直角坐标系解决立体几何问题

在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。

重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。 难点：建立恰当的空间直角坐标系

关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。 Ⅰ、空间直角坐标系的建立

空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。(用媒体分步显示下列内容) 1． 向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:

若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x 1,y 1,z 1},={x 2,y 2,z 2},则 ⑴ a ·b =|a ||b |cos θ 或 a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ⑵若a 与b 非零向量 cos θ

=

22

22

22

21

21

21

212121x z z y y x x z

y x z y ++⋅++++

2． 向量的数量积的几何性质:

⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0

⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤： （1）根据图形建立合理的空间直角坐标系； （2）确定关键点的坐标； （3）求空间向量的夹角； （4）得出异面直线的所成角。

D 1

x

y o

. M

x

y

o

. M

平面直角坐标系

空间直角坐标系

z

用向量解决角的问题 ①两条异面直线a 、b 间夹角

在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，

则cos |cos ,|AB CD θ=<>u u u r u u u

r =。

注意,由于两向量的夹角范围为[]︒︒180,0,而异面直线所成角的范围为

()︒<<︒900α，若两向量夹角α为钝角,转化到异面直线夹角时为180°α-

例1：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=6, 求异面直线DA 1与AC 1的所成角；

分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。

问题1：此题在立体几何中我们应该如何解决？

（异面直线平移相交，求相交直线的交角） 问题2：利用空间向量求解，对几何体如何处理？

（求向量DA 1与AC 1的数量积，当然应先建立空间直角坐标系） 问题3：如何建立空间直角坐标系？并说明理由。

（以DA 为X 轴，以DC 为Y 轴，以DD 1为Z 轴） 问题4：建立空间直角坐标系后，各相关点的坐标是多少？

（请学生个别回答）

例2．直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1，底面是边长 为4的菱形,且∠DAB=60°，AA 1=6，AC 与BC 交于E ，A 1C 1与B 1D 1交于E 1， （1）求：DA 1与AC 1的所成角； （2）若F 是AE 1的中点，

求：B 1E 与FD 1的所成角；

②直线a 与平面α所成的角θ（如图11-）

可转化成用向量→

a 与平面α的法向量→

n 的夹角ω表示，由向量平移得：若

平面α的法向量→

n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由α⊥→n 可知，要求得法向量→

n ，只需在平面α上找出两

个不共线向量→

a 、→

b ，最后通过解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅→→→→0

0n b n a 得到→n .

例4、 在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重 心G ，求直线B A 1与平面ABD 所成角正弦值.

例8.三棱柱111B A O OAB -，平面⊥11O OBB 平面OAB ，︒=∠601OB O ，

︒=∠90AOB 且21==OO OB ，3=OA ，求：二面角O AB O --1的余弦值大小.

x

图1－2

图1－1

图1－3

B 1

例9. 如图，在底面是直角梯形的四棱锥S —

A BCD 中，AD//BC ，∠A BC=900，

S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=2

1

。求侧面SCD 与面SB A 所成的二面

角的余弦值大小。

用向量解决距离问题

①两点B A ,间距离||AB

由−→

−−→−−→

−⋅=AB AB AB 2

可算出；

若→

→

−→

−+=b a AB ，则由数量积得→

→→→−→

−⋅+⎪⎭

⎫

⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a b a AB 22

2

2

，

若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式. ②点P 到直线AB 的距离

过点P 作直线AB 的垂线PD ，垂足为D ，则由AB PD ⊥且点D B A ,,共线得

AB AD AB PD λ==•,0，解出D 点后再求||PD 。

例1、直角坐标系中的三点()3,1,0A ，()

0,0,3B ，()0,2,0C ，求点A 到直线BC

的距离。

解：过A 作BC AH ⊥，垂足为H 设−→

−−→

−=BC BH λ，∵()

0,2,3-=−→

−BC

∴()()

0,2,30,2,3λλλ-=-=−→−BH ，则H 点坐标为(

0,2,33λλ-

∴=

−→−AH (

)

3,12,33---λλ，又∵0=•−→

−−→−BC AH ，

∴02433=-++-λλ，75=λ，∴⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=−→−3,73,732AH ，7

24

=−→−AH ③异面直线a 、b 的距离