大学物理-球贝塞尔函数 双曲贝塞尔函数
贝塞尔函数讲解
2V
r
2
1 r
V r
1 r2
2V
2
V
0
V rR 0
(5.5)
(5.7) (5.8)
再次分离变量
V (r, ) F(r)G( )
F ''
1 r
F'
r2
F
0
G '' G 0
(5.9) (5.10)
由于温度函数u(x,y,t)是单值的，所以v(x,y)也是单值，因此
G(应) 是以2 为周期的函数。因此， ,方程n2(5.10)的解为：
-0.2 -0.4
2
4
6
8
10
5.1.2.虚宗量贝塞耳方程
n 阶虚宗量贝塞耳方程
x2
d 2R dx 2
x
dR dx
(x2
n2 )R
0
ix
2
d 2R
d 2
dR
d
( 2
n2)R
0
J n ( )
(1)k
k 0
in2k k !(n k
( x )n2k 1) 2
in
in2k
( x )n2k
k0 k !(n k 1) 2
1
a0 2n n 1
可以得到方程另一个特解
y2
x
Jn
x
1m
m0
2n2m
xn2m
m! n
m
1
J-n(x)称为-n阶第一类贝塞尔函数
(5.19)
Jn(x) 和J-n(x)线性无关，故贝塞尔方程(5.12)的通解可表 示为：
y x AJn x BJn x
(5.20)
令 A cot n , B csc n，则 (5.20)可写成
大学物理贝塞尔方程的解
cos(x sin m )d
2
(11)
——贝塞尔函数常用的积分形式
(三) 贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近表示 汉克耳函数
从贝塞尔函数的第一种积分表达式出发，利用最陡下降
法，可以得到贝塞尔函数的渐近表达式。为此，将贝塞尔函
数第一种积分表示写为
Jm (x)
g (t )e xh (t ) dt
C
[g(t)
xv
(1)k ( x )2k v1
k0 k !(k v) 2
xv Jv1(x)
与此类似，以 x – 乘 (9-1-2) 式，然后求导，可得到
d
dx
xv Jv
xv Jv1(x)
将以上两式展开，经化简分别得到
J（v x） v x1Jv (x) Jv1(x) J（v x） v x1Jv (x) Jv1(x) 将上两式相加，得到
贝塞尔方程的另一个独立解的形式为：
w2 (z) zm dk zk AJm (z) ln z k 0
(7-3-15)
但是，确定以上解中的系数是一件很麻烦的事情。有
人采用一种巧妙的办法确定了贝塞尔方程中当 为整数或
零时的独立解。具体方法为：取 J (x) 与 J– (x) 的适当的
线性组合，使得非整数 趋于整数 m 时，该线性组合成为
(x)
k 0
(1)k k !(k v
( x)2kv 1) 2
J (x) 称为 阶贝塞尔函数。
贝塞尔函数 J0(x)、J1(x)、J2(x)… 的图像
当 为整数或零时，J (x) 与 J– (x) 不是线性独立的，
它们之间有以下关系
Jm (x) (1)m Jm (x) (m 0,1, 2, )
贝塞尔函数
贝塞尔函数当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：222222222222220(),,0, (5.1)(,),, (5.2)0, t x y R u u u a x y R t t x y u x y x y R u ϕ=+=∂∂∂=++<>∂∂∂=+≤= (5.3)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)()u x y t V x y T t =代入方程（5.1）得22222()V V VT a T x y ∂∂'=+∂∂ 或22222 (0)V V T x y a T Vλλ∂∂+'∂∂==-> 由此得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程20T a T λ'+= （5.4）22220V V V x yλ∂∂++=∂∂ （5.5） 从（5.4）得2()a t T t Ae λ-= 方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
为了求出这个方程满足条件2220x y R V +== （5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得22222110,,02, (5.7)0,02, (5.8)R V v V V R V ρλρθπρρρρθθπ=⎧∂∂∂+++=<≤≤⎪∂∂∂⎨⎪=≤≤⎩再令 (,)()()V P ρθρθ=Θ，代入（5.7）并分离变量可得()()0θμθ''Θ+Θ= （5.9）22()()()()0P P P ρρρρλρμρ'''++-= （5.10）由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值得，因此()θΘ应该是以2π为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,,,n对应于2n n μ=，有00()2a θΘ=（为常数） ()cos sin ,(1,2,)n n n a nb n n θθθΘ=+=以2n n μ=代入（5.10）得222()()()()0P P n P ρρρρλρρ'''++-= （5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，所以，它是n 阶贝塞尔方程。
贝塞尔函数
n阶第一类贝塞尔函数()J xn第二类贝塞尔函数，或称Neumann函数()Y xn第三类贝塞尔函数汉克尔（Hankel）函数，(1)()H xn第一类变形的贝塞尔函数()I xn开尔文函数（或称汤姆孙函数）n阶第一类开尔文（Kelvin）第五章贝塞尔函数在第二章中，用分离变量法求解了一些定解问题。
从§2.3可以看出，当我们采用极坐标系后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程。
在那里，由于只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程。
如果不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程。
本章将通过在柱坐标系中对定解问题进行分离变量，引出在§2.6中曾经指出过的贝塞尔方程，并讨论这个方程解的一些性质。
下面将看到，在一般情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入一类特殊函数，称为贝塞尔函数。
贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交完备性。
§5.1 贝塞尔方程的引出下面以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程。
设有半径其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零摄氏度，且初始温度为已知，求圆盘内瞬时温度分布规律。
这个问题可以归结为求解下述定解问题：用分离变量法解这个问题，先令或（5.4）（5.5） 从（5.4）得方程（5.5）称为亥姆霍兹（Helmholtz ）方程。
为了求出这个方程满足条件（5.6）的非零解，引用平面上的极坐标系，将方程（5.5）与条件（5.6）写成极坐标形式得再令代入（5.7）并分离变量可得（5.9）（5.10）5.10）得（5.11）这个方程与（2.93）相比，仅仅是两者的自变量和函数记号有差别，若再作代换并记则得由条件（5.8（5.12）因此，原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程（5.11）在条件（5.12）下的特征值与特征函数（（5.12。
在下一节先讨论方程（5.11）的解法，然后在§5.5中再回过头来讨论这个特征值问题。
贝塞尔曲线
n
n
m
R
r
J
n
n
k
R
r dr
0, R2 2
mk
J2 n1
n
m
R2 2
J2 n1
n
m
.
mk
R 0
rJ
2 n
mn
R
r
dr
的正平方根称为函数
J
n
n
m
R
r
的模值.
5.5 函数展成贝塞尔函数的级数
结论2. 在区间［０，R］上具有一阶连续导数以
及分段连续的二阶导数的函数 f ( 以展开为 如下形式的一致收敛的级数：
J
x
2
Jn
x
(ln
x 2
C
)
1
n1 m0
(n
m m!
1)!
x 2
n2m
1
m0
(1)m m !(n m)!
x 2
n2m
nm k 1
1 k
m k 1
1 k
其中C为欧拉常数 C = 0.577216
5.4 贝塞尔函数的递推公式
x=(0:0.02:16)'; y=besselj(1,x); plot(x,y) hold on; >> z=0; >> plot(x,z,'b')
其中 c, ak 为常数。
5.2 贝塞尔方程的求解
逐项求(导c2,有n2 )a0 xc [(c 1)2 n2 ]a1xc1
y'x ak c k xck1
[(c
kk)0 2
n2 ]ak
ak2
xck 0
比较系k数y"2得x k0 ak c k c k 1 xck2
十二个不可积分函数
十二个不可积分函数摘要：一、引言二、不可积分函数的定义与性质1.定义2.性质三、十二个不可积分函数1.指数函数2.对数函数3.三角函数4.双曲函数5.反三角函数6.贝塞尔函数7.椭圆函数8.勒让德函数9.柱状函数10.抛物线函数11.rational function12.分式函数四、不可积分的原因与判断方法1.原因2.判断方法五、不可积分函数的应用1.物理学2.工程学3.经济学4.生物学六、结论正文：一、引言在数学领域，积分是一种重要的数学运算，它广泛应用于各个学科。
然而，并非所有的函数都可以进行积分。
本文将介绍十二个不可积分函数，它们的特性以及其在实际应用中的重要作用。
二、不可积分函数的定义与性质1.定义不可积分函数是指在实数域上不能用初等函数表示其原函数的函数。
这类函数具有独特的性质，使得我们无法使用常见的积分方法对其进行求解。
2.性质不可积分函数具有以下几个性质：（1）奇偶性：不可积分函数可以是奇函数或偶函数。
（2）周期性：不可积分函数可以是周期函数，但其周期不一定为有理数。
（3）连续性：不可积分函数在其定义域上具有连续性。
三、十二个不可积分函数1.指数函数指数函数的形式为y = a^x，其中a 为正常数且a ≠ 1。
当a > 1 时，函数在实数域上为增函数；当0 < a < 1 时，函数在实数域上为减函数。
2.对数函数对数函数的形式为y = log_a(x)，其中a 为正常数且a ≠ 1。
对数函数的定义域为(0, +∞)，其在定义域上为增函数。
3.三角函数三角函数包括正弦函数sin(x)、余弦函数cos(x) 和正切函数tan(x) 等。
它们在实数域上具有周期性，并在其定义域上具有奇偶性。
4.双曲函数双曲函数包括双曲正弦函数sinh(x)、双曲余弦函数cosh(x) 和双曲正切函数tanh(x) 等。
它们在实数域上具有连续性。
5.反三角函数反三角函数包括反正弦函数arcsin(x)、反余弦函数arccos(x) 和反正切函数arctan(x) 等。
贝塞尔公式详细推导过程
贝塞尔公式详细推导过程《贝塞尔公式的详细推导过程》引言：贝塞尔公式是数学中一种重要且广泛应用的公式，它的推导过程相对较复杂、细致，但却十分精彩。
在本文中，我们将详细介绍贝塞尔公式的推导过程，让读者对这一公式有更深入的理解。
一、贝塞尔公式的定义：贝塞尔公式是一种用连分数表示的数学公式，其一般形式为：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta其中，J_n(x) 表示第n阶贝塞尔函数，x 是实数，\theta 表示角度，\pi 表示圆周率。
二、推导过程：1. 首先，我们从欧拉公式 e^ix = \cos(x) + i\sin(x) 出发，将其展开得到：e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)2. 接下来，我们将展开中的i\sin(x) 转化为两个实数的乘积。
我们知道，正弦函数的定义式为：\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}代入之前的展开式，得到：i\sin(x) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}3. 现在，我们用这个展开式来推导贝塞尔公式。
我们首先将贝塞尔函数展开成幂级数形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}4. 接下来，我们将展开式中的 e^{ix} 替换为 \cos(x) + i\sin(x)：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\sin(x)\right)5. 然后，我们将正弦函数用欧拉公式展开为两个指数函数的乘积：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + i\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)6. 继续推导，我们可以将指数函数的乘积展开为两项之差：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{i e^{ix}}{2} - \frac{i e^{-ix}}{2}\right)7. 现在，我们可以将展开式中的 i 消去：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k} \left(\cos(x) + \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)8. 之后，我们可以将展开式进行拆分，分别对两项进行求和，并利用复数的性质对其中的复数部分进行化简：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}\right)9. 最后，我们可以将两个求和式进行整理，将其中的复数部分转化为积分形式：J_n(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\cos(x) + \left(\frac{x}{2}\right)^n \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(n+k)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k}\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta -x\sin\theta)d\theta10. 将整理后的展开式中的求和式转化为连分数形式，即可得到贝塞尔公式：J_n(x) = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \cos(n\theta - x\sin\theta)d\theta结论：通过上述推导过程，我们可以将贝塞尔公式从指数函数的展开式推导得到，将其转化为连分数形式。
第7章贝塞尔(Bessel)函数
(4) 三类函数的关系:
Jν
(x)
=
1 2
⎡⎣ Hν(1)
(x)
+
Hν( 2 )
( x) ⎤⎦
Nν
(x)
=
1 2i
⎡⎣Hν(1) (x)
−
Hν(2) (x)⎤⎦
15
7.2 贝塞尔函数的母函数,递推关系等
1. 母函数
P68, 例3.4.2
∑ ∑ ∑ f
( x, t )
=
x (t−1)
e2 t
=
∞ n=−∞
k =0
s=0
k =0
s=0
k =0
要使上式在 z < R 的区域内成立，左边 z 的各次幂的系数必须等于零。
5
由 z 的最低次幂的系数为零得：
C0[ρ(ρ −1) + a0ρ + b0 ] = 0
( a0 , b0 已知)
C0 ≠ 0 ⇒ ρ(ρ −1) + a0 ρ + b0 = 0
(10)
—— ρ 的二次方程，指标方程
k =0
k+v
=
∞
C2n X
n=0
2n+v
=
∞ n=0
(−1)n Γ(ν 22n n!Γ(ν
+ 1)C0 + n +1)
X
2 n +ν
另一个特解为: (ρ2 = −ν )
∑ ∑ ∑ y2(x) =
∞
Ck X k −ν
k =0
=
∞
C2n X 2n−ν
n=0
=
∞ (−1)n Γ(−ν +1)C0 n=0 22n n!Γ(−ν + n +1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
该方程也可在笛卡尔坐标系下分离变量。考虑其中的一个
特解——沿 z 轴正方向传播的平面波 eikz = e ikrcos 。作为 方程 (8-3-1) 的一个特解，它能用球面波展开成式 (15) 的 形式。 由于它有绕 z 轴转动的对称性，不依赖于方位角
，因此展开式中只有 m = 0 的项，从而使球函数 Yl m ( ,) 退化为勒让德多项式。所以，有
e
i
x
(14)
h2(2) (x)
3i x3
3 x2
i x
e
i
x
(二) 平面波用球面波展开
球面波的径向传播函数
R(r)
可以写成
h(1) l
(kr
)
和
hl(2) (kr)
的线性组合，也可以写成 jl (kr) 和 nl (kr) 的线性组合。注
意到 jl (kr) 在 r = 0 收敛，而 nl (kr) 在 r = 0 发散。因此，
宗量的三角函数称为双曲函数一样，虚宗量的贝塞尔函 数称为双曲贝塞尔函数。
双曲函数
1. 第一类和第二类双曲贝塞尔函数 第一类和第二类双曲贝塞尔函数的定义分别为
(18) (19)
它们是在贝塞尔方程 (9-1-1) 中作代换 x = iz 得到的方程
z2
d2y dz 2
z
dy dz
(z2
m2 ) y
0
(20)
(9)
jl (x) 称为球贝塞尔函数。
半整数阶球贝塞尔函数可用三角函数表示，例如
j0
(
x)
sin x
x
j1 ( x)
sin x x2
cos x
x
j2 (x)
3 x3
1 x
sin
x
3 x2
cos
x
(10)
由于 阶贝塞尔方程的独立解既可取作 J− (x) ，也可取为 N (x)。当 = l+1/2 为半整数时，两者仅相差一个正负号。
R(x) x1/ 2[c1Jl1/ 2 (x) c2 Jl1/ 2 (x)]
(7)
在 x = 0 处的有限解为
R(x) c1x1/ 2 Jl1/ 2 (x)
(8)
利用式 (5) 将上式换回到原来的变量，并令 c1 / 2 ，得
到球贝塞尔方程的有限解
Rl (r) jl (kr) 2kr Jl1/2 (kr)
jl (x) i nl (x)
h(2) l
(x)
jl (x) i nl (x)
(13)
头几个球汉克尔函数为：
h(1) 0
(x)
i
ei x x
h(2) 0
(
x)
i
ei x
x
h(1) 1
(
x)
i x2
1 x
ei
x
h(1) 2
(
x)
3i x3
3 x2
i x
ei
x
h1(2) (x)
i x2
1 x
eikrcos Al jl (kr)Pl (cos )
(16)
l0
利用勒让德多项式的正交归一性，可求得展开系数
Al (2l 1)il
由此得到
eikrcos (2l 1) il jl (kr)Pl (cos )
(17)
l0
(三) 双曲贝塞尔函数 在很多问题中会用到虚宗量的贝塞尔函数。正像虚
如果 r = 0，则在所讨论的区域之内， nl (kr) 的系数为零，
只剩下 jl (kr) 。将它和后面的式 (16) 一起代入式 (3)，得到
三维波动方程 (1) 的解的空间部分
l
u(r, ,)
Al m jl (kr)Yl m ( ,)
(15)
l0 ml
式 (15) 是将方程 (1) 在球坐标系下分离变量得到的解。
x2
d2y dx2
x
dy dx
x2
1 3
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
(27)
它的两个线性独立解是 K1/3 和 (A I1/3 + B I−1/3)。由此得到 艾里方程的两个线性独立解
(28)
(29)
Re[Ai(z)] 的图像
Im[Ai(z)] 的图像
Re[Bi(z)] 的图像
Im[Bi(z)] 的图像
事实上，由诺依曼函数的定义，可得到
Nl1/ 2
Jl1/2 (x) cos(l 1/ 2) sin(l 1/ 2)
J(l1/ 2) ( x)
(1)l1 J(l1/ 2) (x)
然后利用式 (5)，还原为原变量，并乘以 ，这样得
2kr
到方程 (3) 的另一个独立解
nl (kr) (1)l1
2kr J(l1/ 2) (kr)
的解。
由贝塞尔函数和诺依曼函数的渐近表达式得到 Im 和 Km 的渐进表达式：
(21)
(22) Im 和 Km 有多种不同的积分表达式：
(23)
(24)
2. 艾里函数 (Airy function) 在量子力学一维问题中，将势能曲线和总能量的交
点称为“经典转折点”。在经典转折点 a 的小区间内， 可以将势能 U(x) 作泰勒展开，只保留第一项，得到线性 势 U(x) − U(a) = F ∙ (x − a)。
在线性势中，薛定谔方程可以简化为 w'' zw 0 ——艾里函数
其中 w = w(z) 是约化的波函数。
作变换：
t z3/2 , y(t) 1 w(z)
(25)
z
艾里方程变为
t2
d2y dt 2
t
dy dt
2t 3
2
1 3
2
0
(26)
再令
2t x
3
艾里方程就化为 1/3 阶虚宗量贝塞尔方程，即
(3)
dr dr
T '' c2k 2T 0
(4)
方程 (3) 与贝塞尔方程 (9-1-1) 有些相似，希望把它化
为贝塞尔方程的标准形式。为此，作自变量的变换
xkr
(5)
于是得到方程
x2R '' 2xR ' [x2 l(l 1)]R 0
(6)
方程 (6) 就是§7–4 例1中求解过的球贝塞尔方程，它的 通解可用半整数阶的贝塞尔函数表示，即
§9–3 球贝塞尔函数双曲贝塞尔函数
(一) 球面波的径向传播 在§8–3 中研究三维球面电磁波的传播时，仅讨论了球
面波的角向分布。现在来讨论径向传播问题。 决定球面波径向传播的方程 (参见 8-3-4) 为
(1)
分离变量，令 (2)
将式 (2) 代入式 (1) ，得到以下两个常微分方程：
d (r2 dR ) k 2r2R l(l 1)R
(11)
上式称为 l 阶球诺依曼函数。头几个球诺依曼函数为：
n0
(
x)
cos x
x
n1 ( x)
cos x2
x
sin x
x
n2 (x)
3 x3
1 x
cos
x
3 x2
sin
x
(12)
代替球贝塞尔函数和球诺依曼函数，可以取球汉克尔函
数作为方程 (6) 的两个线性独立解。它们的定义是
h(1) l
(x)