流体运动的连续性方程34理性流体运动微分方程及其积分35伯努利方程
流体运动公式范文
流体运动公式范文流体运动是研究流体在力的作用下的运动规律的一门科学，广泛应用于物理学、天文学、气象学、地理学、工程学等领域。
流体运动公式是描述流体运动规律的数学表达式，本文将介绍一些常见的流体运动公式。
1.流体质量守恒公式（连续性方程式）流体质量守恒公式是指在流体运动过程中，单位时间内通过单位面积的流量应该保持不变。
用数学公式表示为：ρAv=常数其中，ρ为流体的密度，A为流体的横截面积，v为流体在横截面上的平均流速。
2.流体动量守恒公式（动量定理）流体动量守恒公式是指在流体运动过程中，单位时间内通过单位面积的动量应该保持不变。
用数学公式表示为：ρAv²+P=常数其中，P为单位面积上的压强。
3.斯托克斯定律斯托克斯定律是描述小球在粘性流体中运动的公式。
当小球半径r很小，速度v很慢时，小球受到的阻力F与速度v、粘度η以及球半径r 的关系为：F = 6πηrv其中，η为流体的动力粘度。
4.泊肃叶方程泊肃叶方程是用来描述流体在管道中沿流向的压力变化和流速变化的公式。
对于稳定流动条件下的水平管道，泊肃叶方程可以表示为：dp/dx = -ρv(d v/dx) - ρgdh其中，p为压力，x为管道流向坐标，ρ为密度，v为流速，g为重力加速度，h为管道高度。
5.柯西方程柯西方程用于描述流体的运动状态，它是连续性方程和动量守恒方程的数学组合。
对于流体的三个方向的速度分量u、v、w，柯西方程可以表示为：ρ(∂u/∂t+u∂u/∂x+v∂u/∂y+w∂u/∂z)=∂p/∂x-ρ(∂φ/∂x+g_x)ρ(∂v/∂t+u∂v/∂x+v∂v/∂y+w∂v/∂z)=∂p/∂y-ρ(∂φ/∂y+g_y)ρ(∂w/∂t+u∂w/∂x+v∂w/∂y+w∂w/∂z)=∂p/∂z-ρ(∂φ/∂z+g_z)其中，t为时间，x、y、z为空间坐标，p为压力，φ为位势，g为重力加速度。
6.纳维-斯托克斯方程（NS方程）纳维-斯托克斯方程是描述粘性流体运动的动力学方程，对于不可压缩、粘性流体的三个方向的速度分量u、v、w，纳维-斯托克斯方程可以表示为：ρ(∂u/∂t+u∂u/∂x+v∂u/∂y+w∂u/∂z)=∂p/∂x-μ(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²+∂²u/∂z²)ρ(∂v/∂t+u∂v/∂x+v∂v/∂y+w∂v/∂z)=∂p/∂y-μ(∂²v/∂x²+∂²v/∂y²+∂²v/∂z²)ρ(∂w/∂t+u∂w/∂x+v∂w/∂y+w∂w/∂z)=∂p/∂z-μ(∂²w/∂x²+∂²w/∂y²+∂²w/∂z²)+ρg其中，t为时间，x、y、z为空间坐标，p为压力，μ为流体的动力粘度，g为重力加速度。
流体动力学
（3）物理意义
p z g
——单位重量流体的总势能（m） ——位置水头+压强水头
u2 2g
——单位重量流体的动能（m）
——速度水头
p u2 z c g 2 g
单位重量流体的机械能守恒（总水头不变）
2.粘性流体元流的伯努利方程
2 p1 u12 p2 u2 z1 z2 hw ' g 2 g g 2 g
只有重力 gdz
p 不可压缩恒定流 dp d 1
2 2 ux uy u z2 u2 d d 2 2
duy dux duz dx dy dz dt dt dt
1 p p p Xdx Ydy Zdz dx dy dz x y z
是无旋流
流体的运动微分方程
1.理想流体运动微分方程 （1）平衡微分方程
1 p X 0 x 1 p Y 0 y 1 p Z 0 z
1 f p 0
（2）运动微分方程
1 du u f p u u dt t
2
p2 2
v2 1
p1
v1
θ
α F
Fx
1
Fy
e.动量方程
x : p1 A1 p2 A2 cos Fx Qv2 cos v1
y : p2 A2 sin Fy Qv2 sin 0
f.解出Fx、Fy
2 p2 2
F Fx2 Fy2
tg Fy Fx
p1 p2 Q v1 A1 2g z1 z2 K h 4 g g d1 d 2 1
6流体流动微分方程基本内容掌握连续性方程与其推导熟悉
(
v)
0
t
对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则 连续性方程为
v 0
不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而 且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常 密度流动处理。
8
在直角坐标系中可表示为
vx vy vz 0 x y z
(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。) 对平面流动
vx vy 0 x y
) dx
ρvz
x
y
5
则输出与输入之差为：
((vx ) (vy ) (vz ))dxdydz
x
y
z
微元体内质量变化率为：
dxdydz
t
6
根据质量守恒原理有：
(vx ) (vy ) (vz ) 0
x
y
z t
或
( v)
0
t
该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于
未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、 牛顿和非牛顿流体。
27
6.3基本微分方程组的定解条件
N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将 N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理 论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般 而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再 结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件 和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流 动问题的特解。
（1）固体壁面
粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接 触，在贴壁处，流体速度
v vw
若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温
度连续
T Tw
30
（2）进口与出口 流动的进口与出口截面上的速度与压强的
分布通常也是需要知道的，如管流。 （3）液体-气体交界面
第3章-流体力学连续性方程微分形式
• 符号说明
物理意义
z 单位重流体的位能（比位能）
p
单位重流体的压能（比压能）
u 2 单位重流体的动能（比动能）
2g
z
p
单位重流体总势能（比势能）
z
p
u2 2g
总比能
第四节 欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头 总水头
( Xdx Ydy
Zdz)
1
(
p x
0
物理意义：不可压缩流体单位时间内流入单位空间的流体体积（质量） ，
与流出的流体体积（质量）之差等于零。
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
第三节 流体动力学基本方程式
6
二、理想流体运动微分方程
理想流体的动水压强特性与静水压强的特性相同：
px py pz p
从理想流体中任取一(x,y,z)为 中心的微元六面体为控制体，边 长为dx,dy,dz，中心点压强为 p(x,y,z) 。
u2
( )dx ( )dy ( )dz
z x x 2
y 2
z 2
u2 d( )
2
由以上得：
gdz
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
积分得：
z
p
u2 2g
C
第四节 欧拉运动微分方程的积分
• 理想势流伯努里方程
17
z
p
u2 2g
C
或
z1
p 1
u2 1
2g
z2
p2
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流中 ，理想流体各点的总比能 相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。（应用条件：“——”所示）
流體力學第四章伯努利方程
第四章 伯努利方程4.1 伯努利方程4.1.1 理想流体沿流线的伯努利方程1. 伯努利方程的推导将欧拉运动微分方程式积分可以得到流体的压力分布规律，但只能在特殊的条件下，不可能在任何的情况下都可求得其解，故我们需对流场作出如下假设：（1）理想流体（2）定常流动（3）质量力有势（4）不可压缩流体（5）沿流线积分在定常流动的条件下，理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）可以写成 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-z v v y v v x v v z p f z v v y v v x v v y p f z v v y v v x v v x p f z z z y z x z y z y y y x y x z x y x x x ρρρ111 (4.1) 将这个方程沿流线积分，如图4.1所示，可得到伯努利方程。
为此，将式(4.1)的第一式乘以x d 得x zv v x y v v x x v v x x p x f x z x y x x x d d d d 1d ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （1） 按照流线方程 zy x v z v y v x d d d == 将有，y v x v x y d d =，z v x v x z d d =故式（1）可写成x x x x x x x x x v v z zv v y y v v x x v v x x p x f d d d d d 1d =∂∂+∂∂+∂∂=∂∂-ρ （2） 式(4.1)的另外两式分别乘y d 、z d 后，作类似的代换，可得y y y v v y yp y f d d 1d =∂∂-ρ （3）z z z v v z zp z f d d 1d =∂∂-ρ （4） 将式（2）、（3）和式（4）相加，得 z z y y x x z y x v v v v v v z zp y y p x x p z f y f x f d d d )d d d (1d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂-++ρ （5） p 的全微分可以表示为 dz zp dy y p dx x p dp ∂∂+∂∂+∂∂= 质量力有势，则必存在势函数U ，满足y f y f x f z zU y y U x x U U y y x d d d d d d d ++=∂∂+∂∂+∂∂=而 2/d d d d 2v v v v v v v z z y y x x =++式中等号右端的v 为平均速度。
流体力学中的三大基本方程
vy 和 dxdydz y
v z dxdydz z
故单位时间内流出与流入微元体流体质量总变化为：
（ ） （ ） （ ） d x d y d z x y z x y z
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
2 2 g
：单位重量流体所具有的动能；
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义：
理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
y y y y x y z y
运动方程：
y x z 0 x y z
2 y 2
2 2 2 1 p z z z z z z z f ( ) x y z z 2 2 2 t x y z z x y z
当地加速度：流场中某处流体运动速度对时间 的偏导数，反映了流体速度在固定位置处的时 间变化特性 迁移加速度：流场由于流出、流进某一微小区 域而表现出的速度变化率。
流体质点加速度
dx x x x x ax x y z dt t x y z dy y y y y ay x y z dt t x y z dz z z z z az x y z dt t x y z
a在三个坐标轴上的分量表示成：
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
d p x d x d y d z d x d y d z f d x d y d z x d t x
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
869《水力学》考试大纲
869《水力学》考试大纲一、考试的基本要求掌握水力学的基本概念、基本原理及基本计算，掌握实验的基本技能，并具有一定的分析、解决本专业涉及水力学问题的能力。
二、考试方式和考试时间闭卷考试，总分150，考试时间为3小时。
三、参考书目《工程流体力学》（水力学）（第三版）上册、下册，闻德荪主编，高等教育出版社四、试题类型：主要包括选择题、填空题、作图题、计算题、综合案例题等类型，并根据每年的考试要求做相应调整。
五、考试内容及要求第一章绪论1.工程流体力学的任务及其发展简史2. 连续介质假设·流体的主要物理性质3. 作用在流体上的力4.工程流体力学的研究方法基本要求：了解流体力学的任务及发展简史；理解连续介质假设含义；掌握流体的主要物理力学性质；理解流体的粘滞性、掌握牛顿内摩擦定律、掌握作用于流体上的质量力和表面力；了解工程流体力学的研究方法。
第二章流体静力学1．流体静压强特性，2．流体的平衡微分方程——欧拉平衡微分方程3．流体静力学基本方程4．液体的相对平衡5．压缩气体中的压强分布规律6．作用在平面上的液体总压力7．作用在曲面上的液体总压力8．力和潜体及浮体的稳定基本要求：熟练掌握静压强的特性，静压强三种计量单位和表示方法，相对平衡压强分布规律，平面及曲面上静水总压力大小、方向及作用点，压力体的概念及绘制。
第三章流体运动学1．描述流体运动的两种方法2．描述流体运动的一些基本概念3．流体运动的类型4．流体运动的连续性方程基本要求：掌握拉格朗日方法和欧拉方法的异同，流量、断面平均速度等概念，均匀流、恒定流特点，流线的特点。
掌握连续性方程及其应用。
第四章理想流体动力学1．理想流体的运动微分方程2．理想流体元流的伯努利方程基本要求：掌握元流伯努利方程的推导及应用。
第五章实际流体动力学基础1．实际流体的N---S2．实际流体元流的伯努利方程3．实际流体总流的伯努利方程4．不可压缩气体的伯努利方程5．总流的动量方程基本要求：掌握功能原理推求元流、总流伯努利方程，伯努利方程及动量方程的应用。
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J
dhw`
d(z p u2 )
g 2g
dl
dl
d(z p )
测压管线坡度： J p
g
dl
注意： ① 理想流动流体的总水头线为水平线； ② 实际流动流体的总水头线恒为下降曲线； ③ 测压管水头线可升、可降、可水平。 ④ 若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。 ⑤ 总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。
m
x
m y
(ux ) dxdydz
x
(u y ) dxdydz
y
mz
(uz ) dxdydz
z
2、根据质量守恒定律，单位时间内流进、流出控制体的流体质量差应等于控制体
内因流体密mz
t
dxdydz
(ux ) (u y ) (uz ) 0
t x
一、理想流体恒定元流的伯努利方程
质量力只有重力：fx=0，fy=0，fz=-g
dW fxdx f ydy fzdz gdz
dW d( p ) d(u2 )
2
gdz d( p ) d(u2 ) 0
2
理想流体恒定元流
z p u2 C
g 2g
的伯努利方程
或
z1
p1
g
u12 2g
u 2gh
式中：ξ称为皮托管系数，由实验确定，通常接近于1.0。
三、实际流体恒定总流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
A1
z1
p1
g
u12 2g
gu 1dA1
A2
z2
p2
g
u22 2g
gu
2dA2
qV hwgdqV
1、势能的积分
A(z
p )gudA g(z g
第三章 流体动力学基础
• §3–1 描述流体运动的方法 • §3–2 流体运动的一些基本概念 • §3–3 流体运动的连续性方程 • §3–4 理想流体的运动微分方程及其积 • §3–5 伯努利方程 • §3–6 动量方程
§３–３ 流体运动的连续性方程
一、连续性微分方程
流场中的微元平行六面控制体
1、单位时间内在x、y、z方向流进、流出控制体的流体质量差分别为：
x
y
微元平行六面体x方向的受力分析
z
p p dx
M
x 2
N
p p dx
x 2
o
x
微元平行六面体x方向的受力分析 y
f
x
f
y
1
1
p x p y
dux dt duy
dt
fz
1
p z
duz dt
欧拉运动微分
方程
f 1 p du
dt
f 1 p u (u )u
t
二、欧拉运动微分方程的积分
几何意义
位置水头 压强水头 流速水头 测压管水头
总水头
总水头线和静水头线
二、实际流体恒定元流的伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw
实际流体恒定元流 的伯努利方程
1v12 2g
H1 p1 /g 1
1
z1
0
H Hp
hw
2v22 2g
2 p2 /g H2
2
z2
0
总水头线坡度：
4、沿流线积分
dux
dx
duy
dy
duz
dz
u2 d(
)
dt
dt
dt
2
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
dW
d
(
p
)
d
u2 (
)
2
W p u2 C
2
不可压缩理想流体 的伯努利积分式
§３–5 伯努利方程
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
1、恒定流：() 0 t
p dx p dy p dz dp x y z
2、流体不可压缩：ρ=const
1 (p dx p dy p dz) 1 dp d ( p )
x y z
3、质量力有势
fxdx f ydy fzdz dW
总流
(u)dV undA
V
A
t
dV
V
undA 0
A
连续性积分方程 的一般形式
2
dA2 u2 A2
2
三、恒定不可压缩总流的连续性积分方程（the continuity equation）
1
2
A1 dA1 1
u1 元流
总流
dA2 u2 A2
2
A1 u1dA1 A2 u2dA2 0
（ fx （ f y
1
1
p x p y
dux ） dx
dt
duy ） dy
dt
dz （ fz
1
p z
duz dt
）
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
dx
p y
dy
p z
dz)
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
(
fxdx
f ydy
fzdz)
1
( p x
[例] 皮托管测速
h u2 2g
pB g pA g
u
zA
zB
皮托管测速原理
先按理想流体研究，由A至B建立恒定元流的伯努利方程，有
zA
pA
g
u2 2g
zB
pB
g
0
h
(zB
pB
g
) (zA
pA
g
)
u2 2g
u
2g[(zB
pB g
)
(zA
pA g
)]
2gh
考虑到实际流体粘性作用引起的水头损失和测速管对流动的影响，实际应用 时，应对上式进行修正：
y
z
连续性微分方 程的一般形式
或 (u) 0
t
适用范围：理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动。
二、连续性积分方程
dV (u)dV 0
V t
V
1、因控制体不随时间变化，式中第一项
1
dV dV
V t
t V
A1 dA1 1
2、据数学分析中的高斯定理，式中第二项
u1 元流
恒定不可压缩总
v1A1 v2 A2 qV
流的连续性方程
[例] 已知变扩管内水流作恒定流动，其突扩前后管段后管径之比d1/d2=0.5，则突扩 前后断面平均流速之比v1/v2=?。
§３–4 理想流体的运动微分方程及其积分
一、理想流体的运动微分方程
z
p p dx
M
x 2
N
p p dx
x 2
o
z2
p2
g
u22 2g
物理意义：在同一恒定不可压缩流体重力势流（无旋流）中 ，理想流体各点的
总机械能相等即在整个势流场中，伯努里常数C均相等。
符号说明：
符号
z
p
g
u2 2g
z p
g
z p u2
g 2g
物理意义
单位重流体的位能 单位重流体的压能 单位重流体的动能 单位重流体总势能 单位重流体总机械能
p )
g
udA g(z
A
p
g
)qV
2、动能的积分
A
u3 2g
gdA
g v3
2g
A
g v2
2g
qV
动能修正系数：
A
u3 2g
gdA
1
g
v2 2g
qV
A
A
(
u v
)3
dA
3、 能量损失积分
A hw` gudA ghwqV
g( z1
p1