高斯光束研究(可编辑修改word版)
高斯光束反射特性的实验研究
高斯光束反射特性的实验研究
近年来，随着高斯光束的广泛应用，其反射特性的研究也受到了越来越多的关注。
如何更好地探究高斯光束反射特性，优化工程应用，提高性能，已成为许多研究者共同追求的目标。
本文旨在结合实验研究深入探究高斯光束反射特性。
实验条件：首先，研究者将高斯光束通过一个独特的坐标装置分成两个高斯光束，分别为方向光束和反射光束，分别用竹片作为源光束和反射光束。
研究者使用两个激光距离计，一个在源光束上，一个在反射光束上，记录源光束和反射光束之间的距离以观测其反射特性。
同时，为了更好地测量反射特性，研究者设计了一种新型仪器，以实时监测和收集反射光束的距离以及光束强度，从而更加准确地观测到高斯光束的反射特性。
实验结果：经过实验，研究者发现，当源光束与反射光束之间的距离变化时，反射光束的强度也随着距离的变化而变化，反射光束的强度随着距离的增加而减弱，这表明，高斯光束在反射时具有减弱强度和按比例缩小的特性。
此外，研究者发现，源光束和反射光束之间的角度也可以影响反射光束的强度，随着源光束和反射光束之间的角度变大，反射光束的强度也会相应的减弱。
结论：本文通过实验研究，分析探究了高斯光束反射特性，包括距离和角度对反射光束的影响。
研究结果表明，高斯光束在反射时具有减弱强度和按比例缩小的特性，源光束和反射光束之间的角度也可以影响反射光束的强度。
本文研究结果可以为实际工程应用提供有效
的参考依据。
高斯光束的特性实验
实验二 高斯光束的测量一 实验目的1.熟悉基模光束特性。
2.掌握高斯光速强度分布的测量方法。
3.测量高斯光速的远场发散角。
二 实验原理众所周知，电磁场运动的普遍规律可用Maxwell 方程组来描述。
对于稳态传输光频电磁场可以归结为对光现象起主要作用的电矢量所满足的波动方程。
在标量场近似条件下，可以简化为赫姆霍兹方程，高斯光束是赫姆霍兹方程在缓变振幅近似下的一个特解，它可以足够好地描述激光光束的性质。
使用高斯光束的复参数表示和ABCD 定律能够统一而简洁的处理高斯光束在腔内、外的传输变换问题。
在缓变振幅近似下求解赫姆霍兹方程，可以得到高斯光束的一般表达式：()222()[]2()00,()r z kr i R z A A r z e e z ωψωω---=⋅ （6）式中，0A 为振幅常数；0ω定义为场振幅减小到最大值的1的r 值，称为腰斑，它是高斯光束光斑半径的最小值；()z ω、()R z 、ψ分别表示了高斯光束的光斑半径、等相面曲率半径、相位因子，是描述高斯光束的三个重要参数，其具体表达式分别为：()z ωω=（7） 000()Z z R z Z Z z ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（8）10z tg Z ψ-= （9） 其中，200Z πωλ=，称为瑞利长度或共焦参数（也有用f 表示）。
（A ）、高斯光束在z const =的面内，场振幅以高斯函数22()r z eω-的形式从中心向外平滑的减小，因而光斑半径()z ω随坐标z 按双曲线：2200()1z z Z ωω-= （10）规律而向外扩展，如图四所示高斯光束以及相关参数的定义图四（B ）、 在（10）式中令相位部分等于常数，并略去()z ψ项，可以得到高斯光束的等相面方程： 22()r z const R z += （11） 因而，可以认为高斯光束的等相面为球面。
（C ）、瑞利长度的物理意义为：当0z Z =时，00()Z ω。
在实际应用中通常取0z Z =±范围为高斯光束的准直范围，即在这段长度范围内，高斯光束近似认为是平行的。
高斯光束强度分布特性研究
第19期2018年10月No.19October，2018无线互联科技Wireless Internet Technology激光器自产生以来，已广泛应用于科学技术、通信、医学等各个领域。
高斯光束在激光器中的研究是更好地利用激光器的关键。
高斯光束(如厄米-高斯光束、拉盖尔-高斯光束[1]，可用于描述矩形和圆形对称下的高阶激光模，其性质已被人们深入研究。
高斯光束的束腰半径和位置、远场发散角、衍射放大系数和高斯光束通过透镜的变换规律是描述高斯光束基本特性的重要物理量和规律，也是激光物理教学的重要内容。
1 设计思想本文激光实验采用等距四点采光测量法[2]，激光光束被定义为垂直于光轴的截面上，强度分布为最大值e 的平方分之一。
在坐标轴上任意取4个点，其中一个点等于c ，其他3个点与该点差的绝对值相等，并且值相等，该值小于所测的光束半径，经过计算可得到强度分布。
通过搭建实验平台并调试，能够接收到高斯光斑。
这种方法的优势在于，它可以较为准确地判断这一被测量的光束是否为高斯光束，而且还能求出此光束的束径和径向强度分布。
系统方案流程如图1所示。
图1 系统方案流程2 实验结果2.1 实验原理等距四点采光测量法其实是一种基于等距离三点采光测量方法的新原理。
根据这个原理，只需要同时测量光束截面中任意相等间隔的4个点的光强，就可以定量地确定被测光束是否为高斯光束。
在高斯光束的情况下，可以根据四点强度给出高斯光束的光束直径和径向强度分布。
高斯光束的鉴别测量仪是一种基于四点法原理的新型仪器。
这种发明将阵列接收元件以及计算机技术有机地结合起来，可以同时对光束截面中等距坐标点的光强进行采光测量，并且可以对测量数据以及光谱图进行打印和说明，从而达到定量判别和测量高斯光束的目的[3]。
2.2 界面设计实验中采用CCD 来接收光斑，利用Matlab 对激光的输出特性进行GUI 界面设计，界面中可以对像素值、波长、束腰半径、传播距离等进行选择，通过设置不同的参数值，可以得到高斯光束传播距离不同时，振幅强度分布的示意图[4]。
第5讲 高斯光束
13
5.2 类透镜介质中的高斯光束
类透镜介质中k2 0，此时的简化波动方程为：
2 k 1 1 2 0 q z q z k i p z q z
S z 1 仍引入函数S z ： ，可以得到： q z S z
2 k 1 1 2 0 q z q z k 可得到简化的波动方程： i p z q z
2
5.1 均匀介质中的高斯光束
均匀介质可以认为是类透镜介质的一种特例，即k2 0时的类透镜介质， 此时简化波动方程为：
Johann Carl Friedrich Gauss (1777 ?
0 r2 E E0 exp 2 z z
8
5.1 均匀介质中的高斯光束
高斯光束基本特性
振幅分布特性
0 r2 exp 2 由高斯光束的表达式可以得到： E E0 z z
5.1 均匀介质中的高斯光束
E x, y, z
上面最后一个表达式中的两项，前一项是振幅项，后一项是相位项。
为什么是这个解？还有其他解吗？
7
5.1 均匀介质中的高斯光束
高斯分布：
在统计学中更多的被称为正态分布， 它指的是服从以下概率密度函数的分布：
2 x 1 f x, , exp 2 2 2
1/ e
2
Z
Z
即光束半径随传输距离的变化规律 为双曲线，在z 0时有最小值0 ， 这个位置被称为高斯光束的束腰位置。
9
5.1 均匀介质中的高斯光束
等相位面特性
第五章高斯光束
w (z) z 2 =1 2 w0 z0
2 2
《激光技术与应用》
5.3 基模高斯光束的相移和等相位面分布
基模高斯光束的相移特性由相位因子决定
r2 λz Φ ( x, y, z ) = k[ z + ] arctan( 2 ) 2 R( z ) πw0
它描述高斯光束在点(r,z)处相对于原点 0,0)处的相位滞后 处相对于原点( 它描述高斯光束在点 处相对于原点 处的相位滞后
(2L R1 R2 )2
镜面上基模的光斑尺寸
w1 = R ( R2 L) λL π L( R1 L )( R1 + R2 L)
2 1
2 R2 ( R1 L ) λL π L ( R2 L )( R1 + R 2 L )
14
14
w2 =
w0 =
λ L ( R1 L )( R2 L )( R1 + R 2 L ) π ( R1 + R 2 2 L ) 2
共焦腔与稳定球面腔的等价性 任一稳定的球面腔唯一地等价于某一共焦腔
《激光技术与应用》
其对应的共焦腔是唯一确定的。 假设实际稳定腔的参数为 R1 , R2 , L ，其对应的共焦腔是唯一确定的。 需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。 需要确定共焦腔的焦距及共焦腔的中心位置。 以共焦腔的中 点为坐标原点， 心o点为坐标原点，则同样有 ：
f2 R1 = z1 + , z1 f2 R2 = z2 + , z2 L = z2 z1
稳定球面腔和它的等价共焦腔
由上述方程联立可以求解： 由上述方程联立可以求解：
L(R2 L) z1 = 2L R1 R2
L(R1 L) z2 = 2L R1 R2 f =
高斯光束
•基本定律/概念o几何光学基本理论o概念与完善成像o光路计算/近轴系统o球面光学成像系统•理想光学系统o共线成像理论o基点与基面o物像关系o放大率o系统的组合o透镜•平面系统o平面镜成像o平行平板o反射棱镜o折射棱镜与光楔o光学材料•OS的光束限制o照相系统和光阑o望远镜的光束的选择o显微镜的光束限制o光学系统的景深•光度学/色度学o辐射量/光学量o传播中光学量的变化o系统像面的光照度o颜色分类/表现特征o颜色混合定律o颜色匹配o色度学中的几个概念o颜色相加原理o CIE标准色度学系统o均匀颜色空间•光路计算/像差o概述o光线的光路计算o轴上点球差•典型光学系统o眼睛系统o放大镜o显微镜系统o望远镜系统o目镜o摄影系统o显外形尺寸计算•现代光学系统o激光光学系统o傅里叶变换光学§8.1 激光光学系统激光自60年代初问世以来，由于其亮度高、单色性好、方向性强等优点，在许多领域得到了广泛应用。
例如激光加工、激光精密测量与定位、光学信息处理和全息术、模式识别和光计算、光通信等。
但无论激光在哪方面的应用，都离不开激光束的传输，因此研究激光束在各种不同介质中的传输形式和传输规律，并设计出实用的激光光学系统，是激光技术应用的一个重要问题。
一、高斯光束的特性在研究普通光学系统的成像时，我们都假定点光源发出的球面波在各个方向上的光强度是相同的，即光束波面上各点的振幅是相等的。
而激光作为一种光源，其光束截面内的光强分布是不均匀的，即光束波面上各点的振幅是不相等的，其振幅A与光束截面半径r的函数关系为其中A0为光束截面中心的振幅,w为一个与光束截面半径有关的参数,r为光束截面半径。
光束波面的振幅A呈高斯(Guass)型函数分布所以激光光束又称为高斯光束。
高斯光束的光斑延伸到无限远，其光束截面的中心处振幅最大，随着r的增大，振幅越来越小，因此我们常以r=w时的光束截面半径作为激光束的名义截面半径，并以w来表示，即当r=w时说明高斯光束的名义截面半径w是当振幅A下降到中心振幅A0的1/e时所对应的光束截面半径。
高斯光束测定实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 加深对高斯光束物理图像的理解；2. 学会对描述高斯光束传播特性的主要参数，即光斑尺寸、远场发散角的测量方法进行掌握；3. 学习体会运用微机控制物理实验的方法。
二、实验原理1. 高斯光束的传播特性高斯光束的振幅在传播平面上呈高斯分布，近场时近似为平面波，远场时近似为球面波。
高斯光束的振幅分布公式为：\[ I(r, z) = I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2(z)}\right) \]其中，\( I(r, z) \) 为距离光轴距离为 \( r \) 处，距离光束传播方向为 \( z \) 处的光强；\( I_0 \) 为光束中心处的光强；\( w_0 \) 为光束中心处的光斑尺寸。
光斑尺寸 \( w(z) \) 与光束中心处的光斑尺寸 \( w_0 \) 的关系为：\[ w(z) = w_0 \sqrt{1 + \left(\frac{z}{z_r}\right)^2} \]其中，\( z_r \) 为光束的瑞利长度。
2. 发散角的定义及测量光束的全发散角定义为光束中光强下降到中心光强的 \( 1/e \) 位置时，光束边缘与光轴所成的角度。
在远场情况下，光束的全发散角近似为：\[ \theta = \frac{1.22 \lambda}{w(z)} \]其中，\( \lambda \) 为光束的波长。
三、实验仪器与设备1. 激光器：输出波长为 \( \lambda = 632.8 \) nm 的红光激光；2. 凹面镜：曲率半径为 \( R = 50 \) cm；3. 平面镜：用于反射激光；4. 光电探测器：用于测量光强；5. 数据采集卡：用于采集光电探测器数据；6. 计算机：用于处理实验数据。
四、实验步骤1. 将激光器输出光束照射到凹面镜上，使光束经凹面镜反射后形成高斯光束；2. 将光电探测器放置在凹面镜后的某个位置，调整探测器位置，使探测器接收到的光强最大；3. 记录探测器接收到的光强 \( I \)；4. 根据公式 \( I = I_0 \exp\left(-\frac{2r^2}{w_0^2(z)}\right) \) 求解光斑尺寸 \( w_0 \)；5. 根据公式 \( \theta = \frac{1.22 \lambda}{w(z)} \) 求解发散角\( \theta \)；6. 重复步骤 3-5，改变探测器位置，记录不同位置的光强 \( I \) 和发散角\( \theta \)。
高斯光束
1．亥姆霍兹方程的波束解
波束场强在横截面上的分布形式是由具体激发条件确 定的．现在我们研究一种比较简单和常见的形式．这 种波束能量分布具有轴对称性，在中部场强最大，靠 近边缘处强度迅速减弱．设波束对称轴为z轴，在横 截面上具有这种分布性质的最简单的函数是高斯函数
e−
x
2+y w2
2
2
x2 + y2
（6.2）
ψ(x,y,z)是z的缓变函数．所谓缓变是相对于eikz而言的 .因 子eikz当z≤λ时已有显著变化，我们假设ψ(x,y,z),当z~λ时
变化很小，因此在它对z的展开式中可以忽略高次项5 .
电磁场的任一直角分量u(x,y)满足亥姆霍兹方程
∇2u + k 2u = 0
把
µ(x, y, z) = ψ (x, y, z)eikz
2
2
e −iφ
= µ0
w0 w
e−iφ
φ = arc tg 2z kw02
（6.14） （6.15）
11
把（6 .13）和（6 .14）代人（6 .2）和（6. 4）式 得光束场强函数
( ) µ
x, y, z
µ =
w0
−
x
2+y ω2
2
iΦ
w e e 0
( ) Φ
=
kz
+
§6 高斯光束
第一节所讨论的平面电磁波是具有确定传播方向， 但却广延于全空间中的波动 . 实际上应用的定向电磁 波除了要求它具有大致确定的传播方向外，一般还要 求它在空间中形成比较狭窄的射束，即场强在空间中 的分布具有有限的宽度 . 特别是在近年发展激光技术 中，从激光器发射出来的光束一般是很狭窄的光束 . 研究这种有限宽度的波束在自由空间中传播的特点对 于激光技术和定向电磁波传播问题都具有重要意义 . 本节我们从电磁场基本方程研究波束传播的特性 .
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高斯光束通过非线性介质的自聚焦现象摘要：随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（<100nm），而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。
非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。
该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。
本文主要研究高斯激光束通过非线性均匀绝缘介质后光强的改变。
由电磁场基本原理，推导出高斯光束是缓变振幅条件下波动方程的近似解，研究其在介质突变面处的反射透射。
重点研究高斯激光束在非线性介质中的传播问题，这一过程中有自聚焦现象。
研究过程主要采用数值计算方法用差分方程代替偏微分方程研究问题的数值解。
比较光强的变化。
关键词：高斯光束，非线性，自聚焦，差分方程一、引言随着信息技术和纳米技术的迅速发展，要求光信息存储器件中的最小信息位尺寸、大规模集成电路和微电子技术中的光刻线宽和光学显微镜的分辨率等均能达到纳米量级（<100nm ），而由于光衍射本身的限制，无法达到实际需求。
而通过非线性薄膜材料的研究，通过选择非线性强的光学薄膜材料，调节激光能量和控制薄膜厚度及结构，在非线性薄膜结构的出射面能使光斑尺寸进一步下降，实现纳米光斑。
该光斑通过近场耦合作用在信息存储薄膜或光刻薄膜上，从而实现纳米信息存储、纳米光刻或纳米成像。
实验中我们常常采用高斯光束作为光源进行问题研究。
高斯光束是波动方程在缓变振幅下的一个特解，非线性介质的折射率随光强的变化而变化，因而高斯光束通过非线性介质发生自聚焦和衍射现象，从而改变能量分布。
本文主要研究光强的变化， 通过具体数值建立数学模型，采用差分方程代替偏微分方程以求得问题的数值解，研究光束通过非线性介质后能量的变化。
二、预备知识 （一）波动方程波动理论认为，光是一定频率范围内的电磁波，其运动规律可用 Maxwell 方程组来描述：⎧ ∂⎪∇⨯ E = - B ⎪∂t ⎪∇ ⋅ D = ⎨∂ ⎪∇⨯ H = J + D (1-1)⎪ ∂t ⎪ ∇ ⋅ ⎩⎪B = 0其中， 上式中 为电场强度， 为电位移， 为磁场强度，为磁感应强度，一般情况下E D H B他们都是矢量且为时间空间坐标的函数，还满足物质方程：⎪D = 0 E + PM 0⎧⎨B = 0 (H + M )⎪⎪⎩J =E(1-2)式中 P 为电极化强度， J 为电流密度， 为自由电荷密度，为电导率， M 为磁化强度。
= 8.854 ⨯10-14AS / Vcm 真空中的介电常数 = 1.257 ⨯10-8VS / Acm 真空中的磁导率在线性极化情况下式中为介质的线性极化率。
P = 0 E在非磁，各向同性均匀介质中，= 0 ，在区域= 0j = 0 中，由(1-1)的第二式、(1-2)中第一式，有∇ ⋅ E ＝0 ，将(1-2)第二式代入(1-1)第一式，等式两边取旋度， 有∇⨯ ∇⨯∂(E )= -0 ∂t∇⨯ H(1-3)由(1-1)第三式、(1-2)第一、三式可得∂ ∂ ∇⨯ H =E +0E + P ∂t ∂t(1-4)将(1-4)代入(1-3)，由∇ ⨯（∇ ⨯ E ）=∇ (∇ ⋅ E ) - ∆E 可得∂∂2∂2∇(∇ ⋅ E )- ∆E = -E- E - P因为∇ ⋅ E ＝０，(1-5)整理后可得∂t0 0 ∂t 2 0 ∂t 2(1-5)∂∂2∂2 ∆E- E -E- P =0 0∂t对于无损介质（等效于= 0 ）有0 0 ∂t 2 0 ∂t 2(1-6)E - E 0P2式中c 为真空中的光速：∆ 1 ∂2 - c 2 ∂t 2 1 c 2 ∂2∂t 2=0(1-7)c 2 =(1-6)、(1-7)为线性光学的基本方程。
100(1-8)（二）赫姆霍茨方程激光光学中常用复数 E （公式中用 E 代替方便输入）表示电场强度： E =1*E + E 2(2-1)E ( x , y , z , t ) = E ( x , y , z ) e 介质的电极化强度也可以用复数表达式：it(2-2)1*P =(+ )(2-3)( x , y , z , t ) =()E x , y , z , t(2-4)( x , y , z ) =( )E x , y , z式中带“ * ”量为共轭量。
利用(2-1)—(2-5)式可将(1-7)式化为(2-5)∆ 2 2式中 为复折射率E ( x , y , z ) +k E ( x , y , z ) = 0(2-6)在标量场假设下，(2-6)式成为= 1+(2-7)()∆E ( x , y , z ) + 2k 2E ( x , y , z ) = 0在真空中， = 1，于是有∆E ( x , y , z ) + k 2E ( x , y , z ) = 0(2-8)、(2-9)式都称为赫姆霍茨方程。
（三）高斯光束表达式推导由前面分析可知稳态传输电磁场满足赫姆霍茨方程∆E ( x , y , z ) + k 2E ( x , y , z ) = 0式中 E ( x , y , z ) 与电场强度的复表式 E ( x , y , z , t ) 间有关系：E ( x , y , z , t ) = E ( x , y , z )e i t(2-8)(2-9)(3-1)(3-2)由数理方程基本知识可知，平面波和球面波都是（3-1）式的特解。
高斯光束则不同，它不是（3-1）式的精确解，而是在缓变振幅近似下的一个特解。
设E (r , z ) = 在 SVA （缓变振幅）近似下有∂AA (r , z )e -ikz(3-3)∂z kA ∂2 A ∂z 2k ∂A ∂z(3-4)利用(3-4)式可将(3-1)式在柱坐标(r ,, z ) 下写为∂2 A + 1 ∂A + 1∂2 A - ∂A =∂r 2 r ∂r r 2 ∂2 2ik ∂z0 (3-5)在旋转对称情况下 A 与无关，(3-5)式简化为如下的抛物方程∂2 A + 1 ∂A - ∂A =∂r 2 r ∂r 2ik ∂z0 (3-6)为了求得(3-6)式的一个特解，可设在 z = 0 处有一振幅为w 2 r ⎢⎥ ⎢ ⎩2A (r , z )z =0 = A (r , 0) = r 2 A 0e 0(3-7)的高斯光束，然后求在任意处 z 的 A (r , z ) 。
式中 A 0 为振幅常数，如果只考虑相对值， 则可由归一化条件求出。
定义为 z = 0 处场振幅减小到最大值 1的 r 值，称为腰斑e（或光腰，束腰），它是高斯光束光斑半径的最小值。
设试探解为2- f 2 ( z ) 2A (r , z ) = A 0 f 1 ( z ) e(3-8)式中 f 1 ( z ) 、 f 2 ( z ) 为待定函数，满足f 1 (0) = 将(3-8)式微分后代入(3-6)，整理得到f 2 (0) = 1(3-9)⎡ 2 f 2 ( z ) f ( z ) ikf '( z ) f ( z ) ⎤ ⎡ 2 f ( z ) f ( z ) ' ⎤2 1 + 2 1 4 2 r 2 - 1 2 2 + ikf 1 ( z )⎥ = 0 ⎣ 0 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦ (3-由(3-10)对任意 r 成立条件得到下面两个关系式 10)⎧ 2 f 2 ( z ) ' ⎪ 2+ ikf 2 ⎪ 0 ⎨( z ) = 0 ⎪ 2 f 1 ( z ) f 2 ( z ) + ikf ' ( z ) = 0⎪ 2 1 0d(3-11)式中 ' 表示 dz。
微分方程组(3-11)在边界条件为(3-9)式时的解为f ( z ) = f ( z ) = 1 = 11 21- i 2z k 21- i z Z0 0(3-12)式中-( )Z Z称为共交参数。
于是我们证明了，形如Z 0 = 1 k222=r 22 -0z(3-13)A (r , z ) = A 0 1- i z1-i eZ 0(3-14)的高斯光束是赫姆霍茨方程(3-1)在 SVA 近似下的一个特解。
其物理意义为：如果在z = 0 处有一形如(3-7)式的高斯光束，则它将以(3-14)式非均匀高斯球面波的形式在空间传播。
(3-14)式可改写为- r 2 -⎡ kr 2 ⎤A2( z )i ⎢ 2 R ( z ) -⎥A (r , z ) = 0 0 ez 式中⋅ e⎢⎣ ⎥⎦(3-15)⎛ z ⎫2( z ) = 01+ ⎪ ⎝ 0 ⎭ — — 高斯光束的光斑半径R ( z ) = z ⎛ z + Z 0 ⎫ — —高斯光束的等相面曲率半径Z z ⎪ ⎝ 0 = tan -1 z — — Z 0⎭高斯光束的相位因子(3-16)利用(3-16)式可将 E (r , z ) 改写为r 2-⎧⎪ ⎡ r 2⎤ ⎫⎪ A - 2i ⎨k ⎢ 2 R ( z ) + z ⎥-⎬ E (r , z ) = 0 0 e ( z ) ⋅ e ⎩⎪ ⎢⎣ ⎦⎥⎪⎭ ( z )相位部分振幅部分(3-17)r 2- ⎧⎪ ⎡ r 2 ⎤ ⎫⎪A - 2 i ⎨k ⎢ 2 R ( z ) + z ⎥--t ⎬E (r , z , t ) = 0 0 e ( z )⋅ e⎩⎪ ⎢⎣ ⎦⎥ ⎪⎭( z )(3-18)三、问题研究：相位部分振幅部分下面研究高斯光束在非线性薄膜介质中的折射系数透射系数的计算问题。
计算中物理量取常用单位。
如上图所示，为了使问题简单化，我们假设高斯光束垂直入射介质，非线性薄膜 介质绝缘，面积无穷大，厚度为 h 。
折射率表达式为：(r , I ) =0 +I I式中 I 为入射光光强。
在波动光学中，光强为振幅的平方。
0 、I 为常数。
(4-1)实际上值还与 z 有关，但由于待研究的非线性介质薄膜厚度极小，简化问题，我们默认非线性薄膜介质垂直方向值不随 z 的改变而改变。
我们将问题研究分为两个：⎧⎩E ⎪ 1、高斯光束在非线性薄膜上表面发生的反射透射 2、进入介质后光束的传播（一）光束在介质上表面反射透射光波是波长很短的电磁波，因此光的反射、折射现象就是电磁波在不同介质分界面上的反射、折射。
任何波动在两个不同介质分层面上的反射、折射都属边值问题， 因此电磁波在两种不同介质分界面上的反射与折射是由电磁场 E 和 B 在分界面上所满足的边值关系确定的。
边值关系：⎪ n ⋅ (D 2 - D 1)=⎪n ⨯( E 2 - E 1 ) = 0 ⎨n ⋅ ( B - B ) = 0 (4-2)⎪ 2 1 ⎪n ⨯( H 2 - H 1 ) = 式中n 表示突变面（即分界面）的上的单位外法线。