第九章 场的量子化及其状态的描述(详细版)改

另一方面，由Maxwell方程 H 0 E t 和H=(0, Hy, 0)有：
y H z z H y H y z 0 Ex t
故
H y ( z , t ) 0 Ex ( z, t )dz
将(9-3)式代入上式，得到
H y ( z , t ) 2 0 M V Q(t ) sin kzdz
一份一份的组成的，每一份能量大小为ћω，我们称
每一份这样的能量单元为一个能量量子（光子）
•粒子数算符即是能量量子数算符，其本征值n对应 能量量子数，本征态|n>对应能量量子数为n的量子 态。当 n=0时，谐振子的能量不为0，即谐振子存在 基态能量
•湮灭（产生）算符每作用于能量本征态|n>一次，能
量量子数n就会减少（增加）一个。因此它代表湮灭 （产生）一个粒子（能量量子）的算符。
根据以上递推公式，有
†
于是 a n n n 1 (n 1) ˆ
(9-17)
1 † 1 † 1 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 a 0 a 0 , 2 a 1 (a † ) 2 0 1 2 2! 1 † 1 ˆ ˆ 3 a 2 ( a † )3 0 ... 3 3!
于是得到
1 † n ˆ n (a ) 0 (1.22) n!
于是，对于电磁场我们有(n=1, 2, 3…)：
a n n n 1 (n 1) ˆ † a n n 1 nˆ n (a ) 0 n!
n m mn ,
n
n
n 1
ˆ N n a†a n n n ˆ ˆ , n 0,1, 2,... 1 ˆ H n ( n ) n 2
(9-12)、9-2-25
并且存在着如下对易关系
ˆ H , aˆ aˆ

ˆ , a a ˆ H ˆ

ˆ • H 的本征值
(9-13)
ˆ En表示 H 的本征值，|n>表示属于这一本征值的本征 态，则
ˆ n (a a 1 ) n E n ˆ ˆ H n 2
sin kL 0 k nπ L , n 1, 2,...
即有
nπ kn , n 1, 2... (1.25) n c L 2π
n
定义单模电磁场的广义坐标(具有长度量纲)
(9-2) Q (t ) 0V 2M A exp[i(t )] (1.26)
ˆˆ ˆ Na † n (n 1)a † n (for n 0)
因此有
ˆ a n An 1 n 1 (for n 1)
ˆ a n Bn 1 n 1 (for n 0)
†
B 其中常系数 n1 和n1 A
根据归一化关系求出
ˆ ˆ n a†a n n n n n An 1
ˆ 可知 H 的本征值谱为
由于粒子数算符的本征值为非负整数，于是
ˆ n a†a n n n N ˆ ˆ H n ( N 1 ) n E n ˆ ˆ n 2 (1.20) E ( n 1 ) n 2 n 0,1,2...
•一维谐振子的能量是以ћω为单位增减的，即能量是
9.1.3 能量本征态 将本征态归一化<n|n>=1，可求出它的一些表 达式。一方面，粒子数算符的本征方程满足
ˆ ˆ N n 1 (n 1) n 1 , N n 1 (n 1) n 1
另一方面，前面已经给出
ˆˆ ˆ Na n (n 1)a n (for n 1)
2
则方程(9-1)可以表达为
(9-3) Ex ( z , t ) 2 M 0V Q(t ) sin kz (1.27)
2
其中V=LS为腔体体积，L为谐振腔的长度 ，S为谐振腔的横截面积，M为归一化因子 （具有质量量纲）
显然广义坐标Q(t)满足如下谐振子方程
(t ) 2Q(t ) 0 Q
1 1 2 2 2 2 2 H ( M Q sin kz P cos kz )dV V M 1 L 1 2 2 2 2 2 0 (M Q sin kz M P cos kz )dz dS LS 1 L 1 2 2 2 2 nπ 2 nπ ( M Q sin z P cos z )dz L 0 L M L 2 1 P 2 2 (M Q ) 2 M
选择Cartesian坐标系，使得单模辐射场沿z轴传播， 电场振动方向（即偏振方向）在x轴方向上，则 E=(Ex, 0, 0)，磁场振动方向在y轴上H=(0, Hy, 0)，假 定电磁场处于两镜腔内，沿x、y轴方向变化可忽略 不计，则腔中单模电磁场的波动方程为
Ex ( z , t ) Ex ( z , t ) 0, 2 2 2 z c t
，
ˆ 即，若En是 H 的本征值，则 En , En 2,
ˆ • 算符 a称为湮灭算符，同理，对算符 a 有 ˆ
ˆ a n a H n a n E a 2 n ˆ ˆ ˆ ˆ Hˆ n ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ha 2 n (a H n a )a n En 2 a 2 n
†
2
ˆ H 的最小本征值
设最低能量本征态为|0>,相应的本征值为E0，则应满足
ˆ a 0 0 ˆ 0 (a a 1 ) 0 1 0 E 0 ˆ ˆ H 0 2 2
所以
1 E 0 2 1 En (n ) , 2 (n 0,1,2)
(9-16) 9-1-17
9.2 电磁辐射场的量子化
9.2.1 单模辐射场的量子化 研究辐射场的量子化不必牵涉电磁相互作用 ，因而只需考虑真空无源区的自由辐射场。 在开式的真空腔中，电磁场满足以下Maxwell 方程组（c 1 0 0 是真空光速）
E B t H D t E 0 , B 0 B 0 H , D 0 E
第9章 场的量子化及其状态的描述
半经典理论：对原子进行量子化处理，而电磁场 仍然是经典场。理论是近似的，适用于无需考虑 场的量子力学行为的场合，可使问题得到简化。 全量子理论：对原子和场都采用量子化处理。理 论是完备的，适用于任何场合，但是当场的量子 力学效应可以忽略不计时，不利于问题简化。能 给自发辐射以理论解释，从而能解释激光场由真 空场到稳定场的建立过程，能研究激光场的相干 性和光子统计性质，等等。
(9-18) 9-1-21
作为代表物理可观测量的厄米算符，粒子数 算符的本征态（也即能量算符的本征态）满 足正交归一和完备性关系，即
n m mn
1 for m n , 0 for m n

n
(9-19) n n 1 (1.23)
因此本征态集合{|n>}可以构成态矢量空间中 的一组基矢，任意量子态可以用它展开。由 于|n>代表粒子数为n的量子态，由基矢{|n>} 构成的表象，称为粒子数表象或占有数表象， 又称作Fock空间表象。
的本征态，其本征值为 En , En 2, 也是 H的本征值。 ˆ 如果把能量 看成为一个简谐振子量子所具有的 能 量，则算符 a的作用是减少一个简谐振子量子，使能 ˆ 量本征值为En的态变为能量本征值为 E 的态。 n
(9-15)
ˆ n ，2 n ….也是 H ˆ a ˆ ˆ 可见，如果|n>为 H 的本征态，则 a
利用(9-4)和(9-5)两式，得到
H y ( z, t )
(9-5)
2 P (t ) cos kz (1.30) 0 MV
(9-6)
光腔体积内的电磁场能量为
1 2 2 H ( 0 Ex 0 H y )dV (1.31) (9-7) 2
将(9-3)和(9-6)式代入上式，利用驻波条件得
因此电磁场的哈密顿量为： P2 1 2 2 H M Q (1.32) 2M 2 这跟质量为M、频率为ω的简谐振子的哈密顿 量相同。把Q(t)看作广义坐标，把P(t)看作广 义动量。 ˆ2 9.2.2 电磁场的量子化
ˆ ˆ 1 P M 2Q 2 H 2 M
2 † ˆ ˆ P (t ) cos kz i (a a ) cos kz 0 MV 0V
(9-2-24)
ˆ H y ( z, t )
将(9-11)和(9-8)式，电磁场的Hamiltonian算 符为 ˆ2 1 ˆ ˆ P M 2Q 2 ( N 1 ), N a† a ˆ ˆ ˆ ˆ H 2M 2 2
ˆˆ 将 Ha 作用到态 n
上，利用（9-13），得：
(9-14)
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ Ha n aH n a n En a n
ˆˆ 将 Ha 作用到态 a n 上，利用（9-13），得： ˆ
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ Ha 2 n (aH n a)a n En 2 a 2 n
(9-8)
在场的量子化中，把经典的广义坐标－广义动 量共轭对Q和P换成对应的算符，且让它们满 足以下对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ p, p ˆ ˆ [Q, P] i (1.33) Q, Q 0
引入新的算符 ˆ ˆ ( a † )† a
1 ˆ ˆ ˆ a ( M Q iP ) 2 M 1 ˆ ˆ a † ˆ ( M Q iP ) 2 M
ˆ •算符a 称为产生算符

ˆ 粒子数算符 N
ˆ aa N ˆ ˆ
9.1.2 能量本征值（粒子数算符的本征值）
引理1 若粒子数算符的本征值和本征态分别用 n和|n>表示，即有
ˆ n a†a n n n ˆ ˆ N
则必然有n≥0，且当n=0时，有