4.2 理想流体的运动微分方程讲解
理想流体的运动微分方程
uz
uz
u x z
u y z
y
1 p
Z
z
du z dz
u z t
ux
u z x
uy
u z y
uz
u z z
写成矢量表达式为：
1 du F p dt
式中哈密顿算子：
i j k x y z
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
由柏努利积分式：
U
1
dp
2
u
2
2
得
或
gz
1
gz
1
p
u
C
2
p
u
2
C
2
2
对于流线上任意两个质点1和2来说，有：
g z1 1
p1
u1
2
2
gz2
1
p2
u2 2
式中各项分别为单位质量的流体具有的位能，静压能及动能， J kg ( )。
1.3.5.2 理想流体稳定流动总流的柏努利方程 任何稳定流动的总流，都可以看成是无穷多微小流束 的总和。在总流中某一微小流束的不同有效截面上的物理 参数不一定相同。 （1）均匀流与缓变流 均匀流：如果有效断面或平均流速沿程不变，且流线为 平行直线这样的稳定流称为均匀流。 非均匀流：如果有效断面沿程变化，或者有效断面不变， 但各断面上速度分布改变，这种流动称为非均匀流。 缓变流：凡有效断面上流线间夹角很小，流线曲率半经 无限大，即流线趋近于平行线的流动称缓变流。
流体力学01-理想流体运动微分方程建立与应用
流体力学01-理想流体运动微分方程建立与应用18世纪，在机械工业的推动下，经典力学在微积分支撑下进入建立系统理论体系和广泛应用的时代。
这期间基于微积分连续可微函数概念和质点系力学理论的结合，构成了经典连续介质力学体系。
基于质点系概念的连续介质假设，是力学引进微积分建立理论体系的基础。
01故事的引子1738年瑞士科学家伯努利(Daniel Bernoulli, 1700-1782年，如图1所示），如将质点动能定理沿着同微元流管两截面建立，导出一元流机械能守恒方程，即著名的理想流体定常流动能量方程（后称为伯努利方程）。
图2 瑞士流体力学家欧拉图1 瑞士科学家伯努利1757年瑞士数学家欧拉，(Leonhard Euler, 1707-1783年，如图2所示）将这方程推广至可压缩流动。
对于理想不可压缩流体的定常流动，在质量力为重力作用下，沿同一条流线上的单位重量流体质点的总机械能守恒（单位重量流体质点的位置势能、压强势能和动能之和不变）。
其中，z为流体质点的位置；p为流体质点的压强；V为流体质点的速度；γ为流体容重；g为重力加速度；C为常数。
在不计质量力的条件下（空气的质量密度小，可以忽略重力的影响），此时沿同一条流线单位质量流体质点的压强势能和动能之和不变。
伯努利方程的发现，正确地回答了机翼上翼面吸力对升力的贡献。
后来的风洞试验表明：对于翼型而言，上翼面吸力的贡献约占翼型总升力的60%-70%。
1752年法国科学家达朗贝尔，(Jean le Rond d'Alembert, 1717-1783年，如图3所示在发表的“流体阻尼的一种新理论” 一文中，首次用流体力学的微分方程表示场，提出了任意三维物体理想流体定常绕流无阻力的达朗贝尔佯谬。
1753年欧拉提出了连续介质假设，1755年提出描述流体运动的空间点法（即欧拉方法），并基于连续介质假设和理想流体模型，利用牛顿第二定理建立了理想流体运动微分方程。
流体运动的连续性方程、34理性流体运动微分方程及其积分、35伯努利方程-PPT精品文档
连续性微分方 m m m d x d y dz x y z t 程的一般形式 ( u ) ( u ) ( u ) y x z 0 t x y z 或 ( u )0 t
C
105.0 0
2
解：如图，取基准、计算断面，列出断面1，2总流伯努利方程
计算点选在液面上，即有 2 v 1 1 p 0， 0 1 p 2 2g Z1=120-105=15m Z2=hc=1.2m
令v2=vc
2 2 1 . 0 v v c c 15 0 0 1 . 2 0 0 . 1 2 g 2 g
考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用
时，应对上式进行修正：
u 2gh
式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
2 2 p u p u 1 1 2 2 z z h 1 2 w g 2 g g 2 g
工程流体力学课件
杨庆华 制作
Copyright2019西南交通大学土木工程学院流体力学教研室
第三章 流体动力学基础
• §3–1 描述流体运动的方法
•
• •
§3–2 流体运动的一些基本概念
§3–3 流体运动的连续性方程 §3–4 理想流体的运动微分方程及其积分
•
•
§3–5 伯努利方程
§3–6 动量方程
2
符号说明：
符号
物理意义
单位重流体的位能
几何意义
位置水头
流体动力学基础和方程讲解
① 理想 ② 不可压缩均质流体 ③ 在重力作用下 ④ 作恒定流动 ⑤ 并沿同一流线（或微元流束）流动。
第4章 流体动力学基础
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.2 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
1、物理意义
z
p
g
u2 2g
c0
位能—— z 压力能—— p
g
势能—— z p
动能—— u 2 2g
§4.2 元流的伯努利方程
4.2.1 无黏性流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
(1)不可压缩理想流体的恒定流动； (2)沿同一微元流束（也就是沿流线）积分； (3)质量力只有重力。 即可求得理想流体微元流束的伯努利方程
§4.2 元流的伯努利方程
(p1 pdx) 2 x
(p1 pdx) 2 x
§4.1 流体的运动微分方程
受力分析： 1、表面力：
p p dx p p dx
x 2
x 2
(p1 pdx) 2 x
x轴正方向 x轴负方向
PM
(p 1 2
p dx)dydz x
PN
(p
1 2
p x
dx)dydz
2、质量力： FBxXdxdydz
§4.2 元流的伯努利方程
元流能量方程的应用——毕托管测速原理。
pA
u
2 A
pB
+0
g 2g g
uA2 pB pA h
2g g g
机械能—— z p u 2 2g
Bernoulli方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相 转换，但总和不变。Bernoulli方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或 表现形式。
水力学 第四章 理想流体动力学和平面势流
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
流体力学中的三大基本方程资料
d x 1 p fx dt x
同理可得y,z方向上的：
d x x x x x 1 p x y z fx dt t x y z x d y y y y y 1 p x y z fy dt t x y z y d z z z z z 1 p x y z fz dt t x y z z
⑶稳定流动时：所有流体物性参数均不随时间而变， 0 t
（x） （y） （z） 0 x y z div( ) 0
⑷二维平面流动： x
x
y y
0
2.理想流体的运动方程
3.4.1---欧拉运动微分方程
理论依据：是牛顿第二定律在流体力学上的具体应用，它建 立了理想流体的密度、速度、压力与外力之间的关系。 1775年由欧拉推出流体力学中心问题是流速问题，流体流速 与其所受到外力间的关系式即是运动方程。
dxdydz f
f x dxdydz
② 表面力： 理想流体，没有粘性，所以表面力只有压力 X方向上作用于垂直x轴方向两个面的压力分别为：
p dx pM p x 2
p dx pN p x 2
X方向上质点所受表面力合力： p （pM pN）dydz dxdydz x
流体力学中的分方程
理论依据：质量守恒定律在微元体中的应用 数学描述：
[单位时间流出的质量]-[单位时间流入的质量]+[单位时间 质量的累积or增量]=0
•公式推导： （1）单位时间内流入、流出微元体流体总质量变化
假定流体连续地 充满整个流场，从中 任取出以 o x，y，z 点为中心的微小六面 体空间作为控制体如 右图。控制体的边长 为dx，dy，dz，分别 平行于直角坐标轴x，
流体力学第四章
1.渐变流及其特性
渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于
平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。
动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强
按静压强的规律式分布，即
注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上 的 各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。
选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀 流断面上。
即J=JP。 5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段
的流速水头。
6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就 是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。
4.总流能量方程在推导过程中的限制条件
（1）不可压缩流体；
（2）恒定流；
（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止 的（或处于平衡状态）；
取管轴0-0为基准面，测压管所在断面
1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形
心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-
15），由于断面1，2间的水头损失很小，
可视
，取α1=α2=1，得
由此得：
故可解得：
式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流 量计常数。
实际流量 ： μ——文丘里流量计系数，随流动情况和管
流体力学
第四章 流体动力学基础
本章是工程流体力学课程中最重要的一 章。本章建立了控制流体运动的微分方程， 即理想流体运动微分方程和实际流体的运 动微分方程；并介绍了求解理想流体运动 微分方程的伯努利积分形式；构建了工程 流体力学中应用最广的恒定总流运动的三 大基本方程：连续性方程、伯努利方程 （即能量方程）和动量方程。通过本章的 学习要培养综合运用三大基本方程分析、 计算实际总流运动问题的能力。
道收缩的几何形状而不同。
理想流体的运动微分方程
(2)几何意义 图示能量分布图：
p1 r z1 v1
2
p2 r
2g
z2
v2
2
2g
其中：z为单位重量流体所具有 的位能，又称几何压头或位压头；
v
2
为单位重量流体所具有 的静压能，又称静压头，是单位 r 重量流体的压力能产生的流体柱 的高度；
急变流：不符合缓变流条件的流动为急变流。
（2）理想流体稳定流动总流的柏努利方程
现在讨论如何把微小流束柏努利方程应用于总流的 缓变流断面，从而建立理想流体总流的柏努利方程。
在任一微小流束上某一断面的流体质点具有的单位 重量流体机械能为：
e z
p
u
2
2g
以 d G u d A 的重量流量通过微小流束有效断面的 流体总能量为：
1.3.6.2 总流
对于粘性流体的总流，作稳定流动时的柏努利方程式为：
z1
p1
1 v1
2g
2
z2
p2
2v2
2g
2
hw
式中：
v1 , v 2 为截面的平均流速； 1 , 2为动能修正系数，通常由实验确定。
对于圆形管道中的稳定缓变流： 层流时 ＝2；
湍流时 ＝1.05～1.10；
1.3.4.2欧拉运动微分方程的求解
欧拉运动微分方程建立了作用在理想流体上的力与流体运动加速 度之间的关系，它是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩及不 可压缩理想流体的稳定流动都是适用的。 一般情况下，作用在流体上的单位质量力X、Y、Z是已知的，对
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4.2 理想流体的运动微分方程理想流体是指无粘性的且不可压缩流体，是一种假想的，不存在的流体。
实际流体有粘性，粘性流体。
1. Enler 运动微分方程H G图 4-3 理想流体的作用力取微六面体如图4-3所示；中心点为),,(z y x M ，M 处的压强为),,,(t z y x p 。
作用在六面体的力有质量力z y x X d d d ρ，z y x Y d d d ρ，z y x Z d d d ρ；流体运动时的惯性力z y x d d d ρa ；由压强产生的表面力，在x向分别为z y x x p p d d )d 21(∂∂-和z y xx p p d d )2d (∂∂+-。
按牛顿第二定律不难列出x 向的力平衡方程如下：z y x a z y xx p p x x p p z y x X d d d d d )]2d ()2d [(d d d x ρρ=∂∂+-∂∂-+列出y 、z 向力平衡方程。
整理x 、y 、z 向力平衡方程（同除m z y x d d d d =ρ）如下⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==∂∂-==∂∂-==∂∂-t u a z p Z t u a y p Y t u a x p X d d 1d d 1d d 1zzy y x x ρρρ (4.2-1a) 上式也可简记为tua x p X d d 1i i i i ==∂∂-ρ 3,2,1=i (4.2-1b) 式(4.2-1a)也可写成矢量形式tp d d 1ua G ==∇-ρ(4.2-1c) 式中 Z Y X k j i G ++=为单位质量的体积力。
式(4.2-1a)便是理想流体的运动微分方程，是Euler 1755年推导出来的，故又称Euler 运动微分方程。
4.3 理想的流体运动方程的积分－Bernoulli 方程Bernoulli 方程在工程流体力学基本理论中占有重要地位，其形式简单、意义明确，在工程中有着广泛应用。
Bernoulli 方程是Euler 方程或葛罗米柯方程的积分形式。
一 运动微分方程在流线上的积分形式在流线上取质点，不论是否定常运动，经过时间t d ，质点沿流线的微位移z y x d d d d k j i s ++=；s d 的分量,d ,d ,d z y x 可表示为t u z t u y t u x d d ,d d ,d d z y x === （4.3-1）对式（4.2-1a ）的三式依次乘z y x d ,d ,d ，相加则有)d d d (1d d d z z p y y p x x p z Z y Y x X ∂∂+∂∂+∂∂-++ρz tuy t u x t u d d d z y x ∂∂+∂∂+∂∂= t u tut u t u t u t u d d d z z y y x x ∂∂+∂∂+∂∂=z z y y x x d d d u u u u u u ++= （4.3-2）引入力势函数),,,(t z y x U ，则有t tUU z Z y Y x X d d d d d ∂∂-=++ （4.3-3） 注意到t tpz z p y y p x x p p d d d d d ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=（4.3-4） 另外由标量速度关系式 2z 2y2x 2u u u u ++=可求 z z y y x x 2z 2y 2x 2d d d )2(d )2(d u u u u u u u u u u ++=++= （4.3-4） 将以上三式代入式（4.3-2），则有)2(d d 1d 1d d 2u t t p p t t U U =∂∂+-∂∂-ρρ或者t t f t tpt U u p U d )(d )1()2(d d 1d 2=∂∂-∂∂=--ρρ （4.3-5） 积分上式则有)(2d 2t F u p U =--⎰ρ （4.3-6）式中 ⎰=t t f t F d )()(如果密度ρ不是压力的函数，则有)(22t F u p U =--ρ （4.3-7）对于定常流=)(t F const ，则有c u pU =--22ρ (4.3-8)如果质量力只有重力，即g Z o Y X -===,，则⎰+-=-=1d c gz z g U将上式代入式(4.3-8)，则有022c u p gz -=---ρ (4.3-9)或者022c gu pz =++γ (4.3-10) 式(4.3-10)即是Bernoulli 方程的常见形式。
对于同流线上的任意两点1和2，则上式写成gu p z g u p z 2222222111++=++γγ (4.3-11)对于静止流体，o u =则有0c pz =+γ(4.3-12)γγ2211p z p z +=+(4.3-13)上两式即是流体静力学的基本方程。
二 其他形式的Bernoulli 方程 1实际流体微小流面的Bernoulli 方程图 4-4 实际流体微流束的Bernoulli 方程Bernoulli 方程是在无粘性流体质点沿流线运动或微流束运动条件下导出的。
实际流体有粘性，流体内部存在摩擦力。
为克服这种阻力，流体在运动中要消耗能量，使单位重量的液体沿流过的路程的能量不断减少。
参看图4-4，假定流体从断面1-1流向断面2-2，设断面（1-1）—（2-2）之间的单位重量的流体能量损失―水头损失(Water head loss )为f h ，则有f 2222211122h gu p z g u p z +++=++γγ (4.3-16)其中f h 为流体从断面(1-1)流向断面(2-2)水头损失，由于流体在流动过程中总能量是不断减少的，如果0f <h ，则表明流体的流动是从断面(2-2)流向断面(1-1)。
式(4.3-16)两边同乘重度γ，则有f 2222211122p u z p u z p ∆+++=++ργργ (4.3-17)其中f f h p γ=∆为)22()11(---之间的压力损失。
2 实际总流的Bernoulli 方程2图 4-5 总流的Bernoulli 方程总流由无数微束构成，而每一微束都包含一条或多线流线，称之微流管，这样总流就是含有若干条微流管的流管。
因而用一条真实的管道代替假想的抽象的流管，就得出实际总流的Bernoulli 方程。
参看图4-5，在总流中取微流束，根据已有结论则有f2222211122h g u p z g u p z +++=++γγ如果单位时间通过微流束断面(1-1)和(2-2)的流体重量为Q r d （N/s ）。
以Q r d 乘上式两侧各项，然后对总流断面1A 和2A 作积分，则得出总流的能量（功率）关系式如下⎰⎰+++=++21d )2(d )2(22222111A f A Q h u p z Q u p z γγγγ (4.3-18) 现讨论上式中的各积分项：1) ⎰+1d )(1A Q pz γγ为单位时间内通过过流断面的A 的势能和（位置能和压力能之和），该积分不易求出。
但是可以取过流断面为一维缓变流：即0,0x z y ≠==u u u ，并且流向基本与x 轴相符和（图4-6）。
缓变流的流线接近于直线，流线的曲率和彼此的夹角很小，过流断面近于平面（图4-6）。
这种流动的直线和向心加速度都很小，故惯性力可以不计。
因而缓变流压力分布规律符合重力场流体静力学基本规律，即0c pz =+γ故有Q pz Q p z Q p z A A )(d )(d )(212211γγγγγγ+=+=+⎰⎰ (4.3-19)2) ⎰Q gu d 221γ为单位时间内流过过流断面的动能。
由于过流断面各点速度u 不同A u gA u gQ u gAA332)(2d 2d 2γγγ≠=⎰⎰，又很难简单求出，因此采用平均速度u 代替点速度u ，可用系数α加以修正，即取Au Au Au gA u gAA3333)(d )(2d 2⎰⎰==γγα则有 A u gA u gA33)(2d 2γαγ=⎰(4.3-20)3) ⎰AQ h d f γ为因阻力损失的能量。
因不了解f h 和u 的关系难以积分，为简化，假定f h 为常量，即Q h Q h Affd γγ=⎰ (4.3-21)将式(4.3-19)~(4.3-21)代入式(4.3-18)整理，则有f 22222211112)(2)(h gu p z gu p z +++=++αγαγ(4.3-22)在紊流中，一般10.1~05.1=α，因而在工程上可取1≈α。
3 Bernoulli 方程的物理意义参看式(4.3-10)，其中z 称位置水头，表示流线上的点或微小流束的断面相对基准面的位置高度，对于单位重量的流体)1(N G =，z 表示流体的位置能。
γp—称压力水头，是压力的液柱高度表示，它表示单位重量液体的压力能。
因1=⋅=V G γ，故γ1=V ，液体的压力能为γppV =。
gu 22—称速度水头，为单位重量的液体的动能。
液体的动能221mu T =，则有)1(2221222====G g u g u G g mgu T 。
Bernoulli 方程表明，对于理想流体，其位置能、压力能和动能可以互相转换，但总和不变。
Bernoulli 方程为能量守恒方程在理想液体中的应用或表现形式。
式(4.3-22)为不可压缩粘性流体在重力场中作定常流时的总流Bernoulli 方程，是工程流体力学中很重要的方程。
在使用时必须注意：（1）对于水平管道，通常取轴线为重力零势位，即021==z z ；对于倾斜放置的管道，则取某过流断面的形心为重力零势位，这时有h z z ==21,0或0,21==z h z 。
对于不变管径u u u ==21；对于渐变管径，可利用连续方程2211u A u A =求出1u 与2u 的关系；21,p p 为两形心处的压力，它们的相互关系可根据静压基本方程导出。
(2) 对于无粘性流体，式(4.3-22)则变形为gu p z gu p z 2)(2)(2222221111αγαγ++=++(4.3-23)其中121==αα时，与理想流体微小流束的Bernouli 方程是十分相近的，唯一的差别是u 和u 的差别。
（3）在两过流断面有能量输入或输出的情况下式(4.3-22)可改写为f 22222211112)(2)(h gu p z E gu p z +++=±++αγαγ(4.3-24)其中E 为以高度形式表示的能量或功率，输入能量（泵和风机）时取“＋”号，输出能量（水轮机）取“－”号。
(4) 21,p p 可为绝对压力，也可为相对压力，两者必须一致，在工程上取相对压力比较方便。