直角坐标系解决立体几何问题

在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。

而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。

重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。

难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。

Ⅰ、空间直角坐标系的建立空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。

(用媒体分步显示下列内容) 1． 向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x 1,y 1,z 1},={x 2,y 2,z 2},则 ⑴ a ·b =|a ||b |cos θ 或 a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ⑵若a 与b 非零向量 cos θ=222222212121212121x z z y y x x zy x z y ++⋅++++2． 向量的数量积的几何性质:⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤： （1）根据图形建立合理的空间直角坐标系； （2）确定关键点的坐标； （3）求空间向量的夹角； （4）得出异面直线的所成角。

D 1xy o. Mxyo. M平面直角坐标系空间直角坐标系z用向量解决角的问题 ①两条异面直线a 、b 间夹角在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>u u u r u u ur =。

注意,由于两向量的夹角范围为[]︒︒180,0,而异面直线所成角的范围为()︒<<︒900α，若两向量夹角α为钝角,转化到异面直线夹角时为180°α-例1：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=6, 求异面直线DA 1与AC 1的所成角；分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。

问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？（异面直线平移相交，求相交直线的交角） 问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？（求向量DA 1与AC 1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系） 问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。

（以DA 为X 轴，以DC 为Y 轴，以DD 1为Z 轴） 问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？（请学生个别回答）例2．直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，底面是边长 为4的菱形,且∠DAB=60°，AA 1=6，AC 与BC 交于E ，A 1C 1与B 1D 1交于E 1， （1）求：DA 1与AC 1的所成角； （2）若F 是AE 1的中点，求：B 1E 与FD 1的所成角；②直线a 与平面α所成的角θ（如图11-）可转化成用向量→a 与平面α的法向量→n 的夹角ω表示，由向量平移得：若平面α的法向量→n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由α⊥→n 可知，要求得法向量→n ，只需在平面α上找出两个不共线向量→a 、→b ，最后通过解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→00n b n a 得到→n .例4、 在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重 心G ，求直线B A 1与平面ABD 所成角正弦值.例8.三棱柱111B A O OAB -，平面⊥11O OBB 平面OAB ，︒=∠601OB O ，︒=∠90AOB 且21==OO OB ，3=OA ，求：二面角O AB O --1的余弦值大小.x图1－2图1－1图1－3B 1例9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=21。

求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的余弦值大小。

用向量解决距离问题①两点B A ,间距离||AB由−→−−→−−→−⋅=AB AB AB 2可算出；若→→−→−+=b a AB ，则由数量积得→→→→−→−⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a b a AB 2222，若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式. ②点P 到直线AB 的距离过点P 作直线AB 的垂线PD ，垂足为D ，则由AB PD ⊥且点D B A ,,共线得AB AD AB PD λ==•,0，解出D 点后再求||PD 。

例1、直角坐标系中的三点()3,1,0A ，()0,0,3B ，()0,2,0C ，求点A 到直线BC的距离。

解：过A 作BC AH ⊥，垂足为H 设−→−−→−=BC BH λ，∵()0,2,3-=−→−BC∴()()0,2,30,2,3λλλ-=-=−→−BH ，则H 点坐标为(0,2,33λλ-∴=−→−AH ()3,12,33---λλ，又∵0=•−→−−→−BC AH ，∴02433=-++-λλ，75=λ，∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=−→−3,73,732AH ，724=−→−AH ③异面直线a 、b 的距离可先设a 、b 的公垂线段EF （a E ∈、b F ∈），再由垂直向量性质得⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−→−→−→00EF b EF a ，从而得到E 、F 的坐标，最后算出所求−→−EF .例2、正方体1111D C B A ABCD -的边长为1，求异面直线C A 1、BD 的距离？分析：从正方体条件得，运用坐标向量的方法较好. 建立直角坐标系，设EF 是所求的公垂线，令−→−−→−=BD BE λ、−→−−→−=C A k F A 11，则()0,1,1-=−→−λBE 、E 的坐标为()0,,1λλ-，同理()k k k F -1,,，再由0=⋅−→−−→−BD EF 、01=⋅−→−−→−C A EF ，算得21=λ、32=k ，最后算出−→−EF 、66=−→−EF . 这个方法不但能求出直线上的点的坐标，也能求出空间向量的表示式，是向量运用中常用的一个小技巧. ④点P 到平面α的距离h先设平面α的斜线为PA ()α∈A ，再求α的法向量→n ，运用向量平移，不难得到推论“h 等于−→−PA 在法向量→n 上的射影→→−→−⋅nn PA最后由此算出所求距离.例3、正四棱柱1111D C B A ABCD -，1=AB ，21=AA ，E 是1CC 的中点，求点1D 到平面BDE 的距离分析：如图建立直角坐标系，得各点坐标，设平面BDE 的法向量为),,(z y x n =→，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅−→−→−→−→00DB n DE n ，得⎩⎨⎧=+=+00y x z y ；令1=y ，得法向量)1,1,1(--=→n ∴−→−E D 1在→n 上的投影为3321=⋅→→−→−nn E D ，∴点1D 到平面BDE 的距离为332.此类题目，是在立体几何学习中的必须解决的重点题和难题，传统的解题方法很多，也很复杂。

运用平面法向量的知识，能直接算出所求距离，避免繁复的逻辑推理。

④两平行平面,αβ之间的距离由平行平面间的距离定义知道，平面α上任意一点A 到β的距离就是α到β的距离，因此，我们也可把α到β的距离转化为A 到β的距离，运用求点与面距离的方法来求。

1、(2011年高考陕西卷理科16)（本小题满分12分） 如图：在,ABC ∠V 0中,ABC=60,∠0BAC=90AD BC 是上的高，沿AD 把ABD V 折起，使∠0BDC=90（Ⅰ）证明：平面⊥ADB BDC 平面；（Ⅱ）设E BC DB u u r u u u r为的中点,求AE 与夹角的余弦值。

2、(2011年高考北京卷理科16)（本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=o .(Ⅰ)求证：BD ⊥平面;PAC （Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值； （Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.3、(2011年高考全国新课标卷理科18) (本小题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

分析：（1）要证明线线垂直只要证明线面垂直或者用向量去证明；（2）求二面角的余弦只需建立适当的坐标系，有空间向量来完成。