偶作用下的弯矩图(如图3.10(b)所示)和仅 在均匀荷载作用下的弯矩图(如图3.10(c)所示)。在叠加集中力偶和均匀荷载 的弯矩时，首先用虚线将 M i 和 M j 相联，以此虚线为新的基线，叠加均布 荷载作用下的弯矩图，即在虚线的中点b处将ab线段延长 ql 2 / 8 ，得到c点， 而后用光滑的曲线将d、c、e三点相联，该曲线即为最终的弯矩图(如图 q q Mi Mj Mj Mi Mj 3.10(d)所示)。
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第三章 静定结构的内力分析
求解内力之前，通常先确定支座反力，未知支反力可任意假 设正方向。若计算结果为正，则表示支反力的实际方向与假设方 向相同；反之，则表示实际方向与假设方向相反。 求出支座反力后，为避免以后计算过程中误判支反力方向， 一般用括号中的箭头标明其实际方向，如计算得实际支反力向上， 则在求得的支座反力后采用“（↑）”标注。 【例3.1】试求图(a)伸臂梁截面D弯矩M D 、截面A右侧的剪力 FQA右 。 2kN 2kN 2kN/m 2kN/m 【解】(1)求支反力 A D E B D F 绘出该梁受力 C F F 2m 1m 图，如图3.3(b)所 1m 2m 示。对A点处取力 FRB 4 2 5 2 3 0.5 0 MA 0 矩平衡方程
M 图
(c) FQ图
当梁段的弯矩图为直线变化时，剪力图为平行线， F F M FP QAC QCA l/2 2 剪力数值大小为M图形的斜率，如上例： 切线水平 【例3.2】试由 图示弯矩图绘 出相应的剪力 轮廓图，其中 区段9-11的弯 矩为二次抛物 线。
(a)弯矩示意图
1 y 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x
(a) 简支梁
(b) 斜梁 (c) 悬臂梁 图 3.1 单跨静定梁的结构形式
(d) 伸臂梁
单跨静定梁内力分析和内力图绘制方法，是其他静定结构内力分析和内力 图绘制的基础。因此本节在材料力学等课程的基础上，进一步深入讨论单跨静 定梁内力图的绘制方法，包括截面法、内力图与荷载间的关系和区段叠加法。
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FAx 0 C FAy 4.75 kN() 1m
FBy 3.25kN()
MC
(a)
(b)
D D (2)求指定截面内力 FNC FNC FQC右 FQC右 ①求截面D的弯矩 FBy (c) 绘DBE梁段的受力图,如图3.3(c)。 M D FBy 2 2 3 0.5kN m
q(x)=线性函数梁段：
剪力图为二次抛物线; 弯矩图为三次抛物线.
集中力F作用截面：剪 力图发生突变，且突变 值等于该集中力的大小 ；弯矩图出现尖角，且 尖角的方向与集中力的 方向相同。
集中力偶作用截面： 剪力图不变化；弯矩 图发生突变，且突变 值等于该集中力偶的 力偶矩。
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第三章 静定结构的内力分析
内力图的绘制方法 1）内力方程法。列出梁的内力方程，由方程绘制内力图。 2）微分关系法。根据梁上外力把梁分成若干段，由弯矩、剪力 和分布荷载间的微分关系导出的内力变化规律来确定各段内力 图的形状，计算各控制截面上的内力值，绘制梁的内力图。
dFS ( x ) q( x ) dx
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结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
第03章： 结构力学 静定结构内力分析
A
2
2qa 2
2qa2
4qa
2
2
4qa2
14qa2
2qa2 q
14qa
弯矩图
10
也可直接从悬臂端开始计算杆件 8 2qa2
8qa 2
B
10qa 2
6qa 2q
2
2qa 2
4qa2
14qa
2
M图
（4）绘制结构Q图和N图 2qa2 2qa2 C 6qa q E
D
2q A 2a 2a 4a B
3a
6qa
FN2=0
FN=0
FN=0
FN1=0
判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
截
面
法
截取桁架的某一局部作为隔离体， 由平面任意力系的平衡方程即可求得未知 的轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为3，因此所截断的杆件数 一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
5、三铰拱的合理轴线 拱的合理轴线：在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态 的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即
M M FH y 0
0
M y FH
0
结论： (1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴 线为一抛物线。
y
M AD
1 qL x2 8
M BD
q(l x) 1 x qx 2 2 2
Mx1max
1 qL x2 8
由以上三处的弯矩得到：
q(L x) 1 2 1 2 x qx qL x 2 2 8
整理得：
x 0.172L
2
2qa 2
2qa2
4qa
2
2
4qa2
14qa2
2qa2 q
14qa
弯矩图
10
也可直接从悬臂端开始计算杆件 8 2qa2
8qa 2
B
10qa 2
6qa 2q
2
2qa 2
4qa2
14qa
2
M图
（4）绘制结构Q图和N图 2qa2 2qa2 C 6qa q E
D
2q A 2a 2a 4a B
3a
6qa
FN2=0
FN=0
FN=0
FN1=0
判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
截
面
法
截取桁架的某一局部作为隔离体， 由平面任意力系的平衡方程即可求得未知 的轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为3，因此所截断的杆件数 一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
5、三铰拱的合理轴线 拱的合理轴线：在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态 的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即
M M FH y 0
0
M y FH
0
结论： (1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴 线为一抛物线。
y
M AD
1 qL x2 8
M BD
q(l x) 1 x qx 2 2 2
Mx1max
1 qL x2 8
由以上三处的弯矩得到：
q(L x) 1 2 1 2 x qx qL x 2 2 8
整理得：
x 0.172L
结构力学第3章
D (a)
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
B C YC A C
Q
q P
D
XD (b) C YC XC XC
q
Q
B YB A YA XA
(c)
刚架指定截面内力计算
与梁的指定截面内力计算方法相同（截面法）.
注意未知内力正负号的规定（未知力先假定为正）
注意结点处有不同截面（强调杆端内力） 注意正确选择隔离体（选外力较少部分）
注意利用结点平衡（用于检验平衡，传递弯矩） 连接两个杆端的刚结点,若结点上无外力偶作用, 则两个杆端的弯矩值相等,方向相反
刚架内力图的绘制
弯矩图
取杆件作隔离体
剪力图
轴力图
取结点作隔离体
静定刚架的内力图绘制方法： 一般先求反力，然后求控 制弯矩，用区段叠加法逐杆 绘制，原则上与静定梁相同。
例一、试作图示刚架的内力图
求反力
(单位：kN . m)
48 192
144 126
12
48 kN
42 kN
22 kN
例一、试作图示刚架的内力图
计算关键
正确区分基本结构和附属结构 熟练掌握单跨静定梁的绘制方法
多跨度梁形式
并列简支梁
多跨静定梁
超静定连续梁
为何采用 多跨静定梁这 种结构型式?
作内力图
例
叠层关系图
先附属，后基本， 先求控制弯矩，再区段叠加
18 10 10
5
12
例
9
12
18
+ 9 9
4
其他段仿 此计算 5
5
2.5 FN 图（kN）
l
q
A
ql2 8 l
B
a m l m A b m l a b l B
3静定结构的内力计算
工程中的单跨静定梁，按其支座情况可分为三种： (1)简支梁：该梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座。 (2)外伸梁：一端或两端向外伸出的简支梁称为外伸梁。 (3)悬臂梁：该梁的一端为固定端支座，另一端为自由端。
①简支梁
②外伸梁
③悬臂梁
3
二、梁的内力
1、内力计算法——截面法
P1
A
m
FAx
K
n
P2 B
8
斜梁介绍
工程中，斜梁和斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜杆等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx = qds q = q
cos
dM dx
= FQ
无荷载区段 平行轴线
FQ图
M图
斜直线
均布荷载区段 集中力作用处 集中力偶作用处
↓↓↓↓↓↓
＋ －
二次抛物线
凸向即q指向
发生突变
＋P －
出现尖点
尖点指向即P的指向
无变化
发生突变
m
两直线平行
注备
FS=0区段M图 FS=0处，M 平行于轴线 达到极值
12
三、叠加法作弯矩图
1. 叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独
吊杆
带拉杆的三铰拱
拉杆折线形
拉杆
花篮螺丝
带吊杆的三铰拱
3、三铰拱的内力计算
1）、拱的内力计算原理仍然是截面法。 2）、拱通常以受压为主，因此规定轴力以受压为正。 3）、计算时常将拱与相应简支梁对比，通过对比完成计算。
45
①简支梁
②外伸梁
③悬臂梁
3
二、梁的内力
1、内力计算法——截面法
P1
A
m
FAx
K
n
P2 B
8
斜梁介绍
工程中，斜梁和斜杆是常遇到的，如楼梯梁、刚架中的斜杆等。斜梁 受均布荷载时有两种表示方法： （1）按水平方向分布的形式给出（人群、雪荷载等），用 q 表示。 （2）按沿轴线方向分布方式给出（自重），用 q’ 表示。
q 与 q’间的转换关系：
qdx = qds q = q
cos
dM dx
= FQ
无荷载区段 平行轴线
FQ图
M图
斜直线
均布荷载区段 集中力作用处 集中力偶作用处
↓↓↓↓↓↓
＋ －
二次抛物线
凸向即q指向
发生突变
＋P －
出现尖点
尖点指向即P的指向
无变化
发生突变
m
两直线平行
注备
FS=0区段M图 FS=0处，M 平行于轴线 达到极值
12
三、叠加法作弯矩图
1. 叠加原理： 几个载荷共同作用的效果，等于各个载荷单独
吊杆
带拉杆的三铰拱
拉杆折线形
拉杆
花篮螺丝
带吊杆的三铰拱
3、三铰拱的内力计算
1）、拱的内力计算原理仍然是截面法。 2）、拱通常以受压为主，因此规定轴力以受压为正。 3）、计算时常将拱与相应简支梁对比，通过对比完成计算。
45
结构力学-静定结构的内力分析
计算多跨梁的原则：先附属，后基本。
多跨梁
单跨梁
单跨梁内力图
多跨梁内力28 图
[例1] 作多跨静定梁的弯矩图和剪力图
40KN/m
120KN
A
D
B
C
3m
8m
2m
6m
解： （1）作层次图
40KN/m
C
A B
120KN D
29
（2）求反力
40KN/m A
B 8m
C 2m
120KN D
3m 6m
C
120KN D
A
mC 0
FAH
FBH
FAV
l 2 FP1 f
l 2 a1
FA0V
a2
C
FP2
f
B FBH
FBV
l
FP2
C
B
FH
M
0 C
f
FB0V 55
三、 静定拱的内力计算：
1. 静定拱的内力有： M、 FQ 、FN 。
弯矩：使拱内侧受拉为正。
145KN 8m
60KN
60KN
B 235KN
3m
2m
6m
60KN
32
[例2] 作多跨静定梁的弯矩图和剪力图
q
A
B
C
qa
D
E
2qa2 F
a/2 a/2
a
a
a/2 a/2
q
AB
C 7qa/ 8
3qa/8 D
qa D
2qa2
E
F
3qa/8
6qa/8
11qa3/38
作弯矩图： 3qa2
qa2
8
8
结构力学第3章静定梁的内力计算
以此类推
❖ 荷载图、剪力图和弯矩图 的特征依次为：零、平、斜； 平、斜、二曲；斜、二曲、三 曲；……
(2)荷载与内力的增量关系
在图3-1-3所示杆件上，取含 有集中力和集中力偶在内的微 段dx，见图 3-1-4(b)，建立 微段平衡方程：
dx
图3-1-4 (b)
FY 0
FQ FQ FQ FP 0
例3-1-1
M
用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1 上的内力。
M
F A x F A y
F B y
(a) (b)
求解：
1)求支座反力
➢ 去掉支座约束，取整体为隔离 体，见图(b)。建立隔离体的平衡 方程并解之：
MB 0
FAy
3a
M
q 3a
3a 2
FP
4 5
a
0
FAy
MA 0
FAy
1 7
(14 4 3
7 6)
30kN
m
(Hale Waihona Puke )1 FBy 7 (14 4 4 7 1) 33kN m
(↑)
q = 1 4 k N /m
F A x = 0 F A y = 3 0 k N
(a) F B y = 3 3 k N
2)计算控制截面弯矩值
截面法的一般步骤：
1. 计算结构的支座反力和约束
取结构整体（切断结构与大地的约 束）、或取结构的一部分（切开结 构的某些约束）为隔离体，建立平 衡方程。
2. 计算控制截面的内力(指定 截面的内力)
用假想的平面垂直于杆轴切开指 定截面，取截面的任意一侧为隔 离体并在其暴露的横截面上代以 相应的内力（按正方向标出）， 建立平衡方程并求解。
❖ 荷载图、剪力图和弯矩图 的特征依次为：零、平、斜； 平、斜、二曲；斜、二曲、三 曲；……
(2)荷载与内力的增量关系
在图3-1-3所示杆件上，取含 有集中力和集中力偶在内的微 段dx，见图 3-1-4(b)，建立 微段平衡方程：
dx
图3-1-4 (b)
FY 0
FQ FQ FQ FP 0
例3-1-1
M
用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1 上的内力。
M
F A x F A y
F B y
(a) (b)
求解：
1)求支座反力
➢ 去掉支座约束，取整体为隔离 体，见图(b)。建立隔离体的平衡 方程并解之：
MB 0
FAy
3a
M
q 3a
3a 2
FP
4 5
a
0
FAy
MA 0
FAy
1 7
(14 4 3
7 6)
30kN
m
(Hale Waihona Puke )1 FBy 7 (14 4 4 7 1) 33kN m
(↑)
q = 1 4 k N /m
F A x = 0 F A y = 3 0 k N
(a) F B y = 3 3 k N
2)计算控制截面弯矩值
截面法的一般步骤：
1. 计算结构的支座反力和约束
取结构整体（切断结构与大地的约 束）、或取结构的一部分（切开结 构的某些约束）为隔离体，建立平 衡方程。
2. 计算控制截面的内力(指定 截面的内力)
用假想的平面垂直于杆轴切开指 定截面，取截面的任意一侧为隔 离体并在其暴露的横截面上代以 相应的内力（按正方向标出）， 建立平衡方程并求解。
3静定结构的受力分析-梁结构力学
1 结构力学多媒体课件◆几何特性：无多余约束的几何不变体系◆静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力和内力◆常见静定结构：梁、刚架、三铰拱、桁架和组合结构。
◆静定结构受力分析的内容：反力和内力的计算，内力图的绘制和受力性能分析。
◆静定结构受力分析的基本方法：选取脱离体，建立平衡方程。
◆注意静力分析（拆）与构造分析（搭）的联系◆学习中应注意的问题：多思考,勤动手。
本章是后面学习的基础，十分重要,要熟练掌握！容易产生的错误认识：“静定结构内力分析无非就是选取隔离体，建立平衡方程，以前早就学过了，没有新东西”一、反力的计算4kN1kN/mDCBA2m2m 4mCB A20kN/m 4m4m2m6mDCB A（1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个平衡方程，就可求得反力。
（2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开， 取隔离体补充方程。
1、内力分量及正负规定轴力F N ：截面上应力沿杆轴法线方向的合力。
以拉力为正，压力为负。
剪力F Q ：截面上应力沿杆轴切线方向的合力。
以绕隔离体顺时针转为正,反之为负。
弯矩M ：截面应力对截面中性轴的力矩。
不规定正负，但弯矩图画在受拉侧。
在水平杆中， 当弯矩使杆件下部纤维受拉时为正。
A 端B 端杆端内力 F Q ABF N ABM AB正 F N BA F Q BAM BA 正2、内力的计算方法K截面法：截开、代替、平衡。
内力的直接算式(截面内力代数和法)=截面一边所有外力沿截面法线方向投影的代数和。
轴力FN外力背离截面投影取正，反之取负。
剪力F=截面一边所有外力沿截面切线方向投影代数和。
Q外力绕截面形心顺时针转动，投影取正，反之取负。
弯矩M =截面一边所有外力对截面形心的外力矩之和。
外力矩和弯矩使杆同侧受拉时取正，反之取负。
2、内力的计算方法【例】如图所示简支梁，计算截面C 、D 1、D 2的内力。
2m 4m 2mA2kN/mCBD 1 D 210kN0.2m10kN3.75kN0.25kN3、绘制内力图的规定内力图是表示结构上各截面的内力各杆件轴线分布规律的图形， 作图规定：弯矩图一律绘在受拉纤维一侧，图上不注明正负号；剪力图和轴力图可绘在杆轴线的任一侧(对水平杆件通常把正号的剪力和轴力绘于上方)，但必须注明正负号，且正负不能绘在同一侧。
结构力学第三章静定结构的受力分析
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
2020年5月29日星期五7时56分M25秒B
§3-1 梁的内力计算的回顾
3）画剪力图
要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为
C
B FQBA
由： MA 0 FQBA (81 26) 2 9kN
也可由： Y 0 FQCA 17 8 9kN
剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
2020年5月29日星期五7时56分25秒
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
2020年L5/月229日星期五L7/时2 56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
正 MAB
杆端内力
FNAB
A端 FQAB
MBA 正
B端
FNBA
FQBA
静定结构的内力分析
40
第 三 章80 静定结构的内力计算
D
FNDE FNED
E
30
30
FNDC
FNEB
FQ
40 kN
FN 30 kN
80 kN
练习：
第三章
静定结构的内力计算
解： (1) 求支座反力。
F=qa
C
D
由 X 0
E
FxA q 2a 0
q
a B
得 FAx 2qa
a
由 M A 0
FxA
A
FyB
2qa a F a FyB 2a 0
首先进行定性分析。
由内力图的外观校核。杆上无分布荷载FS图为水 平直线；M图为斜直线。杆上有分布荷载FS图为斜直 线；M图为二次抛物线。 FS图为零的截面M为极值。 杆上集中荷载作用的截面, FS图上有突变；M图上有折 弯。根据这些特征来检查，本题的M图、FS图均无误。
第 三 章 静定结构的内力计算
6
FA=58 kN 26
10
18 FB=12 kN
q ME
FQE
MF
FS 图 ( kN )
FQF
第 三 章 静定结构的内力计算
二、 多跨静定梁 (multi-span statically determinate beam)
附属部分--依赖基本
基本部分--不依赖其它
部分的存在才维持几
部分而能独立地维持其
据
3.外力与杆轴关系(平行,垂直,重合) 4.特殊部分(悬臂部分,简支部分)
5.区段叠加法作弯矩图
第 三 章 静定结构的内力计算
结点平衡条件的应用：
一、铰结点： （集中力偶只能作用于杆端处）
M
结构力学I-第三章 静定结构的受力分析(桁架、组合结构)
FNEC FNED 33.54 kN
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0
Y 0 FNEC sin FNED sin FNEA sin 10 kN 0
联立解出
FNEC FNED 10 5 33.5 思考：能否更快呢？ FNEC 22.36 kN， FNED 11.18 kN
00:44
静定平面桁架
• 桁架的内力计算
由力矩平衡方程 ∑ ME = 0，可求CD杆内力。
FA×d - FNCD×h = 0
FNCD = FAd / h = M0E / h
F1 F2 F3 F4 F5
M0E FA
6d
M FB
若M0E > 0，则FNCD >0 (下弦杆受拉 )
M0E是什么？
00:44
I
II
静定平面桁架
I
II
• 桁架的内力计算
简支梁
悬臂梁
伸臂梁
刚架：受弯构件，由若干直杆联结而成的结构，其中全部或部份 结点为刚结点；
A
D
B
C
简支刚架
悬臂刚架
三铰刚架
00:44
回顾
• 结构内力图
M–AB (表0) 示结构上各截面内力值的图形：弯矩图、M剪BA (0)
力图、A端轴力图；
A
B
FNA横B 坐标 -- 截面位置；
内力图 - 弯矩
A
FA
FB
– 截面法
• 例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。
解: ⑶ 求上弦杆EF内力，力矩法；
取 ED 和 CD 杆 的 交 点 D 为 矩 心 ， 先 求 EF 杆 的 水 平 分 力
FxEF，由力矩平衡方程∑MD = 0，
FA×2d - F1×d + FxEF×H = 0