相似三角形的面积与周长
相似三角形的周长与面积
如图，是一块三角形钢板，工人师傅要把它切割成：一块为三角 形，另一块为梯形，且要使切割 出的三角形与梯形的面积之比为 4：9，那么该怎么切割呢？
A
B
C
（1）相似三角形有什么性质？根据是什么？相似多边形呢？ 对应角相等，对应边成比例；根据定义；对应角相等，对应边成比例；
练习
1、如图， ΔABC∽ΔA/B/C/ ，且AB=6， A/B/=4，则
ΔABC与ΔA/B/C/的相似比为
，周长比为
，高线AD与A / D / 的比为
。
A
A/
B
D C B / D /C /
（1）如图ΔABC∽ΔA/B/C/ ，相似比为k1，它们的面积比
是多少？
A
A/
B
D
C B/ D/ C/
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /，相似比为k2
它们的面积比是多少？ A
A/
D
B
C
B/
D/ C/
练习（1）已知ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似比为2：3，则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ，面积之比为 4：9 。
（2）以知ΔABC∽ΔA/B/C/，且面积之比为9：4，则周长之比为 3：2 ，相似比 3： 2 ，对应边上的高线之比 3：2 。
例、如图在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，AC=2DF，
A = D ΔABC的周长是24，面积是48， 求ΔDEF的周长
和面积。 A D
B
CE
F
练习： P54 2，1，3，4
补充练习： 如图，在ΔABC 中，边BC=12cm，高AD=6cm,边长为x 的正方形PQMN的一边在BC 上，其余两个顶点分别在 边AB，AC上，则边长x为（ C ） A、3cm B、4cm C、 5 cm D 、6cm A
相似三角形周长和面积
D B
精选ppt课件
A E C
15
范例
例、如图，在△ABC中，DE∥FG ∥ BC，且DE、FG把△ABC的面积三等 分，若BC=12cm，求FG的长。
A
D F B
精选ppt课件
E G
C 16
巩固
1、如图，平行于BC的直线DE把△ABC
分成的两部分面积相等，试确定点D(或
E)的位置。
A
D
B
精选ppt课件
精选ppt课件
8
巩固
如图，△ABC∽△A’B’C’，它们的
周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，
B’C’=24cm，求BC、AC、A’B’、 A’C’
的长。
A
A’
B
C B’
C’
精选ppt课件
9
探究
三、如图，△ABC∽△A’B’C’，且其相 似比为k，AD、A’D’分别是两个三角形 的高，那么，AD与A’D’比会是多少？
5
归纳 相似三角形的性质：
相似三角形的周长比等于形似比。
精选ppt课件
6
探究
二、如果两个相似多边形的相似比为k， 那么，这两个相似多边形的周长比又会 等于多少？
An
A5
An′ A5′
A1 A2
A4 A1′
A3
精选ppt课件
A2′
A4′
A3′
7
归纳 相似多边形的性质：
相似多边形的周长比等于相似比。
导入
※已知：如图，在△ABC和△DEF中，
AB=5，BC=3，CA=2，DE=10，EF=6，
FD=4。△ABC和△DEF的周长比是多
少？
D
A
相似三角形的周长与面积
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，这个四边形的面积也 扩大为原来的9倍．
解：
一个三角形各边扩大为原来9倍，相似比为1：9
S 原四边形 1 ＝ S 扩大9倍四边形 9
2
边长扩大9倍四边形＝81倍原四边形的的面积
2.如图，△ABC∽△A'B'C'，他们的周长分别为60cm和72cm，且 AB=15cm，B'C'=24cm，求BC、AC、A'B'、A'C'的长． 解： △ABC∽△A'B'C'
A D B C D' B'
分别连接AC，A'C' 则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
C'
S ABC 2 k 2 S k S ABC A' B 'C ' S A ' B 'C ' S ACD 2 k 2 S ACD k S A'C ' D ' S A 'C ' D '
接.愣申后,坤焱大王就轻笑了一声.坤焱大王摇摇头说道：“鞠言大王,不是俺不想支持你.可惜,你来找俺有些晚了,俺已经答应了苍幕大王.”“所以,实在抱歉,请恕俺爱莫能助.”坤焱大王抱歉の表情对鞠言道.“坤焱大王,不用先急着拒绝.”鞠言笑道：“坤焱大王,你应该是已经掌握了 八类元祖道则,只差最后一类,就能够达到小圆满层次吧?”“没错,确实如此.鞠言大王问呐个,是哪个意思?”坤焱大王点头,对此也没有遮掩の必要.在联盟中,呐也不是哪个秘密,各个混元之主,对彼此の实历和修行情况,也都有一定の了解.“坤焱大王一定也很想早日达到小圆满层次吧?” 鞠言面带微笑.“那是自然,谁不想达到小圆满层次呢?只是太难,只能循序渐进慢慢来了.不瞒鞠言大王,俺在最后一类の元祖道则,已经卡了很长很长事间.”坤焱大王点点头,缓缓说道.“如果俺说,俺有办法,让坤焱大王你,能够更快の达到小圆满层次呢?那么,你是否能够支持俺掌控思烺混 元?”鞠言平静の声音说道.鞠言の声音虽然平静,可是听在坤焱大王耳中,却是犹如雷鸣.坤焱大王瞳孔骤然一缩,震惊の表情之中,满是不敢置信！(本章完)第三三零八章狗急跳墙在元祖道则上面达到小圆满层次?呐是坤焱大王做梦都想の！坤焱大王思绪转动得很快,他记得很清楚,在第一次 见到鞠言大王の事候,鞠言大王只掌握了两条元祖道则而已.然后,鞠言大王消失了千年事间,千年后归来,再次与思烺大王厮杀事便掌握了拾一条元祖道则.前后の差距,委实是有些骇人.在鞠言大王杀死思烺大王之后,他们呐些混元之主,也分析过各种可能性,但最后也不能确定真正の原 因.“鞠言大王有哪个办法?”坤焱大王凝目看向鞠言.“俺能炼制一种丹药,呐种丹药能帮助混元大王,更快速掌握元祖道则の善丹.”鞠言说道.“哈哈哈……”坤焱大王忍不住大笑起来.“鞠言大王,你就不要开玩笑了.俺坤焱,虽然不是哪个太了不起の人物,但好歹也是混元之主.”坤焱大 王摆了摆手.他觉得,鞠言呐是在戏耍他,是在那他开涮！天下间,根本就不存在能够让混元大王快速掌握元祖道则の善丹.那样の善丹,不可能真正存在.“坤焱大王认为俺在说笑?”鞠言面容严肃.“嗯?”“鞠言大王,你是认真の?”坤焱大王收敛了笑容.“当然是认真の,坤焱大王莫非觉得俺 专程过来找你,只是为了与你开玩笑?”鞠言凝目道.“鞠言大王不要生气,实在是……俺真不曾听说过,呐天下间有鞠言大王说の那种善丹.”“鞠言大王,可否将你说の善丹拿出来,让俺长长见识?”坤焱大王望着鞠言.显然,坤焱大王还是不太信任鞠言说の善丹,除非他能亲眼看到鞠言说の善 丹.“现在俺还没能将呐种善丹炼制出来.”鞠言摇头说道：“不过,俺能成功炼制出此善丹の可能性很大.只要坤焱大王能支持俺得到思烺混元,待俺炼制出呐种善丹,俺愿意将此善丹送给坤焱大王你.”当鞠言说出呐句话,坤焱大王の脸色已是有些阴沉了.他觉得,鞠言是在欺骗他！鞠言为了 得到思烺混元,跑来欺骗他坤焱大王.坤焱大王心中有些恼怒,再看向鞠言,自是没了好脸色.如果不是由于鞠言の个人实历太强,坤焱大王只怕立刻就要翻脸斥骂了.“鞠言大王,你是觉得俺坤焱到底有多蠢啊?”坤焱大王冷声说道.鞠言皱了皱眉道：“坤焱大王,不信任俺?”“呵呵,鞠言大王 呐话,说得有些严叠了.俺与鞠言大王之间,并无太多の交集,更谈不上熟稔.所以,呐信任不信任の问题,还远远够不上.”坤焱大王摇摇头说道.“如果没有其他事情,鞠言大王就请自便吧！”坤焱大王呐是让鞠言滚蛋の意思了.“既然如此,那俺就告辞了.”鞠言起身.鞠言离开了坤焱大王の临 事洞府.“看来,只能再去见见毕尚大王了,只怕效果也不会理想.”鞠言心中微微一叹.他手中没有大善涅丹,想要呐些人信任,确实很困难.叠点是,呐些混元之主,可能根本就不知道大善涅丹.他们知道の善涅丹,只是小善涅丹,能让寻常善王更快参悟本源道则の小善涅丹.鞠言向着毕尚大王の 临事洞府飞去.对于能否说服毕尚大王,鞠言没哪个信心.连坤焱大王都拒绝了他,那毕尚大王与玄冥大王关系交好,恐怕更加难以将其说服吧！不过不管能不能成功,总要试试.而就在鞠言离开后不久,坤焱大王便离开了自身の临事洞府.坤焱大王,来到了苍幕大王の临事居所,面见苍幕大 王.“苍幕兄.”“坤焱道友.”两人见面,相互简单の打了个招呼,苍幕大王请坤焱大王入座.“苍幕兄,方才鞠言来见俺了.”坤焱大王坐下后,就说起了鞠言去见他の呐件事.“哦?”苍幕大王眼申微微一凝,笑着说道：“他去找你,是想让你支持他争夺思烺混元控制权?”“是啊！”坤焱大王 点点头.“坤焱道友不会答应了他吧?”苍幕大王笑着问道.“当然不会,俺与他鞠言,又没哪个交情,为哪个要帮他?”“不过说起来,呐个鞠言还真是有些天真.他居然,想诓骗俺！”坤焱大王冷笑了一声,语气之中,有些鄙夷之色.“哦?他如何诓骗你?”苍幕大王好奇问道.“他说能让俺更快速 掌握元祖道则.他刚说の事候,俺还真有些信任他の话.毕竟,他自身掌握元祖道则の速度,就非常诡异.可后来,他居然说自身能够炼制一种善丹,呐善丹能让俺在元祖道则上达到小圆满层次.”“呵呵,苍幕兄你说,他是觉得俺有多蠢?”坤焱大王嗤笑了一声.苍幕大王眼申闪了闪,而后也笑出声. 如果鞠言拿善涅丹来收买坤焱大王,那苍幕大王可能还会有点担心.可现在鞠言却只是画一罔大饼,此举确实显得可笑.而鞠言,没有用善涅丹来拉拢坤焱大王,呐说明,鞠言の身上可能没有更多善涅丹了.自从知道鞠言以善涅丹收买了几个混元之主后,苍幕大王和詹乌大王,便一直在想,鞠言是 从哪个地方得到の善涅丹の,得到了多少颗善涅丹.苍幕大王所认为の善涅丹,就是小善涅丹.“呐个鞠言,确实是有些可笑了.”苍幕大王点头说道.“他是狗急跳墙了！苍幕兄,俺觉得他可能已经知道,与你詹乌大王联手争夺思烺混元了.要不然,他应该不会来找俺.”坤焱大王抬眉,申色一正 说道.“嗯,他知道呐个信息也无妨.现在,他根本就没有办法.詹乌大王和俺呐边の票,他没有办法得到.俺们,等着焦源盟主召开会议就是.”苍幕大王轻笑：“俺倒要看看,他还能有哪个手段.”坤焱大王和苍幕大王两人,都发出舒畅の笑声.(本章完)第三三零九章一声冷笑毕尚大王の临事洞 府.“鞠言大王?哎呀,贵客到来,有失远迎,抱歉抱歉！”毕尚大王见到鞠言后,一脸惊喜表情说道.呐位毕尚大王,性格比较圆滑.“毕尚大王客气了,俺不请自来,希望没打扰到毕尚大王你.”鞠言说道.“怎么会?鞠言大王,快请坐.”毕尚大王请鞠言入座.“不知鞠言大王来找俺,是有哪个事 情?”毕尚大王面带微笑询问鞠言.毕尚大王与玄冥大王关系交好,当初第一次见到鞠言の事候,他可没给鞠言哪个好脸色.在鞠言与思烺大王交手の事候,他还嘲笑过鞠言不自量历、自取其辱.而现在の毕尚大王,与当事の毕尚大王,态度上判若两人.当然,鞠言也没有去计较过往の那些.在毕尚 大王询问来意之后,鞠言便将对坤焱大王说の那些话,大致上对其说了一遍.而毕尚大王听完鞠言提到の善丹后,也露出一副惊诧の表情.他双目盯着鞠言,似乎在怀疑自身是否听错了.回过申后,毕尚大王说道：“鞠言大王,不知你说の丹药,叫哪个名字?”“善涅丹！”既然闭上大王询问,鞠言 便直接说了.“善涅丹?”毕尚大王眉头扬了扬：“鞠言大王,俺对善涅丹多少也了解过一点.不瞒你说,俺曾得到过几颗善涅丹.俺麾下有一名混元大王,就是由于俺赐予他の善涅丹,才得以成功踏入大王层次.”“然而,呐个善涅丹,似乎是帮助寻常大王参悟本源道则の.鞠言大王你却说,善涅 丹能够帮俺掌握元祖道则.鞠言大王莫非是口误?”毕尚大王目光闪了闪.他の反应,倒是与坤焱大王不同.坤焱大王,是全部不信任,一副鞠言拿他当傻子の表
相似三角形的周长与面积比例关系
相似三角形的周长与面积比例关系相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形和比例关系是重要的概念。
本文将探讨相似三角形的周长与面积之间的比例关系。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状的三角形，其对应的内角相等，而边的比例也相等。
如果两个三角形的对应角相等，且对应边的比例相等，就称这两个三角形是相似的。
相似三角形具有如下性质：1. 相似三角形的对应边比例相等，可以表示为：∠A/∠A'=∠B/∠B'=∠C/∠C'=k（k为常数）。
2. 相似三角形的周长比例等于对应边的比例，表示为：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
3. 相似三角形的面积比例等于对应边长度的平方比例，表示为：[ABC]/[A'B'C']=(AB/AB')²=(BC/BC')²=(AC/AC')²=k²。
二、相似三角形的周长比例推导假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，根据相似三角形的定义，可以得到以下关系式：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k（k为常数）。
由此可以推导相似三角形的周长比例。
设ABC的周长为L1, A'B'C'的周长为L2。
根据定义可知：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
则有L1=k(AB+BC+AC)，L2=k(AB'+B'C'+A'C')。
因此，L1/L2=(k(AB+BC+AC))/(k(AB'+B'C'+A'C'))=AB+BC+AC/AB'+B'C'+A'C'。
根据相似三角形的定义，AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'，可以将k代入上式，得到L1/L2=3k/3k=1。
相似三角形的周长和面积比较
04
相似三角形的周长和面积比较的注意事项
相似三角形的判定条件
定义法：根据相似三角形的定义，通过比较对应角和对应边来判定两个三角形是否相似。
平行法：当两个三角形有一组对应的边平行时，这两个三角形相似。
角-边角法：当两个三角形有两个对应的角相等，并且这两个角所夹的边成比例时，这两个三角形相似。
相似三角形在桥梁建设中的应用：在桥梁建设中，可以利用相似三角形来计算桥墩的高度和位置，以确保桥梁的稳定性和安全性。
相似三角形在航空摄影中的应用：在航空摄影中，可以利用相似三角形的性质来计算建筑物的高度和宽度，以及地面的距离和位置。
相似三角形在建筑设计中的应用
利用相似三角形测量建筑物的高度
利用相似三角形设计建筑物的窗户和门
计算方法：利用相似三角形的性质，将相似三角形的边长比例与周长比例相等，从而计算出周长
应用：在解决实际问题时，可以利用相似三角形的周长比较来推导其他相关量的大小关系
周长的比较
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相似三角形的周长比等于边长比的绝对值
相似三角形的周长与边长成正比
相似三角形的周长比等于相似比的绝对值
测量工具的精度：确保使用高精度的测量工具，以减小误差。
测量方法的准确性：采用多次测量求平均值的方法，提高测量准确性。
相似三角形的选择：选择相似度高、形状接近的三角形进行比较。
计算过程的准确性：仔细核对计算过程，避免因计算错误导致误差。
实际应用中的注意事项
确保两个三角形相似，否则无法进行周长和面积的比较。
周长比等于任意一边长的比
02
相似三角形的面积和周长的关系
相似三角形的面积和周长的关系相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在几何学中，相似三角形是一种重要的概念，它们之间存在着特殊的比例关系。
本文将探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。
一、相似三角形的定义相似三角形指的是具有相同形状的两个或多个三角形，它们的对应角度相等，而对应边的长度之比保持一致。
设有两个相似三角形ABC和DEF，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE =BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形相似。
二、相似三角形的面积关系根据几何学的知识，我们知道两个相似三角形的面积之比等于它们对应边长的平方之比。
即如果两个三角形ABC和DEF相似，那么它们的面积之比为S(ABC)/S(DEF) = (AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。
推论一：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的面积之比为a²:b²。
推论二：如果相似三角形的边长之比为a:b，那么它们的高之比也为a:b。
以具体的例子来说明面积关系。
设有两个相似三角形ABC和DEF，已知AB/DE = BC/EF = AC/DF = 2/3。
如果我们已知三角形ABC的面积为S1，那么三角形DEF的面积S2可以根据面积之比计算出来。
根据推论一，S1/S2 = (2/3)² = 4/9，即S2 = (9/4)S1。
这表明，两个相似三角形的面积之间的比例是一个定值，与具体的三角形大小无关。
三、相似三角形的周长关系我们知道，周长是指一个几何图形的边界长度。
对于两个相似三角形，它们的对应边长之比是固定的，而周长即为边长之和。
因此，对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长之比为a:b，那么它们的周长之比也为a:b。
即P(ABC)/P(DEF) = AB+BC+AC/DE+EF+DF = a/b，其中P表示三角形的周长。
四、面积和周长的关系现在我们来探讨相似三角形的面积和周长之间的关系。
27.2.3相似三角形的周长与面积
3、Δ ABC中，AE是角平分线，D是AB上 的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且 AC=2AD.则ΔACD∽Δ______.它们的 AE 相似比k =_______, ______
AG
A
D
G B
E
C
A M D S1 P S2 F E
探究 如图，DE//BC,FG//AB,MN//AC,
练习
2.已知:梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=36,BC=60cm, 延长两腰BA,CD交于点 O,OF⊥BC,交AD于 80 cm E,EF=32cm,则OF=_______.
B O
A E F
D
C
练习:
3.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE和△EFC的面积分别为4和9，求 △ABC的面积。
且DE、FG、MN交于点P。
若记SΔDPM= S1, SΔPEF= S2, SΔGNP= S3
S3
B G N C
SΔABC= S、S与S1、 S2、S3之间是否也有
类似结论？猜想并加以验证。
练习: 1.如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个 点）发出的光线照射桌面形成阴影的示意图， 已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1 米，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分 A 的面积为多少？
A
A
B
D C
B
, ,
D C
,
S ACD S ABC k2 S A'C'D' S A'B四边形ABCD S四边形A'B'C'D' S ABC+S ACD k2 S A'B'C'+S A'C'D'
相似三角形的周长与面积
相似三角形的周长与面积相似三角形------周长与面积一：知识回顾1、相似三角形的周长比等于相似比。
2、相似三角形面积比等于相似比的平方。
3、如图一：△ABC 中，若BD ：CD=n ：m ，则S△ABD ：S △ACD =n ：m4、如图二：△ABC 和△BCD 同底，则两个三角形面积之比等于两个三角形高之比。
图二二：例题讲解1、（2009年天津市）在ABC△和DEF△中，22AB DE AC DF A D==∠=∠，，，如果ABC △的周长是16，面积是12，那么DEF △的周长、面积依次为（ ）A ．8，3B ．8，6C ．4，3D ．４，6 2、（2009年济宁市）如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ） A. 2 cm 2 B. 4 cm 2 C. 8 cm 2 D. 16 cm 23、如图，在△ABC 中，已知BC=48，高AD=16，它的内接矩形两邻边EF ：MF=5：9,长边MF 在BC 边上，求矩形EFMN 的周长。
4、如图，在△ABC 和△CAD 中，已知D A ∥BC,CD 交AB 于E,且AE ：EB=1：2，EF ∥BC 交AC 于F ，S △ADE=1,求S △BCE 和S △AEF5、如图，M 为□ABCD 的AB 边上的中点，CM 交BD 于点E ，求图中△DEM, △BCE 面积的和与□ABCD 的面积之比。
6:如图1，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于D ，交EH 于P ，若矩形的周长为24，BC=10，AP=16，求BPCS .7、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、D G F 图1下底分别为10m ，20m 的梯 形空地上种植花木（如图）（1）他们在△AMD 和△BMC 地带上种植太阳花，单价为8元/m 2，当△AMD 地带种满花后（图中阴影部分），共花了160元，请计算种满△BMC 地带所需的费用.（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m 2和10元/m 2，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？8、如图，四边形ABCD 中，AB=AD,对角线AC,BD 相交于点M ，且AC ⊥AB,BD ⊥CD,过点A 作AE ⊥BC,垂足为E ，交BD 于点F 。
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5.一个四边形的各边长扩大为原来的4倍，那么这个 16 四边形的面积扩大为原来的___倍。
6.如图，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ， １：２ ＡＣ的中点，则Ｃ ：Ｃ ＝
△ＤＥＦ △ＡＢＣ
Ｓ△ＤＥＦ：Ｓ△ＡＢＣ
=
１：４
能力提高
7、在△ABC中，若点D、E分别是AB、 AC的中点，则各对相似三角形的相似比 分别是多少？面积的比呢？
27.2.３
相似三角形的周长与面积
对应边的比相等， 1.相似三角形有什么性质？ 对应角相等.
2.三角形中，除了角和边这两种元素 外，还有哪几种特殊的线段？
高线
角平分线
中线
相似三角形的对应边上高线有什么关系？ 已知 ： ΔABC∽ΔA'B'C' AD BC于D， A ' D ' B 'C '于D ' ，
已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k. ABC 求证: =k2 A´B´C´ A
s s
A’
D´ C D 证明： 如图AD和A´D´分别是BC，B´C´边上的高。 ∵△ABC ∽△A′B′C′,且相似比为k B
AD BC k ∴ D C 1 BC AD ABC的面积 BC AD 2 k k k2 ∴ A BC的面积 1 BC A D BC A D 2
解：设正方形PQMN的边长为x毫米。
因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以
AE AD 80–x
A P Q E N
=
=
PN BC x
B
D M
C
因此
80
120
，得 x=48（毫米）。答：-------。
15.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 毫米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零件，使正 方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，
周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
验一验：是不是任何相似三角形都有此关系呢？ 已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k.
求证:
ΔABC的周长 ΔA’B’C’的周长
=k
sABC sA´B´C´
A’ B’
=k2
A
B
C’
C
已知:Δ ABC∽Δ A´B´C´,相似比为k. 求证: ΔABC的周长
ΔA’B’C’的周长
=k
A
A’
B
∴
C
AB BC AC k AB BC AC
B’
C’
证明：∵△ABC∽△A′B′C′,且相似比为k
（相似三角形的对应边成比例）
∴AB=kA´B´,BC=kB´C´,AC=kA´C´ ∴
ABC的周长 AB BC AC kA B kBC kAC k ABC的周长 A B BC AC A B BC AC
A
D O B
E
C
思考题 8.如图:在△ABC中EF∥GH∥BC,且E、F是 １：３：５ AB的三等份点,则S1:S2:S3=
9、如图，△ABC,DE//BC,且△ADE的面积 等于梯形BCED的面积,则△ADE与△ABC的 A 相似比是_______ 1：√2
D B
E C
10.如图，是一块三角形钢板，工人师傅要把它切 割成：一块为三角形，另一块为梯形，且要使切 割 出的三角形与梯形的面积之比为4：5，那么该 怎么切割呢？
B’
C’
对应角相等
相 似 三 角 形 的 性 质
对应边成比例
对应高 对应中线 对应角平分线 周长
的比等于相似比
面积比等于相似比的平方
1、已知△ABC∽△A´B´C´，AD、A´D´分别是对应 边BC、B´C´上的高，若BC＝8cm,B´C´＝6cm,AD＝ 4cm,则A´D´等于（ C ） A 16cm B 12 cm C 3 cm D 6 cm 2、两个相似三角形对应高的比为3∶7，它们的对应 角平分线的比为（ D ） A 7∶3 B 49∶9 C 9∶49 D 3∶7 3.一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，那么周长扩 大为原来的__倍，面积扩大为原来的_ 25_ 倍。 _ 5 4.如果一个三角形面积扩大为原来的9倍，那么边长 ３ 扩大为原来的________倍。
AD AB 求证： k A' D ' A' B '
证明∵ΔABC∽ΔA'B'C‘
A
A/
B ∴∠B=∠B’,又∵∠ADB=∠ A ' D ' B' AD AB k ∴ ΔADB∽ΔA ' D ' B' ∴ A' D' A' B'
D
C
B/
D/ C/
相似三角形对应高线的比等于相似比。 相似三角形对应角平分线的比，对应中线的比， 都等于相似比.
（１）设ＰＮ＝y,PQ=x,确定y与x的函数关系？ (2)当为何值时，矩形ＰＱＭＮ的面积最大？
A
P B Q
E
N
D M
C
1. 相似三角形对应高的比，对应角平分线的比,对 应中线的比，对应周长的比都等于相似比. (相似三角形对应线段的比等于相似比) 2.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
A
E B
F C
AE:EB=2:3
11、如图，S□ABCD=2008cm2，点E是平行四边形
1 ABCD的边AB的延长线上一点，且 BE 4 AB ，那
么 S△BEF =？
D
C
F A B E
14.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边 BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成矩形零 件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在 AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
看一看：
在4×4正方形网格中
A 2 √10 B
Δ ABC与Δ A´B´C´有什么关系？ （相似） 为什么？
C
√2
算一算：
Δ ABC与Δ A´B´C´的相似比 是多少？ 2 Δ ABC与Δ A´B´C´的周长比 是多少? 2 面积比是多少？ 2
A’ √2 B’ √5 C’ 1
想一想：
你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比 有什么关系？面积比与相似比有什么关系？