函数与方程知识点总结经典例题及解析高考真题及答案
函数与方程例题和知识点总结
函数与方程例题和知识点总结在数学的学习中，函数与方程是非常重要的概念，它们不仅在数学领域有着广泛的应用，也在其他学科和实际生活中发挥着重要作用。
接下来，让我们通过一些具体的例题来深入理解函数与方程，并对相关知识点进行总结。
一、函数的概念函数是一种特殊的对应关系，给定一个非空数集 A，对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在另一个非空数集 B 中都有唯一确定的数 y 与之对应，就称 f 是集合 A 到集合 B 的一个函数。
例如，函数 f(x) ＝ 2x ＋ 1，对于任意给定的 x 值，通过这个关系式都能唯一确定一个 y 值。
二、方程的概念方程是指含有未知数的等式。
例如，2x ＋ 3 ＝ 7 就是一个方程。
三、函数与方程的联系函数的零点就是方程 f(x) ＝ 0 的实数解。
四、例题分析例 1：已知函数 f(x) ＝ x² 2x 3，求函数的零点。
解：令 f(x) ＝ 0，即 x² 2x 3 ＝ 0因式分解得：（x 3)（x ＋ 1) ＝ 0解得：x ＝ 3 或 x ＝－1所以函数 f(x) 的零点为 3 和－1。
例 2：判断函数 f(x) ＝ x³ 3x ＋ 1 在区间0, 1内是否有零点。
解：先计算 f(0) ＝ 1 ＞ 0，f(1) ＝－1 ＜ 0因为函数 f(x) 在区间0, 1上是连续的，且 f(0) 和 f(1) 的值异号所以根据零点存在定理，函数 f(x) 在区间0, 1内至少有一个零点。
例 3：已知函数 f(x) ＝ 2x ＋ m 的图像与函数 g(x) ＝ x² 4x ＋ 1 的图像有一个交点，求 m 的值。
解：将两个函数联立得：2x ＋ m ＝ x² 4x ＋ 1移项化为一元二次方程：x² 6x ＋ 1 m ＝ 0因为两个函数的图像有一个交点，所以方程有且仅有一个解即判别式Δ ＝ 36 4(1 m) ＝ 0解得：m ＝－8五、知识点总结1、函数零点的求法：令函数值为 0，求解方程的根。
专题12 函数与方程(解析版)
2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考 明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20） 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． （1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=， 当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-； 【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=， 所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x ，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0fx，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。
考点09 高中数学-函数与方程-考点总结及习题
考点09函数与方程【命题趋势】此知识点是高考考查的重点，常以指数函数、对数函数、幂函数、分段函数或者三角函数为背景进行考查，解题时注意数形结合思想的应用.具体要求为：（1）结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.（2）根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.【重要考向】一、函数零点（方程的根）所在区间的判断二、函数零点个数的判断三、函数零点的应用问题函数零点（方程的根）所在区间的判断1．函数零点的概念对于函数(),y f x x D =∈，我们把使()0f x =成立的实数x 叫做函数(),y f x x D =∈的零点．2．函数的零点与方程的根之间的联系函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数根，也就是函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标即方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f (x )=x 2＋1，由于方程x 2＋1=0无实数根，故该函数无零点．3．二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的零点0∆>0∆=0∆<二次函数2)( 0y ax bx c a =++>的图象与x 轴的交点(x 1，0)，(x 2，0)(x 1，0)无交点零点个数214．零点存在性定理如果函数()y f x =在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.1．二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =，通过不断地把函数()f x 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤如下：①确定区间[a ，b ]，验证()()0f a f b ⋅<，给定精确度ε；②求区间(a ，b )的中点c ；③计算f (c )；a ．若f (c )=0，则c 就是函数的零点；b ．若f (a )·f (c )<0，则令b =c (此时零点x 0∈(a ，c ))；c ．若f (c )·f (b )<0，则令a =c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a −b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④.【巧学妙记】1.函数()e xf x x -=-的零点所在的区间为A ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】易知函数()exf x x -=-的图象是连续的，且通过计算可得()()11e 1e 10f -=--=+>，12111e 0222f ⎛⎫⎛⎫-=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00e 010f =-=>，12111e 0222f -⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，()111e 110ef -=-=-<，由函数零点存在性定理可得函数零点所在的区间为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.本题选择D 选项.2.在用二分法求方程3210x x --=的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为___________.【答案】3,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】令()321f x x x =--，3275310288f ⎛⎫=--=-< ⎪⎝⎭，()120f =-<，()28530f =-=>，故下一步可以断定根所在区间为3,22⎛⎫⎪⎝⎭.故填3,22⎛⎫⎪⎝⎭.3.已知函数()32113f x x x =-+．（1）证明方程f （x ）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f （x ）=0，x ∈[0，2]的实数解x 0在哪个较小的区间内．【答案】31,2⎛⎫⎪⎝⎭．()1103f =>，由此可得()()1209f f ⋅=-<，则下一个有解区间为()1,2，31028f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，由此可得()3110224f f ⎛⎫⋅=-<⎪⎝⎭，则下一个有解区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，所求实数解0x 在较小区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭内.函数零点个数的判断(1)解方程法：令f (x )=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.【巧学妙记】4.函数f (x )2－2，x ≤0，x －6＋ln x ，x >0的零点个数是．【答案】2【解析】当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x 恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.5.函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x－2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.6.函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内()A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点【答案】B【解析】当x ∈(0，1]时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f(x)在[0,1]上单调递增，且f(0)＝－1<0，f(1)＝1－cos1>0，所以f(x)在[0,1]内有唯一零点．当x>1时，f(x)＝x－cos x>0，故函数f(x)在[0，＋∞)上有且仅有一个零点，故选B.函数零点的应用问题1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用．2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题．3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：①求出零点，直接比较大小；②确定零点所在区间；③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.【巧学妙记】7.已知函数()1f x mx =+的零点在区间(1,2)内，则m 的取值范围是A ．1(,)2-∞-B ．11,2⎛⎫--⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1(,1)(,)2-∞--+∞ 【答案】B【解析】由题知f (x )单调，故(1)(2)0,f f ⋅<即(1)(21)0,m m ++<解得112m -<<-.故选B ．8.已知函数f (x )x ≥1，，x <1，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同零点，则k 的取值范围是__________．【答案】(0,1)【解析】作出f (x )x ≥1，x <1的函数图象如图所示：方程f (x )＝k 有两个不同零点，即y ＝k 和f (x )x ≥1，x <1的图象有两个交点，由图可得k 的取值范围是(0,1)．9.已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R ，若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．【答案】(0,1)∪(9，＋∞)【解析】由题意知a >0.在同一直角坐标系中作出y ＝|x 2＋3x |，y ＝a |x －1|的图象如图所示．由图可知f (x )－a |x －1|＝0有4个互异的实数根等价于y ＝|x 2＋3x |与y ＝a |x －1|的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，＝－x2－3x，＝a(1－x)有两组不同解，消去y得x2＋(3－a)x＋a＝0有两个不等实根，所以Δ＝(3－a)2－4a>0，即a2－10a＋9>0，解得a<1或a>9.又a>0，∴0<a<1或a>9.一、单选题1．方程12log x x =的解的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．32．函数()662,0,log 12,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为（）A ．-1B ．1C ．-2D ．23．已知函数()2log 3f x x x =+-在区间(),1a a +内有零点，则正数a 的取值范围为（）A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()0,1D ．()1,+∞4．已知函数()22,2,21219,2,x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩若方程()0f x a -=的实根之和为6，则a的取值范围为（）A ．(]1,3B ．[]1,3C ．(]1,4D ．()3,4二、多选题5．若函数()2f x x ax b =-+的两个零点是2和3，则函数()21g x bx ax =--的零点是（）A ．1B ．12C ．13-D ．16-三、填空题6．函数1y x x=的零点为___________．7．若函数()xf x e =，则函数()1y f x =-的零点是___________.8．函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(),ππ-上的零点之和为______.9．若方程30x m +=的根在()1,0-内，则m 的取值范围是_____．10．已知二次函数221y ax ax =++只有一个零点，则实数a =__________.11．用二分法求方程3250x x --=在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得(2)1f =-，(3)16f =，(2.5) 5.625f =，那么下一个有根区间为_________．四、双空题12．已知2,0()22,0x x x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则f （f （―2））=________，函数f （x ）的零点的个数为________.五、解答题13．方程20x x k ++=在(0,1)x ∈有解，求k 的取值范围.一、单选题1．（2014·北京高考真题（文））已知函数()26log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,4D ．()4,+∞2．（2019·全国高考真题（文））函数()2sin sin2f x x x =-在[]0,2π的零点个数为A ．2B ．3C ．4D ．53．（2010·浙江高考真题（文））已知0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,x x x x ∈∈+∞，则（）A ．1()0f x <，()20f x <B ．1()0f x <，()20f x >C ．()10f x >，()20f x <D ．()10f x >，()20f x >4．（2010·福建高考真题（文））函数()223,0{ 2,0x x x f x lnx x +-≤=-+>的零点个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．05．（2014·重庆高考真题（文））已知函数13,(1,0](){,()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x -∈-==---+∈且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是A ．91(,2](0,]42--⋃B ．111(,2](0,]42--⋃C ．92(,2](0,43--⋃D ．112(,2](0,43--⋃6．（2011·福建（文））若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）7．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C．(,0)-∞ D．(,0))-∞+∞ 8．（2015·安徽高考真题（文））下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y =lnxB ．21y x =+C ．y =sinxD ．y =cosx 9．（2015·天津高考真题（文））已知函数,函数,则函数的零点的个数为A ．2B ．3C ．4D ．510．（2013·安徽高考真题（文））已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题11．（2016·天津高考真题（文））已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x 且⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是___________.12．（2015·湖南高考真题（文））若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.13．（2008·湖北高考真题（文））方程223x x -+=的实数解的个数为_____________.三、解答题14．（2018·全国高考真题（文））已知函数()()32113f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间；（2）证明：()f x只有一个零点．一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟）设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则方程2sgn 21x x x =-的解是（）A ．1B．1--C ．1或1-D ．1或1-+或1-2．（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））已知函数()21()2f x a x x x =-+有且仅有两个零点，则实数a =（）A ．3227B ．3227-C ．2732D ．2732-3．（2021·宁夏高三其他模拟（文））函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数()231f x x x =++.若关于x 的方程()0f x a x -=恰有两个不同的实根，则a 的取值范围是（）A ．()1,5B ．[]1,5C ．()1}50{⋃，D ．[]1}50{⋃，5．（2021·河南商丘市·高三月考（文））已知函数()22,01,0x x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()3f x a x =+有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．(,4-∞-B．()4++∞C．0,4⎡-⎣D．(0,4-6．（2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））若关于x的方程2sin2x x m -=-在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且只有一个解，则m 的值不可能为（）A ．2-B ．1-C ．12-D ．07．（2021·全国高三其他模拟（文））已知函数()31,13,1x x f x x x -⎧->-⎪=⎨+≤-⎪⎩，当a b c <<时，有()()()f a f b f c ==，则()1f a -的取值范围是（）A ．()1,9B ．()4,9C ．()1,4D ．[]4,98．（2021·新疆高三其他模拟（文））定义在()(),00,-∞⋃+∞上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且0x >时，()ln xf x x=.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．11,0,e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11,00,ee ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．11,0,22e e ⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,00,22e e ⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．（2021·四川宜宾市·高三二模（文））已知函数()()3log 911x f x x+=-，下列说法正确的是（）A ．()f x 既不是奇函数也不是偶函数B ．()f x 的图象与sin y x =有无数个交点C ．()f x 的图象与2y =只有一个交点D ．()()21f f -<-二、填空题10．（2021·云南昆明市·高三三模（文））已知函数ln ()1xxf x ae x=--两个不同的零点，则实数a 的取值范围是___________.11．（2021·晋中市新一双语学校高三其他模拟（文））规定记号"Δ"表示一种运算，即()()22Δ12,,a b a b b a b =--∈R ，若0k >，函数()()Δf x kx x =的图象关于直线12x =对称，则k =___________.12．（2021·宁夏高三其他模拟（文））关于函数2()sin sin f x x x =-有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；③()f x 在[,]-ππ有四个零点；④()f x 的值域是1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；⑤()f x 的周期为2π.其中所有正确结论的编号是___________.13．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知函数21,0(),0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()()g x f x a =-仅有两个不同零点，则实数a 的取值范围是_________．14．（2021·全国高三其他模拟（文））方程e ||10x x x --=的实数根的个数为___________.15．（2021·成都七中实验学校高三三模（文））已知函数2,1()169,1xx f x x x x x ⎧<⎪=-⎨⎪-+≥⎩，若方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则3411x x +的取值范围是___________.参考答案跟踪训练1．B 【分析】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，根据图象的交点个数即可求解.【详解】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B 2．A 【分析】根据分段函数解析式，分别求得零点，结合对数式运算即可求得零点之和.【详解】函数()662,0,log 12,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩当0x >时，()62xf x =-，设其零点为1x ，则满足1620x -=，解得16log 2x =；当0x ≤时，()6log 12f x x =+，设其零点为2x ，则满足26log 120x +=，解得26log 12x =-；所以零点之和为1266log 2log 121x x +=-=-故选:A.【点睛】本题考查了分段函数的简单应用，函数零点的定义，对数式的运算性质，属于基础题.3．A 【分析】由题得(2)=0f ，且函数在定义域内()f x 单调递增，得21a a <<+，解不等式得解.【详解】由题得()22log 2230f =+-=，且函数在定义域内()f x 单调递增（增+增=增），所以21a a <<+，得12a <<.故选：A 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握是水平，属于基础题.4．A 【分析】作出()f x 图象，求方程()0f x a -=的实根之和为6，即求()y f x =与y a =图象交点横坐标之和为6，分别讨论a =1、12a <<、a =2、23a <≤、34a <<和a =4时y a =图象与()y f x =图象交点个数及性质，数形结合，即可得答案.【详解】作出()f x 图象，如图所示求方程()0f x a -=的实根之和为6，即求()y f x =与y a =图象交点横坐标之和为6，当a =1时，y a =图象与()y f x =图象只有一个交点（3,1），不满足题意；当12a <<时，y a =图象与()y f x =图象有2个交点，且从左至右设为12,x x ，由图象可得12,x x 关于x =3对称，所以1232x x +=，即126x x +=，满足题意；当a =2时，y a =图象与()y f x =图象有3个交点，且（0,2）为最左侧交点，设y a =与()y f x =图象另外两个交点为12,x x ，由图象可得12,x x 关于x =3对称，所以1232x x +=，即126x x +=，满足题意；当23a <≤时，y a =图象与()y f x =图象有4个交点，从左至右设为12,x x ，34,x x ，由图象可得12,x x 关于x =0对称，所以120x x +=，34,x x 关于x =3对称，所以3432x x +=，即346x x +=，满足题意；当34a <<时，y a =图象与()y f x =图象有3个交点，由图象可得不满足题意；当a =4时，y a =图象与()y f x =图象有2个交点，由图象可得不满足题意；综上：a 的取值范围为13a <£.故选：A 5．AD 【分析】由()f x 的零点求参数a 、b ，写出()g x 的解析式，进而可求其零点.【详解】由题设知：2,3是20x ax b -+=的两个根，∴235,236a b =+==⨯=，∴()2651g x x x =--，若()0g x =，可得零点为1x =或16x =-.故选：AD.6．1【分析】令10y x==求解.【详解】令10y x ==1x=，两边平方得：()310x x =>，解得1x =，所以函数1y x=的零点为1.故答案为：1.7．0【分析】求得函数()11xy f x e =-=-，令0y =，即可求解.【详解】由函数()xf x e =，可得()11xy f x e =-=-，令0y =，可得10x e -=，解得0x =，故函数()1y f x =-的零点是0.故答案为：0.8．3π-【分析】令()0f x =，得1sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据(),x ππ∈-，得到23x π-范围求解.【详解】()2sin 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令()0f x =得，1sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为(),x ππ∈-，所以752,333x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则11236x ππ-=-或76π-或6π或56π，解得34x π=-或512π-或4π或712π，所以12343x x x x π+++=-.故答案为：3π-9．()0,3【分析】设()3f x x m =+，利用零点存在定理可构造不等式求得结果.【详解】设()3f x x m =+，则()()()1030f f m m -⋅=-<，解得：03m <<，即m 的取值范围为()0,3.故答案为：()0,3.10．1【分析】先判断0a ≠，再利用判别式为零可得答案.【详解】因为221y ax ax =++是二次函数，所以0a ≠，又因为二次函数221y ax ax =++只有一个零点，所以二次方程2210ax ax ++=只有一个解，所以24400a a a ∆=-=⇒=（舍去），或1a =，故答案为：1.【点睛】本题主要考查函数的零点，考查了分类讨论思想与转化思想的应用，属于基础题.11．()2,2.5【分析】利用零点存在性定理判断.【详解】()210f =-< ，()2.5 5.6250f =>，()()2 2.50f f <，所以下一个有根区间为()2,2.5.故答案为：()2,2.512．141【分析】先求(2)f -，再求((2))f f -，令f （x ）=0，直接解方程可得函数的零点【详解】根据题意得：2(2)(2)4f -=-=，则4((2))(4)2216214f f f -==-=-=；令f （x ）=0，得到220x -=，解得：x =1，则函数f （x ）的零点个数为1，故答案为：14；1.13．20k -<<【分析】转化为求二次函数2k x x =--，(0,1)x ∈的值域，可求得结果.【详解】由20x x k ++=得2k x x =--在(0,1)x ∈有解，当01x <<时，2211()24k x x x =--=-++为减函数，所以110k --<<，所以20k -<<.真题再现1．C【详解】因为(2)310f =->，3(4)202f =-<，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.2．B【分析】令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.【详解】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=，得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2x π∈ ，02x ππ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．3．B【分析】转化0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点为0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可【详解】因为0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点，则0x 是函数2x y =与11y x =-的交点的横坐标，画出函数图像，如图所示，则当()101,x x ∈时，2x y =在11y x =-下方，即()10<f x ；当()20,x x ∈+∞时，2x y =在11y x =-上方，即()20f x >，故选：B【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想4．B【解析】试题分析：当0x ≤时，令()2230f x x x =+-=，解得3x =-；当0x >时，令()2ln 0f x x =-+=，解得2x e =.综上可知()f x 的零点有2个.故B 正确.考点：1分段函数；2函数的零点.5．A【分析】试题分析：令，分别作出与的图像如下，由图像知是过定点的一条直线，当直线绕着定点转动时，与图像产生不同的交点.当直线在轴和直线及切线和直线之间时，与图像产生两个交点，此时或故答案选A .考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.6．C【详解】试题分析：利用题中条件：“关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根”由韦达定理的出m 的关系式，解不等式即可．解：∵关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，∴△＞0，即：m 2﹣4＞0，解得：m ∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选C ．点评：本题考查一元二次方程的根的判别式与根的关系，属于基本运算的考查．7．D【分析】由(0)0g =，结合已知，将问题转化为|2|y kx =-与()()||f x h x x =有3个不同交点，分0,0,0k k k =<>三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有1个不同交点，不满足题意；当0k <时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.8．D【详解】选项A ：ln y x =的定义域为（0,+∞），故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错；选项D ：cos y x =是偶函数，且cos 02y x x k ππ==⇒=+，k z ∈，故D 项正确.考点：本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念.9．A【详解】当0x <时22x ->,所以()22f x x x =-=+,()22f x x -=,此时函数()()()()2231f x g x f x f x x x -=+--=+-的小于零的零点为152x =-;当02x ≤≤时()22f x x x =-=-,()222f x x x -=--=,函数()()231f x g x x x -=-+-=-无零点;当2x >时,()()22f x x =-,()2224f x x x -=--=-,函数()()()2224355f x g x x x x x -=-+--=-+大于2的零点为552x +=,综上可得函数()()y f x g x =-的零点的个数为2.故选A.考点：本题主要考查分段函数、函数零点及学生分析问题解决问题的能力.10．A【解析】试题分析：求导得，显然是方程的二不等实根，不妨设，于是关于x 的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b ＝0的解就是或，根据题意画图：所以有两个不等实根，只有一个不等实根，故答案选A.考点：导数、零点、函数的图象11．12[,)33【详解】试题分析：由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程()23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12[,33.【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．02b <<【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么13．2【解析】因为223x x -=-,作出函数22,3x y y x -==-的图像，从图像可以观察到两函数的图像有两个公共点，所以方程223x x -+=的实数解的个数为2.14．（1）f （x ）在（–∞，33-），（323++∞）单调递增，在（33-，33+）单调递减．（2）见解析.【详解】分析：（1）将3a =代入，求导得2()63f x x x '=--，令()0f x '>求得增区间，令()0f x '<求得减区间；（2）令321()(1)03f x x a x x =-++=，即32301x a x x -=++，则将问题转化为函数32()31x g x a x x =-++只有一个零点问题，研究函数()g x 单调性可得.详解：（1）当a =3时，f （x ）=3213333x x x ---，f ′（x ）=263x x --．令f ′（x ）=0解得x =33-或x =323+．当x ∈（–∞，323-323++∞）时，f ′（x ）>0；当x ∈（323-，33+f ′（x ）<0．故f （x ）在（–∞，33-），（33+，+∞）单调递增，在（33-，33+递减．（2）由于210x x ++>，所以()0f x =等价于32301x a x x -=++．设()g x =3231x a x x -++，则g ′（x ）=()()2222231x x x xx ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．又f （3a –1）=221116260366a a a ⎛⎫-+-=---< ⎪⎝⎭，f （3a +1）=103>，故f （x ）有一个零点．综上，f （x ）只有一个零点．点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数()f x 的定义域；②求导数()'f x ；③由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的取值范围，当()0f x '>时，()f x 在相应区间上是增函数；当()0f x '<时，()f x 在相应区间上是减增函数.（2）本题第二问重在考查零点存在性问题，解题的关键在于将问题转化为求证函数()g x 有唯一零点，可先证明其单调，再结合零点存在性定理进行论证.模拟检测1．C【分析】根据符号函数的定义，分三种情况讨论化简方程，然后解方程即可.【详解】解：当0x >时，方程2sgn 21x x x =-可化为221x x =-，化简得()210x -=，解得1x =；当0x =时，方程2sgn 21x x x =-可化为01=-，无解；当0x <时，方程2sgn 21x x x =-可化为221x x -=-，化简得2210x x +-=，解得1x =-（舍去）或1x =--；综上，方程2sgn 21x x x =-的解是1或1-.故选：C.2．C【分析】将函数()21()2f x a x x x =-+有且仅有两个零点，转化为()212a x x x =--由两个不同的根，在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象，利用数形结合法求解.【详解】令()21()20f x a x x x =-+=，则()212a x x x =--由两个不同的根，令()()212g x x x x =--，则()()23342x g x x x -'=--，当0x <时，()0g x '>，当403x <<时，()0g x '<，当423x <<或2x >时，()0g x '>，当43x =时，()2732g x =，在同一坐标系中作出(),y a y g x ==的图象，如图所示：因为函数()21()2f x a x x x=-+有且仅有两个零点，由图象知：实数a =3227，故选：A 3．B 【分析】根据零点存在性定理，由3()9x f x e x =+-为增函数，带入相关数值判断即可得解.【详解】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.4．C 【分析】首先讨论0x =，在0x ≠时，利用分离参数的思想，画出13y x x=++的图像，利用数形结合判断出答案.【详解】当0x =时，()010f =≠，故0x =不是方程()0f x a x -=的根，当0x ≠时，由()0f x a x -=得，13a x x=++，方程()0f x a x -=恰有两个不同的实根等价于直线y =a 与函数13y x x=++的图像有两个不同的交点，作出函数()y f x =的大致图像如图所示，由图可知，0a =或15a <<.故选：C.【点睛】本题解题时利用了数形结合的思想，根据图像判断出结果.5．D 【分析】方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根，即直线(3)y a x =+与曲线()y f x =，作出函数图像，即转化为2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根，可得答案.【详解】设(3)y a x =+，该直线恒过点()3,0-，方程()(3)f x a x =+有四个不同的实数根如图作出函数()y f x =的图像，结合函数图象，则0a >，所以直线(3)y a x =+与曲线()22,2,0y x x x =--∈-有两个不同的公共点，所以2(2)30x a x a +++=在()2,0-有两个不等实根，令()2(2)3g x x a x a =+++，实数a 满足()()()22120220203020a a a g a g a ⎧∆=+->⎪+⎪-<-<⎪⎨⎪=>⎪-=>⎪⎩，解得04a <<-，所以实数a的取值范围是(0,4-.故选：D.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解6．B 【分析】化简可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，转化为cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2m y =-只有1个交点，根据,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦结合三角函数的性质可求出.【详解】由2sin2x x m -=-可得1cos sin22xx m +-=，化简可得cos 262m x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象和直线2my =-只有1个交点.又,46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦.当263x ππ+=-，即4πx =-时，可得1cos ;32y π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当206x π+=，即12x π=-时，可得1y =；当262x ππ+=，即6x π=时，可得0.y =要使得cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2my =-只有1个交点，可得12m-=或1022m -<，解得2m =-或10m -<.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数与方程的应用，解题的关键是化简将题目转化为cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象和直线2m y =-只有1个交点.7．B 【分析】作出函数()f x 的图象，求出a 的取值范围，由此可得出()12f a a -=的取值范围.【详解】当1x >-时，311x -->-，作出函数()f x 的图象如下图所示：设()()()t f a f b f c ===，由图可知，当01t <<时，直线y t =与函数()f x 的图象有三个交点，由()()30,1f a a =+∈，解得32a -<<-，因为()12f -=，因此，()()124,9f aa -=∈.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.8．D 【分析】根据函数为偶函数，通过求导先求0x >时函数的图像与性质，然后结合图像，求临界点时k 的值，即()f x 和直线kx 相切时的切线斜率，再根据对称性即可得解.【详解】当0x >时，令()21ln 0xf x x-'==，则e x =.即()0,x e ∈时，()f x 单调递增.(),x e ∈+∞时，()f x 单调递减.若关于x 的方程()f x kx =有三个不相等的实数根，如图，当0k >时，设过点()0,0做曲线的切线交曲线于点000ln ,x P x x ⎛⎫⎪⎝⎭，切线方程为：()000200ln 1ln x x y x x x x --=-切线又过点()0,0，则0000ln 1ln x x x x --=-，即0x e =又∵ln xy x=在()0,x e ∈时单调递增.∴0x e =，切线的斜率为12e ，∴10,2k e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭由对称性知：11,00,22k e e ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.【点睛】本题考查了函数方程问题，考查了利图象交点求参数范围，同时考查了利用导数研究函数的单调性，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）利用导数研究函数的单调性，并能正确画出函数图像；（2）求临界值，掌握过某点求切线方程.9．C 【分析】A 根据函数奇偶性的定义即可判断()f x 的奇偶性；B 利用放缩法，当0x >易证()1f x >，由奇函数的对称性知0x <时()1f x <-，即可知()f x 与sin y x =的交点情况；C ：由()2f x =变形可得112713x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭只需判断()1g x =解得个数即可；D 根据函数解析式求出()()2,1f f --比较大小即可.【详解】A ：()f x 定义域为{|0}x x ≠且()()()()()()333391log log 91log 91log 9191120x x x x x f x f x x x x x -⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭-+=-+-=--=-，故()f x 为奇函数，错误；B ：当0x >时有()3log 91211xf x x>-=-=，又()f x 为奇函数，则当0x <时，()1f x <-，即在R 上()f x ∈()(),11,-∞-⋃+∞，则()f x 的图象与sin y x =没有交点，错误，C ：若()2f x =，则有()3log 9112x x+-=，即()3log 913x x +=，变形得9127x x+=，即112713xx⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭，设()11327x xg x ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 为减函数且其值域为()0,+¥，则()1g x =有且只有一个解，即()f x 的图象与2y =只有一个交点，正确，D ：()()2333182log 1log 2log 918181211222f -⎛⎫⎛⎫++ ⎪+ ⎪⎝⎭-=-=--=- ⎪- ⎪⎝⎭3182log 29=-⨯3log 3=-，而()333110101log 11log 1log 993f ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有()()21f f ->-，错误.故选：C.【点睛】关键点点睛：A 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性，B 放缩法及奇函数的对称性，结合正弦函数的性质判断交点情况，C 将交点问题，通过恒等变形转化为方程是否有解的问题，D 通过函数解析式求函数值，进而比较大小.10．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】令ln ()10xxf x ae x=--=，转化为ln 0x axe x x --=有两个不同的根，令()ln x g x axe x x =--，转化为函数()g x 有两个零点，用导数法求解.【详解】令ln ()10xxf x ae x=--=，则ln 0x axe x x --=，令()ln x g x axe x x =--，则()()1111xxx g x ae axe x ae x x ⎛⎫'=--=+- ⎝+⎪⎭，当0a ≤时，()0g x '<在()0,∞+上恒成立，()g x 递减，不可能有两个零点，当0a >时，存在0x 使得()00g x '=，即01x aex =，当00x x <<时，()00g x '<，当0x x >时，()00g x '>，若()f x 两个不同的零点，即()g x 有两个零点，则()00g x <，即()0000001ln 1ln 1ln0x xg x ax e x x e x a=--=-=-<，解得10a e<<，故答案为：10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．1【分析】根据新运算的定义，得到函数解析式为()()()()112f x kx kx x x =-+-，再根据函数图象关于直线12x =对称，得到函数的四个零点两两对称，列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意可得：()()()()()()()222Δ12112f x kx x k x x x kx kx x x ==--=-+-，0k >，则函数()()()()112f x kx kx x x =-+-有四个零点，从大到小依次是1k -，0，1k，2，因为函数()f x 的图象关于直线12x =对称，所以1,0k ⎛⎫-⎪⎝⎭与()2,0关于直线12x =对称，1,0k ⎛⎫⎪⎝⎭与()0,0关于直线12x =对称，所以101,121,k k ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得 1.k =故答案为：1.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于由函数新定义得到函数解析式，确定函数零点，再由对称性，即可求解.12．②③⑤【分析】对于①，利用函数的奇偶性的定义进行判断即可；对于②，由于。
高考数学一轮复习专题11函数与方程(含解析)
专题11函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.基础知识融会贯通1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．重点难点突破【题型一】函数零点所在区间的判定【典型例题】函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．【再练一题】函数f（x）＝log8x的一个零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：函数f（x）＝log8x的连线增函数，∵f（1）＝00，f（2）＝log820，可得f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），故选：B．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法．【题型二】函数零点个数的判断【典型例题】已知偶函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝f（x﹣1）且x∈[0，1]时f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣log3|x|的零点个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x），取x＝x+1，得：f（x+1+1）＝f（1﹣x﹣1），所以f（x+2）＝f（﹣x），又因为函数为偶函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数．因为当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x，由偶函数可知，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，所以函数f（x）的图象是f（x）＝x在[﹣1，1]内的部分左右平移2个单位周期出现，0求函数g（x）＝f（x）﹣|log3x|的零点个数，就是求两函数y＝f（x）与y＝|log3x|的交点个数，由于log33＝1，所以两函数在（0，3]内有2个交点，根据对称性可知：[﹣3，0）内有2个交点，所以交点总数为4个，所以函数g（x）＝f（x）﹣|log3x|的零点个数为4．故选：D．【再练一题】已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数，即方程πx的解的个数．当x＞0时，方程即x+1，故该方程解的个数即函数y＝x+1与函数y的图象的交点个数．当x＜0时，方程即x﹣1，故该方程解的个数即函数y＝x﹣1与函数y的图象的交点个数，数形结合可得，方程πx的解的个数为2，故选：C．思维升华函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图象的交点个数判断．【题型三】函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数【典型例题】已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在x＝1处取到极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx﹣ax+1，∴x＞0，，∵f（x）在x＝1处取到极值，∴f′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，∴实数a的值为1．（2）∵x＞0，，由f′（x）＝0，得x当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）在上单调递减．∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，∴f（）是函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多只有一个零点，∴f（）＝ln0，解得0＜a＜1，此时，，且f（）＝﹣110，f（）＝2﹣2lna1＝3﹣2lna，（0＜a＜1），令F（a）＝3﹣2lna，则F′（x）0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）＝3﹣e2＜0，即f（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．【再练一题】已知函数的图象过点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有3个零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）因为函数的图象过点．所以，解得a＝2，即，所以f'（x）＝x2﹣x﹣2．由f'（x）＝x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＜﹣1或x＞2．所以函数f（x）的递减区间是（﹣1，2），递增区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（2）由（1）知，同理，，由数形结合思想，要使函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有三个零点，则，解得．所以m的取值范围为．命题点2 根据函数有无零点求参数【典型例题】已知函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+b，f（1）＝1．（1）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，解不等式f（x）＞1．【解答】解：（1）由f（1）＝1得1+a﹣1+b＝1，得a+b＝1，因为函数f（x）没有零点，所以x2+（a﹣1）x+b＝0中△＜0，即（a﹣1）2﹣4b＜0，又b＝1﹣a，所以（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＜0，化为a2+2a﹣3＜0，解得﹣3＜a＜1；（2）函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，即，又b＝1﹣a，联立解得a＝﹣1，b＝2．∴x2﹣2x+2＞1，化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以f（x）＞1的解集为{x|x≠1}．【再练一题】已知f（x）＝a cos2x+2cos x﹣3（Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y＝f（x）存在零点，求a的取值范围．【解答】解：由已知可得：f（x）＝a cos2x+2cos x﹣3＝2a cos2x+2cos x﹣（3+a）．（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝2cos2x+2cos x﹣4＝2（cos x）2由﹣1≤cos x≤1，得函数y＝f（x）的值域为[，0]（Ⅱ）函数y＝f（x）存在零点，即2at2+2t﹣（3+a）＝0在[﹣1，1]上有解．（1）a＝0时，方程的解t∉[﹣1，1]不满足条件（2）当a≠时，设g（t）＝2t2（）则①当g（﹣1）g（1）≤0时满足条件，此时有1≤a≤5②当g（﹣1）g（1）＞0时时，必有以下四式同时成立即g（﹣1）＞0，g（1）＞0，△≥0，﹣11．解得a＞5，或a综上可得，a的取值范围为（﹣∞，）∪[1，+∞）命题点3 根据零点的范围求参数【典型例题】已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，∴p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5在（0，3）上有零点．∴△＝（4k2﹣8k+4）﹣12k﹣60≥0，解得k≤﹣2，或k≥7．若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则p（0）p（3）＝（k+5）（7k+26）＜0 ①，或②，或③，或④．解①得﹣5＜k，解②得k∈∅，解③得k，解④可得k＝﹣2，或k＝7．当k＝7时，p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5＝3x2+12x+12的零点是﹣2，不符合题意所以k＝7舍去．若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得k≤﹣2．综上所述，实数k的取值范围为[﹣5，﹣2]．（2）函数q（x），即q（x）．显然，k＝0不满足条件，故k≠0．当x≥0时，q（x）＝2k2x+k∈[k，+∞）．当x＜0时，q（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5∈（5，+∞）．记A＝[k，+∞），B∈（15，+∞）．①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＜0，且A⊆B，故k≥5；②当x2＜0时，q（x）在（﹣∞，0）上是减函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＞0，且B⊆A，故k≤5；综上可得，k＝5满足条件．故存在k＝5，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）．【再练一题】已知函数f（x）alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＞0，函数f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x．①a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；②a＞0时，由f′（x）＞0得x；由f′（x）＜0得0＜x．即f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，①若1，即0＜a≤1时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（1），f（x）在区间（1，e）上无零点．②若1e，即1＜a＜e2时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e）上单调递增．f（x）min＝f（）a（1﹣lna）．∵f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，∴f（1）0，f（）a（1﹣lna）＜0．f（e）e2﹣a＞0，∴e＜a e2．③若e，即a≥e2时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（1）0，f（e）e2﹣a＜0，f（x）在区间（1，e）上有一个零点．综上，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点时a的取值范围是（e，e2）．思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法．(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．基础知识训练1．下列函数中，能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意以及零点判定定理可知：只有选项D能够应用二分法求解函数的零点，故选：D．2．方程的根所在的区间为A．B．C．D．【答案】C【解析】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数上有零点．故选：C．3．函数的零点所在的一个区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】上的增函数，又，故零点所在对的区间为，选C．4．已知函数若方程有5个解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，当时，，所以函数上是偶函数，当时，单调递减，且当时，，当时，，因此，作出函数的大致图象如图所示：设，则原方程为，因为是方程的根，所以由图象可知，若关于的方程有五个不同的实数解，只需直线与函数的图象有三个不同的公共点，且关于的方程有两个不同的公共点，其中一根，另一根，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选D.5．已知函数满足，当时，；当时，，若函数上有五个零点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】有题意知，则的周期为。
2020年湖北高考数学函数与方程高级题及解析
2020年湖北高考数学函数与方程高级题及解析在2020年湖北高考的数学考试中，函数与方程是一个重要的考点，涉及到高级题型。
本文将介绍几道高级函数与方程题目，并给出解析，帮助考生更好地理解和掌握相关知识。
题目一：已知函数f(x)=2x^3+3x，其中x为实数。
（1）若f(a+b)=28，且f(a)-f(b)=50，求实数a和b的值。
（2）若函数g(x)=f(x-2)+k，其中k是常数，满足g(0)=0，求函数g(x)的解析式。
解析一：（1）我们根据题意，首先根据f(a+b)=28可以得出等式1：2(a+b)^3+3(a+b)=28。
然后根据f(a)-f(b)=50可以得出等式2：2a^3+3a-2b^3-3b=50。
我们需要解这个方程组，整理得：2(a+b)^3+3(a+b)-50=0，将a+b用x代替，得到2x^3+3x-50=0。
我们将这个方程转化为立方方程组：(2x-5)(x^2+2x+10)=0。
解得x=2或x=-1±3i。
对应到题目中，a+b=2或a+b=-1±3i。
根据实数的定义，我们可以推断出a+b=2。
代入等式1，可以得到2(2)^3+3(2)=28，计算可知等式成立。
所以实数a和b的值分别为2。
（2）我们需要根据题意得到g(x)的解析式，就是将f(x-2)+k表示为一个具体的函数。
根据f(x)=2x^3+3x，将x替换为x-2，得到f(x-2)=2(x-2)^3+3(x-2)。
将其展开并整理，得到f(x-2)=2x^3-18x^2+45x-31。
将此式代入g(x)=f(x-2)+k，得到g(x)=2x^3-18x^2+45x-31+k。
根据g(0)=0，我们可以得到k=31。
所以函数g(x)的解析式为g(x)=2x^3-18x^2+45x，其中x为实数。
题目二：已知函数f(x)=2x^2+px+1，其中p为常数。
（1）若f(1)=7，求p的值。
（2）若f(g(x))=(x+1)^2，其中函数g(x)满足g(f(1))=2，求g(x)的解析式。
专题12函数与方程--2022年(新高考)数学高频考点+重点题型(解析版)
专题12函数与方程--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型一、关键能力学生应掌握函数的零点、方程的解、图象交点（横坐标）三者之间的灵活转化，以实现快速解决问题．二、教学建议从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是函数零点(方程的根)个数的判断及由零点存在性定理判断零点是否存。
常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数，或利用函数零点确定参数的取值范围等．也可与导数结合考查.题目的难度起伏较大.三、自主梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系（☆☆☆）(x0)，(x0)(x0)无交点四、高频考点+重点题型考点一、求解函数零点例1-1（直接求解函数零点）(2019·全国卷⇔)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]所有零点之和为【答案】3π【解析】由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x·(1－cos x)＝0得sin x＝0或cos x ＝1，⇔x＝kπ，k⇔Z，又⇔x⇔[0,2π]，⇔x＝0，π，2π，即零点有3个.例1-2（二分法求零点）用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)【答案】1.56【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.对点训练1.（天津高考真题）已知函数,函数,则函数的所有零点之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】当x<0时2−x>2,所以f(x)=2−|x|=2+x,f(2−x)=x2,此时函数f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−3=x2+x−1的小于零的零点为x=−1+√5;当0≤x≤2时f(x)=2−2|x|=2−x,f(2−x)=2−|2−x|=x,函数f(x)−g(x)=2−x+x−3=−1无零点;当x>2时,f(x)=(x−2)2,f(2−x)=2−|2−x|=4−x,函数f(x)−g(x)=(x−2)2+4−x−3=x2−5x+5大于2的零点为x=5+√5,综上可得.故选A.2对点训练2.（2020·郸城县实验高中高一月考）如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点.给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是（ ）A ．[－2.1，－1]B ．[4.1，5]C ．[1.9，2.3]D ．[5，6.1]【答案】C 【解析】结合图象可得：ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点， C 选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点. 故选：C对点训练3．用二分法求函数()y f x =在区间()2,4上的近似解，验证()()240f f <，给定精度为0.1，需将区间等分__________次. 【答案】5 【解析】因为区间()2,4的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次. 故答案为5.考点二、判断函数零点个数 例2-1（直接求解零点）（2020·江苏省高三其他）设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_______.[]t t [ 1.3]2-=-[2.6]2=[]()21f x x x =--【答案】2 【解析】函数的零点即方程的根，函数的零点个数，即方程的根的个数..当时，. 当时，或或（舍）. 当时，，方程无解. 综上，方程的根为，1. 所以方程有2个根，即函数有2个零点. 故答案为：2.例2-2（零点存在定理+单调性）（2021·北京清华附中高三其他模拟）函数()ln 6f x x x =+-的零点一定位于区间（ ） A ．()2,3 B ．()3,4C ．()4,5D ．()5,6【答案】C 【解析】根据零点存在性定理，若在区间(,)a b 有零点，则()()0f a f b ⋅<，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】由题意得()ln 6f x x x =+-为连续函数，且在(0,)+∞单调递增，(2)ln 240,(3)ln330f f =-<=-<，2(4)ln 42ln 20f e =-<-=，(5)ln 51ln 10f e =->-=，根据零点存在性定理，(4)(5)0f f ⋅<，[]()21f x x x =--[]21x x -=∴()f x []21x x -=[]210,0,0x x x -≥∴≥∴≥01x ≤<[]10,210,2x x x =∴-=∴=1x =[]1,211,211x x x =∴-=∴-=211,1x x -=-∴=0x =1x >[]2121x x x x -=->≥∴[]21x x -=[]21x x -=12[]21x x -=[]()21f x x x =--所以零点一定位于区间()4,5. 故选：C例2-3（2021·山东烟台市·高三二模）已知函数()f x 是定义在区间()(),00,-∞+∞上的偶函数，且当()0,x ∈+∞时，()()12,0221,2x x f x f x x -⎧<≤⎪=⎨-->⎪⎩，则方程()2128f x x +=根的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】D 【解析】将问题转化为()f x 与228xy =-的交点个数，由解析式画出在(0,)+∞上的图象，再结合偶函数的对称性即可知定义域上的交点个数. 【详解】要求方程()2128f x x +=根的个数，即为求()f x 与228xy =-的交点个数，由题设知，在(0,)+∞上的图象如下图示，∴由图知：有3个交点，又由()f x 在()(),00,-∞+∞上是偶函数，∴在,0上也有3个交点，故一共有6个交点.故选：D.对点训练1.（2020·开原市第二高级中学高三）函数21()f x x x=+，(0,)x ∈+∞的零点个数是（ ）. A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】根据函数定义域，结合零点定义，即可容易判断和求解. 【详解】 由于20x >，10x>， 因此不存在(0,)x ∈+∞使得21()0f x x x=+=， 因此函数没有零点. 故选：A .对点训练2-1.（2020·海丰县彭湃中学高一期末）函数的零点所在的大致区间为（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D 【解析】因为函数在R 上单调递减, ,,所以零点所在的大致区间为 故选:D对点训练2-2【多选题】（2021·湖北荆州市·荆州中学高三其他模拟）在下列区间中，函数()43x f x e x =--一定存在零点的区间为（ ）A ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．(,3)e -C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭31()102f x x x =--+(1,0)-(0,1)(1,2)(2,3)31()102f x x x =--+(2)10f =>(3)0f <(2,3)【答案】ABD 【解析】本题首先可通过求导得出函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数、在(),ln 4-∞上是减函数以及()ln 40f <，然后通过函数()f x 的单调性以及零点存在性定理对四个选项依次进行判断，即可得出结果. 【详解】()43x f x e x =--，()4x f x e '=-，当()0f x '>时，ln 4x >，函数()f x 在()ln 4,+∞上是增函数； 当()0f x '<时，ln 4x <，函数()f x 在(),ln 4-∞上是减函数，()ln4ln 44ln 4314ln 40f e =--=-<，A 项：()1114310f e e--=-=+>+，1211435022f e ⎛⎫=-⨯-=< ⎪⎝⎭，因为()1102f f ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点，A 正确；B 项：()430ef e e e -+-=->，()333123150f e e =--=>-，因为ln 43e，()ln 40f <，所以函数()f x 在(,3)e -内存在零点，B 正确；C 项：()00320f e =-=-<，102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，()1002f f ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭， 因为1ln 42，所以函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，C 错误； D 项：()10f ->，11430e f e e e ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()110f f e ⎛⎫-⨯< ⎪⎝⎭， 则函数()f x 在11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点，D 正确， 故选：ABD.对点训练3.(2018·全国卷⇔)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)【答案】C【解析】令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.考点三、已知零点求参 例3-1（已知零点个数求参）（2021·广东茂名市·高三二模）已知函数()()12log 1,0,(1),0,x x f x f x x ⎧+≥⎪=⎨⎪+<⎩若函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B 【解析】作出函数()f x 的图象如下图所示，将原问题转化为函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，令()()0g x f x x a =--=，即()+f x x a =， 所以要使函数()()g x f x x a =--有且只有两个不同的零点，则需函数()f x 的图象与直线+y =x a 有两个不同的交点，根据图示可得实数a 的取值范围为(]10-，，故选：B.例3-2（已知零点所在区间求参）函数f (x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)【答案】C【解析】因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )＜0，解得0＜a ＜3，故选C 。
函数与方程试题及解答
函数与方程试题及解答1. 函数题（1）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
解答：将x = 2代入函数f(x)，得到f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1。
所以f(2)的值为-1。
（2）已知函数g(x) = 3x - 5，求满足g(x) = 10的x的值。
解答：将g(x) = 10代入函数表达式，得到3x - 5 = 10。
解这个方程，将常数项移到右边，得到3x = 15。
再将方程两边除以3，得到x = 5。
所以满足g(x) = 10的x的值为5。
2. 方程题（1）解方程3x + 5 = 8。
解答：将常数项移到右边，得到3x = 8 - 5 = 3。
再将方程两边除以3，得到x = 1。
所以方程3x + 5 = 8的解为x = 1。
（2）解方程2(x - 3) = 4x + 5。
解答：先将方程两边展开，得到2x - 6 = 4x + 5。
将2x移动到右边，将4x移动到左边，得到-6 - 5 = 4x - 2x。
计算得到-11 = 2x。
再将方程两边除以2，得到x = -5.5。
所以方程2(x - 3) = 4x + 5的解为x = -5.5。
3. 综合题有一个数列，前两项为1，第三项开始，每一项是前两项的和。
求这个数列的第10项。
解答：根据数列的定义，可以得到数列的前几项为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34，接下来可以继续计算得到第10项为34。
所以这个数列的第10项为34。
4. 应用题某公司销售一种产品，根据市场调研，每降低产品售价1元，销量就会增加1000件。
已知该产品售价为20元时，销量为20000件。
问降低售价至多少元时，销量可以达到40000件？解答：假设降价x元时，销量为40000件。
根据已知条件，可以得到方程20 - x = 40000/1000。
将方程简化，得到20 - x = 40。
将常数项移到右边，得到-x = 40 - 20 = 20。
高中数学函数与方程知识点及例题解析
肄高高中高高中数学函数与方程知识点及例题解析膂【知识梳理】蒆1、函数零点的定义芆(1 )对于函数y =f(x)，我们把方程f(x) =0的实数根叫做函数y=f(x)的零点。
蒄(2)方程f (x) =0有实根二函数y = f (x)的图像与x轴有交点二函数y = f (x)有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)=0是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程f(x) =0，所得实数根就是f(x)的零点薀(3 )变号零点与不变号零点蕿①若函数f(x)在零点X。
左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f(x)的变号零点。
芆②若函数f(x)在零点X。
左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f(x)的不变号零点。
蚁③若函数f(x)在区间a,b ］上的图像是一条连续的曲线，则f(a)f(b)c0是f(x)在区间(a,b)内有零点的充分不必要条件。
莂2、函数零点的判定芈(1)零点存在性定理：如果函数y =f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的曲线，并且有 f (a) f (b) ：：：0，那么，函数y =f(x)在区间a,b内有零点，即存在& (a,b)，使得“畑=0,这个x°也就是方程f(x) =0的根。
莆(2)函数y二f(x)零点个数(或方程f(x) =0实数根的个数)确定方法肂① 代数法：函数y=f(x)的零点=f(x)=0的根；螀②(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y = f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
肇(3)零点个数确定菜厶.0：= y=f(x)有2个零点二f(x)=0有两个不等实根；蒃,■：- 0^ y = f(x)有1个零点二f(x) =0有两个相等实根；蒂也<0二y = f(x)无零点二f(x)=0无实根；对于二次函数在区间hb］上的零点个数，要结合图像进行确定•1、2、肀二分法薅(1)二分法的定义：对于在区间［a,b］上连续不断且f(a).f(b)：：：o的函数y=f(x)，通过不断地把函数y = f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法；袄(2)用二分法求方程的近似解的步骤：羀① 确定区间［a,b］,验证f(a) f (b) ：：:0,给定精确度；;衿②求区间(a,b)的中点c；蚅③计算f (c)；芅(i )若f(c) =0,则c就是函数的零点;蚂(ii)若f (a) f (c) <0 ,则令b=c(此时零点沧(a,c));蚈(iii)若 f (c)(b) ：：：0,则令a = c(此时零点x0：=(c,b));螅④判断是否达到精确度S即a-b 则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步莂【经典例题】腿1 •函数f(x)=2x+x‘ - 2在区间(0,1)内的零点个数是( )袅2•函数f(x)= 2x+ 3x 的零点所在的一个区间是 ()袁3•若函数f(x)二a x-x-a (a 0且a=1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ____________________ .蒀4.设函数 f(x)(x ：二 R)满足 f( -x )=f(x), f(x)=f(2 —X)，且当 x ：二［0,1］时,1 3则函数h (x)=g(x)-f(x)在 ［- — ,—］上的零点个数为()2 2袅 A、5 B 、6 C 、7 D 、82膃5•函数f(X)=XCOSX 在区间［0,4］上的零点个数为( )艿 A 、4 B 、5 C 、6 D 、7膈6.函数 f(x) =、j x -COSX 在［0,：：)内 ()羅A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有无穷多个零点a, a — b 三122薄7•对实数a 和b ,定义运算？”： a?b =〈设函数f(x) = (x 2— 2)?(x — x 2), x € R ，若函数y =f(x)b, a — b>1.—c 的图象与X 轴恰有两个公共点，则实数 C 的取值范围是()肅8.已知函数f (x ) = log a x x -b(a> 0,且a = 1).当2 v a v 3 v b v 4时，函数f (x )的零点x ° (n, n 1), n N ,贝V n 二 ____ .羅9.求下列函数的零点：32葿(1) f(x)二x -2x -x 2 ；羀10.判断函数y = x 3— x — 1在区间［1,1.5］内有无零点，如果有，求出一个近似零点 (精确度0.1).螃 A 、(- 2, - 1) B 、( - 1,0)C 、(0,1)D 、 (1,2)3f(x)=x .又函数 g(x)= |xcos (二肁 A、(—汽一2］ U (2) f(x)二x-£.XB 、(―汽—2］ U羇C 、-1,3D 、3U膄【课堂练习】肂1、在下列区间中，函数 f(x)二e x• 4x -3的零点所在的区间为 (蝿2、若X 0是方程lg x x=2的解，贝y X o 属于区间芄A、 (0,1) B 、 (1,1.25) C 、 (1.25,1.75)蒃3、下列函数中能用二分法求零点的是袃 4、函数 f x =2x+3x 的零点所在的一个区间是莁 6、函数 f X = '. x -cosx 在［0, •：：)内肃8、下列函数零点不宜用二分法的是()蒄9、函数f(x)=log 2X+2X-1的零点必落在区间C 、 *1D 、(1,2)薈 A . ( -2,-1) (-1, 0) C 、( 0, 1)(1 , 2)莄5、设函数f X =4sin (2x+1) -x ，则在下列区间中函数f X 不存在零点的是袄 A、［-4,-2］B 、［-2,0］C 、［0,2］D 、［2,4］1 膁 A 、(— — 0)4?1B 、匕C 、(1,1) 4 2D 、D 、 (1.75,2)莇 A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点 有无穷多个零点蒄7、若函数f (x)的零点与g(x^4X2x -2的零点之差的绝对值不超过0.25, 则f (x)可以是()芅 A、 f (x) = 4x -12f(xH(x-1)f (x) = e x-11f (x)=ln(x-23莀A、 f(x)二x -8 B 、 f(x)=lnx 3C 、f(x)=x 22、、2x 22f (x) _ -x 4x11莃10、lg x 0有解的区域是( )x羁A、(0, 1] B、(1, 10] C、(10, 100]莆11、在下列区间中，函数f(x)=ex4x -3的零点所在的区间为()1 1 11 13蚅A、(-—,0)B、(0，;) C、(~ - ) D、(二，)4 4 4 2 2 4 肄12、函数f (x^ ： x log 2 x的零点所在区间为( )蚀A、[0,1]8C、1D、[?1]螀13、设f x]=3x• 3x -8 ,用二分法求方程3x• 3x -8 =0在x三i：1,2内近似解的过程中得f 1 :: 0, f 1.5 0, f 1.25 :：: 0,则方程的根落在区间( )肅A、(1,1.25) B、(1.25,1.5) C (1.5,2) D、不能确定蒂14、设函数f(x) =4sin(2x，1)-x，则在下列区间中函数 f (x)不存在零点的是( )螂A、1-4, -2\B、[-2,ol C、〔0,21 D、12,4 1x2 +2x_3 x 兰0袀15、函数f (x) ，零点个数为(l—2+l nx,x:>0C、1 蒆16、若函数f(x) =x3 x2 -2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:羀那么方程x3・X2-2X-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 ( )羄A、1.2 B、 1.3 C、1.4 D、1.5莄17、方程2 -・x2=3的实数解的个数为 ________________ .聿18、已知函数f(x) =x2• (a2 -1)x a _2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数2聿19、判断函数f (x) =4x • x2 _^x3在区间［-1,1］上零点的个数，并说明理由。
高考数学《函数与方程综合问题》专题复习
第五讲函数与方程综合A 组一、选择题1．（2018全国卷Ⅰ）已知函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x e x f x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0)-B ．[0,)+∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞【答案】C【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根， 函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象， 如图所示，xy–1–2123–1–2123O由图可知，1≤-a ，解得1-≥a ，故选C ．2.已知实数a ，b 满足23a=，32b=，则函数()xf x a x b =+-的零点所在的区间是（ ）A. ()21--，B.()1,0-C.()0,1D.()1,2 【解析】23a =，32b =，∴1a >，01b <<，又()x f x a x b =+-，∴()1110f b a-=--<，()010f b =->，从而由零点存在定理可知()f x 在区间()1,0-上存在零点．故选B.3.已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是A ．），（210B ．），（121C ．），（21D ．），（∞+2【答案】B【解析】如图所示，方程()()f x g x =有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y kx =的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1y x =-的斜率时符合题意，故选112k <<．4.设函数1()ln 3f x x x =-，则函数()f x ( ） A ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均有零点 B ．在区间1(,1)e ，(1,)e 内均无零点C ．在区间1(,1)e内有零点，在(1,)e 内无零点 D ．在区间1(,1)e内无零点，在((1,)e 内有零点 【解析】1()ln 3f x x x =-的定义域为(0,)+∞，'11()3f x x=-，故()f x 在(0,3)上递减，又 1()0,(1)0,()0f f f e e>><，故选D. 5. 已知函数()f x 满足：()()1fx f x +=-，且()f x 是偶函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，若在区间[]1,3-内，函数()()k kx x f x g --=有4个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．()+∞,0 B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由(1)()()f x f x f x +=-⇒的周期为2，又()f x 是偶函数，且[]0,1x ∈时，()2f x x =，故可示意()f x 在[1,3]-上图象，()()k kx x f xg --=有4个零点转化为函数()f x 与(1)y k x =+在x ∈[1,3]-上有4个交点，由图象知1(0,]4k ∈，故选C.6.已知方程923310x xk -⋅+-=有两个实根，则实数k 的取值范围为（ ） A.2[,1]3 B. 12(,]33 C.2[,)3+∞ D.[1, ＋∞)【解析】设3xt =，原题转化为函数2()231g t t t k =-+-在(0,)t ∈+∞上有两个零点（可以相同），则44(31)020310k k --≥⎧⎪>⎨⎪->⎩解得12(,]33k ∈，故选B.7.（2016高考新课标2卷理）已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()miii x y =+=∑（ ）A. 0B. mC. 2mD. 4m 【解析】由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选B.（客观上函数()y f x =与1x y x+=有共同的对称中心(0,1)，所以它们的所有交点 关于(0,1)对称 二、填空题8．（2018年全国卷Ⅲ）函数()cos(3)6f x x π=+在[0,]π的零点个数为________．【答案】3【解析】由题意知，cos(3)06x π+=，所以362x k πππ+=+，k ∈Z ，所以93k x ππ=+，k ∈Z ，当0k =时，9x π=；当1k =时，49x π=；当2k =时，79x π=，均满足题意，所以函数()f x 在[0,]π的零点个数为3．10．若函数f (x )=21x --x-m 无零点,则实数m 的取值范围是 .【解析】原题转化为函数y =1的平行线系y x m =+没有公共点的问题，画图，可得1m <-或2m >.11．设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间[0,2]π上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= . 【解析】原方程可变为2sin()3a x π=+，作出函数2sin()3y x π=+的图象，再作直线y a =，从图象可知 函数2sin(x )3y π=+在[0,]6π上递增，在7[,]66ππ上递减，在7[,2]6ππ上递增，只有当3a =时，才有三个交点，1230,,23x x x ππ===，所以123x x x ++=73π.12.（2016高考山东卷理）已知函数2||,()24,x x m f x x mx m x m≤⎧=⎨-+>⎩ 其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有三个不同的根，则m 的取值范围是________________.【解析】画出函数图象如下图所示：由图所示，要()f x b =有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即2224,30m m m m m m m >-⋅+->，解得3m >.13.（2018年高考上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%(0100)x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,030,()1800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩≤（单位：分钟）， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．(2)设该地上班族总人数为n ，则自驾人数为%n x ⋅，乘公交人数为(1%)n x ⋅-．因此人均通勤时间30%40(1%),030()1800(290)%40(1%),30100n x n x x ng x x n x n x x x n ⋅⋅+⋅⋅-⎧<⎪⎪=⎨+-⋅⋅+⋅⋅-⎪<<⎪⎩≤，整理得：240,0010()1(32.5)36.875,3010050x x g x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤3，则当(0,30](30,32.5]x ∈，即(0,32.5]x ∈时，()g x 单调递减；当(32.5,100)x ∈时，()g x 单调递增．实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通拥堵，使得整体效率下降．B 组一、选择题 1.设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点11(,)A x y ，22(,)B x y ，则下列判断正确的是( )A ．120x x +>，120y y +>B ．120x x +>，120y y +<C ．120x x +<，120y y +>D ．120x x +<，120y y +< 【解析】依题意，示意图象，可知120x x +>，且12,x x 异号，而1212120x x y y x x ++=<，故选B.2.已知函数()1xf x xe ax =--,则关于()f x 的零点叙述正确的是( ) A.当0a =时,函数()f x 有两个零点 B.函数()f x 必有一个零点是正数 C.当0a <时,函数()f x 有两个零点 D.当0a >时,函数()f x 只有一个零点 【解析】函数()1xf x xe ax =--的零点可转化为函数xy e =与1y a x=+图象的交点情况研究，选B. 3.已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数,则实数m 的取值范围是( )A. (0,2)B. (0,8)C. (2,8)D.(,0)-∞【解析】依题意，0m =不符；0m <时，则对于[0,)x ∀∈+∞，当x →+∞时，显然()0f x <，不符；0m >时，则对于(,0]x ∀∈-∞，()0f x >，由(0)10f =>，需对称轴：024>-=m m x 或⎪⎩⎪⎨⎧<--≤-08)4(40242m m mm， 解得(0,8)x ∈，故选B.4.函数()lg(1)sin 2f x x x =+-的零点个数为 ( )A. 9B. 10C. 11D. 12 【解析】示意函数lg(||1)y x =+与y sin 2x =的图象可确定选D.5.已知函数sin()1,0()2log (0,1),0a x x f x x a a x π⎧-<⎪=⎨⎪>≠>⎩的图象上关于y 轴对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（ ） A.5(0,)5 B.5(,1)5C.3(,1)3D.3(0,)3 【解析】依题意，需要()f x 在y 轴左侧图象对称到y 轴右侧，即sin()1(0)2xy x π=-->，需要其图象与()f x 原y 轴右侧图象至少有3个公共点，1a >不能满足条件，只有01a <<，如图，此时，只需在5x =时，log a y x =的纵坐标大于2-，即log 52a >-，得505a <<. 6.已知实数,0,()lg(),0,x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若关于x 的方程2()()0f x f x t ++=有三个不同的实根，则t 的取值范围为（ ）A ．]2,(--∞ B ．),1[+∞ C ．]1,2[- D ．),1[]2,(+∞--∞【解析】做出函数)(x f 的图象，如图所示，由图可知，当1≥m 时直线m y =与)(x f 的图象有两个交点，当1<m 时直线m y =与)(x f 的图象有一个交点，题意要求方程0)()(2=++t x f x f 有三个不同的实根，则方程20m m t ++=必有两不等实根，且一根小于1，一根不小于1，当011=++t ，即2-=t 时，方程022=-+m m 的两根为1和2-，符合题意；当011<++t ，即2-<t 时，方程20m m t ++=有两个不等实根，且一根小于1，一根大于1，符合题意.综上由2-≤t .7.(2018年江苏卷)若函数)(12)(23R a ax x x f ∈+-=在()+∞,0内有且只有一个零点，则)(x f 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为________． 【答案】–3【解析】由得，因为函数在上有且仅有一个零点且，所以，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以，8. 设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩.（1）若1a =，则()f x 的最小值为______；（2）若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】（1）当1a =时，若1x <，()(1,1)f x ∈-；当时1x ≥，223()4(32)4()12f x x x x =-+=--，则32x =时，min () 1.f x =- （2）0a ≤时，()f x 无零点；不符；102a <<时，()f x 有一个零点；112a ≤<，符合；12a ≤<，()f x 有3个零点；2a ≥，符合. 综上得112a ≤<或 2.a ≥ 9.已知32,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .【解析】由题意，问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组13b a b a b a ⎧≤⎪⎪>⎨⎪-≤⎪⎩有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->a b a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .10.已知函数23f xx x ，R x ∈．若方程10f x a x 恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为__________ ． 【解析】在同一坐标系中画23f xx x 和1g x a x 的图象（如图），问题转化为xy13O tyO 91f x 与g x 图象恰有四个交点．当1ya x 与23yx x （或1ya x 与23yx x ）相切时，f x 与g x 图象恰有三个交点．把1y a x 代入23yx x ，得231x xa x ，即230x a xa，由0=∆，得2340aa，解得1a或9a ．又当0a 时，f x 与g x 仅两个交点，01a ∴<<或9a >． 三、解答题11.设函数22()(ln )x e f x k x x x=-+（k 为常数， 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围. 【解析】（I ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，2'42221()()x x x e xe f x k x x x -=--+322(2)x x xe e k x x x --=-3(2)()x x e kx x--= 由0k ≤可得0xe kx ->， 所以当(0,2)x ∈时，'()0f x <，函数()y f x =单调递减，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()y f x =单调递增. 所以()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞. （II ）由（I ）知，0k ≤时，函数()f x 在(0,2)内单调递减，故()f x 在(0,2)内不存在极值点； 当0k >时，设函数(),[0,)xg x e kx x =-∈+∞， 因为'ln ()xxkg x e k e e=-=-，当01k <≤时，当(0,2)x ∈时，'()0xg x e k =->，()y g x =单调递增，故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点； 当1k >时，得(0,ln )x k ∈时，'()0g x <，函数()y g x =单调递减，(ln ,)x k ∈+∞时，'()0g x >，函数()y g x =单调递增， 所以函数()y g x =的最小值为(ln )(1ln )g k k k =-， 函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点；当且仅当(0)0(ln )0(2)00ln 2g g k g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩， 解得22e e k <<，综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2(,)2e e .C 组一、选择题1.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根【解析】按D 考虑，则由2142222223321132123408064161604,,0a a a a a a aa a a aa ⎧-<⎪⎪-<⎪⇒=<=⇒-<⎨⎪=⎪>⎪⎩，故选D. 2.若,a b 是函数2()(0,0)f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】依题,0a b pab q p q +=⎧⎪=⎨⎪>⎩得0,0a b >>，则,,2a b -这三个数适当排序排成等比数列必有4ab =，,,2a b -这三个数适当排序后成等差数列应有2222a b b a -=-=或，解得4114a ab b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 则5,4p q ==，故9p q +=，选D.3.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A. 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫⎪⎝⎭ D. 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩ ()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<. 故选D. 8642246815105510154.定义在),1(+∞上的函数)(x f 满足下列两个条件：（1）对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立；（2）当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(．记函数()g x =()(1)f x k x --，若函数)(x g 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ） .A [)1,2 .B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,34 .C ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,34 .D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34【解析】∵对任意的),1(+∞∈x 恒有)(2)2(x f x f =成立，且当(]2,1∈x 时，x x f -=2)(， ∴()2,(,2]f x x b x b b =-+∈.由题意得()(1)f x k x =-的函数图象是过定点(1,0)的直线，如图所示红色的直线与线段AB 相交即可（可以与B 点重合但不能与A 点重合），∴可得k 的范围为423k ≤<.5.设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上'()f x x <，若(4)()84f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围为( )A ．[2,2]-B ．[2,)+∞C ． [0,)+∞D ．(,2][2,)-∞-+∞ 【解析】设21()()2g x f x x =-，依题()()0g x g x -+=，则()g x 是奇函数，又在(0,)+∞上'()f x x <，可判断()g x在R 上递减，不等式(4)()84f m f m m --≥-可转化为(4)()g m g m -≥，则4m m -≤，得2m ≥， 故选B.6.定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，13log (1),[0,2)()14,[2,)x x f x x x +∈⎧⎪=⎨⎪--∈+∞⎩，则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为（ ）A ．31a- B ．13a- C ．31a-- D ．13a --【解析】由题意得：133log (1)(1,0],[0,2)1|4|(,1],[2,)()log (1)(0,1),(2,0)|4|1[1,),(,2)x x x x f x x x x x +∈-∈⎧⎪⎪--∈-∞∈+∞=⎨⎪-∈∈-⎪+-∈-+∞∈-∞-⎩，所以当01a <<时()y f x =与y a =有五个交点，其中1|4|,[2,)y x x =--∈+∞与y a =的两个交点关于4x =对称，和为8；|4|1,(,2)y x x =+-∈-∞-与y a =的 两个交点关于4x =-对称，和为-8；3log (1),(2,0)y x x =-∈-与y a =的一个交点，值为13a -；因此 所有零点之和为13a -，故选B. 二、填空题7.（2018年高考浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎪⎨-+<⎪⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是 ___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1,4) (1,3](4,)⋃+∞8.已知函数)(x f 是定义在),0()0,(+∞-∞ 上的偶函数，当0>x 时，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-,2),2(21,20,12)(1x x f x x f x ，则函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数为 个．【解析】函数1)(2)(-=x f x g 的零点个数等价于函数)(x f y =的图象与直线21=y 的图象的交点的个数．由已知条件作出函数)(x f y =的图象与直线21=y 的图象，如下图．由图可知，函数()y f x =的图象与直线21=y 的图象有6个交点．9.已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是 .【解析】令32310ax x -+=，得313()a xx =-+，设1t x=，即33a t t =-+，原问题转化为直线y a =与函数 3()3f t t t =-+只有一个交点且此交点的横坐标为正，由'2()330f t t =-+=，得1t =±，且()f t 在(,1)-∞-递增，在(1,1)-上递减，在(1,)+∞上递增，可知(2)(1)2f f =-=-，由图象得2a <-.10. 函数ln ,0()2ln ,x x ef x x x e⎧<≤⎪=⎨->⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c ++的取值范围为 ．【解析】示意()f x 图象，由,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，不妨令a b c <<，应有211a b e c e e<<<<<<得 ln ln 2ln a b c -==-得1ab =，2c ae =，则 21(1)a b c e a a ++=++，可判断函数21()(1)g a e a a =++在1(,1)a e ∈上递增，故 21(2,2)a b c e e e ++∈++三、解答题11. 已知a R ∈，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【解析】（1）由21log 50x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，得151x +>，解得()1,0,4x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭．（2）()1425a a x a x+=-+-，()()24510a x a x -+--=， 当4a =时，1x =-，经检验，满足题意．当3a =时，121x x ==-，经检验，满足题意． 当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠． 1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈． 综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．（3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +． ()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立． 因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，12t =时， y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。
高中函数知识点总结及经典题目
高中函数知识点总结及经典题目一、一阶导数与导数的应用1. 导数的定义导数是函数在某一点处的斜率，表示函数变化的速率。
2. 导数的计算给定函数$f(x)$，其导数记作$f'(x)$或$\frac{df(x)}{dx}$。
常见函数导数的计算公式如下：- $f(x) = k$，常数的导数为0；- $f(x) = x^n$，幂函数的导数为$nx^{n-1}$；- $f(x) = e^x$，指数函数的导数为$e^x$；- $f(x) = \ln(x)$，对数函数的导数为$\frac{1}{x}$；- $f(x) = \sin(x)$，正弦函数的导数为$\cos(x)$；- $f(x) = \cos(x)$，余弦函数的导数为$-\sin(x)$；3. 导数的性质常见导数的性质包括：- 导数为0的点是函数的极值点；- 相邻函数值异号的两点之间必存在导数为0的点（介值定理）；- 复合函数的导数可以通过链式法则进行计算。
4. 应用举例函数导数的应用包括：- 判断函数的增减性与极值；- 计算曲线的切线方程；- 求函数的最值；- 模型的线性近似。
二、函数的图像与性质1. 函数图像的基本形态常见函数图像的基本形态包括：- 直线函数的图像是一条直线，表达线性关系；- 幂函数的图像形状由幂指数决定；- 指数函数的图像是递增的曲线；- 对数函数的图像是递增且无界的曲线；- 三角函数的图像是周期性的曲线。
2. 函数的对称性与周期性函数的对称性与周期性的特点如下：- 奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，图像以原点对称；- 偶函数满足$f(-x)=f(x)$，图像以$y$轴对称；- 周期函数满足$f(x+T)=f(x)$，图像沿$x$轴重复。
3. 函数的极值与最值函数的极值与最值特点如下：- 函数在极大值点或极小值点处的导数为0；- 函数在增区间与减区间的交界处可能存在极值；- 函数的最值可能出现在区间端点。
三、经典题目1. 题目一已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求其极值点及最值。
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函数与方程【考纲说明】1、 了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
2、 能够根据具体函数的图像，用二分法求出相应方程的近似解。
【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。
（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。
因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。
函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。
②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。
③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。
2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。
（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根； ②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。
（3）零点个数确定0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根； 0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定. 3、 二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; （2）用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ; ③计算()f c ;(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈); (ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.【经典例题】【例1】（2012天津）函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 【答案】B2=8，即(0)(1)<0f f ⋅且函数()f x 在(0,1)内连续不断，B 正确.( )D 、(1,2) 【例3】（2009山东）若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 . 【答案】），（∞+1 【解析】Θ函数)(x f =x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，Θ方程0=--a x a x 有两个不相等的实数根，即两个函数xa y =与a x y +=的图像有两个不同的交点，当10<<a 时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当1>a 时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.【例4】（2012辽宁）设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 【答案】B【解析】因为当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3. 所以当[1,2]x ∈时，(2)[0,1]x -∈，3()(2)(2)f x f x x =-=-，当1[0,]2x ∈时，()cos()g x x x π=；当13[,]22x ∈时，()cos()g x x x π=-，注意到函数f (x )、 g (x )都是偶函数，且f (0)= g (0)， f (1)= g (1)，13()()022g g ==，作出函数f (x )、 g (x )的大致图象，函数h (x )除了0、1这两个零点之外，分别在区间1113[,0][][][1]2222-、0,、,1、,上各有一个零点，共有6个零点，故选B【例5】（2012湖北）函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A 、4 B 、5C 、6D 、7【答案】C【解析】：f(x)=0，则x=0或cosx 2=0，x 2=kπ+ π2 ,k ∈Z ，又x ∈[0,4]，k=0,1,2,3,4，所以共有6个解．选C ．【例6】（2011陕西）函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内 （ ）A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点 【答案】B【解析】解法一：数形结合法，令()cos f x x x =-0=，则cos x x =，设函数y x =和cos y x =，它们在[0,)+∞的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内有且仅有一个零点；解法二：在[,)2x π∈+∞1x >，cos 1x ≤，所以()cos f x x x =0>；在(0,]2x π∈，()sin 02f x x x'=+>，所以函数()cos f x x x =是增函数，又因为(0)1f =-，()022f ππ=>，所以()cos f x x x =-在[0,]2x π∈上有且只有一个零点． 【例7】（2011天津） 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32 B 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34 C 、⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D 、⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 【答案】B【解析】f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x 2－2－()x －x 2≤1，x －x 2，x 2－2－()x －x 2>1 ＝⎩⎨⎧x 2－2，－1≤x ≤32，x －x 2，x <－1，或x >32，则f ()x 的图象如图∵y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴y ＝f (x )与y ＝c 的图象恰有两个公共点，由图象知c ≤－2，或－1<c <－34.【例8】已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .【答案】5【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.【例9】求下列函数的零点：（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x=-. 【答案】（1）2,1，-1.（2）2，-2. 【解析】（1）由32220,x x x --+=2(2)(2)0,(2)(1)(1)0,21 1.x x x x x x x x x ---=∴--+=∴===-或或 故函数的零点是2，1，-1.（2）2440,0,x x x x--==由得(2)(2)0,(2)(2)0,2x x x x xx -+∴=∴-+=∴=或x=-2.故函数的零点是2，-2.【例10】判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)． 【答案】1.312 5【解析】 因为f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，且函数y ＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：由于|1.375－1.312 5|＝0.062 5<0.1， 所以函数的一个近似零点为1.312 5.【课堂练习】1、（2011课标）在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)242、（2010上海）若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ） A 、(0,1) B 、(1,1.25) C 、(1.25,1.75) D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )4、（2010天津）函数f ()x =2x +3x 的零点所在的一个区间是 （ ） A ．（-2,-1） B 、（-1，0） C 、（0，1） D 、（1，2）5、（2010浙江）设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ） A 、[-4,-2] B 、[-2,0] C 、[0,2] D 、[2,4]6、（2011陕西）函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ） A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有无穷多个零点7、（2009福建）若函数()f x 的零点与()422xg x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ） A 、()41f x x =- B 、2()(1)f x x =- C 、()1xf x e =- D 、1()ln()2f x x =-8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、3()8f x x =- B 、()ln 3f x x =+C 、2()222f x x x =++D 、2()41f x x x =-++9、（2009泉州）函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间（ ）A 、⎪⎭⎫⎝⎛41,81B 、⎪⎭⎫⎝⎛21,41C 、⎪⎭⎫⎝⎛1,21D 、(1,2) 10、（2009厦门）01lg =-xx 有解的区域是（ ） A 、(0,1] B 、(1,10] C 、(10,100]D 、(100,)+∞11、（2011湖北文）在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ）A 、1(,0)4-B 、 1(0,)4C 、11(,)42D 、13(,)2412、（2009合肥）函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为 （ ）A 、1[0,]8B 、11[,]84C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间 （ ）A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定14、（2010浙江）设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是 （ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、（2010福建）函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩， 零点个数为 （ ）A 、3B 、2C 、1D 、016、（2008惠州）若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：f (1) = －2 f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260f (1.4375) = 0.162f (1.40625) = －0.054那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为 （ ） A 、1.2 B 、1.3 C 、1.4 D 、1.5 17、（2008湖北）方程223xx -+=的实数解的个数为 .18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。