高级春招数学试题
2024春季高考数学试卷
2024春季高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设集合A = {xx^2 - 3x + 2 = 0}，B={1,2}，则A与B的关系是（）A. A⊂neqq BB. A = BC. B⊂neqq AD. A∩ B=varnothing2. 函数y = sin(2x+(π)/(3))的最小正周期是（）A. πB. 2πC. (π)/(2)D. (2π)/(3)3. 若向量→a=(1,2)，→b=(x,4)，且→a∥→b，则x = （）A. 2B. -2C. (1)/(2)D. -(1)/(2)4. 已知等差数列{a_n}中，a_1 = 1，公差d = 2，则a_10=（）A. 19B. 20C. 21D. 225. 过点(1,1)且斜率为2的直线方程为（）A. y - 1=2(x - 1)B. y+1 = 2(x + 1)C. y-1=(1)/(2)(x - 1)D. y+1=(1)/(2)(x + 1)6. 在ABC中，若a = 3，b = 4，sin A=(3)/(5)，则sin B=（）A. (4)/(5)B. (1)/(5)C. (1)/(2)D. (3)/(4)7. 函数y = x^2 - 2x - 3在区间[0,3]上的最小值是（）A. - 4B. -3C. -1D. 08. 若log_a2=m，log_a3=n，则log_a12=（）A. m + nB. 2m + nC. m+2nD. 2m + 2n9. 椭圆frac{x^2}{16}+frac{y^2}{9}=1的离心率e=（）A. (√(7))/(4)B. (√(7))/(3)C. (3)/(4)D. (4)/(3)10. 从5名男生和3名女生中选3人参加某项活动，要求既有男生又有女生，则不同的选法有（）种。
A. 45B. 30C. 15D. 75二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 计算(1 + i)(2 - i)=_3 + i。
高等学校春季招生考试(学业水平考试)数学试题 含答案
上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考试注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。
2.本试卷共有31道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。
一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1. 函数2log (2)y x =+的定义域是2. 方程28x=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =-，。
若//a b ，则实数 k =6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是8. 在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）。
11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，D 1C 1B 1A 1D C AB选对得3分，否则一律得0分。
13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）（A ）a b d c(B)a cb d(C)a db c(D)b a d c14.设-1()f x为函数()f x =）(A) 1(2)2f -= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f -= (D) 1(4)4f -= 15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-，(B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12()f x x -=的大致图像是（ ）17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）(A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ） （A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ）（A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）uZN （B ）uNN （C ）()u u ∅ （D ）{0}u23.已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
2024广东春季高考数学试卷
2024广东春季高考数学试卷一、选择题（每题5分，共40分）1. 已知集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {x | x² - 5x + 6 = 0}，则A ∩ B =（）A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 4}答案：B。
解析：先求解集合B中的方程x² - 5x+6 = 0，即(x - 2)(x - 3)=0，解得x = 2或x = 3，所以 B = {2, 3}，A ∩ B就是A和B共有的元素，所以A ∩ B = {2, 3}。
2. 函数y = sin(2x + π/3)的最小正周期是（）A. πB. 2πC. π/2D. 4π答案：A。
解析：对于函数y = A sin(ωx+φ)，其最小正周期T = 2π/ω，这里ω = 2，所以T = 2π/2 = π。
3. 若向量a=(1, 2)，向量b=(x, 4)，且a∥b，则x的值为（）A. 2B. - 2C. 1/2D. -1/2答案：A。
解析：两个向量平行，对应坐标成比例，即1/x = 2/4，解得x = 2。
4. 在等差数列{an}中，a1 = 1，d = 2，那么a5等于（）A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A。
解析：根据等差数列通项公式an=a1+(n - 1)d，这里n = 5，a1 = 1，d = 2，所以a5 = 1+(5 - 1)×2 = 1 + 8 = 9。
二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数y = log2(x - 1)的定义域是（）。
答案：(1, +∞)。
解析：对数函数中真数要大于0，即x - 1>0，解得x>1。
2. 过点(1, 2)且斜率为3的直线方程为（）。
答案：y - 2 = 3(x - 1)，即y = 3x - 1。
解析：根据直线的点斜式方程y - y1 = k(x - x1)，这里(x1,y1)=(1,2)，k = 3。
2024广东春季高考数学测试卷
2024广东春季高考数学测试卷一、选择题（每题5分，共30分）已知集合A={x∣x2−4x−5≤0},B={x∣2<x<9}，则A∩B=A. (2,5]B. [1,9)C. [−1,9)D. [−1,5]函数y=log2(x2−2x−3)的定义域为A. (−1,3)B. (−∞,−1)∪(3,+∞)C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. (−1,3]若直线l过点(1,2)且与直线2x−y+1=0垂直，则直线l的方程为A. x+2y−5=0B. 2x+y−4=0C. x−2y+3=0D. y−2x=0已知sinθ+cosθ=51，则sin2θ=A. −2524B. −257C. 257D. 2524已知椭圆a2x2+b2y2=1(a>b>0)的离心率为23，且过点(3,21)，则椭圆的长轴长为A. 23 B. 4 C. 25 D. 26下列命题中，真命题是A. 若a,m,b成等差数列，则a,m2,b成等比数列B. 若a,m,b成等比数列，则a,m,b成等差数列C. 若a,m,b既成等差数列又成等比数列，则a=bD. 若a,m,b既成等差数列又成等比数列，则a,m,b中必有一个数为0二、填空题（每题5分，共15分）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1和x=−1处取得极值，则a+b= _______。
已知向量a=(2,−1),b=(1,λ)，若a⊥b，则λ= _______。
在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a=3,b=4,cosC=21，则sinA= _______。
三、解答题（共55分）（10分）求函数f(x)=31x3−x2+2的单调区间和极值。
（12分）已知椭圆C:a2x2+b2y2=1(a>b>0)的左焦点为F(−c,0)，右顶点为A(a,0)，且ΔAOF（其中O为坐标原点）的面积为21。
（1）求椭圆C的离心率；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点，且以MN为直径的圆过点A，求实数m的取值范围。
春考数学试题及答案
春考数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。
A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求a5的值。
A. 17B. 14C. 11D. 8答案：A3. 若直线l的方程为y=2x+1，求该直线与x轴的交点坐标。
A. (-1/2, 0)B. (1/2, 0)C. (0, 1)D. (0, -1)答案：B4. 已知圆C的方程为(x-2)^2+(y+1)^2=9，求圆心C到直线l：x+y=0的距离。
A. √2B. √5C. 2√2D. 3√2答案：C5. 若复数z=1+i，求|z|的值。
A. √2B. 2C. √5D. 1答案：A6. 已知向量a=(3, -2)，b=(2, 4)，求向量a与向量b的数量积。
A. 2B. -2C. 10D. -10答案：D7. 若函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f'(x)的值。
A. 3x^2-6xB. x^2-6x+2C. 3x^2-6x+2D. x^3-3x^2+2答案：C8. 已知双曲线C的方程为x^2/4-y^2=1，求双曲线的焦点坐标。
A. (±√5, 0)B. (±2, 0)C. (0, ±√5)D. (0, ±2)答案：A9. 若抛物线C的方程为y^2=4x，求抛物线C的准线方程。
A. x=-1B. x=1C. y=-1D. y=1答案：A10. 已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，求f(0)的值。
A. 3B. 1C. 2D. 0答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，求b4的值。
答案：212. 若函数f(x)=x^2-6x+8，求该函数的最小值。
答案：213. 已知椭圆C的方程为x^2/16+y^2/9=1，求椭圆的离心率。
答案：√7/814. 若直线l的方程为3x-4y+5=0，求该直线的斜率。
普通高等学校春季招生考试数学试卷
普通高等学校春季招生测试数学试卷一. 填空题〔本大题总分值048分〕1. 计算：=+-∞→3423limn n n . 2. 方程1)12(log 3=-x 的解=x .3. 函数]1,0[,53)(∈+=x x x f 的反函数=-)(1x f .4. 不等式0121>+-x x的解集是 . 5. 圆)0()5(:222>=++r r y x C 和直线053:=++y x l . 假设圆C 与直线l 没有公共点,那末r 的取值范围是 .6. 函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数. 当)0,(∞-∈x 时,4)(x x x f -=,那末 当),0(∞+∈x 时,=)(x f .7. 电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首 尾必须播放公益广告,那末共有 种不同的播放方式〔结果用数值表示〕. 8. 正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,那末其体积为 .9. 在△ABC 中,5,8==AC BC ,三角形面积为12,那末=C 2cos .10. 假设向量b a、的夹角为 150,4,3==b a ,那末=+b a 2 . 11. 直线l 过点)1,2(P ,且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于B A 、两点,O 为坐标原 点,那末三角形OAB 面积的最小值为 .12. 同学们都知道,在一次测试后,如果按顺序去掉一些高分,那末班级的平均分将降低； 反之,如果按顺序去掉一些低分,那末班级的平均分将提升. 这两个事实可以用数学语 言描述为：假设有限数列na a a ,,,21满足na a a ≤≤≤ 21,那末〔结论用数学式子表示〕. 二．选择题〔本大题总分值016分〕13．抛物线x y 42=的焦点坐标为 〔 〕A ．)1,0(.B ．)0,1(.C ．)2,0(.D ．)0,2(.14. 假设b a c b a >∈,R 、、,那末以下不等式成立的是〔 〕A ．b a 11<.B ．22b a >.C ．1122+>+c b c a . D ．||||c b c a >.15. 假设R ∈k ,那末“3>k 〞是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线〞的 〔 〕 A ．充分不必要条件. B ．必要不充分条件.C ．充要条件.D ．既不充分也不必要条件.16. 假设集合131,11,2,01A y y x x B y y x x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪==-≤≤==-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭,那末A ∩B 等于 〔 〕A ．]1,(∞-.B ．[]1,1-.C ．∅.D ．}1{.三．解做题〔本大题总分值086分〕本大题共有6题,解答以下各题必须写出必要的步骤. 17. (此题总分值12分)在长方体1111D C B A ABCD -中, 3,41===DD DC DA ,求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小〔结果用反三角函数值表示〕.18. (此题总分值12分) 复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位〕,|2|5-+=w wz ,求一个以z 为根的实系数一元二次方程.19. (此题总分值14分) 此题共有2个小题,第1小题总分值8分,第2小题总分值6分.函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ,2,cos 26sin 2)(x x x x f .〔1〕假设54sin =x ,求函数)(x f 的值； 〔2〕求函数)(x f 的值域.20. (此题总分值14分)此题共有2个小题,第1小题总分值6分,第2小题总分值8分.学校科技小组在计算机上摹拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行〔按顺时针方向〕的轨迹方程为12510022=+y x ,变轨〔即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线〕后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、⎪⎭⎫ ⎝⎛764,0M 为顶点的抛物线的实线局部,降落点为)0,8(D . 观测点)0,6()0,4(B A 、同时跟踪航天器.〔1〕求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； 〔2〕试问：当航天器在x 轴上方时,观测点B A 、测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令？21. (此题总分值16分)此题共有3个小题,第1小题总分值4分,第2小题总分值6分,第3小题总分值6分. 设函数54)(2--=x x x f . 〔1〕在区间]6,2[-上画出函数)(x f 的图象；〔2〕设集合{}),6[]4,0[]2,(,5)(∞+-∞-=≥= B x f x A . 试判断集合A 和B之间的关系,并给出证实；〔3〕当2>k 时,求证：在区间]5,1[-上,3y kx k =+的图象位于函数)(x f 图象的上方.22. (此题总分值18分)此题共有3个小题,第1小题总分值4分,第2小题总分值8分. 第3小题总分值6分. 数列3021,,,a a a ,其中1021,,,a a a 是首项为1,公差为1的等差数列；201110,,,aa a 是公差为d 的等差数列；302120,,,a a a 是公差为2d 的等差数列〔0≠d 〕.〔1〕假设4020=a,求d ；〔2〕试写出30a 关于d 的关系式,并求30a 的取值范围；〔3〕续写数列,使得403130,,,a a a 是公差为3d 的等差数列,……,挨次类推,把数列推广为无穷数列. 提出同〔2〕类似的问题〔〔2〕应当做为特例〕,并进行研究,你能得到什么样的结论？2022年上海市普通高等学校春季招生测试数 学 试 卷参考答案及评分标准一．〔第1至12题〕每一题正确的给4分,否那末一律得零分.1.43. 2. 2. 3. []8,5),5(31∈-x x . 4. ⎪⎭⎫⎝⎛-21,1.5. )10,0(.6. 4x x --. 7. 48. 8. 316.9. 257. 10. 2. 11. 4.12. )1(2121n m naa a m a a a n m <≤+++≤+++ 和 )1(2121n m naa a m n a a a n n m m <≤+++≥-+++++ 二．〔第13至16题〕每一题正确的给4分,否那末一律得零分.题 号13 14 15 16 代 号 B C A B三．〔第17至22题〕17. [解法一] 连接D A 1,D BA C B D A 111,//∠∴ 为异面直线B A 1与C B 1所成的角. ……4分连接BD ,在△DB A 1中,24,511===BD D A B A , ……6分那末DA B A BD D A B A D BA 112212112cos ⋅⋅-+=∠ 259552322525=⋅⋅-+=. ……10分∴ 异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos . ……12分[解法二] 以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、1DD 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系. ……2分 那末 )0,4,0()3,4,4()0,4,4()3,0,4(11C B B A 、、、,得 )3,0,4(),3,4,0(11--=-=C B B A . ……6分设B A 1与C B 1的夹角为θ,那末259cos 1111=⋅⋅=C B B A CB B A θ, ……10分 ∴ B A 1与C B 1的夹角大小为259arccos ,即异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为259arccos . ……12分18. [解法一] i 2i21i34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w , ……4分 i 3|i |i25+=-+-=∴z . ……8分 假设实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ,那末必有共轭虚根i 3-=z . 10,6=⋅=+z z z z ,∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分 [解法二] 设i b a w +=R)(∈b a 、 b a b a 2i 2i 34i +-=-+,得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴⎩⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w , ……4分以下解法同[解法一].19. [解]〔1〕53cos ,,2,54sin -=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=x x x ππ , ……2分x x x x f cos 2cos 21sin 232)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ……4分 x x cos sin 3-=53354+=. ……8分 〔2〕⎪⎭⎫ ⎝⎛-=6sin 2)(πx x f , ……10分ππ≤≤x 2 , 6563πππ≤-≤∴x , 16sin 21≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤πx ,∴ 函数)(x f 的值域为]2,1[. ……14分 20. [解]〔1〕设曲线方程为7642+=ax y , 由题意可知,764640+⋅=a . 71-=∴a . ……4分∴ 曲线方程为764712+-=x y . ……6分〔2〕设变轨点为),(y x C ,根据题意可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+)2(,76471)1(,125100222x y y x 得036742=--y y ,4=y 或者49-=y 〔不合题意,舍去〕.4=∴y . ……9分 得 6=x 或者6-=x 〔不合题意,舍去〕.∴C 点的坐标为)4,6(, ……11分4||,52||==BC AC .答：当观测点B A 、测得BC AC 、距离分别为452、时,应向航天器发出变轨指令. ……14分 21. [解]〔1〕……4分〔2〕方程5)(=x f 的解分别是4,0,142-和142+,由于)(x f 在]1,(-∞-和]5,2[上单调递减,在]2,1[-和),5[∞+上单调递增,因此(][)∞++-∞-=,142]4,0[142, A . ……8分由于A B ⊂∴->-<+,2142,6142. ……10分〔3〕[解法一] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f .)54()3()(2++--+=x x x k x g)53()4(2-+-+=k x k x436202422+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=k k k x , ……12分 ∴>,2k 124<-k . 又51≤≤-x , ① 当1241<-≤-k ,即62≤<k 时,取24k x -=, min )(x g ()[]6410414362022---=+--=k k k . 064)10(,64)10(1622<--∴<-≤k k ,那末0)(min >x g . (14)分 ② 当124-<-k ,即6>k 时,取1-=x , min )(x g ＝02>k . 由 ①、②可知,当2>k 时,0)(>x g ,]5,1[-∈x .因此,在区间]5,1[-上,)3(+=x k y 的图象位于函数)(x f 图象的上方. ……16分[解法二] 当]5,1[-∈x 时,54)(2++-=x x x f .由⎩⎨⎧++-=+=,54),3(2x x y x k y 得0)53()4(2=-+-+k x k x , 令 0)53(4)4(2=---=∆k k ,解得 2=k 或者18=k , ……12分在区间]5,1[-上,当2=k 时,)3(2+=x y 的图象与函数)(x f 的图象只交于一点)8,1(； 当18=k 时,)3(18+=x y 的图象与函数)(x f 的图象没有交点. ……14分如图可知,由于直线)3(+=x k y 过点)0,3(-,当2>k 时,直线)3(+=x k y 是由直线)3(2+=x y 绕点)0,3(-逆时针方向旋转得到. 因此,在区间]5,1[-上,)3(+=x k y 的图象位于函数)(x f 图象的上方. ……16分22. [解]〔1〕3,401010.102010=∴=+==d d a a . …… 4分〔2〕())0(11010222030≠++=+=d d d d a a , …… 8分⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432110230d a , 当),0()0,(∞+∞-∈ d 时,[)307.5,a ∈+∞. …… 12分 〔3〕所给数列可推广为无穷数列{}n a,其中1021,,,a a a 是首项为1,公差为1的等差数列,当1≥n 时,数列)1(1011010,,,++n n n a a a 是公差为n d 的等差数列. …… 14分研究的问题可以是：试写出)1(10+n a关于d 的关系式,并求)1(10+n a 的取值范围.……16分 研究的结论可以是：由()323304011010d d d d a a+++=+=, 挨次类推可得 ()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--⨯=+++=++.1),1(10,1,11101101)1(10d n d d d d d an n n 当0>d 时,)1(10+n a 的取值范围为),10(∞+等. …… 18分。
高中春季高考数学试卷
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则函数f(x)的图像是（）A. 上升的直线B. 下降的直线C. 平行于x轴的直线D. 平行于y轴的直线2. 若等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则第10项an = （）A. 21B. 22C. 23D. 243. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=5，b=7，cosB=1/2，则sinC的值为（）A. √3/2B. √3/4C. √3/6D. √3/34. 下列不等式中正确的是（）A. x^2 + 1 > 0B. x^2 - 1 > 0C. x^2 + 1 < 0D. x^2 - 1 < 05. 已知复数z = 2 + 3i，则|z| = （）A. 5B. 2C. 3D. 1二、填空题（每题5分，共25分）6. 若log2(3x - 1) = 2，则x = _______。
7. 函数f(x) = (x - 1)^2 + 1在x = 1时的值为 _______。
8. 若等比数列{bn}的首项b1 = 1，公比q = 2，则第5项bn = _______。
9. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x + 6y + 9 = 0，则圆心坐标为 _______。
10. 若sinα = 3/5，且α在第二象限，则cosα = _______。
三、解答题（共55分）11. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数f(x)的图像与x轴的交点坐标。
12. （15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且S1 = 1，S2 = 3，S3 = 7，求通项公式an。
13. （15分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=6，b=8，c=10，求角B的正弦值。
14. （15分）已知复数z = 2 - 3i，求复数z的模|z|。
山东省春季高考数学试卷(含解析)
山东省春季高考数学试卷一、选择题1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于( )A. ?B. {1}C. {2}D. {1，2}2 •函数■，-= -p_—的定义域是( )A. [ - 2, 2] B .( — s, —2] U [2 , +R) C. (- 2, 2) D.( — s, —2)U( 2, +3. 下列函数中，在区间（-s, 0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C. .D. y=|x|4. 二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2x2+8x - 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2x2+4x+35. 等差数列{a n}中，a=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 326. 已知A ( 3, 0), B (2,1),则向量忑的单位向量的坐标是( )A. (1,-1)B. (- 1 , 1)7. “p V q为真”是“p为真”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件&函数y=cos2x - 4cosx+1的最小值是（）A.- 3B. - 2C. 5D. 69.下列说法正确的是（）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直A. 1B. 2C. - 1D. - 214.如果-:,:::..,那么.• |等于（）17.已知圆G 和C 2关于直线y= - x 对称，若圆C 的方程是 2 2 2 2 2 2 A. ( x+5) +y =2 B. x + (y+5) =4 C . (x - 5) +y =2 D . 18 .若二项式 f 三八的展开式中，只有第 4项的二项式系数最大，则展开式中的常数 项是（ ） A. 20B. - 20 C . 15D. - 1519 .从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技 能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为 （ ） 成绩分析表甲 乙 丙 丁平均成绩； 96 96 85 8510 .过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量j t :：，的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=011 .文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是 A. 72B. 120C. 144D. 28812.若a , b , c 均为实数，且 a v b v 0, 则下列不等式成立的是（2 2A. a+c v b+c B . ac v beC. a v bD .呼「「“'J13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若f (- 1) =g (9),则实数k 的值是（）A. — 18 B .-6 C. 0D. 1815.已知角 a 的终边落在直线 y= - 3x 上，则COS （ n +2 a ）的值是（B.16 .二元一次不等式 2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（（x+5） 2+y 2=4,则圆C 2的方程是2 2x + (y - 5) =4A.C .D.2 2' -(a>0, b>0)的两个顶点，以2 1 2 1 a b20.已知A, A为双曲线AA为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于M N两点，若△ A MN的面积为―，则该双曲线的离心率是( )2A.匚B. _C. _D.匚3 3 3 3二、填空题：21 .若圆锥的底面半径为1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于____________ .22 .在厶ABC中，a=2, b=3,Z B=2/ A 贝U cosA= ________ .2 223 .已知F i, F2是椭圆’< =1的两个焦点，过F i的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF16 36的周长等于_______ .24 .某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是_________ .■- x25 .对于实数m n,定义一种运算：，已知函数f (x) =a*a，其中0v a| n,V 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是______________ .三、解答题：26 .已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性；(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.27 .某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.28.已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示.(1)求证：DE//平面BCCB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.(1)求该函数的最小正周期;(2)求该函数的单调递减区间;(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.2 230.已知椭圆’的右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合，且椭圆的离心a2 b2率是，如图所示.(1)求椭圆的标准方程；(2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点A,过点A作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B,求线段AB的长.参考答案与试题解析一、选择题29.已知函数1已知全集U={1 , 2}，集合M={1}，则？U M等于（）A. ?B. {1}C. {2}D. {1 , 2}【考1F：补集及其运算.点】【分根据补集的定义求出M补集即可.析】【解解：全集U={1, 2}, 集合M={1}，则?U M={2}答】故选：C.2 •函数；.-=-p——的定义域是（）A. [ - 2, 2] B . （-a, - 2] U [2 , +R） C. （- 2, 2） D.（-汽-2）U（2, + OO）【考点】33:函数的定义域及其求法.【分析】根据函数y的解析式，列出不等式求出x的取值范围即可.【解答】解：函数丁二] ------ 2>0,即|x| >2,解得X V- 2或x > 2,•函数y的定义域是（-O,-2）U（2, +O）.故选：D.3.下列函数中，在区间（-O,0）上为增函数的是（）A. y=xB. y=1C.，-丄D. y=|x|【考点】3E:函数单调性的判断与证明.【分析】根据基本初等函数的单调性，判断选项中的函数是否满足条件即可.【解答】解：对于A函数y=x，在区间（-O, 0）上是增函数，满足题意；对于B,函数y=1，在区间（-O,0）上不是单调函数，不满足题意；对于C,函数y=—，在区间(-^, 0)上是减函数，不满足题意；x对于C,函数y=|x|，在区间(-8, 0)上是减函数，不满足题意.故选：A.4•二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3), (2, 3)且最大值是5,则该函数的解析式是( )A. f (x) =2x2- 8x+11B. f (x) =- 2X2+8X- 1C. f (x) =2x2- 4x+3D. f ( x )=-2X2+4X+3【考点】3W二次函数的性质.【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f (x) =a (x- 1) 2+5,代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决【解答】解：二次函数f (x)的图象经过两点(0, 3) , (2, 3),则对称轴x=1，最大值是5,可设 f (x) =a (x - 1) 2+5,于是3=a+5,解得a=- 2,故 f (x) =- 2 ( x - 1) 2+5= - 2x2+4x+3,故选：D.5.等差数列｛a n｝中，a1=- 5, a3是4与49的等比中项，且a3v 0,贝U a5等于( )A. - 18 B . - 23 C . - 24 D . - 32【考点】8F:等差数列的性质；84 :等差数列的通项公式.【分析】根据题意，由等比数列的性质可得( a s) 2=4X 49,结合解a s v 0可得a s的值，进而由等差数列的性质a5=2a3 - a1，计算即可得答案.【解答】解：根据题意，a a是4与49的等比中项，则(a3)2=4X 49,解可得a3=± 14,又由a3v 0,贝U a3= - 14,又由a1=- 5,则a5=2a3 —a1 = - 23,故选：B.6.已知A ( 3, 0), B (2, 1),则向量爲的单位向量的坐标是( )【考点】95:单位向量.【分析】先求出'.：；=(-1, 1),由此能求出向量：的单位向量的坐标. 【解答】解：••• A ( 3, 0) , B (2 , 1), •••：.；=(- 1, 1), •••丨：.；|=-,•••向量丁啲单位向量的坐标为( ―，丄一)，即(-二,—).|AB I |AB I 2 2故选：C.7•“p V q 为真”是“p 为真”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D .既不充分也不必要条件【考点】2L :必要条件、充分条件与充要条件的判断.【分析】由真值表可知：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题,故由充要条件定义知 为真”是“p 为真”必要不充分条件【解答】解：“ p V q 为真命题”则p 或q 为真命题，所以“p V q 为真”推不出“p 为真”，但“p 为真” 一定能推出“ p V q 为真”， 故“p V q 为真”是“p 为真”的必要不充分条件， 故选：B.&函数y=cosx - 4cosx+1的最小值是( )A.- 3B. - 2C. 5D. 6【考点】HW 三角函数的最值.【分析】利用查余弦函数的值域，二次函数的性质，求得y 的最小值.【解答】 解：T 函数 y=cos 2x - 4cosx+1= (cox - 2) 2- 3，且 cosx € [ - 1, 1]，故当 时，函数y 取得最小值为-2, 故选：B.A. ( 1, -1)B •(— 1 , 1)cosx=1 D.9. 下列说法正确的是（ ）A. 经过三点有且只有一个平面B. 经过两条直线有且只有一个平面C. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直D. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 【考点】LJ :平面的基本性质及推论.【分析】在A 中，经过共线的三点有无数个平面； 在B 中，两条异面直线不能确定一个平面； 在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直； 在D 中，由线面垂直的性质得经过平 面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.【解答】在A 中，经过不共线的三点且只有一个平面，经过共线的三点有无数个平面，故 A错误；在B 中，两条相交线能确定一个平面， 两条平行线能确定一个平面， 两条异面直线不能确定 一个平面，故B 错误；在C 中，经过平面外一点无数个平面与已知平面垂直，故C 错误；在D 中，由线面垂直的性质得经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直， 故D 正确.故选：D.10.过直线x+y+1=0与2x - y - 4=0的交点，且一个方向向量：1. 的直线方程是（ ）A. 3x+y -仁0B. x+3y - 5=0C. 3x+y - 3=0D. x+3y+5=0【考点】IB :直线的点斜式方程.【分析】 求出交点坐标，代入点斜式方程整理即可.由方向向量. ■得: 直线的斜率k= - 3, 故直线方程是：y+2= - 3 （x - 1）, 整理得：3x+y -仁0, 故选：A.11 •文艺演出中要求语言类节目不能相邻， 现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中【解答】解：由2x-y-4=0解得：X=1y=-2,任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（）A. 72B. 120C. 144D. 288【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，②、取出的 4 个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，分别求出每种情况下可以排出节目单的数目，由分类计数原理计算可得答案.【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、取出的4个节目都是歌舞类节目，有1种取法，将4个节目全排列，有A44=24种可能，即可以排出24个不同节目单，②、取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有C21G3=8种取法，将4个节目全排列，有A/=24种可能，则以排出8X 24=192个不同节目单，③、取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有G2G2=6种取法，将2个歌舞类节目全排列，有A2=2种情况，排好后有3个空位，在3个空位中任选2个，安排2个语言类节目，有A2=6种情况，此时有6 X 2X 6=72种可能，就可以排出72个不同节目单，则一共可以排出24+192+72=288个不同节目单，故选：D.12. 若a, b, c均为实数，且a v b v 0,则下列不等式成立的是（）A, a+c v b+c B . ac v be C. a2v b2 D.；.【考点】R3:不等式的基本性质.【分析】A由a v b v 0，可得a+c v b+c;B, c的符号不定，则ac, bc大小关系不定；C, 由a v b v 0,可得a2> b2;D, 由a v b v 0,可得-a>- b? .' I ;【解答】解：对于A由a v b v 0，可得a+c v b+c,故正确;对于B, c 的符号不定，则 ac , be 大小关系不定，故错;2 2对于C,由a v b v 0,可得a > b ,故错； 对于 D,由 a v b v 0,可得-a >- b? 一_ “ _i ,故错; 故选：A13.函数 f (x ) =2kx , g (x ) =log a x ,若 f (- 1) =g (9),则实数 k 的值是( )A. 1B. 2C. - 1D.- 2【考点】4H:对数的运算性质.【分析】由g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2- k ，解得即可. 【解答】 解：g (9) =log a 9=2=f (- 1) =2-k , 解得k= - 1, 故选：C14•如果 ||_5 ：,那么 * ］等于()A.- 18 B . - 6 C. 0D. 18【考点】9R 平面向量数量积的运算.【分析】由已知求出 「|及［与一的夹角，代入数量积公式得答案. 【解答】解： ••• _：：二 _；,且V 皿］：：：> =n .则一-j= 1=3 X 6X(- 1) = - 18.故选：A.15 .已知角a 的终边落在直线 y= - 3x 上，贝U COS ( n +2 a )的值是(【考点】GO 运用诱导公式化简求值； G9任意角的三角函数的定义. 【分析】由直线方程，设出直线上点的坐标，可求 COS a ,利用诱导公式，二倍角的余弦函 数公式可求COS ( n +2 a )的值.【解答】解：若角a 的终边落在直线y= - 3x 上, (1)当角a 的终边在第二象限时，不妨取x= - 1,则y=3 , r=寸.j.；ld = !:',C.A.B . 土 - D. b2 ■所以COS a = ^，可得COS ( n +2 a ) =- COS2 a =1 - 2COS a ="' ；V10 5（2）当角a的终边在第四象限时，不妨取x=1，则y= - 3,所以sin a =——,COS a =一，可得COS ( n +2 a ) = - COS2 a =1 - 2COS2% = 一‘ , V10V10 5故选：B.【考点】7B:二元一次不等式（组）与平面区域.【分析】禾U用二元一次不等式（组）与平面区域的关系，通过特殊点判断即可.【解答】解：因为（1, 0）点满足2x - y> 0,所以二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是： C.故选：C.17.已知圆G和C2关于直线y= - x对称，若圆C的方程是(x+5) 2+y2=4,则圆G的方程是( )A. ( x+5) 2+y2=2B. x2+ (y+5) 2=4C. (x - 5) 2+y2=2D. x2+ (y -5) 2=4【考点】J1:圆的标准方程.【分析】由已知圆的方程求出圆心坐标和半径，求出圆G的圆心关于y= - x的对称点，再由圆的标准方程得答案.【解答】解：由圆C的方程是（x+5）2+y2=4,得圆心坐标为（-5, 0）,半径为2,设点（-5, 0）关于y= - x的对称点为（x o, y o）,•••圆C2的圆心坐标为（0, 5）, 则圆C2的方程是x2+ （y - 5）2=4. 故选：D.18•若二项式讳勺展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数上■项是( )A. 20B. - 20 C • 15 D.- 15【考点】DB二项式系数的性质.则*，解得16.二元一次不等式2x - y >0表示的区域（阴影部分）是（【分析】先求出n的值，可得二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值.【解答】解：•二项式1’的展开式中只有第4项的二项式系数最大，•••n=6,x6—3r则展开式中的通项公式为T r+i=C6r? (- 1) r?x --------------- .令6- 3r=0，求得r=2，故展开式中的常数项为C62? (- 1) 2=15,故选：C.19•从甲、乙、丙、丁四位同学中选拔一位成绩较稳定的优秀选手，参加山东省职业院校技能大赛，在同样条件下经过多轮测试，成绩分析如表所示，根据表中数据判断，最佳人选为( )成绩分析表A.甲B.乙C.丙D. 丁【考点】BC极差、方差与标准差.【分析】根据平均成绩高且标准差小，两项指标选择即可.【解答】解：根据表中数据知，平均成绩较高的是甲和乙，标准差较小的是乙和丙, 由此知乙同学成绩较高，且发挥稳定，应选乙参加.故选：B.2 220.已知A, A为双曲线'(a>0, b>0)的两个顶点，以AA为直径的圆与双曲a2 b22线的一条渐近线交于M N两点，若△ A i MN 的面积为匚，则该双曲线的离心率是()2A W2B 座C -D 应~~3_ ~~3_~~3_【考点】KC 双曲线的简单性质.【分析】由题意求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求得A i (- a , 0)到直线渐近线的距离 d ,根据三角形的面积公式，即可求得△ AMN 的面积，即可求得 a 和b 的关 系，利用双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.【解答】解：由双曲线的渐近线方程 y= ± x ，设以A i A 为直径的圆与双曲线的渐近线 y=^a ax 交于M N 两点，△ A i MN 的面积S= x 2a x 丄=' ='，整理得：b= c ,2 c c 2 2贝H a 2=b 2 - c 2= • c 2, 即 a= c ,4 2双曲线的离心率e == _,故选B.二、填空题：21•若圆锥的底面半径为 1，母线长为3,则该圆锥的侧面积等于 3 n .【考点】L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台).【分析】圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2n ，则圆锥侧面积 S=n rl ，由此 能求出结果.【解答】 解：圆锥侧面展开图是一个扇形，半径为 I ，弧长为2 n r •••圆锥侧面积：［二厂二 丁n r|则A i (- a , 0)到直线y=—x 的距离d= aaXO-bXa |=ab=n X 1 X 3=3 n .故答案为：3 n ./ :jT H22.在△ ABC中，a=2, b=3,/ B=2/ A 贝U cosA=_4一【考点】HR余弦定理.【分析】由二倍角的正弦函数公式，正弦定理即可计算得解. 【解答】解：•••/ B=2/ A,• sin / B=2sin / Acos Z A,又T a=2, b=3,•由正弦定理可得：2 3 sinZ^A 2sin.ZAcos.ZA-sin Z A M 0, •- cos Z A==.4故答案为：一423.已知F1, F2是椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△ PQF的周长等于24【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】利用椭圆的定义|PF1|+|PF 2|=2a=12 , |QF1|+|QF2|=2a=12即可求得厶PQF的周长.【解答】解：椭圆——< =1的焦点在y轴上，则a=6, b=4,设厶PQF的周长为I ,16 36则l=|PF 2|+|QF2|+|PQ| ,=(|PF i|+|PF 2| ) + (|QF i|+|QF 2| )=2a+2a,=4a=24.• △ PQF的周长24 ,故答案为：24.24.某博物馆需要志愿者协助工作，若从6名志愿者中任选3名，则其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是【考点】CB古典概型及其概率计算公式.本事件个数：m・，一」=4,由此能求出甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率.【解答】解：某博物馆需要志愿者协助工作，从6名志愿者中任选3名，基本事件总数n=「| ,其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基本事件个数：m= 「4,•••其中甲、乙两名志愿者恰好同时被选中的概率是：m 4 1P= = =「故答案为：=乙两名志愿者恰好同时被选中包含的基【分析】先求出基本事件总数< 1，若f (t - 1 )> f ( 4t ),则实数t的取值范围是(-丄，2].3【考点】5B:分段函数的应用.【分析】求出f (x)的解析式，得出f (x)的单调性，根据单调性得出t - 1和4t的大小关系，从而可得t的范围.【解答】解：T 0 < a< 1,•••当x< 1 时，a x> a,当x > 1 时，a> a x,••• f (x)在(-g, 1]上单调递减，在(1, +8)上为常数函数, ••• f (t - 1)> f ( 4t),• t - 1 < 4t W 1 或t - 1 W 1 < 4t ,解得-—< t W—或厶--■ ■-:.3 4 4故答案为：(-_, 2].D1三、解答题:26. 已知函数f (x) =log 2 (3+x)- log 2 (3 - x),(1)求函数f ( x)的定义域，并判断函数 f (x)的奇偶性;(2)已知f (sin a ) =1，求a的值.【考点】4N:对数函数的图象与性质.(x) =log 2 (3+x) - log 2 (3 - x)有意义，则< 3即可,由 f (- x) =log 2 (3 - x)- log 2 (3+x) =- f (x)，可判断函数 f (x)为奇函数.(2 )令f (x) =1,即一’「，解得x=1 .即sin a =1,可求得a .【解答】解：(1)要使函数f (x) =log 2 ( 3+x)- log 2 (3 - x)有意义，则 '" ? - 3 25.对于实数m n,定义一种运算:的』m,叮口已知函数(x) =a*a x，其中0< a 【分析】(1 )要使函数1 3-x>0v x v 3,•••函数f (x)的定义域为(-3, 3);T f (- x) =log 2 (3-x) - log 2 ( 3+x) =- f (x)，•函数f ( x)为奇函数.(2 )令 f (x) =1,即 4 二，解得x=1 .• sin a =1,•- a=2k r } —^~,(k€ Z).27. 某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的倍，共需交纳20天.请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低.【考点】5D:函数模型的选择与应用.【分析】分别计算两种方案的缴纳额，即可得出结论.【解答】解：若按方案①缴费，需缴费50X 0.9=45万元；若按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中玄1=石,q=2, n=20,丄门-乡1 1•••共需缴费S20= - - =,_=219- =524288 - ,_ ~ 52.4 万元，~ 2 2 2•方案①缴纳的保费较低.28. 已知直三棱柱ABC- ABQ的所有棱长都相等，D, E分别是AB, AQ的中点，如图所示(1)求证：DE//平面BCGB;(2 )求DE与平面ABC所成角的正切值.【考点】Ml:直线与平面所成的角；LS:直线与平面平行的判定.【分析】(1 )取AC的中点F,连结EF, DF,贝U EF// CG, DF// BQ故平面DEF//平面BCCB i, 于是DE//平面BCCB i.(2)在Rt△ DEF中求出tan / EDF.【解答】(1)证明：取AC的中点F,连结EF, DF,•••D, E, F分别是AB AC, AC的中点，••• EF// CC, DF// BC,又DF A EF=F, AC A CC=C,•••平面DEF// 平面BCCB i,又DE?平面DEF,•DE//平面BCCB i.(2)解：• EF// CG, CC丄平面BCCB.•EF丄平面BCCB i,•••/ EDF是DE与平面ABC所成的角，设三棱柱的棱长为1,贝U DF= , EF=1,(1) 求该函数的最小正周期；(2) 求该函数的单调递减区间;29.已知函数y=3(sin27Txcci —cos2xsirrit7(3 )用“五点法”作出该函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【考点】HI :五点法作函数 y=Asin (3 x+$ )的图象；H2：正弦函数的图象. 【分析】(1)由已知利用两角差的正弦函数公式可得 y=3sin (2x-—),利用周期公式即6可得解.(2) 令 2k n + W 2x - W 2k n + ------------- , k € Z ,解得：k n +W x W k n +, k € Z ,可2 6 2 36得函数的单调递减区间.(3 )根据五点法作图的方法先取值，然后描点即可得到图象. TT ItIT【解答】解: (..一 . ' =3sin (2x - ^―),•••函数的最小正周期 T= =n .2x 兀71 T1257T 6 13K 122x -匹 60 7T Tn3H 22n y0 3-3(2)7t2k n + W 2x兀3兀 ”W 2k n + 一 , k € Z ,解得: 0 £.n+ . W x W k nk € Z ,•函数的单调递减区间为:[k 兀Tt +57T],k € Z ,描点、连线如图所示:30.已知椭圆. 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点F 重合，且椭圆的离心a 2b 2率是'，如图所示.2(1) 求椭圆的标准方程； (2)抛物线的准线与椭圆在第二象限相交于点 A ,过点A 作抛物线的切线I ,1与椭圆的另一个交点为B ，求线段AB 的长.【考点】KL :直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)根据题意得F (1, 0),即c=1,再通过e=l 及c 2=a 2 - b 2计算可得椭圆的方程；(2)将准线方程代入椭圆方程，求得 A 点坐标，求得抛物线的切线方程，由△ =0,求得k 的值，分别代入椭圆方程，求得 B 点坐标，利用两点之间的距离公式，即可求得线段 AB 的长.【解答】解：(1)根据题意，得F (1 , 0), ••• c=1, 又 e 「, • a=2,「. b 2=a 2 - c 2=3, 2 2故椭圆的标准方程为：：'一•=—_：4 33由A 位于第二象限，则 A (- 1,),3冥 + (—1 )过点A 作抛物线的切线I 的方程为：*r'由* /异，解得- 3，----- F --- -1U 3(2)抛物线的准线方程为x=- 1垃二T2 2即直线I : 4x - 3y - 4=0214x-3y-4=02整理得4 ' -=1整理得：ky2- 4y+4k+6=0 ,3当k=0,解得：y<_，不符合题意,当k=时，直线2[2 2x丄y ,直线与椭圆只有一个交点，不符合题意,当k z 0，由直线与抛物线相切，则△=0,(4k+6) =0,解得:k=「或k= - 2,当k= - 2时，直线I的方程为3y- I：= -2 (x+1),2 24‘，整理得：y-y=-2(s+l)则y1=,『2=--三，由以上可知点A (- 1 , ), B (―,- •),u 1 勺>0 W•••丨AB 丨= I 「: . 1：~ = ,V L19 wr 3呂！2 ' 19由-11192--19x +8x - 11=0，解得：X i=- 1 , X2= ,19(x+1),，整理得：（x+1）2=0,22。
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2018年重庆春招数学试卷
一、选择题（10×5=50）
1.设集合A={1，2，3}，B={2，4，6，8}，则A ∩B=（ ） A ．{2} B ．{2，3} C ．{1，2，3，4，6，8} D ．{1，3}
2.直线2y x =+的倾斜角是（ ）．
A ．π
6
B ．π4
C ．
2π3
D ．
3π4
3 sin75°cos30°﹣cos75°sin30°的值为（ ） A.1 B. C.
D.
4.在等比数列{a n }中，已知a 1=，a 5=9，则a 3=（ ） A ．1
B ．3
C ．±1
D ．±3
5.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c
,2,45,120===a B A =b 则 （ ）
A 、2
B 、3
3
2 C 、
3 D 、2
6. 设向量=（4，2），=（1，﹣1），则（2﹣）•等于（ ） A ．2
B ．﹣2
C ．﹣12
D ．12
7.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当x ≤0时，)(x f ＝２2x －x ，则)1(f 的值是（ ）
（A ）－1 （B ）－３ （C ）１ （D ）３ 8.某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是
A ．12+
B ．2
C ．
222+ D ．3
2
1
1
1
正视图
俯视图
侧视图
9. 设1
2log 3a =，0.3
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ln c π=，则 （ ） A. a b c << B. a c b << C. c a b <<
D.
b a
c <<
10. 已知233)26(21=+, 2333)212(321=++,23
333)2
20(4321=+++, ,
3025432133333=++++n , 则n =( )
A.8
B.9
C.10
D.11 二、填空题（5×5=25）
11、函数3log (1)y x =-的定义域是 .
12.若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________.
13、复数i i
z 213--=
=__________ 14、==+θθπ2cos ,3
1
)2sin(则
15、已知l o g (2)a y a x =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是______ 三、解答题（5×15=75）
16已知函数2f x x x ()sin sin π⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭.
（1）求函数)(x f y =的单调递增区间；
（2）若4
3f ()π
α-=
，求)4
2(π
α+f 的值.
17设数列是等差数列, 成等比数列。
(1).求数列的通项公式
(2).设,求前n项和Sn
18某校为了解校园安全管理专项活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“及格”、“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．等级不及格及格良好优秀
得分[70，90）[90，110）[110，130）[130，
150]
频数 6 a 24 b
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；
（Ⅲ）已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训，现再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中有1人为“优秀”的概率．
19四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PA 面⊥，垂足为点A ，
2==AB PA ，点M 是PD 的中点.
（1）求证：ACM PB 平面//； （2）求证：PAC BD 平面⊥； （3）求四面体MBC A -的体积.
20、已知函数f （x ）=a （x 2+1）+lnx ．
(1) 若曲线)(x f 在1=x 处的切线与062=+-y x 平行,求a 的值. （2）讨论函数f （x ）的单调性；。