2020北京市平谷区高三数学二模考试试卷参考答案
2020年北京市平谷区高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年北京市平谷区高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|0≤x≤2}，B={0，1，2，3}，则A∩B=（）A. {0}B. {0，1}C. {0，2}D. {0，1，2}2.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A. y=B. y=ln xC. y=sin xD. y=2-x3.若实数x，y满足，则z=y-x的最小值为（）A. -2B. 2C. -4D. 44.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A.B.C.D.5.在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为（）A. 1B. 3-C. +3D. 56.设，是非零向量，则“|-|=||+||”是“∥”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 48.放射性物质的半衰期T定义为每经过时间T，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质A，B，开始记录是容器中物质A的质量是物质B的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质A的半衰期为7.5个小时，则物质B的半衰期为（）A. 10小时B. 8小时C. 12小时D. 15小时二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.复数=______．10.的展开式中含x4项的系数是______．11.中国古代数学著作《算数统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里米，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关…”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的1一半，共走了六天到达关口…”那么该人第一天走得路程为______．12.设双曲线C经过点（4，3），且与-=1具有相同渐近线，则C的方程为______，离心率为______．13.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（其中φ为实数），若f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，则满足条件的φ值为______（写出满足条件的一个φ值即可）14.如图，在菱形ABCD中，∠B=，AB=4，（1）若P为BC的中点，则•=______；（2）点P在线段BC上运动，则|+|的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知f（x）=sin x-cos x，A，B，C为△ABC的三个内角，BC=2，f（A）=0．（Ⅰ）求A角；（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．16.随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越开越多，随之而来的交通事故也增多．据有关部门调查，发生车祸的驾驶员尤其是21岁以下年轻人所占的比例居高，因此交通管理有关部门，对2018年参加驾照考试的21岁以下的学员随机抽取10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该学员的抽测成绩．记录数据如下：学员1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号编号科目三测试成绩92909291929089939291科目四测试成绩94888690908794898991（）从年参加驾照考试的岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率；（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到90分以上（含90分）才算测试合格．（i）从抽测的1号到5号学员中任取两名学员，记X为学员测试合格的人数，求X 得分布列和数学期望E（X）；（ii）记抽取的10名学员科目三和科目四测试成绩的标准差分别为s1，s2，试比较s1与s2的大小．17.如图，四棱锥P-ABCD中底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的一点，PB∥平面AEC；（Ⅰ）求证：E为PD的中点；（Ⅱ）求证：CD⊥AE；（Ⅲ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求AB长．18.已知函数f（x）=x--（a+1）ln x．（Ⅰ）若函数f（x）在点（3，f（3））处切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若f（x）在x=1处取得极大值，求a的取值范围．19.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2；（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设椭圆上顶点A，左、右顶点分别为B、C．直线l∥AB且交椭圆于E、F两点，点E关于y轴的对称点G，求证：CF∥AG．20.给定数列a1，a2，a3…a n，对于i=1，2，3，…n-1，该数列前i项的最大值记为A i，后n-i项a i+1，a i+2，a i+3，…a n的最小值记为B i，d i=A i-B i．（Ⅰ）若{a n}为3，4，7，5，2，写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设a1，a2，a3…a n（n≥4）是a1＞0，公比q＞1的等比数列，证明：d1，d2，d3，…d n-1成等比数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|0≤x≤2}，B={0，1，2，3}，∴A∩B={0，1，2}．故选：D．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于B，y=ln x，为指数函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；对于C，y=sin x，为正弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于D，y=2-x=（）x，是指数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题．3.答案：C解析：解：实数x，y满足表示的区域如图：设z=y-x，则y=x+z，所以z的最小值是过A（4，0）与直线y=x平行的直线在y轴的截距，为0-4=-4．故选：C．首先画出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求最小值．本题考查了简单线性规划的问题，首先正确画出平面区域，然后根据目标函数的几何意义求最值．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键．根据条件，进行模拟运行，k=5时，退出循环，即可得出结论．【解答】解：由题意，k=5时，退出循环，S=cos=，故选：A．5.答案：A解析：解：点（2，）化为：，即．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为直角坐标方程：x+y-6=0，∴点到直线的距离d===1．故选：A．把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：由“|-|=||+||”平方得||2-2•+||2=||2+2||•||+||2，即-•=||•||，则||•||cos＜，＞=-||•||，即cos＜，＞=-1，即＜，＞=180°，此时∥成立，充分性成立，若＜，＞=0°时，满足∥，但-•=||•||不成立，即必要性不成立，即“|-|=||+||”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．根据向量模长与数量积的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键．7.答案：D解析：解：由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图如图：是正方体的一部分，由图得：该棱锥的四个侧面均为直角三角形，故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为4个，故选：D．由已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而可分析出该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数．本题考查的知识点是简单几何体的三视图，解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.答案：B解析：解：=16．设m B=1．则m A=2．设物质B的半衰期为t．由题意可得：2×=，解得t=8．故选：B．=16．设m B=1．则m A=2．设物质B的半衰期为t．由题意可得：2×=，解得t．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.答案：1-2i解析：解：复数==故答案为：1-2i首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以i，分子变化成实数，写成最简形式，得到结果．本题考查复数的除法运算，本题解题的关键是熟练应用复数除法的法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，本题是一个基础题．10.答案：405解析：解：的展开式的通项公式为T r+1=•3r•x10-3r，令10-3r=4，可得r=2，故展开式中含x4项的系数为•32=405，故答案为：405．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于4，求出r的值，即可求得开式中含x4项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11.答案：192里解析：解：根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比为的等比数列，又由6天走完378里，则S6==378，解可得：a1=192，即该人第一天走的路程为192里．故答案为：192里．根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比为的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：解析：解：∵双曲线C经过点（4，3），且与-=1具有相同渐近线，∴设双曲线C的方程为-=λ，（λ≠0），把点（4，3）代入，得：4-1=λ，解得λ=3，∴双曲线C的方程为：．双曲线的离心率为：=．故答案为：；．由已知设双曲线C的方程为-=λ，（λ≠0），由此利用待定系数法能求出双曲线C的方程．然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．13.答案：解析：解：由题意，f（x）≤|f（）|对x∈R恒成立，可得x=时，f（x）取得最大值或最小值．若x=时，f（x）取得最大值，可得φ=+2kπ，k∈Z若x=时，f（x）取得最小值，可得φ=+2kπ，k∈Z故答案为：根据f（x）≤|f（）|，可得x=时，f（x）取得最大值或最小值．即写出答案；本题考查了三角形函数的性质的应用．属于基础题14.答案：0 4解析：解：（1）菱形ABCD中，∠B=，AB=4，P为BC的中点，∴BP=2，AP=2，∴AP2+BP2=AB2，即AP⊥BP则•=0（2）∵点P在线段BC上运动，可设BP=x，M为AB中点则|+|=2||△BPM中，PM2==x2+2x+4，∵0≤x≤4，当x=0时，PM有最小值2，即|+|=2||的最小值4故答案为：0，4（1）菱形ABCD中，∠B=，AB=4，P为BC的中点，可判断AP⊥BP可求（2）可设BP=x，M为AB中点，结合向量加法的平行四边形法则可知|+|=2||，然后结合余弦定理及二次函数的性质可求本题主要考查了向量数量积的运算性质及向量的基本运算，二次函数性质的应用，属于中档试题15.答案：解：（Ⅰ）由f（x）=sin x-cos x=2sin（x-60°），∵f（A）=0．即2sin（A-60°）=0，∵0＜A＜180°，可得：A=60°；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A=60°，BC=a=2，根据余弦定理cos A=，可得bc=b2+c2-4，∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时取等号），∴bc+4≥2bc，可得bc≤4．那么△ABC面积S=bc sin A=，故得△ABC面积的最大值为．解析：（Ⅰ）化简f（x），根据f（A）=0．即可求A角；（Ⅱ）利用余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可求解△ABC面积的最大值．本题考查了三角函数的化简和余弦定理与不等式的结合求解最值问题．属于基础题．16.答案：解：（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89，89，90.5，91，88.5，91.5，91，90.5，91，其中大于90分的有1号、4号、5号、7号、8号、9号、10号，共7人．所以抽到学生考核成绩大于90分的概率为：P==0.7．（2）（i）从抽测的1号到5号学员中任取两名学员，1号到5号学员中合格的人数为3人，记X为学员测试合格的人数，则X的可能取值为0，1，2，P（X=0）===0.1，P（X=1）===0.6，P（X=2）===0.3，X 0 1 2P 0.1 0.6 0.3=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2．（ii）由表中的数据得到科目三的测试成绩比科目四的测试成绩更集中，∴s1＜s2．解析：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方差的比较，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）求出这10名学生的考核成绩，其中大于等于90分的有7人，由此能求出样本中学生考核成绩大于90分的概率．（2）（i）从抽测的1号到5号学员中任取两名学员，记X为学员测试合格的人数，则X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E （X）．（ii）由表中的数据得到科目三的测试成绩比科目四的测试成绩更集中，从而s1＜s2．17.答案：（I）证明：连接BD交AC于F，连接EF．∵PB∥平面AEC，PB⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE=EF，∴PB∥EF，∴，∵底面ABCD是矩形，∴F是BD的中点，∴=，∴E是PD的中点．（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，又PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD．∴CD⊥AE．（III）解：以A为原点，以AB，AD，AP为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设AB=a，则A（0，0，0），C（a，，0），D（0，，0），P（0，0，1），E（0，，），∴=（a，，0），=（0，，），=（0，0，1），显然=（1，0，0）为平面AED的一个法向量，设平面ACE的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=得=（，-1，），∵二面角D-AE-C为60°，∴|cos＜＞|=||=，解得a=，即AB=．解析：（I）连接BD交AC于F，连接EF．由线面平行的性质可得PB∥EF，故而得出E 为PD的中点；（II）证明CD⊥平面PAD得出CD⊥AE；（III）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出AB的长．本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题．18.答案：解：（I）f′（x）=1+-，由题意可得：f′（3）=1+-=0，解得a=3．（II）f′（x）=1+-=，（x＞0）．①当a＞1时，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递增；在（1，a）上单调递减；在（a，+∞）上单调递增．②当a=1时，可得：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．③当0＜a＜1时，可得：函数f（x）在（0，a）上单调递增；在（a，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．④当a≤0时，可得：函数f（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．（Ⅲ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=1+a-（a+1）=0．由（II）可得：只有a＞1时满足条件，∴a的取值范围是（1，+∞）．解析：（I）f′（x）=1+-，由题意可得：f′（3）=0，解得a．（II）f′（x）=1+-=，（x＞0）．对a分类讨论即可得出单调性．（Ⅲ）由f（x）在x=1处取得极大值，可得f′（1）=0．由（II）可得：a＞1时满足条件．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.答案：解：（Ⅰ）由题意可得，解得a2=4，b2=1，c2=3，∴椭圆的标准方程为+y2=1，证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得A（0，1），B（-2，0），C（2，0），∵直线l∥AB，∴k l=k AB==，不妨设直线l的方程为y=x+m，设E（x1，y1），F（x2，y2），则G（-x1，y1），联立，消y可得x2+2mx+2（m2-1）=0．由△=4m2-8（m2-1）=8-4m2＞0，得-＜m＜．∴x1+x2=-2m，x1x2=2（m2-1），则．∴k CF====，k AG==，若k CF=k AG，则=，即=（）（-2m-2-x1），即，即则．．此时成立．∴CF∥AG．解析：（Ⅰ）由已知可得关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）求出AB的斜率，得到直线l的斜率，设直线l的方程为y=x+m，E（x1，y1），F（x2，y2），则G（-x1，y1），联立直线方程与椭圆方程，然后利用根与系数的关系结合斜率公式证明CF∥AG．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.答案：（Ⅰ）解：由题意，可知：①当i=1时，A1=3，B1=2，d1=A1-B1=3-2=1；②当i=2时，A2=4，B2=2，d2=A2-B2=4-2=2；③当i=3时，A3=7，B3=2，d3=A3-B3=7-2=5；④当i=4时，A4=7，B4=2，d4=A4-B4=7-2=5．（Ⅱ）证明：由题意，可知：∵a1＞0，公比q＞1，∴数列{a n}是一个单调递增的等比数列．∴①当i=1时，A1=a1，B1=a2，d1=A1-B1=a1-a2=a1（1-q）；②当i=2时，A2=a2，B2=a3，d2=A2-B2=a2-a3=a1（1-q）q；③当i=3时，A3=a3，B3=a4，d3=A3-B3=a3-a4=a1（1-q）q2；•••∴当i时，A i=a i，B i=a i+1，d i=A i-B i=a i-a i+1=a1（1-q）q i-1．∴d1，d2，d3，…d n-1成首项为a1（1-q），公比为q的等比数列．解析：本题第（Ⅰ）题可根据题意来逐步代入计算；第（Ⅱ）题根据a1＞0，公比q＞1可判断出数列{a n}是一个单调递增的等比数列，则可逐步代入A i与B i的值进行计算，最终证明出d1，d2，d3，…d n-1成等比数列．本题第（Ⅰ）题主要考查对新定义的理解应用能力；第（Ⅱ）题主要考查对等比数列单调性的判断以及新定义进行代入计算．本题属中档题．。
2020年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷-学生用卷
2020年北京第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷-学生用卷sℎ，其中S为锥体的底面积，ℎ为锥体的高.参考公式，锥体的体积公式为V=13第一部分（选择题共81分）本部分共27小题，每小题3分，共81分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1、【来源】 2020年北京合格性考试第1题3分已知集合A={0,1,2},B={2,3}，那么集合A∩B等于（）．A. {2}B. {1,2}C. {2,3}D. {0,1,2}2、【来源】 2020年北京合格性考试第2题3分函数f(x)=√x−2的定义域是（）．A. (−∞,−2]B. (−∞,0]C. [2,+∞)D. R3、【来源】 2020年北京合格性考试第3题3分如果α=27∘，那么与角α终边相同的角的集合可以表示为()A. {β|β=27∘+k⋅360∘,k∈Z}B. {β|β=−27∘+k⋅360∘,k∈Z}C. {β|β=27∘+k⋅180∘,k∈Z}D. {β|β=−27∘+k⋅180∘,k∈Z}4、【来源】 2020年北京合格性考试第4题3分幂函数y=x3的图象经过（）．A. 点(2,1)B. 点(2,2)C. 点(2,4)D. 点(2,8)5、【来源】 2020年北京合格性考试第5题3分已知全集U={1,2,3}，M={1}，那么集合∁U M等于（）．A. {2}B. {3}C. {2,3}D. {1,2,3}6、【来源】 2020年北京合格性考试第6题3分−1的零点的个数为（）函数f(x)=1xA. 0B. 1C. 2D. 37、【来源】 2020年北京合格性考试第7题3分已知平面向量a→=(1,1)，b→=(1,2)，那么a→⋅b→等于（）．A. 1B. 2C. 3D. 48、【来源】 2020年北京合格性考试第8题3分2019年某博物馆接待参观者61.3万人次．据统计，18岁以下（不含18岁）的参观人数占总参观人数的11%；18∼24岁的参观人数最多，占总参观人数的62%；24岁以上（不含24岁）的参观人数占总参观人数的27%．为了解参观者对博物馆展览内容的需求及建议，现采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本进行调查，那么应抽取18∼24岁的人数为（）．A. 20B. 22C. 34D. 1249、【来源】 2020年北京合格性考试第9题3分已知sinα=√2，那么sin(π−α)的值是()2A. 0B. 12C. √22D. 110、【来源】 2020年北京合格性考试第10题3分已知函数f(x)是R上的增函数，那么（）A. f(3)>f(2)>f(1)B. f(3)>f(1)>f(2)C. f(1)>f(2)>f(3)D. f(2)>f(3)>f(1)11、【来源】 2020年北京合格性考试第11题3分已知函数y=cosx的部分图象如图所示，那么它的一条对称轴方程可以是（）．A. x=1B. x=π2C. x=πD. x=3π212、【来源】 2020年北京合格性考试第12题3分计算sin40∘cos20∘+cos40∘sin20∘的结果是（）．A. 0B. √22C. √32D. 113、【来源】 2020年北京合格性考试第13题3分已知函数f(x)为偶函数，且f(−2)=1，那么f(2)等于()A. 0B. 1C. 3D. 514、【来源】 2020年北京合格性考试第14题3分函数f(x)=x2−2x在区间[0,1]上的最小值是（）．A. −4B. −1C. 0D. 415、【来源】 2020年北京合格性考试第15题3分函数y=2x的图象大致是（）．A.B.C.D.16、【来源】 2020年北京合格性考试第16题3分2019~2020学年北京房山区高一下学期期末第3题5分要得到函数y =sin(x −π4)的图象，只需将函数y =sinx 的图象（ ）．A. 向左平移π4个单位B. 向右平移π4个单位C. 向上平移π4个单位D. 向下平移π4个单位17、【来源】 2020年北京合格性考试第17题3分已知△ABC 中，∠A =45∘，AB =2√2，AC =3 ，那么BC 等于（ ）．A. 1B. √5C. 2√3D. 618、【来源】 2020年北京合格性考试第18题3分如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，AB =PD =2，那么该四棱锥的体积是（ ）．A. 1B. 43C. 83D. 419、【来源】 2020年北京合格性考试第19题3分计算30+log22的结果是（）．A. 1B. 2C. 3D. 420、【来源】 2020年北京合格性考试第20题3分如图，四边形ABCD是平行四边形，那么AB→−AD→等于()A. DB→B. CB→C. AC→D. DC→21、【来源】 2020年北京合格性考试第21题3分已知平面向量a→=(0,1)，b→=(1,0)，给出下列四个结论：①a→=b→；②a→+b→=0；③a→−b→=0；④|a→|=|b→|．其中正确结论的序号是（）．A. ①B. ②C. ③D. ④22、【来源】 2020年北京合格性考试第22题3分已知函数f(x)由下表给出：那么f(f(3))等于（）．A. 1B. 2C. 3D. 4第23-27题有I、II两组试题，2019级考生作答第I组试题，非2019级考生作答第II组试题.第I组（2019级考生作答）23、【来源】 2020年北京合格性考试第23题3分已知复数z1=i，z2=2+i，那么z1+z2等于（）．A. 1+iB. 2C. 2iD. 2+2i24、【来源】 2020年北京合格性考试第24题3分不等式(x−1)(x−2)⩽0的解集是（）．A. {x|−2⩽x⩽1}B. {x|1⩽x⩽2}C. {x|x⩽1或x⩾2}D. {x|x⩽−1或x⩾2}25、【来源】 2020年北京合格性考试第25题3分“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件26、【来源】 2020年北京合格性考试第26题3分命题“∃x∈R,x2<1”的否定是（）．A. ∀x∈R,x2⩾1B. ∀x∈R,x2⩽1C. ∀x∈R,x2>1D. ∀x∈R,x2<127、【来源】 2020年北京合格性考试第27题3分2021~2022学年北京怀柔区高一上学期期末第15~15题已知a>b，那么下列结论正确的是（）A. a−b<0B. a−b>0C. a+b<0D. a+b>0第II组（2019级考生作答）28、【来源】 2020年北京合格性考试第28题3分已知直线l经过点M(−1,0)，N(0,2)，那么直线l的斜率是（）．A. −2B. −1C. 1D. 229、【来源】 2020年北京合格性考试第29题3分已知直线l经过点P(1,0)，且与直线y=2x−1平行，那么直线l的方程是（）．A. y=x−1B. y=2x−2C. y=−x+1D. y=−2x+130、【来源】 2020年北京合格性考试第30题3分从甲、乙、丙、丁4人中选取一名志愿者参加社区活动，那么被选中的人是甲或乙的概率是（）．A. 15B. 13C. 12D. 5631、【来源】 2020年北京合格性考试第31题3分如图，原点O(0,0)到直线l：x+y−2=0的距离是（）．A. √2B. √3C. 2D. 332、【来源】 2020年北京合格性考试第32题3分圆C1∶x2+y2=1与圆C2:(x−2)2+y2=1的公共点的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3第二部分（解答题共19分）33、【来源】 2020年北京合格性考试第33题4分．某同学解答一道三角函数题：“已知函数f(x)=2sinxcosx+12（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；]上的最小值．”（Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,3π4该同学解答过程如下：，解答：（Ⅰ）因为f(x)=2sinxcosx+12．所以f(x)=sin2x+12=π．所以T=2π2所以函数f(x)的最小正周期是π．（Ⅱ）因为0⩽x⩽3π4所以0⩽2x⩽3π2所以当2x=3π时，函数y=sin2x的最小值是−1．2所以当x=3π4时，函数f(x)的最小值是−12写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识．(写出5个即可）34、【来源】 2020年北京合格性考试第34题5分阅读下面题目及其解答过程，并补全解答过程.已知函数f(x)=−2x+b(b∈R)．（1）当b=0时，判断函数f(x)的奇偶性；（2）求证：函数f(x)在R上是减函数，解答：（1）当b=0时，函数f(x)是奇函数，理由如下：因为f(x)=−2x+b，所以当b=0时，f(x)=①．因为函数f(x)的定义域是R，所以∀x∈R，都有−x∈R，所以f(−x)=−2(−x)=2x．所以f(−x)=②．所以函数f(x)是奇函数．（2）证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2，则③．因为f(x1)=−2x1+b，f(x2)=−2x2+b，所以f(x1)−f(x2)=(−2x1+b)−(−2x2+b)=④．所以⑤．所以f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在R上是减函数．以上解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出你认为正确的，并填写在答题卡的指定位置．35、【来源】 2020年北京合格性考试第35题5分某创业公司销售一批新上市的电子产品，销售期定为31天．收集这31天的日销售额的数据后发现，这批产品的日销售额开始时不断增加，中间几天没有变化，随后逐渐减少，日销售额y（单位：万元）随时间x（单位：天）变化的散点图如图1所示:(1) 根据图1中的数据，在这31天中，该批产品的日销售额不大于3万元的天数是；(2) 通过观察图1，发现散点大致分布在三段不同的函数图象上，如图2所示:当1⩽x⩽16时，基本满足函数关系式y=log ax+b(a>1,b∈R)；当16⩽x⩽21时，基本满足函数关系式y=6；当21⩽x⩽31时，基本满足函数关系式y=kx+m(k,m∈R)．根据图2中的数据，求a，b，k，m的值．第31题有I、II两组试题，2019级考生作答第I组试题，非2019级考生作答第II组试题.第I组（2019级考生作答）36、【来源】 2020年北京合格性考试第36题5分的最小值.已知x>0，求x−1+2x甲、乙两位同学的解答过程分别如下：以上两位同学写出的结论一个正确，另一个错误，请先指出哪位同学的结论错误，然后再指出该同学解答过程中的错误之处，并说明错误的原因.第II 组（非2019级考生作答）37、【来源】 2020年北京合格性考试第37题5分 已知直线l:x −y +1=0与圆C:x 2+(y −2)2=4交于两点A ，B ，求|AB|. 某同学的解答过程如下：解答：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)．联立方程组{x 2+(y −2)2=4,x −y +1=0,消去y ，整理得2x 2−2x −3=0﹒此方程根的判别式Δ=(−2)2−4×2×(−3)=28>0. 所以x 1+x 2=2，x 1x 2=−3．所以 |AB|=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2=√(x 2−x 1)2+[(x 2+1)−(x 1+1)]2=√2√(x 2−x 1)2=√2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2√4−4×(−3)=4√2，所以 |AB|=4√2 ．指出上述解答过程中的错误之处，并写出正确的解答过程．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 D;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 A;11 、【答案】 C;12 、【答案】 C;13 、【答案】 B;14 、【答案】 B;15 、【答案】 A;16 、【答案】 B;17 、【答案】 B;18 、【答案】 C;19 、【答案】 B;20 、【答案】 A;21 、【答案】 D;22 、【答案】 A;23 、【答案】 D;24 、【答案】 B;25 、【答案】 C;26 、【答案】 A;27 、【答案】 B;28 、【答案】 D;29 、【答案】 B;30 、【答案】 C;31 、【答案】 A;32 、【答案】 B;33 、【答案】答案见解析;34 、【答案】①A；②B；③A；④B；⑤B．;35 、【答案】 (1) 7;(2) a=2，b=2，k=−12，m=332;36 、【答案】见解析;37 、【答案】见解析;。
2020-2021学年北京市高考数学二模试卷（理）及答案解析
2020-2021学年北京市⾼考数学⼆模试卷（理）及答案解析北京市⾼考数学⼆模试卷（理科）⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜57．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= ．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有种．（⽤数字作答）14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= ．②记Sn三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18．已知函数f（x）=e ax，g（x）=﹣x2+bx+c（a，b，c∈R），且曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（0，c）处具有公共切线．设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求c的值，及a，b的关系式；（Ⅱ）求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）设a≥0，若对于任意x1，x2∈[0，1]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤e﹣1，求a的取值范围．19．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂⾜为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP（Ⅰ）求椭圆M的⽅程及离⼼率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表⽰x1，x2，x3，…，x n中的最⼤值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最⼩值；（Ⅲ）?k∈N*，求d n的最⼩值．参考答案与试题解析⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题列出的四个选项中，选出符合题⽬要求的⼀项．）1．复数=（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】把分⼦分母同时乘以1+i，直接利⽤复数的除法运算求解．【解答】解：=．故选：C．2．已知双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0）．，实轴长为6，则双曲线C的渐近线⽅程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线的焦点坐标与实轴，求出双曲线的⼏何量，然后求解双曲线的渐近线⽅程．【解答】解：双曲线C：mx2﹣ny2=1的⼀个焦点为F（﹣5，0），实轴长为6，可得c=5，a=3，b===4，双曲线的渐近线⽅程为：y=±x．故选：A．3．若x，y满⾜．则z=2x﹣y的最⼩值为（）A．4 B．1 C．0 D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可⾏域，化⽬标函数为直线⽅程的斜截式，数形结合得到最优解，联⽴⽅程组求得最优解的坐标，代⼊⽬标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可⾏域如图，联⽴，解得A（），化⽬标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，由图可知，当直线y=2x﹣z过点A（）时，直线在y轴上的截距最⼤，z有最⼩值为2×．故选：D．4．设α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β，“b⊥α”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”可得：α⊥β；反之不成⽴，即可判断出关系．【解答】解：α、β是两个不同的平⾯，b是直线且b?β“b⊥α”?α⊥β；反之不成⽴，若α⊥β，b?β，b⊥α不⼀定成⽴．故选：A．5．过点A和圆⼼O的直线交⊙O于B，C两点（AB＜AC），AD与⊙O切于点D，DE⊥AC于E，AD=3，AB=3，则BE的长度为（）A．1 B．C．2 D．【考点】与圆有关的⽐例线段．【分析】连接OD．AD与⊙O切于点D，可得AD2=AB?AC，解出AC．在Rt△ADO中，S△=ADO=，解得DE．由DE⊥BC，可得BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，解出BE即可得出．【解答】解：连接OD．∵AD与⊙O切于点D，∴AD2=AB?AC，∴AC==15．∴BC=15﹣3=12，∴⊙O的半径r=6．在Rt△ADO中，S△==，解得DE==2．ADO∵DE⊥BC，∴BE?EC=DE2，即BE?（BC﹣BE）=DE2，∴BE2﹣BC?BE+DE2=0，∴BE2﹣12BE+20=0，解得BE=2或10（舍去）．∴BE=2，故选：C．6．如图所⽰的程序框图，如果输出的S值为3，则判断框内应填⼊的判断条件为（）A．i＜2 B．i＜3 C．i＜4 D．i＜5【考点】程序框图．【分析】由题意，若输出S的值为3，可得退出循环时S的值为6，即S=6，i=3时，应该不满⾜条件，退出循环，从⽽可得判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．【解答】解：由题意，若输出S的值为3，可得：3=log2（S+2），即退出循环时S的值为6．模拟程序框图的运⾏过程，得S=0，i=1满⾜条件，执⾏循环体，S=2，i=2满⾜条件，执⾏循环体，S=6，i=3此时，由题意，应该不满⾜条件，退出循环，输出S的值为6，故判断框内应填⼊的判断条件为i＜3．故选：B．7．函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，当x∈（0，3]时，f（x）的图象如图所⽰，那么满⾜不等式f（x）≥2x ﹣1 的x的取值范围是（）A．[﹣3，﹣2]∪[2，3] B．[﹣3，﹣2]∪（0，1] C．[﹣2，0）∪[1，3] D．[﹣1，0）∪（0，1]【考点】函数的图象．【分析】由图象可知，当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，分别利⽤函数的图象，结合不等式f（x）≥2x﹣1，即可得出结论．【解答】解：由图象可知，x=0时，2x﹣1=0，∴f（x）≥0，成⽴；当x∈（0，3]时，f（x）单调递减，当0＜x≤1时，f（x）＞1，2x﹣1≤1，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当1＜x＜3时，f（x）＜1，1＜2x﹣1＜7，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∵函数f（x）是定义在[﹣3，0）∪（0，3]上的奇函数，∴当x∈[﹣3，0）时，f（x）单调递减，当﹣3＜x≤﹣2时，﹣≤f（x）＜0，﹣＜2x﹣1≤﹣，满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；当x＞﹣2时，f（x）＜﹣，2x﹣1＞﹣，不满⾜不等式f（x）≥2x﹣1；∴满⾜不等式f（x）≥2x﹣1 的x的取值范围是[﹣3，﹣2]∪[0，1]．故选：B．8．将⼀个圆的⼋个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正⽅形．去掉两个正⽅形内部的⼋条线段后可以形成⼀正⼋⾓星，如图所⽰．设正⼋⾓星的中⼼为O，并且=，=，若将点O到正⼋⾓星16个顶点的向量，都写成为λ+µ，λ，µ∈R 的形式，则λ+µ的最⼤值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在⼏何中的应⽤．【分析】根据题意找出使得λ+µ最⼤的顶点C，根据向量加法的平⾏四边形法则可作出平⾏四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的⼏何意义便可得出，这样由平⾯向量基本定理即可求出λ+µ的最⼤值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平⾏四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+µ最⼤；作平⾏四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；⼜；∴；即λ+µ的最⼤值为．故选C．⼀、填空题（本⼤题共6⼩题，每⼩题5分，共30分）9．已知S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，则数列{a n}的通项公式a n= 2n（N*）．【考点】等⽐数列的通项公式；等⽐数列的前n项和．【分析】根据等⽐数列的前n项和公式和通项公式求解即可．【解答】解：∵S n是等⽐数列{a n}（n∈N*）的前n项和，若S3=14，公⽐q=2，∴，解得：a1=2，∴N*）．故答案为：2n（N*）．10．极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值为．【考点】简单曲线的极坐标⽅程．【分析】求出极坐标⽅程的普通⽅程，利⽤点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线l：ρsinθ=ρcosθ+2的普通⽅程为：y=x+2，极坐标系中，O为极点，点A为直线l：ρsinθ=ρcosθ+2上⼀点，则|OA|的最⼩值就是原点到直线的距离：d==．故答案为：．11．如图，点D是△ABC的边BC上⼀点，AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，那么∠ADB= ，AC=【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知及余弦定理可求cos∠ADB=﹣，结合范围∠ADB∈（0，π），即可求得∠ADB=，求得∠ADC，利⽤正弦定理即可得解AC的值．【解答】解：∵AB=，AD=2，BD=1，∠ACB=45°，∴由余弦定理可得：cos∠ADB===﹣，∵∠ADB∈（0，π），∴∠ADB=，∴∠ADC=π﹣∠ADB=，∴由正弦定理可得：AC===．故答案为：，．12．某三棱锥的三视图如图所⽰，则该三棱锥中最长棱的棱长为．【考点】由三视图求⾯积、体积．【分析】由三视图可知：该⼏何体为三棱锥．AC⊥侧⾯PBC．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该⼏何体为三棱锥，AC⊥侧⾯PBC．∠PCB=135°，BC=1，PC=．则该三棱锥中最长棱的棱长为PB===．故答案为：．13．2016年3⽉12⽇，第四届北京农业嘉年华在昌平拉开帷幕．活动设置了“三馆两园⼀带⼀⾕”七⼤板块．“三馆”即精品农业馆、创意农业馆、智慧农业馆；“两园”即主题狂欢乐园、农事体验乐园；“⼀带”即草莓休闲体验带；“⼀⾕”即延寿⽣态观光⾕．某校学⽣准备去参观，由于时间有限，他们准备选择其中的“⼀馆⼀园⼀带⼀⾕”进⾏参观，那么他们参观的不同路线最多有144 种．（⽤数字作答）【考点】排列、组合的实际应⽤．【分析】先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即可得出结论．【解答】解：由题意，先选择⼀馆⼀园⼀带⼀⾕，再进⾏排序，即=144种．故答案为：144．14．已知数列{a n}中，a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*）=，则a= ；①若a3=a1+a2+…+a n，则S2016= 1512 ．②记Sn【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】①由a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），可得a2=﹣a+．对a分类讨论：当时，当时，即可得出．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），a2=﹣a1+=﹣a+．对a分类讨论：②a1当时，可得：a n+2=a n．当时，可得a n+4=a n．即可得出．【解答】解：①∵a1=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a=，舍去；当时，a3=a2﹣1=﹣a+=，解得a=，满⾜条件．∴a=．=a（0＜a≤1），a n+1=（n∈N*），②a1∴a2=﹣a1+=﹣a+．当时，a3=﹣a2+=a，∴a4=﹣a2+=﹣a，∴a n+2=a n．S2016=（a1+a2）×1008=1512．当时，a3=a2﹣1=﹣a+=﹣a+，∴a4=﹣a3+=﹣+=a+1＞1，∴a5=a4﹣1=a．∴a n+4=a n．∴S2016=（a1+a2+a3+a4）×504=3×504=1512．综上可得：S2016=1512．故答案分别为：；1512．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共80分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所⽰．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最⼤值与最⼩值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三⾓函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利⽤周期公式可求ω，⼜函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，⼜结合范围﹣＜x0＜，从⽽可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利⽤正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本⼩题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，⼜∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，⼜|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，⼜∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…16．为了解⾼⼀新⽣数学基础，甲、⼄两校对⾼⼀新⽣进⾏了数学测试．现从两校各随机抽取10名新⽣的成绩作为样本，他们的测试成绩的茎叶图如下：（1）⽐较甲、⼄两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值及⽅差的⼤⼩；（只需要写出结论）（2）如果将数学基础采⽤A、B、C等级制，各等级对应的测试成绩标准如表：（满分100分，所有学⽣成绩均在60分以上）测试成绩[85，100] [70，85）（60，70）基础等级 A B C假设每个新⽣的测试成绩互相独⽴．根据所给数据，以事件发⽣的频率作为相应事件发⽣的概率．从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，求甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【考点】相互独⽴事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利⽤均值与⽅差的定义分别求出甲、⼄两校新⽣的数学成绩的均值与⽅差，从⽽得出结论．（2）分类讨论，求得甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率．【解答】解：（1）两校新⽣的数学测试样本成绩的平均值相同；甲校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差⼩于⼄校新⽣的数学测试样本成绩的⽅差．（2）设事件D=“从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级”．设事件E1=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为A”，P（E1）=，设事件E2=“从甲校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（E2）=，设事件F1=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为B”，P（F1）=，设事件F2=“从⼄校新⽣中随机抽取⼀名新⽣，其数学基础等级为C”，P（F2）=，根据题意，D=E1F1∪E1F2∪E2F2，所以P（D）=P（=E1F1）+P（E1F2）+P（E2F2）=++?=，因此，从甲、⼄两校新⽣中各随机抽取⼀名新⽣，甲校新⽣的数学基础等级⾼于⼄校新⽣的数学基础等级的概率为．17．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC垂直于正⽅形A1ACC1所在平⾯，AC=2，BC=1，D为AC中点，E为线段BC1上的⼀点（端点除外），平⾯AB1E与BD交于点F（Ⅰ）若E不是BC1的中点，求证：AB1∥EF；（Ⅱ）若E是BC1的中点，求AE与平⾯BC1D所成⾓的正弦值；（Ⅲ）在线段BC1上是否存在点E，使得A1E⊥CE，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【考点】直线与平⾯所成的⾓；直线与平⾯平⾏的性质．【分析】（I）连接B1C，交BC1于点G，连接GD，则由中位线定理得出GD∥AB1，于是AB1∥平⾯BC1D，由线⾯平⾏的性质得出AB1∥EF；。
2020年北京市高三年级第二次模拟考试及答案(理科数学)
北京市高三年级第二次模拟考试及答案数学（理科）2017．5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知i 为虚数单位，则复数z =i(12i)+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是A ．23B ．31C ．32D ．633．“0,0x y >>”是“2y xx y+≥”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知函数π()sin()(0)6f x x ＞=+ωω的最小正周期为4π，则A ．函数()f x 的图象关于原点对称B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称 C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间(0,π)上单调递增5．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张，且甲、乙分得的电影票连号，则共有不同分法的种数为A ．12B ． 24C ．36D ． 48 6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为AB． C ．3 D．7．已知函数log ,0,()3,40a x x f x x x >⎧⎪=⎨+-≤<⎪⎩(0a >且1)a ≠．若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是A ．(0,1)B ．(1,4)C ．(0,1)(1,)+∞ D ．(0,1)(1,4)8．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某 中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场 传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场 知识竞赛前三名的得分都分别为,,(,a b c a b c >>且,,)N a b c *∈；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列说法正确的是A ．每场比赛第一名得分a 为4B ．甲可能有一场比赛获得第二名C ．乙有四场比赛获得第三名D ．丙可能有一场比赛获得第一名第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．双曲线22136x y -=的渐近线方程是 ，离心率是 ．10．若平面向量(cos ,sin )a =θθ，(1,1)-b =，且a b ⊥，则sin 2θ的值是 ． 11．等比数列{a n }的前n 项和为n S ．已知142,2a a ==-，则{a n }的通项公式n a = ， 9S = ．12．在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为 ． 13．已知,x y 满足,4,2.y x x y x y k ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩若2z x y =+有最大值8，则实数k 的值为 ．14．已知两个集合,A B ，满足B A ⊆．若对任意的x A ，存在,i ja a B ()i j ≠，使得12i j xa a λλ（12,{1,0,1}λλ），则称B 为A 的一个基集．若俯视图{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，则其基集B 元素个数的最小值是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且b c =，2sin B A =．（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）若2a =，求△ABC 的面积．16．（本小题满分13分）从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该市中学生中的全体男生的平均身高；（Ⅲ）从该市的中学生中随机抽取一名男生，根据直方图中的信息，估计其身高在180 cm 以上的概率．若从全市中学的男生（人数众多）中随机抽取3人，用X 表示身高在180 cm 以上的男生人数，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ．17．（本小题满分14分）如图1，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，4,2AC BC ==，D E ,分别为边,AC AB 的中点，点,F G 分别为线段,CD BE 的中点．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使160A DC ∠=︒．点Q 为线段1A B 上的一点，如图2．图1图2BA 1F C ED QG ACDEFGa（Ⅰ）求证：1A F BE ⊥；（Ⅱ）线段1A B 上是否存在点Q ，使得FQ 平面1A DE ？若存在，求出1A Q 的长，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1134AQ A B =时，求直线GQ 与平面1A DE 所成角的大小．18．（本小题满分13分）已知椭圆W ：22221x y a b+=(0)a b >>的上下顶点分别为,A B ，且点B (0,1)-．12,F F 分别为椭圆W的左、右焦点，且12120F BF ∠=． （Ⅰ）求椭圆W 的标准方程；（Ⅱ）点M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，过点M 作MN y ⊥轴于N ，E 为线段MN 的中点．直线AE 与直线1y =-交于点C ，G 为线段BC 的中点，O 为坐标原点．求 OEG ∠的大小．19．（本小题满分14分）已知函数2()e xf x x x =+-，2(),g x x ax b =++,a b R ．（Ⅰ）当1a =时，求函数()()()F x f x g x =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点(0,1)处的切线l 与曲线()y g x =切于点(1,)c ，求,,a b c 的值；（Ⅲ）若()()f x g x ≥恒成立，求a b +的最大值．20．（本小题满分13分）各项均为非负整数的数列}{n a 同时满足下列条件：①m a =1 ()N m ∈*；②1n a n ≤- (2)n ≥；③n 是12n a a a +++的因数（1n ≥）．（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n a 的前五项；（Ⅱ）若数列}{n a 的前三项互不相等，且3≥n 时，n a 为常数，求m 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数m ，存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数．北京市高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2sin B A =，所以2b =．所以a =所以222cos 232a c b B ac b +-===． …………7分 （Ⅱ）因为2a =，所以b c ==又因为cos 3B =，所以sin 3B =． 所以11sin 222ABCSa c B =⋅⋅=⨯=． …………13分 （16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）根据题意得：(0.00520.02020.040)101a ⨯++⨯+⨯=．解得 0.010a =． …………3分（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为x ，则1450.051550.11650.21750.41850.21950.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(145195)0.051550.1(165185)0.21750.4=+⨯+⨯++⨯+⨯1715.57070172.5=+++=．所以估计该市中学全体男生的平均身高为172.5 cm ． …………7分（Ⅲ）从全市中学的男生中任意抽取一人，其身高在180 cm 以上的概率约为14． 由已知得，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3．所以00331327(0)()()4464P X C ==⋅=； 11231327(1)()()4464P X C ==⋅=； 2213139(2)()()4464P X C ==⋅=； 3303131(3)()()4464P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为因为X ~1(3)4B ，，所以344EX =⨯=．…………………………………13分 （17）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为11,60A D DC A DC =∠=︒，所以△1A DC 为等边三角形． 又因为点F 为线段CD 的中点， 所以1A F DC ⊥．由题可知1,ED A D ED DC ⊥⊥， 所以ED ⊥平面1A DC ．因为1A F ⊂平面1A DC ，所以ED ⊥1A F ． 又EDDC D =，所以1A F ⊥平面BCDE ．所以1A F BE ⊥．…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1A F ⊥平面BCDE ，FG DC ⊥，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)F ，(0,1,0)D -，(0,1,0)C ，(1,1,0)E -，1A ，(2,1,0)B ．设平面1A DE 的一个法向量为(,,)x y z =n ，1(0,1,3)A D =--,(1,0,0)DE =，所以10,0.n n A D DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 令1z =，所以y =(0,=nB A 1F C E D Q G假设在线段1A B 上存在点Q ，使FQ 平面1A DE ．设11AQ A B λ=，(]0,1λ∈.又1(2,1,A B =，所以1(2,,)AQ λλ=．所以(2,,)Q λλ.则(2,)FQ λλ=. 所以0FQ ⋅=+=n . 解得，12λ=. 则在线段1A B 上存在中点Q ，使FQ 平面1A DE ．且1AQ =……………………10分（Ⅲ）因为1134AQ A B =，又1(2,1,A B =，所以133(,,24A Q =． 所以33(,,244Q ．又因为3(,0,0)2G ，所以3(0,,)44GQ =． 因为(0,=n 设直线GQ 与平面1A DE 所成角为θ，则1sin .2GQ GQ θ⋅===n n直线GQ 与平面1A DE 所成角为30︒. ………………………………14分 （18）（本小题满分13分）解：(Ⅰ)依题意，得1b =．又12120F BF ∠=︒，在1Rt BFO ∆中，160F BO ∠=︒，所以2a =． 所以椭圆W 的标准方程为2214x y +=． …………4分 (Ⅱ)设M 00(,)x y ，00x ≠，则N 0(0,)y ，E 00(,)2x y ． 因为点M 在椭圆W 上，所以220014x y +=．即220044x y =-． 又A (0,1)，所以直线AE 的方程为002(1)1y y x x --=． 令1y =-，得C 0(,1)1x y --． 又B (0,1)-，G 为线段BC 的中点，所以G 00(,1)2(1)x y --．所以00(,)2x OE y =，0000(,1)22(1)x x GE y y =-+-． 因为000000()(1)222(1)x x x OE GE y y y ⋅=-++- 2220000044(1)x x y y y =-++-20004414(1)y y y -=-+-0011y y =--+0=，所以OE GE ⊥．90OEG ∠=︒． ……………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()e 2x F x x b =--，则()e 2xF x '=-.令()e 20,xF x '=->得ln 2x >，所以()F x 在(ln 2,)+∞上单调递增.令()e 20,x F x '=-<得ln 2x <，所以()F x 在(,ln 2)-∞上单调递减. …………4分 （Ⅱ）因为()e 21x f x x '=+-，所以(0)0f '=，所以l 的方程为1y =.依题意，12a-=，1c =. 于是l 与抛物线2()2g x x x b =-+切于点(1,1)， 由2121b -+=得2b =.所以2,2, 1.a b c =-== …………8分（Ⅲ）设()()()e (1)xh x f x g x a x b =-=-+-,则()0h x ≥恒成立.易得()e (1).xh x a '=-+ （1）当10a +≤时，因为()0h x '>，所以此时()h x 在(,)-∞+∞上单调递增. ①若10a +=，则当0b ≤时满足条件，此时1a b +≤-； ②若10a +<，取00x <且01,1bx a -<+ 此时0001()e (1)1(1)01xbh x a x b a b a -=-+-<-+-=+，所以()0h x ≥不恒成立． 不满足条件； （2）当10a +>时，令()0h x '=，得ln(1).x a =+由()0h x '>，得ln(1)x a >+； 由()0h x '<，得ln(1).x a <+所以()h x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增. 要使得“()e (1)0xh x a x b =-+-≥恒成立”，必须有“当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥”成立. 所以(1)(1)ln(1)b a a a ≤+-++.则2(1)(1)ln(1) 1.a b a a a +≤+-++- 令()2ln 1,0,G x x x x x =-->则()1ln .G x x '=- 令()0G x '=，得 e.x =由()0G x '>，得0e x <<；由()0G x '<，得 e.x >所以()G x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减, 所以，当e x =时，max ()e 1.G x =-从而，当e 1,0a b =-=时，a b +的最大值为e 1-.综上，a b +的最大值为e 1-. …………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3分 （Ⅱ）因为10-≤≤n a n ，所以20,1032≤≤≤≤a a ，又数列}{n a 的前3项互不相等， （1）当02=a 时，若13=a ，则3451a a a ====，且对3≥n ，12)2(0+-=-++nm n n m 都为整数，所以2=m ；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，24)2(20+-=-++nm n n m 都为整数，所以4=m ；（2）当12=a 时，若03=a ，则3450a a a ====，且对3≥n ，nm n n m 1)2(01+=-⋅++都为整数，所以1-=m ，不符合题意；若23=a ，则3452a a a ====，且对3≥n ，23)2(21+-=-++nm n n m 都为整数，所以3=m ；综上，m 的值为2,3,4. …………8分 （Ⅲ）对于1≥n ，令12n n S a a a =+++，则11111+=+≤+=<++++nS n n S n a S n S n S nn n n n n .又对每一个n ，nS n 都为正整数，所以11++n S n m Sn S n =≤≤≤1...1，其中“<”至多出现1-m 个.故存在正整数M m >，当n M >时，必有nS n S nn =++11成立. 当n S n S n n =++11时，则n SS n S n S S a n n n n n n =-+=-=++)1(11.从而22)1(2212112122+-+=+++=+++=+++++++++n a a a n a n a n S a a n S n n n n n n n n n . 由题设知1212||12<++≤+-++n n n a a n n ，又22++n S n 及1+n a 均为整数，所以=++22n S n =+1n a 11+=+n Sn S n n ，故1212n n n S S S n n n ++====++常数.从而==-+=-=++nSS n S n S S a n n n n n n )1(11常数. 故存在正整数M ，使得n M ≥时，n a 为常数. ………………………………13分。
2020北京平谷高三二模数学含答案
2020北京平谷高三二模数学 2020.5第I卷选择题（共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={−1,0,1},B={x|x2<1},则A∪B=A. {−1,1}B. {−1,0,1}C. {x|−1≤x≤1}D. {x|x≤1}2. 若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是A. sin(α+π2) B.cos(α+π2)C. sin(π+α)D. cos(π+α)3.在下列函数中，值域为R的偶函数是A. f(x)=√xB. f(x)=ln|x|C. f(x)=2x+2−xD. f(x)=xcosx4. 若等差数列{a n}的前n项和为S n，且S13=0,a3+a4=21,则S7的值为A. 21B. 63C. 13D. 845. 若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是A. p<1B.p>1C. p<2D. p>26.已知x,y∈R,且x>y>0,则A. 1x −1y>0 B. cosx−cosy<0C. (12)x −(12)y<0D. ln (x −y )>07. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A. 23 B. 43C. 2D. 838. 设a,b 是向量，“|a |=|a +b |”是“|b |=0”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH =−lg[H +],其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10−2摩尔/升,则胃酸的pH 是（参考数据：lg2≈0.3010） A. 1.398B. 1.204C. 1.602D. 2.60210.如图，点O 为坐标原点，点A(1,1),若函数y =a x (a >0,且a ≠1)及y =log b x(b >0,且b ≠1)的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a,b 满足 A. a <b <1 B. b <a <1 C. b >a >1 D. a >b >1第II 卷 非选择题（共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分。
2020年北京市平谷区高三数学二模试题及详细解析2020.6
北京市平谷区2019-2020学年度初三数学二模试题及参考答案2020年6月第I 卷选择题（共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A. sin(+)2πα B. s(+)2co πα C. sin()πα+ D. s()co πα+3.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ） A. ()f x x =B. ()f x ln x =C. ()22xxf x -=+D. ()f x xcosx =4.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A. 21B. 63C. 13D. 845.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A. p ＜1B. p ＞1C. p ＜2D. p ＞26.已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A.110x y-> B. 0cosx cosy -<C. 11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()ln 0x y ->7.某三棱锥三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.23B.43C. 2D.838.设a br r，是向量，“a a b=+r r r”是“0b=r”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为pH lg H+⎡⎤=-⎣⎦，其中H+⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH是（）（参考数据：20.3010lg≈）A. 1.398B. 1.204C. 1.602D. 2.60210.如图，点O为坐标原点，点(1,1)A，若函数xy a=及log by x=的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足．A. 1a b<< B. 1b a<< C. 1b a>> D. 1a b>>第II卷非选择题（共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是12,z z，则21zz=_______.12.在ABC∆中，4Aπ∠=，222a b c ab+-=，3c=，则C∠=__________ ；a=____________.13.如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点. 当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅u u u v u u u v的值为________；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅u u u v u u u v的最小值为_________.14.已知函数()1f x cosx x=+，给出下列结论： ①()f x 在(]0π，上有最小值，无最大值； ②设()()()F x f x f x =--，则()F x 为偶函数；③()f x 在()02π，上有两个零点 其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号）15.地铁某换乘站设有编号为A B C D E ，，，，的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A B ，B C ，C D ，D E ， A E ， 疏散乘客时间（s ） 120 220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________.三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数())32032f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域. 从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（I ）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；（II ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（III ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果） 18.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，01190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠======，平面1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证： 1AC DC ⊥；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BP BC的值，若不存在，说明理由．19.已知函数()sin cos f x x x a x x =++，R a ∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程； （2）当=2a 时，求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（3）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2π上有唯一解，求a 的取值范围.20.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a Nn m ∈=L ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12*···1m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m =L 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m的最大值.2020北京平谷高三二模数学注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共6页，共150分，考试时间为120分钟.2.试题所有答案必须书写在答题纸上，在试卷上作答无效.3.考试结束后，将答题纸交回，试卷按学校要求保存好.第I 卷选择题（共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A. {}1,1-B. {}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D. {}1x x ≤【答案】C 【解析】集合{}1,0,1A =-，{}21{|11}B x x x x =<=-<<所以{}11A B x x ⋃=-≤≤. 故选C. 2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ）A. sin(+)2πα B. s(+)2co πα C. sin()πα+ D. s()co πα+【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符；()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键． 3.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）A. ()f x =B. ()f x ln x =C. ()22xxf x -=+ D. ()f x xcosx =【答案】B 【解析】 【分析】通过函数的奇偶性和值域对选项进行排除，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，函数()f x =[)0,+∞，故为非奇非偶函数，不符合题意.对于B 选项，()f x ln x =的定义域为{}|0x x ≠，且()()ln f x x f x -==，所以()f x 为偶函数，由于0x >，所以()f x ln x =的值域为R ，符合题意.对于C 选项，()1222x x f x =+≥=，故()22x x f x -=+的值域不为R . 对于D 选项，()cos f x x x =的定义域为R ，且()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()cos f x x x =为奇函数，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题.4.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A. 21 B. 63C. 13D. 84【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=．故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题． 5.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A. p ＜1 B. p ＞1C. p ＜2D. p ＞2【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p，列不等式求解. 【详解】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离， 显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ．【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 6.已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A.110x y-> B. 0cosx cosy -<C. 11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()ln 0x y ->【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项. 【详解】取2,1x y ==，则1102-<，所以A 选项错误. 取4,2x y ππ==，则cos4cos2110ππ-=-=，所以B 选项错误.由于12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，而0x y >>，所以111102222x y x y⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确. 取2,1x y ==，则()ln 210-=，所以D 选项错误. 故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.23B.43C. 2D.83【答案】A 【解析】由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ．8.设a b r r，是向量，“a a b =+r r r ”是“0b =r ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分、必要条件.【详解】当“a a b =+r r r ”时，可能2,4a b ==-，不满足“0b =r”. 当“0b =r ”时，“a a b =+r r r”.所以“a a b =+r r r ”是“0b =r”的必要不充分条件.故选：B【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，属于基础题.9.溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（ ）（参考数据：20.3010lg ≈）A. 1.398B. 1.204C. 1.602D. 2.602【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算以及pH 的定义求得此时胃酸的pH 值. 【详解】依题意()22.5100lg 2.510lg lg lg 401002.5pH -=-⨯=-== ()lg 410lg4lg102lg2120.30101 1.602=⨯=+=+≈⨯+=.故选：C【点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.10.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>【答案】A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得322263b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<.故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.第II 卷非选择题（共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是12,z z ，则21z z =_______.【答案】12i -- 【解析】由题意，根据复数的表示可知12,2z i z i ==-，所以212(2)()12()z i i i i z i i i --⋅-===--⋅-． 12.在ABC ∆中，4A π∠=，222a b c ab +-=，3c =，则C ∠=__________ ；a =____________.【答案】 (1). 3π(2). 6【解析】 【分析】由已知利用余弦定理可求cos C 12=，结合范围C ∈（0，π），可求C 的值，进而根据正弦定理可得a 的值． 【详解】∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴可得cos C2221222 a b c ababab+-===，∵C∈（0，π），∴C3π=，∵4Aπ∠=，c＝3，∴由正弦定理a csinA sinC=，可得：23=，解得：a6=．故答案为3π，6．【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.13.如图，矩形ABCD中，2AB=，1BC=，O为AB的中点.当点P在BC边上时，AB OP⋅u u u v u u u v的值为________；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，AB OP⋅u u u v u u u v的最小值为_________.【答案】(1). 2(2). 2-【解析】【分析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可.【详解】以A为原点建立平面直角坐标系，则A（0,0），O（1,0），B（2,0），设P（2，b），（1）AB OP u u u r u u u rg ＝2,02⋅（）(1,b)＝； （2）当点P 在BC 上时，AB OP u u u r u u u rg ＝2；当点P 在AD 上时，设P （0，b ），AB OP u u u r u u u rg ＝（2，0）（－1，b ）＝－2； 当点P 在CD 上时，设点P （a ，1）（0＜a ＜2）AB OP u u u r u u u rg ＝（2,0）（a －1，1）＝2a －2， 因为0＜a ＜2，所以，－2＜2a －2＜2，即(2,2)AB OP ∈-u u u r u u u rg 综上可知，AB OP u u u r u u u rg 的最小值为－2. 故答案为-2.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 14.已知函数()1f x cosx x=+，给出下列结论： ①()f x 在(]0π，上有最小值，无最大值； ②设()()()F x f x f x =--，则()F x 为偶函数；③()f x 在()02π，上有两个零点 其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】 ①利用导函数()'fx 进行判断；②根据奇偶性的定义进行判断. ③利用函数图像进行判断.【详解】①，由于(]0,x π∈，所以()'21sin 0fx x x =--<，所以()f x 在(]0,π上递减，所以()f x 在(]0,π上有最小值，无最大值，故①正确. ②，依题意()()()()11cos cos F x f x f x x x x x ⎡⎤=--=+----⎢⎥⎣⎦2x=，由于()()F x F x -≠，所以()F x 不是偶函数，故②错误.③，令()0f x =得1cos x x=-，画出cos y x =和1y x =-在区间()0,2π上的图像如下图所示，由图可知cos y x =和1y x=-在区间()0,2π上的图像有两个交点，则()f x 在()0π，2上有两个零点，故③正确.故答案为：①③【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查函数的奇偶性，考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.地铁某换乘站设有编号为A B C D E ，，，，的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A B ， B C ， C D ， D E ， A E ， 疏散乘客时间（s ） 120 220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________. 【答案】D 【解析】 【分析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号.【详解】同时开放AE ，需要200秒；同时开放DE ，需要140秒；所以D 疏散比A 快. 同时开放AE ，需要200秒；同时开放AB ，需要120秒；所以B 疏散比E 快. 同时开放AB ，需要120秒；同时开放BC ，需要220秒，所以A 疏散比C 快. 同时开放BC ，需要220秒；同时开放CD ，需要160秒，所以D 疏散比B 快. 综上所述，D 疏散最快.故答案为：D【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题.三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数())203f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域. 从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】()f x 在区间66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域为[]0,1. 【解析】 【分析】根据三个条件求得半周期，由此求得ω，进而求得()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.【详解】由于()23f x cos xsin x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭12cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭[]1sin 2cos 2sin 21,1223x x x πωωω⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭. 所以①②③都可以得到()f x 的半周期为2π，则1222πππωωω==⇒=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 由于66x ππ-≤≤，20233x ππ≤+≤， 所以()[]0,1f x ∈，即()f x 的值域为[]0,1.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，属于中档题. 17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（I ）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；（II ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（III ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果） 【答案】（I ）25；（II ）分布列见解析，期望为1；（III ）12x x > 【解析】 【分析】（I ）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. （II ）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望. （III ）根据两种得分的数据离散程度进行判断.【详解】（I ）由图可知，交通得分前6名的景点中，安全得分大于90分的景点有4个，所以从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率为242662155C C ==. （II ）结合两个图可知，景点总分排名前6的的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，所以ξ的可能取值为0,1,2.()()()3211244242333666012131,,555C C C C C P P P C C C ξξξ=========.所以ξ的分布列为:ξ12 P153515所以()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. （III ）由图可知，26个景点中，交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，安全得分主要集中在80分附近，且80分一下的景点接近一半，故 12x x >.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，属于中档题. 18.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，01190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠======，平面1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证： 1AC DC ⊥；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BP BC的值，若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析：（1）由条件中090BAC ∠=，平面1CC D ⊥平面11ACC A ，结合线面垂直的性质定理，可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出法向量，然后根据题意计算是否存在点满足要求解析：(Ⅰ)证明:在直三棱柱中,平面ABC,故,由平面平面,且平面平面,所以平面, 又⊂平面,所以(Ⅱ)证明:在直三棱柱中,平面ABC,所以,,又,所以,如图建立空间直角坐标系,根据已知条件可得,,,,,,所以,,设平面的法向量为,由即令,则,,于是,平面的法向量为设,,则,若直线DP与平面成角为,则,计算得出,故不存在这样的点.点睛：方法总结：由面面垂直n线面垂直n线线垂直，这里需要用到垂直的性质定理进行证明，难度不大，但在书写解答过程中，注意格式，涉及二面角问题可以采用空间坐标系的相关知识，计算法向量然后再求解19.已知函数()sin cos f x x x a x x =++，R a ∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当=2a 时，求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（3）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2π上有唯一解，求a的取值范围.【答案】（1）1y x =-；（2）最大值为()2f π=π，最小值为(0)2f =；（3）23a <≤ 【解析】【详解】试题分析：（1）由()01f '=可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程； （2）由()'sin cos 1f x x x x =-++，可得()'0f x >，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而可得最值；（3）当2a >时，()()'1sin cos 1f x a x x x =-++.设()()1sin cos 1h x a x x x =-++，()()'2cos sin h x a x x x =--，分析可知()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()010h =>，11202h a a π⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以存在唯一的00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()00h x =，即()0'0f x =，结合函数单调性可得解. 试题解析：（1）当1a =-时，()sin cos f x x x x x =-+， 所以()'2sin cos 1f x x x x =++，()'01f =. 又因为()01f =-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =-. （2）当2a =时，()sin 2cos f x x x x x =++， 所以()'sin cos 1f x x x x =-++．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 0x ->，cos 0x x >， 所以()'0f x >.所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增． 因此()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()02f =. （3）当2a >时，()()'1sin cos 1f x a x x x =-++.设()()1sin cos 1h x a x x x =-++，()()'2cos sin h x a x x x =--，因为2a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()'0h x <. 所以()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 因为()010h =>，11202h a a π⎛⎫=-+=-<⎪⎝⎭， 所以存在唯一的00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()00h x =，即()0'0f x =. 所以()f x 在区间[]00,x 上单调递增，在区间02x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．因为()0=f a ，2f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为方程()30f x -=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一解， 所以23a <≤.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 【答案】（Ⅰ）22143x y +=．（Ⅱ）见解析． 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，得到1c =，利用定义得到2a =，即可求解椭圆的标准方程； （Ⅱ）设(,)D m n ，(,)E m n --，根据直线方程，求解,M N的坐标，可得GM GN ⊥，利用 0GM GN ⋅=u u u u v u u u v ，求得t 的值，即可得到弦长为定值．试题解析： （Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =．因为24a ==，所以2a =，b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （Ⅱ）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合．因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，(),E m n --，()1m ≠±．设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33,,,(0)22G t H t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点， 所以GM GN ⊥．直线PD ：()332121n y x m --=--． 当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭． 直线PE ：()332121n y x m +-=-+．当0x =时，33212n y m +=-++，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭． 所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭u u u u v ，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭u u u v ， 因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=u u u u v u u u v ，所以()22249041n GM GN t m -⋅=+=-u u u u v u u u v ． 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-， 所以2304t -=，所以2t =．所以32G ⎫⎪⎪⎝⎭，32H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以GH = 所以以MN 为直径的圆被直线32y =． 点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用,,a b c 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a N n m ∈=L ；②12·...m a a a <<<若数列{}n b 满足()12* (1)m n n a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m =L 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”. （I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；（II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值.【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33.【解析】【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论.（II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-， 又因为12m a a a <<<L ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j j i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>>L ， 所以*i j b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--. 因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-， 所以11n n a a m --≥-.而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++-L L ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤. 由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33. 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
北京市平谷区2020届高三第二学期阶段性测试(二模)数学试题(解析版)
平谷区2019-2020学年度第二学期高三阶段性测试数学试卷一、选择题 1.已知集合{}1,0,1A =-，2{1}B x x =< ，则A B =U （ ）A.{}1,1- B.{}1,0,1-C. {}11x x -≤≤D.{}1x x ≤【答案】C 集合{}1,0,1A =-，{}21{|11}B x x x x =<=-<<所以{}11A B x x ⋃=-≤≤. 故选C.2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A. sin(+)2πα B. s(+)2co πα C. sin()πα+ D. s()co πα+【答案】D 【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键． 3.在下列函数中，值域为R 的偶函数是（ ）A. ()f x =B. ()f x ln x =C.()22x x f x -=+D.()f x xcosx =【答案】B 【分析】 通过函数奇偶性和值域对选项进行排除，由此确定正确选项.【详解】对于A 选项，函数()f x =[)0,+∞，故为非奇非偶函数，不符合题意.对于B 选项，()f x ln x =的定义域为{}|0x x ≠，且()()ln f x x f x -==，所以()f x 为偶函数，由于0x >，所以()f x ln x =的值域为R ，符合题意.对于C 选项，()1222x x f x =+≥=，故()22x x f x -=+的值域不为R . 对于D 选项，()cos f x x x =的定义域为R ，且()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()cos f x x x =为奇函数，不符合题意.故选：B【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和值域，属于基础题. 4.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且130S =，3421a a +=，则7S 的值为（ ）． A. 21 B. 63C. 13D. 84【答案】B 【分析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d ，1a ，然后结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】解：因为130S =，3421a a +=，所以111313602521a d a d +⨯=⎧⎨+=⎩，解可得，3d =-，118a =，则7171876(3)632S =⨯+⨯⨯⨯-=． 故选：B ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础题． 5.若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A. p ＜1 B. p ＞1C. p ＜2D. p ＞2【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p，列不等式求解. 【详解】∵设P 为抛物线的任意一点， 则P 到焦点的距离等于到准线：x 2p=-的距离，显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值2p ． ∴12p＞，即p ＞2． 故选：D ．【点睛】此题考查抛物线的几何性质，根据几何性质解决抛物线上的点到焦点距离的取值范围问题. 6.已知∈，x y R ，且0x y >>，则（ ）A.110x y-> B. 0cosx cosy -<C. 11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()ln 0x y ->【答案】C 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用函数的单调性证明正确选项. 【详解】取2,1x y ==，则1102-<，所以A 选项错误. 取4,2x y ππ==，则cos4cos2110ππ-=-=，所以B 选项错误.由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，而0x y >>，所以111102222xyxy⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⇒-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 选项正确. 取2,1x y ==，则()ln 210-=，所以D 选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查比较大小，属于基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.23B.43C. 2D.83【答案】A由给定的三视图可知，该几何体表示一个底面为一个直角三角形，且两直角边分别为1和2，所以底面面积为11212S =⨯⨯= 高为2h =的三棱锥，所以三棱锥的体积为11212333V Sh ==⨯⨯=，故选A ．8.设,a b r r 是向量，“a a b =+rr r ”是“0b =r ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判定，即可得出答案.【详解】当12a b =-r r时，1122a b b b b a +=-+==r r r r r r ，推不出0b =r当0b =r 时，0b =r r ，则0a b a a +=+=r r r r r即“a a b =+rr r ”是“0b =r ”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.9.溶液酸碱度是通过pH 计算的，pH 的计算公式为pH lg H +⎡⎤=-⎣⎦，其中H +⎡⎤⎣⎦表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，若人体胃酸中氢离子的浓度为22.510-⨯摩尔/升，则胃酸的pH 是（ ）（参考数据：20.3010lg ≈）A. 1.398B. 1.204C. 1.602D. 2.602【答案】C 【分析】根据对数运算以及pH 的定义求得此时胃酸的pH 值. 【详解】依题意()22.5100lg 2.510lg lg lg 401002.5pH -=-⨯=-== ()lg 410lg4lg102lg2120.30101 1.602=⨯=+=+≈⨯+=.故选：C点睛】本小题主要考查对数运算，属于基础题.10.如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数x y a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A.1a b << B. 1b a << C. 1b a >> D. 1a b >>【答案】A 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解.【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得322263b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<.故选A.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、填空题11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B 对应的复数分别是12,z z ，则21z z =_______.【答案】12i --由题意，根据复数的表示可知12,2z i z i ==-，所以212(2)()12()z i i i i z i i i --⋅-===--⋅-．12.在ABC ∆中，4A π∠=，222a b c ab +-=，3c =，则C ∠=__________ ；a =____________.【答案】 (1). 3π(2). 6【分析】由已知利用余弦定理可求cos C 12=，结合范围C ∈（0，π），可求C 的值，进而根据正弦定理可得a 的值． 【详解】∵a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴可得cos C 2221222a b c ab ab ab +-===，∵C ∈（0，π）， ∴C 3π=，∵4A π∠=，c ＝3，∴由正弦定理a c sinA sinC=，可得：2322=，解得：a 6=． 故答案为3π，6． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.13.如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，O 为AB 的中点. 当点P 在BC 边上时，AB OP ⋅u u u v u u u v的值为________；当点P 沿着BC ，CD 与DA 边运动时，AB OP ⋅u u u v u u u v的最小值为_________.【答案】 (1). 2 (2). 2-【分析】建立坐标系，利用坐标运算求出向量的点积，分情况讨论即可. 【详解】以A 为原点建立平面直角坐标系，则A （0,0），O （1,0），B （2,0），设P （2，b ），（1）AB OP u u u r u u u rg ＝2,02⋅（）(1,b)＝； （2）当点P 在BC 上时，AB OP u u u r u u u rg ＝2；当点P 在AD 上时，设P （0，b ），AB OP u u u r u u u rg ＝（2，0）（－1，b ）＝－2； 当点P 在CD 上时，设点P （a ，1）（0＜a ＜2）AB OP u u u r u u u rg ＝（2,0）（a －1，1）＝2a －2， 因为0＜a ＜2，所以，－2＜2a －2＜2，即(2,2)AB OP ∈-u u u r u u u rg 综上可知，AB OP u u u r u u u rg 的最小值为－2. 故答案为-2.【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题;(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法;(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题. 14.已知函数()1f x cosx x=+，给出下列结论： ①()f x 在(]0π，上有最小值，无最大值；②设()()()F x f x f x =--，则()F x 为偶函数； ③()f x 在()02π，上有两个零点其中正确结论的序号为________.（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③ 【分析】 ①利用导函数()'f x 进行判断；②根据奇偶性的定义进行判断. ③利用函数图像进行判断.【详解】①，由于(]0,x π∈，所以()'21sin 0f x x x =--<，所以()f x 在(]0,π上递减，所以()f x 在(]0,π上有最小值，无最大值，故①正确. ②，依题意()()()()11cos cos F x f x f x x x x x ⎡⎤=--=+----⎢⎥⎣⎦2x=，由于()()F x F x -≠，所以()F x 不是偶函数，故②错误.③，令()0f x =得1cos x x=-，画出cos y x =和1y x =-在区间()0,2π上的图像如下图所示，由图可知cos y x =和1y x=-在区间()0,2π上的图像有两个交点，则()f x 在()0π，2上有两个零点，故③正确.故答案为：①③【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查函数的奇偶性，考查函数零点个数的判断，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15.地铁某换乘站设有编号为A B C D E ，，，，的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A B ， B C ， C D ， D E ， A E ， 疏散乘客时间（s ） 120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是________. 【答案】D 【分析】通过对疏散时间的比较，判断出疏散乘客最快的一个安全出口的编号.【详解】同时开放AE ，需要200秒；同时开放DE ，需要140秒；所以D 疏散比A 快.同时开放AE ，需要200秒；同时开放AB ，需要120秒；所以B 疏散比E 快. 同时开放AB ，需要120秒；同时开放BC ，需要220秒，所以A 疏散比C 快.同时开放BC ，需要220秒；同时开放CD ，需要160秒，所以D 疏散比B 快. 综上所述，D 疏散最快. 故答案为：D【点睛】本小题主要考查简单的合情推理，属于基础题. 三、解答题16.已知函数()2cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭______，求()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域. 从①若()()122f x f x -=，12x x -的最小值为2π； ②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π； ③若()()120f x f x ==，12x x -的最小值为2π． 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 【答案】[]1,0-【分析】根据三个条件求得半周期，由此求得ω，进而求得()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域.【详解】由于()23f x cos xsin x πωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭[]1sin 22sin 21,123x x x πωωω⎛⎫==-∈- ⎪⎝⎭. 所以，①②③任选一个作为条件，均可以得到()f x 的半周期为2T =2π，则122ππωω=⇒=. 所以，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 由于66x ππ-≤≤，22033x ππ-≤-≤， 所以()[]1,0f x ∈-，即()f x 的值域为[]1,0-.【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的周期、单调性、最值、值域的求法，属于中档题. 17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分，每项评分最低分0分，最高分100分，每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如下：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（I ）若从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率；（II ）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（III ）记该市26个景点的交通平均得分为1x ，安全平均得分为2x ，写出1x 和2x 的大小关系？（只写出结果） 【答案】（I ）25；（II ）分布列见解析，期望为1；（III ）12x x > 【分析】（I ）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. （II ）利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望. （III ）根据两种得分的数据离散程度进行判断.【详解】（I ）由图可知，交通得分前6名的景点中，安全得分大于90分的景点有4个，所以从交通得分前6名的景点中任取2个，求其安全得分都大于90分的概率为242662155C C ==. （II ）结合两个图可知，景点总分排名前6的的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，所以ξ的可能取值为0,1,2.()()()3211244242333666012131,,555C C C C C P P P C C C ξξξ=========.所以ξ的分布列为:ξ1 2P1535 15所以()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=. （III ）由图可知，26个景点中，交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，安全得分主要集中在80分附近，且80分一下的景点接近一半，故 12x x >.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查超几何分布，考查数据分析与处理能力，属于中档题. 18.如图，由直三棱柱111ABC A B C -和四棱锥11D BB C C -构成的几何体中，01190,1,2,5BAC AB BC BB C D CD ∠======，平面1CC D ⊥平面11ACC A ．（Ⅰ）求证： 1AC DC ⊥；（Ⅱ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3π？若存在，求BP BC的值，若不存在，说明理由．【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析.试题分析：（1）由条件中090BAC ∠=，平面1CC D ⊥平面11ACC A ，结合线面垂直的性质定理，可以证明线面垂直，从而证明线线垂直（2）建立空间坐标系，求出法向量，然后根据题意计算是否存在点满足要求 解析：(Ⅰ)证明:在直三棱柱中,平面ABC,故,由平面平面,且平面平面,所以平面, 又⊂平面,所以(Ⅱ)证明:在直三棱柱中,平面ABC, 所以,,又,所以,如图建立空间直角坐标系,根据已知条件可得,,,,,,所以,,设平面的法向量为,由即令,则,,于是,平面的法向量为设,,则,若直线DP与平面成角为,则,计算得出,故不存在这样的点.点睛：方法总结：由面面垂直n线面垂直n线线垂直，这里需要用到垂直的性质定理进行证明，难度不大，但在书写解答过程中，注意格式，涉及二面角问题可以采用空间坐标系的相关知识，计算法向量然后再求解19.已知函数()sin cos f x x x a x x =++，R a ∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当=2a 时，求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值；（3）当2a >时，若方程()30f x -=在区间[0,]2π上有唯一解，求a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-；（2）最大值为()2f π=π，最小值为(0)2f =；（3）23a <≤ 【详解】试题分析：（1）由()01f '=可得切线斜率，再由点斜式可得切线方程；（2）由()'sin cos 1f x x x x =-++，可得()'0f x >，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而可得最值；（3）当2a >时，()()'1sin cos 1f x a x x x =-++.设()()1sin cos 1h x a x x x =-++，()()'2cos sin h x a x x x =--，分析可知()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()010h =>，11202h a a π⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以存在唯一的00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()00h x =，即()0'0f x =，结合函数单调性可得解. 试题解析： （1）当1a =-时，()sin cos f x x x x x =-+，所以()'2sin cos 1f x x x x =++，()'01f =. 又因为()01f =-，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =-.（2）当2a =时，()sin 2cos f x x x x x =++，所以()'sin cos 1f x x x x =-++．当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1sin 0x ->，cos 0x x >， 所以()'0f x >.所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增．因此()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小值为()02f =. （3）当2a >时，()()'1sin cos 1f x a x x x =-++.设()()1sin cos 1hx a x x x =-++，()()'2cos sin h x a x x x =--，因为2a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以()'0h x <.所以()hx 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．因为()010h=>，11202h a a π⎛⎫=-+=-< ⎪⎝⎭，所以存在唯一的00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()00h x =，即()0'0f x =. 所以()f x 在区间[]00,x 上单调递增，在区间02x π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减．因为()0=f a ，2f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又因为方程()30f x -=在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一解，所以23a <≤.点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.20.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值． 【答案】（Ⅰ）22143x y +=．（Ⅱ）见解析． 【详解】试题分析：（Ⅰ）依题意，得到1c =，利用定义得到2a =，即可求解椭圆的标准方程； （Ⅱ）设(,)D m n ，(,)E m n --，根据直线方程，求解,M N 的坐标，可得GMGN ⊥，利用 0GM GN ⋅=u u u u v u u u v，求得t 的值，即可得到弦长为定值． 试题解析：（Ⅰ）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =．因为24a ==， 所以2a =，b ==所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（Ⅱ）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合． 因为D ，E 两点关于原点对称， 所以设(),D m n ，(),Em n --，()1m ≠±．设以MN 为直径的圆与直线32y =交于33,,,(0)22G t H t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭两点， 所以GMGN ⊥．直线PD ：()332121n y x m --=--． 当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭． 直线PE ：()332121n y x m +-=-+． 当0x =时，33212n y m +=-++，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭． 所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭u u u u v ，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭u u u v ， 因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=u u u u v u u u v，所以()22249041n GM GN t m -⋅=+=-u u u u v u u u v ．因22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-， 所以2304t -=，所以2t =．所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =． 所以以MN 为直径的圆被直线32y =点睛：本题主要考查椭圆的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系,解答此类题目，通常利用,,a b c 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等． 21.已知项数为()*2m m N m ∈≥，的数列{}n a 满足如下条件：①()*1,2,,n a N n m ∈=L ；②12···.m a a a <<<若数列{}n b 满足()12* (1)m nn a a a a b N m +++-=∈-，其中1,2,,n m =L 则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.（I ）数列13579，，，，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由； （II ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12···m b b b >>>； （III ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且112049m a a ==，，求m 的最大值. 【答案】（I ）不存在，理由见解析；（II ）详见解析；（III ）33. 【分析】（I ）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论. （II ）利用差比较法判断出{}n b 的单调性，由此证得结论成立.（III ）利用累加法、放缩法求得关于m a 的不等式，由此求得m 的最大值.【详解】（I ）不存在.理由如下：因为*413579751b N ++++-=∈-，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”.（II ）因为*11,11,1n n n n a a b b n m n N m ++--=≤≤-∈-，又因为12m a a a <<<L ，所以10n n a a +-<，所以1101n n n n a a b b m ++--=<-，即1n n b b +<，所以12···m b b b >>>成立.（III ）1i j m ∀≤<≤，都有1j j i j a a b b m --=-，因为*i b N ∈，12m b b b >>>L ，所以*ij b b N -∈，所以*11204811m m a a b b N m m --==∈--.因为*111n n n n a a b b N m ----=∈-，所以11n n a a m --≥-. 而()()()()()()111221111m m m m m a a a a a a a a m m m ----=-+-++-≥-+-++-L L ()21m =-，即()2204911m -≥-，所以()212048m -≤，故46m ≤. 由于*20481N m ∈-，经验证可知33m ≤.所以m 的最大值为33. 【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查数列单调性的判断，考查累加法、放缩法，属于难题.。
平谷区2019-2020高三质量检测数学试卷
平谷区2019-2020学年度第二学期质量监控试题高三数学 2020、3第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合{|1}A x x =>-,集合{(2)0}B x | x x =+<，那么AB 等于A ．{|2}x x >-B ．{|10}x x -<<C ．{|1}x x >-D ．{|12}x x -<<2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是 A ．y = B ．()sin f x x x = C ．()||f x x x =+2 D ．|1|y x =+3.如果0b a <<,那么下列不等式成立的是 A ．22log ||log ||b a <B ．11()()22b a < C ．33ba >D ． 2ab b <4．双曲线221(0)x y m m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为AB C ．2 D ． 25．设直线l 过点A (0,1)-，且与圆22:20C x y y +-=相切于点B ，那么 AB AC ⋅= A ．3±B ．3CD ．16．将函数()cos 2f x x =图象上所有点向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[0,]a 上单调递减，那么实数a 的最大值为A ．π8 B ．π4 C ．π2 D ．3π45正（主）视图侧（左）视图俯视图5 37.设点,,A B C 不共线，则“()AB AC BC +⊥”是“||||AB AC =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件8.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示， 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
2020年北京市平谷区高考数学模拟试卷(5月份)(含答案解析)
2020年北京市平谷区高考数学模拟试卷（5月份）副标题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合0，，，则A. B. 0，C. D.2.若角的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是A. B. C. D.3.在下列函数中，值域为R的偶函数是A. B.C. D.4.若等差数列的前n项和为，且，，则的值为A. 21B. 63C. 13D. 845.若抛物线上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是A. B. C. D.6.已知x，，且，则A. B.C. D.7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A.B.C. 2D.8.对于向量，，“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升，若人体胃酸中氢离子的浓度为摩尔升，则胃酸的pH是参考数据：A. B. C. D.10.如图，点O为坐标原点，点，若函数，且及，且的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是，，则______．12.在中，，，，则______；______．13.如图，矩形ABCD中，，，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为______；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为______．14.已知函数，给出下列结论：在上有最小值，无最大值；设，则为偶函数；在上有两个零点其中正确结论的序号为______写出所有正确结论的序号15.地铁某换乘站设有编号为A，B，C，D，E的五个安全出口．若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：安全出口编号A，B B，C C，D D，E A，E疏散乘客时间120220160140200则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是______．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.已知函数，_________，求在的值域．从若，的最小值为；两条相邻对称轴之间的距离为；若，的最小值为，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．17.某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为，求随机变量的分布列和数学期望；记该市26个景点的交通平均得分为，安全平均得分为，写出和的大小关系？只写出结果18.如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面．Ⅰ求证：；Ⅱ在线段BC上含端点是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．19.已知函数，．Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；Ⅱ当时，求在区间上的最大值和最小值；Ⅲ当时，若方程在区间上有唯一解，求a的取值范围．20.已知点在椭圆C：上，是椭圆的一个焦点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ椭圆C上不与P点重合的两点D，E关于原点O对称，直线PD，PE分别交y轴于M，N两点，求证：以MN为直径的圆被直线截得的弦长是定值．21.已知项数为的数列满足如下条件：2，，；若数列满足，其中，2，，m，则称为的“伴随数列”．Ⅰ数列1，3，5，7，9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；Ⅱ若为的“伴随数列”，证明：；Ⅲ已知数列存在“伴随数列”，且，，求m的最大值．答案和解析1.【答案】C{解析}解：集合0，，，则．故选：C．解不等式得集合B，根据并集的定义写出．本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2.【答案】D{解析}解：角的终边在第二象限，则，，对于A，，错误；对于B，，错误；对于C，--，错误；对于D，，正确；故选：D．由角的终边在第二象限，则，，利用诱导公式化简各个选项即可得解．本题主要考查了诱导公式的简单应用，属于基础题．3.【答案】B{解析}解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为，值域为，不符合题意；对于B，，是值域为R的偶函数，符合题意；对于C，，有，为偶函数，有，其值域为，不符合题意；对于D，，有，不是偶函数，不符合题意；故选：B．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、值域，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断以及函数值域的计算，注意常见函数的奇偶性以及值域，属于基础题．4.【答案】B{解析}解：因为，，所以，解可得，，，则．故选：B．由已知结合等差数列的通项公式及求和公式可求d，，然后结合等差数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．5.【答案】D{解析}解：设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．，即．故选：D．令抛物线上的点到准线的距离的最小值大于1求出p的范围．本题考查了抛物线的性质，属于基础题．6.【答案】C{解析}解：由x，，且，取，，则AD不成立，取，，则B不成立．故选：C．由x，，且，取，，可排除AD；取，可排除B．本题考查了不等式的基本性质，属基础题．7.【答案】A{解析}【分析】本题考查了棱锥的结构特征与三视图，体积计算，属于中档题．根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即可．【解答】解：由正视图和侧视图可知棱锥的高，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，，，，三棱锥的体积，故选A．8.【答案】B{解析}解：当，且与的夹角为时，有，故由，不能得到；反之，由，能够得到．“”是“”的必要不充分条件．故选：B．举例说明由不能得到；反之成立．再由充分必要条件的判定得答案．本题考查向量模的运算，考查充分必要条件的判定，是基础题．9.【答案】C{解析}解：由可得，．故选：C．由已知结合对数的运算性质即可直接求解．本题主要考查了对数的运算性质在实际问题中的应用，属于基础试题．10.【答案】A{解析}解：由图象可知，函数均为减函数，所以，，因为点O为坐标原点，点，所以直线OA为，因为经过点M，则它的反函数也经过点M，又因为，且的图象经过点N，根据对数函数的图象和性质，，故选：A．先由图象得到，，再根据反函数的定义可以得出经过点M，则它的反函数也经过点M，根据对数函数的图象即可得到．本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题．11.【答案】{解析}解：由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为，，故答案为：．由图形可得：A点表示的复数为i，B点表示的复数为，利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】{解析}解：，可得，，，，，由正弦定理，可得：，解得：．故答案为：，．由已知利用余弦定理可求，结合范围，可求C的值，进而根据正弦定理可得a的值．本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．13.【答案】2{解析}解：矩形ABCD中，，，O为AB的中点．当点P在BC边上时，；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值，，P应该在线段AD上，此时；故答案为：2；．利用斜率的数量积直接求解的值；利用，判断P所在的位置，求解最小值即可．考查斜率的数量积的求法与应用，考查转化思想以及观察图形的能力，是基本知识的考查．14.【答案】{解析}解：由，得．在上恒成立，在上单调递减，则在上有最小值，无最大值，故正确；的定义域为，的定义域为，，为奇函数，故错误；由，得，作出与在上的图象如图：由图可知，在上有两个零点，故正确．正确结论的序号为．故答案为：．利用导数研究函数的单调性，可得在上单调递减，得到在上有最小值，无最大值，故正确；直接利用函数奇偶性的定义判断错误；把转化为，在同一直接在坐标系内画出与在上的图象，数形结合判断正确．本题考查命题的真假判断与应用，考查函数的单调性与奇偶性的性质，考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】D{解析}解：同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放D、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，得到D疏散乘客比A快；同时开放A、E两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，得到A疏散乘客比E快；同时开放A、B两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，得到A疏散乘客比C快；同时开放B、C两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放C、D两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，得到D疏散乘客比B快．综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是D．故答案为：D．利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果本题考查简单的合理推理，考查推理论证能力等基础知识，是基础题．16.【答案】解：．若，的最小值为；所以，解得，所以，由于，所以，所以，故函数的值域为．两条相邻对称轴之间的距离为；所以，解得，所以，由于，所以，所以，故函数的值域为．若，的最小值为，所以，解得，所以，由于，所以，所以，故函数的值域为．{解析}根据所选的主要说最大值和最小值之间的长度为半个周期．对称轴之间的距离为半个周期相邻函数零点之间的距离为半个周期，进一步利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．17.【答案】解：由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为．结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，的可能取值为0，1，2．，，，的分布列为：0 1 2P．由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而．{解析}根据古典概型概率公式得出结论；利用超几何分布的知识求出分布列和数学期望；根据两种得分的数据离散程度进行判断．本题考查了古典概率的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．18.【答案】解：Ⅰ证明：直三棱柱中，，平面平面，平面平面，平面，平面，．Ⅱ假设线段BC上含端点是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为，以A为原点，AC为x轴，为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，则0，，2，，1，，0，，设b，，，，则1，，2，，，即b，，0，，，，，0，，，设平面的法向量y，，则，取，得0，，直线DP与平面所成的角为，，解得，在线段BC上含端点是不存在点P，使直线DP与平面所成的角为．{解析}Ⅰ由，平面平面，得平面，由此能证明．Ⅱ以A为原点，AC为x轴，为y轴，AB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段BC上含端点是不存在点P，使直线DP与平面所成的角为．本题考查线线垂直的证明，考查满足线面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：Ⅰ当时，，所以，．又因为，所以曲线在点处的切线方程为；Ⅱ当时，，所以．当时，，，所以．所以在区间上单调递增．因此在区间上的最大值为，最小值为；Ⅲ当时，，设，，因为，，所以．所以在区间上单调递减，因为，，所以存在唯一的，使，即．所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．因为，，又因为方程在区间上有唯一解，所以．{解析}Ⅰ求得的解析式和导数，可得切线的斜率、切点，由斜截式方程可得切线的方程；Ⅱ求得函数的导数，判断单调性，计算可得最值；Ⅲ求得导数，构造函数，求得导数，判断符号，可得单调性，由函数零点存在定理，可得的单调性，结合条件可得a的范围．本题考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查单调性的运用：求最值，以及函数零点存在定理的运用，方程有解的条件，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：由题意可得：，，，联立解得，．椭圆C的方程为：．证明：设直线DE的方程为：，，联立，可得：．，．直线PD的方程为：，可得直线PE的方程为：，可得以MN为直径的圆的方程为：，把代入可得：即．解得．因此被直线截得的弦长是定值．{解析}由题意可得：，，，联立解出即可得出．设直线DE的方程为：，，联立，可得：可得，利用点斜式可得直线PD的方程，可得利用点斜式可得直线PE的方程，可得以MN为直径的圆的方程为：，把代入即可证明．本题考查了直线与椭圆的位置关系、点斜式、圆的方程、弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：Ⅰ数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．因为，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．Ⅱ证明：因为，，，又因为，所以有，所以，所以成立．Ⅲ，都有，因为，．所以，所以，所以，因为，所以，又．所以所以，所以，又，所以，例如：，满足题意，所以，m的最大值是33．{解析}Ⅰ根据题目中“伴随数列”的定义得，所以数列1，3，5，7，9不存在“伴随数列”．Ⅱ只要用作差法证明的单调性即可，Ⅲ，都有，因为，因为，所以，又所以，即可解得m的最大值．本意考查数列的“伴随数列”定义，数列的单调性，数列与不等式，属于难题．。
北京市平谷区2019-2020高三4月质量检测数学试卷及答案
平谷区2019-2020学年度第二学期质量监控试题高三数学 2020、4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共10题，每题4分，共40分。
在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1.已知集合{|1}A x x =>-,集合{(2)0}B x | x x =+<，那么A B U 等于A ．{|2}x x >-B ．{|10}x x-<< C ．{|1}x x >- D ．{|12}x x -<<2.下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是 A ．y =．()sin f x x x = C ．()||f x x x =+2 D ．|1|y x =+3.如果0b a <<,那么下列不等式成立的是 A ．22log ||log ||b a < B ．11()()22b a < C ．33ba > D ． 2abb < 4．双曲线221(0)x ym m-=>的一条渐近线方程为20x y +=，那么它的离心率为A B C ．2 D ． 25．设直线l 过点A (0,1)-，且与圆22:20Cx y y +-=相切于点B ，那么 AB AC ⋅=u u u r u u u rA ．3±B ．3CD ．16．将函数()cos 2f x x =图象上所有点向左平移π4个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[0,]a 上单调递减，那么实数a 的最大值为A ．π8B ．π4C ．π2D ．3π47.设点,,A B C 不共线，则“()AB AC BC +⊥u u u r u u u r u u u r ”是“||||AB AC =u u u r u u u r”的5正（主）视图侧（左）视图俯视图5 3 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件8.有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示， 上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。