相似三角形相似比和面积比之间的关系
《相似三角形的性质》 导学案
《相似三角形的性质》导学案一、学习目标1、理解相似三角形的对应角相等，对应边成比例。
2、掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比之间的关系。
3、能运用相似三角形的性质解决简单的实际问题。
二、学习重点1、相似三角形的性质的理解和应用。
2、相似三角形周长比、面积比与相似比的关系。
三、学习难点相似三角形性质的综合应用，以及在实际问题中的灵活运用。
四、知识回顾1、什么是相似三角形？相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
2、如何判定两个三角形相似？（1）两角分别相等的两个三角形相似。
（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（3）三边成比例的两个三角形相似。
五、新课讲解（一）相似三角形的对应角相等，对应边成比例例 1：已知△ABC∽△DEF，∠A ＝ 50°，∠B ＝ 70°，则∠D ＝＿___，∠F ＝＿___。
解：因为△ABC∽△DEF，所以∠D ＝∠A ＝ 50°，∠F ＝ 180°∠D ∠E ＝ 180° 50° 70°＝ 60°（二）相似三角形的周长比等于相似比例 2：若△ABC∽△A'B'C'，相似比为 2:3，△ABC 的周长为 12，则△A'B'C'的周长为____。
解：因为相似三角形的周长比等于相似比，所以△ABC 的周长:△A'B'C'的周长＝ 2:3。
设△A'B'C'的周长为 x，则 12:x ＝ 2:3，解得x ＝ 18。
（三）相似三角形的面积比等于相似比的平方例 3：两个相似三角形的相似比为 1:4，它们的面积比为____。
解：因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以面积比为1²:4²＝ 1:16。
六、课堂练习1、已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3:5，AB ＝ 9，则 A'B' ＝＿___。
相似三角形的角度边长和面积关系
相似三角形的角度边长和面积关系在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形的研究对于解决实际问题和解题具有重要意义。
本文将探讨相似三角形的角度边长和面积之间的关系。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，相似三角形满足以下条件：1. 对应角相等：两个三角形的对应角度相等，即相似三角形的内角度相等。
2. 对应边成比例：两个三角形的对应边的长度成比例，即相似三角形的边长之间存在着比例关系。
二、相似三角形的角度关系根据相似三角形的定义，我们可以得出相似三角形的角度关系：1. 对应角度相等：对应角度相等是相似三角形的重要特性，它意味着相似三角形的内角度是一一对应的，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形一定是相似三角形。
三、相似三角形的边长关系相似三角形的边长之间存在着一定的比例关系：1. AA相似：如果两个三角形的两个角度分别相等，则这两个三角形是相似的。
对于AA相似的三角形，它们的边长之间存在着相等比例关系。
2. SSS相似：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
对于SSS相似的三角形，它们的边长比例相等。
3. SAS相似：如果两个三角形的一个角度对应相等，并且两个对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
对于SAS相似的三角形，它们的边长比例相等。
四、相似三角形的面积关系对于相似三角形来说，它们的面积之间的关系存在着以下性质：1. 面积比例：相似三角形的面积之间存在着一个确定的比例关系。
假设两个相似三角形的边长比为a:b，那么它们的面积比将为a²:b²。
例如，若两个相似三角形的边长比为3:5，那么它们的面积比将为9:25。
这个原理可以通过三角形面积的公式证明。
五、应用举例相似三角形的角度边长和面积关系在实际问题中具有广泛的应用。
举例如下：1. 测量不便的物体的高度：利用相似三角形的原理，可以通过测量一段距离和投影长度，来确定无法直接测量的物体的高度。
相似三角形的周长与面积比例关系
相似三角形的周长与面积比例关系相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
在几何学中，相似三角形和比例关系是重要的概念。
本文将探讨相似三角形的周长与面积之间的比例关系。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形是指具有相同形状的三角形，其对应的内角相等，而边的比例也相等。
如果两个三角形的对应角相等，且对应边的比例相等，就称这两个三角形是相似的。
相似三角形具有如下性质：1. 相似三角形的对应边比例相等，可以表示为：∠A/∠A'=∠B/∠B'=∠C/∠C'=k（k为常数）。
2. 相似三角形的周长比例等于对应边的比例，表示为：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
3. 相似三角形的面积比例等于对应边长度的平方比例，表示为：[ABC]/[A'B'C']=(AB/AB')²=(BC/BC')²=(AC/AC')²=k²。
二、相似三角形的周长比例推导假设有两个相似三角形ABC和A'B'C'，根据相似三角形的定义，可以得到以下关系式：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k（k为常数）。
由此可以推导相似三角形的周长比例。
设ABC的周长为L1, A'B'C'的周长为L2。
根据定义可知：AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'=k。
则有L1=k(AB+BC+AC)，L2=k(AB'+B'C'+A'C')。
因此，L1/L2=(k(AB+BC+AC))/(k(AB'+B'C'+A'C'))=AB+BC+AC/AB'+B'C'+A'C'。
根据相似三角形的定义，AB/AB'=BC/BC'=AC/AC'，可以将k代入上式，得到L1/L2=3k/3k=1。
三角形的相似与比例
三角形的相似与比例三角形是几何学中常见而重要的图形，其相似性与比例关系是三角形研究的核心内容之一。
相似三角形指的是具有相同形状但尺寸不同的三角形，而比例则描述了它们边长或边长与角度的关系。
本文将探讨三角形的相似性与比例，并介绍相似三角形的性质及应用。
一、相似三角形的定义和性质相似三角形的定义是指具有相同形状但尺寸不同的三角形。
两个三角形相似的条件有两个：一是对应角相等，二是对应边成比例。
具体而言，设ΔABC与ΔDEF为两个三角形，若满足以下条件，则它们是相似三角形：1. ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F（角对应相等）；2. AB/DE = BC/EF = AC/DF（边对应成比例）。
相似三角形具有一系列的性质，包括：1. 边对应成比例性质：相似三角形的对应边成比例，即AB/DE =BC/EF = AC/DF；2. 角对应相等性质：相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F；3. 高度对应成比例性质：相似三角形的对应高度成比例；4. 面积对应成比例性质：相似三角形的面积之比等于边长比的平方。
二、相似三角形的判定条件除了根据定义判断相似三角形外，还有几个常用的判定条件：1. AA相似判定法：若两个三角形的两个角分别相等，则它们相似。
2. SAS相似判定法：若两个三角形的一个角相等，另外两边成比例，则它们相似。
3. SSS相似判定法：若两个三角形的三边成比例，则它们相似。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在几何学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 求高度或边长：通过已知三角形和相似三角形的边长比例，可以求出未知三角形的高度或边长。
2. 计算面积：利用相似三角形的面积对应成比例性质，可以计算出未知三角形的面积。
3. 勾股定理的证明：勾股定理可以通过相似三角形的性质来证明。
4. 三角函数的应用：在三角函数的定义与性质中，相似三角形的比例关系是重要的理论基础。
相似三角形周长比等于相似比,面积比等于相似比平方
A
E
B
4、如图，在正方形网格上有 △A1B1C1 和△A2B2C2 ，这两个 三角形相似吗？如果相似，求 出△A1B1C1和△A2B2C2的面积比。
4:1
B2
A1
A2
C2 C1
B1
全等三角形与相似三角形性质比较
全等三角形
相似三角形
对应边相等
对应边的比等于相似比（对应边成比例）
对应角相等
对应角相等
S2
F
G
M B
S3 N
S4 C
如图在 ABCD中，AE:AB=1:2 (1)△AEF与△CDF的周长之比_1_:_2___
(2)若△AEF的面积为8，则△CDF的面积 _3_2___
D
C
j F
A
E
B
四边形 ABCD是 ，点E是BC的延长线上 的一点，而且CE：BC=1：3，若△DGF的面积 为9，试求：（1）△ABG的面积（2）△ADG 与△BGE的周长比和面积比
还是让我们一起走近今天的数学课 堂来探究其中的奥秘吧？
问题
图 中 (1) 、 (2) 、 (3) 分 别 是 边长为1、2、3的等边三角形， 相似吗？
(2)与(1)的相似比＝____， (2)与(1)的面积比＝____;周长比＝____ (3)与(1)的相似比＝——， (3)与(1)的面积比＝____;周长比＝____
大标牌用油漆
2听
。
2．两个相似多边形面积的比9：16， （1）其中较小的多边形的周长为36cm ,则另 一个多边形的周长 48cm。
（2）两个多边形的周长之和是42cm,则两个多边 形的周长分别是 18cm,24cm。
典型例题
例1、如图，在△ABC中，点D、E分别分别 在AB、AC上，DE∥BC，AD：DB=3︰2. 求四边形DBCE与△ADE的面积的比。
相似三角形的面积比例
相似三角形的面积比例相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在几何学中，我们可以通过相似三角形的边长比例来确定它们的面积比例。
本文将介绍相似三角形的面积比例及其应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
它们的对应角度相等，对应边长之比也相等。
记作∆ABC∼∆DEF，表示三角形ABC 与三角形DEF相似。
二、相似三角形的面积比例对于相似三角形∆ABC∼∆DEF，它们的边长比例为AB/DE = AC/DF = BC/EF。
根据几何学的面积公式，我们可以得出相似三角形的面积比例为(S∆ABC)/(S∆DEF) = (AB/DE)^2 = (AC/DF)^2 = (BC/EF)^2。
三、面积比例的应用举例1. 求解高度比例：假设∆ABC与∆DEF相似，已知AB/DE = AC/DF = BC/EF = 2/3，且∆ABC的高为h。
根据面积比例公式可得(S∆ABC)/(S∆DEF) = (AB/DE)^2 = (AC/DF)^2 = (BC/EF)^2，则(S∆ABC)/(S∆DEF) = (2/3)^2 = 4/9。
由于面积与高的平方成正比，我们可以得到(S∆ABC)/(S∆DEF) = (h/DE)^2 = 4/9。
解方程求得h/DE = 2/3，即∆ABC的高与∆DEF的高的比例为2/3。
2. 求解面积比例：假设∆ABC的面积为S1，∆DEF的面积为S2，已知AB/DE = AC/DF = BC/EF = 3/4。
根据面积比例公式可得(S∆ABC)/(S∆DEF) = (AB/DE)^2 = (AC/DF)^2 = (BC/EF)^2，则(S∆ABC)/(S∆DEF) = (3/4)^2 = 9/16。
设(S∆ABC)/(S∆DEF) = S1/S2 =9/16，解方程求得S1/S2 = 9/16，即∆ABC的面积与∆DEF的面积的比例为9/16。
四、相似三角形的面积比例证明通过几何学的证明，可以得到相似三角形的面积比例。
平面几何中的相似比和比例定理
平面几何中的相似比和比例定理在平面几何学中，相似比和比例定理是一些重要的理论和定律，它们被广泛应用于各种几何问题的解决中。
通过了解相似比和比例定理，我们可以更好地理解和解决与形状、尺寸和位置相关的几何问题。
一、相似比相似比是指两个相似图形对应边的长度比值。
对于两个相似的三角形ABC和DEF，我们可以用相似比来表示它们之间的边的关系。
假设边长比为k，则有以下几个常见的相似比定理：1. 角相似比定理：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似的边长比相等。
即若∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则有AB/DE =BC/EF = AC/DF = k。
2. 边相似比定理：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似的边长比相等。
即若AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 高相似比定理：如果两个三角形的对应高成比例，则它们相似的边长比相等。
即若h₁/h₂ = h₃/h₄ = h₅/h₆ = k，则有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
相似比的应用不仅仅局限于三角形，还可以推广到任意的多边形。
通过计算和比较相似比，我们可以确定两个图形是否相似，进而解决与形状和尺寸有关的几何问题。
二、比例定理比例定理是指在相似的图形中，对应边的长度之间保持比例关系。
在平面几何学中，有几个常见的比例定理：1. 边比例定理：在两个相似的三角形中，对应边的长度满足比例关系。
即若AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，则有AD/DF = BE/EF = AC/DE = k。
2. 面积比例定理：在两个相似的图形中，对应的面积满足比例关系。
如果两个图形的相似比为k，则它们的面积比为k²。
3. 体积比例定理：在两个相似的立体图形中，对应的体积满足比例关系。
如果两个立体图形的相似比为k，则它们的体积比为k³。
比例定理可以应用于各种几何问题的解决中，例如计算面积、体积、边长等。
相似三角形面积和边之比的关系
相似三角形面积和边之比的关系相似三角形是初等几何学中的一个重要概念。
它描述了两个或更多个三角形具有相同形状但可能不同尺寸的特性。
在相似三角形中，我们可以观察到面积和边之间存在着一种重要的关系。
在本文中，我们将深入探讨这个关系，以及它对几何学的应用。
让我们回顾一下相似三角形的定义。
相似三角形是指具有相同形状但不一定相同尺寸的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
根据这个定义，我们可以得出结论：相似三角形的对应边之比等于它们的面积之比。
设有两个相似三角形ABC和DEF，它们之间的对应边之比为AB/DE。
现在，让我们考虑这两个三角形的面积。
根据几何学的面积公式，三角形的面积等于底边乘以高并除以2。
三角形ABC的面积可以表示为：Area_ABC = (1/2) * AB * h_ABC，其中h_ABC是三角形ABC的高。
同样地，三角形DEF的面积可以表示为：Area_DEF = (1/2) * DE *h_DEF，其中h_DEF是三角形DEF的高。
由于三角形ABC和DEF是相似的，它们的对应边之比等于AB/DE。
假设相似比例为k，即AB/DE = k。
我们可以将这个比例代入到上述的面积公式中，得到：Area_ABC = (1/2) * (k * DE) * h_ABC = (1/2)* k * DE * h_ABC，以及Area_DEF = (1/2) * DE * h_DEF。
通过比较这两个表达式，我们可以得出结论：相似三角形的对应边之比等于它们的面积之比。
这个结论对于几何学的应用非常重要。
通过相似三角形的面积和边的关系，我们可以解决各种有关比例和比率的问题。
在房地产领域，我们可以利用相似三角形的面积和边之比来估算房屋的价格。
通过测量房屋的长度和宽度，并找到一个相似三角形来比较，我们可以根据它们的边之比来计算房屋的面积，从而估算出房屋的价值。
相似三角形的面积和边之比还可以应用于地理学和天文学中。
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1.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( )
A ．9.5
B ．10.5
C ．11
D ．15.5
2.如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ）
A ．1∶3
B ．2∶3
C ．3∶2
D ．3∶3
3.如图，点M 是△ABC 内一点，过点M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC 的面积是 ▲ ．
4 如图，已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 边的中点，DE 交AC 于点F ，AC ，DE 把平行四边形A BCD 分成的四部分的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．下面结论：①只有一对相似三角形；②E F ：ED=1：2；③S 1：S 2：S 3：S 4=1：2：4：5．其中正确的结论是（ ）
A ．①③
B ．③
C ．①
D ．①②
5.如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，
直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CF AD
= ．[来源:学§科§
6．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ，BD 交于点O ，S △AOD ：S △COB =1：9，则S △DOC ：S △BOC = _________ ．
7．如图，在△ABD 中，∠ADB=90°，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，△DEF 的面积为3.5，则△ABC 的面积为 _________ ．
8．在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH=DC ．若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为 _________ ．
9.如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 。
10．如图，E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，BE 交AC 于点O ，已知△COE 与△BOC 的面积分别为2
和8，则四边形AOED 的面积为（ ）
A 、16
B 、32
C 、38
D 、40
A
E
F D
G C B
11.已知：如图，DE 是△ABC 的中位线，点P 是DE 的中点，CP 的延长线交AB 于点Q ，那么S △DPQ ：S △ABC = ．
12、如图，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB
上，且112233A B A B A B ∥∥，213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ．
O E D C B A E F D C B
A
O A 1 A 2 A 3 A 4 A
B B 1 B 2 B 3
1
4。