(完整版)函数与方程知识点总结,推荐文档
初中数学函数与方程知识点汇总
初中数学函数与方程知识点汇总函数和方程是初中数学中非常关键的概念和知识点。
它们不仅在数学中具有重要的地位，而且也是我们日常生活中常常会遇到的问题的解决方法。
在本文中，我将为您详细介绍初中数学函数与方程的相关知识点。
一、函数的概念和性质1. 函数的定义：函数是两个集合之间的对应关系，每个输入值（自变量）都有唯一对应的输出值（因变量）。
2. 定义域和值域：函数之间定义域为所有可能的输入值的集合，值域为所有可能的输出值的集合。
3. 图像和图像的性质：函数的图像是平面直角坐标系中的点的集合。
图像的上下两半部分关于x轴对称。
4. 增减性和奇偶性：函数在定义域内递增或递减，称为函数的增减性。
如果函数关于y轴对称，称为函数的奇偶性。
5. 函数的表示方法：函数可以用解析式、图象、数据表等不同的方式来表示。
二、常见的函数类型1. 线性函数：线性函数的图象是一条直线，方程的形式为y = kx + b。
其中k 为斜率，b为截距。
2. 二次函数：二次函数的图象是抛物线，方程的形式为y = ax² + bx + c。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
3. 反比例函数：反比例函数的图象是一条曲线，方程的形式为y = k/x。
其中k 为常数。
4. 幂函数：幂函数的图象是一条曲线，方程的形式为y = ax^k。
其中a为常数，且a不等于0。
5. 开方函数：开方函数的图象是一条曲线，方程的形式为y = √x。
三、方程的概念和解法1. 方程的定义：方程是含有一个未知数的等式。
2. 一元一次方程：一元一次方程是形如ax + b = 0的方程，其中a、b是已知数，且a不等于0。
它的解为x = -b/a。
3. 一元二次方程：一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知数，且a不等于0。
它的解可以通过求解一元二次方程的根公式得到。
4. 系数关系：一元二次方程的解与系数之间有重要的关系，如判别式b²-4ac的值可以判断方程的解的性质。
函数与方程知识点总结资料
函数与方程知识点总结资料函数与方程是数学中的重要概念，是许多其他数学分支的基础。
本文将对函数与方程的知识点做一个总结，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、函数的基本概念1. 函数定义函数是一种特殊的关系，即将一个自变量映射到一个因变量上的过程。
函数的定义方式可以有多种，最常见的定义方式是：f(x)=y\qquad y=f(x)其中，x 是自变量，f 是函数名，y 是因变量。
2. 函数的图像函数的图像是指函数在直角坐标系中的表现形式，即以自变量x 为横坐标，对应的因变量 y 为纵坐标所构成的图形。
函数的图像可以用数学软件绘制，也可以手绘出来。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是自变量的取值范围，是使函数有意义的自变量的集合。
函数的值域是函数在定义域内的所有可能输出值的集合。
函数的定义域和值域可以用数学符号表示，例如：\text{定义域：}D(f)=\{x\mid x\text{ 是实数}\}\text{值域：}R(f)=\{y\mid y\text{ 是实数}\}4. 奇偶性、单调性和周期性函数的奇偶性指函数图像相对于 y 轴的对称性，分为偶函数和奇函数。
偶函数满足 f(-x)=f(x)，奇函数满足 f(-x)=-f(x)。
函数的单调性指函数图像在定义域内是否单调递增或单调递减。
如果对于任意 x_1<x_2，都有 f(x_1)<f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递增的；如果对于任意 x_1<x_2，都有f(x_1)>f(x_2)，则称函数 f 在定义域内是单调递减的。
函数的周期性指函数在定义域内是否有重复的输出值。
如果存在一个正数 T，使得对于任意 x\in D(f)，都有 f(x+T)=f(x)，则称函数 f 是周期函数，T 称为函数的周期。
5. 复合函数和反函数复合函数是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入，并得到新函数的过程。
反函数是指对于一个函数 f，存在一个函数g，使得 g(f(x))=x 在定义域内成立。
(完整版)高考函数知识点总结(全面)
高考函数总结一、函数的概念与表示 1、函数 （1)函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x 、y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫作自变量。
②近代定义:设A 、B 都是非空的数的集合,f ：x →y 是从A 到B 的一个对应法则,那么从A 到B 的映射f ：A →B 就叫做函数，记作y=f(x)，其中B y A x ∈∈,，原象集合A 叫做函数的定义域,象集合C 叫做函数的值域。
B C ⊆（2)构成函数概念的三要素 ①定义域 ②对应法则 ③值域 3、函数的表示方法 ①解析法 ②列表法 ③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。
二、函数的解析式与定义域1、函数解析式：函数的解析式就是用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成的式子叫解析式， 求函数解析式的方法:（1） 定义法 (2)变量代换法 （3)待定系数法(4）函数方程法 （5）参数法 （6）实际问题2、函数的定义域：要使函数有意义的自变量x 的取值的集合。
求函数定义域的主要依据： (1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零;（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集。
3。
复合函数定义域：已知f （x ）的定义域为[]b a x ,∈,其复合函数[])(x g f 的定义域应由不等式b x g a ≤≤)(解出。
三、函数的值域 1．函数的值域的定义在函数y=f （x ）中,与自变量x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
2．确定函数的值域的原则①当函数y=f （x ）用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数y=f （x ）用图象给出时,函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数y=f(x ）用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f （x ）由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结一、函数的概念与表示1、映射1映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应包括集合A、B以及A到B的对应法则f叫做集合A到集合B的映射，记作f：AB。
注意点：1对映射定义的`理解。
2判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据： 1分式的分母不为零;2偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义; 3对数函数的真数必须大于零;4指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;2求函数定义域的两个难点问题1 已知fx的定义域是[-2,5],求f2x+3的定义域。
2 已知f2x-1的定义域是[-1,3],求fx的定义域三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=fx的取值范围，适合于简单的复合函数;②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且xR的分式;④分离常数：适合分子分母皆为一次式x有范围限制时要画图; ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域; ⑥图象法：二次函数必画草图求其四、函数的奇偶性1.定义: 设y=fx，xA，如果对于任意xA，都有f?x?fx，则称y=fx为偶函数。
如果对于任意xA，都有f?xfx，则称y=fx为奇函数。
2.性质：①y=fx是偶函数?y=fx的图象关于y轴对称, y=fx是奇函数?y=fx的图象关于原点对称,②若函数fx的定义域关于原点对称，则f0=0高一数学函数与方程知识点就为大家介绍到这里，希望对你有所帮助。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高三数学函数与方程知识点
高三数学函数与方程知识点函数与方程是高中数学的重要部分，也是高考数学考查的重点内容，掌握好函数与方程的知识对于考试成绩至关重要。
本文将以详细的方式介绍高三数学中的函数与方程的知识点，帮助学生深入理解和掌握这一部分内容。
一、函数的定义与性质函数是一种特殊的关系，它可以将一个自变量的取值映射到唯一的因变量的取值。
函数的定义通常以符号表达，如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数的表达式。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。
1.1 定义域与值域函数的定义域是指自变量的取值范围，常用表示为D(f)。
值域是函数的所有可能的因变量取值的范围，常用表示为R(f)。
在求函数的定义域和值域时，需考虑到函数表达式中的分母不能为零等限制条件。
1.2 单调性函数的单调性是指函数在定义域内的取值随自变量的增加或减少而单调增加或单调减少。
函数可以是递增的（单调增加）、递减的（单调减少）或者具有不同的单调区间。
1.3 奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内的取值与自变量取值的关系。
奇函数具有对称中心为原点，即f(-x)=-f(x)；偶函数具有对称轴为y轴，即f(-x)=f(x)。
二、线性函数与一次函数线性函数是一种最基本的函数形式，它的函数表达式为f(x)=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
一次函数是线性函数的一种特殊情况，当k=0时，即为一次函数。
线性函数与一次函数的性质包括斜率、截距、图像等。
2.1 斜率线性函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，斜率为正表示函数递增，斜率为负表示函数递减。
斜率可以通过两点的坐标计算得出，也可以根据函数表达式的形式直接读取。
2.2 截距线性函数的截距表示函数图像与y轴的交点位置，截距可以通过函数表达式中的常数项b直接读取。
2.3 图像线性函数的图像是一条直线，可以通过斜率和截距的值确定直线的倾斜程度和位置。
当斜率为正时，函数图像从左下方逐渐向右上方倾斜；当斜率为负时，函数图像从左上方逐渐向右下方倾斜。
函数与方程知识点总结
函数与方程知识点总结函数与方程是数学中的重要概念和工具，它们在解决实际问题和数学推理中起着关键的作用。
本文将对函数与方程的知识点进行总结。
一、函数的概念与性质：1. 函数的定义：函数是一个或多个自变量和因变量之间的一种变化规律，它将每一个自变量值映射到唯一的因变量值。
在函数中，自变量通常表示为x，因变量表示为y或f(x)。
2. 函数的性质：函数有以下几个重要性质：a. 定义域：函数的自变量取值范围的集合。
b. 值域：函数的因变量的取值范围的集合。
c. 单调性：函数的增减关系。
可以分为增函数和减函数。
d. 奇偶性：函数关于y轴的对称性。
可以分为奇函数和偶函数。
e. 周期性：函数在一个周期内的性质重复出现。
3. 常见函数类型：a. 线性函数：y = kx + b，其中k和b是常数，描述了一条直线的方程。
b. 幂函数：y = ax^b，其中a和b是常数，x的指数为整数。
c. 指数函数：y = a^x，其中a为常数，指数为变量。
d. 对数函数：y = log_a(x)，其中a为常数。
e. 三角函数：如sin(x)、cos(x)和tan(x)等。
4. 函数的运算：a. 函数的加法和减法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的加法和减法得到新的函数。
b. 函数的乘法和除法：当两个函数具有相同的定义域时，可以通过函数的乘法和除法得到新的函数。
二、方程的概念与性质：1. 方程的定义：方程是一个等式，其中包含未知数和已知的数之间的关系。
在方程中，通常需要求解未知数的值使等式成立。
2. 方程的解：方程的解是能够使方程成立的未知数的值。
根据方程不同类型的解，可以将其分为实数解、复数解和无解。
3. 一元方程：只含有一个未知数的方程称为一元方程。
求解一元方程的方法包括等式两边同时加减、乘除相同的数等。
4. 二元方程：含有两个未知数的方程称为二元方程。
求解二元方程的方法包括代入法、消元法和配方法等。
5. 线性方程组：由多个线性方程组成的方程组称为线性方程组。
初中数学函数与方程知识点归纳总结
初中数学函数与方程知识点归纳总结函数是数学中的一个重要概念，它是一种特殊的对应关系，描述了输入和输出之间的关系。
在初中数学中，函数是一个重要的学习内容，它具有广泛的应用背景，例如在几何、代数以及实际应用问题中。
一、函数的基本概念函数由定义域、值域和对应关系三个要素组成。
其中，定义域是指函数的自变量取值的范围，值域是函数的因变量取值的范围。
函数可以用集合、图像、公式等多种形式表示。
二、函数的表示方法函数可以通过多种方式表示。
最常见的方式是用函数的公式表示，例如y = f(x)。
另外，还可以用函数的图像、函数的表格等方式表示函数。
三、函数的性质1. 奇偶性：奇函数和偶函数是函数的两个重要性质。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，而偶函数满足f(-x) = f(x)。
2. 单调性：函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。
可以分为增函数和减函数，增函数满足f(x₁) < f(x₂)，减函数满足f(x₁) >f(x₂)。
3. 周期性：周期函数是指函数在一定范围内具有重复的规律性。
周期函数可以通过一个周期内的值来表示整个函数。
四、函数的图像和性质函数的图像是函数性质的一种直观表现形式。
在二维坐标系中，通过绘制函数的曲线来表示函数的图像。
函数的图像可以反映函数的奇偶性、单调性以及其他特点。
五、一次函数一次函数也被称为线性函数，它的形式是y = kx + b。
其中，k是斜率，b是直线在y轴上的截距。
一次函数的图像在坐标系中是一条直线。
六、二次函数二次函数是一个非常重要的函数类型，它的形式是y = ax² + bx + c。
其中，a不等于0，a决定了二次函数的开口方向，b决定了二次函数的位置，c决定了二次函数的纵坐标偏移量。
七、指数函数和对数函数指数函数的形式是y = aˣ，其中a是正数且不等于1。
指数函数的图像是一个逐渐增长或逐渐减小的曲线。
对数函数是指数函数的逆运算，它的形式是y = logₐx，其中a是正数且不等于1。
高中数学的函数与方程总结
高中数学的函数与方程总结数学是一门基础学科，其中函数与方程是数学的重要组成部分。
在高中数学中，函数与方程的学习是建立数学思维和解决实际问题的关键。
本文将对高中数学的函数与方程进行总结，并介绍其应用和相关概念。
一、函数的基本概念函数是一种数学关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
函数的定义域、值域和图像是理解函数概念的重要要素。
函数可以用文字、符号或图像表示。
1.1 函数的定义函数通常用f(x)表示，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数的定义包括定义域、值域和映射规则。
1.2 定义域与值域定义域是指自变量取值的范围，值域是指因变量可能取值的范围。
1.3 函数的图像函数的图像可以通过绘制坐标系和描绘函数曲线来表示。
图像有助于我们直观地理解函数的变化趋势、极值和特殊点。
二、常见的函数类型高中数学中常见的函数类型有线性函数、二次函数、指数函数与对数函数。
2.1 线性函数线性函数是一个一次多项式函数，函数图像呈直线。
线性函数的一般形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
2.2 二次函数二次函数是一个二次多项式函数，函数图像呈抛物线。
二次函数的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数。
2.3 指数函数指数函数是以指数为变量的函数，函数图像呈指数增长或指数衰减的曲线。
指数函数的一般形式为y = a^x，其中a为常数。
2.4 对数函数对数函数是指数函数的逆运算，函数图像呈现递减的曲线。
对数函数的一般形式为y = loga(x)，其中a为底数。
三、方程的求解方法高中数学中，方程是关于未知数的等式，解方程是找出使等式成立的未知数的值的过程。
常见的方程求解方法有因式分解法、等式两边开方、配方法和二次公式等。
3.1 因式分解法因式分解法适用于一元多次方程，将方程因式分解为两个或多个乘积形式，然后令每个因式等于零，求解出未知数的值。
3.2 等式两边开方等式两边开方法适用于含有平方根的方程，通过等式两边开方，将方程转化为简化形式，然后求解未知数的值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
5
6
【解析】∵f(－1)＝2－1＋3×(－1)＝－2<0，f(0)＝20＋0＝1>0，∴f(－1) f(0)<0.
∴ 8f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间为(－1,0)．
【例 3】下列函数中能用二分法求零点的是
( B ) ( C )
1
【例 4】若函数 f (x) ax x a ( a 0 且 a 1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是（1， ）.
【经典例题】
【例 1】函数 f (x)=2x +x3 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是
（B
）
A、0 B、1 C、2 D、3
【解析】解法 1：因为 f (0)=1+0 2= 1， f (1)=2+23 2=8 ，即 f (0) f (1)<0 且函数 f (x) 在 (0,1) 内连续不断，
f (1.25) = －0.984 f (1.40625) = －0.054
那么方程 x3 x2 2x 2 0 的一个近似根（精确到 0.1）为
A、1.2
B、1.3
C、1.4
D、1.5
（ C）
【例 7】如果二次函数 y x2 x m 3 有两个不同的零点，则 m 的取值范围是
（C
A、 (11, ) B、 (,11) C、 (,11)
4
2
4
【例8】方程 lg x x 0 根的个数为
D、 (11, ) 2
） （D
）
A、无穷多f(3) B、 3
C、 1
D、 0
【例9】用二分法研究函数 f (x) x3 3x 1的零点时，第一次经计算 f (0) 0，f (0.5) 0 ，可得其中一个零点
2
x0 ，第二次应计算 A、（0，0.5）， f (0.25)
函数与方程知识点总结
1、函数零点的定义
（1）对于函数 y f (x) ，我们把方程 f (x) 0 的实数根叫做函数 y f (x) 的零点。 （2）方程 f (x) 0 有实根 函数 y f (x) 的图像与 x 轴有交点 函数 y f (x) 有零点。因此判断一个函数是
否有零点，有几个零点，就是判断方程 f (x) 0 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程 f (x) 0 ，所得实数根就是 f (x) 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数 f (x) 的变号零点。 ②若函数 f (x) 在零点 x0 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数 f (x) 的不变号零点。
8
故 f (x) 在 (0,1) 内的零点个数是 1.
6
解法 2：设 y1=2x ， y2 =2 x3 ，在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知 B 正确.
4
2
5
5
10
2
【例 2】函数 f(x)＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是
A、(4－2，－1) B、(－1,0)
C、(0,1)
D、(1,2)
. 以上横线上应填的内容为
B、（0，1）， f (0.25)
(A)
C、（0.5，1）， f (0.75)
所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
0
（2）用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间[a, b] ,验证 f (a) f (b) 0 ,给定精确度 ;②求区间 (a, b) 的中点 c ;③计算 f (c) ;
(ⅰ)若 f (c) 0 ,则 c 就是函数的零点;(ⅱ) 若 f (a) f (c) 0 ,则令 b c (此时零点 x0 (a, c) ); (ⅲ) 若 f (c) f (b) 0 ,则令 a c (此时零点 x0 (c,b) ); ④判断是否达到精确度 ,即 a b ,则得到零点近似值为 a (或 b );否则重复②至④步.
（2）函数 y f (x) 零点个数（或方程 f (x) 0 实数根的个数）确定方法 ① 代数法：函数 y f (x) 的零点 f (x) 0 的根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y f (x) 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零 点。 （3）二次函数零点个数确定
0 y f (x) 有 2 个零点 f (x) 0 有两个不等实根； 0 y f (x) 有 1 个零点 f (x) 0 有两个相等实根；
0 y f (x) 无零点 f (x) 0 无实根；对于二次函数在区间a,b上的零点个数，要结合图像进行确定.
1、 二分法
（1）二分法的定义:对于在区间[a, b] 上连续不断且 f (a) f (b) 0 的函数 y f (x) ,通过不断地把函数 y f (x) 的零点
【解析】函数 f (x) = ax x a ( a 0 且 a 1)有两个零点，方程 a x x a 0 有两个不相等的实数根，即
两个函数 y a x 与 y x a 的图像有两个不同的交点，当 0 a 1 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不
合题意；当 a 1 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.
③若函数 f (x) 在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则 f (a) f (b) 0 是 f (x) 在区间 a,b内有零点的充分不必要
条件。 2、函数零点的判定
（1）零点存在性定理：如果函数 y f (x) 在区间[a, b] 上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) 0 ，那么， 函数 y f (x) 在区间 a,b内有零点，即存在 x0 (a,b) ，使得 f (x0) 0 ，这个 x0 也就是方程 f (x) 0 的根。
【例 5】函数
f
(
x)
x2 2
2x ln
x,
3, x
x
0
0
，Байду номын сангаас
零点个数为
（B ）
A、3 B、2 C、1
D、0
【例 6】若函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f (1) = －2 f (1.375) = －0.260
f (1.5) = 0.625 f (1.4375) = 0.162