全国版2022高考数学一轮复习第9章直线和圆的方程第1讲直线方程与两直线的位置关系试题2理含解析

第九章直线和圆的方程

第一讲直线方程与两直线的位置关系

1.[改编题]下列说法正确的是()

A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件

B.直线ax+2y+6=0与直线x+(a-1)y+a2 -1=0互相平行,则a=-1

C.过(x1,y1),(x2,y2 )两点的所有直线的方程为y-y1

y2-y1=x-x1

x2-x1

D.经过点(1,1) 且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

2.[2021湖北宜昌模拟]如图9-1-1,已知A(4,0)、B(0,4), 从点P(2, 0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB反射后又回到P点,则光线所经过的路程是()

图9-1-1

A.2√5

B.3√3

C.6

D.2√10

3.[2021天津模拟]已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(0,-1), 过点C的直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是()

A. [-2,3]

B. [-2,0)∪(0,3]

C. (-∞,-2]∪[3,+∞)

D.以上都不对

4.[2020江西模拟]“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.[2020甘肃模拟]已知直线l 1:x sin α+y -1=0,直线l 2:x -3y cos α+1=0,若l 1⊥l 2,则sin 2α=( ) A.3

5 B.-3

5 C.2

3

D.-2

3

6.已知直线l 1:ax+by+1=0与直线l 2:2x+y -1=0互相垂直,且l 1经过点(-1,0),则b = .

7.[2020福建宁德诊断]我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术,即圆内接正多边形的边数无限增加时,其面积可无限逼近圆面积.这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2+y 2=2的一个内接正八边形,使该正八边形的其中4个顶点在平面直角坐标系的坐标轴上,则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的是( )

A .x+(√2-1)y -√2=0

B .(1-√2)x -y+√2=0

C .x -(√2+1)y+√2=0

D .(√2-1)x -y+√2=0

8.[2020安徽皖江名校第一次联考]过原点O 作直线l :(2m+n )x+(m -n )y -2m+2n =0的垂线,垂足为P ,则点P 到直线

x -y+3=0的距离的最大值为( )

A.√2+1

B.√2+2

C.2√2+1

D.2√2+2

9.[2020安徽十校高三摸底考试]已知直线l 过点(3√3,0)且不与x 轴垂直,圆C :x 2+y 2-2y =0,若直线l 上存在一点M ,使OM 交圆C 于点N ,且OM ?????? =32

NM

??????? ,其中O 为坐标原点,则直线l 的斜率的最小值为( ) A.-1 B .-√3 C.-√6

D.-√3

3

10.[2017全国卷Ⅰ,20,12分]设A ,B 为曲线C :y =x 24

上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;

(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM ,求直线AB 的方程.

答 案

第一讲 直线方程与两直线的位置关系

1.B 对于A:当a =-1时, “直线a 2x -y +1=0与直线x -ay -2=0互相垂直”,当直线a 2x -y +1=0与直线x -ay -2=0互相垂直时,即a 2+(-1)×(-a )=0,解得a =-1或a =0,故“a =-1”是“直线a 2x -y +1=0与直线x -ay -2=0互相垂直”的充分不必要条件,故A 错误;对于B:直线ax +2y +6=0与直线x +(a -1)y +a 2-1=0互相平行,则a (a -1)=2×1,且2(a 2-1)≠6(a -1),解得a =-1,故B 正确;对于C:过(x 1,y 1),(x 2,y 2) (且x 1≠x 2,y 1≠y 2)两点的所有直线的方程为

y -y 1y 2-y 1

=

x -x 1x 2-x 1

,故C 错

误;对于D:经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程有两种情况.①经过原点的直线为x -y =0,②当直线不经过原点时,设在坐标轴上的截距为a ,则直线方程为x

a +y

a =1,所以1

a +1

a =1,解得a =2 ,故x +y -2=0 , 故D 错误. 2.D 点P 关于y 轴的对称点P'的坐标是(-2,0) ,设点P 关于直线AB :x +y -4=0的对称点为P ″(a ,

b ) ,由

{b -0a -2×(-1)=-1,a+2

2

+

b+02

-4=0,

解得{a =4,

b =2,故光线所经过的路程|P'P ″|=√(-2-4)2+22=2√10, 故选D .

3.C 如图D 9-1-3所示,∵过点C 的直线l 与线段AB 有公共点,∴直线l 的斜率k ≥k BC 或k ≤k AC ,又

k BC =

2-(-1)1-0

=3,k AC =

1-(-1)-1-0

=-2.∴k ≥3或k ≤-2,∴直线l 的斜率k 的取值范围是(-∞,-2]∪[3,+∞),故选C .

4.C 由m =4,易得直线4x +8y +3=0与直线2x +4y +3=0平行;由直线mx +(3m -4)y +3=0与直线2x +my +3=0平行,得m

2=

3m -4m

,解得m =2或m =4,经检验,当m =2时,直线2x +2y +3=0与直线2x +2y +3=0重合,故m =4,所以“m =4”

是“直线mx +(3m -4)y +3=0与直线2x +my +3=0平行”的充要条件,故选C .

5.A 因为l 1⊥l 2,所以sin α-3cos α=0,所以tan α=3,所以sin 2α=2sin αcos α=2sinαcosα

sin 2α+cos 2α=2tanα

1+tan 2α=3

5.故选A .

6.-2 因为l 1⊥l 2,所以2a +b =0,又-a +1=0,所以b =-2.

7.C 作出符合题意的圆内接正八边形ABCDEFGH ,如图D 9-1-4所示,易知A (√2,0),B (1,1),C (0,√2),D (-1,1),则直线

AB ,BC ,CD 的方程分别为y =

1-√2

(x -√2),y =(1-√2)x +√2,y =(√2-1)x +√2.整理为一般式,即

x +(√2-1)y -√2=0,(1-√2)x -y +√2=0,(√2-1)x -y +√2=0,分别对应题中的A,B,D 选项.故选C .

图D 9-1-4

8.A 将(2m +n )x +(m -n )y -2m +2n =0整理,得(2x +y -2)m +(x -y +2)n =0.由题意得{2x +y -2=0,x -y +2=0,解得{x =0,

y =2,可知直

线l 过定点Q (0,2).由题意知点O 与点P 重合或直线OP ⊥l ,所以点P 的轨迹是以OQ 为直径的圆,圆心为(0,1),半径为1.因为圆心(0,1)到直线x -y +3=0的距离d =√2

=√2,所以点P 到直线x -y +3=0的距离的最大值为√2+1.故选

A .

9.B 设点M (x ,y ),由OM ?????? =32NM ??????? ,得N (x 3,y 3),又点N (x 3,y 3)在圆C 上,则(x 3)2+(y 3)2-2·y 3

=0,即x 2+y 2-6y =0.设直线l 的方程为y =k (x -3√3),∵点M 在直线l 上,∴直线l 与曲线x 2+y 2-6y =0有交点,∴

√3k|√1+k 2

≤3,解得-√3≤k ≤0,则直线l 的斜率的最

小值为-√3,故选B.

10.(1)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 1

24,y 2=x 2

24,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k =

y 1-y 2x 1-x 2

=

x 1+x 24

=1.

(2)由y =x 2

4,得y'=x

2.设M (x 3,y 3),由题设及(1)知x

32=1, 解得x 3=2,于是M (2,1).

设直线AB 的方程为y =x +m ,则线段AB 的中点为N (2,2+m ),|MN |=|m +1|. 将y =x +m 代入y =x 2

4得x 2-4x -4m =0.

Δ=16(m +1)>0,则m>-1,

解得x 1=2+2√m +1,x 2=2-2√m +1.

从而|AB|=√2|x1-x2|=4√2(m+1).

由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.