信号与系统沈元隆第四章
第4章 连续信号与系统的复频域分析 章 傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波 成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十 分有效的。但在应用这一方法时，信号f(t)必须满足狄里赫 勒条件。而实际中会遇到许多信号，例如阶跃信号ε(t)、斜 坡信号tε(t)、单边正弦信号sintε(t)等，它们并不满足绝对可 积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。 虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其 变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。此外， 还有一些信号，如单边指数信号eαtε(t) (α>0)，则根本不存 在傅里叶变换，因此，傅里叶变换的运用便受到一定的限 制，其次，求取傅里叶反变换有时也是比较困难的，此处 尤其要指出的是傅里叶变换分析法只能确定零状态响应， 这对具有初始状态的系统确定其响应也是十分不便的。因 此，有必要寻求更有效而简便的方法，人们将傅里叶变换 推广为拉普拉斯变换（LT: Laplace Transform）。
s cos ω0tε (t ) ↔ 2 2 s + ω0
4. 单边余弦信号cost
5. 单边衰减正弦信号
e
−α t
ω0 sin ω 0tε (t ) ↔ (s + α )2 + ω 2 0
s +α 2 (s + α )2 + ω0
6. 单边衰减余弦信号
e−αt cos ω0tε (t ) ↔
7. 单位冲激信号
δ (t ) ↔ 1
8. t的正幂信号t n，（n为正整数）
n! t ε (t ) ↔ n+1 s
n
9.
单边双曲正弦函数sh和余弦函数ch
sinh βtε (t ) ↔
s2 − β 2
β
s cosh βtε (t ) ↔ 2 s −β2
4.3
拉普拉斯变换的性质
在实际应用中，人们常常不是利用定义式计算拉氏变换， 而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质。这些性质与傅 里叶变换性质极为相似，在某些性质中，只要把傅氏变换 中的jω用s替代即可。但是，傅氏变换是双边的，而这里讨 论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。有些性 质与傅氏变换相类似。 1． 线性 2． 时移性 3． 比例性（尺度变换） 4． 频移性 5． 时域微分
4.2
典型信号的拉普拉斯变换
下面给出一些典型信号的拉氏变换。因为f ( t )与f ( t )ε (t ) 的 单边拉氏变换相同，因此假定这些信号都是有始信号。 1. 指数信号
1 e ε (t ) ↔ s +α
−αt
2. 单边阶跃信号
1 ε (t ) ↔ s
3. 单边正弦信号
ω0 sin ω0tε (t ) ↔ 变换 单边） 考虑到实际中遇到的信号都是有始（因果）信号，即 t < 0 时 f ( t ) = 0，以及信号虽然不起始于 0，而问题的讨论只须考虑信 号 ≤ 0 的部分。在这两种情况下，式（4.1-5）可改写为：
F (s) = ∫ − f (t )e −st dt
0
∞
F[ f (t )e
−σt
]=∫
∞
−∞
f (t )e −σt e − jωt dt
= ∫ f (t )e −(σ + jω )t dt
−∞
∞
它是
σ + jω
的函数，可写成
F(σ + jω ) =
记为
F (s) = ∫
−∞ ∞
∫
∞
f (t )e−(σ + jω ) t dt
−∞
f (t )e −st dt
F(s)可表示为
kn k1 k2 = + + L+ s − s1 s − s2 s − sn
然后，由表4－1进行反变换。 2. D(s) = 0有复根且无重复根 0
D(s) = an (s − s1 )( s − s2 )L(s − sn−2 )( s 2 + bs + c)
= D1 (s)( s 2 + bs + c)
lim f (t )e −σt = 0
t →∞
(σ > σ 0 )
（4.1-10）
则对于Re[s] = σ > σ0，拉普拉斯变换积分式（4.1-8）绝对 且一致收敛。即f ( t )存在拉普拉斯变换。
σ0 为 最 低 限 度 的 σ 值 ， 称 为 收 敛 坐 标 ( abscissa of convergence )，它的取值与函数f ( t ) 的性质有关。经过σ0的 垂直线是收敛边界，或称为收敛轴。由于单边拉普拉斯变换 的收敛域是由Re[s] = σ > σ0的半平面组成，因此其收敛域都 位于收敛轴的右边。凡满足式(4.1-10)的函数f ( t )称为“指 数阶函数”，意思是可借助于指数函数的衰减作用将函数f(t) 可能存在的发散性压下去，使之成为收敛函数。 由于(单边)拉氏变换的收敛域是由Re(s) >σ0的半平面组成， 收敛域比较容易确定，故在一般情况下，不再加注其收敛域。 我们在此再强调一下，以后讨论的拉普拉斯变换是指单边拉 普拉斯变换。
由于商多项式的拉氏反变换是冲激函数及其各阶导数可由 微分性质直接求得。 所以只需讨论真分式多项式的拉氏反变换。下面着重讨论是 真分式时的拉氏反变换，可以将其分为以下三种情况： 1. D(s) = 0的根都是相异实根 因式分解为
D(s) = an (s − s1 )( s − s2 )L(s − sn )
4.1.2 拉普拉斯变换的收敛域 从以上讨论可知，当信号f (t)乘以收敛因子e-σt后，就有可能 满足绝对可积的条件。然而，是否一定满足，还要看f (t)的 性质与 σ 值的相对关系而定。也就是说，对于某一函数f (t)， 通常并不是在所有的 σ 值上都能使式(4.1-5)的积分收敛， 即并不是对所有的 σ 值而言，函数 f ( t )都存在拉普拉斯 变换，而只是在 σ 值的一定范围内，f ( t )才存在拉普拉斯 变换。通常把使 f (t)e-σt 满足绝对可积条件的 σ 值的范围称 为拉普拉斯变换的收敛域 ( ROC: region of convergence )。 在收敛域内，函数的拉普拉斯变换存在，在收敛域外，函 数的拉普拉斯变换不存在。 双边拉普拉斯变换对并不一一对应，即便是同一个双边拉 普拉斯变换表达式，由于收敛域不同，可能会对应两个完 全不同的时间函数。因此，双边拉普拉斯变换必须标明收 敛域。
其傅氏反变换为 最后得到
f (t )e
∞
−σt
1 = 2π
∫
∞
−∞
F (s)e jωt dω
（4.1-5）
F (s) = ∫
f (t )=
−∞
f (t )e −st dt
σ + j∞
1
2π j σ − j∞
F( s)es t d s ∫
（4.1-6）
式（4.1-5）称为f (t)的双边拉普拉斯变换(bilateral Laplace Transform)，称F(s）是f ( t )的象函数。而式 (4.1-6) 是F（s） 的双边拉普拉斯反变换，称 f (t) 是F(s)的原函数。 式（4.1-5）和（4.1-6）称为双边拉普拉斯变换对，可以用 双箭头表示f ( t )与F(s)之间这种变换与反变换的关系
F(s) =£[ f (t) ]
和 f (t) = £–1 [ F (s) ]
式（4.1-8）中积分下限用0－而不用0＋，目的是可把t = 0－ 时出现的冲激考虑到变换中去，当利用单边拉普拉斯变换 解微分方程时，可以直接引用已知的起始状态f (0－)而求得 全部结果，无需专门计算0－到0＋的跳变。 由于在分析因果系统，特别是具有非零初始条件的线性 常系数微分方程时，单边拉普拉斯变换具有重要价值，所 以，我们在下文中讨论的拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 都是指单边拉普拉斯变换。 如果因果信号f ( t )满足：（1）在有限区间a < t < b内 （0 ≤ a < b < ∞）可积；（2）对于某个σ0，有 ：
6． 时域积分 7． 初值定理 8．终值定理 拉氏变换还有一些其它性质，如时域卷积和复频域卷积等， 它们与傅氏变换的性质类似，不再重复。表4-2列出了常用 拉氏变换的性质。
4.4 拉普拉斯反变换 从象函数F(s)求原函数f (t)的过程称为拉普拉斯反变换。 简单的拉普拉斯反变换只要应用表4-1以及上节讨论的拉氏 变换的性质便可得到相应的时间函数。 求取复杂拉氏变换式的反变换通常有两种方法：部分分式 展开法和围线积分法。前者是将复杂变换式分解为许多简 单变换式之和，然后分别查表即可求得原信号，它适合于 F(s)为有理函数的情况；后者则是直接进行拉氏变换积分， 它的适用范围更广。 4.4.1部分分式展开法 常见的拉氏变换式是s的多项式之比（有理函数），一般形 式是： N ( s)
本章首先从傅里叶变换导出拉普拉斯变换，对拉普拉斯变 换给出一定的物理解释；然后讨论拉普拉斯正、反变换以 及拉普拉斯变换的一些基本性质，并以此为基础，着重讨 论线性系统的复频域分析法；应用系统函数及其零极点来 分析系统的时域特性、频域特性等。 4.1 拉普拉斯变换 4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 信号f(t)之所以不能满足绝对可积的条件，是由于当t→∞或 t→ - ∞时，f ( t )不趋于零。如果用一个实指数函数e-σ t去乘 f(t)，只要σ的数值选择得适当，就可以克服这个困难。例 如，对于信号
（4.1-8）
上 式 称 为 f(t) 的 单 边 拉 普 拉 斯 变 换 （ unilateral Laplace Transform），记为 £[ f (t) ]。相应的反变换为：
f (t )=
1
σ + j∞
2π j σ − j∞
F( s)es t d s t > 0 ∫
信号与系统——时域、频域分析及MATLAB软件的应用
书名：信号与系统——时域、频域分析及MA TLAB软件的应用作者：吴新余周井泉沈元隆页数：417页开数：16开字数：680千字出版日期：1999年12月第1版2000年5月第2次印刷出版社：电子工业出版社书号：ISBN 7–5053–5669–0定价：35．00元内容简介本书为一本面向21世纪教学的有关信号与系统分析的教材。
全书共分为八章，即信号与系统的基本概念，卷积积分，傅分变换，系统的性能分析，Z变换，状态变量分析以及Matlab软件在信号与系统分析中的应用。
本书各章附加了与内容相配合的例题和习题，书末附有习题答案，以便于自学。
为了适应科技形势迅速发展的需要，本书加强了学生计算机应用能力的培养。
编排了30余个Matlab应用程序以供学生训练用。
本书可作为通信、电子和自控类的各种专业本科生的教材，也可供有关技术人员参考。
未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。
版权所有，翻印必究。
作者简介吴新余，男，1939年8月生，1962年毕业于哈军工航空系，现为南京邮电学院电子工程系教授(1992)，IEEE高级会员(1994)。
在1986—1998年间，曾三次赴美国芝加哥伊里诺大学、一次赴美国加州大学伯克利本校作访问学者。
有编著、译著5本：1．《信号与线性系统》，人民邮电出版社，1985，为编者之一；2．《陈惠开教授论文选集》(译)，湖南科技出版社，1987，为主译者；3．《数字信号处理系统与实现》(译)，科学出版社，1989，为译者之一；4．《现代网络分析》，人民邮电出版社，1992，为第一副主编；5．《信号与系统——时域、频域分析与Matlab软件应用》，电子工业出版社，1999．12，为编者之一。
曾在国内外杂志和有关专业学术会议上发表论文100余篇。
1992年获国务院颁发的政府特殊津贴，两次作为课程建设的主持人而获得江苏省普通高校一类课程：“电路分析”(1993)、“信号与系统”(1995)，l996年获江苏省普通高校教学成果一等奖，1998年被评为江苏省优秀硕士生导师，其主要研究领域是：电路与系统理论及应用，应用图论，神经网络和遗传算法等。
信号与线性系统 管致中 第四版 第4章 ppt课件
HjE Rjj j1+2
2020/12/2
16
2) 从微分方程直接求解(方程两边取傅氏变换) 例：已知微分方程
y ''( t) 3 y '( t) 2 y ( t) x ( t)
求：系统函数 H( j) 。 解：对方程两边求傅氏变换，可得
[j()2 3 (j) 2 ]Y (j)X (j)
1 2j1 1 vo(t)1 2e t (t) 28
例：某系统的微分方程为
y " (t) 5 y '( t) 6 y ( t) x (t) 已知输入 x(t激 )e励 t(t),
初始状 y(0态 )2,y'(0)1, 试求全响应。
解(1： )求零状态yz响 s(t),用 应傅氏变换分析
X(j)F[x(t)] 1 j1
H(j)141 j11
27
例：已知 vS(t)2e2t(t)求：1.H( j) 2. h (t ) 3. vo (t)
H(j)141 j11
反变换，得 h(t)1(t)et(t) 4
V o (j ) V S(j )H (j )j 2 2 1 4 jj 1 2
2020/12/2
| H(j)| 2 42
0,| H ( j ) | 1
2020/12/2
2,| H(j)| 2
2
,|H (j)| 0 23
设含噪声 u1(t)信 5s号 itn) (： 3sin 2(t0)
u1(t)
h(t)
u2(t)
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24
三、系统响应： y(t)yx(t)yf(t)
yx(t)： 系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；
信号与系统课后习题参考答案
1试分别指出以下波形是属于哪种信号？题图1-11-2 试写出题1-1 图中信号的函数表达式。
1-3 已知信号x1(t)与x2(t)波形如题图1-3 中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-3⑴x1(t2)⑵ x1(1 t)⑶ x1(2t 2)⑷ x2(t 3)⑸ x2(t 2) ⑹x2(1 2t)2⑺x1(t) x2( t)⑻x1(1 t)x2(t 1)⑼x1(2 t) x2(t 4)21- 4 已知信号x1(n)与x2 (n)波形如题图1-4中所示，试作出下列各信号的波形图，并加以标注。
题图1-4⑴x1(2n 1) ⑵ x1(4 n)⑶ x1(n)2⑷ x2 (2 n)⑸ x2(n 2) ⑹ x2(n 2) x2( n 1)⑺x1(n 2) x2(1 2n)⑻x1(1 n) x2(n 4)⑼ x1(n 1) x2(n 3)1- 5 已知信号x(5 2t )的波形如题图1-5 所示，试作出信号x(t)的波形图，并加以标注。
题图1-51- 6 试画出下列信号的波形图：1⑴ x(t) sin( t) sin(8 t)⑵ x(t) [1 sin( t )] sin(8 t)21⑶x(t) [1 sin( t)] sin(8 t)⑷ x(t) sin( 2t )1-7 试画出下列信号的波形图：⑴ x(t)1 e t u(t) ⑵ x(t) e t cos10 t[u(t 1) u(t 2)]⑶ x(t)(2 e t)u(t)⑷ x(t) e (t 1)u(t)⑸ x(t)u(t22 9) ⑹ x(t)(t2 4)1-8 试求出以下复变函数的模与幅角，并画出模与幅角的波形图1j2 ⑴ X (j ) (1 e j2)⑵ X( j1 e j4⑶ X (j ) 11 ee j ⑷ X( j )试作出下列波形的奇分量、偶分量和非零区间上的平均分量与交流分量。
题图 1-10形图。
题图 1-141-15 已知系统的信号流图如下，试写出各自系统的输入输出方程。
《信号与线性系统分析》第四章
三、 正交函数集
n个函数 g 1(t)g ,2(t) ,gn(t) 构成一函数集，
如在区间 (t1, t2 ) 内满足正交特性，即
t1 t2gi(t)gj(t)d t0 (ij)
t2 t1
gi2(t)dtKi
那么此函数集称为正交函数集
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21
在〔t1,t2〕区间，任意函数f(t) 可由n个正交的函数的 线性组合近似
那么称正交。
t2 t1
f1(t)f2(t)d
t0
正交的条件：
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例： f(t)11
(0t) (t2)
试用sint 在区间〔0，2 π〕来近似 f(t)。
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f(t)
c12
1 0
1
2
t
18
2
解：
f (t)sintdt
c12 0 2 sin2tdt
0
1
2
[0sitndt (sitn )d]t
权积分表示〞 ——傅里叶的第二个主要论点
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9
变换域分析：
频域分析：－－傅里叶变换
自变量为 j
复频域分析：－－拉氏变换
自变量为 S = +j
Z域分析：－－Z 变换 自变量为z
zesT e(j )T
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§4.1 信号分解为正交函数
正交矢量 正交函数 正交函数集 用完备正交集表示信号
s t0T t0
in1 (ts)in (m1t)td T 2
0
mn mn
tt00Tco(nsω1t)co(m sω1t)d t T 0 2
mn mn
(仅供参考)信号与系统第四章习题答案
e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =
《信号与系统》管致中 ch4_1~3
应用所有的代数运算法则。
这时候，激励和响应的复振幅之间的关系可以表示为
为： R( j) H ( j)E( j)
东南大学 信息科学与工程学院
H ( j) 反映了复正弦激励下激励信号的复振幅与响
应信号复振幅之间的关系：响应信号复振幅等于激励信号
的复振幅与系统传输函数的乘积，它的幅度等于 E( j ) 和 H ( j) 幅度的积，相位 E( j) 和 H ( j) 两者相位的
信号的传输函数分别为 H ( j) 和 H ( j) 。如果微
分方程中的系数都是实数，则可以得到
H( j) H*( j)。
假设：
H( j) H( j) e j()
则系统对正弦信号的响应为：
东南大学 信息科学与工程学院
H ( j)e jt H ( j)e jt
r(t) 2
H ( j)e jt H ( j)e jt *
系统输出信号的频谱可以通过将信号的频谱与系统 的频域特性曲线两者合成分析出： (1) 将激励信号的幅频特性曲线与系统的幅频特性曲线 对应频率点上的幅度相乘，可以得到响应信号的幅频特性 曲线； (2) 将激励信号的相频特性曲线与系统的相频特性曲线 对应频率点上的幅度相加，可以得到响应信号的相频特性 曲线。 由输出信号的频谱不难求得输出信号。
网络函数 H ( j)
―――求解方法：利用电路分析中的稳态响应
东南大学 信息科学与工程学院
3) 求系统对各个频率点上的信号的响应； 4) 将响应叠加，得到全响应。 注意：这里的叠加是时间函数的叠加，不是电路分析中的 矢量叠加。
例：P167， 例题 4-1
某些由周期性信号组成的非周期信号（或概周期信号） 也可以用这种分析方法。例如信号：
4） 通过 I.F.T，求 r(t) ：
信号与系统(第四版)第四章课后答案
第5-10页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
4.1 拉普拉斯变换
四、常见函数的单边拉普拉斯变换
1. (t ) 1, 2.( t) 或1 3. ( t ) s, 4. 指数信号e
1
s
, 0
1 s s0
s0t
(t 2)
f1(t) 1 0 1 f2(t) 1 t
例1：e (t 2) e
-t
2
e
(t 2)
e
2
1 s 1
e
2s
-1 0
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信号与系统 电子教案
4.2 拉普拉斯变换性质
1 1e sT
例2： 单边冲激 T(t ) 1 e sT e s 2T 例3： 单边周期信号 fT(t ) (t ) f1(t ) f1(t T ) f1(t 2T ) F1(s )(1 e sT e s 2T )
8 e 2 s
s
f(t ) 1 0 1 y(t ) 2 4 t
二、尺度变换
2s
2
(1 e 2 s 2s e 2 s )
2 e 2 s 2 (1 e 2 s 2s e 2 s ) s
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信号与系统 电子教案
拉氏逆变换的物理意义
f (t )
2 j 1
j
j
F (s)est ds
817《信号与系统》考研复习大纲
《信号与系统》考研复习大纲一.考试要求1． 掌握信号与系统的基本概念，信号与系统的描述方法 ，基本信号的特性，系统的一般性质，系统的互联。
2． 掌握信号分解的基本思想及方法，通过对连续时间信号的付里叶变换能分析信号的频率特性；通过拉普拉斯变换能求线性时不变连续系统的全响应；通过Z 变换能求线性时不变离散系统的全响应。
3. 掌握系统函数零极点的获取方法，能根据极点分布情况判断该系统是否稳定。
4． 通过信号与系统课程的学习，为后续课程特别是数字信号处理课程的学习打下好的基础。
二.考试方式和考试时间1．考试方式：硕士研究生入学信号与系统考试为笔试，总分75，考试时间为90分钟。
2.参考书：沈元隆，周井泉编.信号与系统[M].北京:人民邮电出版社,2009.73.试题分数分配：一. 时域分析(连续、离散) 20分二. 连续系统的频域分析 25分三. 连续系统的复频域分析 15分四. 离散系统的z 域分析 15分三、考试内容、考试要求第1章 信号与系统的基本概念（1） 正确理解因果信号、因果系统的概念；（2） 熟练掌握系统的模拟方法。
（3） 正确理解线性时不变系统的含义。
第2 章 连续信号与系统的时域分析（1）掌握连续时间信号在时域进行分解的方法及其描述；（2）理解卷积概念的含义；熟练掌握卷积的性质及计算方法；（3）正确理解单位冲激函数（)(t δ）、单位阶跃函数（)(t ε）的概念，熟练掌握单位冲激函数的性质；（4）会用线性常系数微分方程描述LTI 系统；（5）掌握时域法求解一阶电路的冲激响应。
第3章 连续信号与系统的频域分析（1） 正确理解周期信号、非周期信号的含义，掌握其表示方法；（2） 熟练掌握周期信号分解为傅立叶级数的方法；（3）熟练掌握傅立叶变换的主要性质；（4）熟练掌握非周期信号及周期信号频谱的求取方法，会画频谱图；（5）正确理解理想滤波器的概念，知道理想滤波器的幅频、相频特性；（6）掌握当对f(t)时域信号抽样时，信号频谱的变化规律。
信号系统(第3版)习题解答
《信号与系统》（第3版）习题解析高等教育目录第1章习题解析 (2)第2章习题解析 (6)第3章习题解析 (16)第4章习题解析 (23)第5章习题解析 (31)第6章习题解析 (41)第7章习题解析 (49)第8章习题解析 (55)第1章习题解析1-1 题1-1图示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？(c) (d)题1-1图解 (a)、(c)、(d)为连续信号；(b)为离散信号；(d)为周期信号；其余为非周期信号；(a)、(b)、(c)为有始（因果）信号。
1-2 给定题1-2图示信号f ( t )，试画出下列信号的波形。
[提示：f ( 2t )表示将f ( t )波形压缩，f (2t)表示将f ( t )波形展宽。
](a) 2 f ( t - 2 ) (b) f ( 2t )(c) f ( 2t)(d) f ( -t +1 )题1-2图解 以上各函数的波形如图p1-2所示。
图p1-21-3 如图1-3图示，R 、L 、C 元件可以看成以电流为输入，电压为响应的简单线性系统S R 、S L 、S C ，试写出各系统响应电压与激励电流函数关系的表达式。
题1-3图解 各系统响应与输入的关系可分别表示为)()(t i R t u R R ⋅= tt i Lt u L L d )(d )(= ⎰∞-=tC C i Ct u ττd )(1)(1-4 如题1-4图示系统由加法器、积分器和放大量为-a 的放大器三个子系统组成，系统属于何种联接形式？试写出该系统的微分方程。
S RS LS C题1-4图解 系统为反馈联接形式。
设加法器的输出为x ( t )，由于)()()()(t y a t f t x -+=且)()(,d )()(t y t x t t x t y '==⎰故有)()()(t ay t f t y -='即)()()(t f t ay t y =+'1-5 已知某系统的输入f ( t )与输出y ( t )的关系为y ( t ) = | f ( t )|，试判定该系统是否为线性时不变系统？解 设T 为系统的运算子，则可以表示为)()]([)(t f t f T t y ==不失一般性，设f ( t ) = f 1( t ) + f 2( t )，则)()()]([111t y t f t f T == )()()]([222t y t f t f T ==故有)()()()]([21t y t f t f t f T =+=显然)()()()(2121t f t f t f t f +≠+即不满足可加性，故为非线性时不变系统。
《信号与系统》第04章
, −∞ < t < ∞ −a t 解：它可以看作是双边指数函数 x ( t ) = e
x ( t ) = li m e
a→ 0 −a t
x(t ) = 1
不满足 绝对可积的条件 中
a → 0 的极限情况，即
T
T = 4T1
2π ω = k ω0 = k T
T = 8T1
ω0 = 2π / T ,当 T → ∞
时,
ω0 → 0 )。
是单位间隔
T = 16T1
这说明，可以把非周期 信号当作周期信号在周期 任意大时的极限来看待。
x 2、再看一个信号 x ( t ) ,它具有有限持续期，即满足： (t) =0
∧
1 x(t ) = 2π
∧
∫
+∞
−∞
X ( jω )e jωt d ω
1、若x ( t )能量有限，即x ( t )平方可积 1)
∫
+∞
−∞
x(t ) dt < ∞
2
∫
傅立叶级数时 2
T
x(t ) dt < ∞
则x ( t )的傅里叶变换存在。 2) 其中
∫
+∞
−∞
e(t ) dt = 0
2
∧
傅里叶变换时，周期为 无穷大。
T1 − jωt
πθ ωT1 sin( π) sin(ωT1 ) ωT1 π )] ∴ = = sin c( ωT1 ωT1 π π π
[Q sin c(θ ) =
sin πθ
sinc函数
例4.5 已知信号的傅里叶变换为
X ( jω )
(4.18) -W 1
⎧1 , ⎪ X ( jω ) = ⎨ ⎪0 , ⎩